高等代数习题及答案(1)

高等代数试卷

一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）

1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ）

2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ）

3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ）

4、(){

}321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若{}n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且∑==n

i i i x 1αβ，那么

∑==

n

i i

x

1

2

β。 （ ）

二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写

在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）

1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ①()()()

()()()n

n n x g x f x g x f ,,=；

②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=?=； ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=；

④若()()()()()()()()1,1,=-+?=x g x f x g x f x g x f 。

2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ）

①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0=D ，则D 中必有一行全是零； ④若0=D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ）

①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；

③A 中可能存在不为零的1+r 阶子式； ④A 中肯定有不为零的r 阶子式。 4、设()n x x x f ,,,21 为n 元实二次型，则()n x x x f ,,,21 负定的充要条件为（ ） ①负惯性指数=f 的秩； ②正惯性指数=0； ③符号差=n -； ④f 的秩=n 。 5、设{}m ααα,,,21 是线性空间V 的一个向量组，它是线性无关的充要条件为（ ）

①任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有∑=≠m

i i i k 10α；

②任一组数m k k k ,,,21 ，有∑==m

i i i k 1

0α；

③当021====m k k k 时，有∑==m

i i i k 1

0α；

④任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有∑==m

i i i k 1

0α。

6、若21,W W 都是n 维线性空间V 的子空间，那么（ ）

①维()1W +维()21W W =维()2W +维()21W W +； ②维()21W W +=维()1W +维()2W ； ③维()1W +维()21W W +=维()2W +维()21W W ； ④维()1W -维()21W W =维()21W W +-维()2W 。

7、设σ是n 维线性空间V 的线性变换，那么下列错误的说法是（ ） ①σ是单射?σ的亏=0； ②σ是满射?σ的秩=n ； ③σ是可逆的?核()σ={}0； ④σ是双射?σ是单位变换。 8、同一个线性变换在不同基下的矩阵是（ ）

①合同的； ②相似的； ③相等的； ④正交的。 9、设V 是n 维欧氏空间 ，那么V 中的元素具有如下性质（ ） ①若()()γβγαβα=?=,,； ②若βαβα=?=； ③若()11,=?=ααα； ④若()βα,>βα=?0。 10、欧氏空间3R 中的标准正交基是（ ）

①()0,1,0;21,0,21;21,0,2

1??? ??-??? ??； ②()1,0,0;21,21;0,21,21???

??-??? ??；

③()0,0,0;31,31,3

1;31,31,31???? ??-???? ??； ④()()()1,1,1;1,1,1;1,1,1---

三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空

无分。每空2分，共20分）

1、多项式2)(24-+=x x x f 在实数域R 上的标准分解为 。

2、利用行列式的性质可知四阶行列式

g

f e d

c

b a 000000000的值为 。 3、若一个非齐次线性方程组无解且它的系数矩阵的秩为3，那么该方程组的增广矩阵的秩等于 。

4、在线性空间V 中，定义()0αασ=（其中0α是V 中一个固定向量）， 那么当=0α 时，σ是V 的一个线性变换。

5、实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 的。。

6、n 阶实对称矩阵的集合按合同分类，可分为 类。

7、若基Ⅰ到Ⅱ的过渡矩阵为P ，而向量α关于基Ⅰ和Ⅱ的坐标分别为X 和Y ，那么着两个坐标的关系是 。 8、设W 是线性空间V 的非空子集，若W 对V 的加法和数乘 ，则称W 为V 的子空间。

9、若线性变换σ关于基{}21,αα的矩阵为???

