重点名校人教版必修五数学第一章单元课堂讲学案(全案附详解)

第一章解三角形

1.1 正弦定理和余弦定理

第1课时正弦定理

A级基础巩固

一、选择题

1．在△ABC中，已知2B＝A＋C，则B＝()

A．30°B．45°C．60°D．90°

解析：由2B＝A＋C?3B＝A＋B＋C＝180°，即B＝60°.

答案：C

2．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝()

A．4 3 B．2 3 C. 3 D.

3 2

解析：利用正弦定理解三角形．

在△ABC中，

AC

sin B＝

BC

sin A，

所以AC＝BC·sin B

sin A＝

32×

2

2

3

2

＝2 3.

答案：B

3．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于()

A．－22

3 B.

22

3C．－

6

3 D.

6

3

解析：利用正弦定理：a

sin A＝

b

sin B，

15

3

2

＝

10

sin B，所以sin B＝

3

3，

＝

6

3.

答案：D

4．在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则

下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是() A．a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C

B．a＝b?sin 2A＝sin 2B

C.a

sin A＝b＋c

sin B＋sin C

D．正弦值较大的角所对的边也较大

解析：在△ABC中，由正弦定理得a

sin A＝b

sin B＝

c

sin C＝k(k>0)，

则a＝k sin A，b＝k sin B，c＝k sin C，故a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确．

当A＝30°，B＝60°时，sin 2A＝sin 2B，此时a≠b，故B错误．

根据比例式的性质易得C正确．

大边对大角，故D正确．

答案：B

5．在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是()

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等腰三角形

解析：由正弦定理得：a

sin A＝b

sin B＝2R，由a＝b sin A得：

2R sin A＝2R sin B·sin A，

所以sin B＝1，所以B＝π2.

答案：B 二、填空题

6．(2015·北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝6，∠A＝2π

3，则∠B

＝________．

解析：由正弦定理，得a

sin A＝b

sin B，

即3

3

2

＝

6

sin B，所以sin B＝

2

2，所以∠B＝

π

4.

答案：π4

7．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则2sin A－sin B

sin C＝

________．

解析：设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)，

由正弦定理，

得2sin A－sin B

sin C＝

2a－b

c＝

2×4k－3k

5k＝1.

答案：1

8．在△ABC中，若B＝30°，AB＝23，AC＝2，则AB边上的高是________．

解析：由正弦定理，AC

sin B＝

AB sin C，

所以sin C＝AB·sin 30°

AC＝

23·sin 30°

2＝

3

2，

所以C＝60°或120°，

(1)当C ＝60°时，A ＝90°，AB 边上的高为2；

(2)当C ＝120°时，A ＝30°，AB 边上的高为2sin 30°＝1. 答案：1或2

三、解答题

9．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，试判断△ABC 的形状． 解：由正弦定理得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，由a cos A ＝b cos B 得，sin A cos A ＝sin B cos B ，

即sin 2A ＝sin 2B .

因为2A 、2B ∈(0，2π)，

所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π.

即A ＝B 或A ＋B ＝π2

， 所以△ABC 为等腰或直角三角形．

10．在△ABC 中，已知c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43

，求a 、b 及△ABC 的内切圆半径．

解：由正弦定理知sin B sin A ＝b a

， 所以cos A cos B ＝sin B sin A

. 则sin A cos A ＝sin B cos B ，

所以sin 2A ＝sin 2B .

又因为a ≠b ，所以2A ＝π－2B ，

即A ＋B ＝π2

. 所以△ABC 是直角三角形，且C ＝90°，

由???a 2＋b 2＝102，b a ＝43，

得a ＝6，b ＝8. 故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102

＝2. B 级 能力提升

1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a

＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A

的值为( ) A.19 B.13 C ．1 D.72

解析：因为a sin A ＝b sin B ，所以sin B sin A ＝b a

. 因为3a ＝2b ，所以b a ＝32

， 所以sin B sin A ＝32

， 所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2? ????sin B sin A 2－1＝2×? ??

??322－1＝92－1＝72. 答案：D

2．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，

sin B ＝12，C ＝π6

，则b ＝________． 解析：因为 sin B ＝12

， 所以B ＝π6或B ＝5π6

. 当 B ＝π6

时，a ＝3， C ＝π6，所以 A ＝2π3

，

sin 31 2

当B＝5π

6时，C＝

π

6，与三角形的内角和为π矛盾．

答案：1

3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A－C ＝90°，a＋c＝2b，求C.

解：由A－C＝90°，得A为钝角且sin A＝cos C，利用正弦定理a＋c＝2b可变形为sin A＋sin C＝2sin B，

又因为sin A＝cos C，所以sin A＋sin C＝cos C＋sin C＝2sin (C ＋45°)＝2sin B，

又A，B，C是△ABC的内角，

故C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去)，

所以A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°，

所以C＝15°.

第一章 解三角形

1.1 正弦定理和余弦定理

第2课 时余弦定理

A 级 基础巩固

一、选择题

1．(天津卷)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：由余弦定理得13＝9＋AC 2＋3AC ?AC ＝1，选A.

