旧题新解一一根号2 是无理数

數學傳播30卷4期,pp.32-33

舊題新解一一根號2是無理數

張海潮·張鎮華

現行高一的數學教科書中,有根號2是無理數的證明。本文想換個角度看這個問題,亦即任何分數的平方都不等於2。

我們不妨假設這個分數介於1和2之間。設此分數為x,並設y=x?1,y是一個真分數。分數代表的是兩個整數相除,進行除法的時候,如果擴及小數,就可以一直除下去。有時除得盡,例如1/4除成0.25;有時除不盡,除不盡的情形又因為在每一次除的時侯,餘數要小於除數,所以終會碰到餘數重複出現的時候。一旦餘數重複出現,商也跟著重複,因此而得到循環小數,例如1/7=0.3。記錄的時侯,在循環的這一段上加一槓,稱為循環節。

現在,y是一個真分數,下面根據除得盡,除不盡的情形分開討論。

第一種是除得盡的情形,此時y是一個有限小數,y=0.a1a2···a k(註一),x=1.a1a2···a k,顯然x2不能等於2,因為x2一定有小數的部份。

第二種情形,y是一個循環小數,此時又有兩種情形

(1)y=0.

b1b2···b l

先說(1),由於y=0.

舊題新解–根號2是無理數33再說(2),由於0.c1c2···c m

3表成3/10+ 3/100+3/1000+···而得到3/103,注意到10w=3.b1b2···b l,如果偷巧,可以立刻從10l y=b1b2···b l+y而得到y=b1b2···b l/99···9。如果規規矩矩來,那就是求首項為b1b2···b l/10l公比為1/10l的無窮等比級數,結論是一樣的。

註三:由於二,10m y?c1c2···c m=b1b2···b l/99···9。

附記

如果不透過循環小數,可以直接處理如後。設P表一個正整數,並且在十進位的表示下, P的個位數是p。因為P2的個位數和p2的個位數一樣,所以P2的個位數只可能是0,1,4, 5,6,9。考慮分數P/Q,不妨假設P/Q是最簡分數,或至少假設P和Q不能同時被5整除。

我們以p(或q)表P(或Q)的個位數,則有下列三種可能:

(一)q=0,p>0,可得q2=0,p2>0,所以Q2的個位數=0,P2的個位數=0。

(二)q=5,p>0,可得Q2的個位數是5,P2的個位數=0。

(三)q=0,q=5,此時Q2的個位數是1,4,6,9,而2Q2的個位數是2或8,P2的個位數

只可能是0,1,4,5,6,9。

上述三種可能都證明了P2=2Q2,亦即P2/Q2=2。

—本文第一作者為台大數學系退休教授,第二作者現任教於台大數學系—

怎样证明根号2是一个无理数

怎样证明2是一个无理数 2是一个非常著名的无理数， 第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.风暴过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好例证. 换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面挂着许多有趣的方法，值得你仔细玩味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，从而体会这一点. 证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =，所以2a 与22b 的尾数都是0，因此2b 的尾数只能是0或5，因此a 与b 有公因数5，与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数. 证法2：奇偶分析法.假设2=b a .其中(a, b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数，设a =2 c ,则2224b c =，222c b =，可知b 也是偶数，因此a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底. 证法3：仿上，得到222b a =，易见b >1，否则b=1，则2=a 是一个整数,这是不行 的.222b a =改写成a a b ?= 22.因为b >1，因此b 有素因子p ，因此p 整除2 a 或a ，总之，p 整除a ，因此p 同时整除a 与 b ，这与(a,b )=1矛盾. 证法4：仿上，得到222b a =，等式变形为))((222b a b a b a b -+=-=，因为b >1，因此存在素因子p ，p 整除a+b 或a-b 之一，则同时整除a+b 与a-b ，因此p 整除a ，因此p 是a 、b 的公因数，与(a,b )=1矛盾. 证法5：利用代数基本定理，如果不考虑素因子的顺序，任何一个正整数都可以唯一地写成素数幂的积的形式，因此m r m r r p p p a 2121=，n s n s s q q q b 2121=，其中m p p ,,1 与n q q ,,1 都是素数，m r r ,,1 与n s s ,1都是正整数，因此m r m r r p p p 2222121 =2n s n s s q q q 2222121 ，素数2在等式左边是偶数次幂，但在右边是奇数次幂，矛盾，因此2是无理数.

无理数典型练习题(菁优网)

无理数无理数无理数无理数

无理数无理数无理数无理数 一．选择题（共5小题） 1．（2013?安顺）下列各数中，3.14159，，0.131131113…，﹣π，，，无理数的个数有（） 和和D 与 5．（2006?梧州）在﹣7.5，，4，，﹣π，，中，无理数的个数是（） 二．填空题（共5小题） 6．（2011?淄博）写出一个大于3且小于4的无理数_________． 7．（2010?建邺区一模）写出﹣1和2之间的一个无理数：_________． 8．（2012?大丰市模拟）在数据﹣π，，中无理数的个数是_________个．9．（2010?泰安）1，2，3…，100这100个自然数的算术平方根和立方根中，无理数的个数有_________个．10．在，﹣（+5），，0，π，，0.303003000中，无理数是_________． 三．解答题（共2小题） 11．在：，，0，3.14，﹣，﹣，7.151551…（每相邻两个“1”之间依次多一个“5”）中， 整数集合{…}， 分数集合{…}， 无理数集合{…}．

