高中数学经典高考难题集锦
2015年10月18日姚杰的高中数学组卷
一．选择题（共15小题）
1．（2012?绵阳模拟）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x，设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N+）且{a n}的前n 项和为S n，则=（）
A．3 B．C．2 D．
2．（2010?安徽）设{a n}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是（）
A．X+Z=2Y B．Y（Y﹣X）=Z（Z﹣X）C．Y2=XZ D．Y（Y﹣X）=X（Z﹣X）3．（2005?广东）已知数列{x n}满足x2=，x n=（x n﹣1+x n﹣2），n=3，4，…．若=2，
则x1=（）
A．B．3 C．4 D．5
4．（2012?上海）设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）A．25 B．50 C．75 D．100
5．（2007?陕西）给出如下三个命题：
①设a，b∈R，且ab≠0，若＞1，则＜1；
②四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc；
③若f（x）=log i x，则f（|x|）是偶函数．
其中正确命题的序号是（）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
6．（2006?北京）设f（n）=2+24+27+210+…+23n+10（n∈N），则f（n）等于（）A．B．C．D．
7．（2005?江西）将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都可以成等差数列的概率为（）
A．B．C．D．
8．（2005?黑龙江）如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（）A．a1a8＞a4a5B．a1a8＜a4a5C．a1+a8＞a4+a5D．a1a8=a4a5
9．（2004?湖南）农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成．2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元．根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（）
A．4200元～4400元B．4400元～4600元
C．4600元～4800元D．4800元～5000元
10．（2002?北京）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）
A．13项B．12项 C．11项 D．10项
11．（2000?北京）设已知等差数列{a n}满足a1+a2+…+a101=0，则有（）
A．a1+a101＞0 B．a2+a102＜0 C．a3+a99=0 D．a51=51
12．（2013?上海）在数列（a n）中，a n=2n﹣1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i?a j+a i+a j（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）
A．18 B．28 C．48 D．63
13．（2013?上海）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）A．0 B．C．2 D．2
14．（2005?上海）用n个不同的实数a1，a2，…，a n可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵，对第i行a i1，a i2，…，a in，记b i=﹣a i1+2a i2﹣3a i3++（﹣1）n na in，i=1，2，3，…，n!，例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，b1+b2+…+b6=﹣12+2×12﹣3×12=﹣24，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+…+b120等于（）
A．﹣3600 B．1800 C．﹣1080 D．﹣720
15．（2001?北京）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量S n（万件）近似地满足关系式S n=（21n﹣n2﹣5）（n=1，2，…，12），按此预测，在
本年度内，需求量超过万件的月份是（）
A．5、6月B．6、7月C．7、8月D．8、9月
二．填空题（共15小题）
16．（2009?江苏）设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n=a n+1（n=1，2，…），若数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q=．
17．（2008?四川）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值
为．
18．（2011?福建）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b﹣a），这里，x被称为乐观系数．
经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于．
19．（2011?江苏）设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．
20．（2009?北京）{a n}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，n∈N*则a2009=；
a2014=．
21．（2009?宁夏）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2a m﹣a m2=0，s2m﹣1=38，则
m=．
22．（2008?四川）设数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+n+1，则通项a n=．23．（2007?海南）已知{a n}是等差数列，a4+a6=6，其前5项和S5=10，则其公差d=．
24．（2006?广东）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球，第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f（n）表示第n堆的乒乓球总数，则f（3）
=；f（n）=（答案用n表示）．
25．（2005?广东）设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f（n）表示这n条直线交点个数，则f（4）=，当n＞4时f（n）=（用n表示）
26．（2004?上海）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{a n}是公比为q的无穷等比数列，下列{a n}的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第
组．（写出所有符合要求的组号）
①S1与S2；②a2与S3；③a1与a n；④q与a n．（其中n为大于1的整数，S n为{a n}的前n项和．）
27．（2002?上海）若数列{a n}中，a1=3，且a n+1=a n2（n∈N*），则数列的通项a n=．
28．（2011?上海）已知点O（0，0）、Q0（0，1）和点R0（3，1），记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，得到P1，P2，…，P n，…，则=．
29．（2009?湖北）已知数列{a n}满足：a1=m（m为正整数），a n+1=
若a6=1，则m所有可能的取值为．
30．（2004?北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18的值为
，这个数列的前n项和S n的计算公式为
．
2015年10月18日姚杰的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．（2012?绵阳模拟）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=3f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣x2+2x，设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N+）且{a n}的前n 项和为S n，则=（）
