算术平方根的定义及性质
平方根（2）
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平方根和开平方(基础)知识讲解
平方根和开平方（基础） 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.平方根的定义 如果2x a =，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.算术平方根的定义 正数a 的两个平方根可以用“ a的正平方根（又叫算术平 方根），读作“根号a” ；a的负平方根，读作“负根号a”. 要点诠释： a 0，a≥0. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 ||00 a a a a a a > ? ? === ? ?-< ? () 2 a a =≥ 要点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 250 = 25 = 2.5 = 0.25 =. 【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 1、下列说法错误的是（）
A.5是25的算术平方根 B.l 是l 的一个平方根 C.()24-的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0 【答案】C ； 【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项． A.5，所以本说法正确； B.1，所以l 是l 的一个平方根说法正确； C.4，所以本说法错误； D.因为0＝0，所以本说法正确； 【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三： 【变式】判断下列各题正误，并将错误改正： （1）9-没有平方根．（ ） （24=±．（ ） （3）21()10-的平方根是110 ±．（ ） （4）25 --是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×， 提示：（24=；（4） 25是425的算术平方根． 2、 填空： （1）4-是 的负平方根． （2表示 的算术平方根，= ． （3的算术平方根为 ． （43=，则x = ，若3=，则x = ． 【思路点拨】（3181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)11;164 (3)13 (4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.
平方根知识点汇总讲义
平方根知识点汇总讲义
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2
平方根 知识点总结 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方 根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x 的平方等于a ，即2 x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a 的算术平方根记作a ，读作“a 的算术平方根”，a 叫做被开方数. 要点诠释：当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0. 2.平方根的定义 如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为(0)a a ±≥，其中a 是a 的算术平方根. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a ±和a 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术 平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以 立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方 根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 2(0)||0 (0)(0) a a a a a a a >??===??-
利用平方根的定义及性质解题的几个技巧
