2017高考数学考试大纲解读系理科：专题3 导数及其应用 Word版含解析
专题三导数及其应用
考纲原文呈现
1．导数概念及其几何意义 （1）了解导数概念的实际背景； （2）理解导数的几何意义． 2．导数的运算
（1）能根据导数定义求函数y =C ，（C 为常数），2
3
1
,,,,y x y x y x y y x
=====的导数．
（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f (ax +c )的复合函数）的导数．
①常见基本初等函数的导数公式：
()0C '=（C 为常数）；1()()n n x nx n N -+'=∈； (sin )cos x x '=；(cos )sin x x '=-；
()x x e e '=；()ln (01)x x a a a a a '=>≠且；
1(ln )x x '=
；1
(log )log a a x e x
'=(01)a a >≠且． ②常用的导数运算法则：
法则1：[()()]()()u x v x u x v x '''+=+．
法则2：[()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+．
法则3：2()()()()()
[
](()0)()()
u x u x v x u x v x v x v x v x ''-'=≠． 3．导数在研究函数中的应用
（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）；
（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．
4．生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题．
5．定积分与微积分基本定理
（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；
（2）了解微积分基本定理的含义．
考情分析与预测
导数在研究单调性与求最值中应用12
命题预测本部分是高考重点考查内容，涉及的知识点多，综合性强，预计2017年的高
考仍将突出导数的工具性，重点是利用导数研究函数的极值、最值及单调性等问题，其中蕴
含对转化与化归、分类与讨论和数形结合等数学思想方程的考查，常与函数的单调性、方程
的零点、不等式的证明及恒成立问题交汇命题，难度较大．主要题型仍将有：（1）以小题形
式考查导数与定积分的计算及其几何意义；（2）以大题的形式出现，考查导数在函数的应用
中（单调性，极值与最值）．
样题深度解读
主要有两种题型：（
已知函数的单调区间，此
样题分析
首先求出函数()f x 的导函数(f x '的值，再利用定积分求得图象阴影部分的面积，
押题：设函数()2
2ln f x x bx a x =+-．
（1）当5,1a b ==-时，求()f x 的单调区间；
（2）若对任意[]3,2b ∈--，都存在()
2
1,x e ∈（为自然对数的底数），使得()0f x <成
立，求实数的取值范围．
【解析】（1）当5,1a b ==-时，()2
25ln f x x x x =--，其定义域为()0,+∞，
()()()245154541x x x x f x x x x x
-+--'=--==， 由()0f x '<，得514x -<<
，由()0f x '>，得1x <-或5
4
x >． 因为定义域为()0,+∞，所以()f x 的递减区间为50,4?
? ???，()f x 的递增区间为5,4??
+∞
???
．
()()2820,1,x x x e ?'=->∈，所以()x ?在()21,e 上单调递增，所以
()()12x a ??>=-，
当2a ≤时，()0x ?>，即()0h x '>，所以()h x 在()
2
1,e 上单调递增，所以
()()10h x h >=，不符合题意．
当2a >时，()()
242
120,42a e e e a ??=-<=--，
若()
20e ?≤，即()
4222
42212a e e e e ≥-=->时，()0x ?<，即()0h x '<，()h x 在
()2
1,e 上单调递减，又()10h =，所以存在()2
1,x e ∈，使得()0
0x ?<，
若()
20e ?>，即42
242a e e <<-时，在()
21,e 上存在实数m ，使得()0m ?=，即
()1,x m ∈时，()()0,0x h x ?'<<，所以()h x 在()1,m 上单调递减，所以()01,x m ∈，使得()()010h x h <=．
综上所述，当2a >时，对任意[]3,2b ∈--，存在()
2
1,x e ∈，使得()0f x <成立．