第3章半导体
第３章载流子输运
在第２章中所讨论的热平衡条件载流子模型是很重要的，因为一些标准器件结构都是在这种条件下建立的。不过，从器件的角度来考虑，在热平衡条件下器件内测得电流子为零，这对于器件的应用是没有意义的。只有当半导体系统受到微扰时，才可以引起载流子的输运或净载流子的响应，在半导体系统的内部和外部才会有电流流过。本章的中心议题是讨论载流子的输运。
在一般的工作条件下，半导体内载流子的输运有三种基本形式：漂移、扩散、和产生－复合。在本章中，首先对每种载流子的输运的基本形式定性的描述，并对半导体内与电流作用相关的物理量进行定量的计算。我们着重强调与每种输运有关的“运动常数”的特征，以及与其相关的各种问题的性质。虽然我们对不同载流子的输运形式分别进行了介绍，但它们同时有存在于任何半导体内。使用数学工具得到一组解决器件电学性质问题的基本方程，并且对不同载流子输运的研究获得了极大的成功。最后，本章给出一些简单的例子来具体说明解题的步骤并补充介绍一些概念。
3.1 漂移
3.1.1 漂移的定义与图像
带电粒子在外电场作用下的运动定义为漂移。在半导体内载流子的漂移运动从微观上可描述为：如图3.1(a)所示，在一块均匀半导体的两端加电压，则半导体内部就形成电场。带正电的空穴载流子受电场的作用，按照电场的方向做加速运动；而带负电的电子的运动方向与电场相反。由于电离的杂质原子的热振动的晶格原子不断地与载流子发生碰撞，因此碰撞后载流子的加速不断改变（也可称为载流子的散射）。图3.1(b)给出了净结果，载流子运动通常是沿着电场方向，它包括了周期重复的加速及其因散射引起的不连续的速度变化。
图3.1 载流子漂移的示意图。（a）条形半导体内载流子的运动；
(b)微观或原子尺度的空穴漂移；(c)宏观尺度的载流子漂移
从微观上仔细分析单个载流子的漂移运动是非常复杂和相当繁琐的。幸运的是，可测量性是宏观可测的，它们反映了载流子平均或整体的运动。在任意给定的时间间隔内所有电子或空穴的平均，对于每种载流子运动所产生的结果，可表示为固定的漂移速度项，即
v。换句话说，在宏观尺度上，漂移不过是看
d
得见所有类型的载流子，沿着电场方向平行或反平行方向以固定的速度运动而已（如图3.1(c)所示）。
必须特别指出的是，外加电场所引起的载流子的漂移运动，实际上还应该再叠加上载流子的热运动。在热平衡条件下，导带上的电子和价带上的空穴与半导体的晶格不断碰撞而得到或损失能量。事实上，在热平衡条件下，温度为室温时，与热有关的载流子平均速度大约是光速的千分之一。但在无外电场时（如图3.2所示）。载流子的热运动完全是随机的，宏观上它们均值为零，所以不构成传导电流，理论上可以忽略不计。
图3.2 载流子运动示意图
3.1.2 漂移电流
载流子漂移的结果是在半导体内部产生电流的流动。分析其数学表达式，电流可定义如下：Ｉ(电流)＝单位时间内流过垂直于电流流动方向任意平面上的电荷数
考虑图3.3所示的p型半导体的有效截面积A，对于棒内任意选择的
v垂直平面可证明：
d
d v t ……在t 时间内，全部空穴将从d v 垂直平的相反方向流过平面A d v tA ……在t 时间内，流过平面Ａ的全部空穴数 p d v tA ……在t 时间内，流过平面Ａ的空穴 qp d v tA ……在t 时间内，流过平面Ａ的电荷
qp d v A ……单位时间内，流过平面Ａ的电荷
图3.3 电流定义的示意图，以p 型半导体棒为例，面积A 为有效截面
物理量的文字定义与正式电流的定义是相同的。因此，空穴的漂移电流为
A
q p v I d d
r i f
p =| 空穴漂移电流 (3.1)
(3.1)式的有效截面积Ａ与电流公式的计算，对于实际问题常常是很麻烦的。电流通常表示为标量，而事实上电流很明显是矢量。本书不在这方面做过多的介绍，我们只讲解一个有用的相关参数——电流密度Ｊ。Ｊ的方向与电流的方向一致并且与单位面积上电流的大小相等（或Ｊ＝Ｉ／Ａ）。空穴的漂移电流密度可表示为
d d
r i f t
p q p v
J =| (3.2)
既然漂移电流的产生是由外加电场所引起，接下来便对drift P J |与外电场的关系加以说明。漂移速度与外电场的依赖关系如图3.4所示。注意，在低电场的情况下，d v 与成比例。在高电场时，d v 趋于饱和不依赖于。严格的函数关系式可表示为
时
....0....................]
)(
1[0/100→=+=
εεμνεμεμνβ
β
sat
d
….时.........................∞→=ενsat
在硅中，对于空穴1?β，对于电子2?β。在低电场下， μ是d v 与Ｅ的比例常数；在很高的电场下，
d v 接近极限或饱和速度sat v 。很显然，在高电场极限时，(3.2)式中的d v 简单地替换为sat v ，drift P J |并不显
示出对电场的依赖性。而在低电场极限时的情况是最重要的，若p d v μ=（对于空穴p μμ→ ），代入(3.2)式中可得
p q J p d r i f t
p μ=
| (3.4a)
对于电子，类似地可得
n q J n d r i f t
N μ=
| (3.4b)
图3.4 在室温下，超纯净硅内载流子的漂移速度与外电场的函数关系
电子的迁移率和空穴的迁移率分别为n μ和p μ，它们总是正的。要注意的是，虽然电子漂移方向与外
电场相反的（n
d v μ-=），但电流的传输是由负的带电粒子所决定，它的方向与漂移方向相反
（d drift N qnv J -=|）。最后，电流方向与外电场的方向相同，如(3.4b)式所表示的方向。
3.1.3 迁移率
迁移率是表示由漂移引起的电子和空穴传输性质的重要参数之一。通过后续的学习可知迁移率对许多器件特性具有明显的影响。因此，应该认真仔细地研究n μ和p μ。进一步熟悉这两个重要参数，是为了今后更有效地在器件中应用它们，并且了解更多的信息。
迁移率的标准单位：s V m s V cm ??//22或(本书采用s V cm ?/2)。 示例数值：温度300K 时，314
314/10
/10cm 、N
cm N A
D == 的掺杂硅有s V cm n ?≈/13602
μ，
s V cm p ?≈/4602
μ。未补偿的高纯净砷化镓材料（315/10cm N N A D ≤或），在室温下的迁移率分别为：
s V cm n ??/80002
μ，s V cm p ??/4002
μ。这些数值的比较和计算结果的数量级验证是很有用的。对于
硅和砷化镓，。在常用半导体中，对于给定掺杂的浓度和系统温度，n μ总是大于p μ。
与散射的关系：通常所使用的迁移率一般是指移动的自由度。在半导体中所使用的迁移率参数是测量在晶体内载流子运动的容易程度。在晶体内阻碍运动的碰撞增加，载流子的迁移率减小。也就是说，载流子迁移率的变化与半导体内发生散射的数量成反比。如图3.1(b)所示，非简并掺杂材料器件的散射机制主要有以下特点：(i) 晶格散射包括了与热扰动晶格原子的碰撞。（ii ）电离杂质（如施主位置或受主位置）散射。与晶格散射相关，应该强调的是热振动，晶格原子从它们所处晶格位置的移动导致载流子的散射。在晶体中与原子固定排列有关的内部场已在有效质量中考虑了。
根据迁移率各散射的数量关系式，很容易得到 *
/m q ><=τμ><τ，表示两次碰撞的平均自由时
间， *
m 是载流子的有效质量。因为阻碍运动的碰撞增加，碰撞之间的平均自由时间减少，因此， 的变化与散射的数量成反比。μ的变化与载流子的有效质量（光子运动）成反比。砷化镓的有效质量*
n m 的
有效值比硅的 *
n m 小，因此可以说砷化镓电子的迁移率较高。
与掺杂相关的曲线：图3.5表示在室温下硅、锗和砷化镓实测的电子和空穴的迁移率与掺杂浓度的关系曲线。所有的半导体都有相同的依赖关系。硅的掺杂浓度大约低于3
15
/10cm 时，迁移率随A N 和D
N 的增加而单调减小。
图3.6简要地解释了所观测到的掺杂的各种依赖关系。使用电子模拟，可以把运动电阻与各种散射机制联系起来，而且这些电阻是串联的。掺杂非常低的情况下，与晶格散射相比电离杂质散射可以忽略不计。在电子模拟中，L I L ToTAL R R R R ?+= 。对于晶格散射，散射与A N 或D N 无关，当晶格散射成为主要的散射机制时，这样可以自然地认为载流子迁移率无关。大硅中掺杂浓度超过3
15
/10
cm 时，电离杂质
散射和相关的运动电阻不再被忽略。由于越来越多的施主或受主增加，散射中心数增加，电离杂质散射逐渐增加而载流子迁移率则有规律地减少。
与温度相关的曲线：如图3.7所示，硅中电子和空穴迁移率的温度依赖关系与掺杂浓度有关。对于掺杂浓度A N 或314/10cm N D ≤ 时，数据趋向于单一曲线，对于不同的载流子迁移率按温度的幂指数减小。
一般来说，n
μ1
.03.2±T
，p
μ1
.02.2±T
。对于较高的掺杂，载流子迁移率仍然是随温度的减少而增加，但
是按一定的比率有规律地减少。事实上，一些318/10cm N D ≥实验数据表明，在温度低于200K 时，温度Ｔ降低，n μ也随之减少。
图3.5 在室温下载流子迁移率与掺杂浓度的函数关系。（a ）硅； (b)锗和砷化镓。n μ是电子迁移率；p μ是空穴迁移率