12．下列数中：①﹣|﹣3|，②﹣0.3，③﹣，④，⑤，⑥，⑦0，⑧﹣，⑨1.2020020002…（每两个2之间依次 多一个0）（请填序号） 无理数是_________，整数是_________．负分数是_________．

无理数无理数无理数无理数 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．（2013?安顺）下列各数中，3.14159，，0.131131113…，﹣π，，，无理数的个数有（） 和和D 解：其中 此题考查了无理数的概念，注意其中的 与 与 、在这三个代数式中， 4．（1997?广西）下面说法中，正确的是（）

无理数的常见形式

无理数的常见形式，科学计数法 无理数 概念：无理数即无限不循环小数。 明确无理数的存在无理数来自实践，无理数并不“无理”，也不是人们臆想出来的，它是实实在在存在的，例如： （1）一个直角三角形，两条直角边长分别为1和2，由勾股定理知，它的斜边长为； （2）任何一个圆，它的周长和直径之比为一常数等等； 像这样的数，在我们周围的生活中，不是只有少数几个，而是像有理数一样有无限个。 概念剖析：无限不循环小数叫无理数，这说明无理数是具有两个基本特征的小数：一是小数位数是无限的；二是不循环的。这对初学者来说有一定难度，因此，我们必须掌握它的表现形式。 无理数的常见形式：在初中阶段，无理数表现形式主要有以下几种： 1. 无限不循环的小数，如0.1010010001……（两个1之间依次多一个0） 2. 含的数，如：，，等。 3. 开方开不尽而得到的数，如，等。 4. 某些三角函数值：如，等。 无理数与有理数的区别：1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0，4/5=0.8，1/3=0.33333……。而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………。根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数； 2、无理数不能写成两整数之比。 错误辨析： 1. 无限小数都是无理数； 2. 无理数包括正无理数、负无理数和零； 3.带根号的数是无理数； 4. 无理数是用根号形式表示的数； 5.无理数是开方开不尽的数； 6. 两个无理数的和、差、积、商仍是无理数； 7.无理数与有理数的乘积是无理数； 8. 有些无理数是分数； 9. 无理数比有理数少；10. 一个无理数的平方一定是有理数。 综上，学习无理数应把握住无理数的三个特征：（1）无理数是小数；（2）无理数是无限小数；（3）无理数是不循环小数。判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个不能少。另外，还应注意无理数的几种常见的表示形式，才是弄清无理数概念的关键。

探究根号2的近似值

探究2近似值教学设计 教学目标 （1）知识与技能 1、能用夹值法求一个数的算术平方根的近似值? 2、会用计算器求一个数的算术平方根，理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平 方根扩大（或缩小）的规律。 3、体验无限不循环小数的涵义，感受存在着不同于有理数的一类新数。 （2）过程与方法 让学生体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握用“逐次逼近法”求一个数的近似值，理解这种对数进行分析、猜测、探索的方法。 （3）情感、态度与价值观 通过用有理数逼近2的大小的方法，让学生体验数学学习中方法的重要性，培养学生的计算能力和对于夹值法求一个数的近似数的能力，通过探究活动培养学生 的动手能力和激发学生学习数学的兴趣。 教学重点、难点 重点：夹值法及估计一个（无理）数的大小。 难点：夹值法及估计一个（无理）数的大小的思想方法。 关键：正确理解无限不循环小数的概念及它和无限循环小数的区别与联系。 突破方法：用从两端逼近法得到2的近似值，用计算器求一个数的算术平方根的方 法。 教法与学法

教学方法：指导、讨论、讲练结合。通过指导使学生理解通过夹值法确定一个数的 范围，根据范围求一个数的近似值的方法。 学习方法：自主学习，合作探究，归纳方法。使学生通过计算领会用夹值法求一个 无限不循环小数的近似值的方法，在自主探究的基础上，通过小组合作、相互质疑、 共同探究，使认识得到深化。 教师准备：多媒体课件 学生准备：计算器、夹值法的运用 教学过程 一、回顾与思考 （学生一起回答） 我们已经知道，正数x满足x2=a,则称x是a的算术平方根。当a恰是一个整数的平方数时，我们已经能求出它的算术平方根了，例如22=4.但当a不是一个整数的平方数时，它的算术平方根又该怎样求呢？例如大正方形的边长等于多少呢？ 二、复习引入 活动一 问题1：究竟有多大？ 请大家判断一下以下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。 因为3个正方形的面积分别为1、2、4，而面积又等于边长的平方，所以面积大的正 方形边长就大。 问题2：大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范围呢？ 因为a2>1且a2<4,所以a肯定比1大且比2小，可以表示为12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69， 1.42=1.96，1.52= 2.25等等，而a2=2,故a应比1.4大且比1.5小，可以写成1.4 三、新授过程

无理数练习题

【知识要点】 1．无理数： 定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=3.1415926 1.414213= ，－1.010010001…，都是无理数。 注意： ①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足； ②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数； 2．实数：有理数和无理数统称为实数。 ????????????????????????? 正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 3．实数的几个有关概念： ①相反数：a 与－a 互为相反数，0的相反数是0。a+b=0?a 、b 互为相反数。 ②倒 数：若0a ≠，则1a 称为a 的倒数，0没有倒数。1ab a =?、b 互为倒数。 ③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 即()()()0000a a a a a a >??==??-

