马克思劳动价值论的数学原理

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马克思劳动价值论的数学原理

冯金华

内容摘要 根据马克思的劳动价值理论，明确提出了价值函数的基本假定和基本公式；在此基础上，通过引入短期和长期生产函数，推导出相应的短期和长期价值函数；并借助短期和长期价值函数，具体分析了商品价值量在短期和长期中的变化规律，特别是详细讨论了劳动变化、资本变化、劳动和资本同时变化、劳动和资本同时和同比例变化以及生产函数变化对价值量的影响。

关键词 马克思 劳动价值论 短期价值函数 长期价值函数

一、价值函数的基本假定和基本公式

设某一行业在生产过程中使用的必要劳动（简称“劳动”）为L ，生产资料（简称“资本”）为K ，生产的产量为Q 。这里，“资本”一词指的是“物质资本”，包括原材料和生产工具（如机器、设备和厂房等等）。它在物质形态上相当于马克思所说的“不变资本”。由于生产过程中的消耗，生产资料的价值或部分价值会转移到产品中去。一般来说，原材料是完全消耗掉的，其价值会全部转移；生产工具则只是部分地消耗掉，其价值只是部分地转移。转移价值的数量通常随产量的增加而增加。为简单起见，假定它们成正比。① 于是，该行业所生产的全部产品的价值总量（用Z 表示②）可以写为：

cQ L Z += )0(>c (1) 其中，L 代表生产过程中新创造的价值部分，cQ 代表从所消耗的生产资料中转移过来的价值部分。(1)式可以看成是马克思劳动价值理论的基本假定。根据该假定，一个行业所生产的全部商品的价值总量等于该行业使用的必要劳动量加上消耗掉的生产资料价值。

如果在(1)式的等号两边同时除以该行业的商品总量，则可以得到表示单位商品价值（简称“价值”，用z 表示）的公式：

c Q

L Q cQ L Q Z z +=+== (2) (2)式的价值函数可以看成是马克思劳动价值理论关于价值决定的基本公式。它表示：每一商品中包含的价值量也由两个部分组成，即平均的新价值量Q L /和平均的转移价值量)/( Q cQ c =。

进一步来看，由于在(2)式中，c 为常数，故它的存在和大小只影响价值函数的位置高低，而不会影响价值函数的形状（如倾斜方向和凹凸方向等），从而不会影响基本的

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分析结果。实际上，即使c 不是常数，而是Q 或L 的函数，它也不会影响商品中新创造的价值部分。因此，当我们着重分析价值与劳动之间的关系时，可以对它略而不论。正如马克思所说：“如果仅仅就价值创造和价值变化本身进行考察，也就是说，进行纯粹的考察，那末生产资料，这些不变资本的物质形态，就只是提供一种物质，使流动的、形成价值的力得以固定在上面。”[1](241)“可见，要对这个过程进行纯粹的分析，必须把产品价值中只是不变资本价值的再现的那一部分完全抽去，就是说，必须使不变资本0=c 。”[1](240) 这样，(2)式就可以简化为：[2]

Q L z = (3) 下面以简化的价值决定基本公式(3)为基础，通过引入短期和长期的生产函数，推导短期和长期价值函数，并由此讨论商品价值量在短期和长期中的变化规律。

二、短期价值函数及变化规律

假定在短期中，除了劳动要素可变之外，所有其他的投入要素均保持不变。在这种情况下，短期生产函数可以写为如下的“一元”形式：

)(L Q Q = (4) 将其代入简化的价值决定基本公式(3)，即得相应的短期价值函数：

)

(L Q L z = (5) 在短期中，价值量随劳动量的变化而变化的具体情况取决于短期生产函数的性质。典型的短期生产函数具有如图1所示的形状：它从原点开始；先递增上升——当00L L <≤时。这是“边际报酬递增”的第一阶段；然后递减上升——当20L L L <≤时（2L 是使短期生产函数的一阶导数等于0的点）。这是“边际报酬递减”（但仍然大于0）的第二阶段；最后下降——当2L L ≥时。这是被称为“非经济区域”的第三阶段。