???d c b a ，那么σ关于基{}12,3αα的矩阵为 。

10、两个欧氏空间同构的充要条件是它们有 。

四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分）

1、如果)(x p 是)(x f 的导数)('x f 的1-k 重因式，那么)(x p 就是)(x f 的k 重因式。

2、若线性方程组B AX =相应的齐次线性方程组0=AX 有无穷多解，那么B AX =也有无穷多解。

3、设A 是一个n m ?矩阵，若用m 阶初等矩阵()()4,53E 右乘A ，则相当对A 施行了一次“A 的第三列乘5加到第四列”的初等变换。

4、若21,αα都是数域F 上的方阵A 的属于特征根0λ的特征向量，那么任取

221121,,ααk k F k k +∈也是A 的属于0λ的特征向量。

5、设σ是欧氏空间V 的线性变换，那么σ是正交变换的充分必要条件是σ能保持任二个非零向量的夹角。

五、计算题（每小题10分，共40分） 1、计算n 阶行列式

0,11

1

1

1

11111

1

11111111121321≠++++=n n

n a a a a a a a D

2、用相应的齐次线性方程组的基础解系表示下列线性方程组的全部解

??????

?-=-+++-=+----=--++--=-+-+21

93164432145234

2354321543215

432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3、解矩阵方程 ???

?

?

??-=????? ??--87107210031012423321X

4、设???? ??=???? ??=???? ??=???? ??=1000,0100,0010,00014321αααα是()F M 2的一个基，而????

??--=???? ??--=???? ??--=???? ??=2231,2121,1121,25324321ββββ是另一组基，求由

{}4321,,,αααα到{}4321,,,ββββ的过渡矩阵，并求向量?

??

?

??--=2945ξ在{}4321,,,ββββ下的坐标。

六、证明题

设321,,ααα是三维欧氏空间V 的一个标准正交基，试证：

()()()

321332123211223

1

2231

2231

αααβαααβαααβ--=+-=-+=

也是V 的一个标准正交基。

高等代数试卷参考解答

一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

× × √ √ × √ √ × √ √

二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ② ① ④ ③ ① ④ ④ ② ③ ① 三、填空题

1、()()()

2112++-x x x ； 2、acef ； 3、4； 4、0； 5、正交； 6、

()()2

21++n n ； 7、X P Y 1-=； 8、封闭；

9、???

?

???

?b a d c 33

； 10、相同的维数。 四、改错题

1、如果)(x p 是)(x f 的导数)('x f 的1-k 重因式，那么)(x p 就是)(x f 的k 重因式。

)(x p 是)(x f 的因式且是)('x f 的1-k 重因式

2、若线性方程组B AX =相应的齐次线性方程组0=AX 有无穷多解，那么

B AX =也有无穷多解。

当AX=B 有解时，AX=B 也有无穷多解

3、设A 是一个n m ?矩阵，若用m 阶初等矩阵()()4,53E 右乘A ，则相当对A 施行了一次“A 的第三列乘5加到第四列”的初等变换。

A 的第4列乘5加到第3列

4、若21,αα都是数域F 上的方阵A 的属于特征根0λ

的特征向量，那么任取

,,21F k k ∈

5、设σ是欧氏空间V 的线性变换，那么σ是正交变换的充分必要条件是σ能保持任二个非零向量的夹角。

必要条件

高等代数试题及答案

中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷 a ?? 的子空间.

授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共2 页第2 页

,,是的值域与核都是a b b a a ? ????? ,a b ≠上线性空间V 上的线性变换,多项式

中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'6662α--＝(-. 所以正交阵1 2612 10210 2 2T ?-????? ?=??????????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 01 0011 0n E D E -?? ?? ? ??? ? ?== ????? ?????? ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1,, ,,n n D D D D E -=在P 上线性无关.

且21121n n n n A a E a D a D a D ---=++++，令112(),n n f x a a x a x -=++有 ()A f D =. B M ?∈，必P ?上1n -次多项式()g x ，使()B g D =，反之亦真. ()()()()AB f D g D g D f D BA ∴=== (3)由上可知：2 1,,, ,n E D D D -是M 的一组基，且dim M n =. 四.解：A 的行列式因子为3 3()(2)D λλ=+, 21()()1D D λλ==. 所以，不变因子为3 3()(2)d λλ=+, 21()()1d d λλ==，初等因子为3 (2)λ+， 因而A 的Jordan 标准形为21212J -?? ??=-?? ??-?? 五．证："":()()() ()()()0f x g x q x f A g A q A ?=∴== ""?：()0,()0f A g A == 设()()()()f x g x q x r x =+, ()0r x =或(())(())r x g x ?

