数学建模100个模型
《数学建模》题库
为了培养想象力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析，还常常需要从侧面或反面思考，尽可能迅速的回答1-5题。
1. 某人早上8：00从山下旅馆出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留
宿。次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅馆。则此人必在两天中同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？
2. 37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队的胜者以及轮空者
进入下一轮，直到比赛结束，问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛？
3. 甲乙两站之间有电车相通，每隔十分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻
不一定相同。甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机时刻到达兵站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站。问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？
4. 某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T市车站，他的妻
子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班，搭乘早一班火车于5：30抵达T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前了十分钟。问他步行了多长时间？
5. 一男孩和一女孩分别在离家2千米和1千米且方向相反的两所学校上学，每天
同时放学后分别以4千米/小时和2千米/小时的速度步行回家。一小狗以6千米/小时的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返只至回到家中，问小狗奔波了多少路程？
6. 任意拿出黑白两种颜色的棋子共8个，排成如图一所示的一个圆圈，然后在两
颗颜色相同棋子中间放一颗黑棋子，在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白棋子，放完后撤掉原来所放的棋子，再重复以上的过程，这样放下一圈后就拿走前次的一圈棋子，问这样重复下去棋子的颜色会发生怎样的变化？
图一
7. 在任何一个5分钟内均匀跑500米，问能10分钟恰好跑完1000米吗？
8. 要用40块方形瓷砖铺如图二所示形状的地板，但当时市场上只有长方形的瓷
砖，每块大小等于方形的2倍，一人买了20块长方形瓷砖，问他能铺成功吗？
图二图三
9.18世纪，普鲁士格尼斯堡镇上有一个小岛，岛旁流过一条河的两条支流，七座
桥跨在河的两支支流上（如图三），假设A表示岛，B表示河的左岸，C表示右岸，D为两支支流间地区，a,b,c,d,e,f,g分别表示七座桥，问一个人能否经过每座桥一次且恰好一次且最后回到原出发点？
10.证明，在6人的集会上假设认识是相互的，则总能找到3个人互相都认识，或
者互相谁也不认识谁。
11.一个摆渡人F希望用一条小船把一只狼W，一头羊G和一篮白菜C从一条河的左
岸渡到右岸，而船只能容纳F,W,G,C中的两个，决不能在无人看守的情况下，留下狼和羊在一起，羊和白菜在一起，应该怎样渡河，才能把狼、羊、白菜都运过去？
12.有三对夫妻要过河，船至多可载两人，条件是任何一女子不能在其丈夫不在
场的情况下与另外的男子在一起，问如何安排这三对夫妻过河？
13.人在雨中沿直线从一处向另一处行走，当雨的速度已知时，问人的行走速度
多大才能使淋雨量最小？
14.微型计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系
统将其格式化成磁道和扇区（构造如图四）。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元,根据磁化与否可分别记录0或1，这个基本单元通常被称为比特(BIT)。为了保障磁盘的分辨率，磁道宽度必须大于ρ1，每比特所占用的磁道长度不ρ，为了数据检索的便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的得小于
b
比特数。现有一张半径为R 的磁盘，它的存储区的半径介于r 与R 之间的环形区域，试确定r ，使磁盘具有最大储存量
图四 图五
15.一颗地球同步轨道通信卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是圆轨道，通信卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同，即人们看到它在天空不动。若地球半径取为R=6400千米，问卫星距地面的高度应为多少，试计算通信卫星的覆盖面积。
16.一截面积为常数A ，高为H 的水池内盛满了水，由池底一横截面积为B 的小孔放水。设水从小孔流出的速度为gh v 2=，求在任意时刻的水面高度和将水放空所需的时间。
17.我缉私舰雷达发现距c km 处有一艘走私船正以匀速a 沿直线行驶，缉私舰立即以最大速度b 追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。
18.确定一个连接二定点A,B 的曲线，使质点在这曲线上用最短的时间由A 滑至B(忽略摩察力和阻力)。
19.在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，要亮一段时间的黄灯，这是为了让那些正行驶在十字路口或者距离十字路口太近以至无法停下的车辆通过路口，那么，黄灯应该亮多长时间呢？
20.一种耐用的新产品进入市场后，一般会经过一个销售量先不断增加，然后逐渐下降的过程，称为产品的生命周期(Product Life Cycle)，简记为PLC ，PLC 曲线可能有若干种情况，其中有一种为钟型，（如图五），建立数学模型分析此现象
21.兔子出生以后两个月就能生小兔，如果每月生一次且恰好生一对小兔，且兔
子出生以后都能成活，问一年以后共有多少对兔子？两年以后共有多少对兔子？
22.一个人为了积累养老基金，每个月按时到银行存100元，银行的年利率为4%，
且可以任意分段按福利计算，问此人5年后共积累了多少养老金？如果存款和复利按日计算，则他又有多少养老金？
23.一农业研究所植物园中某植物的基因为AA,Aa,aa，研究所计划采用AA型的植
物与每一种基因型植物相结合的方法培育植物后代，问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因型分布如何？
24.波兰数学家巴拿赫随身带着两盒火柴，分别放在两个衣兜里，每盒有n根火柴。
每次使用时，便随机地从其中一盒取出一根。试求他将其中一盒火柴用完，而另一盒中剩下的火柴根数的分布率。
25.某人给他的N个朋友写信，写好后分别将这些信放入N个信封中，并在每一个
信封上分别任意不重复地写上N个收信人的一个地址。问他一个都没有写正确和恰有r个写正确的可能分别是多少？
26.某车间有200台车床相互独立的工作，由于经常需要检修、测量、调换刀具、
变换位置等种种原因需要停车。若每台车床有60%的时间在开动，而每台车床在开动时需要耗电1KW，问应供给这个车间多少电力才能保证在8小时生产中大约仅有半分钟因电力不足而影响生产。
27.为了估计湖中鱼的数量，先从湖中钓出r条鱼做上记号后又放回湖中，然后再
从湖中钓出S条鱼，结果发现S条鱼中有x条鱼标有记号.问应该如何估计湖中鱼的数量N.