平方根概念解题的几个技巧 平方根在解题中有着重要的应用.同学们想必已经知到.但是,今天要告诉同学们的是它的几个巧妙的应用.希望对大家的学习有所帮助. 一、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例1、若,622=----y x x 求y x 的立方根. 分析 认真观察此题可以发现被开方数为非负数,即2－x ≥0,得x ≤2;x －2≥0,得x ≥2;进一步可得x =2.从而可求出y =－6. 解 ∵???≥-≥-0202x x , ∴???≥≤2 2x x x =2; 当x =2时,y =－6.y x =(－6)2=36. 所以y x 的立方根为336. 二、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a 例2、已知：一个正数的平方根是2a －1与2－a ，求a 的平方的相反数的立方根. 分析 由正数的两平方根互为相反得:(2a －1)+(2－a )=0,从而可求出a =－1,问题就解决了. 解 ∵2a －1与2－a 是一正数的平方根,∴(2a －1)+(2－a )=0, a =－1. a 的平方的相反数的立方根是.113-=- 三、巧用算术平方根的最小值求值. 我们已经知道0≥a ,即a =0时其值最小,换句话说a 的最小值是零. 例3、已知：y =)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a 的非算术平方根. 分析 y =)1(32++-b a ,要y 最小，就是要2-a 和)1(3+b 最小，而2-a ≥0，)1(3+b ≥0，显然是2-a =0和)1(3+b =0，可得a =2,b =－1. 解 ∵2-a ≥0，)1(3+b ≥0，y =)1(32++-b a ，∴2-a =0和)1(3+b =0
积的算术平方根的性质
第2课时 积的算术平方根的性质 1．下列运算正确的是 ( ) A.3×27＝3×27＝3×33＝6 B.3×27＝3×3×9＝32×9＝3×3＝9 C.4x 2＝4·x 2＝4x (x ≥0) D.4x 2＝2x 2．下列二次根式，不是最简二次根式的是 ( ) A.39 B.5y ＋9 C. 1 2 D.142y 3．计算1 32的结果是 ( ) A ．3232 B.1 3232 C.1 8 2 D.1412 4．化简二次根式（－5）2×3＝ ( ) A ．－53 B ．5 3 C ．±53 D.75 5．化简：48＝________；135×1 4＝________；22＋42＝________． 6．化简：8a 3＝________； －m 3 12＝________． 7．化简：(1)64x 4y 3＝________(y ＞0)；(2)12a 2b 3＝________(a >0，b >0)． 8．化简下列二次根式：
(1)9 8；(2) 3b2 8a3(a＞0，b＜0)． 9．计算： (1)3 424× 2 36； (2)－3 2 2.25× 1 51 2 9； (3)2 b ab 2 ? ? ? ? ? － 3 2a 3b×1 3 a b(a≥0，b＞0)． 10．计算：
12? ?? ??212＋418－348－(－3)2 ×? ????－32－1× 3. 11．观察下列各式及验证过程： 2 2 3＝ 2＋23， 验证：2 23 ＝233 ＝（23－2）＋2 22－1 ＝2×（22－1）＋2 22－1＝ 2＋23； 3 38＝ 3＋38， 验证：3 38＝ 338＝ （33－3）＋3 32－1 ＝ 3×（32－1）＋3 32－1 ＝ 3＋38. (1)按照上述两等式及验证过程的思路，猜想4 4 15的变形结果并验证； (2)针对上述各式反映的规律，给出用n (n 为自然数，且n ≥2)表示的等式，并进行证明． 答案解析 1．B 2．C
初一下数学讲义 -平方根(基础)知识讲解
平方根（基础） 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 【高清课堂：389316 平方根，知识要点】 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x的平方等于a，即2x a =,那么这个正数x叫做a的算术平方根（规定 0的算术平方根还是0）；a a的算术平方根”，a叫做被 开方数. 要点诠释： a 0，a≥0. 2.平方根的定义 如果2x a =，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与 开平方互为逆运算.a (a≥0) 的平方根的符号表达为0) a≥ 是a的算术 平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 ||00 a a a a a a > ? ? === ? ?-< ? () 2 a a =≥ 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 250 = 25 = 2.5 = 0.25 =.
平方根 知识讲解
