双电子原子体系的基态能量和波函数
双电子原子体系的基态能量和波函数
关键词：多电子原子；基态能量；变分法；波函数
摘 要：文章的新内在近似求解双电子原子体系的Schrodinger 方程时，忽略电子之间的相互作用，用分离变量法得出体系哈密顿量的基态本征函数是两个类氢原子基态波函数的乘积，选取含有四个参数指数形式函数的线性组合所构成的试探性径向波函数，推导出含有四个参数双电子原子基态能量表达式，对其进行变分计算，确定四个参数，求得体系的基态能量和相应的波函数，计算结果与实验值相当接近。
Energy and wave function of the ground state for two-electron atomic
systems
Key words : Two-electron atom;Ground state; Variational method;Wave function
Abstract :Approximately solving Schrodinger equation of two-electron atoms system ，the interaction between
electrons was neglected. Based on the method of separation of variables,the ground state eigenfunction of the Hamiltonian of the system proved to be the product of two kinds of ground state wave function of hydrogen atom.The exploratory radial wave function was composed of linear combination of containing four selected parameters exponential function,which was used to deduce the expression of the ground state energy by means of a variation- perturbation. The ground state energy and the corresponding wave function were obtained,and the calculation results were in better agreement with the experiment data.
1引 言：
在量子力学中我们会遇到许多有相互作用的多粒子体系问题，这些多体问题是很难严格求解的，只能用近似方法求解，在这些近似方法中实用得最普遍的是微扰论和变分法。本文所研究的是三体问题，即关于双电子原子体系的基态能量和波函数近似求解。双电子原子体
系包含氦原子以及类氦离子，对于其基态能量已用微扰论和变分法[1]
求出，但其所选取的用来变分计算的试探波函数只含有一个变分参数，为了提高理论计算的精确度，本文选取含有四个参数指数形式函数的线性组合所构成的具有试探性的径向波函数[2]，对双电子原子体系的基态能量进行变分计算并确定参数，求得基态能量和相应的波函数，计算结果与实验值相当接近。
2双电子原子体系的基态波函数
双电子原子体系是由带正电荷Ze （Z 为核电荷数）的原子核与核外两个电子组成的体系，比如氦原子以及类氦离子就是属于此体系，由于原子核的质量比电子质量大得多，可近似认为核不动[3]，则双电子原子体系的哈密顿算符为
22121212
1?22Z Z H r r r ??=----+ (1) 取双电子原子体系的原子核作为坐标原点，以11,z r s 和22,z r s 表示两电子的空间坐标和自旋
坐标，式中12r 是两个电子之间的距离 (全文采用原子单位, 能量单位为哈特利)。如果第 ()1,2αα=个电子的量子数为(
)
,,,i i li si n l m m ，则称第α个电子处于(),,,i i li si n l m m 态，其波函数记为(
)
,i i li si n l m m z r s ααψ，为书写简便，常简记为
()(),i i
l s i
i
i n l m m z x r s αααψψ≡ (2)
其中i 是量子数
(),,,i i li si n l m m 的简写，x α是r α和z s α的集合，如
()()1111
1111,l s n l m m z x r s ψψ≡， ()()1111
1222,l s n l m m z x r s ψψ≡
现在做近似处理，忽略两个电子之间的静电相互作用，化为单体问题，此时两个电子互
不相干地在核电场中运动，?H
变为 22
120
12
?22Z Z H r r ??=---- 它是两个类氢原子哈密顿算符之和，满足薛定谔方程0?H E Φ=Φ，而()12
,x x Φ为体系的波函数，0?H 可以表示为
00102???H H H =+ 式中01?H ，02
?H 分别是每个电子的哈密顿算符，因为此体系是由全同粒子组成的，所以在体系中两电子的哈密顿算符是相同的，将()12,x x Φ分离变量，即()222111(),()x x x x ψψΦ=，
以i λ，i ψ()1,2i =分别表示的类氢原子能级和波函数，由薛定谔方程00
?H E Φ=Φ可推导出：
211011111122022112222222
?()()()()2?()()()()2x x x x x x Z H r Z H r ψψλψψψλψ?=--=?=--= (3) 其中 ()()()()(),i i i
i li
si
i
l s i
i
n l l m i
n l m m m z R r Y x x s ααααααψψθ?χ==
12E λλ=+ (4) 可以证明i λ只与量子数和有关，因此体系能量E 与各电子的磁量子数无关[3]。由于电子是费米子，则Φ应是反对称函数，可根据斯莱特行列式得到Φ的构成 ()()()2A 11221,,,1
2
x x x x x x Φ=
Φ-Φ???? []122121121
()()()()2
x x x x ψψψψ=
- (5) 当两个电子都处于基态时，其电子组态为2
(1s), 只有一个谱项, 即1
S 。则两个单电子基态波函数可写成如下形式
()()()()()()()()()()()()1210011122
10011122
1
,41
,4z z z s s s z s R r Y R r R r x s s x R s Y s r ααααααααααααααψθ?χχψπθ?χχπ--=
===
将此式代入(5)式可得体系的基态的近似波函数
()A 11121111212121222211()()()()()()42,z z z z s s R r R x x s s r s s χχχχπ--?