部编版三年级语文上册《带刺的朋友》同步练习附答案 (2)

部编版三年级语文上册第七单元 《带刺的朋友》同步练习 一、轻松找朋友。 huǎn chán zǎo huǎng 恍馋枣缓 二、仿写词语。 黑洞洞： 斑斑驳驳： 噼里啪啦： 蹑手蹑脚： 三、重点段落品析。 很快，它又慢慢地活动起来了，看样子，劲头比上树的时候足多了。它 cōnɡ cōnɡ( )地爬来爬去，把散落的红枣逐个归拢到一起，然后就地打了一个滚儿。你猜怎么着，归拢的nà duī( )红枣，全都扎在它的背上了。立刻，它的身子“长”大了一圈。也许是怕被人发现吧，它驮着满背的红枣，向着墙角的水沟眼儿，急火火地跑去了…… 我暗暗钦佩：cōnɡ mínɡ（）的小东西，tōu zǎo（）的本事可真高明啊！ 1.看拼音，把文中的词语补充完整。

2.请用文中的句子概括上文的主要内容。 3.正确朗读。 “聪明的小东西，偷枣的本事可真高明啊！”要读出的语气。 参考答案： 一、zǎo chán huǎn huǎng 枣馋缓恍 二、绿油油白茫茫黑乎乎明明白白高高兴兴大大方方叮叮 咚咚叮叮当当滴滴答答碍手碍脚毕恭毕敬独来独往 三、1.聪明的小东西 2.偷枣的本事可真高明啊！ 3.钦佩

部编版三年级语文上册第七单元复习卡 一、听两遍朗读录音，完成下列练习。 1.我发明的未来的衣服，不仅颜色（），而且（）也不少。 2.无论多么寒冷，多么火热，都能保持温度（）。 3.冬天按（）按钮，就会给你穿上（）服。 4.去郊外玩耍，就按（）按钮，它将自动播放出（好听的音乐）。 二、下列加点字的读音完全正确的一项是（） A.汇．聚（hùn）弹琴．（qín）姿．态（zī） B.舒畅．（chànɡ）露．珠（lòu）凉爽．（shuǎnɡ） C.盘旋．（xuán）佩．服（pèi）呢．喃（lí） D.黎．明（lí）瞬．间（shùn）竹笋．（sǔn） 三、下列四组词语中，书写完全正确的一组是（） A.温柔感受打猎读书 B.麻雀翅榜鼻子梨子 C.手册斗动告诉乐器 D.级取蚂蚁沉重尺寸

高等代数第6章习题参考答案

第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==I U 。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M I ∈α即证M N M ∈I 。又因 ,M N M ?I 故M N M =I 。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N Y ?所以M N N =U 。 2.证明)()()(L M N M L N M I Y I Y I =，)()()(L M N M L N M Y I Y I Y =。 证 ),(L N M x Y I ∈?则.L N x M x Y ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x I I ∈∈或所以)()(L M N M x I Y I ∈，由此得)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。反之，若 )()(L M N M x I Y I ∈，则.L M x N M x I I ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x Y ∈故得),(L N M x Y I ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈U ，得 ),(L N M x Y I ∈故),()()(L N M L M N M Y I I Y I ? 于是)()()(L M N M L N M I Y I Y I =。 若x M N L M N L ∈∈∈U I I （），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈U ， X M L ∈U 且，x M N ∈U 因而（）I U （M L ） 。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?U U U I U U I U U U U I U I U 在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量 乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 2121211211 12 b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb +

高等代数多项式习题解答

第一章 多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r . 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9731929269 791437134373 132131232223232 ----+----+----+-x x x x x x x x x x x x x x 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 1 752 5 422225200222223232 342342-++--+-+--+---+-+-+++-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1 m x m q x p m m x m x m q x p mx x mx x q px x x mx x --++++--+++--++++-+) ()1()1(01 222223232 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1.

