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等腰三角形三线合一专题练习[1]

等腰三角形三线合一专题练习[1]
等腰三角形三线合一专题练习[1]

等腰三角形三线合一

例1:如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。

求证:BC=AB+DC 。

变1:如图,AB ∥CD ,∠A =90°,AB =2,BC =3,CD =1,E 是AD 边中点。求证:CE ⊥BE 。

变2:如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC ,E 是CD 上一点,且AE 、BE 分别平分∠BAD 、∠ABC .

(1)求证:AE ⊥BE ; (2)求证:E 是CD 的中点; (3)求证:AD +BC =AB .

变3:△ABC 是等腰直角三角形 ,∠BAC=90°

,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点,过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ,求证:(1)DM =DN 。

⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。

M N

D C

B A M

N

D

C

B

A

(1) 已知:如图,AB=AC ,E 为AB 上一点,F 是AC 延长线上一点,且BE=CF ,EF 交BC 于点D . 求证:DE=DF .

B

(2)已知:如图,AB=AC ,E 为AB 上一点,F 是AC 延长线上一点,且,EF 交BC 于点D ,且D 为EF 的中点. 求证:BE=CF .

B

利用面积法证明线段之间的和差关系

1、如图,在△ABC 中,AB=AC ,P 为底边BC 上的一点,PD ⊥AB 于D ,PE ⊥AC 于E ,?CF ⊥AB

于F ,那么PD+PE 与CF 相等吗?

根据等腰三角形的性质寻求规律 例1.在△ABC 中,AB=AC ,∠1=12∠ABC ,∠2=12

∠ACB ,BD 与CE 相交于点O ,如图,∠BOC 的大小与∠A 的大小有什么关系? 若∠1=

13∠ABC ,∠2=1

3∠ACB ,则∠BOC 与∠A 大小关系如何? 若∠1=1n ∠ABC ,∠2=1

n

∠ACB

,则∠BOC 与∠A 大小关系如何?

会用等腰三角形的判定和性质计算与证明

例2.如图,等腰三角形ABC 中,AB=AC ,一腰上的中线BD?将这个等腰三角形周长分成15和6两部分,求这个三角形的腰长及底边长.

利用等腰三角形的性质证线段相等

例3.如图,P 是等边三角形ABC 内的一点,连结PA 、PB 、PC ,?以BP 为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP ,连结CQ .

(1)观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系,并证明你的结论.

(2)若PA :PB :PC=3:4:5,连结PQ ,试判断△PQC 的形状,并说明理由.

例1、等腰三角形底边长为5cm ,腰上的中线把三角形周长分为差是3cm 的两部分,则腰长为( ) A 、2cm B 、8cm C 、2cm 或8cm D 、不能确定

例2、已知AD 为△ABC 的高,AB=AC ,△ABC 周长为20cm ,△ADC 的周长为14cm ,求AD 的长。

例3、如图,已知BC=3,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ,OE ∥AB ,OF ∥AC ,求△OEF 的周长。

A B C A

B

F C

O

E

例4、如图,已知等边△ABC 中,D 为AC 上中点,延长BC 到E ,使CE=CD ,连接DE ,试说明DB=DE 。

例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为450

,则这个三角形是( ) A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、等边三角形 D 、等腰直角三角形

例6、(1)等腰三角形的腰长为10,底边上的高为6,则底边的长为 。 (2)直角三角形的周长为12cm ,斜边的长为5cm ,则其面积为 ; (3)若直角三角形三边为1,2,c ,则c= 。

例7、下列说法:①若在△ABC 中a 2

+b 2

≠c 2

,则△ABC 不是直角三角形;

②若△ABC 是直角三角形,∠C=900

,则a 2

+b 2

=c 2

; ③若在△ABC 中,a 2

+b 2

=c 2

,则∠C=900;

④若两直角边的平方和等于斜边的平方,可以判定这个三角形是直角三角形。 正确的有 (把你认为正确的序号填在横线上)。

例8、正三角形ABC 所在平面内有一点P ,使得△PAB 、△PBC 、△PCA 都是等腰三角形,则这样的P 点

有( )

(A )1个(B )4个(C )7个(D )10个

例9. 四边形ABCD 中,AB =BC ,∠ABC =∠CDA =90°,BE ⊥AD 于点E ,且四边形ABCD 的面积为8,则BE =( ) A .2

B .3

C

D

例10. 已知△ABC 为正三角形,P 为其内一点,且AP=4,BP=32,CP=2,则△ABC 的边长为 ( )

A B C D

E

(A ) 52 (B )72 (C )4 (D )24 三.巩固练习

1、已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于9,求它的周长。

2、在△ABC 中,AB=AC ,∠B=400

,则∠A= 。 3、等腰三角形的一个内角是700,则它的顶角为 。

4、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为 .140°呢

5、如图,在Rt △ABC 中,∠C =105o

,直线BD 交AC 于D ,

把直角三角形沿着直线BD 翻折,点C 恰好落在斜边AB 上, 如果△ABD 是等腰三角形,那么∠A 等于 ( ) (A)40

o

(B) 30

o

(C) 25

o

(D )15

o

6、若△ABC 三边分别为a 、b 、c ,且满足a 2

+b 2

+c 2

+50=6a+8b+10c ,则△ABC 的形状为( ) (A )等腰三角形 (B )直角三角形 (C )等腰直角三角形 (D )等边三角形 7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是…………………… ( )。

A 、有一腰和一角对应相等

B 、有两边对应相等

C 、有顶角和一个底角对应相等

D 、有两角对应相等

8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于( )

A 、顶角

B 、底角

C 、顶角的一半

D 、底角的一半

9、在等腰三角形ABC 中,∠A 与∠B 度数之比为5∶2,则∠A 的度数是( )

A 、100°

B 、75°

C 、150°

D 、75°或100°

10、如图,P 、Q 是△ABC 边BC 上的两点,且QC =AP =AQ =BP =PQ ,则∠BAC =…( )

A 、1250

B 、1300

C 、900

D 、120

11、如图,△ABC 中,AB =AC ,BD 、CE 为中线,图中共有等腰三角形( )个。

A 、4个

B 、6个

C 、3个

D 、5个

12、如图,AB =AC ,AE =EC ,∠ACE =280

,则∠B 的度数是…………( )

A 、60

B 、70

C 、76

D 、450

13、如图是一个等边三角形木框,甲虫P 在边框AC 上(端点A 、C 除外),设

甲虫P 到

另外两边距离之和为d ,等边三角形ABC 的高为h , 则d 与h 的大小关系是( )

