大学高等代数二次型试题
第五章 二次型 §1 二次型及其矩阵表示
一、二次型及其矩阵表示
设P 是一个数域,一个系数在P 中的n x x ,,1 的二次齐次多项式
22212111
121211222
22(,,,)222n n n n n nn n
f x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++++++++ (1)
称为数域P 上的一个n 元二次型,简称二次型.
令,ij ji
a a i j
=<由于i
j
j i
x x
x x =,所以二次型(1)可写成
2212111
1212112121222222
112211
(,,,)n n n n n
n
n
n n n n nn n ij
i j
i j f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a
x x ===++++++++++++=
∑∑
其系数排成一个n n ?矩阵
11121212221
2
n n
n n nn a a a a a a A a a a ??
? ?=
?
???
(2) 它称为二次型的矩阵.因为,,1,2,,ij
ji a a i j n
== ,所以A
A =
',这样的矩
阵是对称矩阵,因此,二次型的矩阵都是对称的.令
()()11121111112212122222112222121211
1
21122,,,,,,n n n n
n
n n n
n n
ij i
j
i j n n nn n n n nn n a a a x a x a x a x a a a x a x a x a x X AX x x x x x x a
x x a a a x a x a x a x ==+++?????? ? ? ?+++ ? ? ?'===
? ?
? ? ? ?+++??????
∑∑
或AX
X x x x f n '=
),,,(21 . (3)
例1写出2
1231121323(,,)5226f x x x x x x x x x x =++-的矩阵及矩阵形式.
注意二次型(1)的矩阵A 的元素,当j i ≠时ji
ij
a a =正是它的j i x x 项
的系数的一半,而ii a 是2
i x 项的系数,因此二次型和它的矩阵是相互唯
一决定的.由此可得,
若二次型12(,,,)n f x x x X AX X BX
''=
= ,且B B A A ='=',,则B A =.
定义1设n n y y x x ,,;,,11 是两组文字,系数在P 中关系式
??
?
??
?
?+++=+++=+++=n nn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111,,
(4)
称为由n x x ,,1 到n y y ,,1 的一个线性替换,或简称线性替换.如果系 数行列式0≠ij
c
,那么线性替换(4)就称为非退化的.线性替换把二次型
变成二次型.令
??????? ??=???????
??=n nn n n n n y y y Y c c c c c c c c c C
212
1
2222111211,,于是线性替换(2)可以写成??
????
?
?????????
??=??????? ??n nn n n n n n y y y c c c c c c c c c x x x 212
1222
21112
1121 或者CY X =.
经过一个非退化的线性替换,二次型变成二次型,替换后的二次型与原二次型之间有什么关系?下面就来讨论.
二、矩阵的合同关系
设A A AX X x x x f n '='=,),,,(21 是一个二次型,作非退化线性替换CY
X =
得到一个n y y y ,,,21 的二次型BY Y ',因
12(,,,)()()().n f x x x X AX CY A CY Y C ACY Y C AC Y Y BY '''''''=====
容易看出矩阵AC C '也是对称的,由此即得AC C B '=.这是前后两个二
次型的矩阵间的关系。
定义2 数域P 上两个n 阶矩阵A,B 称为合同的,如果有数域P 上可逆的n n ?矩阵C ,使得AC C B '=.
因此,经过非退化的线性替换,新二次型的矩阵与原二次型的矩 阵是合同的.合同是矩阵之间的一个关系,具有以下性质:
1) 自反性:任意矩阵A 都与自身合同.
2) 对称性:如果B 与A 合同,那么A 与B 合同.
3) 传递性:如果B 与A 合同,C 与B 合同,那么C 与A 合同. 特别指出,在变换二次型时,总是要求所作的线性替换是非退化的从几何上看,这一点是自然的,因为坐标变换一定是非退化的(为什么？).一般地,当线性替换Y=CX 是非退化时,可得X C Y 1
-=,它也是一个非退化线性替换,它把所得的二次型还原.这样就可从所得二次型的性质推知原二次型的一些性质.
作业:P232:1写出二次型(1)-(4)的矩阵.
§2 标准形
一、二次型的标准型及配方法
二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型
2
2
222
11n
n x d x d x d +++ . （1）
定理1 数域P 上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成 平方和(1)的形式.
证明对n 进行归纳证明.n=1时,2
1111
()f x a x =是(1)的形式,假定n-1
元的二次型定理成立.
对n 的情形,设1
2
1
1(,,,)n
n
n ij
i j
i j f x x
x a
x x ===
∑∑ ,分三种情形讨论.
(1)
(1,2.,)ii a i n = 中至少一个不为零.不妨110
a ≠,这时
2
12111112
22
(,,,)2n
n
n
n j j ij i j
j i j f x x x a x a x x a x x ====+
+
∑
∑∑
=
2
111112
22
2n
n
n
j j ij
i j
j i j a x x a x a
x x ===++
∑∑∑
=12
12
11111111
12222
()()n
n
n
n
j
j j j ij
i j
j j i j a x a a x a a x a
x x --====+-+∑∑∑
∑
=
1
2
111111222
()n
n
n
j j ij
i j
j i j a x a a x b
x x -===++∑∑
∑，
其中1
2
111222
22
()n
n
n
n
n
ij i j j j ij
i j
i j j i j b x x a a x a
x x -======-+∑∑
∑∑
∑是2,,n x x 的二次型.
令
111
1112
22,,.
n
j j j n n y x a a x y x y x -=?=+???
=???=??∑ ,即?????
????==-=∑=-.
,,222
111111
n n n
j j j y x y x y a a y x ,这是一个非退化的线性替换,它使
12(,,,)n f x x x = 2111
22
n n
ij
i j
i j a y b
y y ==+
∑∑.由归纳假设,有非退化的线性替换
22222332332233332233n n n n n
n n nn n z c y c y c y z c y c y c y z c y c y c y
=+++??
=+++??
?
?=+++? 使222
223322
n n
ij i j n n
i j b y y d z d z d z ===+++∑∑ ,于是非退化的
线性替换11222223322233,n n n
n n nn n z y z c y c y c y z c y c y c y
=?
?
=+++??
??=+++? 使12(,,,)n f x x x =
2
11122
n n
ij
i j
i j a y b
y y ==+∑
∑=
2222
1112233n n a z d z d z d z ++++ .这时定理成立.
(2)0,(1,2.,)ii
a
i n == ,且至少有一个10,(2)j a j ≠>,不妨设120a ≠.令
11221233,,,,n n x z z x z z x z x z =+=-== ,它是一个非退化的线性替换,在它之下
2
2121212121212121122
(,,,)22()()22n f x x x a x x a z z z z a z a z =+=+-+=-+
，
上式是关于1,,n z z 的二次型,属于(1)的情形,此时定理成立.
(3)10,(1,2.,),0(2)ii
j a
i n a j ===> ,此时1222
(,,,)n
n
n ij
i j
i j f x x x a
x x ===
∑∑ 是n-1
元的二次型,由归纳假设定理成立.
二次型),,,(21n x x x f 经非退化线性替换所变成的平方和称为),,,(2
1
n
x x x f
的标准形.
例2 化二次型323121321622),,(x x x x x x x x x f -+=成标准形. 二、化对称矩阵为对角矩阵
由
()11222221122120000,,,0
n n n n n d x d x d x d x d x x x x d x ???? ? ? ? ?+++= ? ? ? ?????
知,二次型(1)的矩阵是对角
矩阵.反过来,矩阵为对角形的二次型也是(1)的形式.按上一节的讨论，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言,定理1可以叙述为：
定理2 在数域P 上,任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 即对于任意一个对称矩阵A 都可以找到一个可逆矩阵C 使AC C '成对 对角形矩阵.
1.,011
≠a 这时的变量替换为
?????
????==-=∑=-.
,,
222
11
1111n n n
j j j y x y x y a a y x 令
????
??
?
?