平方根 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根和算术平方根． 2．了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.平方根的定义 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做a的二次方根. 一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. 要点诠释：一个正数a a的负平方根用“ 此，一个正数a a叫做被开方数. 2.算术平方根的定义 正数的正的平方根称为算术平方根.（规定0的算术平方根还是0）；一个数a（a≥0） . 要点诠释： a 0，a≥0. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 (0) ||0(0) (0) a a a a a a > ? ? === ? ?-< ? () 2 a a =≥ 要点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位. 250 = 25 = 2.5 = 0.25 =. 【典型例题】
积的算术平方根的性质
《积的算术平方根的性质》教 学案 年级： 九 学科： 数学 主备人： 关雯清 教学目标： 1.理解并掌握积的算术平方根的性质：b a ?=a ·b （a ≥0，b ≥0）. 2.利用积的算术平方根的性质化简二次根式。 教学重点： 积的算术平方根的性质在二次根式化简中的应用。 教学难点： 将二次根号下的平方因子正确地移出根号。 教学过程 一、温故互查： 二、设问导读： 自主预习教材P6~P7的内容，完成下列各题。 1.用式子表示积的算术平方根的性质：b a ?=__________(a ≥0，b ≥0). 2.化简 79?=___________, y x 2(x ≥0，y ≥0)=_________. 利用积的算术平方根的性质化简下列二次根式。 ⑴ 12； ⑵ 27； ⑶ b a 3 9（a ≥0,b ≥0）； ⑷ 242a a +(a ≥0). 议一议：化简二次根式的一般步骤是什么 【归纳总结】 ⑴ 将被开方数分解，化成______的形式。 ⑵ 选出被开方数中的_________________. ⑶ 利用积的算术平方根性质和二次根式的性质直接把根号下的每一个__________去掉平方号以后移到根号外(注意：移到根号外的数必须是___________). 三、自学检测： 3 127)4(32)3()2(123)1(3?-??? a b ab x x
1.化简下列二次根式： ⑴ 72 ⑵ 28 ⑶ 7)5(2 ?- ⑷ 3253? （5）188? （6） 225253?? （7） 428n m （8） 2)4(9-x 四、巩固练习： 1、选择题 （1）等式1112-=-?+x x x 成立的条件是（ ） A ．x ≥1 B ．x ≥-1 C ．-1≤x ≤1 D ．x ≥1或x ≤-1 （2）下列各等式成立的是（ ）． A ．45×25=85 B ．53×42=205 C ．43×32=75 D ．53×42=206 （3）二次根式6)2(2?-的计算结果是（ ） A ．26 B ．-26 C ．6 D ．12 3、判断下列各式是否成立： （1）94)9()4(-?-=-?- （2）5121322=- （3）b a b a +=+22 （4）323)2(2-=?- 4、化简（1（2）（3）（4） 5、化简二次根式： （1）)0(182≥x x （2（3）b a 236；（4）4625? （5） b a 316 （6） 221213-（7）2243+ （8）32a a + （9）)()(223b a b a --
算术平方根的概念
课题: 6.1。1平方根教学目标1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。 重点、难点教学重点：算术平方根的概念。 教学难点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。 教学环节教学过程师生活动 回顾旧知自主探究 1.你能求出下列各数的平方吗? 0,-1,5,2.3,- 1 5 ,-3,3,1, 1 5 2.若已知一个数的平方为下列各数,你能把这个数的取值 说出来吗? 25,0,4, 4 25 , 1 144 ,- 1 4 ,1.69 1探究1 小欧学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他 想裁出一块面积为252 dm的正方形画布，画上自己的得意之作 参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm？ 上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问 题。 