图3.6 半导体散射的电子模拟。L R 和I R 分别表示由于晶格散射和电离杂质散射的运动阻抗
图3.7 硅中掺杂杂在小于314
/10
cm 至3
18
/10
cm 之间的(a)电子和(b)空穴迁移率
与温度的关系。曲线的虚线部分是温度200K ≤T ≤500K 有效数值的扩展
通常，在低掺杂极限下，比较容易解释载流子迁移率的温度依赖关系。在讨论掺杂关系时应注意，对于低掺杂的样品，晶格散射是主要的散射机制。随着系统温度的降低，引起半导体原子的热激发不断减少，导致晶格散射的减少。散射的减少粗略地服从简单的幂律关系。晶格散射的数量与温度成反比，所以，低掺杂样品的迁移率随温度降低而增加，其变化可粗略地定为温度的负指数。
高掺杂样品的依赖关系是很复杂的，这反映在电离杂质散射的附加效应上。在电子模拟中，I R 不能再被忽略。而且，晶格散射（L R ）随温度T 降低而减弱，电离杂质散射随温度T 的降低而增大。由于带电载流子的方向变化和载流子速度的减小，使得电离杂质散射变得越来越显著。当温度降低时，电离杂质散射在全部散射中所占的百分比变得越来越大。很明显，这可以解释在高掺杂样品中所显示的迁移率与温度的依赖关系的斜率减小。
3.1.4 电阻率
电阻率是重要的材料参数，它与载流子漂移密切相关。可将电阻率定性地解释为与材料物理维数无关，它是电流流过归一化电阻时，对材料固有的量度。定量地计算，则是在均匀材料上加一外电场，材料内每一单位面积上流过总粒子的电流，两者之比定义为电阻率（ρ），电阻率为一比例常数，即
J ρ=
(3.5a)
或
σ
=J ρ
1
= (3.5b)
式中是材料的电导率。在均匀材料内，drift J J =，利用(3.4)式可得
)(||p n q J J J p n d r i f t
p d r i f t N d r i f t μμ+=+= (3.6)
因此可得
)
(1p n q p n μμρ+=
(3.7)
在非简并施主掺杂半导体内，保持非本征温度区域有 和 。这一结果已在2.5.5中给出。对典型的n 型半导体掺杂和迁移率有： 。类似地对于p 型半导体可得： 。在正常条件下保持或接近室温时，对于
硅样品(3.7)式可简化为：
D
n N q μρ1=
……n 型半导体 (3.8a)
A
p N q μρ1=
……p 型半导体 (3.8b)
当迁移率与掺杂浓度数据结合时，由(3.8)式可知，在半导体内可直接测量的电阻率和掺杂浓度之间是一一对应的。电阻率ρ随掺杂浓度的曲线，如图3.8所示。事实上，测量电阻率通常用A N 或D N 来决定。
（a ）
(b)
图3.8 在室温(300K)时，电阻率与杂质浓度的关系(a)硅；（b ）其它半导体
半导体的电阻率可由掺杂浓度来决定，测量电阻率有许多方法。在实践中，测量电阻率最常用的方法是四探针技术。有兴趣的同学可以去查找相关的资料了解。
3.1.5 能带弯曲
在前面遇到的能带图呈直认为所画出的c E 和v E 的能量是与位置x 无关的。当材料中存在电场时，能带能量变成位置函数。图3.10(a)画出了在能带图中c E 和v E 随位置变化结果，一般称之为“能带弯曲”。
为了在半导体内的电场和导致能带弯曲的两者之间建立精确的关系，让我们再来仔细地研究一下能带图。如图3.10(a)所强调的，能带图本身标出了在半导体中允许的电子能量是位置的函数，纵坐标E 被认为是总电子能量。另外，根据前面的讨论可知，若禁带能量G E 是原子与原子的键破裂增加的能量，则所产生的电子和空穴能量分别为c E 和v E ，这些载流子实际上是静止的。另一方面，若吸收的能量超过G E ，则很可能发生电子的能量大于c E 而空穴能量小于v E ，两种载流子在晶格内部快速地移动。因此，c E E -可解释为电子的能量(K.E)，而E E v -可解释为空穴的动能，请参见图3.10(c)所示。（应该注意的是，势能的参考能量ref E 是任意的一个常数，参考能量ref E 是与位置无关的，可以选择任意的数值。）
半导体内与电场相关的势能是很重要的，势能在能带中是随位置变化的。假定通常条件下，在温度梯度和磁场中应力感应可以忽略时，只有已知电场的力可以引起载流子势能的变化。事实上，从普通的物理知识可知，-q 带电粒子在真空中任意一点的势能与静电势V 的关系如下：
qV E P -=.. (3.10)
与前面的结论：
ref
c E E E P -=.. (3.11)
相比，可得
)(1r e f c E E q
V --
= (3.12)
图3.10 半导体内能带弯曲和静电变量之间的关系；（a）能带图中显示的能带弯
(b)载流子动能的说明；（c）电子势能的说明；(d)静电势能；（e）电场与
位置的依赖关系的推论和能带图(a)部分联系
此外，由场强定义：
V
-?
=(3.13) 或在一维空间可得
dx
dV
-
=(3.14) 所以，
dx
dE
q
dx
dE
q
dx
dE
q
i
v
c
1
1
1
=
=
=(3.15)
事实上，在(3.15)式之后的
c
E、
v
E和
i
E只相差一个积分常数。
从前面的公式可以很容易地得出静电势的一般形式是与图3.10(a)所示的“能带弯曲”以及其他一些能带图相关的。使用(3.12)式或图3.10(a)所示的)
(x
E
c
的简单颠倒，即可得到如图3.10(d)所示的静电势Ｖ与位置x的依赖关系。（注意：静电势能一样是一任意常数，如图3.10(d)所示，它可以沿电压轴向上或向下
平移，在半导体中它与物理位置的改变无关。）最后，如(3.15)式所描述的
c
E与位置的斜率关系，在图3.10(e)中由与位置x的依赖关系出。
综合所述，能带图中包含的信息与半导体内的静电势和电场有关。而且，半导体中的Ｖ和Ｅ的一般依
赖关系式总是可以验证的。只需将c E （或v E 或i E ）与x 函数关系图“颠倒”，即可推出Ｖ与x 的函数关系；注意c E （或v E 或i E ）与位置的斜率关系，可决定Ｅ与位置x 的依赖关系。
练习3.2
问：考虑下面的能带图，温度保持300K 时，硅中的能带有4/G F i E E E =-，L x ±=；在0=x 处有4/G i F E E E =-。注意，在能带图中的不同点，F E 的选择与能量参考面和载流子的识别有关。
(a) 在半导体中，画出静电势V 与坐标x 的函数关系。
(b) 在半导体中，画出电场与坐标x 的函数关系。
(c) 在能带图中，确定电子和空穴的动能K.E.和势能P .E.。 (d) 确定在L x >的部分，半导体的电阻率。
答：
(a) V 与x 的函数关系一定是和一定和c E (或v E 或i E )与x 的关系图的“颠倒”相同。若在L x =处，
电压的任意参考点取V =0时，V 与x 依赖关系可绘成草图：
(b) 电场与能带的斜率是成比例的，所以有
(c) 对于电子的动能有K.E.=E c E -，势能有P .E.=F c ref c E E E E -=-。因为在能带图上，总的空穴
能量的增加是向下的，所以对于空穴的动能K.E.=E E v -，势能有P .E.=v F v ref E E E E -=-。
在相同的x 处，计算能量的差。对于K.E.和P .E.的计算数值在下表中给出：
电子2 0.56 0.28 电子3 0 0.84
空穴1 0 0.28
空穴2 0.56 0.28 空穴3
0 0.84
(d) 在L x >的区域，此半导体为p 型，4/G i F E E E =-=1.12eV /4=0.28eV 且0259
.0/28.010
/)(10
e
e n p N kT
E E i A
F i
===-3
14
/10
96.4cm ?=
A
p N
q μσρ1/1=
= )
1096.4)(459)(10
6.1(1
14
19
??=
- cm ?Ω=5.27
使用图3.8(a)的硅电阻率的关系图也可类似得到：=ρcm ?Ω?25。
3.2 扩散
3.2.1 扩散的定义与图像
扩散是粒子有趋向地扩展的过程，即由于粒的无规则热运动，可以引起粒子由由浓度高的区域向浓度低的区域在宏观尺度上的移动，其结果使得粒子重新分布。若允许这个过程不衰减，扩散进程将产生粒子均匀分布的作用。扩散的本质是在扩散过程之后所产生的效果。这与粒子电荷的变化、热运动以及粒子间的排斥力无关。
下面用一简单的例子来说明，假设在房间的一角放着一瓶打开盖的香水。即使没有空气流动，分子无规则热运动也会在较短的时间内使房间里到处充满了香水分子。由于分子间的相互碰撞，有助于香水分子房间的任何地方均匀重新分布。
为了更详细地理解扩散过程，我们用“监视器”的概念来观测，在微观尺度上可简单地假定系统有一可观测过程。所检测的系统是一维方框，可分为四个部分，共有1024个流动粒子（如图3.11所示）。粒子在一维方框内必须严格地遵守一些规则。明确地说，由于热运动所引起的所有粒子在每隔τ时刻，从所给定的区间内“跳入”其相邻的区间里。与无关规则自然一致，每个粒子跳到左边和跳到右边的几率是相等的。与“外壁”碰撞，反射回来的粒子在原子来的位置跳出，所以粒子可以从左边或右边跳出。最后，在时间t=0时，所有的粒子都假定被限制在最左边的区间内。
