初中数学竞赛——圆4.四点共圆

初二数学联赛班八年级

第1讲四点共圆

典型例题

一.基础练习

【例1】如图，P为ABC

△内一点，D、E、F分别在BC、CA、AB上．已知P、D、C、E四点共圆，P、E、A、F四点共圆，求证：B、D、P、F四点共圆．

【例2】如图7-55，在梯形ABCD中，AD∥BC，过B、C两点作一圆，AB、CD的延长线交该圆于点

E、F．求证：A、D、E、F四点共圆．

【例3】如图，⊙

1

O、⊙

2

O相交于A、B两点，P是BA延长线上一点，割线PCD交⊙

1

O于C、D，

割线PEF交⊙

2

O于E、F，求证：C、D、E、F四点共圆．

P

E

C B

A

D

F

?

2

O

P

1

O

?

F

D

C

B

A E

初二数学联赛班 八年级

【例4】 如图7-56，在△ABC 中，AD =AE ，BE 与CD 交于点P ，DP =EP ，求证：B 、C 、E 、D 四点共

圆．

【例5】 如图，已知ABC △是⊙O 的内接三角形，⊙O 的直径BD 交AC 于E ，AF BD ⊥于F ，延长

AF 交BC 于G ，求证：2AB BG BC =?．

【例6】 如图7－63，在A

B C D □的对角线上，任取一点P ，过点P 作AB 、CD 的公垂线EG ，又作AD 、

BC 的公垂线FM ．求证：EF //GM ．

【例7】 如图7-66，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，DE ⊥AC ，AF ⊥BD ，点E 、F 是垂足．求证：

EF //BC ．

O ?G

F E

C

D

B

A

初二数学联赛班八年级

【例8】如图7-60，已知△ABC，AB、AC的垂直平分线交AC、AB的延长线于点F、E．求证：E、F、

C、B四点共圆．

【例9】如图，已知：60

ABD ACD

∠=∠=，

1

90

2

ADB BDC

∠=∠-∠．求证：ABC

△是等腰三角形．

二.综合提高

【例10】如图7-61，在⊙O中，AB∥CD，点P是AB的中点，CP的延长线交⊙O于点F，又点E为弧BD上任一点，连EF交AB于点G．求证：P、G、E、D四点共圆．

【例11】如图7-62，在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，BM=MC，过M、C任作一圆，与AC交于点E，BE与圆交于F点，求证：AF⊥BE．

D

B

A

初二数学联赛班 八年级

【例12】 如图7－64，P 为△ABC 外接圆一任意一点，点P 到△ABC 三边的垂足分别为D 、E 、F 三点

成一直线．

【例13】 如图7-65，在ABCD □中，过D 、B 两点作一圆，交平行四边形四条边(或它们的延长线)于点

E 、

F 、

G 、

H ．求证：EF //GH ．

【例14】 如图7-67，AB 为半圆的直径，弦AC 、BD 相交于点H ，HP ⊥AB ．求证：∠1＝∠2．

【例15】 如图7－68，四边形ABCD 是正方形，点E 为BC 上的任一点，AE ⊥EF ，EF 交∠BCD 的外角

平分线于点F ．求证：EA =EF ．

初二数学联赛班八年级【例16】在等边三角形ABC中，D、E分别是边BC、AC上的点，且有

1

2

BD CE CD

==，连结BE、AD交于点P，求证：CP AD

⊥．

【例17】设凸四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，垂足为E，证明：点E关于AB、BC、CD、DA的对称点共圆．

【例18】证明：三角形的三条高交于一点．

【例19】已知在凸五边形ABCDE中，3

BAE BC CD DE

α

∠===

，，且1802

BCD CDEα

?

∠=∠=-，求证：BAC CAD DAE

∠=∠=∠．

E

D

C

B

A

E

C

B

A

P

初二数学联赛班 八年级

【例20】 如图所示，设N 是正九变形，O 为其外接圆的圆心，PQ 和QR 是N 的两相邻边，A 为PQ 的

中点，而B 为垂直于QR 的圆半径的中点，试求AO 与AB 的夹角．

【例21】 如图，已知ABC △内接于O ⊙，AD 、BD 为O ⊙的切线，作DE BC ∥，交AC 于E ，连结EO

并延长交BC 于F ，求证：BF FC =．

【例22】 如图，在凸四边形ABCD 的BC 边上取E 和F （点E 比F 更靠近点B ）．已知BAE CDF

∠=∠及EAF FDE ∠=∠，证明：FAC EDB ∠=∠．

D

O

?