?Φ=-????
11120121
()()(,)4s s z z R r R r s s χπ
=
(6) 其中0121111222212121(,)()()()()2
z z z z z z s s s s s s χχχχχ--??=-????
，且012(,)z z s s χ是归一化的证明如下
1122?0011111122222121212122()()1()()()()()()2z z z z z z z z s s s s s s s s χχχχχχχχχχ-****
---??
?? ?=- ? ?-?? ?
??
1122111111111222222221221()()()()()()()()2z z z z z z z z s s s s s s s s χχχχχχχχ****
----??=+??
??
1
2=12
=
? 3 双电子原子体系的基态能量
在A Φ所描写的状态中，体系能量的期望值是
()1A A
?E S H H ==ΦΦ 1112012111201211?()()(,)()()(,)44s s z z s s z z
R r R r s s H R r R r s s χχππ=
()
?1112012111201212
2
00
1
?()()(,)()()(,)4s s z z s s z z R r R r s s HR r R r s s dx dx χχπ∞∞
=??
由于?H 不含自旋变量，所以?H 不作用于0
χ，因此上式可化为 ()
?
012012
11121112
12
2
001
?(,)(,)()()()()4z z z z s s s s s s s s R r R r HR r R r d d χχττπ∞∞
=?? 22
111111*********()()4s s d Z r R r r R r dr r dr r ππ∞
??=-- ???? 22
212212222220
114()()4s s d Z r R r r R r dr r dr r ππ∞
??+-- ???? 2222
1112121212
001()()s s R r R r r r drdr r ∞∞+
?? ()()0
211,1I s F s s =+ (7)
其中：
()2112
11()()()2s s d Z
I s rR rR dr dr r ∞
=--? (8)
()0
2
2221112111212
0011,1()()s s F
s s R r R r r r drdr r ∞∞
=??
(9) （9）式的12r 用()12max ,r r r >=代替，根据体系的哈密顿量的形式和对称性，不妨选取如
下由两个指数函数的线性组合所构成的具有试探性径向波函数[2]
, 即:
1()exp()exp()s R r c ar d br =-+- (10) 则式(8)相应地变为
()2112
1212()()()2s s d Z
I s rR rR dr dr r ∞
=--? =22
12()()()2ar
br
ar br d Z
rce
rde
rce rde dr dr r
∞
----+--+?
=0
2()()ar
br
ar
rce
rde
a z ce dr ∞
---+-?0
2()()ar br br rce rde b z de dr ∞
---++-?
220
()ar br ar ce de a r ce dr ∞
----+?220
()ar br br ce de b r de dr ∞
----+?
()()2
222
222
200
22ar
br ar a z c re
dr b z d re
dr a c r e dr ∞
∞∞
---=-+--???
()()22220
2
2a b r
br a b z cdre
dr b d r e dr ∞
∞
-+-++--??
()()2
220
a b r
a
b cdr e
dr ∞
-+-
+?
利用积分公式10
()(1)!x n n e x dx n ∞
--Γ==-?
，可得：
()()()()()()()
22
22222322222212244cd a b a z c b z d cd a b z c d I s a b a b a b a b +--+-=++---++ (11) 此时，式(9)也相应地变为
()(0)
2
2221112121200
11,1()()s s F
s s R r R r r r drdr r ∞∞
=>??
=22222222
111111111222210011()()()r s s s r R r r dr R r r dr R r r dr r r ∞
∞??+??????
???
()()()()()2
2222222222222222222
2322048212144a b r c d c d c d c d r ar r br r r e dr a b a b a b ∞
-+??=+++--??++????
?()()()()()2
2333332222222232204212122b a r a b r cd cd c d r br r e r ar e dr b a a b ∞
-+-+??????++-++????+????????
? ()()()()22222323222
22222223022214a b r a b r ar c d c d r b r br e e r e dr b a b ∞
-+-+-??????+---+-????
+????? ()()()()()222322322
2222233082212a b r a b r a b r c d c d r a r ar e e r e dr a a b ∞
-+-+-+??????+---++????+????? ()()()()222333222
2222233042212b a r a b r br cd cd r b r br e e r e dr b a b ∞
-+-+-??????+---++????
+????
? ()()()22222322222
2222233042214a b r br ar c d c d r a r ar e e r e dr a a b ∞
-+--??????+---++????+????? ()()()2224334222
2222233042214a b r ar ar c c d r a r ar e e r e dr a a b ∞
-+--??????+---+-????
+????? ()()()2224334222
22222
223022214b a r br br d cd r b r br e e r e dr b a b ∞
-+--??????+---+-????+????? ()()2
244442222222220212144ar br c d r ar e r br e dr a b ∞
--??++++???
??
