高中数学课外知识拓展知识：七大数学难题

高中数学课外拓展知识：

七大数学难题

英、美两家出版社不久前曾表示，谁在两年内证明哥德巴赫猜想这一“数学王冠上的明珠”，将会得到奖金100万美元。这一消息激起的波澜尚未平息，汇集了世界超一流数学头脑的美国“克莱数学所”5月24日又宣布，为7大数学难题悬赏求解。该所给这7大难题命名为“千年大奖问题”，并给每题的证明开出了100万美元的价码。

在“克莱数学所”宣布为7大难题悬赏举行的新闻发布会上，著名数学家怀尔斯教授就以一个过来人的姿态表示，希望通过将解决数学难题与奖金挂钩，能“对未来几代数学家形成激励和鼓舞”。现年45岁的怀尔斯1995年因证明悬而未决350年的“费尔马大定理”而名震一时，他自己对兴趣在一个数学家成长过程中的作用深有体会。怀尔斯回忆说，他10岁时在一本连环画上首次知道了什么是“费尔马大定理”，这成为他不懈求索的起点。

“克莱数学所”挥金如土的另一个原因，是因为此次悬赏求解的7大难题是20世纪中没被数学家啃下来的最硬的几块“骨头”。过去100年中，地球上最优秀的大脑面对它们都无计可施。而这几道难题的破解，据认为极有可能为加密学等研究带来革命。例如，有关专家指出，7大难题中最有名的“黎曼假设”一旦被攻克，将有助于研制出提高因特网上信息传输安全性的新手段，用户的信用卡账号信息、医疗和金融资料等将得到更有效保障。而其余的“普安卡雷猜想”、

“霍奇猜想”、“戴尔猜想”、“斯托克斯方程”、“米尔斯理论”以及“P对NP问题”等6大难题，据认为解决后也有可能会给航天等领域带来突破性进展，并开辟匪夷所思的全新数学研究领域。

除在巴黎举行的年会上公布上述7大待解的数学难题，“克莱数学所”还在其网址上提供了有关悬赏的详细信息。“克莱数学所”所长、美国哈佛大学贾菲教授认为，虽然悬赏无具体时间限制，但估计至少4年内都难以产生获奖者。根据“克莱数学所”的规定，任何人要想证明自己解决了其中某一难题，其成果必须首先在权威数学刊物上发表，然后需拿出两年时间，供国际数学界对其进行评议。即使得到国际数学界接受，“克莱数学所”要搞自己的评审，最终才决定是否掏出百万美元的奖金。

即使这7大难题最终无法得解，但它们的探求最终也会产生有益的“副产品”。按美国加州圣马丽学院德夫林的比喻，悬赏的7大难题好比数学领域的“珠穆朗玛峰”。在对珠峰的征服中，虽然最终登顶的仅仅是少数，但成功者登攀过程中遗留下的生存设备和技巧，却会使无数后来者受益。德夫林认为，提出悬赏的7大难题，其意义也就在此。

高二数学上公式大全

高二数学（上）公式大全 一． 不等式部分。 1．不等式的性质： a>b ?a-b=0 ; a=b ?a-b=0 ; ab 且b>c ?a>c cb ?a ±c>b ±c ; a>b 且c>d ?a+c>b+d a>b 且c>0?ac>bc ; a>b 且c<0?acb>0且c>d>0?ac>bd a>b 且ab>0?1a <1b a>b>0?n n a b >(,n N ∈且n>1) a>b>0? >(,n N ∈且n>1 ） 2.几个重要的不等式 。 若a. 、b ∈R,则有： ①2 2 2a b ab +≥ ② 222a b ab +≤ ③2 2a b ab +?? ≤ ??? ④2 22 22a b a b ++??≤ ??? ⑤ 2a b +≤ ⑥222 a b c ab bc ca ++≥++ ⑦当a 、b 均大于0时，3322 a b a b ab +≥+ （ 以上各式均当且仅当 a=b=c 时取“=”） 3。均值不等式 ①若a 、b 大于0 ，则2a b +≥ ② 若a 、b 、c 均>0, 则3 a b c ++≥拓展：若有n 个正数a 1a 2……a n (n ≥2), 则有12...n a a a n +++≥ 均值不等式的推论： ①ab>02b a a b ? +≥ ②ab<02b a a b ?+≤- ③ ab 22,112ab a b R a b a b + +∈?=≤≤≤++(以上各式均当且仅当a=b 时取=) 4.均值不等式的应用 若x 、y 是正数，①如果积xy 是定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值 ②如果和x+y 是定值S, 那么当x=y 时,积xy 有最大值214 S (注意：使用条件：“一正、二定、三相等”) 5。含绝对值的不等式 ①a b a b a b -≤+≤+ ②1212......n n a a a a a a +++≤+++ ③a b a b a b -≤-≤+