答案：A

2．在△ABC 中，已知a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( )

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等边三角形

解析：由a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，得

a ·

b 2＋

c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·b 2＋a 2－c 2

2ab

， 化简得a 4－2a 2b 2＋b 4＝c 4，即(a 2－b 2)2＝c 4.

所以a 2－b 2＝c 2或a 2－b 2＝－c 2.

故△ABC 是直角三角形．

答案：B

3．在△ABC 中，有下列结论：

①若a 2＞b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；

②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则∠A 为60°；

③若a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形；

④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ∶b ∶c ＝1∶2∶3.

其中正确的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：①cos A ＝b 2＋c 2－a 2

2bc

＜0，所以A 为钝角，正确； ②cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12

，所以A ＝120°，错误； ③cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

＞0，所以C 为锐角，但A 或B 不一定为锐角，错误；

④A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，错误．

答案：A

4．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13

BC ，则cos A ＝( ) A.31010

B.1010 C ．－1010 D ．－31010

解析：设BC 边上的高线为AD ，则BC ＝3AD ，所以AC ＝AD 2＋DC 2＝5AD ，AB ＝2AD .由余弦定理，

知cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝2AD 2＋5AD 2－9AD 22×2AD ×5AD

＝－1010，故选C.

答案：C

5．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( )

A ．等腰直角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等边三角形

解析：因为2cos B sin A ＝sin C ，所以2×a 2＋c 2－b 2

2ac

·a ＝c ， 所以a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形．

答案：C

二、填空题

6．在△ABC 中，若(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )，则∠A ＝________． 解析：由(a ＋c )(a －c )＝b (b ＋c )得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，

所以cos A ＝－12

，A ＝120°. 答案：120°

7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14

a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________． 解析：由正弦定理得到边

b ，

c 的关系，代入余弦定理的变化求解即可．

由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32

c . 又b ＝c ＝14a ，所以12c ＝14

a ，即a ＝2c .由余弦定理得 cos A ＝

b 2＋

c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32

c 2＝－34c 23c 2＝－14. 答案：－14

8．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边长之比为8∶5，则这个三角形的面积是________．

解析：设另两边长分别为8x ，5x (x ＞0)，则cos 60°＝

64x 2＋25x 2－142

80x 2

，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)． 故另两边长分别是16，10.所以三角形的面积

S ＝12

×16×10×sin 60°＝40 3. 答案：40 3

三、解答题

9．在△ABC 中，已知sin 2 B －sin 2 C －sin 2 A ＝3sin A sin C ，求B 的度数．

解：因为sin 2 B －sin 2 C －sin 2 A ＝3sin A sin C ，

由正弦定理得：b 2－c 2－a 2＝3ac ，

由余弦定理得：cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－32

， 又0°＜B ＜180°，所以B ＝150°.

10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1

(1)求角C 的度数；

(2)求AB 的长．

解：(1)因为cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝

－cos(A ＋B )＝－12

，且C ∈(0，π)， 所以C ＝2π3

. (2)因为a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，

所以?

????a ＋b ＝23，ab ＝2. 所以AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，

所以AB＝10.

B级能力提升

1．在△ABC中，sin2A

2＝

c－b

2c，则△ABC的形状为()

A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形

解析：因为sin2A

2＝

1－cos A

2＝

c－b

2c，

所以cos A＝b

c＝

b2＋c2－a2

2bc，

所以a2＋b2＝c2，故△ABC为直角三角形．

答案：B

2．在△ABC中，AB＝2，AC＝6，BC＝1＋3，AD为边BC 上的高，则AD的长是________．

解析：因为cos C＝BC2＋AC2－AB2

2×BC×AC

＝

2

2，

所以sin C＝

2 2.

所以AD＝AC·sin C＝ 3.

答案：3

3．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB ＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．

解：在△ABD中，由余弦定理有：AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos ∠ADB.

设BD＝x，

有142＝102＋x2－2×10x cos 60°，x2－10x－96＝0.所以x1＝16，x2＝－6(舍去)，即BD＝16，

在△BCD中，由正弦定理

BC

sin∠CDB

＝

BD

sin∠BCD

，

可得：BC＝

16

sin 135°

·sin 30°＝8 2.

第一章 解三角形

1.1 正弦定理和余弦定理

第3课时正、余弦定理的综合应用

A 级 基础巩固

一、选择题

1．已知三角形的三边长分别是a ，b ，a 2＋b 2＋ab ，则此三角形中最大的角是( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

解析：因为a 2＋b 2＋ab ＞a ，a 2＋b 2＋ab ＞b ，所以最大边是a 2＋b 2＋ab ，设其所对的角为θ，则cos θ＝ a 2＋b 2－（a 2＋b 2＋ab ）22ab ＝－12

，θ＝120°. 答案：C

2．在△ABC 中，有下列关系式：

①a sin B ＝b sin A ；

②a ＝b cos C ＋c cos B ；

③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ；

④b ＝c sin A ＋a sin C .

一定成立的有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

答案：C

3．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32

，则

BC 的长为( ) A.32

B. 3 C ．2 3 D ．2 解析：S ＝12×AB ·AC sin 60°＝12×2×32×AC ＝32

，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，所以BC ＝ 3.