定义一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么 这个正数x叫做a的算术平方根,a的算术平方根记为a,读作 “根号a”,a叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0. 2．探究2例1 求下列各数的算术平方根: (1) 100 (2) 1 (3) 49 64 (4) 196 (5) 0.0001 观察上面的运算可知：对所有正数，被开方数越大，对应 点算术平方根也越大 练一练1。某数的算术平方根等于它本身,则这个数为 _______;? ()26-的算术平方根是__________， 4的算术平方 根是81的算术平方根是 师生问答 情境引入学生 看课本40页，思 考问题并填表。 教师板书课 题，定义 学生思考，小 组交流，教师 点拨。
最新21.2.2积的算术平方根的性质
21.2.2《积的算术平方根的性质》教 学案 年级： 九 学科： 数学 主备人： 关雯清 教学目标： 1.理解并掌握积的算术平方根的性质：b a ?=a ·b （a ≥0，b ≥0）. 2.利用积的算术平方根的性质化简二次根式。 教学重点： 积的算术平方根的性质在二次根式化简中的应用。 教学难点： 将二次根号下的平方因子正确地移出根号。 教学过程 一、温故互查： 二、设问导读： 自主预习教材P6~P7的内容，完成下列各题。 1.用式子表示积的算术平方根的性质： b a ?=__________(a ≥0，b ≥0). 2.化简 79?=___________, y x 2(x ≥0，y ≥0)=_________. 利用积的算术平方根的性质化简下列二次根式。 ⑴ 12； ⑵ 27； ⑶ b a 39（a ≥0,b ≥0）； ⑷ 242a a +(a ≥0). 议一议：化简二次根式的一般步骤是什么？ 【归纳总结】 ⑴ 将被开方数分解，化成______的形式。 ⑵ 选出被开方数中的_________________. ⑶ 利用积的算术平方根性质和二次根式的性质直接把根号下的每一个__________去掉平方号以后移到根号外(注意：移到根号外的数必须是___________). 三、自学检测： 1.化简下列二次根式： ⑴ 72 ⑵ 28 ⑶ 7)5(2?- ⑷ 3253? （5）188? （6） 225253?? （7） 428n m （8） 2)4(9-x 3127)4(32)3()2(123)1(3?-??? a b ab x x
四、巩固练习： 1、选择题 （1）等式1112-=-?+x x x 成立的条件是（ ） A ．x ≥1 B ．x ≥-1 C ．-1≤x ≤1 D ．x ≥1或x ≤-1 （2）下列各等式成立的是（ ）． A ．45×25=85 B ．53×42=205 C ．43×32=75 D ．53×42=206 （3）二次根式6)2(2?-的计算结果是（ ） A ．26 B ．-26 C ．6 D ．12 3、判断下列各式是否成立： （1）94)9()4(-?-=-?- （2）5121322=- （3）b a b a +=+22 （4）323)2(2-=?- 4、化简（1（2） （3） （4） 5、化简二次根式： （1）)0(182≥x x （2（3）b a 236；（4）4625? （5） b a 316 （6） 221213-（7）2243+ （8）32a a + （9）)()(223b a b a -- （10）2257? （11） 8116? （12）3a （a ≥0） （13 6、计算下列各式：(1);)π14.3(2- (2)化简2x <）
积的算术平方根
二次根式 教学内容 2.积的算术平方根 教学目标 1．知识与技能． 会进行简单的二次根式的乘法运算，能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的简写运算． 2．过程与方法． 经历探究二次根式乘法法则以及积的算术平方根的过程，掌握应用的方法． 3．情感、态度与价值观 培养学生数感和逆向思维，感受二次根式乘法的实际应用价值，形成良好的思维品质．重难点、关键 1．重点：会进行简单的二次根式的乘法运算，?会利用积的算术平方根的性质化简二次根式． 2．难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用． 3．关键：采用从特殊到一般总结归纳的方法、类比的方法逐步有序地展开，?由于性质、法则关系式较集中，在计算、化简和应用中又相互交错，综合运用，教学中应采取讲练结合法，让学生在认识过程中脉络清楚，条理分明． 教学准备 1．教师准备：投影仪、制作投影片． 2．学生准备：复习二次根式定义、性质，预习本节课内容． 教学内容 回顾交流，导入新知 课堂复习．（投影显示） 请同学们完成下列各题． 1．填空． （1=_______． （2．