整理全面《高中数学知识点归纳总结》

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教师版高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向 量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用

高中数学知识清单完整版

一、集合的含义与表示 （1）集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。 （2）元素与集合的关系有且仅有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“?”表示）。 （3）常用数集及其表示符号 （4）集合的表示法：列举法；描述法；图示法。 二、集合间的基本关系 三、集合的基本运算 x x } x B ∈ x x } x B ∈ (1)A A ?=; (2)A A A =; A B B = B A =? A (1)A?=? (2)A A A =; A B B = (4)A B A =? A B ? () U C A= () U U C A= (4)()( U C A B= (5)()( U C A B= 知识拓展： 设有限集合A中元素的个数为n，则（1） （1）A的子集个数是2n； （2）A的真子集个数是2n-1； （3）A的非空子集个数是2n-1； （4）A的非空真子集个数是2n-2。

一、不等式的定义 用数学符号“>、<、≤、≥、≠”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式。 二、不等式的基本性质 三、比较大小的基本方法 作差法： 理论依据：0;0;0a b a b a b a b a b a b ->?>-?? >?的解集为}{x x b >；（2）x a x b ?? ?的解集为? 2、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式 2y ax bx =+(0)a >的图像3、绝对值不等式 （1）当0a >时，有{ x a x x a >?>或}x a <；{ }x a x a x a ?≠；0x

高中数学知识点总结(精华版)

高中数学必修+选修知识点归纳新课标人教A版 一、集合 1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、常见集合：正整数集合： 或 ，整数集合： ，有理数集合： ，实数集合： . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作 .

2、如果集合 ，但存在元素 ，且 ，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作： .并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有 个子集， 个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作： . 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作： . 3、全集、补集？ §1.2.1、函数的概念

1、设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合A中的任意一个数 ，在集合B中都有惟一确定的数 和它对应，那么就称 为集合A到集合B的一个函数，记作： . 2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设 那么 上是增函数； 上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设

高中数学复习必背知识点

高中数学复习必背知识点 第一章 集合与简易逻辑 含n 个元素的集合的所有子集有n 2个 第二章 函数 1、求)(x f y =的反函数：①解出)(1y f x -=②y x ,互换③写出)(1x f y -=的定义域； 2、对数：①负数和零没有对数 ②1的对数等于0：01log =a ③底的对数等于1：1log =a a ， ④积的对数：N M MN a a a log log )(log +=， 商的对数：N M N M a a a log log log -=， 幂的对数：M n M a n a log log =；b m n b a n a m log log = ， 第三章 数列 1、数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321； 数列前n 项和与通项的关系：???≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 2、等差数列 ： ①定义：等差数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数； ②通项公式：d n a a n )1(1-+= （其中首项是1a ，公差是d ；） ③前n 项和：2)(1n n a a n S += d n n na 2 ) 1(1-+= ④等差中项： A 是a 与b 的等差中项：2 b a A +=或b a A +=2， 三个数成等差常设：a-d ，a ，a+d 3、等比数列：

①定义：等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，（0≠q ）。 ②通项公式：11-=n n q a a （其中：首项是1a ，公比是q ） ③前n 项和：??? ?? ≠--=--==) 1(,1)1(1)1(,111q q q a q q a a q na S n n n ④等比中项： G 是a 与b 的等比中项：G b a G = ，即ab G =2（或ab G ±=，等比中项有两个） 第四章 三角函数 1、弧度制：①π= 180弧度，1弧度'1857)180 ( ≈=π ； ②弧长公式：r l ||α= （α是角的弧度数） 2、三角函数定义： y r x r y x x y r x r y ====== ααααααcsc sec cot tan cos sin 3、特殊角的三角函数值 4、同角三角函数基本关系式： 1cos sin 22=+αα α α αcos sin tan = 1cot tan =αα