A．3 B．C．2 D．
考点：数列的求和；数列的极限．
专题：计算题；压轴题．
分析：由题意可知，函数f（x）按照2单位向右平移，只是改变函数的最大值，求出a1，公比，推出a n，然后求出S n，即可求出极限．
解答：
解：因为f（x）=3f（x+2），所以f（x+2）=f（x），就是函数向右平移2个单位，最大值变为原来的，a1=f（1）=1，q=，
所以a n=，S n=，==
故选D
点评：本题是中档题，考查函数与数列以及数列的极限的交汇题目，注意函数的图象的平移，改变的是函数的最大值，就是数列的公比，考查计算能力，发现问题解决问题的能力．2．（2010?安徽）设{a n}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是（）
A．X+Z=2Y B．Y（Y﹣X）=Z（Z﹣X）C．Y2=XZ D．Y（Y﹣X）=X（Z﹣X）
考点：等比数列．
专题：压轴题．
分析：取一个具体的等比数列验证即可．
解答：解：取等比数列1，2，4，令n=1得X=1，Y=3，Z=7代入验算，只有选项D满足．故选D
点评：对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除．
3．（2005?广东）已知数列{x n}满足x2=，x n=（x n﹣1+x n﹣2），n=3，4，…．若=2，则x1=（）
A．B．3 C．4 D．5
考点：数列的求和；数列的函数特性．
专题：压轴题．
分析：要求极限，先求通项，而条件只是一个递推关系且复杂，故宜采用归纳法猜测通项．并注意无穷递缩等比数列的极限
解答：
解：∵令n=3，
得，令n=4，
得，
∴，…，
，
于是x n=x1+（x2﹣x1）+…+（x n﹣x n﹣1）=
∴，x1=3．故选B
点评：求出前几项后，从什么角度求通项呢，一般是看差和商，采用叠加或累乘法．4．（2012?上海）设a n=sin，S n=a1+a2+…+a n，在S1，S2，…S100中，正数的个数是（）A．25 B．50 C．75 D．100
考点：数列的求和；三角函数的周期性及其求法．
专题：计算题；压轴题．
分析：
由于f（n）=sin的周期T=50，由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a26，a27，…，a49＜0，f（n）=单调递减，a25=0，a26…a50都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24，从而可判断
解答：
解：由于f（n）=sin的周期T=50
由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a25=0，a26，a27，…，a49＜0，a50=0
且sin，sin…但是f（n）=单调递减
a26…a49都为负数，但是|a26|＜a1，|a27|＜a2，…，|a49|＜a24
∴S1，S2，…，S25中都为正，而S26，S27，…，S50都为正
同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正，
故选D
点评：本题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数性
质的灵活应用．
5．（2007?陕西）给出如下三个命题：
①设a，b∈R，且ab≠0，若＞1，则＜1；
②四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc；
③若f（x）=log i x，则f（|x|）是偶函数．
其中正确命题的序号是（）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
考点：等比数列；不等关系与不等式．
专题：压轴题．
分析：要明确等比数列和偶函数的定义，明白什么是“充要条件”．
解答：
解：①，所以＜1成立；
②ad=bc不一定使a、b、c、d依次成等比数列，如取a=d=﹣1，b=c=1；
③由偶函数定义可得．
故选C．
点评：做这类题要细心，读清题干，对基本概念要掌握牢固．
6．（2006?北京）设f（n）=2+24+27+210+…+23n+10（n∈N），则f（n）等于（）A．B．C．D．
考点：等比数列的前n项和．
专题：压轴题．
分析：首先根据题意分析出f（n）是首项为2，公比为8的等比数列的前n+4项和，然后由等比数列前n项和公式求之即可．
解答：解：由题意知，f（n）是首项为2，公比为8的等比数列的前n+4项和，所以f（n）==．
故选D．
点评：本题考查等比数列的定义及前n项和公式．
7．（2005?江西）将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都可以成等差数列的概率为（）
A．B．C．D．
考点：等差关系的确定；等可能事件的概率．
专题：计算题；压轴题．
分析：先把9个数分成3组，根据排列组合的性质可求得所有的组的数，然后把三个数成等差数列的组，分别枚举出来，可知共有5组，然后利用概率的性质求得答案．
解答：
解：9个数分成三组，共有组，其中每组的三个数均成等差数列，有{（1，2，
3），（4，5，6），（7，8，9）}、{（1，2，3），（4，6，8），（5，7，9）}、{（1，3，5），（2，4，6），（7，8，9）}、{（1，4，7），（2，5，8），（3，6，9）}、{（1，5，9），（2，3，4），（6，7，8）}，共5组．
∴所求概率为．
故选A
点评：本题主要考查了等差关系的确定和概率的性质．对于数量比较小的问题中，可以用枚举的方法解决问题直接．
8．（2005?黑龙江）如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（）A．a1a8＞a4a5B．a1a8＜a4a5C．a1+a8＞a4+a5D．a1a8=a4a5
考点：等差数列的性质．
专题：压轴题；分析法．
分析：先根据等差中项的性质可排除C；然后可令a n=n一个具体的数列进而可验证D、A不对，得到答案．
解答：解：∵1+8=4+5∴a1+a8=a4+a5∴排除C；
若令a n=n，则a1a8=1?8＜20=4?5=a4a5∴排除D，A．
故选B
点评：本题主要考查等差数列的性质．属基础题．
9．（2004?湖南）农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成．2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元．根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（）
A．4200元～4400元B．4400元～4600元
C．4600元～4800元D．4800元～5000元
考点：数列的应用．
专题：应用题；压轴题．
分析：根据题意算出2004年农民收入；算出2005年农民收入；根据数列的特点总结出规律得到2008年的农民收入，估算出范围即可．
解答：解：由题知：2004年农民收入=1800×（1+6%）+（1350+160）；
2005年农民收入=1800×（1+6%）2+（1350+2×160）；…
所以2008年农民收入=1800×（1+6%）5+（1350+5×160）≈4559
故选B
点评：考查学生利用数列解决数学问题的能力，以及会根据条件归纳总结出一般性规律的能力．
10．（2002?北京）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）
A．13项B．12项 C．11项 D．10项
考点：等差数列的性质．
专题：计算题；压轴题．
分析：先根据题意求出a1+a n的值，再把这个值代入求和公式，进而求出数列的项数n．
解答：解：依题意a1+a2+a3=34，a n+a n﹣1+a n﹣2=146
∴a1+a2+a3+a n+a n﹣1+a n﹣2=34+146=180
又∵a1+a n=a2+a n﹣1=a3+a n﹣2
∴a1+a n==60
∴S n===390
∴n=13
故选A
点评：
本题主要考查了等差数列中的求和公式的应用．注意对Sn═和
Sn=a1?n+这两个公式的灵活运用．
11．（2000?北京）设已知等差数列{a n}满足a1+a2+…+a101=0，则有（）
A．a1+a101＞0 B．a2+a102＜0 C．a3+a99=0 D．a51=51
考点：等差数列的性质．
专题：计算题；压轴题．
分析：根据特殊数列a n=0可直接得到a3+a99=0，进而看得到答案．
解答：解：取满足题意的特殊数列a n=0，即可得到a3+a99=0
选C．
点评：本题主要考查等差数列的性质．做选择题时要合理选择最恰当的方法可节省做题时间．
