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二次函数存在性问题及解答

初中数学二次函数存在性问题

总复习试题及解答

1．（10广东深圳）如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）． (1）求抛物线的解析式；

(2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；

(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △P AD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．

答案：（1）、因为点A 、B 均在抛物线上，故点A 、B 的坐标适合抛物线方程

∴403a c a c +=??+=-? 解之得：14

a c =??=-?；故24y x =-为所求 (2）如图2，连接BD ，交y 轴于点M ，则点M 就是所求作的点设BD 的解析式为y kx

b =+，则有203k b k b +=??

-+=-?，1

k b =??=-?，

故BD 的解析式为2y x =-；令0,x =则2y =-，故(0,2)M -

(3)、如图3，连接AM ，BC 交y 轴于点N ，由（2）知，OM=OA=OD=2，90AMB ∠=? 易知BN=MN=1，

易求AM BM ==

122ABM

=?=；设2(,4)P x x -，依题意有：214422AD x -=?，即：2

144422x ?-=

解之得：x =±，0x =

，故符合条件的P

点有三个：

123((0,4)P P P --

图2

2． (10北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = -

41-m x 2+4

x +m 2-3m +

与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2，n )在这条抛物线上。

(1) 求点B 的坐标；

(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D 。使得ED =PE 。以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动) 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；

若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动)。若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值。

答案：解：(1) ∵拋物线y = -41-m x 2+4

x +m 2-3m +2经过原点，

∴m 2

-3m +2=0，解得m 1=1，m 2=2，由题意知m ≠1，∴m =2，

∴拋物线的解析式为y = -41x 2+25

x ，

∵点B (2，n )在拋物线 y = -41x 2+2

x 上，

∴n =4，∴B 点的坐标为(2，4)。

(2) 设直线OB 的解析式为y =k 1x ，求得直线OB 的解析式为 y =2x ， ∵A 点是拋物线与x 轴的一个交点，可求得A 点的坐标为(10，0)，设P 点的坐标为(a ，0)，则E 点的坐标为(a ，2a )，

根据题意作等腰直角三角形PCD ，如图1。可求得点C 的坐标为(3a ，2a )，由C 点在拋物线上，得2a = -41?(3a )2+2

?3a ，

即49a 2-211a =0，解得a 1=9

22，a 2=0 (舍去)， ∴OP =9

。

依题意作等腰直角三角形QMN ，设直线AB 的解析式为y =k 2x +b ，由点A (10，0)，点B (2，4)，

求得直线AB 的解析式为y = -2

x +5，

当P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：

第一种情况：CD 与NQ 在同一条直线上。如图2所示。可证△DPQ 为等腰直角三角形。此时OP 、DP 、AQ 的长可依次表示为t 、4t 、2t 个单位。

∴PQ =DP =4t ，∴t +4t +2t =10，∴t =7

。

第二种情况：PC 与MN 在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM 为等腰直角三角形。此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位。∴OQ =10-2t ，

∵F 点在直线AB 上，∴FQ =t ，∴MQ =2t ，∴PQ =MQ =CQ =2t ，∴t +2t +2t =10，∴t =2。第三种情况：点P 、Q 重合时，PD 、QM 在同一条直线上，如图4所示。此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位。 ∴t +2t =10，∴t =

10。综上，符合题意的 t 值分别为710，2， 3

。

3．（10贵州遵义）如图，已知抛物线)0(2

≠++=a c bx ax y 的顶点坐

标为Q ()1,2-，且与y 轴交于点C ()3,0，与x 轴交于A 、B 两

点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ．

(1)求该抛物线的函数关系式；

(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；

(3)在问题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：解：（1）

∵抛物线的顶点为Q （2，-1） ∴设()122

--=x a y

将C （0，3）代入上式，得

()12032

--=a 1=a

∴

()122

--=x y ，即342+-=x x y

(2）分两种情况：

①当点P 1为直角顶点时,点P 1与点B 重合(如图)

令y =0, 得0342

=+-x x

解之得11=x , 32=x

∵点A 在点B 的右边, ∴B(1,0), A(3,0)

∴P 1(1,0)

②解:当点A 为△APD 2的直角顶点是(如图)

∵OA=OC, ∠AOC= 90, ∴∠OAD 2=

当∠D 2AP 2= 90时, ∠OAP 2= 45, ∴AO 平分∠D 2AP 2

又∵P 2D 2∥y 轴, ∴P 2D 2⊥AO, ∴P 2、D 2关于x 轴对称.

设直线AC 的函数关系式为b kx y +=

将A(3,0), C(0,3)代入上式得

???=+=b b k 330, ∴??

?=-=31

b k ∴3+-=x y

∵D 2在3+-=x y 上, P 2在342

+-=x x y 上, ∴设D 2(x ,3+-x ), P 2(x ,342+-x x ) ∴(3+-x )+(342+-x x )=0

0652=+-x x , ∴21=x , 32=x (舍)

∴当x =2时, 342

+-=x x y

=32422+?-=-1

∴P 2的坐标为P 2(2,-1)(即为抛物线顶点) ∴P 点坐标为P 1(1,0), P 2(2,-1)

(3)解: 由题(2)知,当点P 的坐标为P 1(1,0)时,不能构成平行四边形

当点P 的坐标为P 2(2,-1)(即顶点Q)时,

平移直线AP(如图)交x 轴于点E,交抛物线于点F. 当AP=FE 时,四边形PAFE 是平行四边形 ∵P(2,-1), ∴可令F(x ,1) ∴1342=+-x x

解之得: 221-

=x , 222+=x

∴F 点有两点,即F 1(22-,1), F 2(22+,1)

4．（10湖北黄冈）已知抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O.过抛物

线上一点P （x ，y ）向直线5

y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）. (1）求字母a ，b ，c 的值；

(2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4

F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；

(3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求

出t 值，若不存在请说明理由.

答案：（1）a ＝－1，b ＝2，c ＝0

(2）过P 作直线x=1的垂线，可求P 的纵坐标为14，横坐标为1.此时，MP ＝MF ＝PF ＝1，故△MPF 为正三角形. (3）不存在.因为当t ＜

54，x ＜1时，PM 与PN 不可能相等，同理，当t ＞5

，x ＞1时，PM 与PN 不可能相等.