高中数学各种暴强公式

[例题1] 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且向量BF=2向量FD，求C的离心率_____。[解析]：利用爆强公式：ecosA＝（x－1）/（x ＋1）A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。x为分离比（就是指AF＝xBF），必须大于1。注上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分，用该公式；如果外分，将公式中正负号对调。综上：本题中cosA＝c/a＝e，所以代入公式易得e=√3/3 [例题2]已知O三角形ABC的外心，AB＝2，AC＝5，向量AO※向量BC（数量积）＝__[解析]：根据爆强公式：向量AO※向量BC＝(AC^2－AB^2)/2易得。[公式的来源：过O作BC 垂线，垂足为D，转化到三角形]综上：答案为：21/2 [例题3]已知正三棱锥S-ABC，若点P是底面ABC内一点，且点P到三棱锥的三个侧面的三个距离依次成等差数列，则点P的轨迹是（）A.一条直线的一部分B，椭圆的一部分，C，圆的一部分D，抛物线的一部分[解析]：根据等体积易得d1＋d2＋d3＝定值。又因为这三个数成等差，所以d2为定值。故选A[答案]:A [例题4]已知椭圆x^2/4＋y^2/3＝1，直线AB过椭圆右焦点，交于椭圆A.B两点，AB的中点为（1/2，1/2），求直线AB的方程。[解析]：根据爆强公式k椭＝-b^2xo/（a^2yo）＝-3/4根据点斜易得直线方程。[答案]3x＋4y-3＝0 [例题5]已知点(x，y)满足x^2/4+y^2＜=1，求x＋2y的取值范围。[解析]：根据参数方程求解。x=2cosc，y=sinc 所以x+2y＝2cosc＋2sinc＝2√2sin(c+派/4) [答案]：[-2√2，2√2] [例题6]已知a(n+1)＝3a(n)＋2，a1＝2，求an。[解析]：根据爆强公式特征根方程得到x=q/(1-p)＝2/(1-3)＝-1，所以an=(a1-x)p^(n-1)＋x＝3^(n-1）-1[答案]：an＝3^(n-1)-1 [例题7]空间给定不共面的A、B、C、D 四个点，其中任意两点的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A、B、C、D中有三个点到α的距离相同，另外一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面的个数是A．15 B．23 C．26 D．32 [解析]：无论如何算，答案必是4的倍数。因为C41＝4[答案]:D 如果要真正做也可以自己想一下：4×（2＋6）＝32 [例题8]三角形ABC的两顶点A(-5,0),B(5,0)，三角形内心在直线x=3上，求顶点C的轨迹方程。[解析]：根据双曲线性质，c是双曲线上一点，三角形f1cf2的内切圆的圆心必在x=a 上，所以易得a＝3，c＝5注意定义域[答案]：x^2/9 -y^2/16＝1（x＞0） [例题9]已知P点在圆c：x^2＋(y-4)^2＝1上移动，Q点在椭圆x^2/4 ＋y^2＝1上移动，求∣PQ∣的最大值。[解析]：抓住圆的圆心不动，以静制动。设点C(0，4）与点Q(x，y)的距离为d，则d^2＝x^2＋(y-4)^2=4-4y^2＋(y-4)^2 又因为y属于[-1，1] 所以d^2最大为25 所以d+1最大为6。[答案]：6 [例题10](a+b+c)^6的展开式中合并同类项后共有__项。[解析]:根据常用结论(a+b+c)^n的展开项有C(n+2) 2项。所以本题C8 2＝28[答案]：28[拓展]：上述公式可以推广成(x1＋x2＋…＋xm）^n 展开合并后共有：C(n+m-1) (m-1) 项

高中数学知识点归纳总结》

教师版高中数学必修+选修知识点归纳

安徽·合肥郭建德老师整理 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线 与平面、平面与平面、棱柱、 棱锥、球、空间向量 ⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二 项式定理及其应用 ⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、 抽样、正态分布 ⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数：复数的概念与运算 必修1数学知识点 第一章：集合与函数概念 §

高中数学知识点总结(精华版)

高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(210时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.

