电动力学》理论证明集锦

《电动力学》理论证明集锦

为了扩充学生知识面，强化理论体系的证明与验证过程，巩固已学知识。在此编撰了与《电动力学》课程相关的20余条理论证明内容，有的是基础理论，但大部分是扩展内容。

第一章 电磁现象的普遍规律

1. 试证明通过任意闭合曲面的传导电流、极化电流、位移电流、磁化电流的总和为零。

[证明]

设传导电流、磁化电流、极化电流、位移电流分别为d

P M f J J J J 、、、,由

麦克斯韦方程之一(安培环路定理)给出

)

(0d P M f J J J J B +++=??μ

对方程两边作任意闭合曲面积分，得

)

()()(00d P M f

S

d P M f S

I I I I

S d J J J J S d B +++=?+++=?????μμ

即给出总电流为

?

?

∑????=???=

+++=V

S

d P M f

dV

B S d B I I I I

I

)(1

)(1

μμ

因为矢量场的旋度无散度:0)(=????B

，故

∑=I

--------------------------------------

2. 若m 是常矢量，证明除R=0点以外，矢量3

R R m A ?=的旋度等于标量3

R R m ?=?的负梯度，即?-?=??A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向

由原点指向场点。

[证明]

在0≠R 的条件下，有

)

1(R m A ???-?=??

R m R m m R m R 1)(1)()1()1

(???+???+???-???

-=

R m 1)(?

??=

另一方面

)

1(R m ??-?=?

?

m

R m R R m R m

)1()(11)()1(???-????-???-????-= R m 1)(?

??-=

经比较以上两式的右边，便可给出?-?=??A

的答案。

注释:

本题中所见的矢量和标量的形式在《电动力学》内容中有多处出现，开列如下供参考（注意比较相同、相异之处）：

（1）电偶极矩P

激发的电势：

3

41R

R

P ?=

πε

?；

（2）磁偶极矩m

产生的磁标势：

3

41R

R

m m

?=π?；

（3）磁偶极矩m

产生的磁矢势：

3

4R

R m A ?=πμ。

--------------------------------------

3．试由电场积分公式

?

'

'=

V

V d r

r

x x E 3

0)(41)(

ρπε

出发，证明

0ερ=

??E 。

[证明]

因为)

(412

x x r

'--=?

πδ，

)

(41)1()(

2

3

x x r

r

r

r '-=-?

=-???=??

πδ，

得到

??'??'=''??=

??V

V

V d r r x V d r r

x x E )()(41])([41)(30

30

ρπερπε

?

'''-=

V

V d x x x )()](4[410

ρπδπε

根据

)(x x '- δ函数的挑选作用，给出 0ερ=

??E

--------------------------------------

4．试由毕奥-萨伐尔定律

?

'

?'=

V

V d r

r x J x B 3

0)(4)( π

μ出发，证明

J

B 0μ=??。

[证明]

[方法

1：间接积分计算]

V d r x J V d r

r x J x B V

V

'

??'-

='?'=?

?

1)(4)(4)(0

3

π

μπ

μ

A

r

V d x J V

??='

'??=?

])(4[

π

μ

其中：

?

'

'=V

r

V d x J A )(40

πμ。

直接计算可得0)(=????=??A B

。

以下进一步计算A A A B 2

)()(?-???=????=??，分两步运算：

①计算)(A

???：

V 1)(4V 1)(400

'??'='???

???'??=????d r x J d r x J A πμπ

μ

V d r x J '?'?'-=?1

)(40 πμ

0)(141)(400=''??'+'???

???'??'-=??V d x J r V d r x J V πμπμ

其中第一项因为：01)(41)(400=?'-='???

???'??'-??S V s d r x J V d r x J πμπμ；第二项运用稳恒电流条件0)(='??'x J

，结果也为零。

②计算A

2

?：

)

()(4)(41)(400202

x J V d x x x J V d r x J A

μπδπ

μπ

μ-=''-?'-

='?'=

??

?

最终得到： J

B

0μ=??

[方法

2：直接积分计算]

利用毕奥-萨伐尔定律直接作积分计算

??

??'?'=?L

v

L

l

d V d r

r x J l d B

])([43

0π

μ

]))([430

l d r r

x J V d v L ??''=??πμ （交换积分次序）

])1

()([40

l d r x J V d v L ?-??''=??πμ （利用31r r r

-=?） 注意0)(='??x J ，则

r x J x J r x J r r x J 1

)()(1)(1

)

(?

?'-='??+'??='?

?

，有

]))(([40

l d r x J V d l d B v L L

?'??'=????πμ

}])

([{40S d r x J V d v S

?'????'=??πμ （运用斯托克斯公式） }

)

(])([{420??'?-'???'?=v S r x J r x J V d S d

πμ （交换积分次序）

}

)

()({420???'?'-'??'??=v v S r x J V d r x J V d S d

πμ

}1)()({420r x J V d S d r x J S d v S S ?''-'?'??=???

πμ

其中第一项用了奥高积分变换公式、第二项用了2

?运算与x '

无关。注意到

0)

(='?'?S S d r x J

，进一步有

]

1)([420r x J V d S d l d B v S L ?'

'?-=???? π

μ

)]

()([0x x x J V d S d v

S

'-''?=??

δμ

?

?=S

S

d x J

)(0μ

化成微分式得

J

B 0μ=??

[方法3：直接微分计算]

利用公式B A B A B A )()()(??-??=???和关系)

(4)(3x x r r

'-=?? πδ，直

接计算

V d r r

x J x B V '?'??=???])([4)(30

π

μ

V d x J r r

r r x J V ''??-??'=?)]())(([4330 πμ 因为0)(='??x J

（求导与函数变量无关），故

V d x x x J V d r r x J x B V V ''-'='??'=????])()([]))(([4)(030 δμπμ

利用)(x x '-

δ函数的挑选作用，给出

)

()(0x J x B μ=??

--------------------------------------

5．试证明在均匀电介质中存在关系

f

r

p ρ

ερ)1

1(-

-=。

[证明]

因为

D

D E E E P r e

)1()()()1(00000ε

εεεεεεεεχε-=-=-=-==，并且

f

D ρ

=??

，r ε=常数，所以

f

r

p

D P ρ

εε

ερ)1

1()1(0--=??--=?-?=

--------------------------------------

6．试证明在均匀磁介质中存在关系

f

r M J J

)1(-=μ。

[证明]

因为

H

H M r m )1(-==μχ，并且

f

J H =??,r μ=常数，所以

f

r r M J H M J )1()1(-=??-=??=μμ

--------------------------------------

7．证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等，方向相反（但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律）。

[证明]

（1）两个电流元之间的相互作用力不服从牛顿第三定律。

设两电流元221

1dV J 、dV J 相距||||2112r r

=，根据毕奥-萨伐尔定律给出：电流元1在电流元2处产生的磁场为

1

3

12

12

10

124dV r r J B d ?=π

μ

同样，电流元2在电流元1处产生的磁场为

2

3

21

2120214dV r r J B d

?=πμ

其中

21

21r r

-=。

应用安培力公式B dV J F d

?=，给出

电流元1对电流元2的作用力、电流元2对电流元1的作用力分别为

2

13

1212120122212)(4dV dV r r J J B d dV J F d

??=?=πμ

2

13

21

21210

211121)

(4dV dV r r J J B d dV J F d ??=

?=π

μ

虽然

21

21r r -=、

21

21r r =，但一般情况下，)()(21211212

r J J r J J ??≠??，即 2112F d F d

≠，因此两个电流元之间的相互作用力不满足牛顿第三定律。其原因

是，不存在两个独立的电流元，只存在闭合回路。

（2）两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力满足牛顿第三定律。

方法1：（场）

电流圈1（闭合回路1整体）在电流元2处激发的磁场为

2

2dV J

1

1dV J 12

r

?

??==

1

13

12

12

11012124L L r r l d I B d B

π

μ

电流元2（电流圈2上的抽样）所受的磁力为

???=

?13

1212

1122012224L r r l d I l d I B l d I

π

μ ?

?-?=

1

3

12

12

2111222

10)()(4L r r l d l d l d r l d I I

π

μ

进一步，电流圈1对电流圈2（整体两闭合回路）的作用力为

??