本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2）q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得 )1()2()1)(1(2222224m p q x m p m m p mx x mx x q px x --++--++-+-++=++ 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--0 10)2(22m p q m p m ，即???=+=,1,0p q m 或???==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有 )1)((2224++++=++mx x q ax x q px x .)()1()(234q x mq a x q ma x a m x ++++++++= 比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p 3.求)(x g 除)(x f 的商)(x q 与余式)(x r . 1）;3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f 解：运用综合除法可得 327 1093913623271170 83918605023--------- 商为109391362)(234+-+-=x x x x x q ，余式为.327)(-=x r

高等代数习题

高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、(){ }321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若{}n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且∑==n i i i x 1αβ，那么 ∑== n i i x 1 2 β。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ①()()() ()()()n n n x g x f x g x f ,,=； ②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=?=； ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=； ④若()()()()()()()()1,1,=-+?=x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0=D ，则D 中必有一行全是零； ④若0=D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；

2019年秋部编版(统编版)小学三年级语文上册23带刺的朋友 教学设计(含课堂作业及答案)

23 带刺的朋友 【教学目标】 1.认识本课“枣、馋”等11个生字，会写“刺、枣”等13个生字，认识多音字“扎”，借助近义词理解词语的意思。 2.正确、流利地朗读课文，在学习刺猬偷枣过程的基础上，用简洁的语言归纳课文中记叙的刺猬偷枣的事。尝试有条理地复述刺猬偷枣的过程。 3.指导学生有感情地朗读课文，体会作者对刺猬的喜爱之情，感受人与动物之间的美好情感。培养学生对于小动物的关注与喜爱。 【教学重点】 1.通过语言的感悟和训练，真切地感受刺猬偷枣的本领大，体会作者的喜爱之情。 2.朗读课文，用简洁的语言归纳课文中记叙的刺猬偷枣的事。尝试有条理地复述刺猬偷枣的过程。 【教学难点】 体会句子不同的表达方式，懂得使用比喻句，发挥想象，使句子更生动形象。 【教学课时】2课时 第一课时 【课时目标】 1.认识本课“枣、馋”等11个生字，会写“刺、枣”等13个生字，认识多音字“扎”，借助近义词理解词语的意思。 2.初读课文，理清文章的层次。 【教具准备】 多媒体课件。

【课堂作业新设计】 一、给加点字选择正确的读音。 眼馋．（chán cán）缓．慢（hǎn huǎn）刺．猬（cìchì） 恍．然（huǎng guāng）聪．明（cōng chōng）偷．枣（tōu toū） 二、比一比，组词语。 枣（）棵（）匆（）缓（） 束（）颗（）沟（）暖（） 三、照样子写词语。 1.晃来晃去： 2.一举一动： 3.一颗颗： 参考答案： 一、chán√huǎn√cì√huǎng√cōng√tōu√ 二、甜枣一棵匆忙缓慢 结束颗粒山沟暖和 三、1.爬来爬去想来想去走来走去 2.一言一行一心一意一草一木 3. 一个个一片片一只只 第二课时 【课时目标】 1.正确、流利地朗读课文，在学习刺猬偷枣过程的基础上，用简洁的语言归纳课文中记叙的刺猬偷枣的事。尝试有条理地复述刺猬偷枣的过程。

高等代数第6章习题解

第六章习题解答 习题6.1 1、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？ （1）,()x x y V f y y αα+????=∈= ? ?????；（2）,()x x y V f y y αα-????=∈= ? ????? ； （3）2,()x y V f y x y αα+????=∈= ? ?+???? ； （4）0,()x V f y αααα??=∈=+ ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 （5）0,()x V f y ααα??=∈= ???，0V α∈是一个固定的非零向量。 解：（1）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （2）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''?==?∈，有 （3）不是。因为 而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++??????+=+= ? ? ?+++++?????? 所以()()()f f f αβαβ+≠+ （4）不是。因为0()f k k ααα=+，而000()()kf k k k k ααααααα=+=+≠+ 所以()()f k kf αα≠ （5）不是。因为0()f αβα+=，而00002()()f f αβαααα+=+=≠ 2、设n n V P ?=是数域F 上全体n 阶方阵构成的集合，有§4.5，V 是F 上2 n 维线性空间， 设A V ∈是固定元，对任意M V ∈，定义 ()f M MA AM =+ 证明，f 是V 的一个线性变换。 证明：,,M N V k F ?∈∈，则 所以 f 是V 的一个线性变换。 3、设3 V R =，(,,)x y z V α=∈，定义