（3． 参考上述结果，用“>”、“<”或“＝”填空． 2．利用计算器计算填空．（填入“>”、“<”或“＝”） （1（2 （3（4 学生活动：先独立完成上述复习题，再与同伴一起讨论，寻找其规律．实际上，从计算 教师活动：在学生讨论的基础上，教师进行归纳． 教师归纳如下：从上述练习中可以得出两个二次根式相乘，实际上就是将这两个二次根式的被开方数相乘，根指数不变． a≥0，b≥0）． 引导关注：同学们应该注意a≥0，b≥0这个条件，若没有这个条件，?上述法则不能成 立．因为当a<0，b<0?乘法 法则显然不能成立．例如：a=-2，b=-3却无意义． 范例学习，提高认知 1．例1：计算． （1（2） 教师板书：（1= （2）× 学生活动：参与教师讲例，理解乘法法则的运用方法以及注意问题． 随堂练习，理解新知
积的算术平方根教学设计
二次根式的性质(1)教学设计 教学目标： 1、知识与技能目标： （1）探索二次根式的性质，发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。 （2）会用二次根式的性质化简二次根式。 2、过程与方法目标： （1）培养学生探索、观察、分析、归纳获得数学结论的过程。 （2）培养学生转化独立获取知识的方法并解决问题的过程。 3、情感、态度与价值观目标： 培养积极地探索数学规律的兴趣，提高利用数学知识解决问题的能力。从操作、观察、分析、归纳过程中，体会获得数学知识的快乐。 教学重、难点： 1.教学重点：理解并掌握二次根式的性质，利用性质进行计算和化简。 2.教学难点： 正确运用性质进行计算化简。 教学方法：问题意识教学法、启发、讨论、合作交流。 教学准备: 课件、多媒体； 教学过程： 一、明确目标 介绍本节课的学习内容及目标 学生领读学习目标，教师口述学习内容，让学生明确本节课的任务。 二、复习回顾 1.二次根式的定义 2.二次根式的性质 三、自主探究： （1）计算： ==== 222205.132观察上述各式你会发现什么？
（2）猜一猜：时，二次根式的值是什么？ 0a ≥2 a 一般地，二次根式的性质为：思考： =-2)4(=-2)6(计算并观察上面两组式子你能得到怎样的启示？ （学生思考讨论，教师点拨，师生一起得出结论） =2a 为任意实数时，当a 合作探究： ? )(22有区别吗与a a （学生小组合作讨论，根据表格提示，自主完成，之后师生共同完成修改） 跟踪练习( ( () (( )( ()(223 1_____,2______,3_____,4_____,5____,6____.======三、深入探究 =?94=?94 =?64121=?64121观察上面的运算结果，你发现了什么规律? （学生独立思考，尝试用自己的语言总结，教师给予修改补充）
平方根的性质
学大个性化辅导教案 课题平方根 学生姓名学生年级初一学科初数教师姓名学管师姓名咨询师姓名 上课时间教案1（）教案2（） 教学目标1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根 教学重点/难点重点：算术平方根与平方根的概念。难点:根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根，平方根和算术平方根之间的联系和区别。 教学过程 教师活动学生活动 1、上节课作业检查及知识点回顾，解 决上节课遗留的问题 2、本节课知识点讲解： 1.（1）算术平方根的定义； （2）平方根的定义； （3）平方根和算术平方根的区别与联 系； （4）平方根的性质。 3、本节课重点题型讲解分析 4、本节课常考知识点对应的题型及解 题思路和方法总结，如:利用平方根的 性质化简。数a，b，c在数轴上 的位置如图，且a b =，化简 22 ()2 a a b c a c ++---． 方法总结：先利用平方根的性质 将22 ()2 a a b c a c ++---都 化为只含有绝对值，再去绝对值 即可。 1、讲解上节课所留作业中典型试题的解题方 法 2、回答上节课所讲相关知识点，找出遗漏部 分 3、课堂笔记及教师补充知识点的记录 4、重点知识点对应典型试题训练，并且通过 训练归纳总结常考题型的解题思路和方法 a b c0
知识点总结 知识点一、平方根和算术平方根的概念： 1.算术平方根的定义: 如果一个正数x 的平方等于a ，即2 x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a 的算术平方根记作a ，读作“a 的算术平方根”， a 叫做被开方数. 要点诠释：当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0. 2.平方根的定义： 如果2 x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为(0)a a ±≥，其中a 是a 的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a ±和a 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算 术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方 可以立即写出它的另一个平方根. 知识点三、平方根的性质： 20||0 00 a a a a a a a >?? ===??-