5．（10辽宁丹东）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），点N 的坐标为（－6，－4）．

(1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ，点N 的对应点为B ，点H 的对应点为C ）； (2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；

(3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形．．．BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

(4）在（3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接．．

写出此

时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

答案：（1）利用中心对称性质，画出梯形OABC ．

∵A ，B ，C 三点与M ，N ，H 分别关于点O 中心对称， ∴A （0，4），B （6，4），C （8，0）

(写错一个点的坐标扣1分）

(2）设过A ，B ，C 三点的抛物线关系式为2

y ax bx c =++， ∵抛物线过点A （0，4），

∴4c =．则抛物线关系式为2

4y ax bx =++．

将B （6，4）， C （8，0）两点坐标代入关系式，得

3664464840a b a b ++=??

++=?，

．

O M

N H

A C E F

↑

→ －8

(－6，－4)

解得1432

a b ?=-????=??，．

所求抛物线关系式为：213

442

y x x =-

++． (3）∵OA =4，OC =8，∴AF =4－m ，OE =8－m ．

∴AGF EOF BEC EFGB ABCO S S S S S =---△△△四边形梯形 21=OA （AB +OC ）12-AF ·AG 12-OE ·OF 1

-CE ·OA m m m m m 42

1)8(21)4(2186421?-----+??=

）（ 2882

+-=m m ( 0＜m ＜4）

∵2

(4)12S m =-+． ∴当4m =时，S 的取最小值．又∵0＜m ＜4，∴不存在m 值，使S 的取得最小值． (4

）当2m =-+GB =GF ，当2m =时，BE =BG ．

6．已知：函数y =ax 2+x +1的图象与x 轴只有一个公共点． (1）求这个函数关系式；

(2）如图所示，设二次．．函数y =ax 2

+x +1图象的顶点为B ，与y 轴的交点为A ，P 为图象上的一点，若以线段PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ，求P 点的坐标；

(3）在(2)中，若圆与x 轴另一交点关于直线PB 的对称点为M ，试探索点M 是否在抛物

线y =ax 2+x +1上，若在抛物线上，求出M 点的坐标；若不在，请说明理由．

答案：解：（1）当a = 0时，y = x +1，图象与x 轴只有一个公共点……… 当a ≠0时，△=1- 4a =0，a = 1

，此时，图象与x 轴只有一个公共点．

∴函数的解析式为：y =x +1 或`y =1

x 2+x +1……

(2）设P 为二次函数图象上的一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ．

∵y =ax 2

+x +1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为： y =1

x 2+x +1，则顶点为B （-2，0），图象与y 轴的交点坐标为A （0，1）∵以PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ∴PB ⊥AB 则∠PBC =∠BAO

∴Rt △PCB ∽Rt △BOA

∴AO

BC OB

PC =，故PC =2BC ，设P 点的坐标为(x ，y )，∵∠ABO 是锐角，∠PBA 是直角，

∴∠PBO 是钝角，∴x <-2

∴BC =-2-x ，PC =-4-2x ，即y =-4-2x ， P 点的坐标为(x ，-4-2x )

∵点P 在二次函数y =14 x 2+x +1的图象上，∴-4-2x =1

x 2+x +1解之得：x 1=-2，x 2=-10

∵x <-2 ∴x =-10，∴P 点的坐标为：(-10，16)(3）点M 不在抛物线y =ax 2

+x +1 上由（2）知：C 为圆与x 轴的另一交点，连接CM ，CM 与直线PB 的交点为Q ，过点M 作x 轴的垂线，垂足为D ，取CD 的中点E ，连接QE ，则CM ⊥PB ，且CQ =MQ

∴QE ∥MD ，QE =1

MD ，QE ⊥CE

∵CM ⊥PB ，QE ⊥CE PC ⊥x 轴 ∴∠QCE =∠EQB =∠CPB

∴tan ∠QCE = tan ∠EQB = tan ∠CPB =1

CE =2QE =2×2BE =4BE ，又CB =8，故BE =85 ，QE =16

∴Q 点的坐标为(-185 ，16

)

可求得M 点的坐标为(145 ，32

)

∵14(145)2+(145)+1 =14425 ≠325 ∴C 点关于直线PB 的对称点M 不在抛物线y =ax 2

+x +1 上

7．（10重庆潼南）如图, 已知抛物线c bx x y ++=

1与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）. (1）求抛物线的解析式；

(2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积

最大时，求点D 的坐标；

(3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，

若不存在，说明理由.

答案：解：（1）∵二次函数c bx x y ++=

1的图像经过点A （2，0）C(0,－1) ∴?

??-==++1022c c b

解得： b =－

c =－1 ∴二次函数的解析式为12

212--=

x x y (2）设点D 的坐标为（m ，0） (0＜m ＜2）

∴ OD =m ∴AD =2-m 由△AD E ∽△AOC 得，OC

AO AD =

∴

122DE

m =

- ∴DE =2

2m -

∴△CDE 的面积=21×2

-×m

=242m m +-=4

)1(412+--m 当m =1时，△CDE 的面积最大 ∴点D 的坐标为（1，0）

(3）存在由(1)知：二次函数的解析式为12

212--=

x x y 设y=0则12

2102--=

x x 解得：x 1=2 x 2=－1 ∴点B 的坐标为（－1，0） C （0，－1）

设直线BC 的解析式为：y =kx ＋b

∴ ??