?--=--10
00101
11
1112
1
111
n a a a a C ,
则上述变量替换相应于合同变换11AC C A '
→,为计算11AC C ',可令
()
????
? ??==nn n n n a a a a A a a
2
222
1112,,,α.
于是A 和1
C 可写成分块矩阵
????
?
?-=???? ?
?'
=--11
111111
1,n E O a C A a A ααα,这里α'为α的转置,1
-n E
为n-1级单位矩阵.这样
1
1
11
11
11
1111111
1
1111111111111111.n n n O a a a O
a a C AC a E A O
A a O
A a O E O
E αα
ααααααα--------????--????????'
=== ? ? ? ? ? ?''''---??????
??????
矩阵
α
α'--1
111a A 是一个)1()1(-?-n n 对称矩阵,由归纳法假定,有)1()1(-?-n n
可逆矩阵G 使D G a A
G ='-'-)(1
11
1
αα为对角形,令???
? ??=G O O C 12
,于是
???
?
??=???? ?????? ??'-???? ??'='
'-D O
O a G O O a A O
O
a G O O C AC C C 11
111111211211αα, 这是一个对角矩阵,我们所要的可逆矩阵就是212C C C C '
=.
2. 011
=a 但只有一个0≠ii
a .这时,只要把A 的第一行与第i 行互换，再把
第一列与第i 列互换，就归结成上面的情形,根据初等矩阵与初等变换的关系,取
1
000100
01000
01000(1,)1000
00000
01
000000
1C P i i i ?? ?
? ? ?
?==
?
?
?
? ? ??
?
行列
显然),1(),1(i P i P ='.矩阵),1(),1(11i AP i P AC C ='
就是把
A 的第一行与第
i 行互换,再把第一列与第i 列互换.因此,11
AC C
'
左上角第一个元素就是
ii
a ,这样就归结到第一种情形. 3.
,,,2,1,0n i a ii ==但有一.1,01≠≠j a j
与上一情形类似,作合同变换),2(),2(j AP j P '可以把j a 1搬到第一行
第二列的位置，这样就变成了配方法中的第二种情形.与那里的变量替换相对应，取???????
?
??-=10000
10000110011
1
C
,于是1
1
AC C
'
的左上角就是
???
? ?
?-1212200
2a a ,
也就归结到第一种情形.
4.
.
,,2,1,01n j a j ==由对称性,
.
,,2,1,1
n j a
j =也全为零.于是
???
? ?
?=10
A O
O A ,1A 是1-n 级对称矩阵.由归纳法假定,有)1()1(-?-n n 可逆矩阵G
使D G A G ='1成对角形.取???
?
?
?=G O O C 1
,AC C '
就成对角形.
作业:P232:1(I)(1)-(3).
§3 唯一性
经过非退化线性替换,二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵.由第四章§4定理4,合同的矩阵有相同的秩,这就是说,经过非退化线性替 换后,二次型矩阵的秩是不变的.
标准形的矩阵是对角矩阵,而对角矩阵的秩就等于它对角线上不为零的平方项的个数.因之,在一个二次型的标准形中,系数不为零的 平方项的个数是唯一确定的,与所作的非退化线性替换无关.二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩. 1.复二次型的唯一性.
设),,,(21n x x x f 是一个复系数的二次型，由本章定理1，经过一适
当的非退化线性替换后,),,,(21n x x x f 变成标准形,不妨假定化的标准形
是
r
i d y d y d y d i r
r ,,2,1,0,222
221
1 =≠+++. (1)
易知r 是),,,(21n x x x f 的矩阵的秩.因复数总可以开平方,再作一非退
化线性替换1111.
11,,,r r
r r n n y z y z y z y z ++?
=
=??
?
==? (2)
(1)就变成
2
2221r
z z z +++ (3)
(3)称为复二次型
),,,(21n x x x f 的规范形.显然,规范形完全被原二
次型矩阵的秩所决定，因此有
定理3 任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化线性替换 可以变成规范形,且规范形是唯一的.
定理3换个说法就是,任一复数对称矩阵都合同于一个形式为
???
?
??=??????
???
? ?
?O O O I r
00
1
1
的对角矩阵.从而两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等. 例1
在复数域上化二次型2
2
2
2
1234122334222x x x x x x x x x x ++++++为规范形.
2.实二次型的唯一性.
设),,,(21n x x x f 是一实系数的二次型.由本章定理1,经过某一个非退化
线性替换,再适当排列文字的次序,可使),,,(21n x x x f 变成标准形 ,2211222221
1r
r p p p p y d y d y d y d y d ---+++++ (4)
其中0,1,2,,;i
d i r >= 是),,,(21
n
x x x f 的矩阵的秩.因为在实数域中,正实数总 可以开平方,所以再作一非退化线性替换
111111,,,,r r r r n n y z y z y z y z ++??
====???
(5)
(4)就变成
,221
2222
1r
p p z z
z z z ---++++
(6)
(6)称为实二次型),,,(21n x x x f 的规范形.显然规范形完全被r,p 这两个数
所决定.
定理4 任意一个实数域上的二次型,经过一适当的非退化线性替 换可以变成规范形,且规范形是唯一的.
这个定理通常称为惯性定理.
定义3 在实二次型),,,(2
1
n
x x x f 的规范形中,正平方项的个数p 称为
),,,(21n x x x f 的正惯性指数;负平方项的个数r-p 称为),,,(21n x x x f 的负
惯性指数;它们的差p-(r-p)=2p-r 称为),,,(21n x x x f 的符号差. 例2化下列二次型为规范形,并求出它们的秩、正、负惯性指数:
(1)
22221
2
3
4
122334222;x x x x x x x x x x ++++++
(2)
2
2
2
1241213142324342442222;x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++
应该指出,虽然实二次型的标准形不是唯一的,但是由上面化成规
范形的过程可以看出，标准形中系数为正的平方项的个数与规范形中 正平方项的个数是一致的,因此,惯性定理也可以叙述为:实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一的,它等于正惯性指数,而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数.
定理5 (1)任一复对称矩阵A 都合同于一个下述形式的对角矩
阵：
???
?
??=??????
???
? ?
?O O O I r
00
1
1
.其中对角线上1 的个数r=秩(A ).
（2）任一实对称矩阵A 都合同于一个下述形式的对角矩阵：
????
? ??--00
0000p r p
I I ,
其中对角线上1的个数p 及-1的个数r-p （r=秩A ）都是唯一确定 的,分别称为A 的正、负惯性指数,它们的差2p-r 称为A 的符号差. 作业:P232:1(II)(1)-(3)
§4 正定二次型
1.正定二次型 定义4 实二次型),,,(21n x x x f 称为正定的，如果对于任意一组不全
为零的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21>n c c c f .
实二次型222221121),,,(n
n n x d x d x d x x x f +++= 是正定的当且仅当n i d i
,,2,1,0 =>.
引理 设CY X =是非退化线性替换,那么0X ≠?是0Y ≠.
设实二次型,
,),,,(11
2
1
ji ij n
i n
j j i ij n
a a x x a x
x x f ==∑∑== (1)是正定的,经过非退化实线
性替换CY
X
=(2) 变成
11(,,)()()()(,,).n n f x x X AX CY A CY Y C ACY Y C AC Y Y BY g y y '''''''====== (3)
则二次型),,,(21n y y y g 也是正定的,或者说,对于任意一组不全为零
的实数n k k k ,,,21 都有0),,,(21>n k k k g .
因为二次型(3)也可以经非退化实线性替换Y C X 1
-=变到二次型(1)所以按同样理由,当(3)正定时(1)也正定.这就是说,非退化实线性替换保持正定性不变.
2.正定二次型的判别 定理6 实数域上二次型),,,(21n x x x f 是正定的?它的正惯性指数 等于n.