算术平方根与平方根的概念及性质
第六章实数 专题6 算术平方根与平方根的概念及性质 知识要点 1.算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫作a 的算术 ，读作“根号a ”，a 叫作被开方数.规定：0的算术平方根是0. 2.平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 叫作a 的平方根或二次方根，a 叫作被开方数. 正数a 的正的平方根，即为a 的算术平方根。①正数a 有两个互为相反数的平方根：，读作“正负根号a ”；②负数没有平方根；③0的平方根是0. 3.求一个非负数的平方根的运算叫作开平方，平方和开平方互为逆运算。 4.如果被开方数的小数点向左（或向右)移动2位，它的算术平方根的小数点就相应向 左（或向右）移动1b =10b 0.1b =. 5.算术平方根的双重非负性 满足关系式：①a ≥0（被开方数为非负数）；≥0（算术平方根为非负数）。 6.算术平方根的性质：若a ＞b ≥0 7.两个结论：① 2a = (a ≥0)a =. 典例精析 例1 （1）求下列各数的算术平方根：①81；② 2536；③()23π-；④()2x - （2）求下列各数的平方根：①0.49；②1 24；③()232---；④4x 【分析】分别按照平方根和算术平方根的定义来求值，要注意两者符号书写的不同. 【解】（1）因为92=81，所以；②因为2 525636??= ???56 ③因为π＞3，所以π-3＞0a =33ππ-=-； ④因为()22x x =-==x （2）①因为() 20.70.49±=，所以=±0.7；②因为23924??±= ???，所以32==±； ③因为()2525±=，5=±；④因为()()22 22224x x x x x x x x x ±==?=???= ，2x ±. 【点评】①遇到带分数，需要先把带分数化为假分数；②求一个式子的平方根或算是平方根，需要先求出该算式的值；③一个正数的平方根总是成对出现的，不要遗漏. 拓展与变式1 ___________. 拓展与变式2 若m +1是9的平方根，则m =_________ 拓展与变式3 若一个正数的两个平方根为x -1和2x +1，则这个正数为_________. 拓展与变式4 若整式x -1和2x +1都可以表示一个正数的平方根，求这个正数. 【反思】①审题时，要注意按照定义运算，”的作用.②需要灵活判断和运用平方运算和它的逆运算---开平方的运算
平方根基本知识点
2011-2012暑期第一次课 内容：平方根 一、平方根的定义 填空： 平方根的定义： 注意： 练习： 1、 9 4 的平方根是 ，25的平方根是_________. (-4)2的平方根是___________. 2、2 )9(-的平方根是（ ）（A ）±3 （B ）±9 （C ）3 （D ）－9 二、平方根的表示： 求下列各数的平方根：5, 3, 121， 练习：1、若a 的平方根是±5,则a =___________. 2、设a x =2 ，有下列几种说法：（1）a 是x 的平方根 （2）a 是x 的平方（3）x 是a 的平方根（4）x 是a 的平方。正确的是（ ） （A ）（1）和（2） （B ）（2）和（3） （C ）（2）和（4） （D ）（1）和（3） 3、有下列说法：（1）416±= （2）因为4是正数，所以4有平方根 （3）因为0既不是正数也不是负数，所以0没有平方根 （4）可以平方的数一定也可以开平方 （5）如果一个数有平方根，那么这个数的平方根一定有两个。其中正确的有（ ）个。（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4、判断：9的平方根是3（ ）；3是9的平方根（ ） 9的平方根是3是9的平方根（ ） 2是4的平方根（ ） 三、算术平方根 定义： 思考：平方根和算术平方根的区别和练习 练习： 1、求下列个数的算术平方根 （1）、 196； （2） ；（3）0.04 ； （4）102 2、如果一个数的平方根是3+a 和152-a ，求这个数。 2.1一个数的平方根是2a-3与5-a ，求a 的值和这个数。 四、非负性 计算下列各值： ， ， ， ， ， ， 从上面的计算，你可以得到那些结论： 练习：1、若33-+ -x x 有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．3 x B ．3 x C ．3≥x D ．3=x 1.1若x 、y 都是实数，且 y = 4，求xy 的值. 256 1
二次根式的性质(积的算术平方根)