28.报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖完的报纸退回报社。设每
份报纸的购进价为b元，零售价为a元，退回价为c元。故，a>b>c.报童售出一份报纸赚a-b元，退回一份报纸赔b-c元，所以报纸进得太多卖不完要赔钱，进得太少不够卖要少赚钱。试为报童筹划应如何确定购进的报纸数使收益最大。
29.某厂用200台机器来加工两种零件，需要安排4周完成任务。根据以往的经验
知道：机器加工第一种零件，一周后损坏的概率是1/9；加工第二种零件，一周后损坏的概率是1/10。如果机器加工第一种零件一周的收益为90元，加工第
二种零件一周的收益为88.5元。问怎样分配机器的任务，才能使总收益最大？
30.某超市有一个收款台，已知顾客到收款台和服务时间都是随机的。顾客按泊松分布到达，平均每小时到达20人。收款时间服从指数分布，平均每个顾客需要2.5分钟。试求该收款台服务员空闲的概率、服务台前排队顾客的期望值和每个顾客等待时间的期望值。
31.一个星级宾馆有150间客房，经过长期的经营实践，宾馆经理得到一些数据：如果每间客房定价为160元，住房率为55%；如果每间客房定价为140元，住房率为75%；如果每间客房定价为100元，住房率为85%，试确定每间房的定价，使得每天的收益最大。
32.假设你是某厂的业务厂长，你的任务之一是定期订购某种原料。如果每次订货费为4000元，每天每吨货物的储存费为200元，每天工厂对原料的需求量恒为定10吨。在不会缺货的情况下你应如何设置订货周期T 与订货量Q 使得这部分费用最省。假设开始时原料的存货量为0，并从第一批货达到时开始计时，最大的存储量为100吨。
33.把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳。然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。建立数学模型解释这一现象。
34.假定人口的增长服从这样的规律：时刻t 的人口为x(t)， t 到时间内人口的增量与成正比（其中为最大容量）。试建立模型并求解。
t t Δ+)(t x x m ?m x 35.在超市购物你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗.比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1 试用比例方法构造模型解释这个现象，分析商品价格C 与商品重量w 之间的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量成正比，有的与表面积成正比，还有与w 无关的因素。
36. 动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。
37.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
38.雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨
动物 体重(g) 心率（次/分）
田鼠 25 670
家鼠 200 420
兔 2000 205
小狗 5000 120 图六表一
速与雨滴质量的关系。
39. 用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的
夹角α应多大(如图六)。若知道管道长度需要多长的布条。
40.生物学家认为，对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温，能
量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重与心率之间的关系的模型，并用表一所列的表中的数据加以检验。 41.举重比赛按照运动员的体重分组，你能在一些合理的、简化的假设下建立比
赛成绩与体重之间的关系吗，表二是一届奥运会的成绩，可供检验模型
组别 最大体重（kg） 抓举（kg） 挺举（kg） 总成绩（kg）
1 54 132.5 155 287.5
2 59 137.5 170 307.5
3 6
4 147.
5 187.5 335
4 70 162.
5 195 357.5
5 7
6 167.5 200 367.5
6 83 180 212.5 392.5
7 91 187.5 213 402.5
8 99 185 235 420
9 108 195 235 430
10 〉108 197.5 260 457.5
表二
42.速率为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是ρ，用量纲分析法确定风
车获得的功率P与v, s, ρ的关系。
43.雨滴的速度v与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g有关，其中粘滞系数ρ
的定义是：运动物体在流体中受到的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数。用量纲分析法给出v的表达式。
44. 配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不同的部件时因更换设备需要花
生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付储存费。今已知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000元，储存费每日每件1元。如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次。
45.一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重的
生猪每天增加2公斤。目前生猪出售的市场价格为每公斤8元，但是预测每天会降低0.1元。问该场该什么时候出售这样的生猪？如果上面的估计和预测有出入，对结果有多大影响。
46.一奶制品加工厂用牛奶生产两种奶制品A1,A2，1桶牛奶可以在设备甲上用12
小时加工3公斤A1，或在设备乙上8小时加工4公斤A2。根据市场需求，生产的A1 ,A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天最多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大。
47.46题给出的A1,A2两种奶制品的生产条件、利润、及工厂的“资源”限制全部不
变。为增加工厂的获利，开发奶制品的深加工技术：用2小时和3元加工费，可将1公斤A1加工成0.8公斤高级奶制品B1，也可将1公斤A2加工成0.75公斤高级奶制品B2，每公斤B1获利44元，每公斤B2获利32元。试为该厂制定一个生产销售计划，使每天的净利润最大。
48.一汽车厂生产小、中、大三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动
时间的需求，利润以及每月工厂钢材、劳动时间的现有量如表三所示。试制订月生产计划，使工厂的利润最大。
小型 中型 大型 现有量 钢材（吨） 1.5 3 5 600
劳动时间（小时）280 250 400 60000 利润（万元） 2 3 4
表三
49.某公司用两种原油（A和B）混合加工成两种汽油（甲和乙）。甲、乙两种汽油
含原油A的最低比例分别为50%和60%，每吨售价分别为4800元和5600元。该公司现有原油A和B的库存量分别为500吨和1000吨，还可以从市场上买到不超过1500吨的原油A。原油A的市场价为：购买量不超过500吨时单价为1000元/吨； 购
买量超过500吨但不超过1000吨时，超过500吨的部分8000元/吨；购买量超过1000吨时，超过1000吨的部分6000元/吨。该公司该如何安排原油的采购和加工。
50.某班准备从5名游泳队员中选择4人组成接力队，参加学校的4×100米混合泳接力比赛。5名队员4种泳姿的百米成绩如表四所示，问应如何选拔队员?
甲 乙 丙 丁 戊 蝶泳
8601′′′ 275′′ 811′′′ 011′′′ 4701′′′ 仰泳
6511′′′ 685′′ 8701′′′ 2411′′′ 111′′′ 蛙泳
721′′′ 4601′′′ 6421′′′ 6901′′′ 8321′′′ 自由泳 685′′ 35′′ 495′′
275′′ 4201′′′ 表四
51.某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课。这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课要求如表五所示，那么，毕业时学生最少可以学习这些课程中的那些课程。 课程编号
课程名称 学分 所属类别 先修课要求 1
微积分 5 数学 2
线性代数 4 数学 3
最优化方法 4 数学；运筹学 微积分；线性代数 4
数据结构 3 数学；计算机 计算机编程 5
应用统计 4 数学；运筹学 微积分；线性代数 6
计算机模拟 3 计算机；运筹学计算机编程 7
计算机编程 2 计算机 8
预测理论 2 运筹学 应用统计 9 数学实验 3 运筹学；计算机
微积分；线性代数
表五
52.某公司正在考虑在某城市开发一些销售代理业务。经过预测，该公司已经确定了该城市未来五年的业务量，分别为400，500，600，700，800。该公司已经初步物色了4家销售公司作为其候选代理企业，该公司与每个候选企业建立代理关系的一次性费用、每个企业每年所能承揽的最大业务量、年运行费用如表六所示。该公司应该与那些企业建立代理关系。
候选代理1 候选代理2 候选代理3 候选代理4
年最大业务量 350 250 300 200 一次性费用（万元） 100 80 90 70 年运行费用（万元） 7.5 4.0 6.5 3.0
表六
53.某饮料产生产一种饮料用以满足市场需求。该厂销售科根据市场预测，已经
确定了未来四周该饮料的需求量。计划科根据本厂实际情况给出了未来四周的
生产能了和生产成本，如表七所示。每周当饮料满足需求后有剩余时，要支出
储存费，为每周每千箱饮料0.2千元。问应如何安排生产计划，在满足每周市
场需求的条件下使四周的总费用（生产成本与存储费之和）最小。
周次 需求量（千箱） 生产能力（千箱）成本（千元/千箱）
1 15 30 5.0
2 25 40 5.1
3 35 45 5.4
4 2
