2017届湖北省松滋市第二中学高一下学期6月月考数学

松滋二中2014-2015学年度高一下学期6月月考

数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（10小题，每小题5分，共50分）

1．过点(2,-1)作圆

522=+y x 的切线，其方程是（ ） A.x-2y-4=0 B.2x-y-5=0 C.2x+y-3=0 D.2x-y-5=0或x-2y+4=0

2．若四个正数d c b a ,,,成等差数列，x 是a 和d 的等差中项，y 是b 和c 的等比中项，则x 和y 的大小关系是 A ．y x < B ．y x > C ．y x ≤

D ．y x ≥

3．设等差数列

{}n a 的前n 项和为n S ，已知13711,6a a a =-+=-，当n S 取得最小值是，n =

（ ）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8 4．已知等差数列

}{n a 的公差0d ≠，且1a d ≠，记前20项之和2010S M =，

则M =（ ）．

A ．

56

a a + B ．

210

2a a + C ．

102a d

+ D ．

210a d

+

5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积是

A ．61

B ．31

C ．21

D ．1

6．由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…组成的新数列a 1+a 4， a 2+a 5， a 3+a 6…是（ ） A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为2d 的等差数列 C ．公差为3d 的等差数列 D ．非等差数列

7．三直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10,2x －y ＝10相交于一点，则a 的值是( ) A ．－2 B ．－1

C ．0

D ．1 8．已知直三棱柱

111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若

34AB AC ==，AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为 （ ）

A ．317

2 B ．2

10

C ．13

2 D ．310

9．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且

1()n n n b a a n N *

+=-∈，若 3102,12b b =-=，则8a ＝

（ ）

A ．0

B ．3

C ．8

D ．11

10．已知三棱锥A BCD -中，2AB AC BD CD ====，2BC AD =，直线AD 与底面

BCD 所成角为3π

，则此时三棱锥外接球的体积为（ ）

A ．8π

B ．23π

C ．423π

D ．82

3π

二、填空题（5小题，每小题5分，共25分）

11．已知α为第二象限的角，3

sin ,tan 25αα==

则 。

12．等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝16，那么数列{a n }的前6项和S 6＝________． 13．若直线b a ⊥，且a //平面α，则直线b 与平面α的位置关系 . 14．（2010?上海模拟）一个四面体的所有棱长都是

，四个顶点在同一个球面上，则此球

的表面积为 ．

15．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点P 是它的体对角线BD 1上一动点，则|AP|+|PC|的最小值是_________

三、解答题（75分）

16．（本小题满分12分）已知数列

{}n d 满足n d n =，等比数列{}n a 为递增数列，且

()2*

51021,25,n n n a a a a a n N ++=+=∈.

（1）求

n a ；

（2）令

()11n

n n

c a =--，不等式

()

*20141100,k c k k N ≥≤≤∈的解集为M ，求所有

()

k k d a k M +∈的和.

17．（本小题满分14分）

如图，已知正三棱柱

111

ABC A B C -的底面边长是2，D 、E 是

1

CC 、BC 的中点，AE=DE

（1）求此正三棱柱的侧棱长； （2）求正三棱柱

111

ABC A B C -表面积.

18．（本题满分14分）

有三个生活小区,分别位于

,,

A B C 三点处，且207

AB AC

==，403

BC=. 今计划合

建一个变电站，为同时方便三个小区，准备建在BC的垂直平分线

上的P点处，建立坐标系如图，且

2

7 ABOπ∠≈

.

(Ⅰ) 若希望变电站P到三个小区的距离和最小，点P应位于何处？(Ⅱ) 若希望点P到三个小区的最远距离为最小，点P应位于何处？

19．（本小题满分10分）

在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且满足45o

A =，

3cos 5B =

．

（Ⅰ）求sin C 的值；

（Ⅱ）设5a =，求ABC △的面积．

20．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 中，)(3

,1*11N n a a a a n n

n ∈+=

=+

（Ⅰ）求2a ，

3

a ；

（Ⅱ）求证：??????+211n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a

；

（Ⅲ）数列

{}n b 满足

n n n n a n

b ??