=2
322
2304()br cd r e dr a b ∞-+?222222()222220
()44a b r c d c d r e dr a b ∞-+-+-?23(3)222202a b r c d r e dr a ∞
-+? 22422422222222333300()()4444ar br c c d d c d r e dr r e dr a b b a ∞∞--++++??2
322
2304()ar c d r e dr a b ∞
-++? 22
333(3)()2222223300()222b a r a b r cd c d cd r e dr r e dr b a b ∞∞-+-+-++??222()2
2308(b)a b r c d r e dr a ∞
-+++? 222222()22330()44a b r c d c d r e dr a b ∞-+-+?2233(3)(3)2222330022a b r b a r c d cd r e dr r e dr a b ∞∞
-+-+--??
2244442222222200
44ar br c d r e dr r e dr a b ∞
∞
----??2
4422304ar c r e dr a ∞
--?24422304br d r e dr b ∞
--?
233(3)222223024()()a b r c d c d r r e dr a b a b ∞
-+??-+??++?
??2
222()222204()a b r c d r e dr a b ∞
-+-+? 233(3)222223024()()b a r cd cd r r e dr a b a b ∞
-+??-+??++?
??2
222()22308()a b r c d r e dr a b ∞
-+-+? =()()()442222333332
5523322235512812816162c d c d c d c d cd c d
a b a b a b a a b b a b a a b +++++++++
()
22
5
5c d a b +
+()
()()
322
22
2
3
3
3
22
21616c d c d c d b
a b a a b
b a b +
-
-
++
+()()
3
23
43cd b a a b -++ ()
()
22
22
2
2
3
3
1616c d
c d
a a
b b a b -
-
++()
33
2
3c d a a b -
+()
33
2
3cd b b a -
+()
3
2
3
23cd b b a -
+
()()
()()
()()
333
3
2
2
3
3
2
444333c d
c d
cd
a b a b a b a b b a a b -
-
-++++++ (12) 将式（11），（12）所得的结果代入式（7）中，可得该体系能量表达式，即：
()1
E S =4422
55235512812816c d c d a b a b ++()()223333322216c d c d cd a b a a b b a b +++++()32
32c d a a b ++
()
()
()
()
()
3222222222
3
3
2
2
3
2
2
3
3
216161616cd c d c d c d c d b a b a a b b a b a a b b a b +
-
-
-
-
+++++
()
()
()()
()()
22333
32
23
24433cd a b c d
c d
a b a b a b a b a b +-
-
-
+++++()()
3
32
43cd b a a b -
++
()()
()
()
3
33
2
3
2
2
3
3432323cd c d cd b a a b a a b b b a -
-
-
++++24c a -2
4d b -+
()225
5c d a b + ()()()()
()2232322
2
22223a z c b z d cd a b z cd a b a b b b a --+-+++-++()
33
2
3c d a a b -
+ (13)
根据（6），（10）式可得出
12121212()()()()22A 0121(,)4a r r b r r ar br br ar z z c e d e cde cde s s χπ-+-+-+-+??Φ=+++?? (14) 不难看出对于不同的Z ，只要确定a 、b 、c ，d 这四个参量的具体值，便可得到体系基态
能量的数值和波函数的具体表达式。
4用变分法确定参量a 、b 、c ，d
由归一化条件2
2
10
()1s
R r r dr ∞
=?22333
4144()c d cd
a b a b ?++=+ 若令
[,,,]f a b c d =22333
41044()
c d cd
a b a b ++-=+ (15) 则有
24433
3124()42()c cd f c a a b a f c d a c a a b ?+?+?=-=??+?+()()()b a d a b a ac cd a b a c +++++=4444
2162483; 244
33
3124()42()d cd f c b a b b f c d b c a a b ?+?+?=-=??+?+()()432344434348216a d a b a b cd b c a b a b d ++=++;
33
33
42()
42()
d c f
c
b a b d f
c
d d
c
a a
b ?+?+?=-=-??+?+()()333333
3388a d a b a b c b c a b a b d ++=-++ 若将该体系基态的能量记为()1
S [,,(,,),]E
F a b c a b d d =，则依据变分法，令
()10E S F F c a a c a ????=
+=???? ()10E S F F c b b c b ????=
+=???? ()10E S F F c d
d c d
????=
+=???? 由此可得如下关于参数a 、b 、c 和d 的代数方程：
()
()
()
()
()
22222222224223
3
4
4
2
6
333
3
2
2
433325128848161616c d c d c d c d c d c c d a a b
a a
b b a b a a b b a b a a b +
+
+
+
--+++++ ()()()()()()22333333
344344
42322322323359316333c d c d c d cd c d c d cd a b a a b a a b b a b a a b a a b b b a ----+++
++++++
()
()
()
()
()()33322
2222
3
3
6
232324
3
3
32528242c d c d cd c d c zc cd zcd c a a a
a a
b a a b b a b a b a b a b -
-
-
-
-+-++++++++ ()
()
()()
()()
()()
223333
4
3
3
42
24
46()
323612333acd
cd a b c d
c d
c d
a b a b a b a b a b a b a b a b +-
+
+
+
+
++++++++
()()
()()
()()
()
()
3
3
3
333
3
4
2
2
4
2
3
4
3
1612123333233cd cd cd c d cd b a a b b a a b b a a b a a b b b a +
+
+
+
+
++++++++
()()()4
2432
45234
3485328216c a b a cd
c c
d a a b ac a b a d a b ++?++?+++?()22332238cd c d a b a a b +++()()222d a b z a b +-++ ()
33
2
d b a b +
+()
()
()
()
23
222
2
3
3
3
3
2
2
32288c d d cd cd a a b b a b a a b b a b +
+
-
-
++++()
3
2
3
23d b b a -
+
()
()222
2
3388cd cd a a b b a b -
-
++()
()()
23
2
3
3
5
2231033c d d cd a a b b b a a b -
-
+
+++()2
a z c a -+
2c
a
-
()
()
()
()()
()()
()()
22223
3
3
2
32
32
23
3
23124423333d a b c d
c d d d a b a a b a b a b b a a b b a a b +-
-
-
-
-
++++++++
()()2231203c d a b a b ?