5 20 5.5
合计 100 135
表七
54.某饮料厂使用同一条生产线轮流生产多种饮料以满足市场需求。如果某周开
工生产其中一种饮料，就要清洗设备和更换部分部件，于是需支出生产准备费
8000元。现在只考虑一种饮料的生产，假设其未来四周的需求量、生产能力、
生产成本和储存费与53题完全相同，应如何安排这种饮料的生产计划，在按
时满足市场需求的情况下，使生产该种饮料的总费用最小？
55.某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客要求切割后售出，从钢管厂进
货时得到的原料钢管都是19米。现有一批客户需要50根4米、20根6米和
15根8米的钢管，应如何下料最节省？
56.一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个
区的大学生数量(单位：千人)已经表示在图七上。每个销售代理点只能向本区
和一个相邻区的大学生售书，这两个销售代理点应该建在何处，才能使所能供
应的大学生数量最大？
图七图八
57. 人工肾是帮助人体从血液中带走废物的装置，它通过一层薄膜与需要带走废
物的血管相通，如图八。人工肾中通以某种液体，其流动方向与血液在血管中
的流动方向相反，血液中的废物通过薄膜进入人工肾。设血液和人工肾中液体
的流速均为常数，废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的浓度差成正
比。人工肾总长l，建立单位时间内人工肾带走废物数量的模型。
58.一家保姆服务公司专门向雇主提供保姆服务。根据估计，下一年的需求是：
春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招
聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培
训）65天。保姆从该公司而不是从雇主那里得到报酬，每人每月工资800元。
春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后将有15%保姆自动离职。
如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定一个下一年的招聘计划。
59.某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产
两种产品（分别记为A,B）。按照生产工艺的要求。原料甲、乙、丁必须首先
倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A,B。已知原料甲、
乙、丙、丁的含硫量分别是3%，1%，2%，1%，进货价格分别是6，16，10，
15（千元/吨），产品A,B的含硫量分别不能超过2.5%，1.5%，售价分别为9，
15（千元/吨）。根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供
应量最多50吨：产品A,B的市场需求量分别为100吨，200吨。问应如何安
排生产。
60.有四名同学到一家公司参加三个阶段的面试：公司要求每个同学都必须首先
找公司秘书面试，然后到部门主管处面试，最后到经理处参加面试，并且不允
许插队（即在任何阶段四名同学的顺序是一样的）由于四名同学的专业背景不
同，所以每人在三个阶段的面试时间也不同，如表八所示。这四名同学约定他
们全部面试完以后一起离开公司，假定现在时间是早晨8：00，问他们最早什
么时候能离开公司？
秘书面试主管面试经里面试同学甲13 15 20 同学乙10 20 18 同学丙20 16 10 同学丁8 10 15
表八
61. 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客要求切割后售出，从钢管厂进
货时得到的原料钢管都是1850mm，现有一批客户需要15根290 mm、28根315 mm、21根350 mm和30根455 mm的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过四种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的一种切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm。为了使总费用最小，应如何下料？
62.建立适当的数学模型推导万有引力定律。
63.对于技术革新的推广，在下列情况下分别建立数学模型。
（1） 推广工作通过已经采用新技术的人推广，推广速度与已采用新技术的人数成正比，推广是无限的。
（2） 总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低。
64.建立耐用消费品市场销售量的模型。如果知道了过去若干时期销售量的情况，
如何确定模型的参数。
65. 某储蓄所每天的营业时间是上午9：00到下午5：00，根据经验每天不同时
间段所需要的服务员数量如表九所示。储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬100元，从上午9：00到下午5：00工作，但中午12：00到下午2：00之间必须安排1小时的午餐时间。储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬40元。
问该储蓄所应如何雇佣全时和半时两类服务员？如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？
时间段（时）9~10
10~11
11~1212~1 1~2 2~3 3~4 4~5
服务员数
量
4 3 4 6
5
6 8 8
表九
66.在鱼塘中放入n0尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量增加
设尾数n(t)的（相对）减少率为常数；由于喂养引起的每尾鱼重量的增加率与
鱼表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼重量的减少率与重量本身成正比。分
别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解。
67建立铅球掷远的模型。。不考虑阻力，设铅球初速为v，出手高度为h，出手角度为α（与地面的夹角），建立掷远距离与v、h、α的关系式。
68.如果食饵—捕食者系统中，捕食者掠食的对象只是成年的食饵，而未成年的
食饵因体积太小免遭捕获。在适当假设下建立这三者之间的关系模型。
69.一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物。爬行动物
以哺乳动物为食，哺乳动物又依赖植物生存。在适当假设下建立这三者之间的关系模型。
70.大陆上物种数目可以看作常数，各物种独立地从大陆向附近一岛屿迁移。岛
上物种数目的增加与尚未迁移的物种数目有关，而随着迁移物种的增加又导致岛上物种的减少。在适当假设下建立这岛屿的物种数模型。
71.讨论资金积累、国民收入、与人口增长的关系。若国民平均收入x与按人口
平均资金积累y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的。
72. 图九是5位网球选手循环赛的结果。作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出
几条完全路径，用适当方法排出五位选手的名次。
图九图十
73.考察由野兔R和狐狸F组成的生态系统，在野兔的食物资源充足的情况下，
其带符号的有向图如图十所示。（1）解释图中+,-号的意义。（2）若初始时段野兔有一增量，且设，v(0)=(10,10),计算v(1),v(2)。
74. 排名次的另一种方法是考察“失分向量”以代替得分向量（选手输掉场次的
数目为他的失分），按失分由小到大排列名次。证明：这相当于把竞赛图中各有向边反向后，按得分向量排列名次，再把名次倒过来。
75.食肉动物食草动物和草组成生态系统，因为草地有限，草过密会使草的生长
减慢，用带符号的有向图建立这个系统的冲量过程模型。
76.公共汽车系统用带符号的有向图表示如图十一，其中只有单位距离票价随着乘客行程的增加应该提高还是降低尚未确定（图中有向边的表以？号）。讨论这个符号应为+还是-才能使冲量过程稳定。
21→
图十一 图十二
77. .建立交货时间为随机变量的存储模型，设商品订货费为c 1，每件商品单位时间的储存费为c 2，缺货费为c 3，单位时间需求量为L ，图十二中L 称订货点。当储存量降至L 时订货，而交货时间x 是随机的，如图中的x 1,x 2˙˙˙˙˙。设x 的概率密度函数为p(x)。订货量使下一周期初的储存量达到固定值Q 。为了使总费用最小，选择合适的目标函数建立模型，确定最佳订货点
78.理事会有5个常任理事和十个非常任理事，提案仅当全部常任理事和至少四个非常任理事赞成时方可通过，求每位常任理事和每位非常任理事在投票中的权重。
79.奇数个席位的理事会由三派组成。议案表决实行过半数通过方案。证明在任一派都不能操纵表决的条件下，三派占有的席位不论多少，他们在表决中的权重都是一样的。
80.若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价为0.6元，需求量服从均值500份，方差为50份的正态分布，利用28题的结果计算报童每天应购进多少报纸才能使平均收入最高，这个最高收入是多少？
81.某商店要订购一批商品零售，设购进价c 1，售出价c 2，订购费c 0（与数量无关），随机需求量r 的概率密度为p(r)，每件商品的储存费为c 3（与时间无关）。问如何确定定购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少？
82某甲（农民）有一块土地，若从事农业生产可收入1万元。若将土地租给某乙（企业家）用于工业生产可收入3万元。当旅店老板请企业家参与经营时，收入达到4万元。为促成最高收入的实现，试用Shapley 值方法分配个人的所得。
83.建立物体在空气中冷却时，冷却速度的变化模型。如果物体在20分钟内由，那么经过多长时间，此物体的温度将达到。
o o 60100冷却到o 3084.有高为1m 的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1cm 2，开始时容器内盛满了水，求水从小孔的流出过程中容器里水面的高度h 随时间变化的规律.