④无理数乘以有理数是无理数； ⑤无理数除以有理数是无理数； ⑥有理数除以无理数是无理数。 A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个 4．判断（正确的打“√”，错误的打“×”） ①带根号的数是无理数；（ ） （ ） ③绝对值最小的实数是0；（ ） ④平方等于3 （ ） ⑤有理数、无理数统称为实数；（ ） ⑥1的平方根与1的立方根相等；（ ） ⑦无理数与有理数的和为无理数；（ ） ⑧无理数中没有最小的数，也没有最大的数。（ ） 5．a ） A ．有理数 B ．正无理数 C ．正实数 D ．正有理数 6．下列四个命题中，正确的是（ ） A ．倒数等于本身的数只有1 B ．绝对值等于本身的数只有0 C ．相反数等于本身的数只有0 D ．算术平方根等于本身的数只有1 7．下列说法不正确的是（ ） A ．有限小数和无限循环小数都能化成分数 B ．整数可以看成是分母为1的分数 C ．有理数都可以化为分数 D ．无理数是开方开不尽的数 8．代数式 21a +y ，()21a -中一定是正数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9 ） A ．m 是完全平方数 B ．m 是负有理数 C ．m 是一个完全平方数的相反数 D ．m 是一个负整数 10．已知a 为有理数，b 为无理数，则a+b 为（ ） A ．整数 B ．分数 C ．有理数 D ．无理数 11 215 的大小关系是（ ） A 215< B ．215<<215<<215<< 12的相反数之和的倒数的平方为 。 13、设a 、b 互为相反数，但不为0;c 、d 互为倒数;m 的倒数等于它本身，化简111c m m m d a b ??÷++- ???的结果是 。

初中数学_根号2是有理数吗第一课时教学设计学情分析教材分析课后反思

八年级下册第七章实数第三节2是有理数吗（第一课时） 教学设计 《7.32是有理数吗（第一课时）》来源于九年八年级下册第7章第3节。这是一节概念课，所以我把这节课的重心放在探究活动上，也就是探究2是无理数和无理数与有理数概念的辨析。教学设计如下： 一、复习导入环节 1. 复习有理数的分类，主要是让学生回顾有理数按整数，分数分类。 2. 练习题，将下列各数填在适当的括号内。这样设计的目的是加深对有理数概念，分类的理解，另外设计了0.262662666…（每两个2之间依次多一个6）这个数。有的学生可能错把这个数当成分数或有理数，课堂上，我抓住这个错误，让一名优秀的学生做了解释，它是无限不循环小数。这个数自然而然成为了学习无理数的切点，导入新课。 二、合作探究环节 我把这部分的要求展示在课件上，学生能做到心中有数。分为三部分：自主学习、合作探究、小组展示。 导学案我是这样设计的： 探究一：无理数的定义 探究二：构造2 探究三：说明2是无限不循环小数 探究二中，通过求腰长是1的等腰直角三角形中斜边ＡＣ的长度，构造新数2。紧接着，探究2到底是一个什么样的数。通过证明它不是整数不是分数，得出它不是有理数。又借助计算机，求出2小数点后的十分位和百分位，让学生感受到2是无限小数，并且小数位数没有规律，得出2是无限不循环小数，也就是无理数。 我又通过课件展示了2更多的小数位数，加深了学生对2是无限不循环小数的认可。进而，找到了3，π……等更多的无理数。这里设计了填空和选择题，巩固概念。这时，

再让学生总结无理数的一般形式就水到渠成了。后面设计了６个判断题，目的是区分无理数和有理数的概念。 通过对教材资源的整合，我设计了这样三个环节。我感觉这样更符合学生认识规律，学生更易于理解接受 三 、小结 归纳这节课的知识点，说出心中疑惑。学生提出问题 32+π是不是无理数。 四、达标侧评环节 这一环节设计了选择题和判断题，目的巩固学生对无理数概念的掌握和无理数与有理数定义的区分。 最后，评选得分最高的小组，并鼓掌鼓励。 由于运用了新课程教学方法和理念，知识从不同的方向得到了渗透。基本完成了课前制定的教学目标和教学要求，为进一步的深入理解打下了基础。 八年级下册第七章实数第三节2是有理数吗（第一课时） 学情分析 一、学生年龄段分析 ： 1.记忆力强 初中阶段是学生思维发育的黄金时期，记忆力强。这为我们的教学带来很大的好处，

《无理数》习题

《无理数》习题 一、选择题 1、正三角形的边长为4，高h ( ) A ．是整数 B ．是分数 C ．是有理数 D ．不是有理数 2、如果一个圆的半径是2，那么该圆的周长是( ) A ．一个有理数 B ．一个无理数 C ．一个分数 D ．一个整数 4、下列说法正确的是( ) A ．分数是无理数 B ．无限小数是无理数 C ．不能写成分数形式的数是无理数 D ．不能在数轴上表示的数是无理数 5、在实数3.14，25，3.3333，0.412?? ，0.10110111011110…，π， 中，有( )个无理数？ A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 6、下列说法中，正确的是( ) A ．带根号的数是无理数 B ．无理数都是开不尽方的数 C ．无限小数都是无理数 D ．无限不循环小数是无理数 7、下列命题中，正确的个数是( ) ①两个有理数的和是有理数； ②两个无理数的和是无理数； ③两个无理数的积是无理数； ④无理数乘以有理数是无理数； ⑤无理数除以有理数是无理数； ⑥有理数除以无理数是无理数. A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个 8、a 一定是( ) A ．有理数 B ．正无理数 C ．正实数 D ．正有理数 9、下列四个命题中，正确的是( )