-=?++??
(16) ()
()
()
()
()
22222222223
3
4
4
2
3
3
2
2
433348161616c d c d c d c d c d b a b a a b a a b b a b b a b +
+
+
+
+++++22
232d zd b b
-+ 422633251288d c d b a b --2224316c d a b -()()()333344322233cd cd c d b a b b a b a a b ---+++()()2328cd zcd
a b a b -+
++ ()
()
()
3333
4
4
3
22
593333cd cd c d b b a b b a a a b +
+
+
+++()
()
332
3
4
3
32cd cd b a b b a b -
-
++()
224
6()
cd a b a b ++
+
()()
()()
()()
3
3
3
3
3
4
2
24
323612333cd cd cd b a a b b a a b b a a b +
+
+
++++++()
22
26
2254c d d b a b -
++()34bcd a b -+ ()()
()()
()
3334
2
2
4
2
4
121233323c d
c d
cd a b a b a b a b b b a +
+
++++++()
33
3
c d
a a
b -
+()
33
3
3c d a a b +
+
()()
33
3
163c d
a b a b +
++()()4
323432
4523434
3485328216a d a b a b cd c cd a a b b c a b a b d ++?++?++?
()22332238cd c d a b a a b +++
()
33
2
d b a b +
+()
()
()
()
23
222
2
3
3
3
3
2
2
32288c d d cd cd a a b b a b a a b b a b +
+
-
-
++++()
22
3
8cd a a b -
+
()()()
2
222a z c d a b z a a b -+-+++()
()
()()
2223
32
2123d a b c d
a b a b a b +-
-
+++()()
223
123c d
a b a b -
++
()
22
3
8cd b a b -
+()
()
()
23
2
3
3
5
2
2
31033c d d cd a a b b b a a b -
-
+
+++()
22
3
323c d a a b -
+-
()
3
2
3
23d b b a +
()()()()33
322344233c d d a b a a b b a a b ?---?++++??0= (17) 35532d b +2238c d
a b ()2333228c d c a b a a b +++()2323cd b a b ++()22332cd b a b ++()()222c a b z a b +-++ ()
()
()
3
222
3
3
3
2
2
288c c d c d a a b b a b a a b +
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-
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222
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3
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25
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32
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333335333
85328a d a b a b c c a b c a b a b d ++?-?++?()222323322388cd cd c d a b a b a a b ++++()332d b a b ++()2
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d a a b a b a b b a a b -
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-
+++++()2
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()3
23
23d b b a ?
-?
+??
0= (18) 仿照文献[4],[5],[6],[7]中的方法，将（15）（18）式联立成为一个方程组，利用Mathematica 进行编程计算，可以得到各变分参数之值，代入式(8)中，最终可以得到双电子原子体系基态的能量0E 之值，结果列入下表中，这里仅给出了Z=2→5时的基态的能量值。
表1 双电子原子体系基态能量的变分计算结果 (单位:哈特利)
Z
a b c
d
E （本工作） [1]
E 计（变分法） 实验值[8]
2 3 4 5
1 .452965 4 .57552
2 6 .240062 7 .90268
3 2 .906248 2 .447947 3 .445128
4 .443334 2 .952529 2 .460695
3 .00693
4 3 .480181 1 .799311 6 .811395
11 .692683 17 .422005
-2 .861673 -7 .236414 -13 .611298 -21 .986233
-2.847656 -7.222656 -13.597656 -21.972656
-2 .9035 -7 .2800 -13 .6570 -22 .0355
由表中数据可得体系基态波函数的表达式，对于Z=2→5，结果如下： Z=2时； 12
1212121.45()2.91(
)
(1.45
2.91
)(2.91
1.45
)A 012
18.72 3.24 5.31 5.31(,
)
4r r r r r r r r z z e e e e s s
χπ
-+-+-+-+??Φ=
++
+
?? Z=3时；
1212121
24.58()2.45(
)
(4.58
2.45)
(2.454.58
)
A 012
1 6.0646.4016.7616.76(
,)
4r r r r r r r r z z e e e e s s
χπ
-+-+-+-+??Φ=++
+
?? Z=4时； 121212126 .24() 3 .45()(6.24 3.45)(3.45 6.24)
A 01219.04136.7235.1635.16(,)4r r r r r r r r z z e e e e s s χπ-+-+-+-+??Φ=
+++?