85.现有资金500万元，可对三个项目进行投资。要求项目2投资不得超过300万元，项目1和项目3的投资均不得超过400万元，并且项目3至少要投资100万元。各项目的投资额度是以百万元为单位的整数倍，每个项目投资5年后，预计可获得收益如表十，问如何投资可获得最大收益？
表十
86. 原子弹爆炸时巨大的能量从爆炸点以冲击波形式向四周传播。据分析在时刻t 冲击波达到的半径r 与释放能量e ，大气密度ρ大气压强p 有关（t=0时r=0）
证明)()(326
52
ρ?ρe t p et r =，?是未定函数。 87.用量纲分析法研究人体浸在均匀流动的水里时损失的热量。记水的流速，密度v ρ，比热，粘性系数u ，热传导系数，人体尺寸。证明人体与水的热交换系数h 与上述物理量的关系可表为c k d ),(k
uc u vd d k h ρ?=， ?是未定函数，h 定义为单位时间内人体的单位面积在人体与水的温差为1时的热量交换。 C o
88. 用量纲分析法研究两带电平行板间的引力，板的面积为s ,间距为d ,电位差为v ,板间介质的介电常数为ε，证明两板之间的引力。
)/(22d s v f ?ε=89.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比。
给出周期的表达式。 90.商店在一周中的销售是随机的。每逢周末经理要根据存货的多少决定是否定购货物以供下周的销售。适合经理采用的一种简单策略是制定一个下界s 和一个上界S ，这种策略被称为(s, S)随机存储策略。合理假设，建立模型制定s, S.
91. 把粗大的钢胚变成合格的钢材需要两道工序，第一道是粗轧（热轧）
，形成钢材的雏形；第二道是精轧（冷轧），得到规定长度的成品钢材。粗轧时由于设备、环境等众多因素的影响，得到的钢材的长度是随机的，大体上呈正态分布，其均值可以由轧钢机调整，而均方差则是由设备的精度决定，不能随意改变。如果粗轧后钢材的长度过长，就要把多余的部分切掉，造成浪费；如果粗轧后钢材的长度比规定的长度短，则整根报废，造成更大的浪费。显然，应该综合考虑这两种情况，使得总的浪费最小。
这一问题可以叙述为：已知成品钢材的规定长度l 和粗轧后钢材长度的均方差σ，确定粗轧后钢材长度的均值m ，使得当轧机调整到m 进行粗轧，再通过精轧以得到成品钢材时总的浪费最少。
92. 航空公司决定展开预订票业务。公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或者退票，无需附加任何费用。当然，也可以订票时只订座，登机时才付款。
开展预订票业务时，对于一次航班，若公司限制预订票的数量恰好等于飞机的容量，那么由于总会有一些订了机票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本。而如果不限制预订票数量，那么当持票前来按时登机的乘客超过飞机容量时，必然会引起那些不能飞走的乘客的抱怨，公司不管以什么方式补偿，也会导致声誉受损和一定的经济损失，如客源减少、挤掉以后班机的乘客、公司无偿供应食宿、付给一定的赔偿金等。建立模型综合考虑经济利益和社会声誉，确定预订票数量的最佳限额。
93. 书店要订购一批新书出售，书店决定印制详细介绍图书内容的精美广告分发给广大读者，以招来顾客。虽然读者对这种图书的需求是随机的，得到了广告
也不一定去买，但是我们知道，随着广告费的增加，潜在的购买量会上升，也就是说你让越多的人知道这些书，可能买这这些书的人也就会越多。可现在面临的问题是1.顾客知道了这些书，不一定从这家书店购买2.买书的人不可能无限多。所以，书店掌握了若干个潜在买主的名单，广告将首先分发给他们。这个模型要求我们，在对需求量随广告费增加而变化的随机规律作出合理的假设的基础上，根据图书的购进价和售出价确定广告费和订购的最优值，使书店的利润（在平均意义下）最大。
94. 像钢琴这样的奢侈品销售量很小，商店里一般不会有多大的库存量让他积压
资金。一家商店根据以往经验，平均每周只能售出一架钢琴。现在经理制定的存储的略是，每周末检查库存量，仅当库存量为零时，才定购3架供下周销售；
否则，不定购。试估计这种策略下失去销售机会的可能性有多大，以及每周的平均销售量是多少。
95.在基因遗传过程中考虑3种基因类型：优种D(dd)，混种H(dr)和劣种R(rr)，
对于任意的个体，每次用一混种与之交配，所得后代仍用混种交配，如此继续下去。构造马氏链模型，求稳态概率及优种和混种出发的首次返回平均转移次数。
96.色盲具有遗传性，由两种基因c和s的遗传规律决定。男性只有一个基因c
或s；女性有两个基因cc，cs或ss。当某人具有基因c或 cc时则呈色盲表征。
基因遗传关系是：男孩等概率地继承母亲两个基因中的一个，女孩继承父亲的那个基因并等概率地继承母亲的一个基因中。由此可以看出，当母亲是色盲时，男孩一定是色盲，女孩却不一定。用马氏链模型研究非常极端的近亲结婚情况下的色盲遗传。即同一对父母的后代配婚。
97.两种不同的外部表征是由两种不同的基因决定的。这两种基因的遗传关系是
相互独立的。例如，猪的毛有颜色表征（黑、白）和质地表征.（粗、光）。对于每一种表征仍分为优种D(dd)，混种H(dr)和劣种R(rr)三种基因类型。两种表征的组合则有9种基因类型。在完全优势遗传中，优种和混种的猪毛颜色黑、质地粗，劣种则颜色白质地光，这样共有四中外部表征组合，即黑粗、黑光、白粗、白光。假设群体的两种外部表征对应的基因中d 和r的比例相同（均为1/2）。在随机交配情况下构造马氏链模型。证明在稳定情况下上述的四中外部
表征组合的比例为9:3:3:1。
98.一个服务网络由k个工作站v1,v2,…,v k依次串接而成，当某种工作请求到达工
作站v i时，v i能够处理的概率是p i,转往下一站v i+1处理的概率是q i(I=1,2,…k-1,q k=0)，拒绝处理的概率是r i，满足p i+q i+r i=1。构造马氏链模型，确定到达v i的请求平均经过多少工作站才能获得接收处理或者拒绝处理的结果，被接受和拒绝的概率各是多大。
99粗略地把人群的健康状况分为健康和疾病两种情况，以一年为一个时段研究状态的改变。假定对某一年龄段的人来说，今年健康、明年保持健康的状态的概率是0.8，即明年转为疾病的概率是0.2；而今年患病明年转为健康的概率是0.7，即明年保持疾病的概率是0.3。如果一个人投保时处于健康状态，构造马
氏链模型研究若干年以后他分别处于这两种状态的概率。如果开始是疾病呢？100.一家集生产销售为一体的公司，希望生产率和储藏量都尽量稳定在预先设定的水平上，如果销售量可以预测，公司需要制定一个根据储存量控制生产率的策略。建立模型，以在一定时间内生产率和储存量与设定值误差的（加权）平方和最小为目标给出泛函极值问题。
数学建模常用模型方法总结精品
【关键字】设计、方法、条件、动力、增长、计划、问题、系统、网络、理想、要素、工程、项目、重点、检验、分析、规划、管理、优化、中心 数学建模常用模型方法总结 无约束优化 线性规划连续优化 非线性规划 整数规划离散优化 组合优化 数学规划模型多目标规划 目标规划 动态规划从其他角度分类 网络规划 多层规划等… 运筹学模型 （优化模型） 图论模型存 储论模型排 队论模型博 弈论模型 可靠性理论模型等… 运筹学应用重点:①市场销售②生产计划③库存管理④运输问题⑤财政和会计⑥人事管理⑦设备维修、更新和可靠度、项目选择和评价⑧工程的最佳化设计⑨计算器和讯息系统⑩城市管理 优化模型四要素：①目标函数②决策变量③约束条件 ④求解方法(MATLAB--通用软件LINGO--专业软件) 聚类分析、 主成分分析 因子分析 多元分析模型判别分析 典型相关性分析 对应分析 多维标度法 概率论与数理统计模型 假设检验模型 相关分析 回归分析 方差分析 贝叶斯统计模型 时间序列分析模型 决策树 逻辑回归