高等代数试题附答案

科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ）

5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的 子空间。（ ） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 （10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10） 四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中

高等代数试题附答案

高等代数试题附答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向量组()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ） 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变换。其中 ),,,()(2 4232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ）

三年级上册《带刺的朋友》基础练习(含答案)

三年级上册《带刺的朋友》基础练习（含答案） 基础知识练习 一、给下列生字注音并组词： 刺_____（）（）（） 枣_____（）（）（） 颗_____（）（）（） 忽_____（）（）（） 乎_____（）（）（） 暗_____（）（）（） 伸_____（）（）（） 匆_____（）（）（） 沟_____（）（）（） 聪_____（）（）（） 偷_____（）（）（） 追_____（）（）（） 腰_____（）（）（） 二、给下列生字注音： 馋（）猫缓（）慢惊讶（） 预测（）监（）视恍（）惚 醒悟（）逐（）个扎

（）针 三、多音字 扎_____（）_____（）_____（）散_____（）_____（） 兴_____（）_____（） 四、近义词 摆动一一（）朦胧一一（） 惊讶一一（）猜测一一（） 监视一一（）诡秘一一（） 归拢一一（）钦佩一一（） 踪影一一（）恍然大悟一（） 五、反义词 朦胧一一（）缓慢一一（） 归拢一一（）钦佩一一（） 聪明一一（）蹑手蹑脚一一（） 六、根据意思写词语： 1、看见自己喜爱的事物极想得到。（） 2、月光不明;看不清。（） 3、一种颜色中杂有别种颜色，花花搭搭的。（） 4、不迅速；慢。（） 5、感到很奇怪；惊异。（） 6、推测；凭想象估计。（）

7、从旁严密注视、观察。（） 8、(行动、态度等)隐秘不易捉摸。（） 9、猛然清醒的样子；形容一下子明白过来。（） 10、把分散着的东西聚集到一起。（） 11、敬重佩服。（） 12、智力发达，记忆和理解能力强。（） 13、形容放轻脚步走的样子。也形容偷偷摸摸、鬼鬼祟祟的样子。（） 14、踪迹形影(指寻找的对象，多用于否定式)。（） 参考答案 一、给下列生字注音并组词： 刺cì（刺猬、鱼刺、讽刺） 枣zǎo（枣树、枣子、囫囵吞枣） 颗kē（颗粒、一颗、两颗钉子） 忽hū（忽然、忽略、忽高忽低） 乎hū（圆乎乎、胖乎乎、出乎意料） 暗àn（黑暗、暗号、柳暗花明） 伸shēn（伸出、伸冤、能屈能伸） 匆cōng（匆匆、匆忙、来去匆匆） 沟gōu（水沟、沟渠、山沟） 聪cōng（聪明、失聪、耳聪目明） 偷tōu（偷枣、小偷、偷偷摸摸）

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高等代数（北大第三版）答案 目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章—矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注： 答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！