? Z=5时；
121212127.90()4.44()
(7.90
4.44)
(4.44
7.90
)
A 012
112.11303.5360.6360.63(,)
4r r r r r r r r z z e e e e s s
χπ
-+-+-+-+??Φ=+++
?? 5 结 论
从表1中可看出, 对于双电子原子体系，选取指数形式函数的线性组合所构成的试探性的径向波函数对其基态的能量进行变分计算, 所得的结果更接近于实验值。而且，我们相信如果选取的试探性波函数更为准确, 将会进一步提高双电子原子体系的基态能量和波函数的计算精确度。
参考文献：
[1] 曾谨言. 量子力学Ⅰ[M]. 第五版. 北京: 科学出版社, 2013 .369-370,474-475.
[2] 王大理. 氦原子基态相对论能量的理论计算[J]. 安徽师范大学学报(自然科学版)，2005，28（2）:170-172. [3] 黄时中. 原子结构理论[M]. 北京: 中国科学技术大学出版社, 2005.81-83.
[4] 黄时中. 锂原子第一激发态能量的变分计算[J] . 安徽师范大学学报(自然科学版), 1999 , 22(4):300 -302 . [5] 李敬生，王大理，黄时中. 铍原子基态能量和波函数的变分计算[J] . 安徽师范大学学报(自然科学版), 2002 , 25(4):339 -342 .
[6] 王大理，黄时中.铍原子低激发态能量的变分计算[J] . 安徽师范大学学报(自然科学版), 2003 , 26(2):129 -132 .
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量子力学导论第6章答案
第六章 中心力场 6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式 相对动量 ()21121p m p m M r p -==? μ （1） 总动量 1p p R M P +==? （2） 总轨迹角动量p r P R p r p r L L L ?+?=?+?=+=221121 （3） 总动能 μ 22222 22 221 21p M P m p m p T + =+= （4） 反之，有 ,11r m R r μ+ = r m R r 2 2μ-= （5） p P m p +=2 1μ ，p P m p -= 1 2μ （6） 以上各式中，()212121 ,m m m m m m M +=+=μ 证： 2 12 211m m r m r m R ++= ， （17） 21r r r -=， （18） 相对动量 ()211221212 11p m p m M r r m m m m r p -=??? ? ??-+= =? ?? μ （1’） 总动量 ()212 1221121p p m m r m r m m m R M P +=+++==? ?? （2’） 总轨迹角动量 221121p r p r L L L ?+?=+= )5(2211p r m u R p r m u R ???? ? ??-+????? ?? += () () 2112 211p m p m M r p p R -? ++?= ) 2)(1(p r P R ?+?= 由（17）、(18)可解出21,r r ，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。 总动能()22 11 2 262221212222m p P m m p P m m p m p T ??? ? ??-+ ? ?? ? ??+=+= μμ 2 12 2 2 2 2 122 11 2 2 2 2 12 2222m m p P u m p P m m u m m p P u m p P m m u ?- + + ?+ + =
【人教版】2020高中化学 第一章 第1节第2课时 能量最低原理 泡利原理 洪特规则课时作业 新人教版选修3
第一章第一节第2课时能量最低原理泡利原理洪特规则 基础巩固 一、选择题 1．下列图象中所发生的现象与电子的跃迁无关的是( D ) 解析：平面镜成像是光线反射的结果，与电子跃迁无关，霓虹灯广告、燃烧蜡烛、节日里燃放的焰火是原子的发射光谱，与原子核外电子发生跃迁有关，故选D。 2．下列原子的电子排布图中，符合洪特规则的是( C ) 解析：A．该电子排布图违反洪特规则，故A错误； B．该电子排布图违反泡利不相容原理，故B错误； C．该电子排布图符合洪特规则，故C正确； D．该电子排布图违反能量最低原理，故D错误；故选C。 3．描述硅原子核外电子运动说法错误的是( D ) A．有4种不同的伸展方向 B．有14种不同运动状态的电子 C．有5种不同能量的电子 D．有5种不同的运动范围 解析：A．硅原子为14号元素，电子排布式1s22s22p63s23p2，共2种轨道，S轨道为球形只有1种伸展方向，p 轨道有3种伸展方向，则有4种不同的伸展方向，故A正确； B．硅原子为14号元素，则核外有14种不同运动状态的电子，故B正确； C．硅原子为14号元素，电子排布式1s22s22p63s23p2，所以有5种不同能量的电子，故C正确； D．硅原子为14号元素，电子排布式1s22s22p63s23p2，则核外有3个电子层，所以有3种不同的运动范围，故D错误。故选D。 4．下列有关化学用语中不能体现氮原子核外电子能量有差异的是( A )