-=2)13(，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式

12)1(-+

<-n n n n

T λ对一切*N n ∈恒成立，求λ的取值范围．

21．(本小题满分12分)已知点2(-P ，)3-，圆C ：

9)2()4(2

2=-+-y x ，过P 点作圆C 的两条切线，切点分别为A 、B ．

（Ⅰ）求过P 、A 、C 三点的圆的方程； （Ⅱ）求直线AB 的方程．

参考答案

1．B

【解析】若切线斜率不存在，此时直线方程为2x =，到圆心即原点的距离为2，不符合，所

以切线斜率存在，设过点(2,1)-切线方程为(2)1y k x =--，则有2

|21|

5

1k k

+=+，解得

2k =，所以切线方程为2(2)1y x =--，即250x y --=，故选B

2．D

【解析】

试题分析：依题意可知2x=a+d ，y=bc ，∵

2b c

bc +≤

，又因为四个正数d c b a ,,,成等差

数列，则可知a+d=b+c ，代入可知得到x ≥y ，故选D 考点：本题主要考查查了等比数列和等差数列的性质．考查了学生对等比数列和等差数列基础知识的掌握

点评：解决该试题的关键是先根据题意知2x=a+d ，y=

bc ，根据等差中项的性质可知

a+d=b+c ，根据基本不等式性质可知 2b c

bc +≤

进而求得答案．

3．B 【解析】

试题分析：设等差数列{}n a 的公差为d ，所以1286a d +=-，因为111a =-，故2d =，所

以

112(1)213n a n n =-+-=-，令0n a ≤，得16n ≤≤，所以当n S 取得最小值时6n =．

考点：等差数列通项公式和前n 项和. 4．C ． 【解析】

由数列为等差数列，可得

)

(102)

(2020120120a a a a S +=+=

，又2010S M =，所以

d a a a M 1921201+=+=，因为d a d a 1922110+=+，所以选C.

5．B

【解析】

试题分析：三视图还原的几何体是四棱锥，一条侧棱垂直底面，画出图形，根据三视图的数据，求出四棱锥的体积。

几何体底面是边长为1的正方形，高是1，其中一条棱与底面垂直的四棱锥，

则它的体积为V=13×1×1×2=31

．故答案为B.

考点：考查了三视图的运用

点评：根据三视图能还原几何体，然后结合几何体是四棱锥，分析清楚锥体的高，底面的图形特点，然后结合棱锥的体积公式得到求解，属于基础题。 6．B

【解析】由题意得，

)()(341++++-+n n n n a a a a

])12(2[])32(2[11d n a d n a ++-++=d 2=，则数列a 1+a 4， a 2+a 5， a 3+a 6

…是公差为2d

的等差数列。故选B 。

7．B

【解析】

考点：过两条直线交点的直线系方程；两条直线的交点坐标．

分析：先求4x+3y=10，2x-y=10的交点，代入直线ax+2y+8=0，即可得到a 的值．

解：解方程组 4x+3y=10， 2x-y=10，

得交点坐标为（4，-2）， 代入ax+2y+8=0，得a=-1． 故选B 8．C 【解析】

试题分析：由已知条件可知直三棱柱的上下底面是两个相等的小圆所在的平面，且BC 和

11

B C 分别是两小圆的直径，则BC=5，设球的半径为R ，则R

=

22221512(

)()()()2222AA BC +=+=13

2,故选C.

考点：1.勾股定理；2.球的内接三棱柱的性质.

9．B

【解析】本题考查等差数列的通项公式，前n 项和公式，转化和推理运算及分析问题处理问题的能力.

设等差数列

{}n b 的公差为,d 则

3110122912

b b d b b d =+=-??

=+=?，解得

16,2;

b d =-=所以

8877621176176

()()()37(6)2+3=3.2a a a a a a a a b b b ?=-+-+???+-+=++???++=?-+

?

故选B 10．D 【解析】

试题分析：取BC 的中点O ，则AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，AO=DO ，

∵直线AD 与底面BCD 所成角为3π

，∴AO=DO=AD ，∵BC=2AD ，

∴AO=BO=CO=DO ，即O 为三棱锥外接球的球心， ∵AB=AC=BD=CD=2，∴AO=2

∴三棱锥外接球的体积为π

π328)2(343=?，

故选：D ．

考点：球的体积和表面积．

11．247-

【解析】 12．63

【解析】63

21

562128,2,222,63

12n n n a q q a S a ---==∴=∴=?=∴==- ．

13．平行，相交或在面内

【解析】

试题分析：因为直线b a ⊥，所以a 与b 相交或异面，又因为a //平面α，所以当a 与b 相交时，直线b 与平面α平行或相交；a 与b 异面时b 与平面α平行，相交或在面内.

考点：直线与平面的位置关系及分类讨论的思想. 14．3π 【解析】

试题分析：把四面体补成正方体，两者的外接球是同一个，求出正方体的棱长，然后求出正方体的对角线长，就是球的直径，即可求出球的体积．

解：如图，将四面体补成正方体，则正方体的棱长是1，正方体的对角线长为：

，

则此球的表面积为：4π×=3π

故答案为3π．

点评：本题是基础题，考查空间想象能力，正四面体的外接球转化为正方体外接球，使得问题的难度得到降低，问题得到解决，注意正方体的对角线就是球的直径，也是比较重要的．

15．263.