答案：B

4．锐角三角形ABC 中，sin A 和cos B 的大小关系是( )

A ．sin A ＝cos B

B ．sin A ＜cos B

C ．sin A ＞cos B

D ．不能确定

解析：在锐角三角形ABC 中，A ＋B ＞90°.

所以A ＞90°－B ，

所以sin A ＞sin (90°－B )＝cos B .

答案：C

5．在△ABC 中，b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆面积为( ) A.1963 B.196π3 C.493 D.49π3

解析：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝82＋32

－2×8×3? ????12＝49， 所以a ＝7，所以2R ＝a sin A ＝732

＝143

， 所以R ＝73

，所以S ＝π? ????732＝493π. 答案：D

二、填空题

6．若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等

于________．

解析：试题分析：由已知得△ABC 的面积为12

AB ·AC sin A ＝20sin A ＝103，

所以sin A ＝32，A ∈(0，π2)，所以A ＝π3

. 由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝49，BC ＝7. 答案：7

7．(2015·北京卷)在△ABC 中， a ＝4，b ＝5，c ＝6，则

sin 2A sin C

＝________．

解析：sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2×46·25＋36－162×5×6＝1.

答案：1

8．(2016·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，

c ，若cos A ＝45，cos C ＝513

，a ＝1，则b ＝________. 答案：2013

三、解答题

9．在△ABC 中，已知sin 2 B －sin 2 C －sin 2 A ＝3sin A sin C ．求B 的度数．

解：因为sin 2 B －sin 2 C －sin 2 A ＝3sin A ·sin C .

由正弦定理得：b 2－c 2－a 2＝3ac ，

由余弦定理得：cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝－32

. 又0°＜B ＜180°，

所以B ＝150°.

10．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .

(1)求AB 的值；

(2)求sin ?

????2A －π4. 解：(1)在△ABC 中，根据正弦定理

AB sin C ＝BC sin A

， 于是AB ＝sin C sin A

·BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理得

cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255， 于是sin A ＝55， 由倍角公式得sin 2A ＝2sin A cos A ＝45

， cos 2A ＝2cos 2A －1＝35

， 所以sin ?

????2A －π4＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210. B 级 能力提升

1．在△ABC 中，∠ABC ＝π4

，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( )

A.1010

B.105

C.31010

D.55

解析：由余弦定理：AC ＝9＋2－62×22

＝5，

由正弦定理：AC sin π4

＝3sin ∠CAB ， 所以sin ∠CAB ＝

3×

225

＝31010 答案：C

2．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．

解析：如下图所示，延长BA ，CD 交于点E ，则可知在△ADE

中，∠DAE ＝105°，∠ADE ＝45°，∠E ＝30°，所以设AD ＝12

x ，AE ＝22x ，DE ＝6＋24x ，CD ＝m ，因为BC ＝2，所以? ????6＋24x ＋m ·sin 15°＝1?6＋24x ＋m ＝6＋2，所以0＜x ＜4，而AB ＝6＋24

x ＋m －22x ＝6－24x ＋m ＝6＋2－22

x ，所以AB 的取值范围是(6

－2，6＋2)．

答案：(6－2，6＋2)

3．(2016·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .

(1)求C ；

(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332

，求△ABC 的周长． 解：(1)由已知及正弦定理得：

2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，

即2cos C sin(A ＋B )＝sin C .

故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3. (2)由已知，12ab sin C ＝332

. 又C ＝π3

，所以ab ＝6. 由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7.

故a 2＋b 2

＝13，从而()a ＋b 2＝25. 所以△ABC 的周长为5＋7.

第一章 解三角形

1.2 应用举例

第1课时距离问题

A 级 基础巩固

一、选择题

1．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改成10°，则斜坡长为( )

A ．1

B ．2sin 10°

C ．2cos 10°

D ．cos 20°

解析：原来的斜坡、覆盖的地平线及新的斜坡构成等腰三角形，这个等腰三角形的底边长就是所求．

答案：C

2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( )

A ．30 m B.152 3 m C ．15 3 m

D ．45 m

解析：在△ABC 中，

cos ∠ABC ＝102＋（519）2－1522×10×519＝7219，

∠ABC ∈(0°，180°)，

所以sin ∠ABC ＝ 1－? ????72192＝33219

， 所以在Rt △ABD 中，

AD ＝AB ·sin ∠ABC ＝519×33219＝152

3 (m)． 答案：B

3．甲骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )

A ．6 km

B ．3 3 km

C ．3 2 km

D ．3 km

解析：由题意知，AB ＝24×14

＝6 (km)， ∠BAS ＝30°，∠ASB ＝75°－30°＝45°.

由正弦定理得BS ＝AB sin ∠BAS sin ∠ASB ＝6sin 30°sin 45°

＝3 2 (km)． 答案：C

4．设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是100 m ，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝30°，则A 、B 两点的距离为( )

A ．40 m

B ．50 m

C ．60 m

D ．70 m

解析：如下图所示，△ABC 是Rt △，AB ＝12

AC ，所以AB ＝50 m.