12．（2013?上海）在数列（a n）中，a n=2n﹣1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i?a j+a i+a j（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）
A．18 B．28 C．48 D．63
考点：数列的函数特性．
专题：压轴题．
分析：由于该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i?a j+a i+a j=（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1=2i+j ﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），要使a ij=a mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12）．
则满足2i+j﹣1=2m+n﹣1，得到i+j=m+n，由指数函数的单调性可得：当i+j≠m+n时，
a ij≠a mn，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，即可得出．
解答：解：该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i?a j+a i+a j=（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1=2i+j ﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），
当且仅当：i+j=m+n时，a ij=a mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12），
因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值．
故选A．
点评：由题意得出：当且仅当i+j=m+n时，a ij=a mn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12）是解题的关键．
13．（2013?上海）记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，
y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则M n=（）A．0 B．C．2 D．2
考点：数列的极限；椭圆的简单性质．
专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
先由椭圆得到这个椭圆的参数方程为：（θ为参数），
再由三角函数知识求x+y的最大值，从而求出极限的值．
解答：
解：把椭圆得，
椭圆的参数方程为：（θ为参数），
∴x+y=2cosθ+sinθ，
∴（x+y）max==．
∴M n==2．
故选D．
点评：本题考查数列的极限，椭圆的参数方程和最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数知识的灵活运用．
14．（2005?上海）用n个不同的实数a1，a2，…，a n可得到n!个不同的排列，每个排列为一行写成一个n!行的数阵，对第i行a i1，a i2，…，a in，记b i=﹣a i1+2a i2﹣3a i3++（﹣1）n na in，i=1，2，3，…，n!，例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，b1+b2+…+b6=﹣12+2×12﹣3×12=﹣24，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，b1+b2+…+b120等于（）
A．﹣3600 B．1800 C．﹣1080 D．﹣720
考点：数列的求和；高阶矩阵．
专题：计算题；压轴题．
分析：先根据题意算出数阵的行数5！和每一列数字之和5!÷5×（1+2+3+4+5），再根据b1+b2+…+b120=360×（﹣1+2﹣3+4﹣5）求得答案．
解答：解：由题意可知数阵中行数5！=120，
在用1，2，3，4，5形成的数阵中，
每一列各数字之和都是5!÷5×（1+2+3+4+5）=360，
∴b1+b2+…+b120=360×（﹣1+2﹣3+4﹣5）=360×（﹣3）=﹣1080．
故选C
点评：本题主要考查了数列的求和问题．本题给学生创设了一个很好的发现、研究型学习的平台．
15．（2001?北京）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量S n（万件）近似地满足关系式S n=（21n﹣n2﹣5）（n=1，2，…，12），按此预测，在
本年度内，需求量超过万件的月份是（）
A．5、6月B．6、7月C．7、8月D．8、9月
考点：数列的应用．
专题：应用题；压轴题．
分析：本题考查了数列的前n项和知识和二次不等式的求解问题．既可以直接求解二次不等式得到n的范围，再根据n∈Z找到满足题意的n；即可得到答案．
解答：
解：由S n解出a n=（﹣n2+15n﹣9），
再解不等式（﹣n2+15n﹣9）＞，
得6＜n＜9．
答案：C
点评：本题考查了数列前n项和的知识，二次不等式的知识．解答时要充分体会二次不等式在解答中的作用以及验证法在解答选择题时的妙用．
二．填空题（共15小题）
16．（2009?江苏）设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n=a n+1（n=1，2，…），若数列{b n}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q=﹣9．
考点：等比数列的性质；数列的应用．
专题：等差数列与等比数列．
分析：根据B n=A n+1可知A n=B n﹣1，依据{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则可推知则{A n}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中，按绝对值的顺序排列上述数值，相邻相邻两项相除发现﹣24，36，﹣54，81是{A n}中连续的四项，求得q，进而求得6q．
解答：解：{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中
B n=A n+1 A n=B n﹣1
则{A n}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中
{A n}是等比数列，等比数列中有负数项则q＜0，且负数项为相隔两项
等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值
18，﹣24，36，﹣54，81
相邻两项相除
=﹣
=﹣
=﹣
=﹣
很明显，﹣24，36，﹣54，81是{A n}中连续的四项
q=﹣或q=﹣（|q|＞1，∴此种情况应舍）
∴q=﹣
∴6q=﹣9
故答案为：﹣9
点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．
17．（2008?四川）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为4．
考点：等差数列的前n项和；等差数列．
专题：压轴题．
分析：利用等差数列的前n项和公式变形为不等式，再利用消元思想确定d或a1的范围，a4用d或a1表示，再用不等式的性质求得其范围．
解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4≥10，S5≤15，
∴，
即
∴
∴，5+3d≤6+2d，d≤1
∴a4≤3+d≤3+1=4故a4的最大值为4，
故答案为：4．
点评：此题重点考查等差数列的通项公式，前n项和公式，以及不等式的变形求范围；
18．（2011?福建）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b（b＞a）以及常数x（0＜x＜1）确定实际销售价格c=a+x（b﹣a），这里，x被称为乐观系数．
经验表明，最佳乐观系数x恰好使得（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于．
考点：数列的应用．
专题：计算题；压轴题．
分析：根据题设条件，由（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，知[x（b﹣a）]2=（b ﹣a）2﹣x（b﹣a）2，由此能求出最佳乐观系数x的值．
解答：解：∵c﹣a=x（b﹣a），b﹣c=（b﹣a）﹣x（b﹣a），
（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中项，