定理6说明,正定二次型
),,,(21n x x x f 的规范形为22221n y y y +++
(5)
定义5实对称矩阵A 称为正定的,如果二次型AX X '是正定的. 因为二次型(5)的矩阵是单位矩阵E,所以一个实对称矩阵是正定 的?它与单位矩阵合同.
推论 正定矩阵的行列式大于零.
设A 是正定矩阵,则A 与E 合同,即有n 级可逆矩阵C 使得A=C EC '
=C C ',所以2
0.A C C C C C
''===>
例1设A 是正定矩阵,证明1
A -也是正定矩阵. 证明
定义6 子式
)
,,2,1(21
2222111211
n i a a a a a a a a a P ii
i i i
i i
==
称为矩阵nn ij a A )(=的顺序主子式.
定理7实二次型AX
X x x a
x x
x f n i n
j j i ij
n '==
∑∑==11
2
1
),,,( 是正定的?是矩阵A
的顺序主子式全大于零.
证明?设
1
11
2
121
2
22
1
2i i
i i i ii
a a a a a
a
P a a a =
是A 的任一顺序主子式,以i P 的元素
做成的矩阵11
121111211
2
i i
i i i ii a a a a a a A a a a ??
? ?=
?
???
是对称矩阵,令
111
(,,)i i
i i kj
k j i i
k j f x x a
x x X AX =='=
=∑∑ ,
设12(,,,)0,i c c c ≠ 那么1
11
(,,)i
i
i
i
kj k
j k j f c c a
c c ====
∑∑ 1211
(,,,,0,,0)0
n
n
kj k
j i k j a
c c f c c c ===>∑∑ ,于是
111
(,,)i
i
i i kj
k j
k j i
f x x a
x x ===
∑∑ 正定二次型,由Th6的推论知,
i i
P A =>0.
充分性略.
例2 判定32312123
22
21
32148455),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=是否正定.
定义7 设),,,(21n x x x f 是一实二次型，如果对于任意一组不全为零 的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21 ),,,(21≥n c c c f ，那么 ) ,,,(21n x x x f 称为半正定的；如果都有 0),,,(21≤n c c c f ，那么),,,(21n x x x f 称为半负定的；如果它既不是半正定又 不是半负定，那么),,,(21n x x x f 就称为不定的. 由定理7不难看出负定二次型的判别条件.这是因为当),,,(21n x x x f 是负定时，),,,(2 1 n x x x f -就是正定的. 定理8 对于实二次型AX X x x x f n '=),,,(21 ,下列条件等价： （1）),,,(21n x x x f 是半正定的； （2）它的正惯性指数与秩相等； （3）有可逆实矩阵C,使???? ? ? ? ??='n d d d AC C 21其中n i d i ,,2,1,0 =≥； （4）有实矩阵C 使C C A '=. （5）A 的所有主子式皆大于或等于零； 注意,在(5)中,仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的. 比如 ? ?? ? ?????? ??-=-=21212 2 211000),(),(x x x x x x x f 就是一个反例. 作业P233-234:7(2),8(1),13. 证明Th8,)1()5(? 设A 的主子式全大于或等于零，m A 是A 的m 级顺序主子式，m A 是对应的矩阵 11 121212221 111 2 m m m m m m m m m m mm a a a a a a E A P P P a a a λλλλλ λλ--+++= =+++++ 其中i P 是m A 中一切i 级主子式之和,由题设0>i P ,故当0>λ时,0>+m m A E λ， A E +λ是正定矩阵. 若A 不是半正定矩阵，则存在一个非零向量()n b b b X 2 1 ='，使 )0(0 0>-='C C AX X 令02222 10 0>+++='=n b b b C X X C λ,0)(0 00000=-='+'=+'C C AX X EX X X A E X λλ,与0 >λ时A E +λ是正定矩阵矛盾,故A 是半正定矩阵. Th8)5()1(? 记 A 的行、列指标为k i i i ,,,2 1 的K 级主子式为k A ,对 应矩阵是k A ,对任意() 0,,,21 ≠=k i i i b b b Y ,有()0,,,210≠=n c c c X ,其中 ?? ?≠==, ,,,,0;,,,,2121k k j j i i i j i i i j b c 又A 是半正定矩阵,从而00 00≥'='AX X Y A Y k . 若0 A ,则P234,12T,存在0 ≠Y 使0<'Y A Y k 与0≥'Y A Y k 矛盾，所以0≥k A . ◇设A 为n 级实矩阵,且0≠A ,则 A A A A '',都是正定矩阵. ◇设A 为m n ?实矩阵,则A A A A '',都是半正定矩阵. 证明A A '是实对称矩阵，n R X ∈?令AX U =，则U 是m 维实向量 ()' =m u u u U ,,,21 ,2 2 2 12()()()0m X A A X X A AX U U u u u '''''===+++≥ ,A A '∴ 是半正定矩阵,同理可 证A A '是半正定矩阵. ◇设A 是m 级正定矩阵,则0 >k 时,n A A kA A .,,*1 -都是正定矩阵. 证明 由于A 正定,存在可逆矩阵C,使E AC C =', 111 ()C A C E ---'∴=,从而1 -A 为正定矩阵.0,0,()()0(0) n X R X AX X kA X k X AX k '''?≠∈>∴=>>,所 以kA 正定,又A 正定,0 >A ,1 -A 正定,故1 *-=A A A 正定. 0,k k k A A A =≠对称,当k m 2=时,k k k m EA A A A )(2'==,从而m A 正定. 当12+=k m 时,)()(1 2k k k m A A A A A '==+所以m A 与A 合同，因而m A 正定. 例1 设A 是是对称矩阵,证明:当实数t 充分大之后,矩阵tE+A 是正定矩阵. 证明 设12(,,,)()n f x x x X tE A X '=+ ,实n 维向量12(,,,)0,n C c c c '=≠ 令 max{,1,2,,}ij a i j n λ== ,那么 12(,,,)()n f c c c C tE A C tC C C AC '''=+=+ =2111 n n n i ij i j i i j t c a c c ===+∑∑∑ 2 111n n n i ij i j i i j t c a c c ===≥- ∑∑∑2111n n n i ij i j i i j t c a c c ===≥-∑∑ ∑ 2111 n n n i ij i j i i j t c a c c ===≥-∑∑ ∑ 21 11 n n n i i j i i j t c c c λ====-∑∑ ∑221 1 1(2) n n n i i i j i i i j n t c c c c λ==≤<≤=-+ ∑∑∑ 22221 1 1[()]n n n i i i j i i i j n t c c c c λ==≤<≤≥-+ +∑∑∑ 222 1 1 1 ()n n n i i i i i i t c n c t n c λλ====-=-∑∑∑ 因2 1 n i i c =>∑,所以当t n λ>时, 2 121 (,,,)()0 n n i i f c c c t n c λ=≥->∑ .即12(,,,)n f x x x = ()X tE A X '+是正定二次型, 故当t n λ>时,tE A +是正定矩阵. 例2设A 是一个n 级实对称矩阵,且A <0,证明必存在实n 维向量X ≠0,使得0X A X '<. 证明由Th2,存在n 级实可逆矩阵C,使得 12 n d d C AC D d ?? ? ?'== ? ?? ? 于是2 120n d d d D C AC C A '===< ,所以12,,,n d d d 至少有一个<0,不妨 设1d <0. 取n 维向量1(1,0,,0)0ε'=≠ ,因C 是n 级实可逆矩阵,故X=C 10ε≠,而且111110 X AX C AC D d εεεε''''===<. 例3 设A 是一个实矩阵,证明秩()A A '=秩(A). 证明设A 的秩是r,因A 是一个实矩阵,故有实可逆矩阵C,使得 AC=B 是列阶梯形矩阵,且B=12(,,,,0,,0)r B B B ,于是 ()110000r r B B C A AC B B B B '?? ? ? ? ''''== ? ? ? ? ??? =1111 0000000 000 0r r r r B B B B B B B B ''?? ? ? ?'' ? ? ? ? ?? ? 