A C R

Q P B

F

E

C

B

D

A

初二数学联赛班八年级【例23】如图，在平行四边形ABCD中，BAD

∠为钝角，且AE BC AF CD

⊥⊥

，．

（1）求证：A E C F

、、、四点共圆；

（2）设线段BD与（1）中的圆交于M N

、．求证：BM ND

=．

【例24】正方形ABCD的中心为O，面积为2009，P为正方形内的一点，且45

OPB

∠=?，:4:5

PA PB=，求PB．

【例25】如图，已知ABC

△中，AH是高，AT是角平分线，且TD AB TE AC

⊥⊥

，．

求证：（1）AH D AH E

∠=∠；（2）

BH CH

BD CE

=．

N

M F

E

B

D

A

C

P

O

D

C B

A

T H

E

D

C

B

A

初二数学联赛班 八年级

【例26】 如图，⊙O 为ABC △的外接圆，60BAC ∠=，H 为AC 、AB 上高BD 、CE 的交点，在BD

上取点M ，使BM CH =．连结OM OH 、，求证：OM OH =．

【例27】 如图，CD 是O 的直径，弦AE 交CD 于点Q ，点B 是弧DE 上一点，BC 和DE 交于点

F ．AB CD ⊥，垂足为M ，求证：QF AB ∥．

三. 过三点的圆

【例28】 如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，若76CAD ?∠=，13BDC ?∠=，则C

B D ∠=_______， BA

C ∠=__________．

D

C

D

C

B

A

O ?H M

E D

C

B

A

初二数学联赛班八年级【例29】已知凸四边形ABCD，2

BAC BDC

∠=∠，2

CAD CBD

∠=∠，求证：AB AC AD

==．

思维飞跃

【例30】如图，直线AB和AC与O

⊙分别相切于B C

、，P为圆上一点，P到AB AC

、得距离分别为49

、，试求P到BC的距离．

【例31】如图，ABC

△中，90

ACB

∠=，AB边上的高线CH与ABC

△的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点．PM、QN的中点分别为E、F．求证：//

EF AB．

D

B

A

M

N P

H

B

A

C

E

Q

F

初二数学联赛班 八年级

【例32】 如图，已知P 是正ABC △外接圆的弧BC 上的任一点．求证：22PA AC PB PC =+?．

【例33】 如图，PA 、PB 切圆O 于A 和B ，

PO 交AB 于M ，过M 任作一弦CD ，求证：APC BPD ∠=∠．

【例34】 如图，AB 为⊙O 的直径，P 为⊙O 外一点，过P 引圆O 的两条切线，切点分别为C 、D ，AD

与BC 交于点E ，求证：EP AP ⊥．

O

?

A

B

D

C F P

O ?

D C

P

B

A

M P

B

C

A

初二数学联赛班八年级

作业

1.在锐角△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点H．求证：点H是△DEF的内心．

2.已知AB是圆的直径，AD为圆的切线，FB和DB是圆的割线，分别交圆于E、C，求证：

BE BF BC BD

?=?．

3.已知ABC

△中，AB AC

=，AD是高，P为AC上任一点，PC的中垂线RQ交AD于R，求证：RPB DAC

∠=∠．

?

F

E

C

D

B

R

D C

B

A

Q

P

初二数学联赛班 八年级

4. 如图，设四边形ABCD 的两组对边AB 、DC 及AD 、BC 的交点分别为E 、F ．若E ∠、F ∠的平

分线互相垂直，则A 、B 、C 、D 四点共圆．

5. 如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，过P 作割线交⊙O 于C 、D ，过B 作BE CD ∥，连结AE

交PD 于M ，求证：M 为DC 的中点．

6. 过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A B 、，所作割线交圆于C D 、两点，C 在P D

、之间．在弦上取一点Q ，使DAQ PBC ∠=∠．求证：DBQ PAC ∠=∠．

Q

P

D

C

B

A

O

?

A D

B

E

M C

P

A

F

E

D

C

B

M

初中数学竞赛教程

七年级 第一讲 有理数（一） 一、【能力训练点】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0)||(0) a a a a a ≥?=? -≤? ② 非负性 2 (||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 2.已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 22006 ()( )()x a b c d x a b c d -+++++-的值。 3.如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ） A.2a B.2a - C.0 D.2b 4.有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 5.设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0， b a ，b 的形式，求20062007a b +。

6.三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 7.若,,a b c 为整数，且2007 2007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 第二讲 有理数（二） 一、【能力训练点】： 1、绝对值的几何意义 ① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。② ||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离。 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。 二、【典型例题解析】： 1．若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++- 2．试化简|1||2|x x +-- 3.若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。 4.已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++-求()f x 的最小值。 5．若|1|a b ++与2 (1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。

初中数学竞赛——圆4.四点共圆

第1讲 四点共圆 典型例题 一. 基础练习 【例1】 如图，P 为ABC △内一点，D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上．已知P 、D 、C 、E 四 点共圆，P 、E 、A 、F 四点共圆，求证：B 、D 、P 、F 四点共圆． 【例2】 如图7-55，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，过B 、C 两点作一圆，AB 、CD 的延长线交该圆于点 E 、 F ．求证：A 、D 、E 、F 四点共圆． 【例3】 如图，⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点，P 是BA 延长线上一点，割线PCD 交⊙1O 于C 、D ， 割线PEF 交⊙2O 于E 、F ，求证：C 、D 、E 、F 四点共圆． P E C B A D F P F D C B A E