课题：二次根式的性质（积的算术平方根） 课型：新授课 学习目标：1、学习2a （a ≥0）的性质并能利用这一性质解决一些简单的问题 2、学习二次根式的性质：积的算术平方根等于积中每一个因式的算术平方 根的积。并能利用这一性质进行二次根式的化简。 一、自主探究：（阅读课本126—127页回答下列问题） 1、当a ≥0时二次根式2a 的值是什么？ 计算2)4(-= 2 )21(-= 2)44(-= 你能发现什么？ 2、思考2a 与（a ）2有怎样的相同点和不同点？ 3、积的算术平方根的性质：公式： 语言叙述为： 二、合作交流成果展示 1、交流上面的问题，教师点拨 2、例题：（当a ≥0时2a =a 的运用）： （1）已知=-2)4(a a —4成立， 则a 的范围为 （2）已知1≤x ≤3 化简2)1(-x +4-x 3、例题：（积的算术平方根的运用）： （1）已知式子)2)(1(--x x =21-?-x x 成立，则x 的范围为 （2）化简：①259? ②216a ③300 ④y x 2 三、利用规律巩固新知： 1、已知=-2)21 (a 2 1--a 成立， 则a 的范围为 2、已知2≤x ≤4 化简2)4(-x +2)2(x -的值 3、判断下列各式是否成立：
（1）94)9()4(-?-=-?- （2）5121322=- （3）b a b a +=+22 （4）323)2(2-=?- 4、化简下列式子： （1）188? （2）225253?? （3）2)4(9-x （4）428n m （5）2243+ （6）32a a + （7）)()(223b a b a -- 选做题：1、化简：325025m m += 2、将根号外的因式移入根号内 a a 1= 四、课堂小结，检测反馈 1、通过这节课的学习你的学习目标完成了吗？ 2、检测： （1）已知式子)2)(1(x x -+=x x -?+21成立，则x 的范围为 （2）化简下列各式： 4625? b a 316 3)2(8-x 221213- 选做题： 1、将根号外的因式移入根号内 a a 1-= 2、若x ≤0 化简y x 28= 五、课外自评：课本随堂练习2以及试一试 六、教后反思：
12.平方根(基础)知识讲解
平方根（基础） 【要点梳理】 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x 的平方等于a ，即2 x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a “a 的算术平方根”，a 叫做被开方数. 要点诠释： a ，a ≥0. 2.平方根的定义 如果2 x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0) 的平方根的符号表达为0)a ≥ a 的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同； （2 ）结果不同： 和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根； 负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另 一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 0||0 00 a a a a a a >?? ===??-
平方根知识讲解
平方根 【学习目标】 1. 了解平方根、算术平方根的含义； 2. 会表示、计算一个数的平方根、算术平方根. 【要点梳理】 【高清课堂：平方根、算术平方根知识要点】 知识点一、算术平方根的定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为，读作“根号a”.a叫做被开方数. 要点诠释：①算术平方根一定是正数. ②负数没有算术平方根. ③0的算术平方根是0. 知识点二、算术平方根的性质 特征：被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 知识点三、平方根的定义 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.这就是说，如果，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方. 要点诠释：①正数有两个平方根，它们互为相反数. ② 0的平方根是0. ③负数没有平方根 【典型例题】 类型一、算术平方根的概念 1、求下列各数的算术平方根 （1）100 （2）（3）0.25 2. 计算下列各式的值 （1）（2）（3） 3. 判断下列各式是否有意义？为什么？ （1）-（2）（3）（）（4） 练1、求下列各数的算术平方根 （1）0.01 （2）81 （3） 2.计算下列各式的值 （1）（2）（3）± 3.求下列x的取值范围，使得式子有意义.