A ．·N ·· ·· C ． D ．1s 22s 22p 3 解析：电子式不能体现出核外电子的能量差异。 5．符号3p x 所代表的含义是( D ) A ．p x 轨道上有3个电子 B ．第三个电子层p x 轨道有3个伸展方向 C ．p x 电子云有3个伸展方向 D ．第三个电子层沿x 轴方向伸展的p 轨道 解析：3p x 中，3表示第三电子层，p 原子轨道在三维空间的分布分别沿x 、y 、z 三个方向，p x 表示沿x 轴方向伸展的p 轨道。 6．以下表示氦原子结构的化学用语中，对电子运动状态描述最详尽的是( D ) A ．· ·He B ． C ．1s 2 解析：A 项只能表示最外层电子数；B 项只表示核外的电子分层排布情况；C 项具体到各能级的电子数；而D 项包含了能层、能级以及轨道内电子的自旋状态，故选项D 符合题意。 7．下列关于价电子排布为3s 2 3p 4 的原子描述正确的是( B ) A ．它的元素符号为O B ．它的核外电子排布式为1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 4 C ．可以与H 2化合生成液态化合物 D ．其电子排布图为 解析：A ．价电子排布为3s 2 3p 4 的粒子，其基态原子核外电子排布式为1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 4 ，其核外电子数为16，为S 元素，故A 错误； B ．价电子排布为3s 2 3p 4 的粒子，其基态原子核外电子排布式为1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 4 ，故B 正确； C ．一定条件下，它可与H 2生成气态化合物H 2S ，故C 错误； D ．S 原子核外电子排布遵循能量最低原理、泡利不相容原理、洪特规则，其轨道表示式为 ，故D 错误；故选B 。 8．(2018·福建华安模拟)下列说法正确的是( B ) A ．原子核外电子排布式为1s 2 的原子与原子核外电子排布式为1s 2 2s 2 的原子化学性质相似 B ．Zn 2＋ 的最外层电子排布式为3s 2 3p 6 3d 10 C ．基态铜原子的外围电子排布图：
原子中的电子
教学设计 【学习目标】 1.初步认识核外电子在化学反应中的作用； 2.了解常见元素的原子核外电子的排布；（重点难点） 2.知道同一元素的原子.离子之间可以相互转化。（难点） 一、复习巩固、情景引入 复习1.原子的结构及带电情况2：整个原子为什么不显电性？ 情景多媒体展示已知道的圆周运动（与电子绕原子核运动类比） 二、新课学习探究 1.电子层 （提示）当一个原子中有多个电子同时绕原子核运动，这些电子距离原子核一样远吗？ 类似人造卫星绕地球运动 （展示）多媒体展示电子的能量高低与离核远近的关系（文字材料） （板书）电子层：一、二、三、四、五、六、七 离核距离近--------------------------远 电子能量低-------------------------高 想一想：如何把核外电子排布形象地表示出来？ 2.原子结构示意图（以氧原子为例） （1）圆圈及里面的正数：表示原子核所带正电荷数（即核电荷数）； （2）弧线表示电子层； （3）弧线上的数字表示该电子层上的电子数。 （展示）多媒体展示1~18号原子结构示意图 引导学生找排列规律 （小结）原子中电子的排列规律 （板书）原子结构示意图 （学生活动）1：画出镁原子、钠原子、铝原子、钾原子、钙原子、氟原子、氯原子、硫原子、氦原子、氖原子的结构示意图： （学生活动）2：观察前18号元素的原子结构示意图，能找出什么规律？ 原子种类最外层电子数化学性质稳定性 稀有气体原子 金属原子 非金属原子 4.原子性质与原子最外层电子数的关系