【例4】 如图7-56，在△ABC 中，AD =AE ，BE 与CD 交于点P ，DP =EP ，求证：B 、C 、E 、D 四点共 圆． 【例5】 如图，已知ABC △是⊙O 的内接三角形，⊙O 的直径BD 交AC 于E ，AF BD ⊥于F ，延长 AF 交BC 于G ，求证：2AB BG BC =?． 【例6】 如图7－63，在ABCD □的对角线上，任取一点P ，过点P 作AB 、CD 的公垂线EG ，又作AD 、 BC 的公垂线FM ．求证：EF //GM ． 【例7】 如图7-66，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，DE ⊥AC ，AF ⊥BD ，点E 、F 是垂足．求证： EF //BC ． O G F E C D B A

【例8】 如图7-60，已知△ABC ，AB 、AC 的垂直平分线交AC 、AB 的延长线于点F 、E ．求证：E 、F 、 C 、B 四点共圆． 【例9】 如图，已知：60ABD ACD ∠=∠=o ， 1 902 ADB BDC ∠=∠-∠o ．求证：ABC △是等腰三角形． 二. 综合提高 【例10】 如图7-61，在⊙O 中，AB ∥CD ，点P 是AB 的中点，CP 的延长线交⊙O 于点F ，又点E 为弧 BD 上任一点，连EF 交AB 于点G ．求证：P 、G 、E 、D 四点共圆． 【例11】 如图7-62，在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB =AC ，BM =MC ，过M 、C 任作一圆，与AC 交于 点E ，BE 与圆交于F 点，求证：AF ⊥BE ． C D B A

(完整版)初中数学圆--经典练习题(含答案)

圆的相关练习题 1、已知：弦AB 把圆周分成1：5的两部分，这弦AB 所对应的圆心角的度数为 。 2、如图：在⊙O 中，∠AOB 的度数为1200，则的长是圆周的 。 3、已知：⊙O 中的半径为4cm ，弦AB 所对的劣弧为圆的3 1，则弦AB 的长为 cm ，AB 的弦心距为 cm 。 4、如图，在⊙O 中，AB ∥CD ，的度数为450，则∠COD 的度数为 。 5、如图，在三角形ABC 中，∠A=700，⊙O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则 ∠BOC=（ ）。 A ．140° B ．135° C ．130° D ．125° （第2题图） （第4题图） （第5题图） 6、下列语句中，正确的有（ ） (1)相等的圆心角所对的弧相等； (2)平分弦的直径垂直于弦； (3)长度相等的两条弧是等弧； (4) 圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 7、已知：在直径是10的⊙O 中， 的度数是60°，求弦AB 的弦心距。 8、已知：如图，⊙O 中，AB 是直径，CO ⊥AB ，D 是CO 的中点，DE ∥AB ， 求证：

600 9. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？ 10. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （） （A ）ο15 （B ）ο30 （C ）ο45 （D ）ο60 2.（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用 现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1 寸，AB ＝10寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为 10厘米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ο 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ）

2018年黄冈市初中数学竞赛试题

2018年黄冈市初中数学竞赛试题 一、填空:(30分) 1.已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为负倒数，x 的绝对值等于3,则x 3-(1+m+n+ab)x 2+(m+n)x 2001+(-ab)2002的值等于________. 2.已知正数a 、b ，有下列命题： （1）若a=1,b=1,≤1;(2)若a=12,b=52,≤32;(3)若a=2,b=3,≤52 ;(4)若a=1,b=5,则- ≤3.根据以上几个命题所提供的信息,请猜想:若a=6,b=7,≤________. 3. 已知k=a b c a b c a b c c b a +--+-++==,2+9=6n,则关于自变量x 的一次函数y=kx+m+n 的图象一定经过第_______象限. 4.如图1,∠AOB=450,角内有一点P,PO=10,在角的两边上有两点Q 、R （均不同于点O ），则ΔPOR 的周长的最小值为__________. 5.某公司规定一个退休职工每年可获得一份退休金,金额与他的工 作年数的算术平方根成正比例.如果他工作a 年,他的退休金比原有 的多p 元;如果他工作b 年(b ≠a),他的退休金比原有的多q 元.那么他 每年的退休金是(以a 、b 、p 、q 表示)____________元. 6.已知在ΔABC 中,∠A 、∠B 是锐角，且sinA= 315 ,tanB=2,AB=29cm, 则ΔABC 的面积等于______cm 2. 二、解答题: 7.(10分)观察:1×2×3×4+1=52, 2×3×4×5+1=112, 3×4×5×6+1=192。 ┉┉┉ （1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明； （2）根据（1），计算2000×2001×2002×2003+1的结果（用一个最简式子表示）。 8.(10分)如图2,已知Rt ΔABC 中,∠C=900,沿过点B 的一条直线BE 折叠这个三角形,使点C 落在AB 边上的一点D.要使点D 恰为AB 的中点,问在图中还需添加什么条件?