?-==+-1

b b k 解得：k =-1 b =-1

∴直线BC 的解析式为: y =－x －1

在Rt △AOC 中，∠AOC=900

OA=2 OC=1

由勾股定理得：AC=5 ∵点B(－1,0) 点C （0，－1） ∴OB=OC ∠BCO=450

①当以点C 为顶点且PC=AC=5时，

设P(k , －k －1)

过点P 作PH ⊥y 轴于H ∴∠HCP=∠BCO=450 CH=PH=∣k ∣ 在Rt △PCH 中

k 2+k 2

()2

5 解得k 1

210， k 2=－2

10 ∴P 1（

210，－1210-） P 2（－210，

10-） ②以A 为顶点，即AC=AP=5 设P(k , －k －1)

过点P 作PG ⊥x 轴于G AG=∣2－k ∣ GP=∣－k －1∣ 在Rt △APG 中 AG 2＋PG 2=AP 2

(2－k )2

+(－k －1)2

=5 解得：k 1=1,k 2=0(舍)

∴P 3(1, －2)

③以P 为顶点，PC=AP 设P(k , －k －1) 过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q PL ⊥x 轴于点L ∴L(k ,0)

∴△QPC 为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP=PA=2k

∴AL=∣k -2∣, PL=｜－k －1｜在Rt △PLA 中

(2k)2=(k －2)2＋(k ＋1)2 解得：k =

25∴P 4(25,－2

7) 综上所述：存在四个点：P 1（

210，－

-） P 2（-

210，

1210-） P 3(1, －2) P 4(25,－2

) 8． (10山东临沂）如图，二次函数y = -x 2+ax +b 的图像与x 轴交于A (

B (2，0)两点，且与y 轴交于点

C ；

(1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC 的形状；

(2) 在x 轴上方的拋物线上有一点D ，且以A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点

为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。

答案：[解] (1) 根据题意，将A (-

，0)，B (2，0)代入y = -x 2+ax +b 中，得?????=++-=+--0

240

41b a b a ，解这个方程，得a =23，b =1，∴该拋物线的解析式为y = -x 2+2

x +1，当 x =0

时，y =1，

∴点

的坐标为(0，1)。∴在△AOC

中，

AC =22OC OA +=221)2

1(+=

5。在△BOC 中，BC =22OC OB +=2212+=5。

AB =OA +OB =21+2=25，∵AC 2+BC 2=45+5=

=AB 2，∴△ABC 是直角三角形。

(2) 点D 的坐标为(2

3，1)。

(3) 存在。由(1)知，AC ⊥BC 。

若以BC 为底边，则BC //AP ，如图1所示，可求得直线

BC 的解析式为y = -2

1x +1，直线AP

BC 平移得到的，所以设直线AP 的解析式为y =

-2

x 把点A (-21，0)代入直线AP 的解析式，求得b = -4

1，

∴直线AP 的解析式为y = -21x -4

1。∵点P 既在拋物线上，又在直线AP 上，

∴点P 的纵坐标相等，即-x 2+23

x +1= -21

x -41

，解得x x 2= -21(舍去)。当x =25时，y = -23，∴点P (25，-2

) 若以AC 为底边，则BP //AC ，如图2所示。可求得直线AC 的解析式为y =2x +1。

直线BP 可以看作是由直线AC 平移得到的，

所以设直线BP 的解析式为y =2x +b ，把点B (2，0)代入直线BP 的解析式，求得b = -4，

∴直线BP 的解析式为y =2x -4。∵点P 既在拋物线上，又在直线BP 上，∴点P 的纵坐标相等，即-x 2+23x +1=2x -4，解得x 1= -2

5，x 2=2(舍去)。

当x = -25

时，y = -9，∴点P 的坐标为(-2

5，-9)。综上所述，满足题目条件的点P 为(25，-23)或(-2

5，-9)。

9．（10山东潍坊）如图所示，抛物线与x 轴交于点()()1030A B -，、，两点，与y 轴交于点()03.C -，以AB 为直径作M ⊙，过抛物线上一点P 作M ⊙的切线PD ，切点为D ，并与M ⊙的切线AE 相交于点E ，

连结DM 并延长交M ⊙于点N ，连结.AN AD 、 (1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标；

(2）若四边形EAMD 的面积为求直线PD 的函数关系式；

(3）抛物线上是否存在点P ，使得四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.

答案：解：（1）因为抛物线与x 轴交于点()()1030A B -，、，两点，设抛物线的函数关系式为：()()13y a x x =+-，

∵抛物线与y 轴交于点()03C -，， ∴()()30103a -=+-， ∴ 1.a =

所以，抛物线的函数关系式为：2

23y x x =--，

又()2

14y x =--，

因此，抛物线的顶点坐标为()14-，．

(2）连结EM ，∵EA ED 、是M ⊙，的两条切线， ∴EA ED EA AM ED MN =⊥⊥，，，∴EAM EDM △≌△

又四边形EAMD

的面积为

∴EAM S =△

∴1

AM AE =· 又2AM =，

∴AE =

因此，点E

的坐标为(11

E -

或(21.E --，

当E 点在第二象限时，切点D 在第一象限. 在直角三角形EAM

中，tan EA EMA AM ∠=== ∴60EMA ∠=°，

∴60DMB ∠=° 过切点D 作DF AB ⊥，垂足为点F ，

∴1

MF DF ==，因此，切点D

的坐标为(2．

设直线PD 的函数关系式为y kx b =+，

将(

2E D -、的坐标代入得

2k b k b

=+=-+??

解之，得3

k b ?=-????=??

所以，直线PD

的函数关系式为y x =+

当E 点在第三象限时，切点D 在第四象限.

同理可求：切点D

的坐标为(2，，直线PD

的函数关系式为y x = 因此，直线PD 的函数关系式为

33y x =-

或33

y x =-

(3）若四边形EAMD 的面积等于DAN △的面积又22EAM DAN AMD EAMD S S S S ==△△△四边形， ∴AMD EAM S S =△△

∴E D 、两点到x 轴的距离相等，

∵PD 与M ⊙相切，∴点D 与点E 在x 轴同侧， ∴切线PD 与x 轴平行，

此时切线PD 的函数关系式为2y =或 2.y =-

当2y =时，由2

23y x x =--

得，1x =

当2y =-时，由2

23y x x =--

得，1x =

故满足条件的点P 的位置有4

个，分别是(

)(

)()

12311212P P P -、、、

()

412.P -

说明：本参考答案给出了一种解题方法，其它正确方法应参考标准给出相应分数.