12．设 A 为一个 n 级实对称矩阵，且 A 0 ，证明：必存在实 n 维向量 X 0 ，使 X AX 0 。 证 因为 A 0，于是 A 0 ，所以 rank A n ，且 A 不是正定矩阵。故必存在非 退化线性替换 X C 1Y 使 XAX YC 1 ACY Y BY y 12 y 22 y p 2 y p 2 1 y p 2 2 y n 2 ， 且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在 Z C 1Y 中，令 y y 2 y p 1 0, y p 1 y p 2 y n 1, 则可得一线性方程组 c 11 x 1 c 12 x 2 c 1n x n c p 1 x 1 c p 2 x 2 c pn x n ， c p 1,1 x 1 c p 1, 2 x 2 c p 1,n x n 1 c n1 x 1 c n 2 x 2 c nn x n 1 由于 C 0 ，故可得唯一组非零解 X s x 1s , x 2s , , x ns 使 X s AX s 0 0 0 1 1 1 n p 0 ， 即证存在 X 0，使 X AX 0 。 13 ．如果 A, B 都是 n 阶正定矩阵，证明： A B 也是正定矩阵。 证 因为 A, B 为正定矩阵，所以 X AX , X BX 为正定二次型，且 X AX 0 ， X BX 0 ， 因此 X A B X X AX X BX 0 ， 于是 X A B X 必为正定二次型，从而 A B 为正定矩阵。 14 ．证明：二次型 f x 1 , x 2 , , x n 是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。 证 必要性。采用反证法。若正惯性指数 p 秩 r ，则 p r 。即 f x 1 , x 2 , , x n y 2 y 2 y 2 y 2 y 2 ， 1 2 p p 1 r 若令

《高等代数》试题库

《高等代数》试题库 一、选择题 1．在里能整除任意多项式的多项式是（）。 ．零多项式．零次多项式．本原多项式．不可约多项式 2．设是的一个因式，则（）。 ．1 ．2 ．3 ．4 3．以下命题不正确的是（）。 . 若；.集合是数域； .若没有重因式； ．设重因式，则重因式 4．整系数多项式在不可约是在上不可约的( ) 条件。 . 充分 . 充分必要 .必要．既不充分也不必要 5．下列对于多项式的结论不正确的是（）。 .如果，那么 .如果，那么 .如果，那么，有 .如果，那么 6．对于“命题甲：将级行列式的主对角线上元素反号, 则行列式变为；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。 .甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；.甲, 乙均成立；．甲, 乙均不成立 7．下面论述中, 错误的是( ) 。 . 奇数次实系数多项式必有实根； . 代数基本定理适用于复数域； ．任一数域包含；．在中, 8．设，为的代数余子式, 则=( ) 。 . . . ． 9.行列式中，元素的代数余子式是（）。 ．．．． 10．以下乘积中（）是阶行列式中取负号的项。 .； .；．；. 11. 以下乘积中（）是4阶行列式中取负号的项。 .； .；．； . 12. 设阶矩阵，则正确的为（）。 . . ． . 13. 设为阶方阵，为按列划分的三个子块，则下列行列式中与等值的是（） . . ． . 14. 设为四阶行列式，且，则（） . . ． . 15. 设为阶方阵，为非零常数，则（） . . ． . 16.设，为数域上的阶方阵，下列等式成立的是（）。 .；. ；

．； . 17. 设为阶方阵的伴随矩阵且可逆，则结论正确的是（） . . ． . 18.如果，那么矩阵的行列式应该有（）。 .； .；．； . 19.设, 为级方阵, , 则“命题甲：；命题乙：”中正确的是( ) 。 . 甲成立, 乙不成立；. 甲不成立, 乙成立；．甲, 乙均成立；.甲, 乙均不成立 20.设为阶方阵的伴随矩阵，则（）。 . . ． . 21.若矩阵，满足，则（）。 .或；.且；．且；.以上结论都不正确 22.如果矩阵的秩等于，则（）。 .至多有一个阶子式不为零； .所有阶子式都不为零；．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；.所有低于阶子式都不为零 23.设阶矩阵可逆，是矩阵的伴随矩阵，则结论正确的是（）。 .；.；．；. 24. 设为阶方阵的伴随矩阵，则=（） . . ． . 25.任级矩阵与-, 下述判断成立的是( )。 . ； .与同解； .若可逆, 则；．反对称, -反对称 26.如果矩阵,则（） . 至多有一个阶子式不为零；.所有阶子式都不为零．所有阶子式全为零，而至少有一个阶子式不为零；．所有低于阶子式都不为零 27. 设方阵，满足，则的行列式应该有（）。 . . ． . 28. 是阶矩阵，是非零常数，则 ( )。 . ； . ；． . 29. 设、为阶方阵，则有（）. .，可逆，则可逆 .，不可逆，则不可逆 ．可逆，不可逆，则不可逆.可逆，不可逆，则不可逆 30. 设为数域上的阶方阵，满足，则下列矩阵哪个可逆（）。 . . ． 31. 为阶方阵，，且，则（）。 .； .；．；. 32. ，，是同阶方阵，且，则必有（）。 . ； . ；．． 33. 设为3阶方阵，且，则（）。 .；.；．；. 34. 设为阶方阵，，且，则（）. . .或． . 35. 设矩阵，则秩=（）。 ．1 ．2 ．3 ．4