根据图1中的短期生产函数的特点，容易确定相应的短期价值函数的性质。参见图

2。首先来看短期价值函数的“左端点”（与纵轴的交点）。由于当0→L 时，0)(→L Q ，故短期价值函数在0=L 时是00型的“不定式”。由洛比达法则可知： 0)

0(1)(lim )0(0>'==→Q L Q L z L )0)0((>'Q 这里，我们假定0)0(>'Q ，即在“原点”处，短期生产函数是“上升”的。于是，短期价值函数在左端点处的值为)0(/1)0(Q z '=。

从左端点开始，短期价值函数的变化规律是先下降后上升。为了说明这一点，我们来看价值z 对劳动L 的一阶导数：

??? ??-=?-=dL dQ L Q Q L Q dL dQ L Q dL dz 22/ (6)

这里，L Q /为平均产出，dL dQ /为边际产出。 由(6)式显而易见，dL dz /的符号从而z 随L 的变化而变化的方向完全取决于平均产

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出L Q /和边际产出dL dQ /的相对大小：当平均产出小于、等于和大于边际产出时，价值随劳动的增加而下降、不变和上升。

图1

短期生产函数

图2

短期价值函数

从几何上看，在生产函数曲线上的任意一点处，平均产出等于该点到原点的“连线”的斜率，边际产出等于该点的“切线”的斜率。在图1中显而易见，当1L L <时，平均产出总小于边际产出，故z 是下降的；当1L L >时，平均产出总大于边际产出，故z 是上升的；最后，当1L L =时，平均产出恰好等于边际产出。于是，z 达到最小值。由此可见，当短期生产函数如图1所示时，随着劳动的增加，价值将先下降然后上升。换句话说，短期价值函数)(L z z =是一条U 型曲线。

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以上是用平均产出和边际产出的相对大小来说明短期价值函数的变化规律。进一步来看，由平均产出等于边际产出，即dL dQ L Q //=，可以解得Q Q L '=/。设满足该式的劳动量为1L ，则1L 为短期价值函数的临界点（即是使短期价值函数的一阶导数等于0的点）。容易看出，在1L 处，短期价值函数取得极小值——这是因为，当Q Q L '=/时，有0>'Q 和0<''Q ，从而

02232

22>'''-='+'-''-=Q Q Q Q Q L Q Q Q LQ dL z d 这样，在短期中，价值随劳动的变化而变化的规律又可以表述为：当L 小于、等于和大于Q Q '/时，价值随劳动的增加而下降、不变和增加。

将临界点Q Q L '=/代入短期价值函数(5)可求得极小值（用1z 表示）为：

)

(1)()(/)()(1111111L Q L Q L Q L Q L Q L z '='== 这里，)(1L Q '是生产函数)(L Q 在短期价值函数)(L z 的临界点1L 处的一阶导数值。

至于短期生产函数第二阶段和第三阶段的分界点（或经济区域和非经济区域的分界点），反映在短期价值函数中并没有什么特殊的地方。例如，当2L L =时，由于0)(='L Q ，故有

012>='-=Q Q Q L Q dL dz 由此可知，当L 等于（以及大于）2L 时，短期价值函数是继续上升的。将上式代入短期价值函数(5)后得

dL

dz L z ?