10题图

11题图

12题图

D

C

B A

【解题方法指导】

例1. 已知,如图,AB=AC=CD,求证:∠B=2∠D

A

B C D

例2. 已知,如图,△ABC是等边三角形,AD//BC,AD⊥BD,BC=6,求AD的长。

D A

B C

【考点指要】

等腰三角形、等边三角形及含30°角的直角三角形是应用非常广泛的图形【典型例题分析】

例1. 如图,等腰三角形ABC的顶角为120°,腰长为10,则底边上的高AD=________。

A

B C

D

例2. 已知,如图,△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交AB于E,交AC于D,AD=8,∠A=30°,求CD的长。

C

D

A B

E

例3. 已知,如图,△ABC是等边三角形,E是AB上一点,D是AC上一点,且AE=CD,又BD

与CE交于点F,试求∠BFE的度数。

A

E D

F

【综合测试】

1. 已知,如图,AB=AC,∠ABD=∠ACD,求证:DB=DC

A

B C

D

2. 已知,如图,D、E是BC上两点,AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE

A

B D E C

3. 已知,如图,△ABC中,DE//BC,AB=AC,求证:AD=AE

A

D E

B C

4. 已知,如图,△ABC中,AB=AC,D是AB上一点,E是AC延长线上一点,DE交BC于F,又BD=CE,求证:DF=EF

A

D

B C

F

E

5. 已知,如图,D 是BC 上一点,△ABC 、△BDE 都是等边三角形,求证:AD =CE

A

B D C

E

6. 已知,如图,△ABC 中,∠B =90°,AC 的垂直平分线交AC 于D ,交BC 于E ,又∠C =15°,

EC =10,求AB 的长。

A

D

B C

E

例6、如图11,在△ABC 中,∠A =90°,AB =AC ,D 为BC 边中点,E 、F 分别在AB 、AC 上,且DE ⊥DF ,求证:AE +AF 是一个定值. 证明:连接AD ,

∵AB =AC ,D 为BC 中点,∴AD ⊥BC , ∵∠BAC =90°,AB =AC , ∴∠B =∠C =45°, ∴∠BAD =45°,∠CAD =45°,∴AD =BD =CD , ∵∠EDF =90°,∴∠EDA +∠ADF =90°,

又由AD ⊥BC 得∠BDE +∠ADE =90°,∴∠BDE =∠ADF ,

在△BDE 和△ADF 中,∠B =∠DAF ,BD =AD ,∠BDE =∠ADF ,∴△BDE ≌△ADF , ∴BE =AF ,∴AE +AF =AE +BE =AB (定值). 思考:四边形AEDF 的面积是否也是定值呢?为什么?

例4、如图9,已知AD 为△ABC 的高,E 为AC 上一点,BE 交AD 于F ,且有BF =AC ,FD =CD ,你认为BE 与AC 之间有怎样的位置关系?你能证明它吗? 证明:线段BE ⊥AC ,理由如下: ∵AD ⊥BC ,∴∠ADB =∠ADC =90°, ∴∠FBD +∠BFD =90°,

在Rt △BDF 和Rt △ADC 中,BF =AC ,FD =CD ,

9

图11

∴Rt △BDF ≌Rt △ADC ,

∴∠BFD =∠C ,∴∠FBD +∠C =90°,

∴∠BEC =180°-(∠FBD +∠C )=180°-90°=90°,即BE ⊥AC .

例5、如图10,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,M 是AB 上一点,求证:2222AM BM CM +=. 证明:过C 作CD ⊥AB 于点D , ∵∠ACB =90°,AC =BC ,CD ⊥AB , ∴∠A =∠B =45°,∠ACD =∠BCD =45°, ∴∠A =∠ACD ,∠B =∠BCD ,

∴AD =BD ,BD =CD ,即AD =BD =CD ,

∵CD ⊥AB ,∴222DM CD CM +=,

∴2

2

2

2

2

2

2

()()2()2AM BM AD DM BD DM DM CD CM +=-++=+=. 思考:请同学们试试用另外的方法来证明本题.

例1、如图5,在△ABC 中,AB =AC ,点O 在△ABC 内,OB =OC ,求证:AO ⊥BC . 证明:延长AO 交BC 于点D ,

∵AB =AC ,OB =OC ,OA =OA ,∴△ABO ≌△ACO , ∴∠BAO =∠CAO ,即∠BAD =∠CAD , ∴AD ⊥BC ,即AO ⊥BC .

例2、如图6,在等边△ABC 中,D 、E 分别在边BC 、BA 的延长线上,且AE =BD ,求证:CE =DE . 证明:过E 作EF ⊥CD 于点F ,

∵△ABC 是等边三角形,∴∠B =60°,∴∠BEF =30°,

∴BE =2BF ,即BA +AE =BC +BD =2BC +CD =2(BC +CF ), ∴CD =2CF , ∴CF =DF ,

在△CEF 和△DEF 中,CF =DF ,∠CFE =∠DFE =90°,EF =EF , ∴△CEF ≌△DEF ,∴CE =DE .

图6

10

A

M

5

例3、如图7,已知在△ABC 中,AB =AC ,P 为底边BC 上任意一点,PD ⊥AB 于点D ,PE ⊥AC 于点E ,求证:PD +PE 是一个定值. 解:连接AP ,过点C 作CF ⊥AB 于点F ,

由12ABC S AB CF ?=

?,1

2PAB S AB PD ?=?, 11

22PAC S AC PE AB PE ?=?=?,ABC PAB PAC S S S ???=+,

得:111

222

AB CF AB PD AB PE ?=?+?,

即,PD PE CF +=(定值).

说明:本例的结论可用文字语言叙述为:等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高. 拓展:如果点P 不是在边BC 上,而是在BC 的延长线上,其它条件保持不变,那么PD 与PE 之间又有怎样的关系呢?

解:连接AP ,过点C 作CF ⊥AB 于点F ,(如图8)

由12ABC S AB CF ?=

?,1

2PAB S AB PD ?=?, 11

22

PAC

S AC PE AB PE ?=?=?, ABC PAB PAC S S S ???=-,

得:

111

222

AB CF AB PD AB PE ?=?-?, 即,PD PE CF -=(定值).

即,当点P 在BC 延长线上时,PD 与PE 之差为一定值.