∴[x（b﹣a）]2=（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，
∴x2+x﹣1=0，
解得，
∵0＜x＜1，
∴．
故答案为：．
点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比中项的计算．
19．（2011?江苏）设1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．
考点：等差数列与等比数列的综合．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用等差数列的通项公式将a6用a2表示，求出a6的最小值进一步求出a7的最小值，利用等比数列的通项求出公比的范围．
解答：解：方法1：∵1=a1≤a2≤…≤a7；a2，a4，a6成公差为1的等差数列，∴a6=a2+2≥3，
∴a6的最小值为3，
∴a7的最小值也为3，
此时a1=1且a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，必有q＞0，
∴a7=a1q3≥3，
∴q3≥3，q≥，
方法2：
由题意知1=a1≤a2≤…≤a7；中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，得，所以，
即q3﹣2≥1，所以q3≥3，解得q≥，
故q的最小值是：．
故答案为：．
点评：解决等差数列、等比数列的综合问题一般利用通项公式、前n项和公式列出方程组，解方程组求解．即基本量法．
20．（2009?北京）{a n}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，n∈N*则a2009=1；a2014=0．
考点：数列的概念及简单表示法．
专题：压轴题．
分析：由a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，知第一项是1，第二项是1，第三项是0，第2009项的2009可写为503×4﹣3，故第2009项是1，第2014项等于1007项，而1007=252×4﹣1，所以第2014项是0．
解答：解：∵2009=503×4﹣3，
∴a2009=1，
∵a2014=a1007，
1007=252×4﹣1，
∴a2014=0，
故答案为：1，0．
点评：培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．
21．（2009?宁夏）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2a m﹣a m2=0，s2m﹣1=38，则m=10．
考点：等差数列的前n项和．
专题：计算题；压轴题．
分析：根据题意先解出a m，再利用等差数列的前n项和与特殊项之间的关系S2m﹣1=（2m﹣1）a m，建立方程，求解即可．
解答：解：∵2a m﹣a m2=0，
解得a m=2或a m=0，
∵S2m﹣1=38≠0，
∴a m=2；
∵S2m﹣1=×（2m﹣1）=a m×（2m﹣1）=2×（2m﹣1）=38，
解得m=10．
故答案为10．
点评：本题主要考查了等差数列前n项和公式与等差数列性质的综合应用，熟练掌握公式是解题的关键．
22．（2008?四川）设数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+n+1，则通项a n=．
考点：数列递推式．
专题：计算题；压轴题．
分析：根据数列的递推式，依次写出n=1，2，3…n的数列相邻两项的关系，进而各式相加即可求得答案．
解答：解：∵a1=2，a n+1=a n+n+1
∴a n=a n﹣1+（n﹣1）+1，a n﹣1=a n﹣2+（n﹣2）+1，a n﹣2=a n﹣3+（n﹣3）+1，…，a3=a2+2+1，a2=a1+1+1，a1=2=1+1
将以上各式相加得：a n=[（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+…+2+1]+n+1
=
故答案为；
点评：此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式．重视递推公式的特征与解法的选择；抓住a n+1=a n+n+1中a n+1，a n系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；
23．（2007?海南）已知{a n}是等差数列，a4+a6=6，其前5项和S5=10，则其公差d=．
考点：等差数列的性质．
专题：计算题；压轴题．
分析：
先根据a4+a6=2a5=求得a5的值，再根据，进而求得a1，进
而根据求得d．
解答：解：a4+a6=2a5=6
∴a5=3，
∴
故答案为
点评：本题主要考查了等差数列中的等差中项的性质和通项公式的运用．
24．（2006?广东）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球，第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层
之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f（n）表示第n堆的乒乓球总数，则f（3）=10；f（n）=n（n+1）（n+2）（答案用n表示）．
考点：数列的求和．
专题：压轴题；规律型．
分析：由题意知第一堆乒乓球只有1层，个数为1，第二堆乒乓球有两层，个数分别为1，1+2，第三堆乒乓球有三层，个数分别为1，1+2，1+2+3，第四堆乒乓球有四层，个数分别为1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，因此可以推知第n堆乒乓球有n层，个数分别为1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n，据此解答．
解答：解：由题意知，f（1）=1，f（2）=1+1+2，f（3）=1+1+2+1+2+3，…，f（n）=1+1+2+1+2+3+…+1+2+3+…+n，
分析可得：f（n）﹣f（n﹣1）=1+2+3+…+n==+；
f（n）=[f（n）﹣f（n﹣1）]+[f（n﹣1）﹣f（n﹣2）]+[f（n﹣2）﹣f（n﹣3）]+…+f
（2）﹣f（1）+f（1）
==n（n+1）（2n+1）+n（n+1）=n（n+1）（n+2）．故答案为：10；n（n+1）（n+2）．
点评：本题主要考查数列求和在实际中的应用，解决问题的关键是先由f（1）、f（2）、f（3）的值通过归纳推理得到f（n）的表达式，在求和时注意累加法的运用．
25．（2005?广东）设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f（n）表示这n条直线交点个数，则f（4）=5，当n＞4时f（n）
=（用n表示）
考点：等差数列的前n项和；数列的应用．
专题：压轴题；规律型．
分析：要想求出f（4）的值，我们画图分析即可得到答案，但要求出n＞4时f（n）的值，我们要逐一给出f（3），f（4），…，f（n﹣1），f（n）然后分析项与项之间的关系，然后利用数列求和的办法进行求解．
解答：解：如图，4条直线有5个交点，
故f（4）=5，
由f（3）=2，
f（4）=f（3）+3
…
f（n﹣1）=f（n﹣2）+n﹣2
f（n）=f（n﹣1）+n﹣1
累加可得f（n）=2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1）
=
=
故答案为5，
点评：本题考查的知识点是归纳推理与数列求和，根据f（3），f（4），…，f（n﹣1），f（n）然后分析项与项之间的关系，找出项与项之间的变化趋势是解决问题的关键．
26．（2004?上海）若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{a n}是公比为q的无穷等比数列，下列{a n}的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第①④组．（写出所有符合要求的组号）
①S1与S2；②a2与S3；③a1与a n；④q与a n．（其中n为大于1的整数，S n为{a n}的前n项和．）
考点：等比数列．
专题：计算题；压轴题．
分析：
由根据等差数列性质可知，利用S1和S2，可知a1和a2．由可得公比q，故能确定
数列是该数列的“基本量”；
由a2与S3，设其公比为q，首项为a1，可得把a1和S3代入整理得a2q2+（a2﹣S3q）+a2=0
q不能确定，不一定是数列的基本量；
由a1与a n，可得a n=a1q n﹣1，当n为奇数时，q可能有两个值，故不一定能确定数列；
根据等比数列通项公式，数列{a n} 能够确定，是数列{a n} 的一个基本量．