A ．倒数等于本身的数只有1 B ．绝对值等于本身的数只有0 C ．相反数等于本身的数只有0 D ．算术平方根等于本身的数只有1 10、下列说法不正确的是( ) A ．有限小数和无限循环小数都能化成分数 B ．整数可以看成是分母为1的分数 C ．有理数都可以化为分数 D ．无理数是开方开不尽的数 二、填空题 1、整数包括 ，分数包括 . 2、把两个边长为1的小正方形，用剪拼的方法可以得到一个大正方形，则大正方形的面积是 ，边长a 满足 . 3、如图1，是由9个边长为1的小正方形拼成的，则图中标明字母的线段中， 和 是有理数的线段， 和 不是有理数的线段. 4、如图2为一个底面为正方形，侧面为四个全等三角形围成的的几何体(其中高与底面边长相等)，若它的体积为7，试问它的棱长是整数吗-------------------，是分数吗 ，借助计算 器求它精确到0.001的值为 .(该几何体的体积V =1/3a 2h ，a 边长，h 为高) 5、若a 、b 都是无理数，且a +b =2，则a ，b 的值可以是 和 ．(填上一组满足条件的值即可) 6的相反数之和的倒数的平方为 . 7、设a 、b 互为相反数，但不为0；c 、d 互为倒数；m 的倒数等于它本身，化简111c m m m d a b ??÷++- ??? 的结果是 . 8、大于的负整数是 . 9、试比较下列各组数的大小； ①_______② ，1π-，310-

带根号的数未必是无理数

带根号的数未必是无理数 鹿泉市获鹿镇第三中学 崔怀平 在新教材七年级数学下册第十章第三节讲到：“很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数。”接着引出定义：“无限不循环小数又叫无理数。”例如： 2，3，是无理数，π=3.14159265......,也是无理数。时间一长， 有的学生把无理数和带根号的数混淆起来，误认为带根号的数就是无理数。其实带根号的数不一定是无理数，无理数也不一定都是带根号的数得来的。 无理数的定义是：“无限不循环小数叫无理数”。最本质特征是无限不循环。 我们知道，开方开不尽的数，开方后可以得到无限不循环小数，既无理 数。但是无限不循环小数不一定非得由开方得来，例如圆周率=3.14159265．．．．．．，它不是开放得来的，它是圆的周长除以直径得到的，它是一个比值。还有自然对数的底数e=2.718……也是无理数；它是通过求极限的方法得到的。还有我们也可以有意识地构造一些无理数，如：0.101001000…..，（构成的规律是1后面0的个数逐次增加一个），显然这个数是无限不循环的小数，也是一个无理数。就是说无理数并不都是开方开不尽而得来，还有其他方式可以形成无理数。 另一方面，虽然很多带根号的数都是无理数，例如：2、45、33等，但不是带根号的数就一定是无理数。例如：35 2++35 2-，从感觉上看，这个数很像无理数，但是他确实是一个有理数。现在证明一下：设x= 35 2++35 2- 两边3次方得：3x= 3 3 35 2 5 2? ? ? ? ?- + + = 3 35 2? ? ? ? ?++3? ? ? ? ? ?+ ? 2 35 235 2-+3? + ?35 2 2 35 2? ? ? ? ?-+

初二数学活动课教案(根号2有多大)

初二上中学数学活动实践课——2有多大？（共2课时） 一、活动目标 1、通过拼图活动，让学生感觉无理数产生的实际背景和学习 它的必要性。 2、了解数轴上点与实数—一对应，能用数轴上的点来表示无 理数。 3、进一步丰富无理数的实际背景，使学生体会到无理数在实际 生活中大量存在，并对无理数产生感性认识。 二、活动重点：明确数轴上的点与实数—一对应并能用数轴上的点来 表示无理数。 三、活动难点：用数轴上的点来表示无理数。 四、教具准备： 1、用硬纸板剪制若干个直角三角形，坐标纸一张，三角板，计 算器 2、多媒体课件 五、活动过程创 一、设情境，引入课题 （出示图片）一组由直角三角形所组成的图形。 问：这个图形是由哪些基本图形所组成的。 前面我们已经认识了直角三角形，哪位同学能告诉我们直角三角 形有什么特点吗？（有一个角是90度） 很好，我们知道了直角三角形中一个角是90度，那么直角三角 形还有其它的特点吗？它的三条边有什么样的关系呢？ 二、探究新知 活动一：让学生在坐标纸上画一个三角形，要求两条直角边分别长3 和4厘米的 直角三角形，然后用直尺量出斜边的长c