传染病模型马尔萨斯人口预测模型微分方程模型人口预 测控制模型 经济增长模型Logistic 人口预测模型 战争模型等等。。 灰色预测模型 回归分析预测模型 预测分析模型差分方程模型 马尔可夫预测模型 时间序列模型 插值拟合模型 神经网络模型 系统动力学模型(SD) 模糊综合评判法模型 数据包络分析 综合评价与决策方法灰色关联度 主成分分析 秩和比综合评价法 理想解读法等 旅行商(TSP)问题模型 背包问题模型车辆路 径问题模型 物流中心选址问题模型 经典NP问题模型路径规划问题模型 着色图问题模型多目 标优化问题模型 车间生产调度问题模型 最优树问题模型二次分 配问题模型 模拟退火算法(SA) 遗传算法(GA) 智能算法 蚁群算法(ACA) (启发式) 常用算法模型神经网络算法 蒙特卡罗算法元 胞自动机算法穷 举搜索算法小波 分析算法 确定性数学模型 三类数学模型随机性数学模型 模糊性数学模型
什么是数学模型与数学建模
1. 什么是数学模型与数学建模 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 2.美国大学生数学建模竞赛的由来： 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。 我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。
数学建模笔记
数学模型按照不同的分类标准有许多种类: 1。按照模型的数学方法分，有几何模型，图论模型，微分方程模型.概率模型，最优控制模型,规划论模型,马氏链模型. ２。按模型的特征分,有静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型. 3.按模型的应用领域分,有人口模型,交通模型,经济模型，生态模型，资源模型。环境模型。 4.按建模的目的分,有预测模型，优化模型,决策模型，控制模型等。 ５.按对模型结构的了解程度分，有白箱模型,灰箱模型,黑箱模型。 数学建模的十大算法： 1.蒙特卡洛算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,比较好用的算法。) 2.数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用matlａb作为工具。) 3.线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用lingｏ、linｇdo软件实现) 4.图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。) 5.动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6.最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法(这些问题时用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难，需谨慎使用） 7.网格算法和穷举法(当重点讨论模型本身而情史算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8.一些连续离散化方法（很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的,而计算机只认得是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
数学建模模糊综合评价法
学科评价模型（模糊综合评价法） 摘要：该模型研究的是某高校学科的评价的问题，基于所给的学科统计数据作出综合分析。基于此对未来学科的发展提供理论上的依据。 对于问题1、采用层次分析法，通过建立对比矩阵，得出影响评价值各因素的所占的权重。然后将各因素值进行标准化。在可共度的基础上求出所对应学科的评价值，最后确定学科的综合排名。（将问题1中的部分结果进行阐述） （或者是先对二级评价因素运用层次分析法得出其对应的各因素的权重（只选取一组代表性的即可），然后再次运用层次分析法或者是模糊层次分析法对每一学科进行计算，得出其权重系数）。通过利用matlab确定的各二级评价因素的比较矩阵的特征根分别为：4.2433、2、4.1407、3.0858、10.7434、7.3738、3.0246、1 对于问题2、基于问题一中已经获得的对学科的评价值，为了更加明了的展现各一级因素的作用，采用求解相关性系数的显著性，找出对学科评价有显著性作用的一级评价因素。同时鉴于从文献中已经有的获得的已经有的权重分配，对比通过模型求得的数值，来验证所建模型和求解过程是否合理。 对于问题3、主成份分析法，由于在此种情况下考虑的是科研型或者教学型的高校，因此在评价因素中势必会有很大的差别和区分。所以在求解评价值的时候不能够等同问题1中的方法和结果，需要重新建立模型，消除或者忽略某些因素的影响和作用（将问题三的部分结果进行阐述）。 一、问题重述
学科的水平、地位是评价高等学校层次的一个重要指标，而学科间水平的评价对于学科本身的发展有着极其重要的作用。而一个显著的方面就是在录取学生方面，通常情况下一个好的专业可以录取到相对起点较高的学生，而且它还可以使得各学科能更加深入的了解到本学科的地位和不足之处，可以更好的促进该学科的发展。学科的评价是为了恰当的学科竞争，而学科间的竞争是高等教育发展的动力，所以合理评价学科的竞争力有着极其重要的作用。鉴于学科评价的两种方法：因素分析法和内涵解析法。本模型基于某大学（科研与教学并重型高校）的13个学科在某一时期内的调查数据，包括各种建设成效数据和前期投入的数据。 通过计算每一级、每一个评价因素所占的权重，确定某一学科在评价是各因素所占的比重，构建评价等级所对应的函数。通过数值分析得出学科的评价值。需要解决一下几个问题： 1、根据已给数据建立学科评价模型，要求必要的数据分析及建模过程。 2、模型分析，给出建立模型的适用性、合理性分析。 3、假设数据来自于某科研型祸教学型高校，请给出相应的学科评价模 型。 二、符号说明与基本假设 2.1符号说明 符号说明 S——评价数（评价所依据的最终数值） X——影响评价数值的一级因素所构成的矩阵
数学建模常见评价模型简介
常见评价模型简介 评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。 层次分析模型 层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。 运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤： 步骤1 建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。 步骤2构造成对比较阵 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵； 步骤3计算权向量并作一致性检验 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。