图3.11记录了有1024个粒子的系统随时间变化的过程。在时间t=τ时间，1024个粒子中的512个粒子由最初的1区跳入右边，并进入静止的2 区。剩余的512个粒子向左跳入与外壁碰撞，返回最左的区间。即在τ时刻后的结果是1区与2 区分别有512个粒子。在t=2τ时，２区内的256个粒子跳入３区，剩余的跳回到1区。在平均时间内，从1区有256个粒子跳入2区，并有256个粒子由左壁反弹回1区。所以在2τ时间后，最终的结果是1区内有512个粒子，2区和3区内分别有256个粒子。利用类似的方法可以推出在3τ和6τ时间后系统的状态（在图3.11中也可看到）。由t=6τ可知，粒子（包括最左边区间内粒子）在全部区间内的分布已变得几乎一致，所以没有必要考虑再往后的状态。从这个例子可以清楚地理解扩散过程中基本性质。
图3.11 在一维假定系统中微观尺度上的扩散。箭头上的数表
示在所画区间内的粒子数；观测的时间在最后边列出
半导体内的扩散过程在微观尺度上是类似的，当然，粒子扩散的无规则运动的三维空间的而不是划分区间的。在宏观尺度上，扩散的净效应在假设系统和半导体内是相同的，全部的粒子都从浓度高的区域浓度低的区域移动。在半导体内的流动粒子有带电的电子和空穴，与扩散有关的载流子转输是由图3.12的粒子电流引起。
图3.12 微观尺度上的电子和空穴扩散示意图
3.2.2 热探行针测量
热探针测量法是一种快速确定半导体是n 型还是p 型的普通技术。感兴趣的同学可以自己得去查找相关资料。
图3.13 热探针测量法：(a)必要的设备；(b)设备工作方法的简单解释
3.2.3 扩散和总电流
扩散电流
在定义扩散过程和应用扩散实例时，我们已经特别强调了扩散与粒子数空间变化的直接关系。由于扩散的发生，一定存在着一个点比其他点的扩散粒子都多，数学术语可表示为，一定存在不为零的浓度梯度（对于空穴有0≠?p ，对于电子有0≠n ）。而且，浓度梯度较大时，粒子的预测流量也较大。扩散过程的定量分析可由前面的知识和著名的菲克定理给出：
η?-=D (3.16)
式中的?是流量或单位时间内通过垂直粒子流的单位面积的粒子数，η是粒子浓度，而D 是扩散系数，它是一个正的比例因子。电子和空穴的扩散电流密度可由载流子的流量乘以载流子的电荷得到：
p
qD J p diff p ?-=| (3.17a)
n qD J N diff N ?=| (3.17b) 式中的p D 和N D 是比例常数，它们的单位是s cm /2，分别称为空穴和电子的扩散系数。
分析(3.17)式可知，电流的方向可由方程得知，它与图3.12所示的宏观扩散电流的图示是一致的。正的浓度梯度如图3.12所示（图中标出了一维的情况：0/>dx dp 和0/>dx dn ），空穴和电子朝着－x 轴方向扩散。因此，diff
p J
|是负的或其方向是－x 轴方向，而diff N J |的方向是＋x 轴方向。
总电流
在半导体有漂移和扩散时所产生的总电流或净载流子电流，是这两种电流的总和。即(3.4)式和(3.17)式的n 和p 部分相加可得
p q J J J p d i f f p d r i f t p p μ=+=||p
qD p ?- (3.18a)
n q J J J n d i f f N d r i f t
N N μ=+=||n qD N ?+ (3.18b)
半导体中所流过的总的粒子电流可由下式算：
p
N J J J += (3.19)
这电流关系式的非常重要，在直接或间接地对器件进行分析时经常要使用用它们。
3.2.4 扩散系数与迁移率的关系
扩散系数，即与扩散相关的运动常数，是由于扩散引起载流子输运特性的重要参数。知道了扩散系数的重要性后，可能期望从与3.1.3节介绍的迁移率试验可以得到有关性质。幸运的是，这个扩充试验是没有必要的，因为扩散系数D 与迁移率μ都是相关的，只需要建立相关的关系式即可，这就是著名的爱因斯坦关系式。
在推导爱因斯坦关系式的过程中，我们考虑在平衡条件下保持一个非均匀掺杂半导体。与非均匀掺杂相关特殊事实和平衡状态将在推导中引用。这些事实是非常重要的，有必要对其进行适当的讨论。
费米能级的稳定性（不变性）
考虑非均匀掺杂和n 型非简并半导体样品，样品的掺杂浓度是随位置变化的。一个具体的实例如图3.14(a)所示。若平衡条件成立，样品的特性在能带图3.14(b)中给出。在第2章中，均匀掺杂n 型半导体的费米能级在施主杂质有规律地增加时，可发现费米能级的移动越来越靠近c E （参考图2.21）。与这个事实一致，在图3.14(b)中，从x=o 到x=L, c E 逐步向F E 靠近。然而，在制作能带图时，如果不使用重要的新信息，那么是不可能完成的。很显然，
在平衡条件下，在半导体材料或紧密接触的一组半导体材料内，费米能级是与位置无关的不变量。即
0///===dz E dy E dxd dE F F F 。
费米能级的恒定不变意味着F E 在能带图中是一条水平直线。
图3.14 非均匀掺杂半导体；（a ）假设掺杂随位置变化；（b ）对应的能带图
费米能量的位置独立性是建立在位于相同能量的允许状态之间载流子的迁移，而不是能带中的相邻位置之间载流子的迁移。可以得到这样的结论，在平衡条件下，已知能量的填充态几率)(E f 在样本内的任何地方一定是相同的。若不是这种情况，载流子将会优先在状态之间迁移，由此产生净电流。净电流的存在与所叙述的平衡条件并不一致。参考)(E f 的表达式(2.7)式，会发现费米函数的不变性反过来需要能级与位置无关。
平衡条件下的电流流动
在平衡条件下的总电流自然为零。这是因为在平衡条件下，电子和空穴的作用完全抵消，电子和空穴电流密度，即N J 和P J 必须独立地变为零。在(3.18)式中设0==P N J J ，可得到以下结果：与已知载流子相关的漂移和扩散电流必须是大小相等、极性相反。事实上，在平衡条件下，只有Ｅ＝０和0=?=?p n 时，漂移和扩散电流的为零。
让我们回到涉及非均匀掺杂半导体样品特性试验的图3.14，它提供了一个平衡电流分量不为零的具体例证。图3.14(a)清楚地看到引起有效电子浓度变化的掺杂变量。在样品内一定存在着＋x 方向的电子扩散电流。而且，在图3.14(b)的能带图中所显示的能带弯曲，意味着在－x 方向存在“自建”电场。这也是使得在－x 方向产生了漂移电流。要注意漂移的扩散电流分量的极性相反。既然假定平衡条件成立，各分量也必须是大小相等的量。事实上，在半导体的电场抵消了由于非均匀掺杂引起的载流子扩散的趋势。这主要是在平衡条件下，非均匀掺杂会引起载流子浓度的变化，产生自建电场和不为零的电流分量。
爱因斯坦关系式
在前面学习的基础上，现在来导出扩散系数Ｄ与迁移率μ之间的相关公式，即著名的爱因斯坦关系式。为了简化推导过程，我们只考虑一维情况。样品的分析是在非简并情况下、保持平衡条件的非均匀掺杂半导体中进行的。在平衡条件下，净载流子电流必须恒等于零，只考虑电子，可得
n q J J n d i f f N d r i f t
N μ=+||dx
dn
qD
N
+=0 (3.20)
然而，
dx
dE q i 1= (3.21)
kT
E E i i
F e
n n /)(-= (3.22)
而且，0/=dx dE F （在平衡条件下，费米能级与位置无关），所以，
n kT
q dx
dE e
kT
n dx
dn i kT
E E i i
F -
=-
=-/)( (3.23)
将(3.23)式代入(3.20)式，取代dx dn /半对结果重新排列，可得
(qn
)n μ－(qn
)
N D kT
q =0 (3.24)
因为Ｅ≠０（非均匀掺杂的结果），从（3.24）式可得
q
kT D n
N
=
μ对于电子的爱因斯坦关系式 (3.25a)
对于空穴用类似的方法可得
q
kT D p
p
=μ对于空穴的爱因斯坦关系式 (3.25b)
尽管爱因斯坦关系式是在平衡条件下推导出来的，但通过进一步的精确推理可知，爱因斯坦关系式在非平衡条件下也是有效的。对于非简并的限制，可将(3.25)式的结果稍加修正即可扩展的简并材料。在此，再次强调一些基本的结果，如平衡费米能级的位置不变性以及在平衡条件下非简并半导体内部的情况等，都是重要的结果，如平衡费米能级的位置不变性以及在平衡条件下非简并半导体内部的情况等，都是重要的结果。注意一些基本的数值关系，q kT /的单位是伏特(V)，在室温时(300K)等于0.0259V 。对于保持室
温的硅样品314/10cm N D =时，s cm s V cm q kT N n D /2.35)/1358)(0259.0()/(2
2=?==μ。爱因斯坦关
系式是容易记忆的等式之一，因为Ｄ除以μ等于kT 除以q ，在本质上存在着有规律的关系；若将等式颠倒，仍然保持这种关系，，即Ｄ除以μ等于q 除以kT 。
练习3.4
问：这个练习将继续使用能带图对练习3.2中半导体样品研究。 (a) 半导体是否处于平衡状态？如何从已知的能带图去推论这个事实。 (b) 在2/L x ±=处，电子电流密度N J 和空穴电流密度P J 是多大？ (c) 粗略画出样品内n 和p 随x 的变化规律。
(d) 在2/L x ±=处，有电子扩散电流吗？如果在某点有扩散电流，指出该电流的方向。
(e) 注意练习3.2中有电场时的解，在2/L x ±=处，有电子漂移电流吗？如果在某点有漂移电流，指