设问：和b，斜边为c，则a、b、c的关系怎样？引导学生说出三者之间的关系：a2＋b2=c2指导学生叙述这个猜想：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。（即勾股定理） 验证猜想：让学生作图验证猜想。 （1）作一个直角三角形，其两直角边分别为6、8，验证斜边长。 （2）作一个三边长为5、12、13的三角形，先计算三边中较短两边的平方和及大边的平方，再测大边所对的角。 （3）量一量自己的直角三角板的三边的长，计算一下，看看是否也满足这个特点。 （4）量一量教具两直角长1分米的等腰直角三角形的三边的长，计算斜边的长。（2） 三、运用新知 活动二：你能估计2的大小吗？它在一个什么范围内？越精确越好？ （1）鼓励学生借助计算器探索2的整数部分是几？十分位是几？百分位部分是几呢？千分位呢？…… （2）出示某一位同学的结果。让学生把自己整理的结果与此对比。（3）你能用平方关系验算所得的结果吗？用验算的结果你发现了什么问题呢？ （4）如果用计算机计算2，结果如何了？（可能会让你大吃一惊）活动三：你能在数轴上找到表示2的点吗？画的一画，说说你的方法。 请同学们把准备好的两个边长为１分米的正方形拿出来，每一小组为一组，分别沿着它的一条对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，

初二证明(一)

如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数？ 古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“大自然的一切皆为整数之比”的思想统治了古希腊数学相当长的一段时间，许多几何命题都是根据这一点来证明的。当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表示为整数之比”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。直到有一天，毕达哥拉斯的学生Hippasus告诉他，单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。被人们公认的假设被推翻了，大半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学大厦轰然倒塌，数学陷入了历史上的第一次危机。最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。今天我们要看的是，为什么单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。 单位正方形的对角线长度怎么算呢？从上面的这个图中我们可以看到，如果小正方形的面积是1的话，大正方形的面积就是2。于是单位正方形的对角线是面积为2的正方形的边长。换句话说，Hippasus认为不可能存在某个整数与整数之比，它的平方等于2。 中学课程中安排了一段反证法。当时有个题目叫我们证根号2是无理数，当时很多人打死了也想不明白这个怎么可能证得到，这种感觉正如前文所说。直到看了答案后才恍然大悟，数学上竟然有这等诡异的证明。 当然，我们要证明的不是“根号2是无理数”。那个时候还没有根号、无理数之类的说法。我们只能说，我们要证明不存在一个数p/q使得它的平方等于2。证明过程地球人都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p^2=2*q^2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。p是偶数的话，p^2就可以被4整除，约掉等式右边的一个2，可以看出q^2也是偶数，即q是偶数。这样，p也是偶数，q也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设矛盾。 根号2是无理数，我们证明到了。根号3呢？根号5呢？你可能偶尔看到过，Theodorus 曾证明它们也是无理数。但Theodorus企图证明17的平方根是无理数时却没有继续证下去了。你可以在网上看到，Theodorus对数学的贡献之一就是“证明了3到17的非平方数的根是无理数”。这给后人留下了一个疑问：怪了，为什么证到17就不证了呢？一个俄国的数学历史家“猜”到了原因。 他猜测，当时Theodorus就是用类似上面的方法证明的。比如，要证明根号x不是有理数，于是p^2=x*q^2。我们已经证过x=2的情况了，剩下来的质数都是奇数。如果x是奇数且p/q已经不能再约分，那么显然p和q都是奇数。一个奇数2n+1的平方应该等于4(n^2+n)+1，也即8 * n(n+1)/2 + 1，其中n(n+1)/2肯定是一个整数。如果p=2k+1，q=2m+1，把它们代进p^2=x*q^2，有8[k(k+1)/2 - x*m(m+1)/2] = x-1。于是x-1必须是8的倍数。如果当时Theodorus 是这么证明的，那么他可以得到这样一个结论，如果x-1不能被8整除，那么它不可能被表示成(p/q)^2。好了，现在3、5、7、11、13减去1后都不是8的倍数，它们的平方根一定不是有理数。在x=9时发生了一次例外，但9是一个平方数。而当x=17时这种证明方法没办

实数,无理数常见形式

精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号：xxxxx 年级：xx 课时数：xx 学员姓名：xxxx 辅导科目：数学学科教师：xx 授课类型C(数的开方) C （实数及其运算）T （实数应用）授课日期及时段Xxxx年x月x日xxxx---xxxx 教学内容 一、专题讲解 平方根 定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，或叫a的二次方根。 特点：一个正数有正负两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。 表示方法：一个整数a的正的平方根表示为“a”或“2a”，其中a叫做被开方数;“2”中的2叫做根的指数（一般可省略不写）；“a”或“2a”读作“二次根号a”或“根号a”；正数a的负的平方根表示为“－a”或“－2a”；正数a的平方根为±a，读作“正负根号a”我们把a的正的平方根a称为a的算术平方根。 开平方运算 定义：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中数a叫做被开方数；平方运算与开平方运算是互为逆运算的关系 平方根（或算术平方根）的几个公式：式子±a有意义的条件为a≥0； a表示a的算术平方根，a是非负数，即a≥0； ()2a =a（a≥0），()2a-=a（a≥0）；2a=a=a，a≥0或；－a，a﹤0