?-?=2

1

3

12

12

2111222

1012)()(4L L r r l d l d l d r l d I I F π

μ

其中第一项的积分为

]

[4)(42312

12

121013

12

1222

10212

1

l d r r l d I I l d r r l d I I L L L L

?=?????

πμπ

μ

0])([42312

12

12

1021=???=??S d r r l d I I S L πμ

这里对回路2的积分应用了斯托克斯公式，2S

是以闭合回路2L 为周界的任意曲

面，且应用了0

)1(12

312

12=-?

??=?

?r r

r 的结果。所以

??

?-=2

1

3

12

12

212

1012)(4L L r r l d l d I I F π

μ

同理可得

??

?-=2

1

3

21

21

212

1021)(4L L r r l d l d I I F π

μ

比较以上两式，且注意到

21

21r r -=，可得2112F F

-=。

方法2：（力）

依据电流元1对电流元2的作用力

312

12

12210122212)

(4r r l d l d I I B d l d I F d

??=?=πμ

3

12

12

1211222

10)()(4r r l d l d l d r l d I I ?-?=

π

μ

给出电流圈1（闭合回路1整体）对电流元2的作用力为

?

?-?=?1

3

12

12

2111222

1012)()(4L r r l d l d l d r l d I I F π

μ

进一步，给出电流圈1对电流圈2（两个闭合回路整体）的作用力为

??

???-?==

2

1

213

12

12

2111222

101212)()(4L L L L r r l d l d l d r l d I I F d F π

μ

其余运算同前（从略）。

综上可见，虽然两个电流元之间的相互作用力不满足牛顿第三定律，但两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力是满足牛顿第三定律的。

--------------------------------------

8．已知一个电荷系统的偶极距定义为

V d x t x t P V

'

''=

?

),()(ρ，利用电荷

守恒定律0=??+??t J ρ 证明P

的变化率为

V d t x J dt P

d V ''=?),(

[证明]

因为并矢的散度为

x J x J x J '

?'?+'??'='??'

)()()(,两边作积分得

V d x J V d x J x J V

V

'

'??'=

''?'?-'??'?

?

)(])()([

其中J 是x '

的函数。所以

V d x J V d x t t x dt P

d V V ''??'-=''?'?=??

)(),(ρ

?'

'??'-'?'?=V

V d x J x J )]()[(

?

?

'

?'-

''?'?=

V

S

S d x J V d x J

)()(

又J x J ='?'?)(，0

)(='?'?S d x J S ，故

V d t x J dt P

d V ''=?),(

第二章 静电场

9．简略证明矢量场的唯一性定理。

[证明]

假定有两个矢量场21A A

≠均满足定解条件，即

)

2,1()(|,,===??=??j S f A J A A S jn j j

ρ

引入差函数21A A A

-=，则

)(,0)(2121=-??=??=-??=??A A A A A A

可见A 无旋，引入对应的势函数??=A ，代入A 的散度方程给出 0)(2

=?=???=????A

即势函数满足拉普拉斯方程，且在S 面上

|)(|21=-=S n n S n A A A

将以上结果代入格林第一公式

S

d dV S

V

??=

?+??

?

?????])([2

2

得到

dS

A

S d dV n

S

S

V

??

?

=

??=

?????

2

)(

因为0

|=S n A ，所以0

)(2

=??

dV V

?。又由于被积函数0)(2

≥??（非负），故

上式成立的条件要求0??=，即0=?=?A ，亦即21A A

=，满足所给定解条

件的解是唯一性的。

--------------------------------------

10． 一块极化介质的极化矢量为)(x P '

，根据偶极子静电势的公式，极化

介质所产生的静电势为

V d r

r x P V

'

?'=

?

3

)(41 πε

? 另外，根据极化电荷公式)(x P P '?-?=

ρ及P n P

?=σ，极化介质所产生的电

势又可表为

?

?

'

?'+

''??'-

=S

V

r

S d x P V d r

x P

)(41)

(410

πε

πε

?

试证明以上两式是等同的。

[证明]

因为

r x P x P r r x P 1

)()(1

])

([?'?'+'??'='??'

，r r r 13

?'=

，所以 V d r x P V d r

r x P V V '?'?'='?'=??1

)(41)(41030 πεπε?

V d x P r

r

x P V

'

'??'-

'??'=

?)}(1])([

{410

πε

V d x P r

S d r

x P V

S

'

'??'-

'?'=

?

?

)](1[

41)(410

πε

πε

。证毕

第三章 静磁场

11．试证明矢量场

φ

e ar B =能够代表磁场。

[证明]

检验B ??是否等于0：因为B 的大小仅为r 的函数、方向沿φe

，在球坐标

系下容易求出

)(sin 1

=??

=

??ar r B φ

θ

满足高斯定理，故能够代表磁场。

再用另一场方程J

B 0μ=??在球坐标系下计算旋度，求得对应的电流分布

为

θ

θμμμe a e ar r

r B J

2002)(11-=??

-

=??=

--------------------------------------

12．试证明规范变换函数ψ满足泊松方程。

[证明]

在B A

=??的定义下，作规范变换：

ψ

?+='→A A A

其中ψ为任意可微的标函数（规范变换函数），则

B A A A

=??=???+??='??)(ψ 即A

'虽不同于A ，但对应于同一个B 。

在静磁场中，人为常取0=??A

（库仑规范）。 若0≠=??u A ，则可寻

找ψ?+='

A A ，使0='??A ，但对ψ需要有限制：

0)(2

2=?+=?+??=?+??='??ψψψu A A A

或

u -=?ψ2

即规范变换函数ψ满足泊松方程。

第四章 电磁波的传播

13．大部分晶体属于各向异性介质，其中麦克斯韦方程组最简单的解是

)](exp[0t x k i E E ω-?=

)](exp[0t x k i D D ω-?=

)]

(exp[0t x k i H H ω-?=

且H B μ=。试证明晶体光学第一基本方程)(2E n n E D v ?-=μ成立。其中n

为

波传播方向的单位矢量。

[证明]

应用无源区域的麦克斯韦方程组

?

??????

?

?=??=????=????-=??00

B D t

D H t

B E

对于常幅矢和行波因子为

)]

(exp[t x k i ω-?

的形式，存在代换：

ω

i t k i -→??

→?、

所以

D

D t H t B t

E μωμμ2

22

)()()(=??-=????-=????-=???? )()(E k k E

?-=???

E k E k i k i E 2

2)(-=?=?

将以上关系代入展开式：E E E 2

)()(?-???=????得

E k E k k D 2

2)(+?-=μω

利用n

v n k k ω==得

E

v E n n v D 22222

)(ωωμω+?-= 即

)(2

E n n E D v

?-=μ。证毕

--------------------------------------

14．频率为ω的电磁波在各向异性介质中传播时，若H B D E

、、、仍按

)]

(exp[t x k i ω-? 变化，但D 不再与E 平行（即E D

ε=不成立）。

（1）证明0=?=?=?=?E B D B D k B k

，但一般0≠?E k ；

（2）证明

]

)([1

2

2

k E k E k D

?-=

μ

ω；

（3）证明能流S

与波矢k 一般不在同一方向上。

[证明]

（1）应用无源区域的麦克斯韦方程组

?

??????

?

?=??=????=????-=??00

B D t

D H t

B E

由于H B D E

、、、仍按

)]

(exp[t x k i ω-?

变化，则存在ω

i t k i -→??