出该电流方向
(f) 在半导体的L x >的范围内，空穴扩散系数(P D )是多大？
答：
(a) 因为费米能级是与位置无关的不变量，所以可推出半导体是在平衡条件的。
(b) 在2/L x -=和2/L x +=，有0=N J 和0=p J 。平衡条件下，半导体内总的电子和空穴电流总
是恒等于零。
(c) 因为]/)exp[(kT E E n n i F i -=和]/)exp[(kT E E n p F i i -=，可总结出
(d) 在2/L x -=和2/L x +=处，有电子扩散电流。参考前面问题的答案可知，0/≠dx dn 。对于
0/>dx dn ，在2/L x -=处，diff
N
J 的流动方向为x +的方向。相反地，0/ /L x +=处，diff N J 在这一点的流动方向为x -的方向。 (e) 在2/L x -=和2/L x +=处，有电子漂移电流。因为n 和 在2/L x +=处不为零，所以有 diff N J =n q n μ0≠。电流的漂移分量总是与电场的方向相同；diff N J 在2/L x -=处是x -的方 向，而在2/L x +=处为x +方向。因为在平衡条件下，电流的漂移分量必须与电流的扩散分量必须与电流的扩散分量相抵消，即=N J 0=+diff N drift N J J 。概括(d)和(e)的部分答案，可得到与方 (f) 由练习3.2的(d)可知，室温时(300K)的硅，在x>L 的范围内，掺杂浓度/105cm N A ??，以及与 之对应的空穴迁移率S V cm p ?=/4592 μ。因此，使用爱因斯坦关系式可得 p p q kT μ)/(D ==(0.0259)(459)=11.9s cm /2 。 3.3 复合－产生 3.3.1复合－产生的定义与图像 虽然与载流子浓度相关的平衡数值是恒定的，介当半导体的平衡状态受到微扰时，半导体内部的载流子浓度会产生涨落。复合－产生（Ｒ－Ｇ）是一种自然的有序恢复机制，它意味着载流子的过剩或欠缺， 在半导体内载流子会保持稳定（如果微扰是持续的）或是减少（如果微扰是被撤去的）的过程。因为器件在工作时是非平衡的，所以复合－产生的分析器件的特性时起主要的作用。下面分别定义复合和产生。 复合——电子和空穴（载流子）被湮灭或消失的过程。 产生——电子和空穴（载流子）被创建的过程。 直接复合（能带到能带的复合） 直接复合是所有复合过程中最简单的。如图3.15(a)所示，它只包括导带电子和价带空穴的直接湮灭。电子和空穴在半导体晶格内运动，它们漂移进入到相同的空间，彼此靠近并相互碰撞，从而形成电子和空穴的湮灭。这一过程中会发生过剩的能量的释放，如产生光子（发光）。 间接复合(Ｒ－Ｇ中心复合) 如图3.15(b)所示通过“第三部分”或中介物进行的复合过程，它只在半导体内复合中心的特殊位置发生。在物理上，复合中心是晶格缺陷和杂质原子。与器件材料中的受主和施主浓度相比，Ｒ－Ｇ中心的浓度通常是很低的。Ｒ－Ｇ中心最重要的性质是靠近带隙中心引入了允许电子能级。这个能级如图3.15(b)所示，用T E 表示。为了区别Ｒ－Ｇ中心来自施主还是受主，所以T E 能级靠近带隙中心的位置非常重要的。图3.16简要介绍了硅中一些Ｒ－Ｇ中心杂质在带隙中心附近的能级，可以用于区别Ｒ－Ｇ中心及施主和受主。 图3.15 复合与产生过程的能带示意图 如图3.15(b)所示，在Ｒ－Ｇ中心的复合是一个两步过程。首先，由一种类型的载流子（如电子）漂移进入Ｒ－Ｇ中心附近，被与Ｒ－Ｇ中心相关的势阱所捕获，失去能量，并在中心内与电子一同湮灭。换句话说，在图3.15(b)中，电子失去能量后，在价带中与空穴一起湮灭。Ｒ－Ｇ中心中心复合也称为间接复合，其特点是复合过程中释放热能（热量），或者相当于产生晶格振动。 俄歇复合 俄歇过程如图3.15(c)所示，两个同种类型的载流子发生碰撞，从而发生直接复合。复合释放的能量传递给经过碰撞保存下来的载流子。然后这个高能载流子与晶格碰撞产生热量，从而失去能量。图3.15(c)中的阶梯反映了这个能量的损失的理想过程。 图3.16 显示了硅中一些常用杂质在带隙中心附近的能级。当杂质是 多重能级时，在已知半导体样品中只有一个能级起主导作用 产生过程 任何一个前面所描述的复合过程都存在逆过程来产生载流子。如图3.15(d)所示，当电子被激发后，直接从价带进入导带，这就是直接产生过程。要指明的是，热能或光能所提供的能量必须满足能带间的跃迁。若热能被吸收，这个过程就称之为直接热产生；若外部输入的光被吸收，这个过程就称为光产生。如图3.15(e)所示，热能如同中间媒介，它可以帮助在Ｒ－Ｇ中心内产生载流子。与俄歇复合相反的碰撞电离如图3.15(f)所示。这个过程是由于高能载流子与晶格发生碰撞，能量释放的结果产生——对电子和空穴。通过碰撞电离产生的载流子，通常是发生在器件的高E电场区。相关的详细说明将在pn结的击穿中阐述。 3.3.2 动量分析 在平衡条件下，发生在半导体内各种不同的复合－产生过程是相等的，即平衡时的产生率等于复合率。关键的问题不是各种过程是否发生，而是各种不同过程发生的几率。一般而言，只需关注起主导作用的过程，即发生几率最高的过程。一些过程只有在特殊的条件下才显得比较重要；或者与其他过程相比发生几率很小，基本不大可能发生。关于这些情况，俄歇复合提供了很好的佐证。由于载流子与载流子的碰撞数随载流子浓度的增加，俄歇复合的频率同样随载流子浓度的增加而增加。例如，在处于器件结构的高掺杂区域，必须考虑俄歇复合，但是它通常是可以忽略的。同样地，重要的碰撞电离只发生在器件的高Ｅ电场区域。在室温下的光产生，只有当半导体受到外部照射时才变成重要的过程。为什么要特别地关注Ｒ－Ｇ过程对？因为Ｒ－Ｇ过程对在室温下非简并掺杂半导体的低Ｅ电场区域内起着主要的支配作用。从以上所提供的信息中，可以明显地区分出热趋势Ｒ－Ｇ和通过复合中心的Ｒ－Ｇ。 仅从能带的解释可以推测，在所引用的“标准”条件下，直接复合－产生成立。然而，仅使用能带图来解释Ｒ－Ｇ过程会产生误解。能量与位置的图（Ｅ-x图）只表示能量在实验中变化，除了能量以外，晶体的动量在任何的Ｒ－Ｇ过程中必须守恒。动量守恒的必要条件，对所有复合－产生过程的研究起到了重要作用。 正如2.2.3节中所述，能带中电子的动量，像电子的能量一样只能假定为确定的量子化数值。借肋在导带和价带中的允许电子能量与允许动量之间的关系曲线图，可以很容易地讨论与动量相关的Ｒ－Ｇ过程。在E-K图中，K与电子动量成比例的参数。与半导体相关的E-K图可分为两类。第一类如图3.17(a)所示，导带能量的最小值和价带能量的最大都处于Ｋ＝０处。第二类如图3.17(b)所示，导带能量的最小值移置K 0处。第一种情况的半导体称为直接半导体，而另一种情况称为间接半导体。砷镓是直接半导体中值得关注的半导体材料，锗和硅是间接产导体。 (a) 直接半导体 (b) 间接半导体 图3.17 直接半导体和间接半导体的Ｅ-K 示意图 应用Ｅ-K 图来说明Ｒ－Ｇ过程，必须了解与光子（光）有关的吸收或发射以及声子晶格振动量子的跃性质。光子没有质量，带有很少量动量，光助跃迁在Ｅ-K 图中基本上是垂直的。相反，与晶格振动（声子）有关的热能是非常小的（范围在10－50 meV ），然而声子动量却相当大。声助跃迁在Ｅ-K 图中基本上是水平的。如图3.18所示，电子和空穴通常只占有很接近c E 最小值和v E 最大的状态。当然，这与前面所讨论的能带中载流子的分布是一致的。 图3.18 在直接半导体和间接半导体内复合的Ｅ-K 示意图 在直接半导体内，电子和空穴的Ｋ值都集中在Ｋ＝０附近，复合过程的发生需要动量有很小的变化。通常在光子的发射中能量和动量是守恒的（参见3.18(a) ）。另一方面，在间接半导体中，与复合过程相关的动量有很大的变化。光子的发射在能量守恒的同时动量晃守恒的。因而，在间接半导体中直接复合的发生即光子的发射必须伴随有声子的吸收和发射（参见图3.18(b) ）. 在间接半导体内，与直接复合过程相关的性质，可以理解为与复合率的大量减少有关。事实上，在硅和其他间接半导体中，与Ｒ－Ｇ中心复合相比，直接复合是完全可以忽略的。在直接半导体中，直接复合以很快的速度发生，这个复合过程所产生的光可以从发光二极管（LED ）和结型激光器的发光中观测到。在间接半导体材料中，Ｒ－Ｇ中心复合机制是主要的复合过程。由于绝大多数的器件是使用间接半导体材料硅(Si)制造的，所以在下面的小节中，主要介绍Ｒ－Ｇ中心复合过程的一般特性以及主要的Ｒ－Ｇ中心复合机制的定量计算。同时也会适当考虑其他的相关过程。 3.3.3 Ｒ－Ｇ统计 Ｒ－Ｇ统计是对复合－产生过程的数学描述。对于复合－产生的“数学描述”不是推导电流与载流子密度的关系。Ｒ－Ｇ事件发生在晶体中的某一确定位置，因此Ｒ－Ｇ作用本身不导致电荷的传输，但改变载流子浓度，因而间接地影响了电流的流动。为了获得所需的数学描述，必须确定载流浓度随时间的变化率（t n ??/，t p ??/）。考虑到光产生的描述相对简便，而且在很多器件中包含光产生过程，因此我们首先讨论光产生。这一节主要计讨论和关注通过Ｒ－Ｇ中心的复合－产生，同时也简要地阐述了间接热复合－产生。 光产生 如图3.19所示，光照射在半导体表面，一部分会被反射，而另一部分会在半导体内传输。