例题：1、使式子2 52 x x --有意义的x 的取值范围是 。 2. 使等式2()x x --=成立的x 的值（ ） A 、是正数 B 、是负数 C 、是0 D 、不能确定 3.81的平方根是（ ） A ．9 B ．9± C ．3 D ．3± 非负性： A ．非负数：若a ≥0，则称a 为非负数，初中阶段有三种非负数：a ，a ，2 a B ．若几个非负数的和为0 ，在这几个非负数均为0. 例题：1. 已知231(1)0,a b a b ++-=+=则 。 2. 已知实数211,,a-b 20,24c a b c b c c c ab +++-+=满足 则的算术平方根是 。 3.△ABC 的三边长为a 、b 、c ，a 和b 满足21440a b b -+-+=，求c 的取值范围。 立方根 定义：如果一个数x 的立方等于a ，即3 x =a ，那么就称这个数x 为a 的立方根或三次方根。 表示法：a 的立方根表示为3a ，其中a 为被开方数，“3”中的3为根指数（根指数3不能省略）；3a 读作“三次根号a ”或“a 的立方根”。 性质：任意数都有立方根，任意一个数都有唯一的立方根。正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根仍为0. 有关立方根的补充说明和公式 1）在3a 中，被开方数a 可为正数，负数，0；且3a 的正负与a 一致 2）3a -=－3a ； 3）() 3 3 a =3 3a =a 4）开立方运算：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方运算。（开立方运算与立方运算是互为逆运算

经典证明：几乎所有有理数都是无理数的无理数次方

一个无理数的无理数次方是否有可能是一个有理数？这是一个非常经典的老问题了。答案是肯定的，证明方法非常巧妙：考虑根号 2 的根号 2 次方。如果这个数是有理数，问题就已经解决了。如果这个数是无理数，那么就有： 我们同样会得到一个无理数的无理数次方是有理数的例子。 这是一个典型的非构造性证明的例子：我们证明了无理数的无理数次方有可能等于有理数，但却并没有给出一个确凿的例子。毕竟我们也不知道，真实情况究竟是上述推理中的哪一种。那么，真实情况究竟是上述推理中的哪一种呢？Gelfond-Schneider 定理告诉我们，假设α 和β 都是代数数，如果α 不等于0 和1 ，并且β 不是有理数，那么α 的β 次方一定是超越数。根据这一定理我们可以立即看出，根号 2 的根号 2 次方真的是一个无理数，实际情况应该是上述推理中的后者。 那么，是否存在一个无理数a ，使得a 的a 次方是有理数呢？最近，Stan Dolan 证明了这样一个结论：事实上，几乎所有(1, ∞) 里的有理数都是某个无理数a 的 a 次方。 注意到当x 大于1 时，函数f(x) = x x是连续单调递增的，因而对于所有(1, ∞) 里的有理数r ，一定存在唯一的a ，使得a a = r 。不妨假设a 是一个有理数，它的最简分数形式是n / m 。如果m = 1 ，那么我们会有平凡解n n = r 。下面我们证明，m 是不可能大于 1 的，否则会产生矛盾。 假设有理数r 的最简分数形式是c / b ，于是我们有： (n / m)n / m = c / b 或者说： n n · b m = m n · c m 注意到，m n是n n · b m的约数。然而，m 和n 是互质的，m n与n n没有公共因子，因而m n一定是b m的约数。同理，b m是m n · c m的约数，但由于b

根号二故事

根号二的故事 古希蜡有一位著名的数学家叫毕达哥拉斯，他对数学的研究是很深的，对数学的发展做出了不可磨灭的贡献。 当时他成立“毕达哥拉斯学派”。其中有这样一个观点：“万物皆数”，他们认为：“人们所知道的一切事物都包含数，因此，没有数就既不可能表达，也不可能理解任何事物”。其中，毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数，而分数是被看作两个整数之比，他们相信宇宙万物总可以归结为简单的整数和整数之比。 毕达戈拉斯首先发现并证明了“直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”，证明了这个定理后，他们学派内外都非常高兴，宰了100牛大肆庆贺，这个定理在欧洲叫“毕达戈拉斯定理”或“百牛定理”，我国叫勾股定理。可是，他的观点和发现的日后使他狼狈不堪，几乎无地自容。 毕达戈拉斯的一个学生西伯斯他勤奋好学，善于观察分析和思考。一天，他研究了这样的问题：“边长为1的正方形，其对角线的长是多少呢？”他根据毕达戈拉斯定理，发现了正方形的对角线与边的长度之比不能用整数或整数之比（即现在所说的有理数）表示，也就是找不到一个数（指整数或整数之比，即有理数）使它平方后等于2，即正方形的对角线和边的不可公度性（所谓线段的可公度性是指：对于两条给定的线段，能找到某第三条线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分成整数段）。 他既高兴又感到迷惑，根据老师的观点，根号2 是不应该存在的，但对角线有客观地存在，他无法解释，他把自己的研究结果告诉了老师，并请求给予解释。毕达戈拉斯思考了很久，都无法解释这种“怪”现象，他惊骇极了，又不敢承认根号 2 是一种新数，否则，这就动摇了他们“万物皆数”的根本信念，整个学派的理论体系将面临崩溃，他忐忑不安，最后，他采取了错误的方式：下令封锁消息，也不准西佰斯再研究和谈论此事。 西佰斯在毕达戈拉斯的高压下，心情非常痛苦，在事实面前，通过长时间的思考，他认为根号2 是客观存在的，知识老师的理论体系无法解释它，这说明老师的观有问题。后来，他不顾一切的将自己的发现和看法传扬了出去，整个学派顿时轰动了，也使毕达戈拉斯恼羞成怒，无法容忍这个“叛逆”。决定对西伯斯严加惩罚。西伯斯听到风声后，连夜成船逃走了。然而，他没想到，就在他所成坐的海船后面追来了几艘小船，他还正憧憬着美好的未来，当他还未醒悟过来的时候，毕达戈拉斯学派的打手已出现在他的面前，他手脚被绑后，投入到了浩瀚无边的大海之中，他们要把他发现的秘密和他们的困惑一起抛入大海，永不泄露，他为根号2的诞生献出了自己的宝贵的生命！ 然而，真理是不会被淹没的。人们很快发现不可公度并非罕见：面积等于3，5，6，…，17的正方形的边与单位正方形的边也不可公度。新的问题促使人们重新认识曾经被看成是完美无缺的有理数理论，数学发展出现了“第一次危机”，这次危机使毕达哥拉斯学派迅速瓦解。随着对于数的认识的发展，无理数终于在人们心口中取得了合法地位，并逐渐发展了实数的严格理论，也使数学本身发生了质的飞跃。 人们会永远记住西伯斯，他是真正的无理数之父，他的不谓权威，勇于创新，敢于坚持真理的精神永远激励着后来人！关于实数的理论现在已广泛应用于科学技术和口常生活之中。不过用“√”的符号表示平方根却是在16世纪由法国数学家笛卡儿（Descartes，1596—1650）首先采用的，那时离发现是无理数已有两千多年了。