由上式最后一个矩阵知C A AC B B '''=的秩为 r,又11 ()A A C B BC --'''=,根据第四 章第四节Th4,秩(A A ')=秩(B B ')=r=秩(A). 例4证明2 2 1 1 () n n i i i i n x x ==-∑∑是半正定的. 证明设12(,,,)0n c c c ≠ 是任一组实n 维向量,则 2 2 11() n n i i i i n c c ==-∑∑= 2 1 11 n n n i i j i i j n c c c ===-∑∑ ∑ = 2 1 1(1)2n n i i j i i j n n c c c =≤<≤-- ∑∑ 2 1()0 n i j i j n c c ≤<≤= -≥∑ . 所以2 2 1 1 () n n i i i i n x x ==-∑∑是半正定的. 第五章 二次型(小结) 一、二次型与矩阵 1. 基本概念 二次型;二次型的矩阵和秩;非退化线性替换;矩阵的合同. 2. 基本结论 (1) 非退化线性替换把二次型变为二次型. (2) 二次型AX X x x x f n '=),,,(2 1 可经非退化的线性替换CY X =化为二次 型AY Y y y y f n '='),,,(21 ?AC C B '=. (3) 矩阵的合同关系满足反身性、对称性和传递性. 二、标准形 1. 基本概念、二次型的标准形;配方法. 2. 基本定理 (1) 数域P 上任意一个二次型),,,(21n x x x f 都可经过非退化的线性 替换CY X =化为标准形式222221 1n n y d y d y d +++ . (2) 在数域P 上,任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 三、唯一性 1. 基本概念;复二次型的规范形;实二次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差. 2. 基本定理 (1)任一复二次型),,,(2 1 n x x x f 都可经过非退化的线性替换X CZ =化 为唯一的规范形式f r z z z r =+++,22221 的秩. 因而有:两个复对称矩阵合同?它们的秩相等. (2) 惯性定律:任一实二次型),,,(2 1 n x x x f 都可经过非退化线性替换 CY X =化为唯一的规范形式f r z z z z r p p =---+++,2 2 12 2 1 的秩,p 为),,,(21n x x x f 的正惯性指数.因而两个n 元实二次型可经过非退化线性替换互化?它们分别有相同的秩和惯性指数. (3) 实二次型的标准形式中系数为正的平方项的个数是唯一确定 的,它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性 指数. 四、正定二次型 1. 基本概念:正定二次型,正定矩阵;顺序主子式,负定二次型，半正定二次型,半负定二次型,不定二次型. 2. 基本结论:(1) 非退化线性替换保持实二次型的正定性不变. (2) 实二次型AX X x x x f n '=),,,(2 1 正定? ①A 与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵P,使得P P A '=; ② A 的顺序主子式都大于零; ③ ),,,(21n x x x f 的正惯性指数等于n. 教育科学系14级小学教育（科学与数学）专业2014—2015学年度春学期 期末考试《高等代数Ⅱ》试卷(B ) 试卷说明：1.本试卷共2页，4个大题，满分100分，120分钟完卷； 2.试题解答全部书写在本试卷上。 班号： 学号 姓名 一、选择题：（每题3分，共15分） 1．当λ=（ ）时，方程组1231 231 222x x x x x x λ++=??++=?，有无穷多解。 A 1 B 2 C 3 D 4 2．若向量组中含有零向量，则此向量组（ ）。 A 线性相关 B 线性无关 C 线性相关或线性无关 D 不一定 3．设α是n 阶可逆矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，在下列矩阵中，α不是（ ） 的特征向量。 A 2()A E + B -3A C *A D T A 4．若A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶正交阵，则1P A P -为（ ）。 A 实对称阵 B 正交阵 C 非奇异阵 D 奇异阵 5．设矩阵 A ， B ， C 均为n 阶矩阵，则矩阵A B 的充分条件是（ ）。 A A 与 B 有相同的特征值 B A 与B 有相同的特征向量 C A 与B 与同一矩阵相似 D A 一定有n 个不同的特征值 1．已知向量组)4,3,2,1(1=α，)5,4,3,2(2=α，)6,5,4,3(3=α，)7,6,5,4(4=α，则向量=+-+4321αααα 。 2．若120s ααα++ +=，则向量组12,, ,s ααα必线性 。 3．设向量空间1212{(,, )|0,}n n i V x x x x x x x R =++ +=∈，则V 是 维 空间。 4．A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，1B =-，则*A B B += 。 5．设矩阵A 满足条件2560A A E -+=，则矩阵A 的特征值 是 。 6.二次型yz xz xy z y x z y x f 222),,(222---++=的矩阵是____________。 二、填空题：（每题3分，共27分） 《矩阵分析》教学大纲 英文名称：Matrix Analysis 一、课程目的与要求 通过本课程的学习，使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。并着重培养学生将所学的理论知识应用于本专业的实际问题和解决实际问题的能力。本课程要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论，会证明简单的一些命题和结论，从而培养逻辑思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法，如各种标准型、矩阵函数等，为今后在相关专业中实际应用打好基础。 二、学时/学分：60学时/3学分 三、课程内容及学时安排 (1) 线性空间与线性变换 10学时 理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式； 掌握子空间与维数定理，了解线性空间同构的含义； 理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵表示。（不变子空间不作要求）(2) 内积空间 8学时 理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系； 了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的判定方法； 理解酋空间的概念，会判定一个空间是否为酋空间的方法，掌握酋空间与实内积空间的异同； 掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质，理解厄米特二次型的含义。 (3) 矩阵的相似标准形与若干分解形式18学时 掌握矩阵相似对角化的判别方法；会求矩阵的约当标准形； 掌握哈密顿—开莱定理，会求矩阵的最小多项式； 会求史密斯标准形； 掌握正规矩阵及其酉对角化。 掌握多项式矩阵的互质性与既约性的判别方法，会求有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解； 了解舒尔定理及矩阵的满秩分解、QR分解、奇异值分解及谱分解。 (4) 赋范线性空间10学时 了解赋范线性空间的及范数导出的度量，了解Lebsaque积分与L p空间； 掌握矩阵的各种范数定义、谱半径及其性质。， (5) 矩阵函数及其应用6学时 理解向量范数、矩阵范数及向量和矩阵的极限的概念； 掌握矩阵幂级数收敛的判定方法，会求矩阵函数； 会求矩阵的微分与积分； 了解矩阵函数在线性系统理论中的应用。 (6) 广义逆矩阵6学时 了解矩阵的Moore-Penrose广义逆及其性质 (7) 复习 2学时 高等代数(下）期末考试试卷及答案（B 卷） 一．填空题（每小题3分，共21分） 1. 223[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为 2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,, ,n λλλ，()f x 为任一多项式， 则()f A 的全体特征值为 . 