苏教版高中数学必修4-1.2知识拓展：由三角恒等式派生的公式

由三角恒等式派生的公式 由基本公式经过简单推导，得出一系列的公式，谓之派生公式，在恒等变形中使用这些派生公式，可使解题过程简化．常用的有 1．sinα±cosα＝2sin ??? ? ?±4πα ＝2cos ??? ? ?4πα ． 2．tan α＋cot α＝secα·cscα＝ α 2sin 2． 3．tan α－cot α＝－2cot 2α． 4．tan α±tan β＝βαβαcos cos )sin(±． 5．cot α±cot β＝β αβαsin sin )sin(±． 6．sin （α＋β）sin （α－β）＝sin 2α－sin 2β． 7．cos （α＋β）cos （α－β）＝cos 2α－sin 2β． 8．(sinα±cosα)2＝1±sin2α． 9．2 tg 2tg sin sin sin sin βαβ αβαβα+-=+-． 10．2tg 2 cos 2sin cos cos sin sin βαβαβαβαβα+=++=++． 11．1＋cosα＝2cos 22α，1＋sin α＝2cos 2??? ??-24απ． 12．1－cosα＝2sin 2 2α，1－sinα＝2sin 2??? ??-24απ． 13．当A ＋B ＋C ＝kπ（k ∈Z ）时， tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C ． 14．当A ＋B ＋C ＝π时，

sin2A ＋sin2B ＋sin2C ＝4sin A sin B sin C ． sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos 2A cos 2B cos 2 C ． cos A ＋cos B ＋cos C ＝1＋4sin 2A sin 2B sin 2C ． 15．a sinα＋b cosα＝22b a +sin （α＋φ），????????????+=+=2222s i n c o s b a b b a a ??， ＝22b a +cos （α－φ1），??? ? ????????+=+= 221221c o s s i n b a b b a a ??．

高中数学知识点总结精华版

高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版

一、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合： Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?， 则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定： 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子 集，21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完 全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则： ()()21x f x f -=… (2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方 程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ；

最全高中数学知识点总结(最全集)

最全高中数学知识点总结（最全集） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。

高中数学学业水平考试复习必背知识点

高中数学会考复习必背知识点 第一章 集合与简易逻辑 1、含ｎ个元素得集合得所有子集有个 第二章 函数 1、求得反函数:解出,互换,写出得定义域; 2、对数:①:负数与零没有对数,②、1得对数等于0:,③、底得对数等于1:, ④、积得对数:, 商得对数:, 幂得对数:;, 第三章 数列 1、数列得前n 项与:; 数列前ｎ项与与通项得关系: ２、等差数列 :(1)、定义:等差数列从第2项起,每一项与它得前一项得差等于同一个常数; (2)、通项公式: (其中首项就是,公差就是;) (3)、前ｎ项与:１、(整理后就是关于n 得没有常数项得二次函数) (4)、等差中项: 就是与得等差中项:或,三个数成等差常设:ａ-d ,a ,ａ+ｄ 3、等比数列:(１)、定义:等比数列从第2项起,每一项与它得前一项得比等于同一个常数,()、 (２)、通项公式:(其中:首项就是,公比就是) (3)、前ｎ项与: (4)、等比中项: 就是与得等比中项:,即(或,等比中项有两个) 第四章 三角函数 1、弧度制:(１)、弧度,1弧度;弧长公式: (就是角得弧度数) 2、三角函数 (１)、定义: y r x r y x x y r x r y ======ααααααcsc sec cot tan cos sin 4、同角三角函数基本关系式: 5、诱导公式:(奇变偶不变,符号瞧象限) 正弦上为正;余弦右为正;正切一三为正 公式二: 公式三: 公式四: 公式五: 6、两角与与差得正弦、余弦、正切 : : : : : : ７、辅助角公式:??? ? ?? ++++=+x b a b x b a a b a x b x a cos sin cos sin 2 22222