初中数学竞赛：共圆点问题

初中数学竞赛：共圆点问题 同在一个圆上的许多点称为共圆点，或者说这些点共圆．证明这些点共圆常常利用以下一些方法思考： (1)要证明若干点共圆，先设法发现其中以某两点为端点的线段恰为一直径，然后证明其他点对这条线段的视角均为直角． (2)要证明四点共圆，可证明以这点为顶点的四边形的对角互补，或证某两点视另两点所连线段的视角相等． (3)如果两线段AB，CD相交于E点，且AE·EB=CE·ED，则A，B，C，D四点共圆． (4)若相交直线PA，PB上各有一点C，D，且PA·PC=PB·PD，则A，B，C，D四点共圆． (5)若四边形一个外角等于其内对角，则四边形的四顶点共圆． (6)要证明若干点共圆，先证其中四点共圆，然后再证其余点都在此圆上． 共圆点问题不但是几何中的重要问题，而且也是直线形和圆之间度量关系或位置关系相互转化的媒介． 例1 设⊙O1，⊙O2，⊙O3两两外切，Y是⊙O1，⊙O2的切点，R，S分别是⊙O1，⊙O2与⊙O3的切点，连心线O1O2交⊙O1于P，交⊙O2于Q．求证：P，Q，R，S四点共圆．分析如图3－54，连YR，则∠PRY=90°，所以∠PRS为钝角，设法证明∠Q与∠PRS互补，则P，R，S，Q共圆． 证连RY，PR，RS，SQ，并作切线RX，则在四边形PRSQ中， 所以 所以P，Q，R，S四点共圆．

例2 设△ADE内接于圆O，弦BC分别交AD，AE边于F，G， 分析欲证F，D，E，G四点共圆，由于已知条件中交弦较多，因此，用圆幂定理的逆定理，若能证出AF·AD=AG·AE成立，则F，D，E，G必共圆． 径，所以∠FDN=∠FMN=90°， 所以F，D，N，M四点共圆，所以 AD·AF=AN·AM． 同理，AG·AE=AN·AM，所以 AD·AF=AG·AE， 所以F，D，E，G四点共圆． 例3 在锐角△ABC中，BD，CE是它的两条高线，分别过B，C引直线DE的垂线，BF⊥DE于F，CG⊥DE于G，求证：EF=DG(图3－56)． 分析由已知，四边形BCGF为直角梯形，FG为一腰，要证EF=DG，易想，若OH为梯形中位线，则OH⊥FG于H，如果证得EH=HD，则FE=DG便是显然的了． 证过BC中点O，作OH⊥DE于H．因为BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，所以

2000年弘晟杯上海初中数学竞赛试题1

2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 ................................................................... 1 2002年全国初中数学竞赛上海市预赛试题....................................................................... 4 2002年(宇振杯)上海市初中数学竞赛 ................................................................................ 8 2003年（宇振杯）上海市初中数学竞赛试题 .................................................................. 11 2004年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试题 ...................................................................... 13 2004年上海市南汇区初中数学选拔赛试题 (16) 2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题 一、填空题(每小题7分，共70分．) 1．如图，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ．若BE ＝5，EF ＝2，则FG 的长是 ． 2．有四个底面都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ，已知A 、B 的底面 边长均为3，C 、D 的底面边长均为a ，A 、C 的高均为3，B 、D 的高均为a ，在只知道a ≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和 3，若n 的十进位制表示为99……9(20个9)，则n 3 的十进位制表示中含有数码9的个数是 ． 4．在△ ABC 中，若AB ＝5，BC ＝6，CA ＝7，H 为垂心，则AH 的长为 ． 5．若直角三角形两直角边上中线的长度之比为m ，则m 的取值范围是 ． 6．若关于x 的方程|1-x|＝mx 有解，则实数阴的取值范围是 7．从1 000到9 999中，四个数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个． 8.方程 4 3 xy 1-y 1x 12=+的整数解(x ，y)＝ 9.如图，正△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且AN ＝BM ，BN 与CM 相交于点O ．若S △ABC ＝7，S △OBC =2则 BA BM = 10.设x 、y 都是正整数，且使100x 116-x ++＝y 。则y 的最大值 为 二、(16分)求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和．

新知杯历年上海市初中数学竞赛试卷及答案试题全与答案分开

2013上海市初中数学竞赛(新知杯) 1.已知7 21 ,721-=+= b a ，则.________33=-+-b b a a 2.已知43214321//////,//////m m m m l l l l ，._______,20,100===EFGH ILKJ ABCD S S S 则 3.已知F E AC AB A 、，,8,690==?=∠在AB 上且3,2==BF AE 过点E 作AC 的平行线交BC 于D ，FD 的延长线交AC 的延长线于G ，则.__________=GF 4.已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321x f a a a a a 为二次三项式；当1a x =或者 5432a a a a x +++=时，5)(=x f ， 当21a a x +=时，,)(p x f =当543a a a x ++=时，q x f =)(，则.________=-q p 5.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，则这个三位数为 ___________. 6.已知关于x 的一元二次方程0)2)(1(2=++++m m ax x 对于任意的实数a 都有实数根，则m 的取值范围是_________________. 7.已知四边形ABCD 的面积为2013，E 为AD 上一点，CDE ABE BCE ???,,的重心分别为321,,G G G ，那么321G G G ?的面积为________________. 8.直角三角形斜边AB 上的高3=CD ，延长DC 到P 使得2=CP ，过B 作AP BF ⊥交CD 于E ，交AP 于F ，则._________=DE 二、解答题（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分） 9.已知?=∠90BAC ，四边形ADEF 是正方形且边长为1，求CA BC AB 111++的最大值.