假设波长为λ、频率为ν的单色光。如果光子的能量（νh ）大于带隙能量，光将会被吸收，并且会在光经过的半导 体内产生电子－空穴对。单色光通过半导体材料强度的减弱可表示为 x e I I α-=0 (3.26) 式中0I 是半导体材料内+=0x 处的光强度，α是吸收系数。从图3.20可知，吸收系数α是与材料和波长λ有关。因为光子的吸收和电子－空穴对的产生有一一对应的关系，所以载流子产生率也应该表示为依赖于)exp(x α-。参考图3.15(d)，光产生过程使所产生的电子和空穴数相等。所以有 ) ,(λx G t p t n L l i g h t l i g h t =??= ?? (3.27) 由分析可得 x L L e G x G αλ-=0),( (3.28) L G 是光产生率的简化符号（1个s cm ?3 /） ，而0L G 是x=0的光产生率。light |表示“与光有关”的意思，还应该注意到n 和p 对光复合过程会产生许多影响。 图3.19 在光产生分析中半导体、光的光传播以及坐标方向选取的示意 图。假设半导体足够厚（Ｌ>>α/1），底面的反射可以忽略 下面介绍两类样品或器件照射有关的简单假设：（i ）光照在样品内的任何地方是相同的（无衰减）；(ii)光在靠近半导体表面极微小的薄层中被吸收。当假设的条件应用于实际问题时，首先要注意α/1，它有长度的量纲，表示在材料中光穿透的平均深度。在波长满足G E hv ≈时，吸收系数很小，而α/1却很大的。在硅中α/1大约等于1cm 。这样处理对所有的实际深度可得1)exp(?-x α。L G ?常数，并且光是均匀地吸收，这是一个很好的近似。在另一方面，若λ＝0.4m μ，由图 3.20可知α(Si) ?1510-cm 。在这个波长的情况下，光的穿透深度只有数千埃，这与表面吸收的假设非常接近。 图3.20 硅和其他常用半导体中吸收系数与波长的函数关系 间接热复合－产生 虽然一般情况下Ｒ－Ｇ中心统计的处理已经超出了本文的讨论范围，但特殊情况的一些公式有可能在许多实际问题中应用。因而，下面将着着重分析各种步同的载流子和Ｒ－Ｇ中心浓度。 0n ，0p ……当平衡条件成立时，材料内的载流子浓度。 n ，p ……任意条件下，材料内的载流子浓度。 0n n n -≡? ……载流子浓度与其平衡值的偏差。 0p p p -≡? n ?和p ?可有正值和负值，正偏差相当于载流子过剩，而负偏差相当于载流 欠缺。 T N ……单位体积内Ｒ－Ｇ中心的数。 在特殊情况发生时，来自载流子浓度平衡处的微扰必须最小注入。换言之，微扰必须相对地小。更加精确的有 考虑在室温下受到微扰的具体掺杂硅的例子，314/10cm N D =，39/10cm n p =?=?。已知材料的 3 14 0/10 cm N n D =≈，3 6 2 0/10/cm N n p D i ≈≈。因此，00n n n n ≈?+=， 3 9/10cm p =?3 14 0/10 cm n =<<这明显是小注入的情况。不过，可以观察到0p p >>?。虽然多数载流 子浓度在小注入下基本保持未受微扰时的情形，但少数载流子浓度常常是增加几个数量级。 小注入：是指由内外界因素引起的载流子浓度与平衡状态的偏移量，远远小于多子数，而远远大于少子数。 物质平常状态的特性由多子决定，变化状态的特性由少子决定。 现在来分析图3.21所给出的具体情况。在n 型半导体样品中，微扰引起空穴的过剩，即0n p < p N c t p T p R -=?? (3.29) 图3.21 微扰引起过剩空穴的小注入之后，n 型半导体的内部状态 对空穴的产生过程使用相同的分析过程可知，G t p |/??只依赖于空R －Ｇ中心的数量。这个数量在一般情况下很小，在空穴产生形成微扰时，可以近似认为是常数，此常数可取为其平均值。这意味着G t p |/??可以由m equilibriu G t p -??|/所代替。并且，在平衡条件下的复合率与产生率正好相等，或G t p |/??＝ m equilibriu G t p -??|/＝m equilibriu R t p -??-|/。使用(3.29)式，可得 0p N c t p T p G -=?? (3.30) 由于R －G 中心作用在空穴浓度里的变化率为 )(0p p N c t p t p t p T p G R G R t h e r m a l i --=??+ ??= ??-- (3.31) 或 p N c t p T p G R t h e r m a l i ?-=??-- n 型材料中的空穴 (3.32a) 同理，对于电子可得 n N c t n T n G R t h e r m a l i ?-=??-- P 型材料中的电子 (3.32b) n c 与p c 一样是正的比例常数。n c 与p c 分别称为电子和空穴的俘获系数。 利用(3.32)式还可以得到另外一些令人满意的结论。(3.32)式的左边显示的是单位空间中，量纲为浓度除以时间。而(3.32)式右边的p ?和n ?是相同的，都等于浓度，常数T p N c 和T n N c 的单位必须是时间分之一（1/时间）。因此，可引入一个适当的时间常数： T p p N c 1= τ， T n n N c 1= τ (3.33a,b) 将它们代入(3.32)式，可得 p G R t h e r m a l i p t p τ?- =??-- n 型材料中的空穴 (3.34a) n G R t h e r m a l i n t n τ?- =??-- P 型材料中的电子 (3.34b) （3.34）式是对特殊情况的R －Ｇ中心（间接热）复合－产生进行描述所得到的最终结果。虽然稳定 AHA12GAGGAGAGGAFFFFAFAF 第三章习题和答案 1. 计算能量在E=E c 到2 *n 2 C L 2m 100E E π+= 之间单位体积中的量子态数。 解： 2. 试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为式（3-6）。 3 22 233*28100E 21 23 3 *22100E 002 1 233*231000L 8100)(3 222)(22)(1Z V Z Z )(Z )(22)(23 22 C 22 C L E m h E E E m V dE E E m V dE E g V d dE E g d E E m V E g c n c C n l m h E C n l m E C n n c n c πππππ= +-=-== = =-=*+ + ? ?** ）（） （单位体积内的量子态数） （) (21)(,)"(2)()(,)(,)()(2~.2'21 3'' ''''2'21'21'21' 2 2222 22C a a l t t z y x a c c z l a z y t a y x t a x z t y x C C e E E m h k V m m m m k g k k k k k m h E k E k m m k k m m k k m m k ml k m k k h E k E K IC E G si -=??? ? ??+?=+++====+++=* ****系中的态密度在等能面仍为球形等能面 系中在则：令） （关系为 ）（半导体的、证明：[] 3 1 23 2 21232' 212 3 2 31 '2 '''')()2(4)()(111100)()(24)(4)()(~l t n c n c l t t z m m s m V E E h m E sg E g si V E E h m m m dE dz E g dk k k g Vk k g d k dE E E =-==∴-??? ?????+??==∴?=??=+** πππ）方向有四个， 锗在（旋转椭球， 个方向，有六个对称的导带底在对于即状态数。 空间所包含的空间的状态数等于在 第三章习题 平衡半导体的物理基础 1、当E-E F 分别为kT 、4kT 、7kT ，用费米分布和玻尔兹曼分布分别计算分布概率，并对结果进行讨论。 2、设半导体导带具有以下E －k 关系， ??? ? ??++=3222122 2m k m k m k E z y x (E >0) 试求出其有效质量m *和状态密度g(E)（单位晶体体积） 3、设二维能带具有以下抛物线性E －k 关系， m k E 22 2 = (E>0) 求单位面积晶体的态密度g(E)。 4、Si 和GaAs 态密度有效质量分别为m n =1.065m 0, m p =0.647m 0；m n =0.067m 0, m p =0.47m 0, 求在300K 下两者的N C 和N V 。若Si 和GaAs 的E G 分别为1.17eV 和1.52eV ，求两者的本证载流子浓度。 5、已知Si 中只含施主杂质N D =1015cm -3，现在40K 测得电子浓度为1012cm -3，试估算该施主杂质的电离能。 6 7、对补偿的N 型半导体，推导公式： )e x p ()(kT g N n N N n N n D D C A D A ε-=--+ 8、试由金的能级位置及有关数据计算掺有11015cm -3施主和21015cm -3 的金的n 型硅的电阻率（设g=1）。 