步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验) 组合权向量可作为决策的定量依据 通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。 例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。 步骤1 建立系统的递阶层次结构 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
数学建模中常见的十大模型
数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MA TLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的
数学建模中的图论方法
数学建模中的图论方法 一、引言 我们知道，数学建模竞赛中有问题A和问题B。一般而言，问题A是连续系统中的问题，问题B是离散系统中的问题。由于我们在大学数学教育内容中，连续系统方面的知识的比例较大，而离散数学比例较小。因此很多人有这样的感觉，A题入手快，而B题不好下手。 另外，在有限元素的离散系统中，相应的数学模型又可以划分为两类，一类是存在有效算法的所谓P类问题，即多项式时间内可以解决的问题。但是这类问题在MCM中非常少见，事实上，由于竞赛是开卷的，参考相关文献，使用现成的算法解决一个P类问题，不能显示参赛者的建模及解决实际问题能力之大小；还有一类所谓的NP问题，这种问题每一个都尚未建立有效的算法，也许真的就不可能有有效算法来解决。命题往往以这种NPC问题为数学背景，找一个具体的实际模型来考验参赛者。这样增加了建立数学模型的难度。但是这也并不是说无法求解。一般来说，由于问题是具体的实例，我们可以找到特殊的解法，或者可以给出一个近似解。 图论作为离散数学的一个重要分支，在工程技术、自然科学和经济管理中的许多方面都能提供有力的数学模型来解决实际问题，所以吸引了很多研究人员去研究图论中的方法和算法。应该说，我们对图论中的经典例子或多或少还是有一些了解的，比如，哥尼斯堡七桥问题、中国邮递员问题、四色定理等等。图论方法已经成为数学模型中的重要方法。许多难题由于归结为图论问题被巧妙地解决。而且，从历年的数学建模竞赛看，出现图论模型的频率极大，比如： AMCM90B－扫雪问题； AMCM91B－寻找最优Steiner树； AMCM92B－紧急修复系统的研制(最小生成树) AMCM94B－计算机传输数据的最小时间(边染色问题) CMCM93B－足球队排名(特征向量法) CMCM94B－锁具装箱问题(最大独立顶点集、最小覆盖等用来证明最优性) CMCM98B－灾情巡视路线(最优回路) 等等。这里面都直接或是间接用到图论方面的知识。要说明的是，这里图论只是解决问题的一种方法，而不是唯一的方法。 本文将从图论的角度来说明如何将一个工程问题转化为合理而且可求解的数学模型，着重介绍图论中的典型算法。这里只是一些基础、简单的介绍，目的在于了解这方面的知识和应用，拓宽大家的思路，希望起到抛砖引玉的作用，要掌握更多还需要我们进一步的学习和实践。
模糊综合评价法的数学建模方法简介_任丽华
８ 《商场现代化》２００６年７月（中旬刊）总第４７３期 ２０世纪８０年代初，汪培庄提出了对绿色供应链绩效进行评价的模糊综合评价模型，此模型以它简单实用的特点迅速波及到国民经济和工农业生产的方方面面，广大实际工作者运用此模型取得了一个又一个的成果。本文简单介绍模糊综合评价法的数学模型方法。 一、构造评价指标体系 模糊综合评价的第一步就是根据具体情况建立评价指标体系的层次结构图，如图所示： 二、确定评价指标体系的权重 确定各指标的权重是模糊综合评价法的步骤之一。本文根据绿色供应链评价体系的层次结构特点，采用层次分析法确定其权重。尽管层次分析法中也选用了专家调查法，具有一定的主观性，但是由于本文在使用该方法的过程中，对多位专家的调查进行了数学处理，并对处理后的结果进行了一致性检验，笔者认为，运用层次分析法能够从很大程度上消除主观因素带来的影响，使权重的确定更加具有客观性，也更加符合实际情况。 在此设各级指标的权重都用百分数表示，且第一级指标各指标的权重为Ｗｉ，ｉ＝１，２，…，ｎ，ｎ为一级指标个数。一级指标权重向量为： Ｗ＝（Ｗ１，…，Ｗｉ，…Ｗｎ） 各一级指标所包含的二级指标权重向量为： Ｗ＝（Ｗｉ１，…，Ｗｉｓ，…Ｗｉｍ），ｍ为各一级指标所包含的二级指标个数，ｓ＝１，２，…，ｍ。 各二级指标所包含的三级指标权重向量为： Ｗｉｓ＝（Ｗｉｓ１，…Ｗｉｓ２，…Ｗｉｍｑ），ｑ为各二级指标所包含的三级指标个数。三、确定评价指标体系的权重建立模糊综合评价因素集将因素集Ｘ作一种划分，即把Ｘ分为ｎ个因素子集Ｘ１，Ｘ２，…Ｘｎ，并且必须满足： 同时，对于任意的ｉ≠ｊ，ｉ，ｊ＝１，２，…，均有 即对因素Ｘ的划分既要把因素集的诸评价指标分完，而任一个评 价指标又应只在一个子因素集Ｘｉ中。 再以Ｘｉ表示的第ｉ个子因素指标集又有ｋｉ个评价指标即：Ｘｉ＝｛Ｘｉ１，Ｘｉ２，…，ＸｉＫｉ｝，ｉ＝１，２，…，ｎ 这样，由于每个Ｘｉ含有Ｋｉ个评价指标，于是总因素指标集Ｘ其有 个评价指标。 四、 进行单因素评价，建立模糊关系矩阵Ｒ 在上一步构造了模糊子集后，需要对评价目标从每个因素集Ｘｉ上进行量化，即确定从单因素来看评价目标对各模糊子集的隶属度，进而得到模糊关系矩阵： 其中ｓｉ（ｉ＝１，２，…，ｍ）表示第ｉ个方案，而矩阵Ｒ中第ｈ行第ｊ列元素ｒｈｊ表示指标Ｘｉｈ在方案ｓｊ下的隶属度。对于隶属度的确定可分为两种 情况：定量指标和定性指标。 （１）定量指标隶属度的确定 对于成本型评价因素可以用下式计算： 对于效益型评价因素可以用下式计算：对于区间型评价因素可以用下式计算：上面三个式子中：ｆ（ｘ）为特征值，ｓｕｐ（ｆ），ｉｎｆ（ｆ）分别为对应于同一个指标的所有特征值的上下界，即是同一指标特征值的最大值和最小 模糊综合评价法的数学建模方法简介 任丽华 东营职业学院 ［摘 要］ 本文一种数学模型方法构造了一种对绿色供应链绩效进行评价的模糊综合评价法，主要从构造评价指标体系，确定评价指标体系的权重，确定评价指标体系的权重，建立模糊综合评价因素集，进行单因素评价、建立模糊关系矩阵Ｒ，计算模糊评价结果向量Ｂ等五个方面介绍这种评价方法。 ［关键词］ 绿色供应链绩效评价 模糊综合评价法 数学模型方法 流通论坛
数学建模中常见的十大模型讲课稿
数学建模中常见的十 大模型
精品文档 数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
数学建模中常见的十大模型
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数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。
数学建模统计模型
数学建模
论文题目： 一个医药公司的新药研究部门为了掌握一种新止痛剂的疗效，设计了一个药物试验，给患有同种疾病的病人使用这种新止痛剂的以下4个剂量中的某一个：2 g，5 g，7 g和10 g，并记录每个病人病痛明显减轻的时间（以分钟计）. 为了解新药的疗效与病人性别和血压有什么关系，试验过程中研究人员把病人按性别及血压的低、中、高三档平均分配来进行测试. 通过比较每个病人血压的历史数据，从低到高分成3组，分别记作，和. 实验结束后，公司的记录结果见下表（性别以0表示女，1表示男）. 请你为该公司建立一个数学模型，根据病人用药的剂量、性别和血压组别，预测出服药后病痛明显减轻的时间.
