高中数学思维校本课程
肥城市第六中学
校本研修评估考核材料
二 0 一五年十一月
目录
课程开发与实施安排表
校本课程实施纲要
第一部分数学思维的变通性
（1）善于观察
（2）善于联想
（3）善于将问题进行转化
第二部分数学思维的反思性
(1) 检查思路是否正确，注意发现其中的错误
(2) 验算的训练
(3) 独立思考，敢于发表不同见解
校本课程开发与实施安排表
《数学思维》
校本课程纲要
一、基本项目
课程名称：《数学思维》
授课老师：
授课对象：高一、高二年级部分学生
教学材料：相关网站、资料
二、课程目标
以全面贯彻落实课改精神为宗旨，以数学思维为主线，提高学生学习数学的兴趣，全面推进素质教育。
1、通过教学，增强学生学习数学的兴趣；
2、通过教学，让学生了解数学源于生活、应用于生活；
3、通过数学，培养学生发现问题、解决问题等自主学习的能力课程内容：
第一部分数学思维的变通性
第二部分数学思维的反思性
第三部分数学思维的严密性
第四部分数学思维的开拓性
四、课程实施建议
基础知识教学、实物演示、电教配合、图上作业、小组研讨、模拟训练、考查等。
五、课程评价
评价指标（一）：学生自评与互评相结合，即上课出勤情况、课
堂纪律情况、参与练习情况、团结协作情况；
评价指标（二）：平时模拟训练与考查相结合；
评价指标（三）：教师综合评定给与相应等级；
评价等级均为：优秀、良好、中等、须努力四档
第一讲数学思维的变通性
一、概念
数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：
（1）善于观察
（2）善于联想
（3）善于将问题进行转化
（1）观察能力的训练
任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。
虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以，必须重视观察能力的训练，使学生不但能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。
例 1 已知d
,都是实数，求证
,
b
c
a,
.)()(222222d b c a d c b a -+-≥+++
思路分析 从题目的外表形式观察到，要证的 结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而
证明 不妨设),(),,(d c B b a A 如图1－2－1则.)()(2
2
d b c a AB -+-=
,,2222d c OB b a OA +=+=
在OAB ?中，由三角形三边之间的关系知： AB OB OA ≥+ 当且仅当O 在AB 上时，等号成立。 因此，.)()(222222d b c a d c b a -+-≥+++
例2 已知x y x 62322=+，试求22y x +的最大值。
解 由 x y x 6232
2=+得
.
20,032
3
,0.
32
3
2222≤≤∴≥+-∴≥+-=x x x y x x y
又,2
9)3(21323
22222+--=+-=+x x x x y x
∴当2=x 时，22y x +有最大值，最大值为.42
9
)32(212=+--
思路分析 要求22y x +的最大值，由已知条件很快将22y x +变为一元二次函数,2
9)3(2
1
)(2+--=x x f 然后求极值点的x 值，联系到02≥y ，这一条件，既快又准地求出最大值。上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。
例3 已知二次函数),0(0)(2>=++=a c bx ax x f 满足关系
)2()2(x f x f -=+，试比较)5.0(f 与)(πf 的大小。
思路分析 由已知条件)2()2(x f x f -=+可知，在与2=x 左右等距
称，又由
已知条件知它的开口向上，所以，图像简捷地解出此题。
解 （如图1－2－2）由)2()2(x f x f -=+， 知)(x f 是以直线2=x 为对称轴，开口向上的抛物线 它与2=x 距离越近的点，函数值越小。
)()5.0(25.02ππf f >∴->-
（2）联想能力的训练
联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。
例如，解方程组?
??-==+32
xy y x .
这个方程指明两个数的和为2，这两个数的积为3-。由此联想到韦达定理，x 、y 是一元二次方程 0322=--t t 的两个根，
所以???=-=31y x 或?
??-==13
y x .可见，联想可使问题变得简单。
2
例4 在ABC ?中，若C ∠为钝角，则tgB tgA ?的值
(A) 等于1 (B)小于1 (C) 大于1 (D) 不能确定
思路分析 此题是在ABC ?中确定三角函数tgB tgA ?的值。因此，联想到三角函数正切的两角和公式tgB
tgA tgB
tgA B A tg ?-+=
+1)(可得下面解法。
解 C ∠ 为钝角，0<∴tgC .在ABC ?中)(B A C C B A +-=∴=++ππ 且均为锐角，、B A
[].1.01,0,0.
01)()(?-∴>>
=+-=+-=∴tgB tgA tgB tgA tgB tgA tgB tgA tgB
tgA B A tg B A tg tgC 即 π
故应选择（B ）
例5 若.2,0))((4)(2z x y z y y x x z +==----证明：
思路分析 此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。
证明 当0≠-y x 时，等式 0))((4)(2=----z y y x x z
可看作是关于t 的一元二次方程0)()()(2=-+-+-z y t x z t y x 有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是 1 ，根据韦达定理就有：
1=--y
x z
y 即 z x y +=2 若0=-y x ，由已知条件易得 ,0=-x z 即z y x ==,显然也有
z x y +=2.
例6 已知c b a 、、均为正实数,满足关系式222c b a =+,又n 为不小于3的自然数，求证:.n n n c b a <+
思路分析 由条件222c b a =+联想到勾股定理,c b a 、、可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。
证明 设c b a 、、所对的角分别为A 、B 、.C 则C 是直角，A 为锐角，于是
,cos ,sin c
b A c