(完整版)垂径定理练习题及答案

垂径定理

一.选择题

★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ）

A ．4

B ．6

C ．7

D ．8

答案：D

★★2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

答案：B

★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ）

A ．9cm

B ．6cm

C ．3cm

D ．cm 41 答案：C

★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）

A ．12个单位

B ．10个单位

C ．1个单位

D ．15个单位

答案：B

★★5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ）

A ．23cm

B ．32cm

C ．42cm

D ．43cm

答案：D

★★6．下列命题中，正确的是（）

A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径

B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心

D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心

答案：D

★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )

A．5米 B．8米 C．7米 D．53米

答案：B

★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( ) A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm

答案：D

★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( )

A．2 B．8 C．2或8 D．3

答案：C

二.填空题

★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm

答案：5 cm

★2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm

答案：3 cm

★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于

答案：6

★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm

★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD ＝厘米

O

图 4

E D

C

B

A

答案：63 cm

★★6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为 cm.

答案：63 cm

★★7．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于 cm 答案：5

★★8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________

答案：217

★★9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，

则弦AB的长是

答案：6

★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则

中间柱CD的高度为 m

答案：4

★★11．如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2)

和A(2，0)，则点B的坐标是

答案：(6，0)

★★12．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则

OD= cm

答案：3

★★13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=

答案：3

★★14．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点,PO=8cm，∠P=30o,则AB= cm P

B

A

O

答案：6

★★★15．⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是 Cm

答案：7cm 或17cm

★★★16．已知AB是圆O的弦，半径OC垂直AB，交AB于D，若AB=8，CD=2，则圆的半径为

答案：5

★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为米答案：

5

2

★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米

B

A

P

O

y

x

答案：7或1

★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8米，那么这个 隧道所在圆的半径OA 是___________米

答案：5

★★★20．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。若AC=8cm ，DE=2cm ，则OD

的长为

cm

答案：3

★★★21．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为

答案：8或2

★★★22．如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为

答案：23

★★★23．如图，⊙O 的的半径为5，直径AB ⊥弦CD ，垂足为E ，CD=6，那么 ∠B 的余切值 为_________

答案：3

三.解答题

★★1．已知⊙O 的弦AB 长为10，半径长R 为7，OC 是弦AB 的弦心距，求OC 的长 答案：26Ｏ

Ａ

Ｂ O

D A B

★★2．已知⊙O 的半径长为50cm ，弦AB 长50cm.

求：（1）点O 到AB 的距离；（2）∠AOB 的大小

答案：（1

）（2）060

★★3．如图，直径是50cm 圆柱形油槽装入油后，油深CD 为15cm ，求油面宽度AB

答案：40

★★4．如图，已知⊙O 的半径长为R=5，弦AB 与弦CD 平行，他们之间距离为7，AB=6求：弦CD 的长．

答案：8

★★5．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，垂足为点E ，如果BE=OE ，AB=12m ，求△ACD 的周长

答案：★★6．如图，已知C 是弧AB 的中点，OC 交弦AB 于点D ．∠AOB=120°，AD=8．求OA 的长

B

C

答案：16

33

★★7．已知：如图，AD 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，AD ⊥BC ，垂足为点E ，BC=8，AD=10． 求：（1）OE 的长；（2）∠B 的正弦值

答案：（1）3 （2）255

★★★8．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D 。已知：AB=24cm ，CD=8cm

（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求（1）中所作圆的半径.

A C D B

答案：（1）略 （2）13

★★★9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在这个三角形的高AD 上，AB=10，BC=12． 求⊙O 的半径

答案：254

★★★10．如图，已知⊙O 的半径长为25，弦AB 长为48，C 是弧AB 的中点．求AC 的长．

A

B C D

E

O ．

答案：30

★★★11．1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）

答案：27.9

★★★12．已知：在△ABC中，AB=AC=10, BC=16.求△ABC的外接圆的半径

.

答案：

25

3

★★★13．本市新建的滴水湖是圆形人工湖。为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A、B、C三根木柱，使得A、B之间的距离与A、C之间的距离相等，并测得BC长为240米，A 到BC的距离为5米，如图5所示。请你帮他们求出滴水湖的半径。

答案：1442.5

A B

O

★★★14．如图是地下排水管的截面图（圆形），小敏为了计算地下排水管的直径，在圆形 弧上取了A ,B 两点并连接AB ，在劣弧AB 上取中点C 连接CB ，经测量45=BC 米， 87.36=∠ABC °，根据这些数据请你计算出地下排水管的直径。

（87.36sin °60.0≈，87.36cos °80.0≈，87.36tan °75.0≈）

答案：

2512

★★★15．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB 为0.6米．

（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；

（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．

答案：（1）0.1 （2）0.1或0.7

★★★16．已知：如图，AB 是O e 的直径，C 是O e 上一点，CD ⊥AB ，垂足为点D ，F 是

?AC 的中点，OF 与AC 相交于点E ，AC =8 cm ，2EF =cm.

（1）求AO 的长；

（2）求sin C 的值.

答案：（1）5 （2）45

C

A B

★★★★17．如图，在半径为1米，圆心角为60°的扇形中有一内接正方形CDEF ，求正方形CDEF 面积。

答案：23

四.证明题

★★1．如图，AB 是⊙O 的弦（非直径），C 、D 是AB 上的两点，并且AC=BD 。求证：OC=OD

答案：略

★★2．如图，AB 是⊙O 的弦，点D 是弧

AB 中点，过B 作AB 的垂线交AD 的延长线于C ． 求证：AD ＝DC

答案：略

★★3．已知：如图所示：是两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于CD ，求证：AC=BD

答案：略

★★★4．如图，AB 、CD 是⊙O 的弦，且AB=CD ，OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别是点M 、N ， BA 、DC 的延长线交于点P ．

求证：PA=PC

B A

D C O ·

答案：略

★★★5．已知：如图，点P 是⊙O 外的一点，PB 与⊙O 相交于点A 、B ，PD 与⊙O 相交于C 、D ，AB=CD ．

求证：（1）PO 平分∠BPD ；（2）PA=PC

答案：略

★★★6． 已知：如图所示，点P 是⊙O 外的一点，PB 与⊙O 相交于点A 、B ，PD 与⊙O 相交于C 、D ，AB=CD .求证：（1）PA=PC ；（2）?

?AE EC

答案：略

五.作图题

★★1．已知弧AB,用直尺和圆规平分这条弧．

O

D C P

A B

O

B

A

C

D A B