→?、 代

换。利用μB H

=，上述方程化为

???????=?=?-=?=?00B k D k D B k B

E k

ωμω

由第一、第二式给出

E

k B B k D

?=?-=ω

ωμ1,1

从而

)1(0

)1(=??=?=?-?=?E E k E B B k B D B ω

ωμ

综上可见0=?=?=?=?E B D B D k B k

。此 外，虽然0

=?D k

，但由于

E

D ε≠，故一

般0≠?E k

，直观图示如右。

（2）将E

k B

?=ω1代入D

中得

]

1[11E k k B k D ??-=?-=ωωμωμ

k

B

(

]

)([1

2

2

E k E k k -?-

=μ

ω。

（3）利用

E

k B ?=ω

1计算S

]

)([1]1[112

E E k k E E k E B E H E S ?-=??=?=?=μωωμμ

因为0≠?E k

，所以上式中第二项不为0，即能流S 与波矢k 一般不在同一方向上。

注释:

（1）本题中D 不再与E 平行，即E D ε=不成立；但应用了μB H =，即是

电各向异性介质。

（2）因为

=?=?=?D B D k B k

，即

D

B D k B k ⊥⊥⊥;,，又

B

k D ?-=ωμ

1，故B D k 、、三者组成右手系；此外，因为

0=?=?=?E B D B k B ，

故E D k 、、三者共面，但E

不平行于D 。显然，D

与E 之间的夹角也就是k 与S

之间的夹角。

--------------------------------------

15．试证明在不同介质分界面上电磁波反射和折射时能量守恒。

[证明]

设平面波的入射角、反射角和折射角分别为）（θθθ'''、、，分界面的面积为

n A A ＝，其中n

为介质21→的法矢。

（1）入射到面积A 的功率为

)

(1

)]1

(

[)(2

1

1

A k E A E k E A H E A S P ?=

???=??=?=ωμωμ

θ

μθωμωμcos cos 1

)(1

2

11

2

1

2

1

A E c

n kA E A k E =

=

?=

注意到一般介质021μμμ≈≈，所以

)

1......(................................................................................cos 2

01θμE c

A

n P =

（2）反射波、折射波的功率之和为

θμθμ'

'''+'=?''+'=''+'cos cos )(2

02201A E c n A E c n A S S P P

将电场矢量分解为垂直于和平行于入射面分量的叠加，即

2

//22E E E '+'='⊥

，

2

//2

2

E E E ''+''=''⊥

，则

θμθμ''''+''+'+'=

''+'⊥

⊥

cos )(cos )(2

//202

2

//2

01

A E E c

n A E E c n P P

由电场矢量垂直于、平行于入射面情况的菲涅耳公式

??

?''+'

'=''''+''--='⊥⊥⊥⊥)sin(sin cos 2,)sin()sin(θθθθθθθθE E E E ??

?''-''+'

'=''''+''-=')cos()sin(sin cos 2,)()(////////θθθθθθθθθθE E tg tg E E

得

θ

θθθθθθθθμcos )}])

()([

])sin()sin({[

2

//22

2

01E tg tg E c A

n P P ''+''-+''+''-=

''+'⊥

θθθθθθθθθθθμ'

'''-''+''+''+''+

⊥cos }])

cos()sin(sin cos 2[

])sin(sin cos 2{[

2

//2

2

2

02E E c A

n

利用折射定律

θθ'

'=

sin sin 1

2

n n ，即

1

2sin sin n n θθ'

'=

得

θ

θθθθθθθθμcos }])

()([

])

sin()sin({[

2

//2

2

2

01E tg tg E c

A

n P P ''+''-+''+''-=

''+'⊥

θθθθθθθθθθθθθμ'

'''-''+''+''+'''

'+

⊥cos }])

cos()sin(sin cos 2[

])

sin(sin cos 2){[

sin sin (

2

//2

2

2

10E E n c A

其中第一项、第三项之和可以利用三角函数化为

θθθθθθθθθθθθμ'

'''+''''+''+''-⊥⊥cos ])sin(sin cos 2)[sin sin (cos ])sin()sin([2

22201E E c A n

2

22

01}cos ])

sin(sin cos 2)[

sin sin (

cos ])

sin()sin({[

⊥

''''+'''

'+''+''-=E c

A

n θθθθθθθθθθθθμ

θ

μcos 2

01⊥=

E c

A

n

同理，第二项、第四项之和化为

θθθθθθθθθμθθθθθμ''''-''+''''+''+''-cos ])cos()sin(sin cos 2)[sin sin (cos ])()([2

//2102//201E n c A E tg tg c A n 2

//

22

01}cos ])

cos()sin(sin cos 2)[

sin sin (

cos ])

()({[

E tg tg c A

n θθθθθθθθθ

θθθθθμ''''-''+'

'''+''+''-=

θ

μcos 2

//01E c

A

n =

综合以上得

)

2......(........................................cos cos cos 2

012

//2

θμθθE c

A

n E E P P =

+=''+'⊥

最后，比较（1）式、（2）式的结果，可得P P P ''+'=，即入射波的功率等于反射波的功率与折射波的功率之和。

进一步表明反射波能量与折射波能量之和等于入射波的能量，即在不同介质分界面上电磁波发生反射和折射时遵守能量守恒定律。 注释:

（1）本题结果P P P ''+'=，即A S S A S

?'

'+'=?)(可以借助于反射系数R

和折

射系数T 进行表示。反射系数和折射系数的定义为

2

0022

2

00cos cos ,E E n n n

S n

S T E E n

S n

S R ''''=??''='=

??'=θθ

因为

n S S n S

?''+'=?)(，n

S n S n S ?=?''+?'

所以

1=??'+??'n

S n

S n S n S

即

1=+T R

（2）电磁波在介质界面上发生反射和折射，其反射率和折射率的定义为

E

E t 、E

E r ''=

'=

，它们不同于反射系数和折射系数的定义。由于反射波与入射波

在同空间，但与折射波在异空间，所以2

2

|

|||t T 、r R ≠=。

--------------------------------------

16．试证明导体内部透入任一体积的电磁波能量正好等于这块导体产生的焦耳热。

[证明]

（1）设电磁场为：

)

(0t z i z e

e E E ωβα--=

则在良导体内

E

e e

H z i

?=

4

πωμ

σ

所以

)]

(Re[

21)Re(21*4

*E e E e

H E S z i

??=?=πωμσ

z

z

z e e

E e E αωμ

σ

ωμσ

22

0222

1

||22

1-==

故在单位时间内由Z=0金属表面单位面积平均流入内部的电磁能量为

2

0122

1|||E S W z ωμ

σ

=

==

（2）另外，金属内部的电流J 引起焦耳热功率密度平均值为：

)

Re(21

)Re(21

**E E E J p ?=?=σ z e E ασ22021-=

故单位面积为底、Z 为高的体积内，在单位时间内平均热耗能量为：

2

2

00

2200

222

142

E E dz e

E dz p W z

ωμ

σ

α

σ

σ

α=

=

==

?

?

∞

-∞

其中

2

ωμσ

α=

，可见21W W =。 证毕

--------------------------------------

17．试证明良导体在高频下的电阻相当于厚度为αδ1=的薄层的直流电阻。

Z

[证明]

取Z 轴指向导体内部，由于高频趋肤效应，导体内体电流密度为：

)

(0),(),(),(t z i z e

e y x E t x E t x J ωβασσ--==

其中

)

,(0y x E

为表面处的电场。此电流分布在导体表面附近厚度αδ1=的薄层内——视为面电流f

α 分布： )

(2

2

0000

1

αββαβ

ασβ

ασσα

-+=

-===

??

∞-∞

tg

i z i z f

e

E i E z d e e E dz J

由此得面电流最大值平方为：

2

2

20

220

βασα

+=

E f

而导体内平均热功率密度为：

)

Re(21

*E J p ?=

z

e E E E α

σσ220*2

1)Re(21-=?=

导体表面单位面积平均热功率为：

2

22

42

1E dz e

E dz p P z

R α

σ

σα=

=

=

?

?

∞

-∞

将

2

2

20

2

20

βασα

+=

E

f 代入上式，有

2

2

2

4f R P αασ

β

α+=

而良导体δβα1≈≈，所以

σδα

α

σδ

1

2

12120

20

f f R P =

=

与

R

I P 2

02

1=

比较，可得表面电阻

σδ1

=

R 。即良导体在高频下的电阻相当

于厚度为δ的薄层的直流电阻。证毕

第五章 电磁波的辐射

18．证明：如果A 和?满足洛仑兹规范，则只要选择这样一个标函数

),(t x

ψ单位线宽

k

?

导体内部

o

α

δ1=f

α

Z

单位截面k

J

?