高考数学探究利用高中数学拓展公式巧解高考或模拟试题

高考数学探究利用高中数学拓展公式巧解高考或模拟试题 ★角平分线定理 如下图所示，若P 为ABC ?中A ∠的内（外）角平分线与BC 的交点，则 PC BP AC AB = 。 【示例1】已知1F 、2F 分别为双曲线C ：127 92 2=-y x 的左、右焦点，点C A ∈，点M 的坐标为)02(，，AM 为21AF F ∠的平分线，则=2AF 。 【简答】：依据题意可得)0,6(1-F ，)0,6(2F ，因为AM 为21AF F ∠的平分线，且点M 的坐标为)02(，，所以由角平分线定理得 24 8 2 12 1== = MF M F AF AF ，即212AF AF =。 由双曲线的定义知6221==-a AF AF ，故可得62=AF 。 【示例2】已知I 是ABC ?的内心，2=AC ，3=BC ，4=AB ，若AC y AB x AI +=，则y x +的值为（ ） （A ） 31 （B ）32 （C ）94 （D ）9 5

【简答】：如上图所示，因为I 是ABC ?的内心，即AD 平分BAC ∠，BI 平分ABC ∠，所以由角平分线定理得 224===DC BD AC AB ，从而得23 2 ==BC BD 224===ID AI BD AB ，AD AI 3 2 = （评注：目的是为了确定I D ,的位置） 所以)32(32)(3232BC AB BD AB AD AI +=+== BC AB 9 4 32+= 9492)(9432+=-+= ，即3 2 9492=+=+y x ，故选B 。 【示例3】已知双曲线C ：122 22=-b y a x 的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ， 交另一条渐近线于N 。若=2，则双曲线的离心率=e 。 【简答】：如上图所示，因为)(2 2 2 b a c c OF +==，所以依据题意可得b MF =，a OM =，b FN 2=。 注意到，x 轴为MON ∠的平分线，所以由角平分线定理可得到 2 1 ==FN MF ON OM ，所以a ON 2= 进而在直角三角形OMN 中，由勾股定理可得2 2 2 )2()2(a b b a =++，即3 1 22=a b 所以3 3 2311122=+=+=a b e ★广义托勒密定理（不等式） 设ABCD 为任意凸四边形，则BD AC AD BC CD AB ?≥?+?，当且仅当D C B A ,,,四点共圆时取等号。

2020最新高二数学知识点归纳总结5篇精选

2020最新高二数学知识点归纳总结5篇精选高中学生要根据自己的条件，以及高中阶段学科知识交叉多、综合性强，以及考查的知识和思维触点广的特点，找寻一套行之有效的学习方法。下面就是我给大家带来的高二数学知识点总结，希望能帮助到大家！ 高二数学知识点(一) 第一章：集合和函数的基本概念，错误基本都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就是五分没了。次一级的知识点就是集合的韦恩图，会画图，集合的“并、补、交、非”也就解决了，还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。 第二章：基本初等函数：指数、对数、幂函数三大函数的运算性质及图像。函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现，单调性、增减性、极值、零点等等。关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习基本就没多大问题。函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及函数值的大小关系，这也是常考常错点。另外指数函数和对数函数的对立关系及其相互之间要怎样转化问题也要了解清楚。 第三章：函数的应用。主要就是函数与方程的结合。其实就是的实根，即函