基础训练:1、填空题:

(1)等腰三角形中,如果底边长为6,一腰长为8,那么周长是 。

(2)如果等腰三角形有一边长是6,另一边长是8,那么它的周长是 ;如果等腰三角形的两边长分别是4、8,那么它的周长是 。 (3)等腰三角形的对称轴最多有 条。 2、填空题:

(1)如果△ABC 是等腰三角形,那么它的边长(或周长)可以是( )

A 、三条边长分别是5,5,11

B 、三条边长分别是4,4,8

C 、周长为14,其中两边长分别是4,5

D 、周长为24,其中两边长分别是6,12 (2)等腰三角形一边长为2,周长为5,那么它的腰长为( )

A 、3

B 、2

C 、1.5

D 、2或1.5

3、已知等腰三角形的腰长是底边的3倍,周长为35cm ,求等腰三角形各边的长。

4、已知:如图,AD 平分∠BAC ,AB=AC ,请你说明△DBC 是等腰三角形。 图7

C

P

A

B C

D

x+2y=4

5、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组 的解, 求这个三角形的各边长。

(1)等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。 (2)等腰三角形有一个角是120°,那么其他两个角的度数是 和 。 (3)△ABC 中,∠A=∠B=2∠C ,那么∠C= 。

(4)在等腰三角形中,设底角为x °,顶角为y °,则用含x 的代数式表示y ,得y= ;用含y 的

代数式表示x ,得x= 。 2、选择题:

(1)等腰三角形的一个外角为140°,那么底角等于( )

A 、40°

B 、100°

C 、70°

D 、40°或70° (2)等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于( )

A 、顶角

B 、底角

C 、顶角的一半

D 、底角的一半

(3)在等腰三角形ABC 中,∠A 与∠B 度数之比为5∶2,则∠A 的度数是( )

A 、100°

B 、75°

C 、150°

D 、75°或100°

(4)等腰三角形ABC 中,AB=AC ,AD 是角平分线,则“①AD ⊥BC ,②BD=DC ,

③∠B=∠C ,④∠BAD=∠CAD ”中,结论正确的个数是( ) A 、4 B 、3 C 、2 D 、1

3、如图,已知△ABC 中,D 在BC 上,AB=AD=DC ,∠C=20°,求∠BAD 。

4、如图,已知△ABC 中,点D 、E 在BC 上, AB=AC ,AD=AE 。请说明BD=CE 的理由。

1、填空题:

(1)在△ABC 中,∠A 的相邻外角是110°,要使△ABC 是等腰三角形,则∠B= 。 (2)在一个三角形中,等角对 ;等边对 。

(3)如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等,则它的各内角的度数是 。 (4)如图,AB=AC ,BD 平分∠ABC ,且∠C=2∠A , 则图中等腰三角形共有 个。

2、选择题:

如图,在△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=108°,∠ADB=72°, DE 平分∠ADB ,则图中等腰三角形的个数是( )

A 、3

B 、4

C 、5

D 、6

A B C

D E A B C D

A

B C D

A B C D

E

3、如图,在△ABC 中,∠B 和∠C 的平分线相交于点O ,且OB=OC ,请说明AB=AC 的理由。

4、如图,已知∠EAC 是△ABC 的外角,∠1=∠2,AD ∥BC ,请说明AB=AC 的理由。

5、如图,AB=AC ,∠ABD=∠ACD ,请你说明AD 是BC 的中垂线。

A B

C

D

C

D

三线合一专题练习

三线合一专题练习 一、直接运用三线合一证题 1、如图,在Rt ABC △中, 90=∠B ,ED 是AC 的垂直平分线,交AC 于点D ,交BC 于点E .已知 10=∠BAE ,则C ∠的度数为( )A . 30 B . 40 C . 50 D . 60 2、已知,如图1,AD 是?ABC 的角平分线,DE 、DF 分别是?ABD 和?ACD 的高。 求证:AD 垂直平分EF A 1 2 E F B D C 图1 3、如图2,?ABC 中,AB =AC ,AD 为BC 边上的高,AD 的中点为M ,CM 的延长线交AB 于点K ,求证:AB AK =3 A K M E 图2 二、做辅助线利用三线合一 4、如图3,在?ABC 中,∠=A 90 ,AB AC =,D 是BC 的中点,P 为BC 上任一点,作PE AB ⊥,PF AC ⊥,垂足分别为E 、F 求证:(1)DE =DF ;(2)DE DF ⊥ A E F B D P 图3

5、如图,在等腰梯形ABCD中,G为对角线交点,△ADG、△GBC为正三角形。F、E、H为AG、BG、DC的中点。连接CE BF (1)求证:△EFH为正三角形; (2)若AD=2,BG=3,求S△EFH; ACB ADB90 ,M、N分别为AB、CD的中6、如图4,已知四边形ABCD中,∠=∠= ⊥ 点,求证:MN CD C N D A M B 图4 7、如图,已知在等边三角形ABC中,D是AC的中点,E为BC延长线上一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M。求证:M是BE的中点。 A D 1 B M C E

《图形的相似》专题练习含答案解析

图形的相似 1.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点,MN⊥AC于点N,则MN等于() A.B.C.D. 2.图中的两个三角形是位似图形,它们的位似中心是() A.点P B.点O C.点M D.点N 3.已知△ABC∽△DEF,相似比为3:1,且△ABC的周长为18,则△DEF的周长为()A.2 B.3 C.6 D.54 4.如图,△ABC中,AB>AC,D,E两点分别在边AC,AB上,且DE与BC不平行.请填上一个你认为合适的条件:,使△ADE∽△ABC.(不再添加其他的字母和线段;只填一个条件,多填不给分!) 5.如图,四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,点R为DE的中点,BR分别交AC、CD于点P、Q. (1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外);

(2)求BP:PQ:QR. 6.计算:|3﹣|+()0+(cos230°)2﹣4sin60°. 7.计算:﹣2sin45°+(2﹣π)0﹣. 8.计算:|﹣|﹣+(π﹣4)0﹣sin30°. 9.如图,小明站在A处放风筝,风筝飞到C处时的线长为20米,这时测得∠CBD=60°,若牵引底端B离地面1.5米,求此时风筝离地面高度.(计算结果精确到0.1米,≈1.732) 10.在我市迎接奥运圣火的活动中,某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC,小丽同学在点A 处,测得条幅顶端D的仰角为30°,再向条幅方向前进10米后,又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45°,已知测点A、B和C离地面高度都为1.44米,求条幅顶端D点距离 地面的高度.(计算结果精确到0.1米,参考数据:≈1.414,≈1.732.) 12.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请

三角形培优训练 题集锦

E D F C B A 三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线,那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形。 7、特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答。 1、已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,求中线AD的取值范围. 2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.