使之满足

12

2

2

2

=??-

?t

c

ψψ，则新的矢势和标势ψ?+='A A ，

t ??-

='ψ??仍然满足洛仑兹规范。

[证明]

设A

和?是满足洛仑兹规范012=??+??t c A ?

的势函数，作规范变换

ψ?+='A A

t ??-

='ψ??

则

)

(1)(122t t c A t c A ??-??+?+??=?'?+'??ψ

?ψ? )1()1(2

222

2t c t c A ??-?+??+??=ψψ?

将0

12=??+??t c A ?

代入之，得

2

2

2

2211t c t c A ??-?=?'?+'??ψψ?

表明，只要ψ满足

12

2

2

2

=??-

?t

c

ψψ，则A '

和?'也满足洛仑兹规范条件。

--------------------------------------

19．证明荷质比相同的不同带电粒子构成的体系不会产生偶极辐射。

[证明]

设体系有N 个粒子，第i 个粒子的质量为i m ，电荷为i q ，总质量为M ，粒子

的荷质比m

q m q i

i

=

相同，则体系的电偶极矩、磁偶极矩分别为

（1）电偶极矩

∑

∑

∑

==='

=

'='=

N

i i i N

i i i N

i i

i

i i x m m

q x m m q x q P 1

1

1

在c v <<的非相对论情形，应用质心运动定理。质心的矢径R

为

M

x m m

x m R i i i

i i ∑

∑∑'=

'

=

即R

M x m i i

='∑，则F

R M x m i i =='∑

。由于系统不受外力，则质心加速度

0=R

。

将R

M x m i i

='∑

代入电偶极矩P

中，给出

R

M m q P R M m q P ==,

因为0=R

，所以0=P 。由电偶极矩辐射公式

n p

R c e

B ikR ?= 03

4επ

n

n p R

c e

E ikR ??=

)(402

επ

可知该体系不存在电偶极矩辐射。

（2）磁偶极矩

L m q v m x m q v x q dV J x m i i N i i N i i i i

2121212

111=?'=?'=?'=

∑∑?== 其中体系的角动量

i

i N

i i v m x L

?'=

∑

=1

，系统不受外力时角动量守恒，即0=L

，故

021==L m q m 。由磁偶极矩辐射公式

n n m R c e B ikR

??=)(42

0πμ )

(40n m cR e E ikR ?-=πμ

可知该体系没有磁偶极矩辐射。

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污染环境修复(自己总结,供参考)

污染环境修复技术复习（自己总结，非准确答案，供参考） 一、名词解释 1、物理修复：利用污染物与环境之间各种物理特性的差异，达到将污染物从环境中去除、分离的目的。 2、化学修复:利用化学清除剂的物理化学性质及对污染物的吸附、吸收、迁移、淋溶、挥发、扩散和降解，改变污染物在环境中的残留积累，清除污染物或降低污染物的浓度至安全标准范围，且所施化学药剂不对环境系统造成二次污染。 3、生物修复（广义）：指利用细菌、真菌、水生藻类、陆生植物等的代谢活性降解有机污染物，减轻其毒性，改变重金属的活性或在土壤中的结合态，通过改变污染物的化学或物理特性而影响他们在环境中的迁移、转化和降解速率。 4、植物修复：以植物耐受和超量积累某种或某些化学元素的理论为基础，利用植物及其根际圈微生物体系的吸收、挥发、降解和转化作用来清除环境中污染物质的一项新兴的污染治理技术。 5、生态工程：应用生态系统中物种共生与物质循环再生原理，结构与功能协调原则，结合系统最优化方法设计的分层多级利用物质的生产工艺系统。 6、污染土壤修复技术：通过物理、化学、生物和生态学等方法和原理，并采用人工调控措施，使土壤污染物浓（活）度降低，实现污染物无害化和稳定化，以达到人们期望的解毒效果的技术和措施。 7、土壤玻璃化修复技术：通过高强度能量输入，使污染土壤熔化，将含有挥发性污染物的蒸汽回收处理，同时污染土壤冷却后成玻璃状团块固定。 8、电动力学修复：向污染土壤中插入两个电极，形成低压直流电场，通过电化学和电动力学的复合作用，使水溶态和吸附于土壤的颗粒态污染物根据自身带电特性在电场内定向移动，在电极附近富集或收集回收而去除的过程。 9、蒸汽浸提修复技术：在污染土壤内引入清洁空气产生驱动力，利用土壤固相、液相和气相之间的浓度梯度，在气压降低的情况下，将其转化为气态污染物排出土壤的过程。 10、化学淋洗修复：包括原位和异位化学淋洗，是指借助于能促进土壤环境中污染物浓度或迁移的溶解剂（既冲洗助剂）通过水利压头推动清洗液，将其注

电磁场第三版思考题目答案完整版

电磁场第三版思考题目 答案 集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]

一：1.7什么是矢量场的通量通量的值为正，负或0分别表示什么意义 矢量场F穿出闭合曲面S的通量为： 当大于0时，表示穿出闭合曲面S的通量多于进入的通量，此时闭合曲面S 内必有发出矢量线的源，称为正通量源。 当小于0时，小于 有汇集矢量线的源，称为负通量源。 当等于0时等于、闭合曲面内正通量源和负通量源的代数和为0，或闭合面内无通量源。 1.8什么是散度定理它的意义是什么 矢量分析中的一个重要定理： 称为散度定理。意义：矢量场F的散度在体积V上的体积分等于矢量场F在限定该体积的闭合积分，是矢量的散度的体积与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系。 1.9什么是矢量场的环流环流的值为正，负，或0分别表示什么意义 矢量场F沿场中的一条闭合回路C的曲线积分，称为矢量场F沿 的环流。 大于0或小于0，表示场中产生该矢量的源，常称为旋涡源。 等于0，表示场中没有产生该矢量场的源。 1.10什么是斯托克斯定理它的意义是什么该定理能用于闭合曲面吗

在矢量场F所在的空间中，对于任一以曲面C为周界的曲面S，存在如下重要关系 这就是是斯托克斯定理矢量场的旋度在曲面S上的面积分等于矢量场F在限定曲面的闭合曲面积分，是矢量旋度的曲面积分与该矢量沿闭合曲面积分之间的一个变换关系。能用于闭合曲面. 1,11 如果矢量场F能够表示为一个矢量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性=0,即F为无散场。 1.12如果矢量场F能够表示为一个标量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性=0即为无旋场 1.13 只有直矢量线的矢量场一定是无旋场，这种说法对吗为什么 不对。电力线可弯，但无旋。 1.14 无旋场与无散场的区别是什么 无旋场F的旋度处处为0，即，它是有散度源所产生的，它总可以表示矢量场的梯度，即 =0 无散场的散度处处为0，即，它是有旋涡源所产生的，它总可以表示为某一个旋涡，即。

郭硕鸿《电动力学》课后答案

郭硕鸿《电动力学》课后答案

第 40 页 电动力学答案 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式： B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=?? A A A A )()(2 2 1??-?=???A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ??+??=?? B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???=c c c c B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???= （2）在（1）中令B A =得： A A A A A A )(2)(2)(??+???=??， 所以 A A A A A A )()()(2 1 ??-??=??? 即 A A A A )()(2 2 1??-?=???A 2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明： u u f u f ?=?d d )( ， u u u d d )(A A ??=??， u u u d d )(A A ? ?=?? 证明： （1） z y x z u f y u f x u f u f e e e ??+??+??= ?)()()()(z y x z u u f y u u f x u u f e e e ??+??+??=d d d d d d u u f z u y u x u u f z y x ?=??+??+??=d d )(d d e e e （2） z u A y u A x u A u z y x ??+ ??+??=??)()()()(A z u u A y u u A x u u A z y x ??+??+??=d d d d d d u z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (e e e e e e ??=??+??+???++=

电动力学章节总结

第一章 一、总结 1．电磁场的六大基本方程及其对应的边值关系 2．介质的特性 欧姆定律： 焦耳定律： 另外常用： ； （可由上面相关公式推出） 3．洛仑兹力密度公式、电荷守恒定律 洛仑兹力密度公式： 由此式可导出： 电荷守恒定律： 稳恒条件下： 4．能量的转化与守恒定律 积分式： 其中， 微分式： 或 5．重要推导及例题 (1) .六个边值关系的导出； (2) .由真空中的麦克斯韦方程推出介质中的麦克斯韦方程； (3) .能流密度和能量密度公式的推导；