10．(10山东省淄博)已知直角坐标系中有一点A （－4，3），点B 在x 轴上，△AOB 是等腰三角形．

(1）求满足条件的所有点B 的坐标；

(2）求过O 、A 、B 三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）；

(3）在（2）中求出的抛物线上存在点P ，使得以O ，A ，B ，P 四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P 的坐标及相应梯形的面积．

【答案】解：作AC ⊥x 轴，由已知得OC ＝4，AC ＝3，OA ＝22AC OC +＝5． (1）当OA ＝OB ＝5时，

如果点B 在x 轴的负半轴上，如图（1），点B 的坐标为（－5，0）．如果点B 在x 轴的正半轴上，如图（2），点B 的坐标为（5，0）．

当OA ＝AB 时，点B 在x 轴的负半轴上，如图（3），BC ＝OC ，则OB ＝8，点B 的坐标为（－8，0）．当AB ＝OB 时，点B 在x 轴的负半轴上，如图（4），在x 轴上取点D ，使AD ＝OA ，可知OD ＝8．由∠AOB ＝∠OAB ＝∠ODA ，可知△AOB ∽△ODA ，则OD OA OA OB =，解得OB ＝8

，点B 的坐标为（－

，

0）

(2）当AB ＝OA 时，抛物线过O （0，0），

A （－4，3），

B （－8，0）三点，设抛物线的函

数表达式为bx ax y +=

，可得方程组???

=-=-3

4160864b a b a ，解得a ＝163-，23

-=b ，

x x y 2

1632--

=． (当OA ＝OB 时，同理得x x y 415

432--=．

(3）当OA ＝AB 时，若BP ∥OA ，如图（5），作PE ⊥x 轴，则∠AOC ＝∠PBE ，∠ACO ＝∠PEB

＝90°，△AOC ∽△PBE ，

43==OC AC BE PE ．设BE ＝4m ，PE ＝3m ，则点P 的坐标为（4m －8，－3m ），代入x x y 2

1632--=，解得m ＝3．

则点P 的坐标为（4，－9），

S 梯形ABPO ＝S △ABO ＋S △BPO ＝48．若OP ∥AB （图略），根据抛物线的对称性可得点P 的坐标为（－12，－9）， S 梯形AOPB ＝S △ABO ＋S △BPO ＝48．

(当OA ＝OB 时，若BP ∥OA ，如图（6），作PF ⊥x 轴，则∠AOC ＝∠PBF ，∠ACO ＝∠PFB

＝90°，△AOC ∽△PBF ，

==OC AC BF PF ．设BF ＝4m ，PF ＝3m ，则点P 的坐标为（4m －5，－3m ），代入x x y 415432--=，解得m ＝23

．

则点P 的坐标为（1，－29

），

S 梯形ABPO ＝S △ABO ＋S △BPO ＝4

．

若OP ∥AB （图略），作PF ⊥x 轴，则∠ABC ＝∠POF ，∠ACB ＝∠PFO ＝90°，△ABC ∽△POF ，

3==BC AC OF PF ．设点P 的坐标为（－n ，－3n ），代入x x y 4

432--=，解得n ＝9．则

点P 的坐标为（－9，－27），S 梯形AOPB ＝S △ABO ＋S △BPO ＝75．

11． (10广西河池）

如图11，在直角梯形OABC 中，CB ∥OA ，90OAB ∠=，点O 为坐标原点，点A 在

x 轴的正半轴上，对角线OB ，AC 相交于点M ，4OA AB ==，2OA CB =．

(1）线段OB 的长为，点C 的坐标为； (2）求△OCM 的面积；

(3）求过O ，A ，C 三点的抛物线的解析式； (4）若点E 在（3）的抛物线的对称轴上，点F 为该抛物线上的点，且以A ，O ，F ，E 四点为顶点的四边形

为平行四边形，求点F 的坐标．

答案：解：（1）42 ；()2,4.

(2）在直角梯形OABC 中，OA =AB =4，90OAB ∠= ∵ CB ∥OA ∴ △OAM ∽△BCM 又 ∵ OA =2BC

∴ AM ＝2CM ，CM ＝31

AC 所以1

118443

323

OCM OAC S S ??=

=???= (注：另有其它解法同样可得结果，正确得本小题满分.） (3）设抛物线的解析式为()2

0y ax bx c a =++≠ 由抛物线的图象经过点()0,0O ,()4,0A ,()2,4C .所以

??=++=++=42404160

c b a c b a c

解这个方程组，得1a =-，4b =，0c =

所以抛物线的解析式为 2

4y x x =-+ (4）∵ 抛物线2

4y x x =-+的对称轴是CD ，2x =

① 当点E 在x 轴的下方时，CE 和OA 互相平分则可知四边形OEAC 为平行四边形，

此时点F 和点C 重合，点F 的坐标即为点()2,4C ；

② 当点E 在x 轴的下方，点F 在对称轴2x =的右侧，存在平行四边形AOEF ，OA ∥EF ，且O A E F =，此时点F 的横坐标为6，将6x =代入2

4y x x =-+，可得12y =-.所以()6,12F -.

同理，点F 在对称轴2x =的左侧，存在平行四边形OAEF ，OA ∥FE ，且O A F E

=，

此时点F 的横坐标为2-，将2x =-代入2

4y x x =-+，可得12y =-.所以()2,12F --.

综上所述，点F 的坐标为()2,4，()6,12-(),2,12--.

12．（10广西桂林）如图，过A （8，0）、B （0

，两点的直线与直线x y 3=

交于点C ．平

行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点

时停止；l分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF 与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线l的运动时间为t（秒）．

(1）直接写出C点坐标和t的取值范围；

(2）求S与t的函数关系式；

(3）设直线l与x轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：解（1）C（4

，

t的取值范围是：0≤t≤4

(2）∵D点的坐标是（t

，+，E的坐标是（t

）

∴DE

∴等边△DEF的DE边上的高为：123t

∴当点F在BO边上时：123t

-=t，∴t=3

①当0≤t<3

时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：

S=)

=2+

②当3≤t≤4时，重叠部分为等边三角形

备用图1

)(123)2

t -

-+ (3）存在，P （

，0）

说明：∵FO ≥FP ≥OP ≤4

∴以P ，O ，F 以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO ，FP , 若FO =FP 时，t =2（12-3t ），t =247，∴P （247

，0）

二次函数-平行四边形存在性问题

专题：二次函数中的平行四边形存在性问题类型一：已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足） 1.已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式； ⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．类型：已知两个定点，再找两个点构成平行四边形 1．已知，如图抛物线2 3(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A、B 两点，A 点在B 点左侧。点B 的坐标为(1，0),OC=30B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值： (3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上。是否存在以A、C、E、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