= 这就是短期价值函数在生产函数临界点2L 处的值。该值也可以按照短期价值函数的公式(5)表示为)(/22L Q L z =。其中，)(2L Q 是Q 的极大值。

上述短期中价值随劳动变化而变化的规律可以总结如下：

在短期价值函数)(L z z =的左边界处，即当0→L 时，)0(/1Q z '→；从左边界开始，随着L 的增加，z 先是趋于下降，当L 增加到Q Q L '=/1时，z 下降到极小值)(/11L Q '，然后，再随着L 的增加而上升；特别是，当L 增加到等于和大于2L （即使生产函数达到极大的临界点）之后，短期价值函数仍然继续上升。总而言之，短期价值函数是一条从某个大于0的值开始、先下降然后上升的U 型曲线。

现在来看劳动生产力的变化对商品价值量的影响。为明确包括劳动生产力变化或技术进步的影响，我们把生产函数(4)改写为如下形式： )(L Af Q =

这里，)0( >A 是一个反映技术进步的参数。如果在某一时期内，A 增加了，则表示在该时期内，劳动生产力有了提高。

相应的，短期价值函数(5)可以写为：

)

(L Af L z =

5

于是有：

0)(2<-=L f A L dA dz 它表示：在短期中，随着劳动生产力的提高，商品的价值量将趋于下降。

三、长期价值函数及变化规律

长期生产函数总是“多元”的——尽管多元的生产函数并不一定代表长期。最简单的多元生产函数当然是形如

),(K L Q Q = (7)

的二元生产函数。③ 与过去一样，这里的L 代表劳动，K 代表资本。也可以把K 看成不同于劳动的其他任何一种投入要素。为了保证该生产函数在经济上有意义，不仅需要假定劳动的边际产出大于0，而且还要假定资本的边际产出也大于0。用符号表示就是：0/>??L Q 、0/>??K Q 。换句话说，在劳动和资本的边际产出中，只要有一个小于0，生产就处于非经济区域。为明确起见，下面的讨论都局限在经济区域之内。

将(7)式的长期生产函数代入简化的价值决定基本公式(3)，即得到相应的长期价值函数：

)

,(K L Q L z = (8) 根据长期价值函数，可以讨论劳动变化、资本变化、劳动和资本同时变化、劳动和资本同时和同比例变化以及长期生产函数变化等对价值量的影响。

1. 劳动变化对商品价值量的影响

首先来看长期中价值与劳动的关系。为此，我们来求z 对L 的偏导数：

??? ????-=???-=??L Q L Q Q L Q L Q L Q L z 22/ 除了生产函数是长期（从而多元）的以及使用的是偏导数的符号之外，上式与短期中的相应公式(6)完全一致。因此，和短期一样，在长期中，z 随L 变化而变化的情况也取决于劳动的平均产出和边际产出的相对大小。由于在假定其他条件不变时，随着劳动的增加，劳动的平均产出总是先小于、后大于相应的边际产出，故随着劳动的增加，商品的价值总是先下降、后上升。

2. 资本变化对商品价值量的影响

在长期价值函数中，资本变化对商品价值量的影响取决于z 对K 的偏导数：

2/Q K Q L K z ???-=?? 由于在经济区域内K Q ??/总大于0，故K z ??/总小于0。这意味着，假定其他条件不变，

当资本的边际产出大于0、从而生产处于经济区域内时，商品的价值总是随资本的增加

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而下降。换句话说，价值的变化方向与“资本的有机构成”正好相反。

进一步来看，和劳动的边际产出一样，对于一个典型的长期生产函数来说，资本的边际产出也具有“先上升、后下降”的特点。在这种情况下，z 随K 变化而变化的规律可以更加具体地表示为：假定其他条件不变，商品的价值量随资本的增加先递增下降、然后递减下降。

3. 劳动和资本的同时变化对商品价值量的影响

根据前面的分析知道：在假定资本不变而单独考察劳动变化的影响时，长期价值函数是先下降后上升——在劳动的平均产出小于边际产出时下降、在劳动的平均产出大于边际产出时上升；另一方面，在假定劳动不变而单独考察资本变化的影响时，长期价值函数则始终下降。因此，如果在让劳动变化的同时让资本也变化，并在此基础上考察价值的变化，则可以得到如下的结论：劳动和资本的同时增加在劳动的平均产出小于边际产出时会进一步加强长期价值函数原有的下降趋势，在劳动的平均产出等于边际产出时则使原来保持不变的长期价值函数转而下降，在劳动的平均产出大于边际产出时将减弱或抵消长期价值函数原有的上升趋势。