等腰三角形性质三线合一”专题

等腰三角形性质:三线合一”专题 等腰三角形有一个重要的性质:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这就是 著名的等腰三角形 “三线台一”性质。“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。反之, 如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合, 那么这个三角形就是等腰三角形。 【例题讲解】 例二:如图△ ABC 中,AB = AC, / A = 36°, BD 平分/ ABQ DE 丄 AB 于 E ,若 CD= 4,且△ BDC 周长为 24,求 AE 的长度。 变式练习1-2 已知,如图所示, 求证:AD 垂直平分EF 。 AD >△ ABC ,DE DF 分另U >△ ABDA ACD 的高。 求证:AD 垂直平分BG

例三?等腰三角形顶角为 ,一腰上的高与底边所夹的角是 ,则 与 的关系式为 图2 分析:欲证/ ACE=/ B,由于AC=AB 因此只需构造一个与 Rt △ ACE 全等的三角形,即做底边 BC 上的高即可。 证明:作 ADL BC 于D, ?/ AB=AC 1 ??? BD BC 2 1 又??? CE BC , 2 ? - BD=CE 在 Rt △ ABD 和 Rt △ ACE 中, AB = AC, BD=CE ? Rt △ ABD^ Rt △ ACE( HL )。 ? / ACE 玄 B 例五?已知:如图3,等边三角形 ABC 中,D 为AC 边的中点,E 为BC 延长线一点,CE=CD DM L BC 于M,求证: M 是BE 的中点。 分析:如图1,AB=AC EAC 90° / C ,/ BD 丄AC 于D,作底边 BC 上的高 AE, E 为垂足,则可知/ EAC=/ EAB - 又/ 2 , 90° / C ,所以 例四?已知:如图2, △ ABC 中,AB=AC CE!AE 于E , CE 1 — 。 2 1 BC , E 在厶 ABC 外,求证:/ ACE / B 。 2 图1

等腰三角形三线合一典型题型

等腰三角形三线合一专题训练 姓名 例1:如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。 求证:BC=AB+DC。 变1:如图,AB∥CD,∠A=90°,AB=2,BC=3,CD =1,E是AD边中点。求证:CE⊥BE。 变2:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,E是CD上一点,且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC. (1)求证:AE⊥BE;(2)求证:E是CD的中点;(3)求证:AD+BC=AB. C E A D

变3:△ABC 是等腰直角三角形 ,∠BAC=90° ,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点,过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ,求证:(1)DM =DN 。 ⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。 (1) 已知:如图,AB=AC ,E 为AB 上一点,F 是AC 延长线上一点,且BE=CF ,EF 交BC 于点D . 求证:DE=DF . D B C F A E M N D C B A M N D C B A

(2)已知:如图,AB=AC,E为AB上一点,F是AC延长线上一点,且,EF交BC于点D,且D为EF 的中点.求证:BE=CF. D B C F A E 利用面积法证明线段之间的和差关系 1、如图,在△ABC中,AB=AC,P为底边BC上的一点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,?CF⊥AB于F,那么PD+PE与CF相等吗?

变1:若P点在直线BC上运动,其他条件不变,则PD 、PE与CF的关系又怎样,请你作图,证明。 F F 1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9,则它的周长为() A 17 B 22 C 17或22 D 13 根据等腰三角形的性质寻求规律 例1.在△ABC中,AB=AC,∠1=1 2 ∠ABC,∠2= 1 2 ∠ACB,BD与CE相交于点O,如图,∠BOC的大小 与∠A的大小有什么关系? 若∠1=1 3 ∠ABC,∠2= 1 3 ∠ACB,则∠BOC与∠A大小关系如何? 若∠1=1 n ∠ABC,∠2= 1 n ∠ACB,则∠BOC与∠A大小关系如何?

等腰三角形三线合一专题练习.doc

等腰三角形三线合一专题训练1 例1:如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。 求证:BC=AB+DC。 变1:如图,AB∥CD,∠A=90°,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD边中点。求证:CE⊥BE。 变2:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,E是CD上一点,且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC. (1)求证:AE⊥BE;(2)求证:E是CD的中点;(3)求证:AD+BC=AB.

变3:△ABC 是等腰直角三角形 ,∠BAC=90° ,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点,过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ,求证:(1)DM =DN 。 ⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。 (1) 已知:如图,AB=AC ,E 为AB 上一点,F 是AC 延长线上一点,且BE=CF ,EF 交BC 于点D . 求证:DE=DF . D B C F A E M N D C B A M N D C B A

(2)已知:如图,AB=AC ,E 为AB 上一点,F 是AC 延长线上一点,且,EF 交BC 于点D ,且D 为EF 的中点. 求证:BE=CF . D B C F A E 利用面积法证明线段之间的和差关系 1、如图,在△ABC 中,AB=AC ,P 为底边BC 上的一点,PD ⊥AB 于D ,PE ⊥AC 于E ,?CF ⊥AB 于 F ,那么PD+PE 与CF 相等吗?

变1:若P点在直线BC上运动,其他条件不变,则PD 、PE与CF的关系又怎样,请你作图,证明。 F F 1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9,则它的周长为() A 17 B 22 C 17或22 D 13 根据等腰三角形的性质寻求规律 例1.在△ABC中,AB=AC,∠1=1 2 ∠ABC,∠2= 1 2 ∠ACB,BD与CE相交于点O,如图,∠BOC的大小 与∠A的大小有什么关系? 若∠1=1 3 ∠ABC,∠2= 1 3 ∠ACB,则∠BOC与∠A大小关系如何? 若∠1=1 n ∠ABC,∠2= 1 n ∠ACB,则∠BOC与∠A大小关系如何?

七级三角形三线合一性质专题

F E D C B A E D C B A B ' C B A 专题四(第九讲):三角形三线性质 金牌数学专题系列 导入 知识要点 三角形的 重要线段 意义 图形 表示法 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 D C B A 1.AD 是△ABC 的BC 上的高线. 2.AD ⊥BC 于D. 3.∠ADB=∠ADC=90°. 三角形 的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中的 线段 D C B A 1.AE 是△ABC 的BC 上的中线. 2.BE=EC= 12 BC. 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 21 D C B A 1.AM 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2= 1 2 ∠BAC. 双基练习 一、选择题: 1.如图1所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,把△ABC 沿直线AC 翻折180°,使点B 落在点B ′的位置,则线段AC 具有性质( ) A.是边BB ′上的中线 B.是边BB ′上的高 C.是∠BAB ′的角平分线 D.以上三种性质合一 (1) (2) (3) 2.如图2所示,D,E 分别是△ABC 的边AC,BC 的中点,则下列说法正确的是( ) A.DE 是△BCD 的中线 B.BD 是△ABC 的中线 C.AD=DC,BD=EC D.∠C 的对边是DE 3.如图3所示,在△ABC 中,已知点D,E,F 分别为边BC,AD,CE 的中点, 且S △ABC =4cm 2 ,则S 阴影等于( ) 小学时上课爱睡觉。一次语文课老师布置作业写一篇作文,题目是《假如我是蜘蛛》。

等腰三角形三线合一典型题型

等腰三角形三线合一专题训练 例1:如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。 求证:BC=AB+DC。 变1:如图,AB∥CD,∠A=90°,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD边中点。求证:CE⊥BE。 变2:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,E是CD上一点,且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC. (1)求证:AE⊥BE;(2)求证:E是CD的中点;(3)求证:AD+BC=AB. C E A D

变3:△ABC 是等腰直角三角形 ,∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D 为BC 的中点,过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ,求证:(1)DM =DN 。 ⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。 (1) 已知:如图,AB=AC ,E 为AB 上一点,F 是AC 延长线上一点,且BE=CF ,EF 交BC 于点D . 求证:DE=DF . M N D C B A M N D C B A

D B C F A E (2)已知:如图,AB=AC ,E 为AB 上一点,F 是AC 延长线上一点,且,EF 交BC 于点D ,且D 为EF 的中点. 求证:BE=CF . D B C F A E 利用面积法证明线段之间的和差关系 1、如图,在△ABC 中,AB=AC ,P 为底边BC 上的一点,PD ⊥AB 于D ,PE ⊥AC 于E ,?CF ⊥AB 于F ,那么PD+PE 与CF 相等吗?