（1）（2）（3） 类型二、算术平方根的比较大小 1、比较下列各组数的大小： （1）与（2）与8 类型三、平方根的概念 1、求下列各数的平方根． （1）100 （2）（3）0.25 (4) 2.判断下列说法是否正确 （1）0的平方根是0； （2）1的平方根是1； （3）-1的平方根是-1； （4）0.01是0.1的一个平方根. 练 1. 求下列各数的平方根． （1）49 （2）（3）0.04 (4) 2. 判断下列说法是否正确 （1）5是25的算术平方根； （2）是的一个平方根； （3）的平方根是-4； （4）0的平凡根与算术平方根都是0. 类型四、解方程 （1）；（2）；（3）．
商的算术平方根的性质
“商”的算术平方根的性质(一) 教学目的： 使学生通过学习“商”的算术平方根的性质，进一步加深对二次根式意义的理解，初步掌握“被开方数中含有分母的二次根式”的化简，提高运算能力，观察分析问题的能力，通过向学生渗透“转化”、“类比”等数学思想，培养学生发现知识、归纳推理的能力。 教学重点： 学习“被开方数中含分母（分母中不含字母）”的二次根式的化简 教学难点：化去根式内的分母 教改实验设想： 根据教学过程的“普遍性和特殊原理”，通过学生在课堂上有效学习实践活动设计，贯彻“主体参与，分层指导，及时反馈，激励评价”原则，创设学习情境，优化学习过程，提高学习效率，探索代数课教学中“公式、性质”课的素质教育型课堂教学模式。 教学过程：
板书安排： 课前准备： ⑴书写投影片； ⑵准备验收用纸。 注：本人将这个班的学生在数学学习方面分为A 组 (优秀生)，B 组 (一般学生) 和C 组 (学 习困难生，10人左右) 三组，以便分层指导。 *1 实际课堂上学生樊小光又提出了下列作法： 证明：根据：b a ab ?=， ∵ a b b a b b a =?=?， a b b a =?， ∴ b a b a = 。 *2 实际教学中，学生出的题： ①83， ②52， ③211， ④25a b ， ⑤2 22 222b ab a b ab a +-++。 三、对教学设计的评价 对本教学模式的教学设计拟从以下几个方面给予评价（满分100分）。 1、教学目标的确定（10%） 其中，知识0.4，能力0.4，德育0.2。 2、教学过程的设计（60%） （1）教学内容及重点、难点的确定（10%）；
平方根和开平方(基础)知识讲解
平方根和开平方(基础)知识 讲解 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
平方根和开平方（基础） 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.平方根的定义 =，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平如果2x a 方. a叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.算术平方根的定义 正数a的两个平方根可以用“表示a的正平方根（又叫算术平 方根），读作“根号a”；a的负平方根，读作“负根号a”. 要点诠释：a0，a≥0. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫 它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以 立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方 根来研究平方根. 要点三、平方根的性质
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平方根(提高)知识讲解
平方根（提高） 【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方 根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数x 的平方等于a ，即2 x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a a 的算术平方根”，a 叫做被开方数. 要点诠释： a 0，a ≥0. 2.平方根的定义 如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0) 的平方根的符号表达为0)a ≥， a 的算术平方根. 要点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2 ）结果不同： 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方 根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的 另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 要点三、平方根的性质 (0)||0 (0)(0) a a a a a a >??===??-
【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念 1、若2m －4与3m －1是同一个正数的两个平方根，求m 的值． 【思路点拨】由于同一个正数的两个平方根互为相反数，由此可以得到2m －4＝－（3m － 1），解方程即可求解． 【答案与解析】 解：依题意得 2m －4＝－（3m －1）， 解得m ＝1； ∴m 的值为1． 【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 举一反三： 【变式】已知2a －1与－a ＋2是m 的平方根，求m 的值. 【答案】2a －1与－a ＋2是m 的平方根，所以2a －1与－a ＋2相等或互为相反数. 解：①当2a －1＝－a ＋2时，a ＝1，所以m ＝()()22 212111a -=?-= ②当2a －1＋（－a ＋2）＝0时，a ＝－1， 所以m ＝()()22221[2(1)1]39a -=?--=-= 2、x 为何值时，下列各式有意义？ ； 【答案与解析】 解：(1)因为20x ≥，所以当x (2)由题意可知：40x -≥，所以4x ≥ (3)由题意可知：1010x x +≥?? -≥?解得：11x -≤≤．所以11x -≤≤有意义． (4)由题意可知：1030 x x -≥??-≠?，解得1x ≥且3x ≠． 所以当1x ≥且3x ≠ 【总结升华】(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不为0时，式子才有意义． 举一反三：