2、练习如图，抛物线：c bx x y ++=22 1与x 轴交于A、B（A 在B 左侧），顶点为C（1，﹣2）。（1）求此抛物线的关系式；并直接写出点A、B 的坐标；（2）求过A、B、C 三点的圆的半径；（3）在抛物线上找点P，在y 轴上找点E，使以A、B、P、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E 的坐标。 1．如图，抛物线2 23y x x =--与x 轴交A、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．

(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法

二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ） (1)线段对称轴是直线2x 2 1x x += (2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-= 中点公式：已知两点 ()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++222121y y ,x x 。 2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y += 如果这两天两直线互相垂直，则有121-=?k k 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2 （1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2，，L1与L2相交（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。 2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形 4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

中考数学二次函数存在性问题及参考答案

中考数学二次函数存在性问题及参考答案
一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1.如图，把抛物线向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线 . 所得抛物线与轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与轴交于点 C，顶点为 D. （1）写出的值；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；（3）在线段 AC 上是否存在点 M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由.
2.如图，已知抛物线经过 A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点 O，顶点为 C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PM x 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 P、M、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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二、二次函数中面积的存在性问题 3.如图，抛物线与双曲线相交于点 A，B．已知点 B 的坐标为（－2，－2），点 A 在第一象限内，且 tan∠AOX＝4．过点 A 作直线 AC∥ 轴，交抛物线于另一点 C．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点 D，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点 D 的坐标；若不存在，请你说明理由．
4.如图，抛物线 y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形 ABCD 的四个顶点，梯形的底 AD 在 x 轴上，其中 A（－2,0），B（－1, －3）．（1）求抛物线的解析式；（3 分）（2）点 M 为 y 轴上任意一点，当点 M 到 A、B 两点的距离之和为最小时，求此时点 M 的坐
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二次函数的存在性问题(面积)及答案

图12-2 x C O y A B D 1 1 二次函数的存在性问题(面积问题) 1、[08云南双柏]已知：抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB

二次函数中和角有关的存在性问题

二次函数中与角有关的存在性问题与角有关的存在性问题包括相等角的存在性、二倍角或半角的存在性，其他倍数关系角的存在性等，解决这类问题我们通常利用以下知识点去构造相关角： ①平行线的同位角、内错角相等；②等腰三角形的等边对等角；③相似三角形对应角相等；④全等三角形对应角相等；⑤三角形的外角定理等。然后利用解直角三角形、相似三角形边的比例关系作为计算工具去计算求解，难度相对较大，需要同学们灵活运用，融会贯通。【类型一相等角的存在性问题】（一）.利用平行线、等腰三角形构造相等角例1 如图，直线33+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线c bx x y ++-=2 与直线y =c 分别交y 轴的正半轴于点C 和第一象限的点P ，连接PB ，得BOA PCB ≌△△（O 为坐标原点）。若抛物线与x 轴正半轴交点为点F ，设M 是点C ，F 间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m . （1）直接写出点P 的坐标和抛物线的解析式. （2）求满足POA MPO ∠=∠的点M 的坐标.

（二）.利用相似三角形构造相等角例2 如图，抛物线c bx x y ++=2 2 1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其对称轴交抛物线于点D ，交x 轴于点E ，已知OB=OC=6. （1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接BD ，F 为抛物线上一动点，当EDB FAB ∠=∠时，求点F 的坐标；解：（1）因为OB=OC=6，所以B （6，0），C ()6,0-，将 B 、 C 点坐标代入解析式，得 ()822 162212 2--=--= x x x y ，所以点D 的坐标为（2，—8）（2）如图1，过F 作FG ⊥x 轴于点G ，设?? ? ?? --6221, F 2x x x ，则FG=62212--x x ，AG=x +2，当EDB FAB ∠=∠时，且B ED GA ∠=∠F ，所以BDE FAG ∽△△，所以 FG AG EB DE = ，即2622 12482=--+=x x x ，当点F 在x 轴上方时，则有12422 --=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=7，此时F 点的坐标为?? ? ??297，；当点F 在x 轴下方时，则有）（12422 ---=+x x x ，解得x=—2（舍去）或x=5，此时F 点的坐标为??? ? ?-275，，,综上可知点F 的坐标为??? ?? 297，或?? ? ? ?-275， .

(完整版)二次函数中的存在性问题(答案)

二次函数中的存在性问题姓名 1．已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．（1）求直线和抛物线解析式；（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由． 3．已知直线y=x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．

4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C（2，3）．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点E，以点E为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90°得到直线l，设直线l与y轴的交点为P，求△APE的面积；（3）若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F，使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线的顶点及对称轴；（3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）若点P是直线BC上方的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由．

二次函数的存在性问题(面积问题)

二次函数的存在性问题(面积问题) [08湖北荆州]已知：如图，R t △AOB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的正半轴和y 轴的负半轴上，C 为OA 上一点且OC ＝OB ，抛物线y=(x －2)(x －m )－(p-2)(p-m)（m 、p 为常数且m+2≥2p>0）经过A 、C 两点．（1）用m 、p 分别表示OA 、OC 的长；（2）当m 、p 满足什么关系时，△AOB 12220.(1)0 2)()(2)()0 )(2)0,222020 2,1(2),2 11 (2) 2211 (2)22 1 (2) 1 2(2)1 2 2()2 AOB AOB AO y x x m p p m x p x m p x p x m p m p m p p OA m p OC P OC OB S OA OB S OA OB P m p P m P m p m S =-----=---+=∴==+-+>>∴+->>∴=+-===∴==+-=-+++∴=-=+?-令得：（整理得：（当时，. B 最大 [08湖北荆州]如图，等腰直角三角形纸片AB C 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90o，直角边AC 在x 轴上，B 点在第二象限，A （1，0），AB 交y 轴于E ，将纸片过E 点折叠使BE 与EA 所在直线重合，得到折痕EF （F 在x 轴上），再展开还原沿EF 剪开得到四边形BCFE ，然后把四边形BCFE 从E 点开始沿射线EA 平移，至B 点到达A 点停止.设平移时间为t （s ），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE 与△AEF 重叠的面积为S. （1）求折痕EF 的长；（2）是否存在某一时刻t 使平移中直角顶点C 经过抛物线243y x x =++的顶点？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；（3）直接写出．．．．S 与t 的函数关系式及自变量t 25.145101ABC BE EA FE EA Rt AC BC CAB EF EA A OA OE AE EF ∴⊥=∴∠=?∴=∴===∴=（）折叠后与所在直线重合又中（，），折痕 ∥BA 交Y 轴于P ， 2（）存在.设CP 413 POC C CP AC OA OC OP ==∴==则为等腰直角三角形，直角顶点在射线上移动，