解答：
解：（1）由S1和S2，可知a1和a2．由可得公比q，故能确定数列是该数列的“基
本量”，故①对；
（2）由a2与S3，设其公比为q，首项为a1，可得a2=a1q，a1=，S3=a1+a1q+a1q2，∴S3=+a2+a2q，∴a2q2+（a2﹣S3q）+a2=0；
满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列的基本量，②不对；
（3）由a1与a n，可得a n=a1q n﹣1，当n为奇数时，q可能有两个值，故不一定能确定
数列，所以也不一定是数列的一个基本量．
（4）由q与a n由a n=a1q n﹣1，故数列{a n} 能够确定，是数列{a n} 的一个基本量；
故答案为：①④．
点评：本题主要考查等比数列的性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．27．（2002?上海）若数列{a n}中，a1=3，且a n+1=a n2（n∈N*），则数列的通项a n=32n﹣1．
考点：数列递推式．
专题：计算题；压轴题．
分析：由递推公式a n+1=a n2多次运用迭代可求出数列a n=a n﹣12=a n﹣24=…=a12n﹣1
解答：解：因为a1=3
多次运用迭代，可得a n=a n﹣12=a n﹣24=…=a12n﹣1=32n﹣1，
故答案为：
点评：本题主要考查利用迭代法求数列的通项公式，迭代中要注意规律，灵活运用公式，熟练变形是解题的关键
28．（2011?上海）已知点O（0，0）、Q0（0，1）和点R0（3，1），记Q0R0的中点为P1，取Q0P1和P1R0中的一条，记其端点为Q1、R1，使之满足（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，记Q1R1的中点为P2，取Q1P2和P2R1中的一条，记其端点为Q2、R2，使之满足（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，得到P1，P2，…，P n，…，则=．
考点：数列与解析几何的综合；数列的极限．
专题：综合题；压轴题．
分析：由题意（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，则Q1、R1；Q2、R2，…中必有一点在（）的左侧，一点在右侧，根据题意推出P1，P2，…，P n，…，的极限为：（），然后求出．
解答：解：由题意（|OQ1|﹣2）（|OR1|﹣2）＜0，所以第一次只能取P1R0一条，（|OQ2|﹣2）（|OR2|﹣2）＜0．依次下去，则Q1、R1；Q2、R2，…中必有一点在（）的左侧，一点在右侧，由于P1，P2，…，P n，…，是中点，根据题意推出P1，P2，…，P n，…，的极限为：（），所以=|Q0P1|=，
故答案为：．
点评：本题是基础题，考查数列的极限，数列与解析几何的综合，极限的思想的应用，注意分析题意，P n的规律是本题解答的关键，考查逻辑推理能力．
29．（2009?湖北）已知数列{a n}满足：a1=m（m为正整数），a n+1=
若a6=1，则m所有可能的取值为4，5，32．
考点：数列递推式．
专题：压轴题．
分析：由题设知a5=2，a4=4，有①②两种情况：①a3=1，a2=2，a1=4，即m=4；②a3=8，a2=16，有③④两种情况：③a1=5，即m=5；④a1=32，即m=32．
解答：解：∵数列{a n}满足：a1=m（m为正整数），
a n+1=，
a6=1，
∴a5=2，a4=4，有①②两种情况：
①a3=1，a2=2，a1=4，即m=4；
②a3=8，a2=16，有③④两种情况：
③a1=5，即m=5；
④a1=32，即m=32．
故答案为：4，5，32．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．
30．（2004?北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18的值为
3，这个数列的前n项和S n的计算公式为
当n为偶数时，；当n为奇数时，．
考点：数列的求和；数列的应用．
专题：压轴题；创新题型．
分析：由题意可知，a n+a n+1=5，且a1=2，所以，a2=3，a3=2，a4=3，进而找出这个数列的奇数项为2，偶数项为3，所以a18的数值为3．由于该数列为2，3，2，3，2，3…所以求和时要看最后一项是2还是3，就需对n分奇数还是偶数进行讨论，
解答：解：由题意知，a n+a n+1=5，且a1=2，所以，a1+a2=5，得a2=3，a3=2，a4=3，…a17=2，a18=3，
当n为偶数时s n=（2+3）+（2+3）+（2+3）+…+（2+3）=5×=
当n为奇数时s n=（2+3）+（2+3）+…（2+3）+2=5×+2=
故答案为：3；当n为偶数时S n=，当n为奇数时S n=
点评：本题由新定义考查数列的求和，在求和时一定注意对n分奇数和偶数讨论
高中数学常见难题
1、已知正三棱锥S－ABC的高SO为3，底面边长为6，过A向它所对侧面 SBC作垂线，垂足为O′，在AO′上取一点P，使AP︰PO′=8，求经过P 点且平行底面的截面的面积． 分析：本题的关键在于求出过P平行于底的截面到顶点的距离与底面到顶点的距 离之比． 解答：如图10．13，因S－ABC是正三棱锥，所以O是正三角形ABC的中心．连 结AO延工交BC于D，则D是BC的中点，故BC⊥AD，BC⊥SD，因而BC⊥平面SAD， 从而平面ASD⊥平面SBC．又AO′⊥平面SBC，故SO′在平面SAD内，因而O′在SD上，于是 由 设过P作平行于底的平面与SD的交点为O1，则 于是 故所求截面面积
2、设正三棱锥P—ABC的高为PO，M为PO的中 点，过AM作与棱BC平行的平面，将正三棱锥 截成上、下两部分，试求两部分体积之比． 分析：设过AM且平行BC的平面交平面PBC于EF（E ∈PB，F∈PC），要求两部分体积之比，只要求VP —ABC=S△PEF︰S△PBC． 解答：如图10．14，过设AM且平行BC的平面与棱PB、PC分别交于E、F．则EF//BC．连 结AO并延长交BC于D，则D为BC的中点，连结PD交EF于G，则因A 到平面PEF的距离即为A到平面ABC的距离，所以在△PAD中，过O作PD的平行线，交AG于N．因为M为PO的中点，故|ON|=|PG|，，故，因而，故所求上下两部分体积之比为 3、四面体ABCD被平面α所截，对棱AB，CD都与α平行且与α等距，设α截得截面四边形的面积为S，对棱AB与CD的距离为h，求这个四面体ABCD的体积．分析：利用“等底、等高的两个四面体的体积相等”将四面体添加几个等体积的四面体，构成一个平行六面体来计算． 解答：过四面体ABCD的各棱分别作与其对棱平行的平面，六个平面相交得一平行六面体AC1BD1－A1CB1D（如图10．15）．此时VABCD等于平行六面体的体积V减去四个彼此等积的三棱锥的体积，这四个三棱锥分别是A－A1CD，B－B1DC，C－C1AB，D－D1AB．因为这四个三棱锥的底面积为 平行六面体底面积的，其高与平行六面体的高相等，故每一个三棱锥的体积等于于是 由于AB，CD与截面α等距，如图10．15可知K，L，M，N分别是AA1，CC1，BB1，DD1的中点，易知，而h就是平面AC1BD1与平面A1CB1D的距离，所以 说明：利用“等积”进行割补，是解决多面体体积问题的一个有效方法．
【人教A版】高中数学重点难点突破：简单的三角恒等变换 同步讲义
【人教A 版】高中数学重点难点突破：简单的三角恒等变换 同步讲义 （学生版） 【重难点知识点网络】： 1 同角三角函数的基本关系式 ：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θ θ cos sin ， 2 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 3 和角与差角公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±= .ααααcos sin 21)cos (sin 2 ±=± ?由点(,)a b 的象限决定,tan b a ?= ). 3 二倍角公式及降幂公式 sin 22sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 22tan tan 21tan α αα = -. 221cos 21cos 2sin ,cos 22 αα αα-+= = 4 三角函数的周期公式 函数sin()y x ω?=+，(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期2|| T π ω= ； 函数tan()y x ω?=+，,2 x k k Z π π≠+ ∈(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期|| T πω= .