(讲解)稳定结构：最外层是8个电子（第一层是2个电子），化学变化中稳定结构的原子很难发生化学变化，不稳定结构的原子得失电子变成稳定结构。 （讨论）稀有气体原子、金属原子、非金属原子得失电子与最外层电子的关系 （板书）决定原子化学性质的是：最外层电子数 5.离子的形成 （展示）多媒体展示金属镁、非金属硫形成离子时核外电子的变化 （讨论）形成离子核内质子数、核外电子数、电子层数是否变化 6.离子符号的书写： （讲解）（1）在元素符号的右上方写出符号和电荷数；（2）数字在前，符号在后，“1”省略不写。 如： （讲解）1.定义：带电的（或）叫离子。 2.分类：（1）阳离子：带的原子（或原子团）。如： （2）阴离子：带的原子（或原子团）。如： （讨论）原子与离子的区别 （讲解）离子符号的意义 7.离子形成的物质： （小结）离子知识小结 （讨论）交流共享分子、原子、离子有何异同 三、课堂练习 四、课堂评测： 1.下列原子结构示意图所示的微粒中,化学性质最稳定的是（） A. B. C. D. 2．某原子的原子结构示意图为，下列关于该原子说法错误的的是（） A．它的阳离子带1个单位的正电荷 B.它的阳离子有10个质子C．它是一种金属原子 D.它的原子核外有11个电子 3.今有四种粒子的结构示意图，下列说法正确的是
第三节多电子原子的原子结构
第三节多电子原子的原子结构 外层只有一个电子时，由于该电子仅受到核的吸引如氢原子或类氢原子，可以精确求解出波函数。但多电子原子核外有2个以上的电子，电子除受核的作用外，还受到其他电子对它的排斥作用，情况要复杂得多，只能作近似处理。但上述氢原子结构的某些结论还可用到多电子原子结构中： 在多电子原子中，每个电子都各有其波函数ψi，其具体形式也取决一组量子数n、l、m。多电子原子中的电子在各电子层中可能占据的轨道数，与氢原子中各电子层轨道数相等。 多电子原子中每个电子的波函数的角度部分Y（θ，φ）和氢原子Y（θ，φ）相似，所以多电子原子的各个原子轨道角度分布图与氢原子的各个原子轨道的角度分布图相似。同理两者的Y 2图也相似。 处理多电子原子问题时，认为其他电子对某个电子i的排斥，相当于其他电子屏蔽住原子核，抵消了一部分核电荷对电子i的吸引力，称为其他电子对电子i的屏蔽作用（screening effect）,引进屏蔽常数σ（screening constant）表示其他电子所抵消掉的核电荷。这样多电子原子中电子i的能量公式可表示为 式中(Z –σ)= Z′称为有效核电荷(effective nuclear charge)。多电子原子电子的能量和Z、n、σ有关。Z愈大，相同轨道的能量愈低，如基态氟原子1s电子的能量比基态氢原子1s电子的能量低；n愈大，能量愈高；起屏蔽作用的电子愈多，总的屏蔽作用愈强。σ愈大，能量愈高。影响σ有以下因素： 1. 外层电子对内层电子的屏蔽作用可以不考虑，σ=0； 2. 内层 (n-1层)电子对最外层(n层)电子的屏蔽作用较强，σ=，离核更近的内层(n-2层)电子对最外层电子的屏蔽作用更强，σ=； 3. 同层电子之间也有屏蔽作用，但比内层电子的屏蔽作用弱，σ=，1s之间σ=。n相同l 不同时，l愈小的电子，它本身的钻穿能力愈强，离核愈近，它受到其他电子对它的屏蔽作用就愈弱，能量就愈低E n s ＜E n p ＜E n d ＜E n f。 氢原子只有1个电子，无屏蔽作用，其激发态能量与l无关。 4. l相同，n不同时，n愈大的电子受到的屏蔽作用愈强，能量愈高： E n s ＜E（n+1）s ＜E(n+2)s ＜… E n p ＜E（n+1）p ＜E(n+2)p ＜… 5. n 、l都不同时，情况较复杂。比如3d和4s，会出现n小的反而能量高的现象，E4s＜E3d，称为能级交错。 美国科学家鲍林(Pauling L C)根据大量的光谱数据计算出多电子原子的原子轨道的近似能级顺序，如下图
氦原子基态能量实验及其运用变分法和微扰法两种方法比较
氦原子基态能量实验及其运用变分法和微扰法两种方法比较 【摘要】： 对于由单电子粒子组成的两体问题，如氢原子或类氢离子，其基态能量本征值以及相应的波函数是可以通过薛定谔方程解析求解的，而且也很容易求解。但对于多电子体系，即使是像氦原子和氢分子这样最简单的多电子体系，精确求解也是十分困难的。因此，在量子力学中往往采用近似的方法来求解这类问题。 本文将以氦原子基态能量(实验测定值为-79eV)的求解为例，通过运用变分法和微扰法两种方法进行比较来解决多电子体系的基态能量求解问题。 【关键词】：氦原子 基态能量 变分法 微扰法 【引言】： 在量子力学中，体系的能级和定态波函数可以通过求解定态薛定谔方程得到。像一维无限深势阱、一维线性谐振子及氢原子等都能精确求解，但由于体系的哈密顿算符通常比较复杂，大多问题不能精确求解， 必须采用近似方法。本文就氦原子基态能量分别用变分法和微扰法进行计算并加以比较。 【正文】： 一、变分法的基本思想 设体系的定态薛定谔方程为 ?,0,1,2n n n H E n ψψ==??? （1-1-1） 式中?H 的本征值012n E E E E <
24原子中的电子习题解答