一、摘要 在农某医药公司为了掌握一种新止痛药的疗效，设计了一个药物实验，通过观测病人性别、血压和用药剂量与病痛时间的关系，预测服药后病痛明显减轻的时间。我们运用数学统计工具m i n i t a b软件，对用药剂量，性别和血压组别与病痛减轻
时间之间的数据进行深层次地处理并加以讨论概率值P （是否<）和拟合度R-S q的值是否更大（越大，说明模型越好）。 首先，假设用药剂量、性别和血压组别与病痛减轻时间之间具有线性关系，我们建立了模型Ⅰ。对模型Ⅰ用m i n i t a b 软件进行回归分析，结果偏差较大，说明不是单纯的线性关系，然后对不同性别分开讨论，增加血压和用药剂量的交叉项，我们在模型Ⅰ的基础上建立了模型Ⅱ，用m i n i t a b软件进行回归分析后，用药剂量对病痛减轻时间不显着，于是我们有引进了用药剂量的平方项，改进模型Ⅱ建立了模型Ⅲ，用m i n i t a b 软件进行回归分析后，结果合理。最终确定了女性病人服药后病痛减轻时间与用药剂量、性别和血压组别的关系模型： Y=1x 3x 1x 3x 2 1 x 对模型Ⅱ和模型Ⅲ关于男性病人用m i n i t a b软件进行回归分析，结果偏差依然较大，于是改进模型Ⅲ建立了模型Ⅳ，用m i n i t a b软件进行回归分析后，结果合理。最终确定了男性病人服药后病痛减轻时间与用药剂量、性别和血压组别的关系模 型：Y=1x1x 3x 2 1 x关键词止痛剂药剂量性别病痛减轻时 间
数学建模模拟题,图论,回归模型,聚类分析,因子分析等 (48)
第11章第2题 摘要 本题分析4 种化肥和3 个小麦品种对小麦产量的影响，以及二者交互作用对小麦产量的影响，可视为两因素方差分析，即化肥和小麦品种两个因素，4种化肥可看作是化肥的四个不同水平，3个小麦品种也可以看作是小麦品种的三个不同水平。 试验的目的是分析化肥的四个不同水平以及小麦品种的三个不同水平对小麦产量有无显着性影响。 关键词：方差分析显着性化肥种类小麦品种
一．问题重述 为了分析4 种化肥和3 个小麦品种对小麦产量的影响，把一块试验田等分成36个小块，分别对3种种子和四种化肥的每一种组合种植3 小块田，产量如表1所示（单位公斤），问不同品种、不同种类的化肥及二者的交互作用对小麦产量有无显着影响。 二．问题分析 本题意在分析四种化肥和三种小麦品种对小麦产量的影响，以及二者交互作用对小麦产量的影响，为两因素方差分析问题，即化肥和小麦品种两个因素，4种化肥可看作是化肥的四个不同水平，3个小麦品种也可以看作是小麦品种的三个不同水平。通过对这两种因素的不同水平及交互作用的分析，从而分析 4 种化肥和3 个小麦品种对小麦产量的影响。 三．模型假设 1.假设只有化肥种类和小麦品种两个因素，其他因素对试验结果不构成影响。 2.假设不存在数据记录错误。 3.假设每一块试验田本身各项指标相同，不会影响结果。 四．符号说明 数字1,2,3,4——不同的化肥种类 数字1,2,3——不同的小麦品种 五．模型建立 将化肥种类和小麦品种视为两个因素，四种化肥种类看作是化肥种类的四个不同水平，三个小麦品种看作是小麦品种的三个不同水平，将表1的数据进行整理，如表2所示。
六．模型求解 将表2数据导入到spss软件中，进行两因素方差检验，得到结果如下：表3
教师评价模型_数学建模教学提纲
教师评价模型_数学建 模
教师评价模型 一、摘要 学校是一个充满着评价人的场所，每时每刻都在对各个人进行评价。毫不 夸张地说评价教师是学校里每个人的“日常功课”。 由于教师职业劳动的特殊性，它是复杂劳动。不能仅仅用工作量来评价 教师的劳动，同时评价教师的人员纷繁复杂，方式多种多样。评价教师的标准 往往束缚着学校的教学质量，教师教学的积极性。所以教师评价的确定就显的 很重要。 新课程强调：评价的功能应从注重甄别与选拔转向激励、反馈与调整；评 价内容应从过分注重学业成绩转向注重多方面发展的潜能；评价主体应从单一 转向多元。 那么如何公正、客观地评价教师的同时，有效地保护教师的教学积极性和 帮助提高学校的办学水平呢？ 此模型的建立改变了以往同类模型的多种弊端，从另一角度更加合理地分析、评价，就是为了更公平，公正地对教师做出合理的评价，从而促进学生发 展和教师提高。 本模型主要用了模糊数学模型和对各项评价付权重的方法进行建模分析。 从（1）教师对自己的评价，（2）学生对教师的评价；（3）由专家组对教师的评价的角度出发，通过量化，加权，得出结果。然后确定三方面的比重来评价 教师。同时通过确定教师自评与他人评价的比值范围，而确定这次评价是否有效。 在各个方面采用的数学模型如下：
1、教师对自己的评价： 教师对自己的满意度，既体现教师的主人翁意识也保护教师的教学积 极性。 16 1160i i i P Q D ( i ∈[1,16]) (Q 表示教师自评的得分 Pi 表示教师对自己各项符合度而打的分数 Di 表示对教师自评要求各项所加给的权重 ) 2、学生对教师的评价： 表明以学生为主体，体现了模型的客观性，公平、公开的原则。 90j i ij i d c a ij a =ij n u ij a =A （U ，V ） （ U 为评价的主要因素， V 为评价因素分等。 C i 为学生对教师的各项评价要求所付的权重 N 为填写有效调查表的人数） 3、由专家组成通过听课对教师的评价： 表明专家对教师指导性，帮助教师提高教学水平。体现了评价的权威 性，真实性。同时也是作为教师提拔的一个方面。 （1）建立综合评价矩阵51ij ij ik k c g c （2）综合评价 B=A ⊕R=（b 1,b 2,……，b m ）
数学建模模型
五邑大学 数学建模 课程考核论文 2010-2011 学年度第 2 学期 010 20 30 40 50 60 70 8090 第一季度第三季度 东部西部北部 论文题目 抑制物价快速上涨问题 得分 学号 姓名（打印） 姓名（手写） ap0808221 林加海 ap0808204 陈荣昌 指导老师—邹祥福
——2011.6.20 抑制物价快速上涨问题 摘要 本文通过一个多元线性回归模型较好地解决了影响物价因素的问题。使我国经济快速发展的同时，使百姓得到真的实惠，又保证了经济的长远的发展。 物价问题比较复杂。在本次实验中我们参阅大量资料把影响物价的的因素主要概括括需求性因素（消费，投资，进出口，政府支出等）、货币性因素（货币供给量）、结构性因素（房地产价格，农产品价格等）以及其他因素（如预期因素等）。 总结出原先物价计算方法的不足之处，需要建立一种新的计算和预测的方法。首先，为了确定物价和影响因素之间的关系我们用了多元线性回归，从国家统计局找到相关数据经过挑选，建立了函数关系，为了使函数更具有说服力我们进一步用了残差分析，检验所得到的结果的合理性 。本文利用matlab 软件实现了拟合出多元线性回归函数y=86.4798967193207+0.00441024146152813*x1+4.32730555279258e-007*x2+0.00377788223112076*x3+2.70211635024846e-006*x4+7.58738000216411e-005*x5，置信度95％，且20.932609896853743,_R F ==检验值8.30338450288840>，但是显著性概率.α=005相关的0.055839341752489056>0.p =。再利用逐步回归的方法，拟合出Y=94.4958+0.00771506*x1+5.8917e-007*x2+0.00250019*x3+1.90595e-006*x4+ 6.62396e-005*x5.93269896853743R =200，修正的R 2值.R α =20897797，F_检验值＝26.3535，与显著性概率相关的p 值＝..<000106754005，残差均方RMSE ＝0.204517，以上指标值都很好，说明回归效果比较理想。通过对物价形成及演化问题的讨论，提出以量化分析为基础的调节物价的方法，深入分析找出影响物价的主要因素，并就此分析现在物价的上涨情况，根据《关于稳定消费价格总水平保障群众基本生活的通知》，根据模型分析给出抑制物价的政策建议，并对未来的形势走向根据模型给出预测。 关键字：物价，逐步回归分析，上涨因素，预测，多元回归分析
数据建模目前有两种比较通用的方式