3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A ()-n P[x]= ,的核(0)= 1A A A 4．已知3阶λ-矩阵A （λ）的标准形为21 0 00 00 0λλλ?? ? ? ?+?? ，则A （λ）的不变 因子________________________； 3阶行列式因子 D 3 =_______________. 5. 若4阶方阵A 的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A 的若当标准形 J= 6.在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηη下的坐标是 12(,,,)n x x x ，那么(,)i ξη＝ 7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 ． 二. 选择题( 每小题2分，共10 分) 1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间， 则dim(V)为 (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4 2. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量； (B) A 的初等因子全是1次的； (C) A 的不变因子都没有重根； (D) A 有n 个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A 高等代数 1、设多项式f(x)|g(x)，c是一个非零常数，则cf(x)|g(x)。 2、一个齐次线性方程组的两个解向量的和仍是该方程组的一个解向量。 3、设A是n阶矩阵，若非齐次线性方程组AX=B无解，则|A|=0。 4、设A是可逆矩阵，交换A的第一行和第二行得矩阵B，则B也是可逆矩阵。 7、设A是n阶矩阵，|A|=0，E是n阶单位矩阵，则|A+E|=1。 8、若多项式g(x)|f(x)，则g(x)为f(x)与g(x)的一个最大公因式。 9、如果一个向量组线性相关，那么它的任一部分组也线性相关。 11、如果一个二次型是正定的，那么它的函数值恒大于零。 12、数域P上两个不可约多项式的积一定是可约多项式。 13、如果两个n阶矩阵的秩相同，那么它们一定合同。 15、若A，B为n阶对角形矩阵，则AB=BA。 16、6级排列654213的逆序数等于。 13 4 2 2 6 3 -1 3 -4 -1 1.计算下面的4阶行列式的值： 1111 2113 1225 4321 D - =。 2.设43232 ()341,()1 f x x x x x g x x x x =+---=+--，求((),()) f x g x。 3.设A = 033 110 123 ?? ? ? ? -?? ，且2 AB A B =+，求矩阵B。 4.求下面的齐次线性方程组的基础解系： 123412341 23481020245038620 x x x x x x x x x x x x -++=?? ++-=??++-=?。 5.用配方法化下面的二次型为标准形： 22 123131323(,,)222f x x x x x x x x x =+++。 四川大学期末考试试题（A卷） （2013——2014 学年第一学期） 课程号：303066030课序号：课程名称：计算机基础及C程序设计语言 任课教师：刘亚梅刘洋任瑞玲曾晓东余勤罗伟王茂宁王忠邓丽华成绩： 适用专业年级：2012级学生人数：印题份数：学号：姓名： 考试须知 四川大学学生参加由学校组织或由学校承办的各级各类考试，必须严格执行《四川大学考试工作管理办法》和《四川大学考场规则》。有考试违纪作弊行为的，一律按照《四川大学学生考试违纪作弊处罚条例》进行处理。 四川大学各级各类考试的监考人员，必须严格执行《四川大学考试工作管理办法》、《四川大学考场规则》和《四川大学监考人员职责》。有违反学校有关规定的，严格按照《四川大学教学事故认定及处理办法》进行处理。 一、单项选择题（每题1.5分，共45分）（注：本题及以下各题均以VC++6.0为软件编程平台） 1.一个C程序总是从_______开始执行的。 A）main函数B）程序的第一行 C）程序的第一个函数D）不固定位置 2.以下对C语言的描述正确的是。 A）函数允许嵌套定义B）编译时不检查语法 C）用户所定义的标识符必须以字母开头D）转义字符以“\”开头 3.下列C语言中运算对象必须是整型的运算符是。 A) %= B) && C) = D) *= 4.若有以下程序段：int c1, c2=3, c3=2; c1=（float）c2/c3;则执行后，c1、c2的值分别是。 A)0，3.0 B) 1，3.0 C) 0，3 D) 1，3 5.下列变量定义中合法的是。 A）short_a=0xda; B）double b=1+5e2.5; C）int a=‘A’; D）float 2_and=1-e-3; 6.若变量已正确定义并赋值，符合C语言语法的表达式是。 A）++(a+1) B）a=7+b/c=a++ C）a=a+7=c+b D）a=’\0’ 7.设int a=1,b=2,c=3,m=4,n=5,p=3;，则执行表达式(a=m 10-11学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷 厦门大学《高等代数》课程试卷 数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业 主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型：（A 卷） 2011.1.13 一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分） 1) 设b 为 3 维行向量， 123123 V {(,,)|(,,)} x x x x x x b == ，则____。C A)对任意的b ，V 均是线性空间；B)对任意的b ，V 均不是线性空间；C)只有当 0 b = 时，V 是线性空间；D)只有当 0 b 1 时，V 是线性空间。 2)已知向量组 I ： 12 ,,..., s a a a 可以由向量组 II ： 12 ,,..., t b b b 线性表示，则下列叙述正确的是____。 A A)若向量组 I 线性无关，则s t ￡ ；B)若向量组 I 线性相关，则s t > ； C)若向量组 II 线性无关，则s t ￡ ；D)若向量组 II 线性相关，则s t > 。 3)设非齐次线性方程组AX b = 中未定元个数为 n ，方程个数为m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则____。 D A)当r n < 时，方程组AX b = 有无穷多解； B) 当r n = 时，方程组AX b = 有唯一解；C)当r m < 时，方程组AX b = 有解；D)当r m = 时，方程组AX b = 有解。 4) 设 A 是m n ′ 阶矩阵，B 是n m ′ 阶矩阵，且AB I = ，则____。A A)(),() r A m r B m == ；B)(),() r A m r B n == ；C)(),() r A n r B m == ； D)(),() r A n r B n == 。 5) 设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换j 在基 123 ,, x x x 下的表示矩阵是 111 101 111 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ，则j 在基 123 ,2, x x x 下的表示矩阵是____。C A) 121 202 121 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； B) 1 2 11 22 1 2 11 0 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? ； C)11 22 121 0 121 ?? ?÷ ? ÷ ?÷ è? ；D) 1 2 1 2 11 202 11 ?? ?÷ ?÷ ?÷ è? 。 6) 设j 是 V 到 U 的线性映射，dim V ,dim U n m == 。若m n < ，则j ____。B A)必是单射； B)必非单射； C)必是满射；D)必非满射。 高等数学模拟试题 一、单项选择题(每小题1分，共40分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目 要求的，请将正确选项前的字母填在题干后的括号内。 1.函数y=x 1-+arccos 2 1 x +的定义域是( ) A. x<1 B.-3≤x ≤1 C. (-3，1) D.{x|x<1}∩{x|-3≤x ≤1} 2.下列函数中为奇函数的是（ ） A.y=cos 3x B.y=x 2+sinx C.y=ln(x 2+x 4 ) D.y=1 e 1e x x +- 3.