三角函数的图像： 【重难点题型突破】： 一、和差公式的化简及求值 例1．（1）（2019·山东高一期末）10208020cos cos cos sin ?-??=（ ） A ． 2 B ． C ． 12 D ．12 - （2）．（2018·广东高一期末）sin 49sin19cos19sin 41??+??=（） A ． 1 2 B ．12 - C D ． 【变式训练1-1】、（1）．（2019·兰州市第五中学高一期末）sin15 =（ ） A ． 4 B ． 4 C ． 24 + D ． 4 （2）．已知()2tan 5αβ+= ，1tan 44πβ??-= ???，那么tan 4πα? ?+= ?? ?（ ） A ． 1318 B ． 13 22 C ． 322 D ． 518 例2．（2020届甘肃省高三第一次高考诊断）已知tan 3α=，则sin 22πα? ? + = ?? ? （ ） A ．45 - B ． 35 C ． 35 D ． 45
高二会考数学重点知识点梳理五篇
高二会考数学重点知识点梳理五篇 高二会考数学知识点1 空间中的平行问题 (1)直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行. 线线平行线面平行 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行.线面平行线线平行 (2)平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 (1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行
(线面平行→面面平行), (2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行. (线线平行→面面平行), (3)垂直于同一条直线的两个平面平行, 两个平面平行的性质定理 (1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.(面面平行→线面平行) (2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(面面平行→线线平行) 高二会考数学知识点2 导数是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x 在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f(x0)或df(x0)/dx。 导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的
线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。 不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。 对于可导的函数f(x)，x?f(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也****于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。 高二会考数学知识点3 第一章：集合和函数的基本概念，错误基本都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就是五分没了。次一级的知识点就是集合的韦恩图，会画图，集合的“并、补、交、非”也就解决了，还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。
如何解决高中数学难题
●如何解决高中数学难题 1、首先最重要的一点就是基础知识一定要扎实，这种扎实，不是说你仅仅会这 条公式，而是要清楚这条公式是怎么来的，反过来可以怎么用。即使你在考试的时候忘记公式了，你也能够推导出来。能做到这样子，基本上什么题型都不怕了。高考的题型再新，也无非是换汤不换药。还是考一个学生的基础知识； 2、等你真正上了高中，你就会发现，在课下学到的东西远比书本上的多，并且老师在课上 讲的很多都不是书本上能领悟的东西，书本上的东西太基础了。 题做多了就熟练了，创新思维这些虚幻的东西最好不要带到课堂里去。你在研究什么创新思维的时候还不如多做几张试卷来的实在。 3、呵呵，该说的方法其实就是那样，相信你也懂的，我个人是比较注重心态，对数学的心态，建议你非常简单的两点：一，问，问老师，问同学。----- 一定要交流，不是说一道题的答案问题，而是，超乎一道题的效果。至于效果，你会明白的，我说了没用。二，天天碰数学。----不管今天是生日还是分手，春节还是解放日，都一定要碰！实在特别困难哪怕是5-10分钟也要。呵呵，持之以恒，不要很聪明，你数学就能很容易上130· ●高中数学解题速度，思路和反应应该怎样提高 多解基础题，形成思维的稳定性 总结类型题，形成思维的定式化 攻击疑难题，形成思维的多变性 注重解题的规范化，形成思维的逻辑性 上课专心听讲固然是关键，但是高中的学习已经和大学有些类似了，加强对题目的熟悉程度是高考的关键，多练能让你对题目和做题的思路更熟悉，但是光做题也不行，我就不是一个喜欢做题的选手。我学数学靠的是思考和做题的结合。别人做两道题的时间我只做一道，剩下一道的时间我就思考我刚才是怎么做出来这个题目的，做出来用了哪些知识，再马上从各种高考题模拟题中找出类似的题型，看看是不是用同样的思路也能迎刃而解，如果能，那么这是条重要的思路对于解这个类型的题目，要针对性的再练习巩固一下。如此反复练习和思考，肯定有所提高。过来人的意见，你可以试试看！ 数学：像数轴的三要素、分数、等式、函数的图像及平移等概念，从接触这些概念开始，几乎贯穿一个人的一生。所以理解并记住数学学科中的概念是相当重要的。如果不能理解或记住概念，那么老师讲课的时候，就像听天书，不知所云，当然不能学好了。如果能够理解或记住概念（真正暂时不能理解，不仿死记硬背），那么在老师讲课的时候，动脑子想：“老师为什么要这样做，用了什么方法和定理，是从哪个地方切入的？”把理解或记住的基本概念与老师所讲的一一印证，反过来，又加深了对基本概念的理解与记忆，更能起到举一反三的效果（一般来说听老师评讲10套左右的讲义或试卷就可以了）。数学最怕的就是蒙对了，不知道对在哪。宁可做错了，知道错在哪。
(完整word版)高一数学必修一经典高难度测试题含答案
高中数学必修1复习测试题（难题版） 1.设5log 3 1=a ，5 13=b ，3 .051??? ??=c ，则有（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a << 2.已知定义域为R 的函数)(x f 在),4(∞+上为减函数，且函数()y f x =的对称轴为4x =，则（ ） A ．)3()2(f f > B ．)5()2(f f > C ．)5()3(f f > D ．)6()3(f f > 3.函数lg y x = 的图象是（ ）
4.下列等式能够成立的是（ ） A ．ππ-=-3)3(66 B = C =34 ()x y =+ 5.若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A ．)2()1()23(f f f <-<- B ．)1()2 3 ()2(-<- 6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-,则()y f x =在R 上的解析式为 A ． ()(2)f x x x =-+ B ．()||(2)f x x x =- C ．()(||2)f x x x =- D. ()||(||2)f x x x =- 7.已知函数log (2)a y ax =-在区间[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．(2,)+∞ 高中数学 1、等差数列公差d不等于零，a1 a3 a9 成等比数列, (a1+a3+a9)/(a2+a4+a10)=? 方法1：设an的公差是d ∴a3=a1+2d,a9=a1+8d a2=a1+d,a4=a1+3d,a10=a1+9d ∴a1+a3+a9=3a1+10d,a2+a4+a10=3a1+13d ∵a1,a3,a9依次成等比数列 ∴a3/a1=a9/a3 ∴a1^2+4d^2+4a1d=a1^2+8a1d ∴a1=d ∴(a1+a3+a9)/(a2+a4+a10)=(3a1+10d)/(3a1+13d)=13d/16d=13/16 方法二：用特值法是最好的方法。 考查a1，a3，a9，我们发现，1，3，9正好是等比数列，而自然数列正好是最典型的等差数列， 那么，我们把a1，a2，a3……跟1，2，3……分别对应起来， 所以（a1+a3+a9）/（a2+a4+a10）=（1+3+9）/（2+4+10）=13/16 点评：在解决选择填空的时候，有时候，特值法是比较好的一个方法。 2、已知f(x)=-x^3+ax^2-4 1）若f(x)在x=4/3处取得极值求a的值 2）在1)的条件下，若关于x的方程f(x)=m在[-1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围 3) 若存在x0∈(0,+∞）使得f(x0)>0能成立，求a的取值范围 答：设函数f(x)的倒函数是G（x） 所以G（x）=-3x^2+2ax 第1个：因为f(x)在x=4/3处取得极值所以G（x）在x=4/3处时G（4/3）=0 即a=-2 第2个：f(x)=m在[-1,1]上恰有两个不同的实数根 设K(x)=-x^3+ax^2-4 N（x）=m 即K（x）与N（x）在[-1,1]上恰有两个不同的交点！ 设M（x）为K（x）的倒函数 M（x）=G（x）=-3x^2+2ax 令M（x）=0 即X1=2a/3 X2=0 所以K（x）在x=X1和x=X2处取得极值 选择题难题突破 一、选择题（题型注释） 1．函数6(3)3,7, (),7. x a x x f x a x ---≤?=?>?若数列{}n a 满足()()n a f n n N *=∈，且{}n a 是递 增数列，则实数a 的取值范围是（ ） A ．9,34?????? B ．9,34?? ??? C ．()2,3 D ．()1,3 试题分析：因为()()n a f n n N *=∈，{}n a 是递增数列，所以函数 6 (3)3,7(),7.x a x x f x a x ---≤?=?>?为增函数，需满足三个条件 () ()30 178 a a f f ?->? >?? 强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2 －2x ＋m )(x 2 －2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为4 1 的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ． 4 3 C ． 2 1 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝9 5 ，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ． 