变1:若P点在直线BC上运动,其他条件不变,则PD 、PE与CF的关系又怎样,请你作图,证明。 F

中考数学-专题练习:几何基础

中考专题练习-几何基础专题 例1. 如图, 某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度, 他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为 30?, 然后沿AD 方向前行10m ,到达B 点, 在B 处测得树顶C 的仰角高度为60(A ?、B 、D 三点在同一直线上) . 请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度 (结 果精确到 0.1)m . (参 1.414≈ 1.732)≈ 【解答】解:CBD A ACB ∠=∠+∠, 603030ACB CBD A ∴∠=∠-∠=?-?=?, A ACB ∴∠=∠, 10BC AB ∴==(米). 在直角BCD ?中,sin 105 1.7328.7CD BC CBD =∠==≈?=(米). 答: 这棵树CD 的高度为 8.7 米 .

例2. 如图, 在边长为 6 的正方形ABCD 中,E 是边CD 的中点, 将ADE ?沿AE 对折至AFE ?,延长EF 交边BC 于点G ,连接AG . (1) 求证:ABG AFG ???; (2) 求BG 的长 . 【解答】解: (1) 在正方形ABCD 中,AD AB BC CD ===,90D B BCD ∠=∠=∠=?, 将ADE ?沿AE 对折至AFE ?, AD AF ∴=,DE EF =,90D AFE ∠=∠=?, AB AF ∴=,90B AFG ∠=∠=?, 又AG AG =, 在Rt ABG ?和Rt AFG ?中, AG AG AB AF =?? =?, ()ABG AFG HL ∴???; (2)ABG AFG ???, BG FG ∴=, 设BG FG x ==,则6GC x =-, E 为CD 的中点, 3CE EF DE ∴===, 3EG x ∴=+, ∴在Rt CEG ?中,2223(6)(3)x x +-=+,解得2x =, 2BG ∴=.

等腰三角形性质:三线合一”专题

等腰三角形性质:三线合一”专题 等腰三角形有一个重要的性质:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。反之,如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合,那么这个三角形就是等腰三角形。 【例题讲解】 例1. 如图所示,在等腰△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,点E 在AD 上。 求证:BE=CE 。 变式练习1-1 如图,在△ABC 中,AB=AC ,D 是形外一点,且BD=CD 。求证:AD 垂直平 分BC 。 变式练习1-2 已知,如图所示,AD 是△ABC ,DE 、DF 分别是△ABD 和△ACD 的 高。求证:AD 垂直平分EF 。 例二:如图△ABC 中,AB =AC ,∠A =36°,BD 平分∠ABC ,DE ⊥AB 于E ,若CD =4,且△ BDC 周长为24,求AE 的长度。 A B C E D

例三. 等腰三角形顶角为α,一腰上的高与底边所夹的角是β,则β与α的关系式为β=___________。 图1 分析:如图1,AB=AC ,BD ⊥AC 于D ,作底边BC 上的高AE ,E 为垂足,则可知∠EAC=∠EAB = 1 2 α,又∠EAC C C =-=-9090°∠,∠°∠β,所以∠,EAC == ββα1 2 。 例四. 已知:如图2,△ABC 中,AB=AC ,CE ⊥AE 于E ,CE BC = 1 2 ,E 在△ABC 外,求证:∠ACE=∠B 。 图2 分析:欲证∠ACE=∠B ,由于AC=AB ,因此只需构造一个与Rt △ACE 全等的三角形,即做底边BC 上的高即可。 证明:作AD ⊥BC 于D , ∵AB=AC , ∴BD BC = 1 2 又∵CE BC =1 2 , ∴BD=CE 。 在Rt △ABD 和Rt △ACE 中, AB =AC ,BD=CE , ∴Rt △ABD ≌Rt △ACE (HL )。 ∴∠ACE=∠B 例五. 已知:如图3,等边三角形ABC 中,D 为AC 边的中点,E 为BC 延长线一点,CE=CD ,DM ⊥BC 于M ,求证:

知识点四:三线合一专题

1.1 等边三角形之三线合一 1、 等腰三角形一边等于5,另一边等于8,则周长是________。 2、 在△ABC 中,已知AB =AC ,AD 是中线,∠B =70°,BC =15cm , 则∠BAC =________, ∠DAC =________,BD =________cm 。 3、 在△ABC 中,∠BAC =90°,AD ⊥BC 于D ,AB =3,AC =4,则AD =________。 4、 已知△ABC 中,∠A =n °,角平分线BE 、CF 相交于O ,则∠BOC 的度数应为( ) (A )90°-n 21°(B )90°+ n 21°(C )180°-n °(B )180°-n 2 1° 5、 下列两个三角形中,一定全等的是( ) (A )有一个角是40°,腰相等的两个等腰三角形 (B )两个等边三角形 (C )有一个角是100°,底相等的两个等腰三角形 (D )有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形 6、 已知:如图,△ABC 中,AB=AC 。小强想做∠BAC 的平分线,但他没有量角器,只有刻度 尺,他如何做出∠BAC 的平分线? 7、 已知:如图,B 、D 、E 、C 在同一直线上,AB=AC ,AD=AE 。求证:BD=CE 。 A C B D E

8、如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是AB上一点,且BD=BC。DE⊥AB交AC于E。求证: CD⊥BE。 9、如图,锐角△ABC中,∠B=2∠C,AD为BC边上的高,求证:DC=AB+BD。 10、如图2,BM,CN分别是△ABC的外角∠BAD、∠ACE的平分线。AM⊥BM,M、N为垂 足。求证:MN∥CN。