三年级上册《带刺的朋友》同步练习(含答案)

带刺的朋友 一、读拼音，写词语。 Zǎo shù hū rán cōng míng shuǐ gōu 二、比一比，组词语。 颗( ) 乎( ) 课( ) 平( ) 伸( ) 偷( ) 神( ) 愉( ) 三、写出下列词语的近义词。 缓慢—— ______ 注视—— ______ 高明——______ 猜测——______ 四、按要求改写句子。 1．挂满红枣的树杈慢慢弯下来。(缩句) ________________________________ 2．这不是刺猬吗？(改为肯定句) ________________________________ 五、课内阅读。 我还没弄清楚是怎么回事，树上那个家伙就噗的一声掉了下来。听得出，摔得还挺重呢！ 我恍然大悟：这不是刺猬吗？ 很快，它又慢慢地活动起来了，看样子，劲头比上树的时候足多了。它匆匆地爬来爬去，把散落的红枣逐个归拢到一起，然后就地打了一个滚儿。你猜怎么着，归拢的那堆红枣，全都扎在它的背上了。立刻，它的身子“长”大了一圈。也许是怕被人发现吧，它驮着满背的红枣，向着墙角的水沟眼儿，急火火地跑去了…… 我暗暗钦佩：聪明的小东西，偷枣的本事可真高明啊！ 1．选文第三段写了刺猬偷枣的过程，请从中找出描写刺猬偷枣动作的词语，写在下面。 _____________________________________________________________________ ___ 2．选文中，作者一开始称刺猬是“那个家伙”，后来变成“小东西”，从中作者对刺猬的情感变化是怎样的？ _____________________________________________________________________ ___ 3．试着用简洁的语言概括选文的内容。

《高等代数》(上)题库

《高等代数》（上）题库 第一章多项式 填空题 (1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数 是。 (1.5)2、当p(x)是多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或 p(x)|g(x)。 (1.4)3、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。 (1.5)4、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b 。 (1.7)5、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。 (1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a= b= 。 (1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。 (1.8)8、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为 f(x)= 。 (1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一个根，则f(x)的全部根 是。 (1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1，（h(x),g(x)）=1 则。 (1.5)11、设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),则。 (1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则。 (1.5)13、设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则。 (1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)，则。 (1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x)，则。 (1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x))=1，则。(1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。 (1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),则。 (1.7)19、α是f(x)的根的充分必要条件是。 (1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是。 答案 1、-x+6 2、不可约 3、互素 4、a=0,b=1 5、k=3 6、a=3,b=-7 7、k=±2

高等代数(北大版)第7章习题参考答案

第七章 线性变换 1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3） 在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3 中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。 8） 在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2() ,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，

部编版三年级语文上册23.带刺的朋友课时测评卷(含答案)

23带刺的朋友 课时测评方案 字词模块 一、按要求将下列字分类。（填序号） ①枣②馋③测④逐⑤聪 平舌音的字：__________翘舌音的字：__________ 二、看拼音，写词语。 shēｎshǒｕzhuīɡǎｎshuǐɡōｕ yúcìàｎzìtōｕzǎｏ 三、根据读音写汉字，组成词语。 cōｎɡ （）忙（）明（）慧 kē 一（）枣一（）树（）学 四、选出能够替换句中加点词的词语。 1.我非常惊讶 ．．，赶忙贴到墙根，注视着它的一举一动。（） A.惊吓 B.吃惊 C.惊动 2.那个东西一定没有发现我在监视它，仍旧诡秘．．地爬向老树杈。（） A.诡计 B.保密 C.隐秘 句子模块 五、按要求完成句子练习。 1.我恍然大悟：这不是刺猬吗？（变成肯定句） _________________________________________________________________