9、每立方厘米的硅样品中掺有1014个硼原子，硼原子在Si 中的掺杂能级为E A ， 电离能为0.045eV ，求： （a ）在温度T ＝300K 时，硅样品中的载流子（电子与空穴）浓度是多少？ （b ）在温度T= 470K 时，硅样品中的载流子（电子与空穴）浓度是多少？ 10、 在上题所给出的条件下，计算F i E E -，并在能带图中仔细画出Ei 和E F 的位置。（在300K 时，E G (Si)＝1.17eV ，/0.608p n m m * *=，在470K 时，E G (Si) ＝1.08eV ，/0.17p n m m **=。 ） 11、 *利用类氢原子模型，估算Si 半导体中杂质B 和P 的电离能。（选做） 第三章答案 3-2略。 3-2试述位错的基本类型及其特点。 解：位错主要有两种：刃型位错和螺型位错。刃型位错特点：滑移方向与位错线垂直，符号⊥，有多余半片原子面。螺型位错特点：滑移方向与位错线平行，与位错线垂直的面不是平面，呈螺施状，称螺型位错。 3-3非化学计量化合物有何特点？为什么非化学计量化合物都是n型或p型半导体材料？ 解：非化学计量化合物的特点：非化学计量化合物产生及缺陷浓度与气氛性质、压力有关；可以看作是高价化合物与低价化合物的固溶体；缺陷浓度与温度有关，这点可以从平衡常数看出；非化学计量化合物都是半导体。由于负离子缺位和间隙正离子使金属离子过剩产生金属离子过剩（n型）半导体，正离子缺位和间隙负离子使负离子过剩产生负离子过剩（p型）半导体。 3-4影响置换型固溶体和间隙型固溶体形成的因素有哪些？ 解：影响形成置换型固溶体影响因素：（1）离子尺寸：15%规律：1.（R1-R2）/R1>15%不连续。2.<15%连续。3.>40%不能形成固熔体。（2）离子价：电价相同，形成连续固熔体。（3）晶体结构因素：基质，杂质结构相同，形成连续固熔体。（4）场强因素。（5）电负性：差值小，形成固熔体。差值大形成化合物。 影响形成间隙型固溶体影响因素：（1）杂质质点大小：即添加的原子愈小，易形成固溶体，反之亦然。（2）晶体（基质）结构：离子尺寸是与晶体结构的关系密切相关的，在一定程度上来说，结构中间隙的大小起了决定性的作用。一般晶体中空隙愈大，结构愈疏松，易形成固溶体。（3）电价因素：外来杂质原子进人间隙时，必然引起晶体结构中电价的不平衡，这时可以通过生成空位，产生部分取代或离子的价态变化来保持电价平衡。 3-5试分析形成固溶体后对晶体性质的影响。 解：影响有：（1）稳定晶格，阻止某些晶型转变的发生；（2）活化晶格，形成固溶体后，晶格结构有一定畸变，处于高能量的活化状态，有利于进行化学反应；（3）固溶强化，溶质原子的溶入，使固溶体的强度、硬度升高；（4）形成固溶体后对材料物理性质的影响：固溶体的电学、热学、磁学等物理性质也随成分而连续变化，但一般都不是线性关系。固溶体的强度与硬度往往高于各组元，而塑性则较低 3-6说明下列符号的含义：V Na，V Na'，V Cl˙，（V Na'V Cl˙），Ca K˙，Ca Ca，Ca i˙˙ 第三章习题解答 3，7，10，11，25 3/113、非化学计量化合物有何特点？为什么非化学计量化合物都是n型或p型半导体材料？ 解答：非化学计量化合物的特点：非化学计量化合物产生及缺陷浓度与气氛性质、压力有关；可以看作是高价化合物与低价化合物的固溶体；缺陷浓度与温度有关，这点可以从平衡常数看出；非化学计量化合物都是半导体。由于负离子缺位和间隙正离子使金属离子过剩，产生金属离子过剩（n 型）半导体，正离子缺位和间隙负离子使负离子过剩，产生负离子过剩（p 型）半导体。 、说明下列符号的含义： 6/113 解答：钠原子空位， 钠离子空位、带一个单位负电荷， 氯离子空位、带一个单位正电荷， 最邻近的Na+空位、Cl-空位形成的缔合中心， Ca2+占据K位置、带一个单位正电荷， Ca原子位于Ca原子位置上， Ca2+处于晶格间隙位置。 1 2 7/113、写出下列缺陷反应式：（l ）NaCl 溶入CaCl 2中形成空位型固溶体； （2）CaCl 2溶入NaCl 中形成空位型固溶体；（3）NaCl 形成肖特基缺陷； （4）AgI 形成弗伦克尔缺陷（Ag +进入间隙）。 解答： （l ）NaCl 溶入CaCl 2中形成空位型固溶体 ?++??→?Cl Cl Ca CaCl V Cl Na' NaCl 2 （2）CaCl 2 溶入NaCl 中形成空位型固溶体 'N a Cl N a N aCl 2V Cl 2Ca CaCl ++??→?? （3）NaCl 形成肖特基缺陷 ?+→Cl N a 'V V O （4）Agl 形成弗伦克尔缺陷（Ag +进入间隙） A g 'i A g V Ag Ag +→? 10/113、MgO 晶体的肖特基缺陷生成能为84kJ/mol ，计算该晶体1000K 和1500K 的缺陷浓度。（答：6.4×10-3，3.5×10-2）。 解答： n/N = exp(-E/2RT)，R=8.314， T=1000K ：n/N=6.4×10-3； T=1500K ：n/N=3.5×10-2。 任课老师：吴海霞 作业章次：第三章 完成日期：2010年4月9日姓名：高磊 学号： 20070682 班级： 01530701 老师点评： 6.计算硅在-78℃、27℃、300℃时本征半导体费米能级、假定它在禁带中线处合理吗？ ()() 假设它在中线处合理 约为的时，时，时，，其中即本征半导体不带电解：∴?-+==?-+==?-+==∴==++=++=∴====∴----- --eV E Si eV E E E K T eV E E E K T eV E E E K T m m m m m m T k E E N N T k E E E h T k m N h T k m N e N e N p n g v c F v c F v c F p n n p v c c v v c F p v n c T k E E v T k E E c v F F c 1) (102.22 573) (1016.12300)(105.7219559.0,08.1ln 432ln 2222 ,22 2230 *0* * * 003 2 /30*3 2 /30* 00 ππ 10.以施主杂质电离90%作为强电离的标准，求掺砷的n 型锗在300K 时以杂质电离为主的饱和区掺杂的浓度范围 ??? ?????=??? ? ???-≤∴≤??? ? ??????? ??=?=??=≥--026.0exp 21005.1%10exp 2%10%10exp 2104.2104.21010190031413T k E N N T k E N N D cm n N D c D D c D i D 解：强电离时 11.若锗中施主杂质电离能D E ?=0.01eV ，施主杂质浓度分别为D N =31410-cm 及31710-cm 。计算1、99%电离；2、90%电离；3、50%电离时温度各为多少？ 习题：第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章第九章第十章第十一章答案：第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章第九章第十章第十一章 3-2 略。 3-2试述位错的基本类型及其特点。 解：位错主要有两种：刃型位错和螺型位错。刃型位错特点：滑移方向与位错线垂直，符号⊥，有多余半片原子面。螺型位错特点：滑移方向与位错线平行，与位错线垂直的面不是平面，呈螺施状，称螺型位错。 3-3非化学计量化合物有何特点？为什么非化学计量化合物都是n型或p型半导体材料？ 解：非化学计量化合物的特点：非化学计量化合物产生及缺陷浓度与气氛性质、压力有关；可以看作是高价化合物与低价化合物的固溶体；缺陷浓度与温度有关，这点可以从平衡常数看出；非化学计量化合物都是半导体。由于负离子缺位和间隙正离子使金属离子过剩产生金属离子过剩（n型）半导体，正离子缺位和间隙负离子使负离子过剩产生负离子过剩（p型）半导体。 3-4影响置换型固溶体和间隙型固溶体形成的因素有哪些？ 解：影响形成置换型固溶体影响因素：（1）离子尺寸：15%规律：1.（R1-R2）/R1>15%不连续。 2.<15%连续。 3.>40%不能形成固熔体。（2）离子价：电价相同，形成连续固熔体。（ 3）晶体结构因素：基质，杂质结构相同，形成连续固熔体。（4）场强因素。（5）电负性：差值小，形成固熔体。差值大形成化合物。 影响形成间隙型固溶体影响因素：（1）杂质质点大小：即添加的原子愈小，易形成固溶体，反之亦然。（2）晶体（基质）结构：离子尺寸是与晶体结构的关系密切相关的，在一定程度上来说，结构中间隙的大小起了决定性的作用。一般晶体中空隙愈大，结构愈疏松，易形成固溶体。（3）电价因素：外来杂质原子进人间隙时，必然引起晶体结构中电价的不平衡，这时可以通过生成空位，产生部分取代或离子的价态变化来保持电价平衡。 3-5试分析形成固溶体后对晶体性质的影响。 