数据建模目前有两种比较通用的方式1983年，数学建模作为一门独立的课程进入我国高等学校，在清华大学首次开设。1987年高等教育出版社出版了国内第一本《数学模型》教材。20多年来，数学建模工作发展的非常快，许多高校相继开设了数学建模课程，我国从1989年起参加美国数学建模竞赛，1992年国家教委高教司提出在全国普通高等学校开展数学建模竞赛，旨在“培养学生解决实际问题的能力和创新精神，全面提高学生的综合素质”。近年来，数学模型和数学建模这两个术语使用的频率越来越高，而数学模型和数学建模也被广泛地应用于其他学科和社会的各个领域。本文主要介绍了数学建模中常用的方法。 一、数学建模的相关概念 原型就是人们在社会实践中所关心和研究的现实世界中的事物或对象。模型是指为了某个特定目的将原型所具有的本质属性的某一部分信息经过简化、提炼而构造的原型替代物。一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型。数学模型是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的，进行一些必要的抽象、简化和假设，借助数学语言，运用数学工具建立起来的一个数学结构。 数学建模是指对特定的客观对象建立数学模型的过程，是现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的表示，是构造刻画客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。 二、教学模型的分类 数学模型从不同的角度可以分成不同的类型，从数学的角度，按建立模型的数学方法主要分为以下几种模型：几何模型、代数模型、规划模型、优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型等。 三、数学建模的常用方法 1.类比法 数学建模的过程就是把实际问题经过分析、抽象、概括后，用数学语言、数学概念和数学符号表述成数学问题，而表述成什么样的问题取决于思考者解决问题的意图。类比法建模一般在具体分析该实际问题的各个因素的基础上，通过联想、归纳对各因素进行分析，并且与已知模型比较，把未知关系化为已知关系，
数学建模论文《学科评价模型》
答卷编号（参赛学校填写）： 答卷编号（竞赛组委会填写）： 论文题目：学科评价模型(A) 组别：本科生 参赛队员信息(必填)： 姓名专业班级及学号联系电话参赛队员1 08生物技术一班0886 参赛队员2 08生物技术一班1680 参赛队员3 08生物技术一班0698
答卷编号（参赛学校填写）： 答卷编号（竞赛组委会填写）： 评阅情况（学校评阅专家填写）：学校评阅1. 学校评阅2. 学校评阅3. 评阅情况（省赛评阅专家填写）：省赛评阅1. 省赛评阅2. 省赛评阅3.
学科评价模型 摘要本学科评价模型采用了指标体系法，其所具有的客观公正性使之成为目前大学学科评价的主流方法。学科评价一方面取决于指标体系本身设计是否科学，另一方面则取决于原始数据和指标的可比性。由于本题目并没有给出具体的哪13个学科，而不同学科之间在某些方面存在着不同程度上的差异性。所以，我们采用层次分析法分配权重以及灰色多层次分析法处理数据，从而使评价结果更加客观公正。学科评价应分类别、分层次进行，不同的类别和层次适用于不同的情形。比如科研教学并重型高校的学科评价模型与科研型或者教学型高校的学科评价模型会有所区别。同时，在学科评价体系中，指标分级是必要的，我们将题目所给的指标分为三级。通过模型的建立及求解，我们得出了各学科各指标的评价结果，以及各学科的综合实力评价结果，并对结果进行横向分析和纵向分析，为大学学科评估及资源优化提供了较为合理的依据。 关键词层次分析法，权重, 灰色多层次分析法，关联度
一 问题的重述 学科的水平、地位是高等学校的一个重要指标，而学科间水平的评价对于学科的发展有着重要的作用，它可以使得各学科能更加深入的了解本学科(与其他学科相比较)的地位及不足之处，可以更好的促进该学科的发展。因此，如何给出合理的学科评价体系或模型一直是学科发展研究的热点问题。现有某大学（科研与教学并重型高校）的13个学科在一段时期内的调查数据，包括各种建设成效数据和前期投入的数据。 1、根据已给数据建立学科评价模型，要求必要的数据分析及建模过程。 2、模型分析，给出建立模型的适用性、合理性分析。 3、假设数据来自于某科研型或教学型高校，请给出相应的学科评价模型。 二 合理的假设 1、假设各学科所属领域以及学科特点的差异不对本评估体系产生影响 2、假设某些权威杂志对特定的学科没有偏重 3、假设国家和社会对各学科没有任何偏重 4、假设各学科培养出的人才素质没有差异 5、假设专家对学科各指标相对重要性的评判合理、客观、全面。 三 符号的说明 ijk C ：各级指标 ik C :(i=1,2,3····n;k=1,2,····m)第i 个参评学科中第k 个指标的原始数据 *k C :最优指标集 S ：综合分析评价值 A ：目标向量 ij D ：表示i D 对j D 的相对重要性数值 ij P ：判断矩阵)3,2,1,m 3,2,1(n j i ：特征向量 max ：最大特征值 CR ：判断矩阵的随机一致性比率 CI ：判断矩阵的一般一致性指标 RI ：平均随机一致性指标 i W ：各个分向量的权重系数 *W :第三指标权重分配矩阵
数学建模_四大模型总结
四类基本模型 1 优化模型 1.1 数学规划模型 线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。 1.2 微分方程组模型 阻滞增长模型、SARS 传播模型。 1.3 图论与网络优化问题 最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。 1.4 概率模型 决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。 1.5 组合优化经典问题 ● 多维背包问题(MKP) 背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。如何将尽可能多的物品装入背包。 多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。 多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。该问题属于NP 难问题。 ● 二维指派问题(QAP) 工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。工人i 完成工作j 的时间为ij d 。如何安排使总工作时间最小。 二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。 二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。 ● 旅行商问题(TSP) 旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。 ● 车辆路径问题(VRP) 车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在
高中常见数学模型案例(最新整理)
高中常见数学模型案例 中华人民共和国教育部2003年4月制定的普通高中《数学课程标准》中明确指出：“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，“数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。”教材中常见模型有如下几种: 一、函数模型 用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用，两个变量或几个变量，凡能找到它们之间的联系，并用数学形式表示出来，建立起一个函数关系（数学模型），然后运用函数的有关知识去解决实际问题，这些都属于函数模型的范畴。 1、正比例、反比例函数问题 例1：某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营者中货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系是___________。 分析：欲求货物数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式，关键是要弄清原价、进价、新价之间的关系。 若设新价为b ，则售价为b （1－20%），因为原价为a ，所以进价为a （1－25％） 解：依题意，有化简得，所以25.0)2.01()25.01()2.01(?-=---b a b a b 4 5=，即x a bx y ??==2.0452.0+ ∈=N x x a y ,4 2、一次函数问题 例2：某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路x （km ）表示为时间t （h ）的函数，并画出函数的图像。 分析：根据路程＝速度×时间，可得出路程x 和时间t 得函数关系式x （t ）；同样，可列出v(t)的关系式。要注意v(t)是一个矢量，从B 地返回时速度为负值，重点应注意如何画这两个函数的图像，要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的。 解：汽车离开A 地的距离x km 与时间t h 之间的关系式是：，图略。 ?? ???∈--∈∈=]5.6,5.3(),5.3(50150]5.3,5.2(,150]5.2,0[,60t t t t t x 速度vkm/h 与时间t h 的函数关系式是：，图略。 ?? ???∈-∈∈=)5.6,5.3[,50)5.3,5.2[,0)5.2,0[,60t t t v 3、二次函数问题 例3：有L 米长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全等小矩形组成的矩形，试问小矩形的长、宽比为多少时，窗所通过的光线最多，并具体标出窗框面积的最大值。