【解析】将平面BCD 1与平面ABD 1沿着BD 1展平到一个平面.然后连接AC 与BD 1的交点就是要求的点P 的位置.此时|AP|+|PC|的最小值就是展开后的线段AC 的长度，所以所求的值为

1226

233

AC ?=?

=

.

16．（1）2n

n a =;（2）10125377

3+

【解析】

试题分析：（1）由2

510a a =可得首相和公比间的关系式，()2125n n n a a a +++=根据等比数列的通项公式可转化为2

2(1)5q q +=，解得q .从而可得n a .（2）1(1)1(2)n n n n c a =--=--,

解

()

*20141100,k c k k N ≥≤≤∈时注意讨论k 的奇偶.当k 为偶数时22013k

≤-无解,当k

为奇数时22013k

≥,此时k 的最小值为11,即集合M 中的元素为从11到100中的奇数.即

21,549k m m =+≤≤,再用分组求和法求()k k d a k M +∈得值.

试题解析：（1）设{}n a 的首项为1a ，公比为q ，所以429

11()a q a q =，解得1a q = 2分 又因为212()5n n n a a a +++=，所以

2

2()5n n n a a q a q += 则22(1)5q q +=，2

2520q q -+=，解得

1

2q =

（舍）或2q = 4分

所以

1222n n

n a -=?= 6分

（2）则

1(1)1(2)n n n n c a =--=--,

n d n

=

当n 为偶数，122014n n c =-≥，即22013n ≤-，不成立 当n 为奇数，1+22014n n c =≥，即22013n ≥，

因为10

112=10242=2048，

，所以21,549n m m =+≤≤ 9分 则

{}

k d 组成首项为11，公差为2的等差数列;

{}()

k a k M ∈组成首项为11

2，公比为4的等比

数列则所有

()

k k d a k M +∈的和为

114510110145(11+99)2(14)2204825377247521433--++=+=- 12分

考点：1等比数列的通项公式;2等差数列,等比数列的前n 项和公式. 17．（1）

（2）

【解析】（1）设正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长为x . 取BC 中点E ，连结AE . ∵△ABC 是正三角形，∴BC AE ⊥．…………………………………………………… 2分 又底面⊥ABC 侧面C C BB 11,且交线为BC , ∴⊥AE 侧面C C BB 11. 连结ED ，

在AED Rt ?中，由AE=DE ，得2

13

4x +=， ……………… 4分

解得22=x ……………………………………… 6分 （2）

S=S S +侧底

…………………………………8分

2

S 322212 2 3S 22234

=??==?

?=侧底…………………12分

∴

S=S S 12223

+=+侧底. …………………………………………………14分

18．(Ⅰ) 点P 为OA 的中点 (Ⅱ) 5b =

【解析】：在Rt AOB ?中,207,0203AB B ==,则22||(207)(203)40OA =-= (1)

分

（Ⅰ）方法一、设PBO α∠=(2

07απ

≤≤),点P 到,,A B C 的距离之和为 2032sin 240203tan 40203cos cos y α

ααα-=?

+-=+? …5分

22sin 1203cos y αα-'=?

,令0y '=即1sin 2α=,又207απ≤≤,从而6π

α=

当

06πα≤<

时,0y '<;当26

7π

π

α<≤

时, 0y '>.

∴当

6πα=

时,2sin 40203cos y α

α-=+?取得最小值

此时

3

203tan

203206

3OP π

==?

=,即点P 为OA 的中点. ……8分

方法二、设点(0,)(040)P b b ≤≤,则P 到,,A B C 的距离之和为

2

()4021200(040)f b b b b =-++≤≤,求导得

2

2()1

1200

b f b b '=

-+ ……5分

由()0f b '=即2

21200b b =+,解得20b =

当020b ≤<时,()0f b '<;当2040b <≤时, ()0f b '>

∴当20b =时,()f b 取得最小值,此时点P 为OA 的中点. ……8分

（Ⅱ）设点(0,)(040)P b b ≤≤,则||40PA b =-,

2

||||1200PB PC b ==+ 点P 到,,A B C 三点的最远距离为()g b

①若||||PA PB ≥即2

40120005b b b -≥+?≤≤,则()40g b b =-;

②若||||PA PB <即2

401200540b b b -<+?<≤,则2()1200g b b =+;

∴

2

40(05)

()1200(540)b b g b b b -≤≤??=?+<≤?? ……11分

当05b ≤≤时,()40g b b =-在[0,5]上是减函数,∴

min ()(5)35

g b g ==

当540b <≤时,2

()1200g b b =+在(5,40]上是增函数,∴()(5)35g b g >=

∴当5b =时,

min ()35

g b =,这时点P 在OA 上距O 点5km .…14分

19．（Ⅰ）

2272

sin sin()sin(45)cos sin 2210o C A B B B B =+=+=

+=

（Ⅱ）

114

sin 5714225ABC S ac B ?=

=???=.