数的零点，也就是函数图像与X轴的交点。这三者之间的转化关系是这一章的重点，要学会在这三者之间的灵活转化，以求能最简单的解决问题。关于证明零点的方法，直接计算加得必有零点，连续函数在x轴上方下方有定义则有零点等等，这是这一章的难点，这几种证明方法都要记得，多练习强化。这二次函数的零点的Δ判别法，这个倒不算难。 高二数学知识点(二) 第一章：三角函数。考试必考题。诱导公式和基本三角函数图像的一些性质只要记住会画图就行，难度在于三角函数形函数的振幅、频率、周期、相位、初相，及根据最值计算A、B的值和周期，及等变化时图像及性质的变化，这一知识点内容较多，需要多花时间，首先要记忆，其次要多做题强化练习，只要能踏踏实实去做，也不难掌握，毕竟不存在理解上的难度。 第二章：平面向量。个人觉得这一章难度较大，这也是我掌握最差的一章。向量的运算性质及三角形法则平行四边形法则难度都不大，只要在计算的时候记住要同起点的向量。向量共线和垂直的数学表达，这是计算当中经常要用的公式。向量的共线定理、基本定理、数量积公式。难点在于分点坐标公式，首先要准确记忆。向量在考试过程一般不会单独出现，常常是作为解题要用的工具出现，用向量时要首先找出合适的向量，个人认为这个比较难，常常找不对。有同样情况的同学建议多看有关题的图形。 第三章：三角恒等变换。这一章公式特别多。和差倍半角公式都是会用到的公式，所以必须要记牢。由于量比较大，记忆难度大，所以建议用纸写之后贴在桌子上，天天都要看。而且的三角函数变换都有一定的规律，记忆的时候可以结合起来去记。除此之外，就是多练习。要从多练习中找到变换的规律，比如一般

高中数学知识清单完整版

一、集合的含义与表示 （1）集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。 （2）元素与集合的关系有且仅有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“?” 表示）。 （3）常用数集及其表示符号 （4）集合的表示法：列举法；描述法；图示法。 二、集合间的基本关系 三、集合的基本运算

x x }x B ∈ x x }x B ∈ (1)A A ?=(2)A A A =; A B B =A B A =? (1)A ?=?(2)A A A =; A B B =; (4) A B A =? A B ? ()U C A =()U U C A =(4)()(U C A B =(5)U C 知识拓展： 设有限集合A 中元素的个数为n ，则（1） （1）A 的子集个数是2n ； （2）A 的真子集个数是2n -1； （3）A 的非空子集个数是2n -1； （4）A 的非空真子集个数是2n -2。 一、不等式的定义 用数学符号“> 、< 、≤ 、≥ 、≠ ”连接两个数或代数式以表示它 们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式。 二、不等式的基本性质

三、比较大小的基本方法 作差法： 理论依据：0;0;0 a b a b a b a b a b a b ->?>- ? ? > ? 的解集为} {x x b>；（2）x a x b < ? ? < ? 的解集为} {x x a<； （3）x a x b > ? ? < ? 的解解为} {x a x b <<；（4） x a x b < ? ? > ? 的解集为? 2、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式 二次函 2 y ax bx =+

2019年上海高考数学 拓展学习2 数列

2019年高中数学·拓展学习 数列 一、单调性： 1、已知数列{}n a 是首项为1，公差为2m 的等差数列，前n 项和为n S ，设2n n n S b n =?* ()n N ∈，若数列{}n b 是递减数列，则实数m 的取值范围是 2、等差数列{}n a 的通项公式为28n a n =-，下列四个命题．1α：数列{}n a 是递增数列；2α：数列{}n na 是递增数列；3α：数列n a n ?????? 是递增数列；4α：数列{}2 n a 是递增数列．其中真命题的是 3、已知定义在R 上的函数)(x f ，对任意实数21,x x 都有1212()1()()f x x f x f x +=++，且(1)1f =. (1）设对任意正整数n ，有1 () n b f n = ．若不等式12226 log (1)35 n n n b b b x +++++> +对任意不小于2的正整数n 都成立，求实数x 的取值范围．