设f(x+2)=x 2 -2x+3,则f[f(2)]=( ) A.3 B.0 C.1 D.2 4.y= 的反函数是x x 323+( ) A.y=233x x +-- B.y=x x 3 32+ C.y=log 3x 1x 2- D.y=log 3x 2x 1- 5.设n x u lim ∞ →=a,则当n →∞时，u n 与a 的差是（ ） A ．无穷小量 B.任意小的正数 C ．常量 D.给定的正数 6.设f(x)=??? ????<>0 x ,x 1sin x 0x ,x 1 sin ,则)x (f lim 0x +→=（ ） A ．-1 B.0 C.1 D.不存在 7.当0x →时,x cos x sin 2 1 是x 的( ) A.同阶无穷小量 B.高阶无穷小量 C.低阶无穷小量 D.较低阶的无穷小量 8.x 21 sin x 3lim x ?∞→=( ) A.∞ B.0 C.23 D.32 9.设函数???≤<-≤<-=3x 1,x 21 x 0,1x )x (f 在x=1处间断是因为( ) A.f(x)在x=1处无定义 B.)x (f lim 1 x - →不存在 C. )x (f lim 1 x + →不存在 D. )x (f lim 1 x →不存在 10.设f(x)=? ??≥+<0x )x 1ln(0x ,x ,则f(x)在x=0处( ) A.可导 B.连续,但不可导 C.不连续 D.无定义 11.设y=2cosx ,则y '=( ) A.2cosx ln2 B.-2cosx sinx C.-2cosx (ln2)sinx D.-2cosx-1sinx 1、设多项式f(x)|g(x)，c是一个非零常数，则cf(x)|g(x)。 . A.√ . 2、一个齐次线性方程组的两个解向量的和仍是该方程组的一个解向量。 . A.√ . 3、设A是n阶矩阵，若非齐次线性方程组AX=B无解，则|A|=0。 . A.√ . 4、设A是可逆矩阵，交换A的第一行和第二行得矩阵B，则B也是可逆矩阵。 . A.√ . 5、设是线性空间V的两个子空间，若。 . B.× 6、设W是线性空间V的子空间，。 . A.√ . 7、设A是n阶矩阵，|A|=0，E是n阶单位矩阵，则|A+E|=1。 . B.× 8、若多项式g(x)|f(x)，则g(x)为f(x)与g(x)的一个最大公因式。 . A.√ . 9、如果一个向量组线性相关，那么它的任一部分组也线性相关。 . B.× 10、设为一个向量组，由于，所以线性无关。. B.× 11、如果一个二次型是正定的，那么它的函数值恒大于零。 . B.× 12、数域P上两个不可约多项式的积一定是可约多项式。 . A.√ . 13、如果两个n阶矩阵的秩相同，那么它们一定合同。 . B.× 14、设为一个向量组，若，则线性相关。 . A.√ . 15、若A，B为n阶对角形矩阵，则AB=BA。 . A.√ . 16、6级排列654213的逆序数等于。 13 17、设A为矩阵，B为矩阵，则AB的列数等于。 4 18、在向量组中，，则的秩等于。2 20、若2为f(x)的根，且2是的5重根，则2为f(x)的重根。6 21、设，则f(x)的所有系数的和等于。3 22、若，则c=。-1 23、设为对称矩阵，则a= 。3 24、若矩阵不可逆，则a= 。 -4 25、3阶行列式 。-1 26、计算题.doc 1.计算下面的4阶行列式的值： 1111 21131225 4321D -=。 2.设43232()341,()1f x x x x x g x x x x =+---=+--，求((),())f x g x 。 3.设A = 033110123?? ? ? ?-?? ，且2AB A B =+，求矩阵B 。 4.求下面的齐次线性方程组的基础解系： 123412341 23481020245038620x x x x x x x x x x x x -++=??++-=??++-=?。 5.用配方法化下面的二次型为标准形： 22123131323(,,)222f x x x x x x x x x =+++。 6.设1110A ??=???? ，2()1f x x x =++，求f (A )。 7.设3[]V P x =，A 为V 的线性变换，(())()A f x f x '=，求A 在基 21231,,x x ααα===下的矩阵。 8.设32()f x x ax x b =+++，已知f (1) = -3，f (2) = -1，求a ，b 的值。 深圳大学“数理金融实验班”本科人才培养方案 一、培养目标 “数理金融实验班”培养具有优良的思想道德、职业道德、创新及敬业精神、较高人文与科学素质，具备现代经济、金融理论和业务知识，尤其是具备现代银行业务、证券及金融衍生工具投资、金融衍生工具定价、风险控制、定量分析方法等方面的前沿知识和实践技能，能在各类金融企业、事业单位、公司财务部门和政府部门从事理财产品设计与开发、证券、期货及其他衍生工具投资、风险度量及控制等金融业务和管理工作的德、智、体、美全面发展的复合型人才。 二、培养要求 “数理金融实验班”以素质教育与专业教育相结合、经济、金融理论与实证方法相结合、课堂教案与实践教案相结合、个性发展与共性提高相结合为原则设置培养方案，达到以下培养要求： ．掌握经济学、金融学基础理论知识和现代金融业经营管理方法，以及有效的应用数学方法与计算技术，具备较宽泛的人文社会科学和应用数学主干学科基础知识，能熟练运用计算机技术、数学方法，定性及定量分析、解决现代金融及社会经济领域问题。 ．熟练运用外语工具，及时了解国际金融领域发展动态，把握世界金融业发展趋势。 ．熟悉我国有关金融的方针、政策和法规，具备优良的职业道德、思想道德与社会责任感。 ．具有良好的社会实践、社会沟通、合作及协调能力。 三、主干学科 经济学、数学 四、主要课程 微观经济学、宏观经济学、金融学、商业银行经营业务与管理、证券投资学、金融衍生工具、金融工程、国际金融（英文版）、利息理论、数理金融、公司理财学（英文版）、会计学原理、财政学、统计学、计量经济学、国际贸易、保险学、国际结算（英文版）、风险管理原理、投资项目评估、数学分析、高等代数、常微分方程、概率论与数理统计、数据结构、数据库原理及应用等。 五、标准修业年限 四年 六、授予学位 经济学学士理学学士 一、填空（每小题2分，共10分） 1.设向量空间1212{(,,)|0,}n n i V x x x x x x x R =+++=∈ ，则V 是 维空间。 2．A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，1B =-，则* A B B += 3．设二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 满足______。 4．设矩阵A 满足条件2 560A A E -+=，则矩阵A 的特征值是 5．三维线性空间V 的秩为2，则零度为 。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号 内。每小题2分，共20分） 1．设α是n 阶可逆矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，在下列矩阵中，α不是（ ） 的特征向量 （A ）2()A E + （B ）-3A （C ）* A （D ）T A 2．已知A ， B 为同阶正交矩阵，则下列（ ）是正交阵。 （A ）A B + （B ）A-B （C ）AB （D ）kA 3， 设A 为n 阶方阵，则下列结论不成立的是（ ） （A ）若A 可逆，则矩阵A 的属于特征值λ的特征向量也是矩阵1 A -的属于特征值1 λ 的特 征向量 （B ）若矩阵A 存在属于特征值λ的n 个线性无关的特征向量，则A E λ= （C ）矩阵A 的属于特征值λ的全部特征向量为齐次线性方程组()0E A X λ-=的全部解 （D ）A 与T A 有相同的特征值 4．若A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶正交阵，则1 P A P -为（ ）。 （A ）实对称阵 （B ）正交阵 （C ）非奇异阵 （D ）奇异阵 5．设A ，B 都是正定阵，则（ ） （A ）AB ，A+B 一定都是正定阵 高等代数第一次作业 叙述下列概念 1．数域P上多项式p(x)在P上不可约。 如果数域p上一个次数>0的多项式，除平凡因式外它没有别的因式，则称p(x)为p 上的一个不可约多项式。 不可约多项式的性质 1）若 p(x) 不可约，则cp(x)(0≠c∈p)也不可约 证同p(x)cp(x)有相同的因式 2）若p(x)不可约则对 证设d(x)=(p(x)f(x))，若d(x)=1，则结论成立。若d(x)≠1则d(x)|p(x). 因为p(x)不可约所以d(x)=cp(x)。于是由d(x)|f(x)得d(x)|f(x)。 3）设p(x)不可约对有p(x)|f(x)g(x)则p(x)|f(x)或 p(x)|g(x)。 证若p(x)|f(x)，则由性质2）(p(x)f(x))=1 从而p(x)|g(x)。 2．