二次函数(存在性问题)

函数图象中点的存在性问题（强化训练）切入点一：利用基本图形来作图(充分利用图形的特殊性质)，并描述作图方法切入点二：做好数据准备，计算尽量利用相似、数形结合（交轨法）切入点三：紧扣不变量，善于使用前题所采用的方法或结论切入点四：在题目中寻找多解的信息(不重不漏) 1.1因动点产生的平行四边形问题 1. 如图1，直线L：y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线G：y=ax2+bx+c 与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．（1）该抛物线G的解析式为；（2）将直线L沿y轴向下平移个单位长度，能使它与抛物线G只有一个公共点；（3）若点E在抛物线G的对称轴上，点F在该抛物线上，且以点A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，求点E与点F坐标并直接写出平行四边形的周长．（4）连接AC，得△ABC．若点Q在x轴上，且以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点Q 的坐标．

2. 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2-2ax+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），AB=4，与y轴交于点C，且过点（2，3）．（1）求此二次函数的表达式；（2）若抛物线的顶点为D，连接CD、CB，问抛物线上是否存在点P，使得∠PBC+∠BDC=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点K为抛物线上C关于对称轴的对称点，点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、K、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

-几何图形在二次函数中的存在性问题探解

---几何图形在二次函数中的存在性问题探解二次函数是初中数学的重要内容，更是中考的重要考点之一，它以丰富的知识内涵，深远的知识综合，深厚的数学思想，灵活的解题方法，奇趣的知识背景等深深吸引着命题老师，更深刻启迪着每位同学.下面就把几何图形在二次函数中的存在性问题介绍给大家，供学习时借鉴. 一、.三角形的存在性 1.1 等腰三角形的存在性例1 （2017年淮安）如图1-1，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=2x +bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图1-2、1-3供画图探究）．分析：第一问考查的是待定系数法确定函数的解析式，思路有几个待定系数，解答时就需要确定几个点的坐标；第二问探析等腰三角形的存在性，解答时，要做到一先一后，先清楚动点的位置与特点，后对等腰三角形进行科学分类，一是按边分类，一是按角分类；第三问探求三角形面积的最大值，这是二次函数的看家本领，只需将三角形的面积适当分割，恰当表示，最后将三角形面积最大问题转化为二次函数的最值问题求解即可. 解：（1）因为直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，所以B （3，0），C （0，3），所以{c =39a+3b+c =0，解得{c =3b =4-，所以抛物线解析式为y=2x ﹣4x+3；（2）因为y=2x ﹣4x+3=2(x 2)-﹣1，所以抛物线对称轴为x=2，顶点P （2，﹣1），设M （2，t ），因为△CPM 为等腰三角形，如图2所示， ①当MC=PC 时，过C 作CQ ⊥对称轴,垂足为Q ，则Q(2,3),所以QP=MQ=3-(-1)=4,所以M 到x 轴的距离8-1=7，所以1M 的坐标(2,7)； ②当MP=MC 时，作PC 的垂直平分线交对称轴于点M ，所以222(t+1)2+(t-3)=，解得t=32,所以2M 的坐标(2, 32 )；

二次函数存在性问题总结

已知，抛物线322 --=x x y 交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C. １、线段最值 ①线段和最小点P 是抛物线对称轴上一动点，当点P 坐标为多少时,PA+PC 值最小． A B C O x y ②线段差最大点Q 是抛物线对称轴上一动点,当点Q 坐标为多少时,|QA －QC|值最大． A B C O x y ③线段最值连接ＢC,点M 是线段ＢC 上一动点，过点M 作ＭN/／y 轴,交抛物线于点Ｎ，求线段MN 的最大值及点N 的坐标. A B C O x y N M 变式① 点N 是第四象限内抛物线上一动点,连接BN 、CN,求BCN S ?的最大值及点Ｎ的坐标 A B C O x y N

变式② 点Ｎ是第四象限内抛物线上一动点，求点Ｎ到线段BC 的最大距离及点Ｎ的坐标 A B C O x y N M 2、等腰三角形的存在性问题点D 为抛物线322 --=x x y 的顶点，连接BC ，点P 是直线B Ｃ上一动点，是否存在点P,使△PAD 为等腰三角形,若存在，求出点P 的坐标，若不存在,说明理由. A B C O x y D ３、菱形的存在性问题点Ｄ为抛物线322 --=x x y 的顶点，连接BC 点P 是直线BC 上一动点，点Q 为坐标平面内一点，是否存在以A 、Ｄ、Ｐ、Q 为顶点的四边形是菱形,若存在,求出点P 坐标，若不存在,说明理由． A B C O x y D ４、平行四边形的存在性问题点D 为抛物线322 --=x x y 的顶点，点M 是抛物线上一动点，点N 为直线ＢC 上一动点,是否存在以O 、D 、Ｍ、N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M 坐标，若不存在,说明理由. A B C O x y D 5、直角三角形的存在性问题

中考数学二次函数存在性问题及参考答案

中考数学二次函数存在性问题及参考答案一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1.如图，把抛物线2 =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2 y x =-+. y x h k () 所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D. （1）写出h k 、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 2.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二、二次函数中面积的存在性问题

3.如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线k y x = 相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由． 4.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）．（1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（2分）（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分） (4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，请说明理由。三、二次函数中直角三角形的存在性问题 5.如图,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线2y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．（1）求b ,c 的值；