2.挂满红枣的树杈慢慢弯下来。（缩句） _________________________________________________________________ 3.已经没了踪影。（修改病句） _________________________________________________________________ 读写模块 六、课内阅读。 很快，它又慢慢地活动起来了，看样子，劲头比上树的时候足多了。它匆匆 地爬来爬去，把散落的红枣逐个归拢到一起，然后就地打了一个滚儿。你猜怎么着，归拢的那堆红枣，全都扎在它的背上了。立刻，它的身子“长”大了一圈。 也许是怕被人发现吧，它驮着满背的红枣，向着墙角的水沟眼儿，急火火地跑去了…… 我暗暗钦佩：聪明的小东西，偷枣的本事可真高明啊！ 画出描写“刺猬是怎样把红枣偷走的”的语句。 1.用“____” 2.“劲头比上树的时候足多了”是因为（） A.刺猬爬树时比在地上活动时要费力。 B.刺猬很勤劳，做事很努力。 C.刺猬摇下了很多枣，很高兴，干劲儿很足。 3.“聪明的小东西”指的是____________，这样称呼表现了作者对它的 ____________之情。 七、课外阅读。 生物学家通过多年的观察研究，对蚂蚁的生活习性有了一些认识。 蚂蚁经常到离巢穴很远的地方去找食物。它找到食物，要是吃不了，又拖不 回去，就急忙奔回巢去“搬兵”，把别的蚂蚁领来，它们同心协力地把食物拖回 巢去。 蚂蚁是靠什么来把消息通知给同伴的呢？它招呼同伴就靠头上那对触角。它 们用触角互相撞碰来传递信号。只要食物又大又合口味，触角就摆动得特别猛烈。 蚂蚁认路的本领很强。它认路主要靠眼睛，能凭借陆地上和天空中的景物辨 别。有人做过一个实验，用一个圆筒围住一群在归途中的蚂蚁，只让它们看见天

高等代数北大版习题参考答案

第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，

(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==

高等代数真题答案

第六章习题册 1. 检验下述集合关于所规定的运算是否构成实数域R 上的线性空间? (a) 集合{()[]deg()}f x R x f n ∈|=关于多项式的加法和数乘. (b) 集合{()}T n A M R A A ∈|=关于矩阵的加法和数乘. (c) 集合0{{}}n n n x x R ∞=|∈关于数列的加法和数乘. 2. 设V 是数域F 上的线性空间, 证明(αβ)αβk k k ?=?, 这里αβV k F ,∈,∈.

3. 下述集合是否是()n M R 的子空间 (a) { ()}T n V A M R A A =∈|=? (b) {()()[]}V f A f x R x =|∈, 这里()n A M R ∈是一个固定方阵. 4. 叙述并证明线性空间V 的子空间1W 与2W 的并12W W ∪仍为V 的子空间的充分必要条件. 5. 设1S 与2S 是线性空间V 的两个非空子集, 证明: (a) 当12S S ?时, 12()()Span S Span S ?. (b) 1212()()()Span S S Span S Span S =+∪. (c) 1212()()()Span S S Span S Span S ?∩∩.

6. 如果123f f f ,,是实数域上一元多项式全体所成的线性空间[]R x 中三个互素的多项式, 但其中任意两个都不互素, 那么它们线性无关.试证之. 7. 设S 是数域F 上线性空间V 的一个线性无关子集, α是V 中一个向量, αS ?, 则{α}S ∪线性相关充分必要条件α()Span S ∈. 8. (a) 证明{|()}ij ji E E i j +≤是()n M F 中全体对称矩阵组成的子空间的一个基. (b). 求3()M F 的子空间{()()[]}f A f x F x |∈ 的一个基和维数, 这里010001000A ???? =?????? 9. 在4 R 中, 求向量ξ在基1234(εεεε),,,下的坐标, 其中 12341210111112εεεεξ0301311014??????????????????????????????=,=,=,=,=????????????????????????????????????????