解：影响有：（1）稳定晶格，阻止某些晶型转变的发生；（2）活化晶格，形成固溶体后，晶格结构有一定畸变，处于高能量的活化状态，有利于进行化学反应；（3）固溶强化，溶质原子的溶入，使固溶体的强度、硬度升高；（4）形成固溶体后对材料物理性质的影响：固溶体的电学、热学、磁学等物理性质也随成分而连续变化，但一般都不是线性关系。固溶体的强度与硬度往往高于各组元，而塑性则较低， 3-6说明下列符号的含义：V Na，V Na'，V Cl˙，（V Na'V Cl˙），Ca K˙，Ca Ca，Ca i˙˙解：钠原子空位；钠离子空位，带一个单位负电荷；氯离子空位，带一个单位正电荷；最邻近的Na+空位、Cl-空位形成的缔合中心；Ca2+占据K.位置，带一个单位正电荷；Ca原子位于Ca原子位置上；Ca2+处于晶格间隙位置。 3-7写出下列缺陷反应式：（l）NaCl溶入CaCl2中形成空位型固溶体；（2）CaCl2溶入NaCl中形成空位型固溶体；（3）NaCl形成肖特基缺陷；（4）Agl形成弗伦克尔缺陷（Ag+进入间隙）。 半导体物理学(第7版)第三章习题和答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第三章习题和答案 1. 计算能量在E=E c 到2 *n 2 C L 2m 100E E π+= 之间单位体积中的量子态数。 解： 2. 试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为式（3-6）。 3 22 233*28100E 21 23 3 *22100E 002 1 233*231000L 8100)(3 222)(22)(1Z V Z Z )(Z )(22)(23 22 C 22 C L E m h E E E m V dE E E m V dE E g V d dE E g d E E m V E g c n c C n l m h E C n l m E C n n c n c πππππ= +-=-== ==-=*+ + ? ?** ）（） （单位体积内的量子态数） （) (21)(,)"(2)()(,)(,)()(2~.2'2 1 3'' ''''2'21'21'21' 2 2222 22C a a l t t z y x a c c z l a z y t a y x t a x z t y x C C e E E m h k V m m m m k g k k k k k m h E k E k m m k k m m k k m m k ml k m k k h E k E K IC E G si -=??? ? ??+?=+++====+++=* ****系中的态密度在等能面仍为球形等能面 系中在则：令） （关系为 ）（半导体的、证明：[] 3 1 23 2212 32' 2123 2 31'2 '''')()2(4)()(111100)()(24)(4)()(~l t n c n c l t t z m m s m V E E h m E sg E g si V E E h m m m dE dz E g dk k k g Vk k g d k dE E E =-==∴-??? ?????+??==∴?=??=+** πππ）方向有四个， 锗在（旋转椭球，个方向，有六个对称的导带底在对于即状态数。 空间所包含的空间的状态数等于在 化合物半导体项目实施方案 规划设计/投资分析/产业运营 化合物半导体项目实施方案 化合物半导体多指晶态无机化合物半导体，即是指由两种或两种以上元素以确定的原子配比形成的化合物，并具有确定的禁带宽度和能带结构等半导体性质。化合物半导体包括晶态无机化合物(如III-V族、II-VI族化合物半导体)及其固溶体、非晶态无机化合物(如玻璃半导体)、有机化合物(如有机半导体)和氧化物半导体等。通常所说的化合物半导体多指晶态无机化合物半导体。 该化合物半导体项目计划总投资10693.17万元，其中：固定资产投资8104.59万元，占项目总投资的75.79%；流动资金2588.58万元，占项目总投资的24.21%。 达产年营业收入25737.00万元，总成本费用19973.71万元，税金及附加227.03万元，利润总额5763.29万元，利税总额6785.26万元，税后净利润4322.47万元，达产年纳税总额2462.79万元；达产年投资利润率53.90%，投资利税率63.45%，投资回报率40.42%，全部投资回收期3.97年，提供就业职位398个。 坚持“社会效益、环境效益、经济效益共同发展”的原则。注重发挥投资项目的经济效益、区域规模效益和环境保护效益协同发展，利用项目承办单位在项目产品方面的生产技术优势，使投资项目产品达到国际领先 水平，实现产业结构优化，达到“高起点、高质量、节能降耗、增强竞争力”的目标，提高企业经济效益、社会效益和环境保护效益。 ...... 化合物半导体项目实施方案目录 第一章申报单位及项目概况 一、项目申报单位概况 二、项目概况 第二章发展规划、产业政策和行业准入分析 一、发展规划分析 二、产业政策分析 三、行业准入分析 第三章资源开发及综合利用分析 一、资源开发方案。 二、资源利用方案 三、资源节约措施 第四章节能方案分析 一、用能标准和节能规范。 二、能耗状况和能耗指标分析 三、节能措施和节能效果分析 第五章建设用地、征地拆迁及移民安置分析 一、项目选址及用地方案 第三章 半导体中的电子状态 半导体的许多物理性质与其内部电子的运动状态密切相关。本章扼要介绍一些有关的基本概念。 §3-1 电子的运动状态和能带 为了便于理解半导体中的电子运动状态和能带的概念，先复习一下孤立原子中的电子态和自由空间中的电子态概念。 一．原子中的电子状态和能级。原子是由带正电荷的原子核和带负电荷的电子组成的，原子核的质量远大于电子的质量。因此，可认为电子是在原子核的库仑引力作用下绕着原子核运动。电子绕原子核运动遵从量子力学规律，处于一系列特定的运动状态，这些特定状态称量子态或电子态。在每个量子态中，电子的能量（能级）是确定的。处于确定状态的电子在空间有一定的几率分布。在讨论电子运动时，也常采用经典力学的“轨道”概念，不过其实际含义是指电子在空间运动的一个量子态和几率分布。对于原子中的电子，能级由低到高可分为E 1﹑E 2﹑E 3 ﹑E 4..等，分别对应于1s ﹑2s ﹑2p ﹑3s …等一系列量子态。如图3-1所示，内层轨道上的电子离原子核近，受到的束缚作用强，能级低。越往外层，电子受到的束缚越弱，能级越高。总之，在单个原子中，电子运动的特点是其运动状态为一些局限在原子核周围的局域化量子态，其能级取一系列分立值。 二．自由空间中的电子态和能级。在势场不随位置变化的自由空间中，电子的运动状态满足下面的定态薛定格方程 )()(222 r E r m ψψ=?- （3-1） 该方程的解为平面波： r k i k e V r ?=1)(ψ )(22)(2222 22z y x k k k m m k k E ++== （3-2） 其中，)(r k ψ称波函数，)(k E 称能量谱值或本征值，V 为空间体积，k 为平面波 Solutions To The Problems Of Semiconductor（Part I） Solutions To The Problems Of Chapter 1st&3rd （CEIE of HBU 席砺莼） 1－1．（P32）设晶格常数为a的一维晶格，导带极小值附近能量Ec（k）和价带极大值附近能量Ev（k）分别为： h2k2h2(k?k1)2h2k23h2k2+和Ev(k)= －； Ec(k)=3m0m06m0m0 m0为电子惯性质量，k1＝1/2a；a＝0.314nm。试求： ①禁带宽度； ②导带底电子有效质量； ③价带顶电子有效质量； ④价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化。 [解] ①禁带宽度Eg 22(k?k1)22kdEc(k)根据＝＋＝0；可求出对应导带能量极小值Emin的km03m0dk 值： kmin＝k1， 由题中EC式可得：Emin＝EC(K)|k=kmin=2k1； 4m034 由题中EV式可看出，对应价带能量极大值Emax的k值为：kmax＝0； 2k122k12h2；∴Eg＝Emin－Emax＝＝并且Emin＝EV(k)|k=kmax＝ 12m06m048m0a2 (6.62×10?27)2＝0.64eV ＝?28?82?1148×9.1×10×(3.14×10)×1.6×10 ②导带底电子有效质量mn 2d2EC222h28232dEC=+=；∴ m=m0 n＝/223m0m03m08dkdk ③价带顶电子有效质量m’ 2d2EV162 '2dEV=?，∴==?m/m0 n6m0dk2dk2 ④准动量的改变量 1－2．（P33）晶格常数为0.25nm的一维晶格，当外加102V/m，107V/m的电场时，试分别计算电子自能带底运动到能带顶所需的时间。 133h△k＝(kmin-kmax)= k1= [毕] 48a Solutions To The Problems Of Semiconductor（Part I） [解] 设电场强度为E， ∵F=h ∴t=∫0dt=∫t12a0hdk=qE（取绝对值）∴dt=dtqEdk ；E＝107V/m时，t＝8.3×1013当E＝102 V/m时，t＝8.3×108（s） （s）。 [毕] 19－33－7．（P81）①在室温下，锗的有效状态密度Nc＝1.05×10cm，Nv 第三章习题和答案 1. 计算能量在E=E c 到2 *n 2 C L 2m 100E E π+= 之间单位体积中的量子态数。 解： 2. 试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为式（3-6）。 3 22 233*28100E 21 23 3 *22100E 002 1 233*231000L 8100)(3 222)(22)(1Z V Z Z )(Z )(22)(23 22 C 22 C L E m h E E E m V dE E E m V dE E g V d dE E g d E E m V E g c n c C n l m h E C n l m E C n n c n c πππππ= +-=-== ==-=*+ + ? ?** ）（） （单位体积内的量子态数） （) (21)(,)"(2)()(,)(,)()(2~.2'2 1 3'' ''''2'21'21'21' 2 2222 22C a a l t t z y x a c c z l a z y t a y x t a x z t y x C C e E E m h k V m m m m k g k k k k k m h E k E k m m k k m m k k m m k ml k m k k h E k E K IC E G si -=??? ? ??+?=+++====+++=* ****系中的态密度在等能面仍为球形等能面 系中在则：令） （关系为 ）（半导体的、证明：[] 3 1 2 3 2212 32' 212 3 2 31'2 '''')()2(4)()(111100)()(24)(4)()(~l t n c n c l t t z m m s m V E E h m E sg E g si V E E h m m m dE dz E g dk k k g Vk k g d k dE E E =-==∴-??? ?????+??==∴?=??=+** πππ）方向有四个， 锗在（旋转椭球， 个方向，有六个对称的导带底在对于即状态数。 空间所包含的空间的状态数等于在 化合物半导体项目立项报告 投资分析/实施方案 报告说明— 该化合物半导体项目计划总投资16675.32万元，其中：固定资产投资12642.31万元，占项目总投资的75.81%；流动资金4033.01万元，占项目总投资的24.19%。 达产年营业收入37009.00万元，总成本费用28082.38万元，税金及附加320.24万元，利润总额8926.62万元，利税总额10478.12万元，税后净利润6694.97万元，达产年纳税总额3783.16万元；达产年投资利润率53.53%，投资利税率62.84%，投资回报率40.15%，全部投资回收期 3.99年，提供就业职位829个。 化合物半导体多指晶态无机化合物半导体，即是指由两种或两种以上元素以确定的原子配比形成的化合物，并具有确定的禁带宽度和能带结构等半导体性质。化合物半导体包括晶态无机化合物(如III-V族、II-VI族化合物半导体)及其固溶体、非晶态无机化合物(如玻璃半导体)、有机化合物(如有机半导体)和氧化物半导体等。通常所说的化合物半导体多指晶态无机化合物半导体。 目录 第一章基本情况 第二章项目投资单位 第三章项目建设背景及必要性分析第四章建设内容 第五章选址分析 第六章工程设计 第七章项目工艺技术 第八章环境保护、清洁生产 第九章项目职业安全 第十章项目风险评价 第十一章节能可行性分析 第十二章项目实施安排方案 第十三章项目投资方案分析 第十四章项目经济评价 第十五章项目评价结论 第十六章项目招投标方案 第一章基本情况 一、项目提出的理由 化合物半导体多指晶态无机化合物半导体，即是指由两种或两种以上 元素以确定的原子配比形成的化合物，并具有确定的禁带宽度和能带结构 等半导体性质。化合物半导体包括晶态无机化合物(如III-V族、II-VI族 化合物半导体)及其固溶体、非晶态无机化合物(如玻璃半导体)、有机化合 物(如有机半导体)和氧化物半导体等。通常所说的化合物半导体多指晶态 无机化合物半导体。 二、项目概况 （一）项目名称 化合物半导体项目 （二）项目选址 xxx循环经济产业园 对周围环境不应产生污染或对周围环境污染不超过国家有关法律和现 行标准的允许范围，不会引起当地居民的不满，不会造成不良的社会影响。项目选址应符合城乡建设总体规划和项目占地使用规划的要求，同时具备 便捷的陆路交通和方便的施工场址，并且与大气污染防治、水资源和自然 生态资源保护相一致。对各种设施用地进行统筹安排，提高土地综合利用 第三篇 题解 半导体中载流子的统计分布 刘诺 编 3-1、对于某n 型半导体，试证明其费米能级在其本征半导体的费米能级之上。即E Fn >E Fi 。 证明：设n n 为n 型半导体的电子浓度，n i 为本征半导体的电子浓度。显然 n n > n i i n i n F F F c c F c c E E T k E E N T k E E N >??? ? ??--?>???? ??--?则即00exp exp 即 得 证。 3-2、试分别定性定量说明： （1） 在一定的温度下，对本征材料而言，材料的禁带宽度越窄，载流子浓度 越高； （2） 对一定的材料，当掺杂浓度一定时，温度越高，载流子浓度越高。 解： (1) 在一定的温度下，对本征材料而言，材料的禁带宽度越窄，则跃迁所需的能 量越小，所以受激发的载流子浓度随着禁带宽度的变窄而增加。 由公式 T k E v c i g e N N n 02- = 也可知道，温度不变而减少本征材料的禁带宽度，上式中的指数项将因此而增加，从而使得载流子浓度因此而增加。 （2）对一定的材料，当掺杂浓度一定时，温度越高，受激发的载流子将因此而 增加。由公式 可知，这 3-3、若两块Si 样品中的电子浓度分别为2.25×1010cm -3和6.8×1016cm -3，试分 ??? ? ??--=???? ? ?--?=T k E E N p T k E E N n V F V F c c 0000exp exp 和 别求出其中的空穴的浓度和费米能级的相对位置，并判断样品的导电类型。假如再在其中都掺入浓度为2.25×1016cm -3的受主杂质，这两块样品的导电类型又将怎样？ 解：由 2 00i n p n = 得 () () () () ????????≈??==?=??= =--3 3162 10022023 101021001201103.3108.6105.1100.11025.2105.1cm n n p cm n n p i i 可见， 型半导体本征半导体n p n p n →>→≈02020101 又因为 T k E E v v F e N p 00 -- =，则 ?????? ?+=???? ?????+=???? ???+=+≈???? ?????+=??? ? ???+=eV E E p N T k E E eV E E p N T k E E v v n v F v v v v F 331.0103.3101.1ln 026.0ln 234.0100.1101.1ln 026.0ln 3190202 10190101 假如再在其中都掺入浓度为2.25×1016cm -3 的受主杂质，那么将出现杂质补偿，第一种半导体补偿后将变为p 型半导体，第二种半导体补偿后将近似为本征半导体。 答：第一种半导体中的空穴的浓度为1.1x1010cm -3,费米能级在价带上方0.234eV 处；第一种半导体中的空穴的浓度为3.3x103cm -3,费米能级在价带上方0.331eV 处。掺入浓度为2.25×1016cm -3的受主杂质后，第一种半导体补偿后将变为p 型半导体，第二种半导体补偿后将近似为本征半导体。 3-4、含受主浓度为8.0×106cm -3和施主浓度为7.25×1017cm -3的Si 材料，试求温度分别为300K 和400K 时此材料的载流子浓度和费米能级的相对位置。 解：由于杂质基本全电离，杂质补偿之后，有效施主浓度 317* 1025.7-?≈-=cm N N N A D D 则300K 时， 电子浓度 ()3 1701025.7300-?=≈cm N K n D 空穴浓度 ()() () 3 2172 10001011.31025.7105.1300-?≈??==cm n n K p i 费米能级半导体物理学(第7版)第三章习题和答案
第三章平衡态半导体的物理基础半导体物理学
武汉理工 材料科学基础 课后答案 _第三章
第三章 习题解答
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第三章 半导体中的电子状态
半导体物理第1章和第3章作业答案(精)
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