根号2是无理数的8种证明

1 2是无理数的8种证明 南京师大附中江宁分校 叶军 2是一个非常著名的无理数，第一个发现并坚持这个结果的希帕索斯因此付出了生命的代价——后世的数学史家所说的“第一次数学危机”盖源于此.“危机”过去后，唤醒的却是数学家们对数的重新认识，实数的概念开始确立，在此意义上讲，2的发现是人们对真理的追求、探索以致明朗的一个极好见证. 换一个角度来看这个数，我们可以把它看作一根“晾衣绳”，上面悬挂着许多有趣的方法，从中可以窥见数学的趣味.我们准备从不同的角度来证明2是一个无理数，以体会这一点. 证法1：尾数证明法.假设2是一个有理数，即2可以表示为一个分数的形式2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.由于完全平方数2b 的尾数只能是0、1、4、5、6、9中的一个，因此22b 的尾数只能是0、2、8中的一个.因为222b a =，所以2a 与22b 的尾数都是0，因此2b 的尾数只能是0或5，因此a 与b 有公因数5，与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 这个证法可以证明被开方数的尾数是2、3、7、8的平方根都是无理数. 证法2：奇偶分析法.假设2=b a .其中(a,b )=1，且a 与b 都是正整数.则222b a =.可知a 是偶数，设a =2c ,则2224b c =，222c b =，可知b 也是偶数，因此a 、b 都是偶数，这与(a,b )=1矛盾！因此2是无理数. 希帕索斯就是用这种方法证明了2不是有理数，动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数(任何数都可表示成整数之比)”的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌，希帕索斯因此葬身海底. 证法3：仿上，得到222b a =，易见b >1，否则b=1，则2=a 是一个整数,这是不行的.222b a =改写成a a b ?=22.因为b >1，因此b 有素因子p ，因此p 整除2a

无理数与实数(基础)

学习目标 1. 了解无理数和实数的意义； 2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 . 要点梳理 要点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数. 要点诠释： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 要点二、实数 有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R表示. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能

类型一、实数概念 出下列各数中的有理数和无理数： 【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数. 【答案与解析】 有理数有 无理数有…… 【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数. 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，. 【变式】下列说法错误的是（） ①无限小数一定是无理数；②无理数一定是无限小数； ③带根号的数一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数. A．①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④

七年级数学下册6.3实数《根号2的近似值》素材新人教版

无理数2的近似值 虽然发现“2是无理数”应该归功于“万物皆数”的毕达哥拉斯（Pythagoras 约580-500 BC ）及其学派成员，但是关于2的近似值，历史上不同时期有不同的计算方法. 1古巴比伦人的贡献 1.1 计数的进位制 公元前二千多年的古巴比伦王国时代，人们计数采用的是60进制.而当时的美索不达米亚人就有表示平方、平方根、立方和立方根的数表.当方根是整数时，给出的是准确值，对于其他的方根，相应的60进制数值只是近似的. 1.2 使用的公式 古巴比伦人在计算高为h 宽为w 的矩形对角线d 时出现了平方根.他们使用的公式是 h w h d 22 +≈.曾有一个问题是求给定宽和高的一扇门的对角线，他们当时给出的解答并未说明 公式的来历，只是使用了这个近似公式.这个公式在h ＞w 时是求d 的很好的近似值. 1.3 2的近似值 耶鲁大学收藏了一块当时的古巴比伦人的泥板，上面是标有数字的正方形，其中数30表示正方形的边长，而对角线上的两个数字分别表示对角线长和2的近似值，在这里2是准确到60进制的三位小数，即414213.160 10 605160241232≈+++ ≈，这是有关2的最早的结果. 另外，大约在公元前六世纪，印度的婆罗门教的经典《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与 测量部分《绳经法》（sulvasutrus ）中关于正方形祭坛的对角线计算公式中取 414215686.1) 34)(4)(3(1 )4)(3(13112=-++ =，这里所有的分数都是单位分数. 2 渐近分数法——欧几里得《原本》中的发现 柏拉图(Plato 400 BC)指出，在毕达哥拉斯学派成员之前就有对正方形边和对角线方面的研究，但是作为理论最早出现在欧几里得《原本》中. 在正方形ABCD 对角线AC 的延长线上截取与边长相等的线段CE ，然后以AE 为边长做正方形AEFG ，再在AF 的延长线上截取FH=AE ，再以AH 为边做正方形AHIJ ……如此下去我们得到如下的费波那契数列，并令111D S ==