三线合一习题

M P F E D C B A (一)重点和要点:真的掌握“三线合一”了吗?你是如何理解的?试一试你能否迅速找到解题突破口和解题途径: 已知:如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,90ABC ∠=?.点E 是DC 的中点,过点E 作DC 的垂线交AB 于点P ,交CB 的延长线于点M .点F 在线段ME 上,且满足AD CF =,M F M A =. (1)若 120=∠MFC ,求证:MB AM 2=; (2)求证:FCM MPB ∠-=∠2 190 . (二)预习指导: 1.知道新知识是用通过旧知识来推导的(本课是用什么旧知识推出什么新知识的?) 2.掌握本课三个重要定理并会用它们解题 3.什么是分析法?继续有意识地利用分析法分析问题 二)开始自学 1.按预习指导高效看书自学 2.有疑难及时请教 3.尝试自行解决课本提出的所有问题(拓展和延伸中,由30°想到哪个度数,联想到哪个图形) 4.讲解三个重要定理 例 1 如图,等边△ABC 中,AO 是∠BAC 的角平分线,D 为AO 上一点,以CD 为一边 且在CD 下方作等边△CDE,连结BE. (1) 求证:△ACD ≌△BCE ; (2) 延长BE 至Q, P 为BQ 上一点,连结CP 、CQ 使CP=CQ=5, 若BC=8时,求PQ 的长. 2.如图,△ABC 是边长为6的等边三角形,P 是AC 边上一动点,由A 向C 运动(与A 、C 不重合),Q 是CB 延长线上一点,与点P 同时以相同的速度由B 向CB 延长线方向运动(Q 不与B 重合),过P 作PE ⊥AB 于E , 连接PQ 交AB 于D . (1)当∠BQD=30°时,求AP 的长; (2)当运动过程中线段ED 的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED 的长;如果变化请说明理由.

初中数学 [三线合一]性质的应用专题辅导

初中数学 [三线合一]性质的应用专题辅导 赵春祥 等腰三角形有一个重要的性质:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。反之,如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合,那么这个三角形就是等腰三角形。 例1. 如图1,在AB C ?中,AB=AC ,D 是形外一点,且CD BD =。求证:AD 垂直平分BC 。 证明:由于AD AD ,CD BD ,AC AB ===,所以)SSS (ACD ABD ???。故 C A D B A D ∠=∠。AD 平分∠BAC 。 在等腰ABC ?中,由“三线合一”知BC AD ⊥,且AD 平分BC 。 评注:若能证出两直线之一是等腰三角形的底边所在的直线,另一条为等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线所在的直线,则这两条直线互相垂直。 例 2. 如图2,BM ,CN 分别是ABC ?的外角A C E A B D ∠∠、的平分线。CN AN ,BM AM ⊥⊥,M 、N 为垂足。求证:BC //MN 。 证明:这里有角平分线BM 、CN ,也有垂直于BM 、CN 的直线,若延长AM 、AN ,交CB 、BC 的延长线于D 、E ,如图3。由“角平分线和高重合”可知构成了等腰ABD ?和等腰ACE ?,且M 、N 分别为这两个等腰三角形底边的中点。这样,MN 是ADE ?的中位线,故有MN//BC 。 例3. 如图4,锐角ABC ?中,∠B=2∠C ,AD 为BC 边上的高,求证:BD AB DC +=。

巧用“三线合一”证明题

等腰三角形 巧用“三线合一”证题 “三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质,在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。本文结合实例说明其应用,供参考。 一. 直接应用“三线合一” 例1. 已知,如图1,AD是?ABC的角平分线,DE、DF分别是?ABD和?ACD的高。 求证:AD垂直平分EF A 1 2 E F B D C 图1 例2. 如图2,?ABC中,AB=AC,AD为BC边上的高,AD的中点为M,CM的延 =3 长线交AB于点K,求证:AB AK 图2

二. 先连线,再用“三线合一” 例3. 如图3,在?ABC 中,∠=A 90 ,AB AC =,D 是BC 的中点,P 为BC 上任一点,作PE AB ⊥,PF AC ⊥,垂足分别为E 、F 求证:(1)DE =DF ;(2)DE DF ⊥ C 图3 三. 先构造等腰三角形,再用“三线合一” 例4. 如图4,已知四边形ABCD 中,∠=∠=ACB ADB 90 ,M 、N 分别为AB 、CD 的中点,求证:MN CD ⊥ C A M B 图4

例5. 如图5,?ABC 中,BC 、CF 分别平分∠ABC 和∠ACB ,AE BE ⊥于E ,AF CF ⊥于F ,求证:EF//BC C 图5 一、证明角相等 【例1】已知:如图1,在ABC ?中,AC AB =,AD BD ⊥于D .求证: DBC BAC ∠=∠2. 二、 证明线段相等 【例2】如图2,ABC ?是等边三角形,D 点是AC 的中点,延长BC 到E ,使CD CE =, 过点D 作BE DM ⊥,垂直为M .求证:EM BM =.

等腰三角形三线合一专题练习

等腰三角形三线合一 例1:如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。 求证:BC=AB+DC。 变1:如图,AB∥CD,∠A=90°,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD边中点。求证:CE⊥BE。 变2:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,E是CD上一点,且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC. (1)求证:AE⊥BE;(2)求证:E是CD的中点;(3)求证:AD+BC=AB. 变3:△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D为BC的中点,过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N,求证:(1)DM=DN。 ⑵若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N。问DM和DN有数量关系。 E A D M N D C B A M N D C B A

(1)已知:如图,AB=AC,E为AB上一点,F是AC延长线上一点,且BE=CF,EF交BC于点D. 求证:DE=DF. D B C A E (2)已知:如图,AB=AC,E为AB上一点,F是AC延长线上一点,且,EF交BC于点D,且D为EF的中点.求证:BE=CF. D B C A E 利用面积法证明线段之间的和差关系 1、如图,在△ABC中,AB=AC,P为底边BC上的一点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,?CF⊥AB于F,那么PD+PE与CF相等吗? 根据等腰三角形的性质寻求规律 例1.在△ABC中,AB=AC,∠1= 1 2 ∠ABC,∠2= 1 2 ∠ACB,BD与CE相交于点O,如图,∠BOC 的大小与∠A的大小有什么关系? 若∠1= 1 3 ∠ABC,∠2= 1 3 ∠ACB,则∠BOC与∠A大小关系如?

等腰三角形三线合一专题练习[1]

例1:如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。 求证:BC=AB+DC。 变1:如图,AB∥CD,∠A=90°,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD边中点。求证:CE⊥BE。 变2:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,E是CD上一点,且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC. (1)求证:AE⊥BE;(2)求证:E是CD的中点;(3)求证:AD+BC=AB. 变3:△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D为BC的中点,过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N,求证:(1)DM=DN。 B E A D

⑵若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。问DM 和DN 有何数量关系。 (1) 已知:如图,AB=AC ,E 为AB 上一点,F 是AC 延长线上一点,且BE=CF ,EF 交BC 于点D . 求证:DE=DF . D B C F A E M N D C B A M N D C B A

(2)已知:如图,AB=AC ,E 为AB 上一点,F 是AC 延长线上一点,且,EF 交BC 于点D ,且D 为EF 的中点. 求证:BE=CF . D B C F A E 利用面积法证明线段之间的和差关系 1、如图,在△ABC 中,AB=AC ,P 为底边BC 上的一点,PD ⊥AB 于D ,PE ⊥AC 于E ,?CF ⊥AB 于F ,那么PD+PE 与CF 相等吗