(4) .单根导线及平行双导线的能量传输图象； (5) .例题：所有课堂例题。 6．几个重要的概念、定义 (1) ； (2) ； (3) .矢量场的“三量三度”（见《矢量场论和张量知识》）和麦克斯韦电磁理论的“四、三、二、一”，其中“三量三度”见《矢量场论和张量知识》。 第二章 (1).唯一性定理的两种叙述 一般介质情况下的唯一性定理 有导体存在时的唯一性定理 (2).引入静电场标势的根据，的物理意义，的积 分表式 (3).与静电场标势有关的公式 (4).电多极展开的思想与表式，Dij=? a. 小区域电荷系在远区的电势 其中 为体系总电量集中在原点激发的电势； 为系统电偶极矩激发的电势； 为四极矩激发的势。 b. 电偶极矩、电四极矩 为体系的总电量 为体系的总电偶极矩 为体系的总电四极矩 c. 小电荷系在外电场中的能量 为电荷集中于原点时在外电场中的能量； 电力线 ；

为偶极矩在外场中的能量 为四极矩在外场中的能量 d. 用函数表示偶极矩的计算公式 其中；的定义满足 2．本章重要的推导 (1).静电场泊松方程和拉普拉斯方程导出：(1).；(2). (2).势函数的边值关系：(1)；(2) (3).静电场能量： (4).静电场的引出。 由于静电场与静磁场的理论在许多情况下具有很强的对称性的，许多概念、知识点及公式也具有类似的形式，所以我们将第二、第三章的小结编排在一起，以利于巩固和复习。 第三章 1．基本内容 (1).引入的根据，的积分表式，的物理意义 (2).引入的根据及条件，的积分表式及物理意义 (3).磁标势与电标势（）的比较及解题对照 标势 引入根据； ； 等势面电力线等势面磁力线等势面 势位差 微分方程 ； ； 边值关系 (4).磁多极展开与有关公式， a. 小区域电流在外场中的矢势

电动力学

《电动力学》课程教学大纲 课程英文名称：Electrodynamics 课程编号：0312033002 课程计划学时：48 学分：3 课程简介： 电动力学的研究对象是电磁场的基本属性, 它的运动规律以及它和带电物质之间的相互作用，本课程在电磁学的基础上系统阐述电磁场的基本理论。另外，本课程还系统地阐述狭义相对论的重要内容，而相对论是现代物理学的重要基础，它与量子论一起对物理学的发展影响深刻，是二十世纪科学与技术飞速发展的基础。本课程是材料物理专业本科的重要专业基础课。 电动力学是物理类有关各专业的一门基础理论课。学电动力学的目的：（1）是使学生系统地掌握电磁运动的基本概念和基本规律，加深对电磁场性质的理解；（2）是使学生获得分析和处理一些问题的基本方法和解决问题的能力，提高逻辑推理和插象思维的能力，为后继课程的学习和独立解决实际问题打下必要的理论基础。 在教学过程中，使用启发式教学，尽量多介绍与该课程相关的前沿科技动态，充分调动和发挥学生的主动性和创新性；提倡学生自学，培养学生的自学能力。 一、课程教学内容及教学基本要求 第一章电磁现象的普遍规律 本章重点：在复习矢量分析、?算符、?算符及其运算法则、δ函数性质的基础上，从电磁场的几个基本实验律(库仑定律，毕奥--萨伐尔定律，电磁感应定律，电荷守恒律) 出发，加上位移电流假定, 总结出电磁场的基本运动规律Maxwell方程组、电荷守恒律和洛仑兹力公式。讨论了介质中的Maxwell方程, 电磁场的能量。本章内容是本课程的基础，必须深刻掌握。 难点：电磁场边值关系，电磁场的能量和能流。 本章学时:10学时 教学形式:讲授 教具:黑板，粉笔 第一节矢量分析和张量；?算符、?算符及其运算规则、δ函数性质 本节要求：理解：矢量分析和张量运算。掌握：?算符、?算符及其运算法则、δ函数性质（重点：考核概率50%）。 1 矢量分析和张量（理解：矢量运算法则，在电动力学中张量是如何引入的；了解：线性各

电磁场与电磁波第四版课后思考题

《电磁场与电磁波理论》思考题 第1章思考题 什么是标量？什么是矢量？什么是矢量的分量？ 什么是单位矢量？什么是矢量的单位矢量？ 什么是位置矢量或矢径？直角坐标系中场点和源点之间的距离矢量是如何表示的？ 什么是右手法则或右手螺旋法则？ 若两个矢量相互垂直，则它们的标量积应等于什么？矢量积又如何？ 若两个矢量相互平行，则它们的矢量积应等于什么？标量积又如何？ 若两个非零矢量的标量积等于零，则两个矢量应垂直还是平行？ 若两个非零矢量的矢量积等于零，则两个矢量应垂直还是平行？ 直角坐标系中矢量的标量积和矢量积如何计算？ 什么是场？什么是标量场？什么是矢量场？ 什么是静态场或恒定场？什么是时变场？ 什么是等值面？它的特点有那些？ 什么是矢量线？它的特点有那些？ 哈密顿算子为什么称为矢量微分算子？ 标量函数的梯度的定义是什么？物理意义是什么？ 什么是通量？什么是环量？ 矢量函数的散度的定义是什么？物理意义是什么？ 矢量函数的旋度的定义是什么？物理意义是什么？ 什么是拉普拉斯算子？标量和矢量的拉普拉斯运算分别是如何定义的？ 直角坐标系中梯度、散度、旋度和拉普拉斯算子在的表示式是怎样的？

三个重要的矢量恒等式是怎样的？ 什么是无源场？什么是无旋场？ 为什么任何一个梯度场必为无旋场？为什么任何一个无旋场必为有位场？为什么任何一个旋度场必为无源场？为什么任何一个无源场必为旋度场？高斯散度定理和斯托克斯定理的表示式和意义是什么？ 什么是矢量的唯一性定理？ 在无限大空间中是否存在既无源又无旋的场？为什么？ 直角坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的？ 圆柱坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的？ 球面坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的？

电动力学习题解答

第二章 静电场 1. 一个半径为R 的电介质球，极化强度为2 /r K r P =，电容率为ε。 （1）计算束缚电荷的体密度和面密度： （2）计算自由电荷体密度； （3）计算球外和球的电势； （4）求该带电介质球产生的静电场总能量。 解：（1）P ?-?=p ρ2 222/)]/1()/1[()/(r K r r K r K -=??+??-=??-=r r r )(12P P n -?-=p σR K R r r /=?==P e （2）)/(00εεεε-=+=P P E D 内 200)/()/(r K f εεεεεερ-=-??=??=P D 内 （3）)/(/0εεε-==P D E 内内 r r f r KR r V e e D E 2002 00 )(4d εεεεπερε-= = = ?外 外 r KR r )(d 00εεεε?-= ?=?∞r E 外外 )(ln d d 0 0εε εε?+-= ?+?=??∞r R K R R r r E r E 外内内 （4）???∞-+-=?=R R r r r R K r r r K V W 42200222022202d 4)(21d 4)(21d 21πεεεεπεεεE D 2 0))(1(2εεεεπε-+=K R 2. 在均匀外电场中置入半径为0R 的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势： （1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差0Φ； （2）导体球上带总电荷Q 解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场0E 方向的轴线，取该轴线为 极轴，球心为原点建立球坐标系。 当0R R >时，电势?满足拉普拉斯方程，通解为 ∑++ =n n n n n n P R b R a )(cos )(1 θ? 因为无穷远处 0E E →，)(cos cos 10000θ?θ??RP E R E -=-→ 所以 00?=a ，01E a -=，)2(,0≥=n a n 当 0R R →时，0Φ→? 所以 010 1000)(cos )(cos Φ=+-∑+n n n n P R b P R E θθ? 即： 002010000/, /R E R b R b =Φ=+?