2017年春季学期新版青岛版八年级数学下学期7.3、根号2是有理数吗、无理数“π”的计算小史素材

无理数“π”的计算小史 几千年来，人们为了寻求圆周率π的越来越精密的近似值而付出了巨大的心血。 起初，人们通过经验和实例得到了粗略的π值。第一个以科学方法计算π值的是古希腊数学家阿基米德（公元前287年—公元前212年），他用正多边形来逼近圆周，得到22322717 π<<。 中国古代数学家在圆周率计算方面有着卓越的成就。公元3世纪，刘徽创造了一种比阿基米德更巧妙的方法，他算出圆周率π157 3.1450 ≈=，现在叫做“徽率”。南北朝时代的祖冲之（公元429—公元500）得到3.1415926 3.1415927π<<，并得到了圆周率的另外两个近似分数：227π≈和355113 π≈，前者称为“约率”，后者称为“密率”。 祖冲之的记录保持了将近一千年。1430年，阿拉伯数学家阿尔?卡西才算得π的准确到小数点后14位的近似值。到16世纪，德国人奥托和荷兰人安托尼兹又重新计算出密率355113 π≈。 文艺复兴以后，欧洲数学家用无穷级数法代替正多边形逼近的几何方法，使圆周率的计算更为简捷。用手工计算π值的最高记录是1946年英国人弗戈森创造的，他将π的值准确到小数点后620位。 进入电脑时代，圆周率的计算更是突飞猛进。1949年，科学家们在一台电子计算机ENIAC 上将π值准确到2 035位小数。1989年，美国哥伦比亚大学查德诺夫斯基兄弟在计算机上算出π值的4.8亿位可靠数字，将这些数字印出来长达数百公里！而到了1999年，日本学者金田安政及其合作者在一台日立SR —800计算机上，算得的π值竟准确到2 061亿多位。现在，计算π的近似值已成为测试计算机运行速度和精确度的一个重要指标。

(完整word版)证明根号2为无理数的方法

试证明2是无理数. 证明：易知2是方程022=-x 的一个根，设它有有理根,a b 即)0(2≠=a a b 先证明一个引理：若整系数方程： 0...02211=+++++--a ax x a x a x a n n n n )0(0≠?a a n 有有理根p q 0(≠pq 且q p ,互质)，则有： p a n ，q a 0. 证明：把p q x =代入原方程，得： 0...02211=++??? ? ??++???? ??+???? ??--a p q a p q a p q a p q a n n n n ，两边同乘n p ，得: .00...0122211== +++++----n n n n n n n n p p a aqp p q a p q a q a 那么，由于0≠p ，所以一定有0p ，那么一定有： ....0122211n n n n n n n p a aqp p q a p q a q a p +++++---- 由于n p p p ,...,,2都满足被p 整除，那么有：n n q a p ，又因1),(=q p ，所以有： .n a p 同理，由于0≠q ，所以一定有0q ，那么一定有： ....0122211n n n n n n n p a aqp p q a p q a q a q +++++---- 由于n q q q ,...,,2都满足被q 整除，那么有：n p a q 0，又因1),(=q p ，所以有： q a 0. 回到原命题，由于0)2(1≠-?，1)2,1(=-，所以方程022=-x 的有理根 a b 满足： 1a ，2-b .22,1±=?±=±=?a b b a 经检验，2±都不是方程022=-x 的根，那么022=-x 无有理根，即2为无理数. ...D E Q

有关有理数与无理数的证明

狄利克雷函数（Dirichlet Function），在实数上处处不连续的证明(2006年10月25日修改版)声明：前天下午在与曲建勋的讨论中找到其证明方式 本证明过程，最关键的两个步骤，由我和曲建勋分别提出，在此对曲建勋表示感谢，并郑重声明，并非我一人完成此证明 √2代表根号2 证明过程我写得很啰嗦，尤其是前面三个命题，可能有些人会认为太显而易见了，但为了严谨我还是写出来了，高人可以略过其证明过程 前提：1、任何有理数均可写成既约分数p/q (p,q∈Z 且q≠0) 2、任何无理数据不可写成这样的形式，且均可写成无限不循环小数 3、任何实数必定属于有理数或无理数中的一类，且不能同时属于两类数 命题1：任何有理数与无理数相加结果都是无理数 证明：假设命题不成立 设p/q (p,q∈Z 且q≠0)为任意有理数 X为任意无理数 则p/q+X=m/n (m,n∈Z 且n≠0) X=m/n-p/q=(mq-np)/(n*q) 则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾 故假设不成立，命题1成立 命题2：任何无理数除以非零有理数结果都是无理数 证明：假设命题不成立 设p/q (p,q∈Z 且q≠0,p≠0)为任意非零有理数 X为任意无理数 则X/(p/q)=m/n (m,n∈Z 且n≠0) X=(p*m)/(q*n) 则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾 故假设不成立，命题2成立 命题3：√2为无理数 证明：假设命题不成立 则√2为有理数，设√2=p/q (p,q∈Z 且q≠0) 2=(p*p)/(q*q) 则p必须是偶数 ∵p/q是既约分数 ∴q是奇数 ∴设p=2n q=2m+1(m,n∈Z)