答案二次函数-矩形的存在性问题

参考答案 1. (2015 黑龙江省龙东地区) 如图，四边形OABC 是矩形，点A 、C 在坐标轴上，△ODE 是△OCB 绕点O 顺时针旋转90°得到的，点D 在x 轴上，直线BD 交y 轴于点F ，交OE 于点H ，线段BC 、OC 的长是方程x 2﹣6x+8=0的两个根，且OC ＞BC ．（1）求直线BD 的解析式；（2）求△OFH 的面积；（3）点M 在坐标轴上，平面内是否存在点N ，使以点 D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 1. 分析：（1）解方程可求得OC 、BC 的长，可求得B 、D 的坐标，利用待定系数法可求得直线BD 的解析式；（2）可求得E 点坐标，求出直线OE 的解析式，联立直线BD 、OE 解析式可求得H 点的横坐标，可求得△OFH 的面积；（3）当△MFD 为直角三角形时，可找到满足条件的点N ，分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三种情况，分别求得M 点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得N 点坐标．解答：解：（1）解方程x 2﹣6x+8=0可得x=2或x=4，∵BC 、OC 的长是方程x 2 ﹣6x+8=0的两个根，且OC ＞BC ， ∴BC=2，OC=4，∴B （﹣2，4），∵△ODE 是△OCB 绕点O 顺时针旋转90°得到的， ∴OD=OC=4，DE=BC=2，∴D （4，0），设直线BD 解析式为y=kx+b ，把B 、D 坐标代入可得，解得，∴直线BD 的解析式为y=﹣x+；（2）由（1）可知E （4，2），设直线OE 解析式为y=mx ，把E 点坐标代入可求得m=， ∴直线OE 解析式为y=x ，令﹣x+=x ，解得x=，∴H 点到y 轴的距离为，又由（1）可得F （0，），∴OF=，∴S △OFH =××=；（3）∵以点D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是矩形， ∴△DFM 为直角三角形， ①当∠MFD=90°时，则M 只能在x 轴上，连接FN 交MD 于点G ，如图1，由（2）可知OF=，OD=4，则有△MOF ∽△FOD ， ∴=，即=，解得OM=，∴M （﹣，0），且D （4，0），∴G （，0），设N 点坐标为（x ，y ），则=，=0，解得x=，y=﹣，此时N 点坐标为（，﹣）； ②当∠MDF=90°时，则M 只能在y 轴上，连接DN 交MF 于点G ，如图2，则有△FOD ∽△DOM ， ∴=，即=，解得OM=6， ∴M （0，﹣6），且F （0，）， ∴MG=MF=，则OG=OM ﹣MG=6﹣=， ∴G （0，﹣），设N 点坐标为（x ，y ），则=0，=﹣，解得x=﹣4，y=﹣，此时N （﹣4，﹣）； ③当∠FMD=90°时，则可知M 点为O 点，如图3， ∵四边形MFND 为矩形， ∴NF=OD=4，ND=OF=，可求得N （4，）；综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为（，﹣）或（﹣4，﹣）或（4，）． 2. (2015 重庆市綦江县) 如图，抛物线2 23y x x =-++与x 轴交与A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与

二次函数存在性问题总结

已知,抛物线322 --=x x y 交x 轴于点Ａ、Ｂ,交y 轴于点C. 1、线段最值 ①线段和最小点P 是抛物线对称轴上一动点,当点P 坐标为多少时,PA+ＰＣ值最小. A B C O x y ②线段差最大点Q 是抛物线对称轴上一动点,当点Q 坐标为多少时,|Q Ａ－QC ｜值最大． A B C O x y ③线段最值连接B Ｃ,点Ｍ是线段BC 上一动点，过点M 作M Ｎ//y 轴,交抛物线于点N ，求线段MN 的最大值及点N 的坐标. A B C O x y N M 变式① 点Ｎ是第四象限内抛物线上一动点,连接ＢＮ、CN,求BCN S ?的最大值及点N 的坐标 A B C O x y N

变式② 点N 是第四象限内抛物线上一动点，求点N 到线段ＢC 的最大距离及点N 的坐标 A B C O x y N M ２、等腰三角形的存在性问题点Ｄ为抛物线322 --=x x y 的顶点，连接BC ，点P 是直线BC 上一动点，是否存在点P ，使△ＰAD 为等腰三角形,若存在，求出点P 的坐标，若不存在,说明理由. A B C O x y D 3、菱形的存在性问题点Ｄ为抛物线322 --=x x y 的顶点,连接BC 点P 是直线B Ｃ上一动点，点Q 为坐标平面内一点,是否存在以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形,若存在,求出点Ｐ坐标，若不存在,说明理由. A B C O x y D 4、平行四边形的存在性问题点D 为抛物线322 --=x x y 的顶点,点Ｍ是抛物线上一动点,点N 为直线B Ｃ上一动点，是否存在以Ｏ、Ｄ、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形,若存在，求出点M 坐标，若不存在,说明理由． A B C O x y D 5、直角三角形的存在性问题

二次函数中的存在性问题(等腰三角形的存在性问题)

二次函数中的存在性问题(等腰三角形) 1.如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．

2如图，已知抛物线224 233 y x x =- ++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．点M 从O 点出发，以每秒1个单位长度的速度向B 运动，过M 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交BC 于（1）求点B 和点C 的坐标；（2）设当点M 运动了x （秒）时，四边形OBPC 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．（3）在线段BC 上是否存在点Q ，使得△DBQ 成为以BQ 等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．

3.已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ），请求出△CBE 的面积S 的值；（3）在抛物线上求一点0P 使得△ABP 0为等腰三角形并写出0P 点的坐标；（4）除（3）中所求的0P 点外，在抛物线上是否还存在其它的点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点P ，请说明理由．

二次函数存在性问题及解答

初中数学二次函数存在性问题总复习试题及解答 1．（10广东深圳）如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）． (1）求抛物线的解析式； (2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标； (3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △P AD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．答案：（1）、因为点A 、B 均在抛物线上，故点A 、B 的坐标适合抛物线方程 ∴403a c a c +=??+=-? 解之得：14 a c =??=-?；故24y x =-为所求 (2）如图2，连接BD ，交y 轴于点M ，则点M 就是所求作的点设BD 的解析式为y kx b =+，则有203k b k b +=?? -+=-?，1 2 k b =??=-?，故BD 的解析式为2y x =-；令0,x =则2y =-，故(0,2)M - (3)、如图3，连接AM ，BC 交y 轴于点N ，由（2）知，OM=OA=OD=2，90AMB ∠=? 易知BN=MN=1，易求AM BM == 122ABM S =?=；设2(,4)P x x -，依题意有：214422AD x -=?，即：2 144422x ?-= ? 解之得：x =±，0x = ，故符合条件的P 点有三个： 123((0,4)P P P -- 图2