电动力学复习总结电动力学复习总结答案

第二章 静 电 场 一、 填空题 1、若一半径为R 的导体球外电势为b a b r a ,,+=φ为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为 。 答案： 02a R ε 2、若一半径为R 的导体球外电势为3 002cos cos =-+E R E r r φθθ,0E 为非零常数， 球外为真空，则球面上的电荷密度为 . 球外电场强度为 . 答案：003cos E εθ ,303[cos (1)sin ]=-+-v v v r R E E e e r θθθ 3、均匀各向同性介质中静电势满足的微分方程是 ；介质分界面上电势的边值关系是 和 ；有导体时的边值关系是 和 。 答案： σφ εφσφεφεφφερφ-=??=-=??-??=- =?n c n n ,,,,1122212 4、设某一静电场的电势可以表示为bz y ax -=2φ,该电场的电场强度是_______。 答案：z y x e b e ax e axy ? ??+--22 5、真空中静场中的导体表面电荷密度_______。 答案：0n ? σε?=-? 6、均匀介质部的体极化电荷密度p ρ总是等于体自由电荷密度f ρ_____的倍。 答案： -（1- ε ε0 ） 7、电荷分布ρ激发的电场总能量1 ()() 8x x W dv dv r ρρπε''= ??v v 的适用于 情 形. 答案：全空间充满均匀介质 8、无限大均匀介质中点电荷的电场强度等于_______。 答案： 3 4qR R πεv 9、接地导体球外距球心a 处有一点电荷q, 导体球上的感应电荷在球心处产生

的电势为等于 . 答案： 04q a πε 10、无电荷分布的空间电势 极值.(填写“有”或“无”) 答案：无 11、镜象法的理论依据是_______，象电荷只能放在_______区域。 答案：唯一性定理, 求解区以外空间 12、当电荷分布关于原点对称时，体系的电偶极矩等于_______。 答案：零 13、一个外半径分别为R 1、R 2的接地导体球壳,球壳距球心a 处有一个点电荷，点电荷q 受到导体球壳的静电力的大小等于_______。 答案：212014() R q a R a a πε- 二、 选择题 1、泊松方程ε ρ φ- =?2适用于 A.任何电场 B. 静电场; C. 静电场而且介质分区均匀; D.高频电场 答案： C 2、下列标量函数中能描述无电荷区域静电势的是 A ．2363y x + B. 222532z y x -+ C. 32285z y x ++ D. 2237z x + 答案： B 3、真空中有两个静止的点电荷1q 和2q ，相距为a ，它们之间的相互作用能是 A ．a q q 0214πε B. a q q 0218πε C. a q q 0212πε D. a q q 02132πε 答案：A 4、线性介质中,电场的能量密度可表示为 A. ρφ21; B.E D ? ??21; C. ρφ D. E D ??? 答案：B 5、两个半径为12,R R ,124R R =带电量分别是12,q q ,且12q q =导体球相距为a(a>>12,R R ),将他们接触后又放回原处,系统的相互作用能变为原来的 A. 16,25倍 B. 1,倍 C. 1,4倍 D. 1 ,16倍 答案： A

7相明(电磁场边值关系--唯一性定理)

5ξ电磁场的边值关系 一．引言 当介质分布均匀时，出现了界面，→ D ,→ B 有跃变，界面两侧场值的关系 1.边值关系：描述介质界面两侧的场矢量与界面上电荷，电流的关系 2.麦氏方程组的微分形式要求→ E ,→ D ,→B ,→ H 在介质中连续 麦氏方程组的积分形式在场量不连续时不成立。 故不能用微分形式导出边值关系，而用积分形式讨论边值关系。 ?? ? ? ????? =?=????→ →→→s s v S d B dv S d D 0ρ?导出法向关系 ???? ? ???????+?=????-=??????→→ →→→→→→ →→s s l l S d t D S d j l d H S d t B l d E ?导出切向关系 二．边值关系（法向关系证明从略,切向关系讲一例后推论） 1.→ D 的法向有跃变 ??=?→→v s dv S d D ρ?σ f D D n =-?→ →→)(12 （1） 推论：ε σσρρε0 1 20 )()(1 p f v p f s E E n dv S d E +=-??+=?→ → → → → ?? （2） dv S d P p s ??-=?→→ρ→?n )(1 2 → →-?P P =-σ P （3） 2．→ B 的法向连续 0)(0)(01 1 2 2 1 2 =-??? ??→?=-??=?→ →→→→→→→?H u H u B B n n S d B s 线性各向同性 (4) 3.的→ E 切向连续 →→ → → ?-=???S d B dt d l d E s l 0)(12=-??→→→E E n E E t t 12= (5) 4.的切向跃变→ H

【热门】个人自我鉴定范文合集五篇

【热门】个人自我鉴定范文合集五篇 个人自我鉴定范文合集五篇 一般来说，自我鉴定即是自我总结，自我鉴定可以让我们对自己有个正确的认知，因此我们是时候写一份自我鉴定了。但是自我鉴定有什么要求呢？下面是小编帮大家整理的个人自我鉴定5篇，仅供参考，希望能够帮助到大家。个人自我鉴定篇1 本人目前就读于北航材料科学与工程学院，主要从事激光粉末沉积钛合金结构材料的研究，重点在于激光粉末沉积加工过程中复杂的热-力变化与耦合以及固态相变问题。对于理论知识，我始终有着浓厚的兴趣，在本科学习期间我选修了应用物理专业的四大力学和有关课程，并且获取了辅修第二专业的资格。最令人激动的是电动力学的中求解的精致和理论力学所揭示的优美，由于用心投入，我的成绩一直十分突出。那时我是计算机学院的一名学生，当时之所以选择了软件工程专业是因为那是我的喜好以及当时的热门。后来不久我意识到依此来作出选择有考虑不周全的地方，脱离了数学、逻辑的基础的计算机相关工作几乎只能是索然无味的重复劳动，因为对操作系统、编译器乃至中央处理器的研究离不开这些知识。于是怀着对科学的热爱我考进了北航理学院凝聚态物理专业，在读硕期间学习了许多更深入的理论课，论文课题的研究对象是氧化锡气敏材料及与其制备相关的多孔阳极氧化铝。计算机便成为了我的一项业余爱好。我对计算机知识的学习绝对是值得的，这不但使创造力得以施展而且锻炼了逻辑思维。作为个人兴趣我编写过一些小游戏还有简单的编程语言解释器;架设了学院的上海市精品课程网站;编写的数据库操作演示系统也被列为了学院的教学评估成果之一。能够熟练运用C++ .NET语言，这对许多工作都是有益的，能够使某些劳动时间降至可以忽略不计的程度。此外与计算机的接触使我会基本操作常见的2D、3D软件，还能够使用一些数学、有限元软件，可以在需要使用的时候迅速上手。在英语水平方面可以一提的是曾经为了准备GRE考试我背完了一本包含约两万单词的字典，现在拥有词汇量15000～20000，在英文阅读与写作中不会遇到任何障碍。个人自我鉴定篇2

数学物理方法课程教学大纲

《数学物理方法》课程教学大纲 （供物理专业试用） 课程编码：140612090 学时：64 学分：4 开课学期：第五学期 课程类型：专业必修课 先修课程：《力学》、《热学》、《电磁学》、《光学》、《高等数学》 教学手段：（板演） 一、课程性质、任务 1．《数学物理方法》是物理教育专业本科的一门重要的基础课，它是前期课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》和《电子技术》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。本课程在本科物理教育专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。在物理教育专业的所有课程中，本课程是相对难学的一门课，学生应以认真的态度来学好本课程。 2．本课程的主要内容包括复变函数、傅立叶级数、数学物理方程、特殊函数等。理论力学中常用的变分法，量子力学中用到的群论以及现代物理中用到的非线性微分方程理论等，虽然也属于《数学物理方法》的内容，但在本大纲中不作要求。可以在后续的选修课中加以介绍。 3．《数学物理方法》既是一门数学课程，又是一门物理课程。注重逻辑推理和具有一定的系统性和严谨性。但是，它与其它的数学课有所不同。本课程内容有很深广的物理背景，实用性很强。因此，在这门课的教学过程中，不能单纯地追求理论上的完美、严谨，而忽视其应用。学生在学习时，不必过分地追求一些定理的严格证明、复杂公式的精确推导，更不能死记硬背，而应重视其应用技巧和处理方法。