变1:若P点在直线BC上运动,其他条件不变,则PD 、PE与CF的关系又怎样,请你作图,证明。 F F 1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9,则它的周长为() A 17 B 22 C 17或22 D 13 根据等腰三角形的性质寻求规律 例1.在△ABC中,AB=AC,∠1=1 2 ∠ABC,∠2= 1 2 ∠ACB,BD与CE相交于点O,如图,∠BOC的大小 与∠A的大小有什么关系 若∠1=1 3 ∠ABC,∠2= 1 3 ∠ACB,则∠BOC与∠A大小关系如何 若∠1=1 n ∠ABC,∠2= 1 n ∠ACB,则∠BOC与∠A大小关系如何

(完整版)等腰三角形三线合一专题练习[1]

等腰三角形三线合一专题训练1 例1 如图,四边形ABCD中,AB // DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD,且点E在AD上。 求BC=AB+DC 。 变 1 如图,AB // CD,/ A = 90° AB = 2, BC = 3, CD = 1, E 是AD 边中点。求证:CE丄BE。 变2:如图,四边形ABCD中,AD / BC, E是CD上一点,且AE、BE分别平分/ BAD、/ ABC. (1)求证:AE丄BE; (2)求证:E是CD的中点;(3)求证:AD+BC=AB. A n

变3:\ ABC是等腰直角三角形,/ BAC=90 ,AB=AC.⑴若D为BC的中点,过D作DM丄DN分别交AB、AC 于M、N,求证:(1)DM = DN。 A ⑵若DM丄DN分别和BA、AC延长线交于M、N。问DM和DN有何数量关系。 |\/| ⑴已知:如图,AB=AC , E为AB上一点,F是AC延长线上一点,且BE=CF , EF交BC于点D . 求证:DE=DF .

⑵已知:如图,AB=AC , E为AB上一点,F是AC延长线上一点,且,EF交BC于点D,且D为EF 的中点. 求证:BE=CF . 利用面积法证明线段之间的和差关系 1、如图,在△ ABC中, AB=AC P为底边BC上的一点,PC L AB于D, PEL AC于E, ?CF丄AB于F,那么PD+PE与CF相等吗?

变1若P点在直线BC上运动,其他条件不变,则PD、PE与CF的关系又怎样,请你作图,证明。 1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9,则它的周长为() A 17 B 22 C 17 或22 D 13 根据等腰三角形的性质寻求规律 1 1 例1.在△ ABC中,AB=AC /仁一 / ABC / 2= —/ ACB BD与CE相交于点0,如图,/ B0C勺大小 2 2 与/A的大小有什么关系? 1 1 若/ 1= / ABC / 2= / ACB则/ BOC WZ A大小关系如何? 3 3 1 1 若/ 1= / ABC / 2= / ACB则/ B0C与Z A大小关系如何? n n

专题13 等腰三角形中三线合一的应用(原卷版)

七年级数学下册解法技巧思维培优 专题13 等腰三角形中三线合一的应用 题型一利用三线合一求角度 【典例1】(2019?兴平市期末)如图,已知房屋的顶角∠BAC=100°,过屋顶A的立柱AD⊥BC,屋椽AB=AC,求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数. 题型二利用三线合一求线段 【典例2】(2019?金华校级月考)如图,在△ABC中,AB=AC,AB的中垂线DE交AC于点D,交AB于点E,BC=10,△BDC的周长为22,求AB的值. 题型三利用三线合一证线段(角)相等 【典例3】(2019?吉林期末)已知△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图,若E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF.求证:△DEF为等腰直角三角形; (2)若E,F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么△DEF是否仍为等腰直角三角形?证明你的结论.

题型四利用三线合一证垂直 【典例4】(2019?湖里区校级期中)如图,△ABC中,AC=2AB,AD平分∠BAC交BC于D,E是AD上一点,且EA=EC,求证:EB⊥AB. 题型五利用三线合一证线段的倍数关系 【典例5】如图,已知等腰直角三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BF平分∠ABC,CD⊥BD交BF 的延长线于点D,试说明:BF=2CD. 题型六利用三线合一证线段的和差关系 【典例6】如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,∠B=2∠C,试说明:AB+BD=CD.

巩固练习 1.(2019?鄂州期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠ABC=45°,点D为BC的中点,CE⊥AD于点E,其延长线交AB于点F,连接DF.求证:∠ADC=∠BDF. 2.(2019?镇赉期末)如图,在四边形ABCD中,CB=CD,∠D+∠ABC=180°,CE⊥AD于E.(1)求证:AC平分∠DAB; (2)若AE=3ED=6,求AB的长.

“三线合一”证练习题复习.doc

精品 文 档 等腰三角形 巧用“三线合一”证题 “三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质,在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。本文结合实例说明其应用,供参考。 一. 直接应用“三线合一” 例1. 已知,如图1,AD 是?ABC 的角平分线,DE 、DF 分别是?ABD 和?ACD 的高。 求证:AD 垂直平分EF A 1 2 E F B D C 图1 分析:从本题的条件和图形特征看,欲证AD 垂直平分EF ,因为有∠=∠12,所以只要证?AEF 为等腰三角形即可 证明:ΘDE AB DF AC ⊥⊥, ∠=∠=12,AD AD ∴?∴=Rt AED Rt AFD AE AF ?? 又∠=∠12 ∴AD 垂直平分EF 例2. 如图2,?ABC 中,AB =AC ,AD 为BC 边上的高,AD 的中点为M ,CM 的延长线交AB 于点K ,求证:AB AK =3 图2 分析:可考虑作DE//CK 交AB 于E ,因为M 是AD 的中点,所以K 是AE 的中点,只要证E 是BK 的中点,问题可得到解决。由于有AB AC =,AD BC ⊥,所以就想到用“三线合一”。

证明:过点D 作DE//CK 交BK 于点E ΘAB AC AD BC =⊥, ∴=∴=BD DC BE EK , ΘAM MD AK KE =∴=, ∴==AK KE EB ∴=AB AK 3 二. 先连线,再用“三线合一” 例3. 如图3,在?ABC 中,∠=A 90ο,AB AC =,D 是BC 的中点,P 为BC 上任一点,作PE AB ⊥,PF AC ⊥,垂足分别为E 、F 求证:(1)DE =DF ;(2)DE DF ⊥ C 图3 分析:(1)欲证二线段相等,容易想到利用全等三角形。观察DE 为?BDE 或?PDE 的一边,DF 为?DFP 或?DFC 的边,但它们都没有全等的可能。由于D 为等腰直角三角形的底边BC 上的中点,于是我们想到连结AD 一试,这时容易发现??AED CFD ?或 ??BDF ADF ? 问题得证。 (2)欲证DE DF ⊥,只要证∠+∠=ADE ADF 90ο,即可 但由(1)已证出∠=∠ADE CDF 又∠+∠=ADF CDF 90ο ,故问题解决 证明:连结AD 。ΘD 是BC 的中点 ∠=BAC 90ο ,AB AC = ∴==AD BD BC 12 DA 平分∠BAC ,AD BC ⊥ ∴∠=∠=∠=DAB DAC BAC 12 45ο ∴∠=B 45ο ΘAB AC PF AC PE AB ⊥⊥⊥,, ∴四边形PEAF 是矩形 ∴=∴∠==∠∴==PE FA BPE B BE PE AF 45ο 又ΘAB AC E CF =∴=,A 又∠=∠==EAD FCD AD DC 45ο , ∴???AED CFD ∴=DE DF (2)Θ??AED CFD ?