上述结果可以借助“全微分”的概念进行更加严格的讨论。长期价值函数(8)的全微

分为： dK Q K Q L dL Q L Q L Q dK K z dL L z dz 22// ???-+???-=??+??= ????????-???? ????-=dK K Q dL L Q L Q Q L 2 这里，dz 表示由于L 和K 同时变化而引起的z 的变化；第一及第二个等号右边的两项分别是劳动变化dL 和资本变化dK 对z 的影响；dz 的符号（亦即z 的变化方向）则可通过比较最后一个等号右边括号中的两项的符号和相对大小来判断：当L Q L Q ??//时，由于dL 和dK 对z 的影响正好相反——前者为正、后者为负——故此时长期价值函数的变化方向取决于两种影响的绝对大小：当劳动增加的影响大于资本增加的影响时，长期价值函数上升，否则下降。

4. 规模变化对商品价值量的影响

在劳动和资本的同时变化中，有一种特殊情况尤其值得讨论。这就是劳动和资本的同时和同比例变化，或者说，“规模”变化。在生产规模发生变化的情况下，商品的价值会如何变化呢？如果生产函数是所谓“齐次”的，可以得到明确的结果。

设长期生产函数是“r 次齐次”的，即满足

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),(),(K L Q t tK tL Q r =

r 的大小决定了规模报酬的性质。r 大于、等于和小于1分别表示规模报酬递增、不变和递减。

当长期生产函数具有上述性质时，相应的长期价值函数可以写为：

),(),(1K L Q L t tK tL z r ?=- 由此可见，如果长期生产函数的规模报酬是递增的，即1>r ，则长期价值函数随生产规

模的扩大而下降，反之，如果长期生产函数的规模报酬是递减的，即1

典型的长期生产函数在规模报酬方面通常是“先递增、再不变、最后递减”。因此，典型的长期价值函数的特点应当是：它随生产规模的扩大先下降，再不变，最后上升。换句话说，基于典型长期生产函数推导出来的长期价值函数是一条U 型曲线。

5. 生产函数变化对商品价值量的影响

如前所说，在短期的一元生产函数场合，随着生产函数的增加，或者，劳动生产力的提高，商品的价值量将下降。这个“反方向变化”的性质在长期的多元生产函数场合同样存在。为了说明这一点，我们把长期生产函数(7)改写为：

),(K L Af Q =

和以前一样，这里的)0( >A 是表示技术进步的指标。相应的，长期价值函数(8)可写为：

()K L Af L z ,= 于是有：

0),(2<-=??K L f A L A z 这样，我们可以更加正式地把长期价值函数与生产函数之间的“反方向变化”的关系表述为：

如果假定长期生产函数上升——即当劳动和资本的数量均不变时，产品数量由于技术水平的提高而增加——则单位商品的价值量将下降。

注释：

① 考虑非线性的转移价值会使讨论变得更加复杂，但不会改变本文的基本结论。

②

代表价值（value ）的最“自然”的符号当然是“v ”。但是，从马克思的《资本论》开始，在马克思主义的政治经济学文献中，v 总是被用来表示“可变资本”。为了避免混淆，本文用Z 代表总的价值量，用z 代表单位商品的价值量。

③ 讨论二元生产函数所得的结论可以直接推广到更多元的情况中去。

主要参考文献：

[1] 马克思.资本论（第一卷）[M].北京：人民出版社，1975.

[2] 李仁君.马克思价值决定的基本命题分析[J].海南大学学报，2001（3）.

The Mathematical Principles of Marx’s Theory of Labor Value

Abstract：The paper advances basic formula about Marx’s theory of labor value, derives short-run and long-run value functions on the basis of short-run and long-run production functions, and discusses how value changes in the short run and long run, particularly the influence on values of changes in labor, capital, and production function.

Key Words：Marx；labor value theory；short-run value function；long-run value function

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