4．本课程的内容是几代数学家与物理学家进行长期创造性研究的成果，几乎处处都闪耀创新精神的光芒。教师应当提示学生注意在概念建立、定理提出的过程中所用的创新思维方法，在课堂教学中应尽可能地体现历史上的创造过程，提高学生的创造性思维能力。二、课程基本内容及课时分配 第一篇复数函数论 第一章复变函数（10） 教学内容： §1.1．复数与复数运算。复平面，复数的表示式，共轭复数，无穷远点，复数的四则运算，复数的幂和根式运算，复数的极限运算。 §1.2．复变函数。复变函数的概念，开、闭区域，几种常见的复变函数，复变函数的连续性。 §1.3．导数。导数，导数的运算，科希—里曼方程。 §1.4．解析函数。解析函数的概念，正交曲线族，调和函数。 §1.5．平面标量场。稳定场，标量场，复势。 第二章复变函数的积分（7） 教学内容： §2.1．复数函数的积分，路积分及其与实变函数曲线积分的联系。 §2.2．科希定理。科希定理的内容和应用，孤立奇点，单通区域，复通区域，回路积分。 §2.3．不定积分*。原函数。 §2.4．科希公式。科希公式的导出，高阶导数的积分表达式。（模数原理及刘维定理不作要求） 第三章幂级数展开（9） 教学内容：

电磁场思考题

第一章 第二章1.什么是矢量场的通量通量的值为正、负或0分别表示什么意义 解答：矢量场F 穿出闭合曲面S 的通量为： dS e F dS F s n s ??==··ψ 当? >s dS F 0·时，表示穿出闭合曲面S 的通量多于进入的通量，此时闭合曲面内必有发出矢量线的源，成为正通量源。 当? ?c dl F 0或?

电动力学知识点总结及试题

洛仑兹力密度< f=/?+^x§ 三.内容提要: 1. 电磁场的基本实捡定律, (1)库仑定律* 二、知识体躺 库仑定理'脸订警壬 电童■应定体毎事孑―半丄@?抜/尸n 涡険电场假设 介质的极化焕律，0=#“ V*fi = p ▽4遁 at 仪鲁电涛fit 设 比真#伐尔定律，s= 介 M?4tM 律： ft^~a Co n Vxff = J + — a 能童守恒定律 缢性介JR 能*??> 能淹密度： S^ExH

対可个点电荷e 空间块点的场强爭丁各点电佔单越力在时徃该点场强的伕城和, （2）毕臭一萨伐尔定律（电沱决崔感场的实於疋律） （3）电耐应定律 ￡& -

其中： 几 1址介质中普适的41底场钛木方用.适用于任盘介丿鼠 2当14=0=0.过渡到真 空怙况: -aff at +?e —J dt v 7 5=0 2o￡o 3当N N 时.回到挣场惜况: 扭方=0 ￡b ?恣=J 妙 F 护云=0 I 有12个未知塑.6个独立方秤，求解时必须给出二与M, 2与?的关系。 介时： 3、介贯中的电恿性廣方程 若为却铁雄介质 I 、电哦场较弱时"与丘&与臣 b 与2万与"均呈线性关系. 向同性均匀介质, P= Q=岭耳 9 9 2、导体中的欧姆定律 在存电源时?电源内部亠八海?)?直?为怖电力的等效场, 4. 洛伦兹力公式 II 7xfl = O 7xH=/ Q ?D 0p 7ft =

电动力学习题集答案

电动力学第一章习题及其答案 1. 当下列四个选项：(A.存在磁单级, B.导体为非等势体, C.平方反比定律不精确成立,D.光速为非普 适常数)中的_ C ___选项成立时,则必有高斯定律不成立. 2. 若 a 为常矢量 , r (x x ')i ( y y ')j (z z ')k 为从源点指向场点的矢量 , E , k 为常矢量,则 ！ (r 2 a ) =(r 2 a ) (r a 2r a , )a ) ddrr r a 2r r r 2 r i j — k (x x ') (y y ') (z z ') i j k — ！ 2(x x ') (x x ') ,同理， ？ x (x x ') 2 (y y ') 2 (z z ') 2 / r 2 (x x ')(y y ')(z z ') (y y ') (x x ') （ (y y ') 2 (z z ') y (x x ') 2 (y y ') 2 (z z ') # 2 , z 2 2 (z z ') r 【 r e e e x x x ！ r (x-x') r (y-y') y (z-z') 3 z ， ' x y z x x ' y y ' z z ' 0， x (a r ) a ( r ) 0 , : ) r r r r r r r 0 r rr ( r 1 1 r 《 a ， , ( ) [ a (x -x' )] [ a (y - y')] … j [a (z -z')] a r i k x y z * r r r r 1 r 1 r … r 3 r 2 3 r ， ( A ) __0___. r r , [E sin(k r )] k E 0 cos(k r ) __0__. (E 0e ik r ) , 当 r 0 时 , ! (r / r ) ik E 0 exp(ik r ) , [rf (r )] _0_. [ r f ( r )] 3f (r )r # s 3. 矢量场 f 的唯一性定理是说：在以 为界面的区域V 内, 若已知矢量场在V 内各点的旋度和散 度,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则 在 内唯一确定. f V 0 ,若 J 为稳恒电流情况下的电流密度 ,则 J 满足 4. 电荷守恒定律的微分形式为 — J t J 0 . 5. 场强与电势梯度的关系式为， E .对电偶极子而言 ,如已知其在远处的电势为

电动力学复习总结第四章 电磁波的传播2012答案

第四章 电磁波的传播 一、 填空题 1、 色散现象是指介质的( )是频率的函数. 答案：,εμ 2、 平面电磁波能流密度s 和能量密度w 的关系为( )。答案：S wv = 3、 平面电磁波在导体中传播时,其振幅为( )。答案：0x E e α-? 4、 电磁波只所以能够在空间传播,依靠的是( )。 答案：变化的电场和磁场相互激发 5、 满足条件( )导体可看作良导体，此时其内部体电荷密度等于( ) 答案： 1>>ωε σ , 0, 6、 波导管尺寸为0.7cm ×0.4cm ，频率为30×109HZ 的微波在该波导中能以 ( )波模传播。答案： 10TE 波 7、 线性介质中平面电磁波的电磁场的能量密度（用电场E 表示）为 ( )，它对时间的平均值为( )。答案：2E ε, 202 1E ε 8、 平面电磁波的磁场与电场振幅关系为( )。它们的相位( )。 答案：E vB =,相等 9、 在研究导体中的电磁波传播时，引入复介电常数='ε( )，其中虚部 是( )的贡献。导体中平面电磁波的解析表达式为( )。 答案： ω σεεi +='，传导电流，)(0),(t x i x e e E t x E ωβα-??-= , 10、 矩形波导中，能够传播的电磁波的截止频率= n m c ,,ω( )，当电磁 波的频率ω满足( )时，该波不能在其中传播。若b ＞a ，则最低截止频率为( )，该波的模式为( )。 答案： 22,,)()(b n a m n m c += μεπω，ω＜n m c ,,ω，με πb ，01TE

11、 全反射现象发生时,折射波沿( )方向传播.答案：平行于界面 12、 自然光从介质1(11με，)入射至介质2(22με，),当入射角等于( ) 时,反射波是完全偏振波.答案：2 01 n i arctg n = 13、 迅变电磁场中导体中的体电荷密度的变化规律是( ). 答案：0t e σε ρρ-= 二、 选择题 1、 电磁波波动方程22222222110,0E B E B c t c t ???-=?-=?? ,只有在下列那种情况下 成立（ ） A ．均匀介质 B.真空中 C.导体内 D. 等离子体中 答案： A 2、 电磁波在金属中的穿透深度（ ） A ．电磁波频率越高,穿透深度越深 B.导体导电性能越好, 穿透深度越深 C. 电磁波频率越高,穿透深度越浅 D. 穿透深度与频率无关 答案： C 3、 能够在理想波导中传播的电磁波具有下列特征（ ） A ．有一个由波导尺寸决定的最低频率,且频率具有不连续性 B. 频率是连续的 C. 最终会衰减为零 D. 低于截至频率的波才能通过. 答案：A 4、 绝缘介质中，平面电磁波电场与磁场的位相差为（ ） A ．4π B.π C.0 D. 2π 答案：C 5、 下列那种波不能在矩形波导中存在（ ） A ． 10TE B. 11TM C. mn TEM D. 01TE 答案：C 6、 平面电磁波E 、B 、k 三个矢量的方向关系是（ ） A ． B E ?沿矢量k 方向 B. E B ?沿矢量k 方向 C.B E ?的方向垂直于k D. k E ?的方向沿矢量B 的方向 答案：A 7、 矩形波导管尺寸为b a ? ,若b a >,则最低截止频率为（ ）