【解析】

试题分析：（1）由同角公式得到角B 的正弦值和余弦值，然后结合内角和定理，运用A,B 角来求解C ；运用两角和差的三角公式得到。

（2）由a 及cosA 的值，利用正弦定理列出关系式得到b ，利用三角形的面积公式即可求出三

角形ABC 面积的最大值．

解: （Ⅰ）∵

3cos ,5B = ∴4

sin 5B =

∴

2272

sin sin()sin(45)cos sin 2210o C A B B B B =+=+=

+=

(或：

2272sin sin(135)cos sin 2210o C B B B =-=

+=)

（Ⅱ）法一：由正弦定理得，

4

5sin 542sin 22a B

b A

?

=

==，

∴

1172

sin 542142210ABC S ab C ?=

=???=

法二：由正弦定理得，

725sin 107sin 22a C

c A

?

=

==，

∴

114

sin 5714225ABC S ac B ?=

=???=.

考点：本试题主要考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的运用，以及两

角和与差的正弦函数公式。

点评：解决该试题的关键是掌握定理及公式

20．（Ⅰ） 131,4132==

a a （Ⅱ）132

-=n n a （Ⅲ）23λ-<<

【解析】

试题分析：（Ⅱ）证明??

????+211n a 为等比数列，即证明11111

,22n

n a a +++之间的比值是常数，

因此需将已知数列递推公式

13n

n n a a a +=

+变形为需要的形式，

求{}n a 通项公式需要借助于等

比数列??????+211n a 的通项解决（Ⅲ）中整理{}n b 通项后

12-=n n n b ，根据特点采用错位相减法求其和，此种方法要求学生一定的计算能力，而后将恒成立问题转化为求最值来求解

试题解析：（1）

131

,4132==

a a 2分

（2）由

31+=

+n n n a a a 得n n n n a a a a 3

1311+

=+=+

即

)211(3211

1

+=+

+n n a a

又232111

=+a , 所以??????+211n a 是以23为首项,3为公比的等比数列． 所以

233232111n n n a =?=+- ,即132-=n n a 6分 （3）

12-=

n n n b

1221021

21)1(213212211--?+?-++?+?+?

=n n n n n T

=

2n

T n n n n 2121)1(212211121?+?-++?+?-

两式相减得n

n n n n n T 22

221212121212

1210+-=?-++++=- 122

4-+-

=n n n T 9分

1224)1(--

<-∴n n λ

若n 为偶数,则

3

2241

<∴-

<-λλn

若n 为奇数,则

2

22

241

->∴<-∴-

<--λλλn

32<<-∴λ 12分

考点：1．数列构造法求通项；2．错位相减求和

21．（Ⅰ）()461

2112

2

=

??? ??++-y x ；（Ⅱ）02556=-+y x

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题意判断出四点共圆，进而求出圆心和半径，从而求出圆的方程；

BC PB AC PA ⊥⊥, ，因此C B A P ,,,四点共圆，所以所求圆的圆心O '在PC 的中点，即

??? ??-'21,1O 所求圆的半径

()461321322

=??? ??+-+='r ，()4612112

2=

??? ??++-y x （Ⅱ）判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的关系，一般不采用代数

法；由于B A ,两点在圆C ：

9)2()4(2

2=-+-y x 和圆C '()4612112

2

=??? ??++-y x ，因此两圆方程相减即得02556=-+y x

试题解析：（Ⅰ）圆C 的圆心()2,4C ，BC PB AC PA ⊥⊥, ，因此C B A P ,,,四点共圆，

所以所求圆的圆心O '在PC 的中点，即

?

??

??-'21,1O 所求圆的半径()46132132

2

=

??

?

??+-+='r ∴过B A P ,,三点的圆

()4612112

2

=

??? ??++-y x （Ⅱ）由于B A ,两点在圆C ：

9)2()4(2

2=-+-y x 和圆C '()4612112

2

=??? ??

++-y x ， 因此两圆方程相减即得02556=-+y x 考点：圆方程，两圆的位置关系，两圆公共弦