2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则2 1 2b a a 的值是( )． A ． 2 1 B ．－ 2 1 C ．－ 21或2 1 D ． 4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2 n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )． A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 高三数学知识点重难点梳理最新5篇 与高一高二不同之处在于，高三复习知识是为了更好的与高考考纲相结合，尤其水平中等或中等偏下的学生，此时需要进行查漏补缺，但也需要同时提升能力，填补知识、技能的空白。 高三数学知识点总结1 1.等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+(n-1)d. 3.等差中项 如果A=(a+b)/2，那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d(n，m∈N_. (2)若{an}为等差数列，且m+n=p+q， 则am+an=ap+aq(m，n，p，q∈N_. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N_是公差为md的等差数列. (4)数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列. (5)S2n-1=(2n-1)an. (6)若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2; 若n为奇数，则S奇-S偶=a中(中间项). 注意： 一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式： Sn=a1+a2+a3+…+an，① Sn=an+an-1+…+a1，② ①+②得：Sn=n(a1+an)/2 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元. (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. 四种方法 等差数列的判断方法 (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数; (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2(n≥3，n∈N_都成立; (3)通项公式法：验证an=pn+q; (4)前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn. 注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明 东莞龙文教育高中数学试卷（24） 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个 项是符合题目要求的。 1．若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，则M ∩N 等于 A ．｛0，1｝ B ．｛-1，0，1｝ C ．｛0，1，2｝ D ．｛-1，0，1，2｝ 2．i 是虚数单位1+i 3等于 A ．i B ．-i C ．1+i D ．1-i 3．若a ∈R ，则“a=1”是“|a|=1”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条 件 4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。 现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 A ．3 B ．11 C ．38 D ．123 6．若关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m 的 取值范围是 A ．（-1,1） B ．（-2,2） C ．（-∞，-2）∪（2，+∞） D ．（-∞，-1）∪（1，+∞） 7．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的重点，若在矩形ABCD 内部随 机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于 A ． 1 4 B ． 13 C ． 1 2 D ． 23 8．已知函数f （x ）=。若f （a ）+f （1）=0,则实数a 的值等于 A ．-3 B ．-1 C ．1 D ．3 9．若a ∈（0， 2 ），且sin 2a+cos2a=14，则tana 的值等于 A ． 2 B ． C ． D ． 1 难点28 关于求空间距离 2 空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到3 面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离. 4 ●难点磁场 5 (★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD，PA=2c,Q 6 是PA的中点. 7 8 求：(1)Q到BD的距离； 9 (2)P到平面BQD的距离. 10 ●案例探究 11 ［例1］把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、12 BC的中点，点O是原正方形的中心，求： 13 (1)EF的长； 14 (2)折起后∠EOF的大小. 15 命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决 16 立体几何问题，属★★★★级题目. 17 知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式. 18 错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两19 两互相垂直. 20 技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为原点，以、、的方21 向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单. 22 解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长23 为a ,则A (0，－ 22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0),D (0,0, 2 2a ),E (0,－24 42a , a ),F (42a , 4 2a ,0) 25 21| |||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420) 0,4 2 ,42(),42,42,0()2(23 ,43)420()4242()042(||)1(2 2222-=>=<== - =?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE a a a a a a a a a a a a EF a a a a a 26 ∴∠EOF =120° 27 ［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 28 命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 29 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线30 面距离，或面面距离，亦可由最值法求得. 31 错解分析：本题容易错误认为O 1B 是A 1C 与AB 1的距离，这主要是对异面直32 线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的33 距离. 34 函 数 练 习 题 班级 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)111 y x x =+-++ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，数m 的取值围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y =⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y ⑽ 4y = ⑾y x =- 6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y =⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； 第1章 空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上（ 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 222r rl S ππ+= 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形， 锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2 作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2 2015年10月18日杰的高中数学组卷 一．解答题（共10小题） 1．（2012?宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B． （1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值； （2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程． 2．（2010?模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S． （Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域； （Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值． 3．（2013?越秀区校级模拟）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距离为．求该圆的方程． 4．（2013?柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．（Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由． 5．（2009?）（1）已知矩阵M所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，5），试求M的逆矩阵及点A的坐标． （2）已知直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数）试判断他们的公共点个数； （3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1． 6．（2009?东城区一模）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A （﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C； （Ⅱ）当时，求直线l的方程； （Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由． 高考数学难点突破 函数中的综合问题 函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样.本节课主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养考生的思维和创新能力. ●难点磁场 (★★★★★)设函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x 、y 都有f (x +y )=f (x )+f (y ),当x >0时f (x )<0且f (3)=－4. (1)求证：f (x )为奇函数； (2)在区间［－9，9］上，求f (x )的最值. ●案例探究 ［例1］设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1、x 2∈［0,2 1 ］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),且f (1)=a >0. (1)求f ( 21)、f (4 1); (2)证明f (x )是周期函数； (3)记a n =f (n +n 21 ),求).(ln lim n n a ∞→ 命题意图：本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力. 知识依托：认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)找到问题的突破口. 错解分析：不会利用f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)进行合理变形. 技巧与方法：由f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)变形为) 2 ()2()2()22()(x f x f x f x x f x f ??=+=是解决问题的关键. (1) 解：因为对x 1,x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),所以f (x )=)2 ()22(x f x x f =+≥ 0, x ∈［0,1］ 又因为f (1)=f (21+21)=f (21)·f (21)=［f (2 1 )］2 f (21)=f (41+41)=f (41)·f (41)=［f （41）］2 又f (1)=a >0 ∴f (21)=a 21 ,f (4 1)=a 41 (2)证明：依题意设y =f (x )关于直线x =1对称，故f (x )=f (1+1－x ),即f (x )=f (2－x ),x ∈R . 又由f (x )是偶函数知f (－x )=f (x ),x ∈R ∴f (－x )=f (2－x ),x ∈R . 第一讲 等差数列、等比数列 [高考导航] 1．对等差、等比数列基本量的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n 项和公式建立方程组求解． 2．对等差、等比数列性质的考查主要以客观题出现，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关计算问题． 3．对等差、等比数列的判断与证明，主要出现在解答题的第一问，是为求数列的通项公式而准备的，因此是解决问题的关键环节． 考点一 等差、等比数列的基本运算 1．等差数列的通项公式及前n 项和公式 a n ＝a 1＋(n －1)d ； S n ＝n (a 1＋a n )2 ＝na 1＋n (n －1)2d . 2．等比数列的通项公式及前n 项和公式 a n ＝a 1q n －1(q ≠0)； S n ＝????? na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1). 1．(2019·大连模拟)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5 ＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 [解析] 由已知条件和等差数列的通项公式与前n 项和公式可列 方程组，得????? 2a 1＋7d ＝24， 6a 1＋6×5 2d ＝48， 即?? ? 2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16， 解得?? ? a 1＝－2，d ＝4， 故选C ． [答案] C 2．(2019·济南一中1月检测)在各项为正数的等比数列{a n }中，S 2＝9，S 3＝21，则a 5＋a 6＝( ) A ．144 B ．121 C ．169 D ．148 [解析] 由题意可知， ?? ? a 1＋a 2＝9，a 1＋a 2＋a 3＝21，即?? ? a 1(1＋q )＝9，a 1(1＋q ＋q 2)＝21， 解得?? ? q ＝2，a 1＝3 或????? q ＝－23， a 1＝27 (舍)． ∴a 5＋a 6＝a 1q 4(1＋q )＝144.故选A ． [答案] A 3．(2019·广东珠海3月联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 7＋a 9＝15，则S 8－S 3＝( ) A ．30 B ．25 难点突破 一．选择题（共18小题） 1．已知奇函数f（x）是定义在R上的连续可导函数，其导函数是f'（x），当x ＞0时，f'（x）＜2f（x）恒成立，则下列不等关系一定正确的是（）A．e2f（1）＞﹣f（2）B．e2f（﹣1）＞﹣f（2） C．e2f（﹣1）＜﹣f（2）D．f（﹣2）＜﹣e2f（﹣1） 2．当x＞0时，不等式恒成立，则a的取值范围是（） A．[0，1）∪（1，+∞）B．（0，+∞） C．（﹣∞，0]∪（1，+∞） D．（﹣∞，1）∪（1，+∞） 3．设n∈N*，函数f1（x）=xe x，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），曲线y=f n（x）的最低点为P n，△P n P n+1P n+2的面积为S n，则（）A．{S n}是常数列B．{S n}不是单调数列 C．{S n}是递增数列D．{S n}是递减数列 4．中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种． 例如：163可表示为“”27可表示为“”问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（） A．48 B．60 C．96 D．120 5．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）是f（x）的导函数，若，且f'（2）=2，那么f（2）=（）A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6 6．函数f（x）=x﹣ln（x+2）+e x﹣a+4e a﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使f（x0）=3成立，则实数a的值为（） A．ln2 B．ln2﹣1 C．﹣ln2 D．﹣ln2﹣1 经典函数测试题及答案 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 一、知识结构 本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例人手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子． 二、重点难点分析 这一节的重点是集合的基本概念和表示方法，难点是运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合．这一节的特点是概念多、符号多，正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键．为此，在教学时可以配备一些需要辨析概念、判断符号表示正误的题目，以帮助学生提高判断能力，加深理解集合的概念和表示方法．1．关于牵头图和引言分析 章头图是一组跳伞队员编成的图案，引言给出了一个实际问题，其目的都是为了引出本章的内容无论是分析还是解决这个实际间题，必须用到集合和逻辑的知识，也就是把它数学化．一方面提高用数学的意识，一方面说明集合和简易逻辑知识是高中数学重要的基础． 2．关于集合的概念分析 点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，集合则是集合论中原始的、不加定义的概念． 初中代数中曾经了解“正数的集合”、“不等式解的集合”；初中几何中也知道中垂线是“到两定点距离相等的点的集合”等等．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．”这句话，只是对集合概念的描述性说明．我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这个概念，从而阐明集合概念如同其他数学概念一样，不是人们凭空想象出来的，而是来自现实世界． 3．关于自然数集的分析 教科书中给出的常用数集的记法，是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意． 新的国家标准定义自然数集N含元素0，这样做一方面是为了推行国际标准化组织（ISO）制定的国际标准，以便早日与之接轨，另一方面，0还是十进位数｛0，1，2，…，9｝中最小的数，有了0，减法运算 仍属于自然数，其中．因此要注意几下几点： （1）自然数集合与非负整数集合是相同的集合，也就是说自然 数集包含0；高中数学难题
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