数域P上n维向量组线性相关。 若零向量能够被向量组α1α2α3…αr非平凡地表示即存在不全为零 的数k1k2…，kr使得k1α1+k2α2+…+krαr=0则称向量组α1，α2α3…αr是 线性相关的向量组；否则称α1α2α3…αr线性无关的向量组 3．数域P上n维向量组的秩。 在一个m×n的λ-矩阵中，不等于零多项式的子式的最大阶数r 叫做p(λ)的秩.若p(λ)没有不等于零多项式的子式则称为p(λ)的秩为零。 根据定义直接得到： 1.A(λ)的秩 min（mn）; 2.A(λ)的秩=0 A(λ)=0 4．矩阵A可逆。 n阶方阵A设为可逆的，如果存在n阶方阵B使得AB=BA=E 成立，其中E为n阶单位矩阵。B称为A的逆矩阵，记为A-1。 5．线性空间V的维数 数域F上的的线性空间V中若有n个向量α1，α2，α3，…αn线性无关， 并且V中任一向量α均可由α1，α2，α3，…αn线性表出： 则设有序的向量组α1α2α3…αn为 向量空间V的一个基由α唯一决定的数组(x1，x2，…，xn)称为α在基α1α2 α3…αn下的坐标这时称向量空间V是n维的，记为dimV=n. 6．线性空间V的线性变换。 定义1 设V是数域F上的一个线性空间是V到V的一个映射。这时我们称是 线性空间V的一个变换。 定义2 设V是数域F上的一个线性空间是V的一个变换如果满足下列条件 则称是V的一个线性变换。 （1）对于任意，有 ； （2）对于任意及，有 . 如不声明时，以后，所讨论的线性空间，都是某一固定数域F上的线性空间。 《高等代数》（上）期末试卷（A ） 一、填空题（每空3分，共15分） 1．设方阵1112223 3 3b x c A b x c b x c ????=??????，1 112 223 3 3b y c B b y c b y c ?? ??=? ????? ，且2,3A B =-=， 则行列式2A B += . 2.已知A 是一个34?矩阵，且秩()2A =，而102020103B ????=?????? ，则秩()BA = . 3. 多项式2005 20042 322006()(54)31(8112)f x x x x x x ??=--+-+?? 的所有系数之和 ＝ ，常数项＝ . 4. ()f x 为多项式，用1x -除时余式为3，用3x -除时余式为5，则用(1)(3)x x --除时余式为 . 二、选择题（每题3分，共12分） 1．设n 维向量组12345,,,,ααααα的秩为3，且满足135230,ααα+-= 242,αα=则向量组的一个极大无关组为（ ） A ． 125,,ααα； B ． 124,,ααα； C. 245,,ααα； D. 135,,ααα. 2. A 是m n ?矩阵，B 是n m ?矩阵，则（ ） A ． 当m n >时，必有行列式0A B ≠； B ． 当m n >时，必有行列式0AB =； C ． 当n m >时，必有行列式0AB ≠； D ． 当n m >时，必有行列式0AB =. 3．设,A B 都是可逆矩阵，则矩阵0A C B ??????的逆矩阵为（ ） A ． 1 1 10A C B ---?? ????； B ． 1110B C A ---?????? ； 科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ? ?-----=17 5131 023A 的特征根是 ，特征向量分别为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ） 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。其中 ),,,()(2 42 32 22 1x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是)(2R M 的 子空间。（ ） 四川大学期末考试试题——古代汉语之一(2009-04-20 08:48:31) 标签：校园分类：典型真题解答 课程号：10423040 课序号： 0 课程名称：古代汉语-2 任课教师： 适用专业年级：学生人数：印题份数：学号： 姓名： 第1页： 一、默寫。《離騷》“長太息以掩涕兮”至“余不忍爲此態也”。（10分） 二、填空。(30×0.5＝15) 1、按順序寫出《莊子·內篇》篇名：第一，第二，第三， 第四，第五，第六，第七。 2、段玉裁通過對《說文》的研究，發現了上古“”的原理，即同一個諧聲偏旁的諸多形聲字，上古屬於同一個韻部。 3、中古韻書的代表是隋代的《》，它共分個韻部。此書已亡佚，只留下部分殘卷，但是它的體例及其對中古音系的描述基本保留在宋代等的《》中。此書把中古韻母分為部。近古韻書則以元的《》個音部爲代表。 4、中古的平、上、去、入四聲，演變為近、現代的陰平、陽平、上聲和去聲四聲，發生了三項顯著的變化，即：，和。 5、補全“三十六字母”表： 第2页： 三、寫出下列反切的漢語拼音（10分）： 古電切（）古胡切（）居銀切（） 同都切（） 胡口切（）創舉切（）如林切（）府眉切（） 匹凡切（）博怪切（） 四、解釋下列句中加點的詞（有通假、特殊用法者須注明）。(15×1＝15分) 1、今至大爲不義，攻國，則弗知非，從而譽之，謂之義。非： 2、萬物作焉而不辭，生而不有，爲而不恃，功成而弗居。作： 3、此大小之辯也。辯： 4、我決起而飛，搶榆枋，時則不至，而控於地而已矣。搶： 5、木直中繩，輮以爲輪，其曲中規。中： 6、神莫大於化道，福莫長於無禍。莫： 7、聞而審之，則爲福矣；聞而不審，不若不聞。而： 8、夫離法者罪，而諸先生以文學取。離： 9、富國以農，距敵恃卒，而貴文學之士。距： 10、窈窕淑女，君子好逑。逑： 11、髧彼兩髦，實爲我特。特： 12、言既遂矣，至于暴矣。遂： 13、八月剝棗，十月獲稻。剝： 14、遵彼微行，爰求柔桑。爰： 深圳大学2018年高等代数考研初试大纲 各大院校的考研大纲在近期相继公布，各位考研的同学肯定已经为复习做好了准备。前面研途小姐姐给大家介绍了北京工商大学翻译硕士的考研大纲，这里给大家继续介绍深圳大学二外考研大纲。 英语（二外） 一、考试基本要求 本考试大纲适用于报考深圳大学日语语言文学专业的硕士研究生第二外国语入学考试。要求考生已经修完《大学英语》1-4课程，较熟练地掌握英语语法和词汇方面的知识，并能够运用这些知识进行阅读、理解、翻译和写作。 二、考试内容和考试要求（注：总分100分） 考生应掌握下列语言知识和技能： （一）语言知识 1. 语法知识：考生应能熟练地运用基本的语法知识。 2. 词汇：考生应能掌握5500左右的词汇及相关词组。除掌握词汇的基本含义外，考生还应掌握词汇之间的词义关系，如同义词、近义词、反义词等;掌握词汇之间的搭配关系，如动词与介词、形容词与介词、形容词与名词等;掌握词汇生成的基本知识，如词源、词根、词缀等。考虑到交际的需要，考生还应自行掌握与本人工作或专业相关的词汇，以及涉及个人好恶、生活习惯和宗教信仰等方面的词汇。 （二）语言技能 1、阅读：考生应能读懂选自各类书籍和报刊的不同类型文字材料（生词量不超过所读材料总词汇量地3%），还应能读懂与本人学习或工作有关的文献资料、技术说明和产品介绍等。对所读材料，考生应能： 1）理解主旨要义; 2）理解文中的具体信息; 3）理解文中的概念性含义; 4）进行有关的判断、推理和引申; 5）根据上下文推测生词的词义; 6）理解文章的总体结构以及上下文之间的关系; 7）理解作者的意图、观点或态度; 8）区分论点和论据。 2、翻译：考生应有一定的中英文语言素质，能将两种语言进行转换，考生应能： 1）准确理解文中传达的信息; 2）能将文中的信息用另一种语言表达出来; 3）能够灵活地、熟练地运用语法手段和修辞技巧; 4）体现一定的文化素养和逻辑思维能力。 3、写作：考生应能写不同类型的应用文，包括私人和公务信函、备忘录、摘要、报告等，以及一般描述性、叙述性或议论性的文章。写作时，考生应能： 1）做到语法、拼写、标点正确，用词恰当; 2）遵循文章的特定文体格式; 3）合理文章结构，使其内容统一、连贯; 4）根据写作目的和特定读者，恰当选用语域。 一 单项选择题(本题共5道小题,每题4分,把答案填在横线上) 1．设????? ??=33 3 222 111c b a c b a c b a A ，??? ? ? ??=33 3 222 111 d b a d b a d b a B ，且2=A ，3=B ，则=-B A 2 . (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 2. 设m ααα ,,21均为n 维向量，那么下面结论正确的是 (A)若02211=+++m m k k k ααα ，则m ααα ,,21线性相关 (B) 若对任意一组不全为零的数m k k k ,,21，都有02211≠+++m m k k k ααα ，则m ααα ,,21线性无关 (C)若m ααα ,,21线性相关，则对任意一组不全为零的m k k k ,,21，都有 02211=+++m m k k k ααα (D) 000021=+++m ααα ，则m ααα ,,21线性无关 3.