电动力学心得体会

电动力学心得体会 篇一：学习物理学概论的心得体会 学习物理学概论的心得体会 还记得刚进入大学开始学习时，我对物理学感到很迷茫，我不知道自己将要学的是什么。但是通过高老师详细的讲解之后，我发现原来物理学对我们的生活很重要，原来物理学是这样慢慢壮大的，原来是有那么多先辈的伟大付出的，原来有那么多充满乐趣的故事。那种对未知的探索，那种对科学的执着，那种探索的乐趣，一切都深深的吸引了我。 物理学是研究宇宙间物质存在的基本形式、性质、运动和转化、内部结构等方面，从而认识这些结构的组成元素及其相互作用、运动和转化的基本规律的科学。物理学可以分为经典力学、电磁学、热力学和统计力学、相对论和量子力学。 其中经典力学是研究宏观物质做低速机械运动的现象和规律的学科。而牛顿则是经典力学的主要创作者，他深入研究了伽利略的现象行理论以及行星绕日运动的经验规律，发现了宏观低速机械运动的基本规律。 热学是研究热的产生和传导，研究物质处于热状态下的性质及其转化的科学。对于热现象的研究逐步澄清了关于热的一些模糊概念，并在此基础上开始探索热现象的本质和普遍规律。而关于热现象的普遍规

律的研究就称为热力学。到19世纪，热力学已趋于成熟。19世纪中期，焦耳等人用实验确定了热量和功之间的定量关系，从而建立了热力学第一定律。在卡诺研究结果的基础上克劳修斯等科学家提出了热力学第二定律，表达了宏观非平衡过程的不可逆性。深入研究热现象的本质，就产生了统计力学。统计力学应用数学中统计分析的方法，研究大量粒子的平均行为。 经典电磁学是研究宏观电磁现象和客观物体的电磁性质的学科。在18世纪，人们早已发现电荷有两种，而在18世纪末发现电荷能够流动，这就是电流。在19世纪前期，奥斯特发现电流可以使小磁针偏转，而后安培发现作用力的方向和电流的方向，以及磁针到通过电流的导线的垂直线方向相互垂直。不久之后，法拉第又发现，当磁棒插入导线圈时，导线圈中就产生了电流。在电和磁的联系被发现以后，法拉第引进力线的概念并产生了电磁场的概念。19世纪下半叶，麦克斯韦总结了宏观电磁学的规律并引进了位移电流的概念，在此基础上他提出了一组偏微风方程来表达电磁现象的基本规律，并预言了存在以光速传播的电磁波。而后，赫兹用实验证明了麦克斯韦预言的电磁波具有光速和反射、折射、干涉、衍射、偏振等一切光波的性质。从而完成了电磁学和光学的综合。 19世纪末期经典物理学已经发展到很完美的阶段，许多物理学家认为物理学已接近尽头，以后的工作只是增加有效数字的位数。开尔文在除夕夜的新年祝词中说：“物理大厦已经落成······现在它的美丽而晴朗的天空出现两朵乌云，一朵出现在光的波动理论，另一朵出现在

数学物理书目完美整理版

数学物理书目 这个书目是我从网上收集起来的,应该算比较全面了,以前在这里发过一次，但现在找不到了，再次发在这里大家参考.。 目录： 1数学书目 1.1《数学分析--高等数学》 1.2《高等代数--线性代数》 1.3《空间解析几何》 1.4《常微分方程》 1.5《单复变函数》 1.6《关于自学数学》 1.7《实变函数论与泛函分析》 1.8《抽象代数》 1.9《组合基础》 1.10《数学物理方程》 1.11《拓扑学》 1.12《微分几何》 1.13《微分流形》 2数学参考书目 2.1说明 2.2逻辑 2.3组合，形式计算 2.4数论 2.5代数，同调代数，范畴，层 2.6K-理论，C^*-代数 2.7代数几何 2.8群，李群和李代数 2.9代数拓扑，微分拓扑 2.10微分几何 2.11动力系统 2.12实分析，调和分析 2.13泛函分析 2.14复分析，解析几何，奇性 2.15线性偏微分方程，D-模 2.16非线性偏微分方程 2.17数学物理 2.18数值分析 2.19概率 2.20统计

2.21博弈论，经济数学，最优化 2.22数学史 3物理学书单 3.1量子力学 3.2理论力学 3.3电动力学 3.4固体物理 3.5数理方法 3.6统计力学 3.7一些补充 4理论物理 5物理经典教材 6A Physics Booklist:Recommendations from the Net 6.1Subject Index 6.2General Physics(so even mathematicians can understand it!) 6.3Classical Mechanics 6.4Classical Electromagnetism 6.5Quantum Mechanics 6.6Statistical Mechanics and Entropy 6.7Condensed Matter 6.8Special Relativity 6.9Particle Physics 6.10General Relativity 6.11Mathematical Methods(so that even physicists can understand it!) 6.12Nuclear Physics 6.13Cosmology 6.14Astronomy 6.15Plasma Physics 6.16Numerical Methods/Simulations 6.17Fluid Dynamics 6.18Nonlinear Dynamics,Complexity,and Chaos 6.19Optics(Classical and Quantum),Lasers 6.20Mathematical Physics 6.21Atomic Physics 6.22Low Temperature Physics,Superconductivity 7习题 8推荐给大家的优秀数学参考书

电动力学第二章答案

1. 一个半径为R 的电介质球，极化强度为2 /r K r P =，电容率为ε。 （1）计算束缚电荷的体密度和面密度： （2）计算自由电荷体密度； （3）计算球外和球内的电势； （4）求该带电介质球产生的静电场总能量。 解：（1）P ?-?=p ρ2222/)]/1()/1[()/(r K r r K r K -=??+??-=??-=r r r )(12P P n -?-=p σR K R r r /=?==P e （2）)/(00εεεε-=+=P P E D 内 200)/()/(r K f εεεεεερ-=-??=??=P D 内 （3）)/(/0εεε-==P D E 内内 r r f r KR r V e e D E 200200)(4d εεεεπερε-= = = ?外 外 r KR r )(d 00εεεε?-= ?=?∞r E 外外 )(ln d d 0 0εεεε?+-=?+?=??∞r R K R R r r E r E 外内内 （4）???∞-+-=?=R R r r r R K r r r K V W 42200222022 202d 4)(21d 4)(21d 21πεεεεπεεεE D 2 0))(1(2εεεεπε-+=K R 2. 在均匀外电场中置入半径为0R 的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：（1） 导体球上接有电池，使球与地保持电势差0Φ； （2）导体球上带总电荷Q 解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场0E 方向的轴线，取该轴线为 极轴，球心为原点建立球坐标系。 当0R R >时，电势?满足拉普拉斯方程，通解为 ∑++ =n n n n n n P R b R a )(cos )(1 θ? 因为无穷远处0E E →，)(cos cos 10000θ?θ??RP E R E -=-→ 所以00?=a ，01E a -=，)2(,0≥=n a n 当0R R →时，0Φ→? 所以010 1000)(cos )(cos Φ=+-∑+n n n n P R b P R E θθ? 即：002 010000/, /R E R b R b =Φ=+? 所以) 2(,0,),(3 010000≥==-Φ=n b R E b R b n ? ?? ?≤Φ>+-Φ+-=)() (/cos /)(cos 00 02 3 0000000R R R R R R E R R R E θ?θ?? （2）设球体待定电势为0Φ，同理可得