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最新整理初三数学教案数学竞赛平面几何讲座：四点 共圆问题 第四讲四点共圆问题 “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路. 1“四点共圆”作为证题目的 例1．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆. 分析：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM. 欲证M，N，P，Q四点共圆，须证 MK KN＝PK KQ， 即证(MC′-KC′)(MC′+KC′) ＝(PB′-KB′) (PB′+KB′) 或MC′2-KC′2=PB′2-KB′2.① 不难证明AP=AM，从而有 AB′2+PB′2=AC′2+MC′2. 故MC′2-PB′2=AB′2-AC′2 =(AK2-KB′2)-(AK2-KC′2) =KC′2-KB′2.② 由②即得①，命题得证. 例2．A、B、C三点共线，O点在直线外，

O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC， △OCA的外心.求证：O，O1，O2， O3四点共圆. 分析：作出图中各辅助线.易证O1O2垂直平分OB，O1O3垂直平分OA.观察△OBC及其外接圆，立得∠OO2O1=∠OO2B=∠OCB.观察△OCA及其外接圆，立得∠OO3O1=∠OO3A=∠OCA. 由∠OO2O1=∠OO3O1O，O1，O2，O3共圆. 利用对角互补，也可证明O，O1，O2，O3四点共圆，请同学自证. 2以“四点共圆”作为解题手段 这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等 例3．在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K，M分别在AD，BC上，∠DAM＝∠CBK. 求证：∠DMA＝∠CKB. 分析：易知A，B，M，K四点共圆.连接KM， 有∠DAB＝∠CMK.∵∠DAB+∠ADC ＝180°， ∴∠CMK+∠KDC＝180°. 故C，D，K，M四点共圆∠CMD＝∠DKC. 但已证∠AMB＝∠BKA， ∴∠DMA＝∠CKB. (2)证线垂直 例4．⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，

初中数学圆 经典练习题(含答案)

圆的相关练习题（含答案） 1、已知：弦AB 把圆周分成1：5的两部分，这弦AB 所对应的圆心角的度数为 。 2、如图：在⊙O 中，∠AOB 的度数为1200，则 的长是圆周的 。 3、已知：⊙O 中的半径为4cm ，弦AB 所对的劣弧为圆的3 1，则弦AB 的长为 cm ， AB 的弦心距为 cm 。 4、如图，在⊙O 中，AB ∥CD ， 的度数为450，则∠COD 的度数为 。 5、如图，在三角形ABC 中，∠A=700，⊙O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则 ∠BOC=（ ）。 A ．140° B ．135° C ．130° D ．125° （第2题图） （第4题图） （第5题图） 6、下列语句中，正确的有（ ） (1)相等的圆心角所对的弧相等； (2)平分弦的直径垂直于弦； (3)长度相等的两条弧是等弧； (4) 圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 7、已知：在直径是10的⊙O 中， 的度数是60°，求弦AB 的弦心距。 8、已知：如图，⊙O 中，AB 是直径，CO ⊥AB ，D 是CO 的中点，DE ∥AB ， 求证：

600 9. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？ 10. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。 11. 如图所示，AB 是圆O 的直径，以OA 为直径的圆C 与圆O 的弦AD 相交于点E 。你认为图中有哪些相等的线段？为什么？ 答案：1.60度 2. 3 2 3. 1 3 4 4.90度 5.D 6.A 7.2.5 8.提示：连接OE ，求出角COE 的度数为60度即可 9.略 10.100毫米 11.AC=OC ， OA=OB ， AE=ED B

高二数学讲义四点共圆

高二数学竞赛班二试平面几何讲义 第五讲 四点共圆（一） 班级 姓名 一、知识要点： 1. 判定“四点共圆”的方法: （1)若对角互补，则四点共圆； （2）若线段同一侧的两点对线段的张角相等，则四点共圆； （3）圆的割线定理成立，则四点共圆； （4）圆的相交弦定理成立，则四点共圆； 2. “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路. 二、例题精析： 例1. 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK. 求证：∠DMA ＝∠CKB. （第二届袓冲之杯初中竞赛） A B C D K M ··

例2.给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q 四点共圆. (第19届美国数学奥林匹克) 例3．A、B、C三点共线，O点在直线外，O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC， △OCA的外心.求证：O，O1，O2， O3四点共圆. (第27届莫斯科数学奥林匹克) A B C K M N P Q B′ C′ A B C O O O O 1 2 3 ？ ？

三、精选习题： 1．⊙O1交⊙O2于A，B两点，射线O1A交⊙O2于C点，射线O2A 交⊙O1于D点.求证：点A是△BCD的内心. 2．△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.