设21,ββ是非齐次线性方程组b Ax =的两个不同解，21,αα是方程组0=Ax 的基础解系，21,k k 为任意常数，则b Ax =的通解为 . (A)2 )(2 121211ββααα-+ ++k k (B) 2 )(2 121211ββααα++ -+k k (C) 2 )(2 121211ββββα-+ -+k k (D) 2 )(2 121211ββββα++ -+k k 4.已知??? ? ? ??=96342321t Q ，P 是3阶非零矩阵，且满足0=PQ ，则 . (A)6=t 时，P 的秩必为1 (B) 6=t 时，P 的秩必为2 (C)6≠t 时，P 的秩必为1 (D) 6≠t 时，P 的秩必为2 5．设A 为n 阶矩阵，0≠A ，*A 为A 的伴随矩阵，n E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值λ，则n E A +2*)(必有特征值 . 沈阳农业大学理学院第一学期期末考试 《高等代数》试卷（1） 一、 填空（共35分，每题5分） 1．设4 2 ()49f x x x x =++-, 则(3)f -= 69_ .. 2．当t = _2,-2 .时, 3()3f x x x t =-+有重因式。 3. 令 ()f x ,()g x 是两个多项式, 且33()()f x xg x +被21x x ++整除, 则 (1)f = 0_ , (1)g = _0 . 4. 行列式 31 0210 62 101132 1 -=-- 23 。 5. 矩阵的积41010311 1321022 011 34?? ? --?? ?= ? ??? ??? 9219911--?? ???。 6. 1 500031021-?? ?= ? ??? 1 05011023?? ? ?- ? ? - ??? 7. 1234123412342202220430 x x x x x x x x x x x x +++=?? +--=??---=?的一般解为 134234523423x x x x x x ? =+??? ?=--?? , 34,x x 任意取值。 二、（10分）令()f x ,()g x 是两个多项式。求证((),())1f x g x =当且仅当 (()(),()())1f x g x f x g x +=。 证：必要性. 设(()(),()())1f x g x f x g x +≠。（1%） 令()p x 为()(),()()f x g x f x g x +的不可约公因式，（1%）则由()|()()p x f x g x 知 ()|()p x f x 或()|()p x g x 。(1%) 不妨设()|()p x f x ，再由()|(()())p x f x g x +得()|()p x g x 。故()|1p x 矛盾。(2%) 充分性. 由(()(),()())1f x g x f x g x +=知存在多项式(),()u x v x 使 ()(()())()()()1u x f x g x v x f x g x ++=,(2%) 从而()()()(()()())1u x f x g x u x v x f x ++=,(2%) 故((),())1f x g x =。(1%) 三、(16分),a b 取何值时，线性方程组 有唯一解、没有解、有无穷解？在有解情况下求其解。 解： 21212131011032100122201011000122a b a b a b b a b b b b b a b b b b ???? ? ?-→- ? ? ? ?+-+-????-?? ?→- ? ?+-?? (5%) 当2 (1)0a b -≠时，有唯一解：1235222 , (1)+11 b b x x x a b b b ---= ==++，； (4%) 当1b =时，有无穷解：3210,1,x x ax ==-1x 任意取值； 当a 0,5b ==时，有无穷解：14 12333,,,x k x x k ==-=任意取值；(3%) 当1b =-或0 1 5a b b =≠±≠且且时，无解。(4%) 四、(10分)设12,,...,n a a a 都是非零实数，证明 证: 对n 用数学归纳法。当n=1时 , 1111 1 1(1)D a a a =+=+, 结论成立(2%); 假设n-1时成立。则n 时 计算题 1.计算下面的4阶行列式的值： 111 121131225432 1D -= 。 解：用行列式的性质将D 化为三角形行列式： 111111112113 0115 12250114432 10 1 7D ----= =111111110115 0115 1000100120 1 20 1------==- =----。 2.设43232()341,()1f x x x x x g x x x x =+---=+--，求((),())f x g x 。 解：做辗转相除法有 2()()(231)f x g x x x x =+---， 21133 ()(231)()()2444g x x x x x =----++-- 23384 231()()04433 x x x x ---=--++ 所以33 44 x --为f(x)与g(x)的一个最大公因式，从而((),())1f x g x x =+。 3.设A = 033110123?? ? ? ?-?? ，且2AB A B =+，求矩阵B 。 解 由2AB A B =+得(2)A E B A -=。由于2332110121A E -?? ? -=- ? ?-??， |2|20A E -=≠，所以2A E -可逆。于是1(2)B A E A -=-。 ()2330332110110121123A E A -?? ?-=- ? ?--??→110110233033121123-?? ?- ? ?--?? →110110013253011033-?? ? ? ???→110110013253002220-?? ? ? ?---??→110110013253001110-?? ? ? ??? 四川大学期末考试试题（B卷） (2012——2013学年下学期) 课程号：课序号：课程名称：中国近现代史纲要 适用专业年级：2012级任课教师： 学生姓名：学号：成绩： 一、单项选择题（每小题1分，共10分） 1、近代资本——帝国主义对中国的侵略中，侵占中国领土最多的国家是（）。 A英国 B法国 C俄国 D美国 2、在太平天国农民运动中颁布的具有资本主义色彩的方案是（）。 A《四洲志》 B《海国图志》 C《天朝田亩制度》 D《资政新篇》 3、在（）时期清政府派出了近代中国的第一批留学生，即赴美幼童。 A洋务运动 B戊戌变法 C辛亥革命 D 清末新政 4、标志着中国民族资产阶级领导的旧民主主义革命终结的是（）。 A二次革命的失败 B护国战争的失败 C护法运动的失败 D保路风潮的失败 5、新旧民主主义革命的转变、中国共产党成立的最基本条件是（）。 A马克思主义在中国的传播 B 中国无产阶级队伍的成长壮大 C中华民族民族危机进一步加深 D 资产阶级新文化运动的推动 6、大革命失败给中国共产党最深刻的教训是( )。 A坚持无产阶级对革命的领导权 B坚持武装斗争 C不能相信资产阶级 D坚持走农村包围城市的道路 7、抗日战争时期中国共产党的土地政策是（）。 A实行耕者有其田 B平均分配土地 C没收地主阶级土地归农民所有 D减租减息 8、抗日战争时期，为了从思想上肃清“左”倾错误，我们党开展了延安整风 运动，最主要的任务是反对（）。 A主观主义 B 宗派主义 C党八股 D 机会主义 9、解放战争时期，国民党统治区人民民主运动高涨的根本原因是（）。 A国民党当局对民主党派的迫害 B上海学生举行了声势浩大的“三反”斗争 C国民党蒋介石集团的经济崩溃和政治危机 D民主党派的联合斗争和人民起义遍及各地 10、社会主义改造是指对（）的改造。 A生产方式 B 分配方式 C生产资料所有制 D人与人的权力关系 二、多项选择题（每小题2分，共10分） 1、近代中国半殖民地半封建社会的矛盾有（）。 A帝国主义和中华民族的矛盾，封建主义和人民大众的矛盾 B 资产阶级和地主阶级的矛盾 C 资产阶级和无产阶级的矛盾 D 封建统治阶级内部各集团派系之间的矛盾，各帝国主义国家在中国争夺的矛盾 E 知识分子和地主阶级的矛盾 2、南京临时政府是一个资产阶级共和国性质的革命政权，主要体现在 （）。 A资产阶级革命派的行动在一定程度上打击了帝国主义的侵略势力 B辛亥革命促使社会经济、思想习惯和社会风俗发生了新的变化 C资产阶级革命派在这个政权中占有领导和主体地位 D在作为国家立法机关的临时参议院中，同盟会员占多数 E南京临时政府制定的各项政策措施反映了中国民族资产阶级的愿望和利益 3、1921年中国共产党的成立是中国历史上划时代的里程碑，中国革命的面貌焕然一新，从此中国革命有了（）。 A正确的革命道路 B科学的指导思想 C坚强的领导核心 D崭新的奋斗目标 E土地革命的内容 4、毛泽东在论述“农村包围城市，武装夺取政权”理论时，提出的“工农武装割据”思想的主要内容是（）。《高等代数》期末试卷B
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