二、新定义型： 1、（运算型）已知各项均为正数的数列{}n a 满足11(2)(1)0n n n n a a a a ++--=*()n N ∈，且110a a =，则首项1a 所有可能取值中最大值为 2、（方法型）设1210x x x ，，，为1210，， ，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为（ ） （A ）512 （B ）256 （C ）255 （D ）64 3、（运算型）已知等比数列1a 、2a 、3a 、4a 满足)1,0(1∈a ，)2,1(2∈a ，)4,2(3∈a ，则4a 的取值范围是（ ） A. (3,8) B. (2,16) C. (4,8) D. 4、（运算型）对于数列{}n a ，规定{}n a ?为数列{}n a 的一阶差分数列，其中11()n n n a a a n N *+?=-∈．对于正整数k ，规定{}k n a ?为{}n a 的k 阶差分数列，其中111k n k n k n a a a -+-?=?-?．若数列{}n a 的通项1 3 n n a -=，则 2122232n a a a a ?+?+?++?= 5、（运算型）以()m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以m 为分母组成分数集合1A ，其所有元素和为1a ；以() 2 ,0m 间的整数()N m m ∈>,1为分子，以2 m 为分母组成不属于集合1A 的分数集合2A ，其所有元素和为2a ；……，依次类推以( )n m ,0间的整数()N m m ∈>,1为分子，以n m 为分母组成不属于121,,,n A A A -???的分数集合n A ，其所有 元素和为n a ；则12n a a a ???+++=________. 6、（概念型）已知二次函数2() ()f x x ax a x R =-+∈同时满足： ① 不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素； ② 在定义域内存在120x x <<，使得不等式12()()f x f x >成立．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()n S f n =．规定：各项均不为零的数列{}n b 中，所有满足10i i b b +?<的正整数i 的个数称为这个数列{}n b 的变号数．若令1n n a b a =-（*n N ∈），则数列{}n b 的变号数等于 7、（概念型）设)2(log 1+=+n a n n )(* ∈N n ，称k a a a a 321为整数的k 为“希望数”，则在)2013,1(内所有“希 望数”的个数为 8、（匹配型）设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，6,231==a a ，若自然数,...,...,21k n n n 满足 ......321<<<<

让我再看你一眼(高中数学知识点回顾)

让我 再看你一眼 高中数学知识点回顾 姓名：

答题技巧 一、技术矫正： 考试中时间分配及处理技巧非常重要,有几点需要必须提醒同学们注意： ⑴、按序答题,先易后难：一定要选择熟题先做、有把握的题目先做； ⑵、不能纠缠在某一题、某一细节上，该跳过去就先跳过去，千万不能感觉自己被卡住，这样会心慌，影响下面做题的情绪； ⑶、避免“回头想”现象。一定要争取一步到位，不要先做一下，等回过头来再想再检查，高考时间较紧张，也许待会儿根本顾不上再来思考； ⑷、做某一选择题时如果没有十足的把握，初步答案或猜估的答案必须先在卷子上做好标记，有时间再推敲，不要空答案，否则要是时间来不及瞎写答案只能增加错误的概率。 二、规范化提醒： 这是取得高分的基本保证，规范化包括：①解题过程有必要的文字说明或叙述;②注意解完后再看一下题目，看你的解答是否符合题意，谨防因解题不全或失误，答题或书写不规范而失分，总之，要吃透题“情”；③合理分配时间，做到一准、二快、三规范，特别是要注意解题结果的规范化。 例如： ⑴、解与解集：方程的结果一般用解表示(除非强调求解集)；不

3 等式、三角方程的结果一般用解集(集合或区间)表示.三角方程的通解中必须加k Z ∈.在写区间或集合时,要正确地书写圆括号、方括号或大括号,区间的两端点之间、集合的元素之间用逗号隔开； ⑵、解题结束后一定要写上符合题意的“答”，如利用法向量求出的空间角的余弦，应用题等都要作答； ⑶、分类讨论题,最后一定要写综合性结论； ⑷、任何结果要最简.如2 , 2 211 4 22 == 等. ⑸、排列组合题,无特别声明,要求出数值. ⑹、函数解析式后面一般要注明定义域； ⑺、参数方程化普通方程,要考虑消参数过程中最后的限制范围； ⑻、注意轨迹与轨迹方程的区别：轨迹方程一般用普通方程表示,轨迹则需要说明图形形状，且有条件限制的轨迹方程必须注明x 或y 的范围. 三、考前寄语： ①、先易后难，先熟后生； ②、一慢一快：审题要慢，做题要快； ③、不能小题难做，小题大做，而要小题小做，小题巧做； ④、我易人易我不大意，我难人难我不畏难； ⑤、考试不怕题不会，就怕会题做不对； ⑥、基础题拿满分，中档题拿足分，难题力争多得分，似曾相识题力争不失分； ⑦、对数学解题有困难的考生的建议：立足中下题目，力争高上水平，有时“放弃”是一种策略。