初三数学圆经典例题

一．圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2： 确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3： 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图： 考点4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。 考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，

则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d ＞r ；②点在圆上?d=r ；③点在圆? d ＜r ； 【典型例题】 例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。 例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。 例3 ⊙O 平面一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。 例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？ 例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ， 求CD 的长． 例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数． A B D C O · E

浙江省义乌市初中数学竞赛试题(含答案)

2006年义乌市初中数学竞赛试题 班级_________姓名_________成绩_________ 一、选择题（6×6=36分） 1.已知0221≠+=+b a b a ，则b a 的值为（ ） （A ）-1 （B ）1 （C ）2 （D ）不能确定 2.已知1 22432+--=--+x B x A x x x ，其中A ，B 为常数，则4A-B 的值为（ ） （A ）7 （B ）9 （C ）13 （D ）5 3.在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为2002°，则这个多边形的边数为（ ） （A ）12 （B ）12或13 （C ）14 （D ）14或15 4.已知一次函数k kx y -= ，若y 随x 的减小而减小，则该函数的图象经过（ ） （A ）第一、二、三象限 （B ）第一、二、四象限 （C ） 第一、三、四象限 （D ）第二、三、四象限 5. 5.如图，D 是△ABC 的边AB 上的点，F 为△ABC 外的点。连DF 交AC 于E 点，连FC 。现有三个断言： （1）DE=FE ；（2）AE=CE ；（3）FC ∥AB. 以其中的两个断言为条件，其余一个断言为 结论，如此可作出三个命题，这些命题中正确命 题的个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 6.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，D 是AC 中点，BE ⊥BD 交CA 的延长线于E ，下列结论 中正确的是（ ） （A ）△BED ∽△BCA （B ）△BEA ∽△BCD （C ）△ABE ∽△BCE （D ）△BEC ∽△DBC 二、填空题（5×8=40分） 7.设-1≤x ≤2，则 22 12++--x x x 的最大值与最小值之差为 . 8.若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角 对. 9.方程210 712122=+++-+x x x x 的解为 .

中考复习：四点共圆问题

第四讲 四点共圆问题 “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路. 1 “四点共圆”作为证题目的 例1．给出锐角△ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高CC ′及其延长线交于M ， N .以AC 为直径的圆与AC 边的高BB ′及其延长线将于P ，Q .求证：M ，N ，P ，Q 四点共圆. 分析：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM . 欲证M ，N ，P ，Q 四点共圆，须证 MK ·KN ＝PK ·KQ ， 即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) ＝(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′) 或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2 . ① 不难证明 AP =AM ，从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2 =(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2) =KC ′2-KB ′2. ② 由②即得①，命题得证. 例2．A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外， O 1，O 2，O 3分别为△OAB ，△OBC ， △OCA 的外心.求证：O ，O 1，O 2， O 3四点共圆. 分析：作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分OA .观察△OBC 及其外接圆，立得∠OO 2O 1=2 1∠OO 2B =∠OCB .观察△OCA 及其外接圆，立得∠OO 3O 1=2 1∠OO 3A =∠OCA . 由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1?O ，O 1，O 2，O 3共圆. 利用对角互补，也可证明O ，O 1，O 2，O 3四点共圆，请同学自证. 2 以“四点共圆”作为解题手段 这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等 例3．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK . 求证：∠DMA ＝∠CKB . 分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆.连接KM ， 有∠DAB ＝∠CMK .∵∠DAB +∠ADC ＝180°， ∴∠CMK +∠KDC ＝180°. 故C ，D ，K ，M 四点共圆?∠CMD ＝∠DKC . A B C K M N P Q B ′C ′A B C O O O O 123？？A B C D K M ··

初中数学圆形经典习题

第二十四章圆经典训练题 24．1 圆 一、选择题． 1．如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，?错误的是（ ）． A ．CE=DE B ． BC BD = C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD C (1) (2) (3) 2．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 3．如图3，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，?则下列结论中不正确的是（ ） A ．A B ⊥CD B ．∠AOB=4∠ACD C ． A D BD = D ．PO=PD 二、填空题 1．如图4，AB 为⊙O 直径，E 是 BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____． B A 2．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；?最长弦长为_______． 3．如图5，OE 、OF 分别为⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距，如果OE=OF ，那么_______________（只需写一个正确的结论） 三、综合提高题 1．如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．