等腰三角形三线合一专项综合练习

等腰三角形性质:三线合一专项练习 十一初中八( )班 姓名: 1、已知ABC ?的周长为cm 36,且AC AB =,又BC AD ⊥,D 为垂足,ABD ?的周长为cm 30,那么AD 的长为( ) A .cm 6 B. cm 8 C. cm 12 D. cm 20 如图2,在△ABC 中,AB=AC ,∠BAD=300,AD=AE ,则∠EDC=( ) A .100 B. 12.50 C.150 D.200 3、如图,在△ABC 中,AB =AC ,D 是BC 的中点,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,则图中全等三角形共有( ) A 、 2对 B 、3对 C 、4对 D 、5对 4 、如图,在等腰直角△ABC 中,AD 为斜边上的高,以D 为端点任作两条互相垂直的射 线与两腰相交于E 、F ,连结EF 与AD 相交于G ,则∠AED 与∠AGF 的关系为( ) A .∠AED>∠AGF B .∠AED =∠AGF C .∠AED<∠AGF D .不能确定 5、如图,在△ABC 中,AB=AC ,BD 平分∠ABC ,且BD=BE ,∠A=84°,则∠DEC= 6、如图,CE 平分∠ACB ,且C E ⊥BD ,DA=DB ,又知AC=18,△CDB 的周长为28,那么BE 的长为 。 7、如图,在等腰△ABC 中,∠ABC=90°,D 为AC 边上中点,过D 点作DE ⊥DF ,交AB 于E ,交BC 于F ,若AE=4,FC=3,则△ABC 的面积为 8、、如图,四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于E 点,若AC 平分∠DAB ,且AB=AE ,AC=AD ,有如下四个结论: ①AC ⊥BD ;②BC=DE ;③∠DBC= 2 1 ∠DAB ; ④△ABE 是等边三角形.请写出正确结论的序号 .(把你认为正确结论的序号都填上) D A B C E F 第3题图 A B E C 第2题图 第4题图 C C 第7题图 B F C 第5题图 第6题图

等腰三角形三线合一专题练习

等腰三角形三线合一 例1如图,四边形ABCD中, AB// DC BE CE分别平分/ ABC / BCD,且点E在AD上。求证:BC=AB+DC 变2:如图,四边形ABCDK (1)求证:AE! BE AE BE分别平分/ BAD / ABC (3)求证:ADBCAB 变3:^ ABC是等腰直角三角形,/ BAC=90 ,AB=AC.⑴若D为BC的中点,过D作DM L DN分别交AB AC于M N,求证:(1) DM= DN。 ⑵若DM L DN分别和BA AC延长线交于M No问DM和DN有何数量关系。 (1) 已知:如图,AB=AC E为AB上一点,F是AC延长线上一点,且BE=CF EF交BC于点D. 求证:DE=DF 变 1 如图,AB// CD / A= 90°,AB= 2, BC= 3, CD= 1 , E是AD边中点。求 证: CEL B 吕 AD// BC E是CD上一点,且 (2)求证:E是CD的中点;

A ⑵已知:如图,AB=AC E为AB上一点,F是AC延长线上一点,且,EF交BC于点D,且D为EF的中点. 求证:BE=CF 利用面积法证明线段之间的和差关系 1、如图,在△ ABC中, AB=AC P为底边BC上的一点,PC L AB于D, PEL AC于E, ?CF丄AB于F,那么PD+PE与CF相等吗? 根据等腰三角形的性质寻求规律 1 1 例1.在△ ABC中,AB=AC /仁一 / ABC / 2= —/ ACB BD与CE相交于点0,如图,/ B0C勺大小 2 2 与/A的大小有什么关系? 1 1 若/ 1= / ABC / 2= / ACB则/ B0C与/ A大小关系如何? 3 3 1 1 若/ 1= / ABC / 2= / ACB则/ B0C与Z A大小关系如何? n n 会用等腰三角形的判定和性质计算与证明

等腰三角形三线合一专项综合练习(人教版可直接打印)

等腰三角形三线合一专项练习 一、选择题: 1、已知ABC ?的周长为cm 36,且AC AB =,又BC AD ⊥,D 为垂足,ABD ?的周长为cm 30,那么AD 的长为( ) A .cm 6 B. cm 8 C. cm 12 D. cm 20 2、如图2,在△ABC 中,AB=AC ,∠BAD=300 ,AD=AE ,则∠EDC=( ) A .100 B. 12.50 C.150 D.200 3、如图,在△ABC 中,AB =AC ,D 是BC 的中点,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F ,则图中全等三角形共有( ) A 、 2对 B 、3对 C 、4对 D 、5对 4 、如图,在等腰直角△ABC 中,AD 为斜边上的高,以D 为端点任作两条互相垂直的射 线与两腰相交于E 、F ,连结EF 与AD 相交于G ,则∠AED 与∠AGF 的关系为( ) A .∠AED>∠AGF B .∠AED =∠AGF C .∠AED<∠AGF D .不能确定 二、填空题: 5、如图,在△ABC 中,AB=AC ,BD 平分∠ABC ,且BD=BE ,∠A=84°,则∠DEC= 6、如图,CE 平分∠ACB ,且C E ⊥BD ,DA=DB ,又知AC=18,△CDB 的周长为28,那么BE 的长为 。 7、如图,在等腰△ABC 中,∠ABC=90°,D 为AC 边上中点,过D 点作DE ⊥DF ,交AB 于E ,交BC 于F ,若AE=4,FC=3,则△ABC 的面积为 8、如图,四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于E 点,若AC 平分 ∠DAB ,且AB=AE ,AC=AD ,有如下四个结论:①AC ⊥BD ;②BC=DE ; ③∠DBC=21 ∠DAB ;④△ABE 是等边三角形. 请写出正确结论的序号 .(把你认为正确结论的序号都填上) D A B C E F 第3题图 A B D E C 第2题图 第4题图 C A B D E A D C B E A A 第7题图 B A E D F C 第5题图 第6题图

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