2． (10北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = - 41-m x 2+4 5m x +m 2-3m + 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2，n )在这条抛物线上。 (1) 求点B 的坐标； (2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D 。使得ED =PE 。以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动) 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动)。若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值。答案：解：(1) ∵拋物线y = -41-m x 2+4 5m x +m 2-3m +2经过原点， ∴m 2 -3m +2=0，解得m 1=1，m 2=2，由题意知m ≠1，∴m =2， ∴拋物线的解析式为y = -41x 2+25 x ， ∵点B (2，n )在拋物线 y = -41x 2+2 5 x 上， ∴n =4，∴B 点的坐标为(2，4)。 (2) 设直线OB 的解析式为y =k 1x ，求得直线OB 的解析式为 y =2x ， ∵A 点是拋物线与x 轴的一个交点，可求得A 点的坐标为(10，0)，设P 点的坐标为(a ，0)，则E 点的坐标为(a ，2a )，根据题意作等腰直角三角形PCD ，如图1。可求得点C 的坐标为(3a ，2a )，由C 点在拋物线上，得2a = -41?(3a )2+2 5 ?3a ，即49a 2-211a =0，解得a 1=9 22，a 2=0 (舍去)， ∴OP =9 22 。依题意作等腰直角三角形QMN ，设直线AB 的解析式为y =k 2x +b ，由点A (10，0)，点B (2，4)，求得直线AB 的解析式为y = -2 1 x +5，当P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：第一种情况：CD 与NQ 在同一条直线上。如图2所示。可证△DPQ 为等腰直角三角形。此时OP 、DP 、AQ 的长可依次表示为t 、4t 、2t 个单位。 ∴PQ =DP =4t ，∴t +4t +2t =10，∴t =7 10 。第二种情况：PC 与MN 在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM 为等腰直角三角形。此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位。∴OQ =10-2t ，

二次函数中的存在性问题

二次函数中的存在性问题一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1.如图，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线. 所得抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与轴交于点C，顶点为D. （1）写出的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 1、解：（1）∵由平移的性质知，的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），∴。

（2）由（1）得.当时，．解之，得。∴. 又当时，，∴C点坐标为（0，－3）。又抛物线顶点坐标D（－1，－4），作抛物线的对称轴交轴于点E，DF⊥轴于点F。易知,在Rt△AED中，AD2=22+42=20，在Rt△AOC中，AC2=32+32=18，在Rt△CFD中，CD2=12+12=2， ∴AC2＋ CD2＝AD2。∴△ACD是直角三角形。（3）存在．作OM∥BC交AC于M，Ｍ点即为所求点。由（2）知，△AOC为等腰直角三角形，∠BAC＝450，AC。由△AOM∽△ABC，得。即。过M点作MG⊥AB于点G，则AG=MG=， OG=AO－AG=3－。又点M在第三象限，所以M（－，－）。 2.如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上， A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴于M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2、解：（1）设抛物线的解析式为， ∵抛物线过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得，解得。 ∴抛物线的解析式为。（2）①当AE为边时，∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2，则D在轴下方不可能，∴D在轴上方且DE=2，则D1（1，3），D2（﹣3，3）。 ②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分。 ∵点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为﹣1，由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（﹣1，﹣1）。故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）。（3）存在，如图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，∴BO2+CO2=BC2． ∴△BOC是直角三角形。假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，设P（，），由题意知＞0，＞0，且， ①若△AMP∽△BOC，则。即 +2=3（2+2）得：1=，2=﹣2（舍去）．当=时，=，即P（，）。

二次函数中点的存在性问题

二次函数中的存在性问题 1．已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．（1）求直线和抛物线解析式；（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由． 3．已知直线y=x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．

二次函数的存在性问题(相似三角形的存在性问题)

二次函数的存在性问题（相似三角形） 1、已知抛物线的顶点为A (2，1)，且经过原点O ，与x 轴的另一交点为B 。 (1)求抛物线的解析式； (2)若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标； (3)连接OA 、AB ，如图②，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。 2、设抛物线2 2y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m ，0)，与y 轴交于点C .且∠ACB=90°．

x y F - 2 -4 -6 A C E P D B 5 2 1 2 4 6 G (1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E ．若点P 在x 轴上，以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似，求点P 的坐标．(3)在(2)的条件下，△BDP 的外接圆半径等于________________．解：(1)令x=0，得y=－2 ∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO ⊥AB,．∴ △AOC ∽△COB,． ∴OA ·OB=OC 2 ；∴OB= 22 241 OC OA == ∴m=4． 3、已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （5，0）、B （6，-6）和原点.（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点B 的直线y k x b '=+与抛物线相交于点C （2，m ），请求出?OBC 的面积S 的值. （3）过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ，在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上，任取一点P ，过点P 作直线PF 平行于y 轴交x 轴于点F ，交直线DC 于点E . 直线PF 与直线DC 及两坐标轴围成矩形OFED （如图），是否存在点P ，使得?OCD 与?CPE 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）由题意得：255036600a b c a b c c ++=??++=??=? 解得1 50a b c =-??=??=?故抛物线的函数关系式为2 5y x x =-+ （2）C 在抛物线上，2 252,6m m ∴-+?=∴= C ∴点坐标为（2，6）， B 、 C 在直线y kx b '=+上

二次函数中的存在性问题(相似三角形的存在性问题)

x y F - 2 -4 -6 A C E P D B 5 2 1 2 4 6 G 2、设抛物线2 2y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m ，0)，与y 轴交于点C .且∠ACB=90°． (1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E ．若点P 在x 轴上，以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似，求点P 的坐标．(3)在(2)的条件下，△BDP 的外接圆半径等于________________．解：(1)令x=0，得y=－2 ∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO ⊥AB,．∴ △AOC ∽△COB,． ∴OA ·OB=OC 2；∴OB= 22 241 OC OA == ∴m=4． 3、已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （5，0）、B （6，-6）和原点.（1）求抛物线的函数关系式；（2）若过点B 的直线y kx b '=+与抛物线相交于点C （2，m ），请求出?OBC 的面积S 的值. （3）过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ，在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上，任取一点P ，过点P 作直线PF 平行于y 轴交x 轴于点F ，交直线DC 于点E . 直线PF 与直线DC 及两坐标轴围成矩形OFED （如图），是否存在点P ，使得?OCD 与?CPE 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

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