24.1 圆(第2课时) 一、选择题． 1．如果两个圆心角相等，那么（ ） A ．这两个圆心角所对的弦相等; B ．这两个圆心角所对的弧相等 C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D ．以上说法都不对 2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 关系是（ ） A ． A B =2 CD B ． AB > CD C ． AB <2 CD D ．不能确定 3．如图5，⊙O 中，如果 AB =2 AC ，那么（ ） ． A ．AB=AC B ．AB=AC C ．AB<2AC D ．AB>2AC A B A 二、填空题 1．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的__________________． 2．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的__________________． 3．如图6，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________． 三、解答题 1．如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N ?在⊙O 上． （1）求证： AM = BN ；（2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则 AM MN NB ==成立吗？ B A

四点共圆问题-(数学竞赛)

P 四点共圆问题 四点共圆是平面几何证题中一个十分有利的工具，四点共圆这类问题一般有以下两种形式： （1） 证明某四点共圆或者以四点共圆为基础证明若干点共圆； （2） 通过某四点共圆得到一些重要结论，进而解决问题 下面给出与四点共圆有关的一些基本知识 （1） 若干个点与某定点的距离相等，则这些点在一个圆上； （2） 在若干个点中有两点，其他点对这两点所成线段的视角均为直角，则这些点共圆； （3） 若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角，则这四点共圆； （4） 若点C 、D 在线段AB 的同侧，且ACB ADB ∠=∠，则A B C D 、、、四点共圆； （5） 若线段AB CD 、交于E 点，且AE EB CE ED =g g ，则A B C D 、、、四点共圆； （6） 若相交线段PA PB 、上各有一点C D 、，且PA PC PB PD =g g ，则A B C D 、、、四点共圆。 四点共圆问题不但是平面几何中的重要问题，而且是直线形和圆之间度量关系或者位置关系相互转化的媒介。 例1、已知PQRS 是圆内接四边形，0 90PSR ∠=，过点Q 作PR PS 、的垂线，垂足分别为点H K 、求证：HK 平分QS 例2、给定锐角ABC V ，以AB 为直径的圆与边AB 上的高线' CC 及其延长线交于点M N 、，以AC 为直径的圆与AC 上的高线' BB 及其延长线交于点P Q 、。证明：M P N Q 、、、四点共圆。 例3、在等腰ABC V 中，P 为底边BC 上任意一点，过点P 做两腰的平行线分别与AB AC 、交于点 Q R 、，又点'P 是点P 关于直线QR 的对称点。求证：点'P 在ABC V 分析：

2007 年新知杯上海市初中数学竞赛

2007 年“新知杯”上海市初中数学竞赛 一、填空题（第1～5小题，每题8分，第6～10小题，每题10分，共90分） 1. 已知?1<2x ?1<1，则12 x 的取值范围为 . 2. 在面积为1 的△ABC 中，P 为边BC 的中点，点Q 在边AC 上，且AQ=2QC 。连接AP 、BQ 交于点R ，则△ABR 的面积是 . 3. 在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边顺次为a 、b 、c 。若关于x 的方程 c(x 2 +1)-22bx-a(x 2-1) = 0的两根平方和为10，则a b 的值为 . 4. 数x 1 ，x 2 ，…， x 100 满足如下条件：对于k = 1，2，…，100，x k 比其余99个数的和小k 。则x 25的值为 . 5. 已知实数a 、b 、c ，且b ≠ 0。若实数x 1 ，x 2， y 1 ，y 2满足x 12+ax 22=b ，x 2y 1-x 1y 2=a ， x 1y 1+ax 2y 2=c ，则y 12+ay 22的值为 . 6.如图，设P 是凸四边形ABCD 内一点，过P 分别作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H.已知AH=3，HD=4，DG=1，GC=5，CF=6，FB=4，且BE-AE=1。则四边形ABCD 的周长为 . 第6题图 第7题图 7. 如图，△ABC 的面积为1，点D 、G 、E 和F 分别在边AB 、AC 、BC 上，BD ＜DA ，DG ∥BC ， DE ∥AC ，GF ∥AB.则梯形DEFG 面积的最大可能值为 . 8. 不超过1000 的正整数x ，使得x 和x+1 两者的数字和都是奇数。则满足条件的正整数x 有 个. 9. 已知k 为不超过50 的正整数，使得对任意正整数n ，2×36n+k×23n+1-1 都能被7 整除。则这样的正整数k 有 个.

天津市初中数学竞赛赛试题

2013天津市初中数学竞赛赛试题 所属班级 姓名 一、选择题（每小题7分，满分35分）： 1、设实数,,a b c 满足2346c b a a +=-+，244c b a a -=-+，则,,a b c 的大小关系是 （ ）. A 、a b c <≤ B 、b a c <≤ C 、b c a <≤ D 、c a b <≤ 2、设O 为锐角⊿ABC 的外心，连结AO 、BO 、CO ，并分别延长，交对边于点D 、E 、F ，若 ⊿ABC 的外接圆半径为6， 111 AD BE CF ++ 的值是（ ）. A 、1 B 、12 C 、13 D 、16 3、已知20122011a x =+，20122012b x =+，20122013c x =+，那么222a b c ab bc ca ++---的值为（ ）. A 、3 B 、2 C 、1 D 、0 4、如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线PA 是一次函数y x n =+的图像，与x 轴、y 轴分别交于点A 、Q. 直线PB 是一次函数2y x m =-+的图像，与x 轴交于点B.若AB=2，四边形OBPQ 的面 积等于56 ，则 m n m n +-的值为（ ）. A 、1 B 、 2 C 、 3 D 、 4 5、已知10个彼此不相等的正整数1210,,,a a a 满足条件215a a a =+，326a a a =+，437a a a =+，658a a a =+，769a a a =+，9810a a a =+，则4a 的最小值是（ ）. A 、19 B 、20 C 、21 D 、22 二、填空题（每小题7分，满分35分）： 6、若11111101112 19 a = ++++，则a 的整数部分为 . 7、若关于x 的不等式()250a b x a b -+->的解集为10 7 x < ，则关于x 的不等式ax b >的解集为 .

试题：2000年上海市初中数学竞赛试题(含答案解析)

2000年上海市初中数学竞赛试卷 一、填空题（每小题7分，共70分） 1、如图，已知平行四边形ABCD 中，过点B 的直线与AC 相交于点E 、与AD 相较于点F 、与CD 的延长线相交于点G ，若BE=5，EF=2，则FG= 2.．有四个底部都是正方形的长方体容器A 、B 、C 、D ，已知A 、B 的底面边长均为3， C 、 D 的底面边长均为a ，A 、C 的高均为3，B 、D 的高均为a ，在只知道a ≠3，且不考虑容器壁厚度的条件下，可判定 、 两容器的容积之和大于另外两个容器的容积之和． 3 若n 的十进制表示为99…9（共20位9），则n 3的十进制表示中含有 个数码9。 4 在△ABC 中，若AB=5，BC=6，CA=7，H 为垂心，则AH= 5 若直角三角形两直角边上中线长度之比为m ，则m 的取值范围是 6、若关于的方程|1-x|=mx 有解，则实数m 的取值范围 7 从1000到9999中，四位数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有 个． 8、方程211134 x y xy ++=的整数解（x ，y ）= 9、如图，在正△ABC 中，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且AN=BM ，BN 与CM 相交于点O ，若△ABC 的面积为7，△OBC 的面积为2，则BM BA =

=，则y的最大值为 10、设x、y y 二、简答题（共3小题，共50分，11题16分，12题16分，13题18分） 11 求所有满足下列条件的四位数：能被111整除，且除得的商等于该四位数的各位数之和。 12 （1）在4×4的方格纸中，把部分小方格涂成红色，然后划去2行和2列，若无论怎么划，都至少有一个红色的小方格没有被划去，则至少要涂多少个小方格？证明你的结论．（2）如果把上题中的“4×4的方格纸”改成“n×n的方格纸（n≥5）”，其他条件不变，那么，至少要涂多少个小方格？证明你的结论． 13 如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，A V与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值。

奥数-2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答

A F P E C B 2009年新知杯上海市初中数学竞赛参考解答 一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10小题每题10分，共90分） 1、对于任意实数a,b ，定义,a ?b=a (a +b ) +b, 已知a ?2.5=28.5，则实数a 的值是 。 【答案】4，132 - 2、在三角形ABC 中，2 2 b 1,,2a AB BC a CA =-==，其中a,b 是大于1的整数，则b-a= 。 【答案】0 3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。 【答案】50,94 4、已知关于x 的方程4 3 2 2(3)(2)20x x k x k x k ++++++=有实根，并且所有实根的乘积为?2，则所有实根的平方和为 。 【答案】5 5、如图，直角三角形ABC 中, AC=1，BC =2，P 为斜边AB 上一动点。PE ⊥BC ，PF ⊥CA ，则线段EF 长的最小值为 。 【答案】 25 5 6、设a ，b 是方程26810x x ++=的两个根，c ，d 是方程28610 x x -+=的两个根，则(a+ c )( b + c )( a ? d )( b ? d )的值 。 【答案】2772 7、在平面直角坐标系中有两点P (-1,1) , Q (2,2)，函数y =kx ?1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q ），则实数k 的取值范围是 。 【答案】 13 32 k << 8、方程xyz =2009的所有整数解有 组。 【答案】72 9、如图，四边形ABCD 中AB =BC =CD ，∠ABC =78°，∠BCD =162°。设AD ,BC 延长线交于E ，则∠AEB = 。 【答案】21°

初中数学最短路径问题典型题型及解题技巧

初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧 最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。考的较多的还是“饮马问题”。 知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。 一、两点在一条直线异侧 例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB 最小。 解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.） 二、两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线 “街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是 所求的点． 三、一点在两相交直线内部 例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.

解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，A ″；连接A ′，A ″，分别交OM ，ON 于点B 、点C ，则点B 、点C 即为所求 分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小 例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何 处 才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与 河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M, 则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 BN ∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE 中，∵AC+CE ＞AE, ∴AC+CE+MN ＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。 例：如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉 作 物，?要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，?可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。 · · C D A B E a A· B M N E