第二十四章原子中的电子 一选择题 1. 关于电子轨道角动量量子化的下列表述，错误的是：( B ) A.电子轨道角动量L的方向在空间是量子化的； B.电子轨道平面的位置在空间是量子化的； C.电子轨道角动量在空间任意方向的分量是量子化的； D.电子轨道角动量在z轴上的投影是量子化的。 2. 设氢原子处于基态，则下列表述中正确的是：( C ) A.电子以玻尔半径为半径做圆周运动； B.电子只可能在以玻尔半径为半径的球体内出现； C.电子在以玻尔半径为半径的球面附近出现的概率最大； D.电子在以玻尔半径为半径的球体内各点出现的概率密度相同。 3. 在施特恩和盖拉赫实验中，如果银原子的角动量不是量子化的，在照相底板上会出现什么样的银迹：( B ) A. 一片银迹 B. 一条细纹 C. 二条细纹 D. 不能确定 4. 氩（Ar，Z =18）原子基态的电子排布是：( C ) A. 1s22s83p8 B. 1s22s22p63d8 C. 1s22s22p63s23p6 D. 1s22s22p63s23p43d2 5. 在激光器中利用光学谐振腔( C ) A.可提高激光束的方向性，而不能提高激光束的单色性 B.可提高激光束的单色性，而不能提高激光束的方向性 C.可同时提高激光束的方向性和单色性 D.既不能提高激光束的方向性也不能提高其单色性 6. 世界上第一台激光器是( D ) A.氦—氖激光器 B. 二氧化碳激光器 C. 钕玻璃激光器 D.红宝石激光器 E. 砷化镓结型激光器 二填空题 1. l =3时轨道角动量有7 个可能取向。 2. 在解氢原子的定态薛定谔方程时，通常在球坐标系中将方程的解表示为径向波函数R(r)、极角波函数Θ (θ)、方位角波函数Φ (?)的乘积。
氦原子基态的Schrodinger方程的严格解
氦原子基态的Schrodinger 方程的严格解 物理0701班徐振桓 摘要 本文利用了超球坐标的方法求解了氦原子基态的Schrodinger 方程的严格解 ，得出了氦原子的基态能量和波函数。 关键词 超球坐标 氢原子基态 Schrodinger 方程 严格求解三体或三体以上体系的Schrodinger 方程是量子理论工作者非常感兴趣的重要 课题。原因在于，可得到体系的真实波函数，进而可研究电子相关等许多物理和化学问题。自从量子力学建立，人们就期待着这一问题的解决，直到将超球坐标用来描写多粒子 Schrodinger 方程，多体问题才变得可能解决。在这条道路上，前人已做了许多努力，但仍存在一些问题。 本文给出一个新的方法来严格求解氦原子的基态能量和波函数。这一方法也可用于氦原 子激发态和其它原子能态的计算，原则上可用之求解任意多体问题。本文计算证明了 Schro dinger 方程可以描写三粒子体系，可作为严格求解多体 Schrodinger 方程的一个范例。 对氦原子，原子单位下的非相对论Schrodinger 方程为： 2 1231231 11(,,)(,,),2 j i j i i i j i ij z z r r r E r r r m r ψψ=
新课标高中化学选修3第一节能量最低原理、基态与激发态、光谱电子云与原子轨道
第2课时能量最低原理、基态与激发态、光谱电子云与原子轨道学业要求素养对接 1.知道处于不同能级的电子，在一定条 件下会发生激发与跃迁。 2.知道电子的运动状态(空间分布及能 量)，可通过原子轨道和电子云模型来描 述。 3.能结合能量最低原理、泡利不相容原 理、洪特规则书写1～36号元素基态原 子的轨道表示式，并说明含义。 模型认知：建立新的原子结构模型，并 能说明建构思维模型在人类认识原子结 构过程中的重要作用。 微观探析：能说明微观粒子的运动状态 与宏观物体运动特点的差异。 [知识梳理] 一、基态与激发态、光谱 1.能量最低原理 原子的电子排布遵循构造原理能使整个原子的能量处于最低状态，简称能量最低原理。 2.基态原子与激发态原子 (1)基态原子：处于最低能量的原子。 (2)激发态原子：基态原子的电子吸收能量后，电子跃迁到较高能级，变成激发态原子。 (3)基态、激发态相互转化的能量变化 基态原子 吸收能量 释放能量主要形式为光激发态原子 3.光谱与光谱分析 (1)光谱形成原因 不同元素的原子发生跃迁时会吸收或释放不同的光。 (2)光谱分类
(3)光谱分析 在现代化学中，利用原子光谱上的特征谱线来鉴定元素的分析方法。 【自主思考】 1.为什么原子的核外电子排布要遵循能量最低原理呢？ 提示能量最低原理是自然界普遍遵循的规律。能量越低，物质越稳定，物质都有从高能量状态转化到低能量状态的趋势。 二、电子云与原子轨道 1.电子云 用小黑点来描述电子在原子核外空间出现的概率密度分布图，被形象地称为电子云。 2.电子云轮廓图 为了表示电子云轮廓的形状，对核外电子的空间状态有一个形象化的简便描述，把电子在原子核外空间出现概率P＝90%的空间圈出来，即为电子云轮廓图。3.原子轨道 (1)定义：电子在原子核外的一个空间运动状态称为一个原子轨道。 (2)形状 ①s电子的原子轨道呈球形，能层序数越大，原子轨道的半径越大。 ②p电子的原子轨道呈哑铃形，能层序数越大，原子轨道的半径越大。 (3)各能级所含有原子轨道数目 能级符号n s n p n d n f 轨道数目 1 3 5 7 4.泡利原理和洪特规则
能量最低原理基态激发态与光谱练习
第二课时能量最低原理、基态、激发态与光谱 岳普湖一中高二化学韩晓勇 规律总结： 01．原子的电子排布遵循构造原理能使整个原子的能量处于最低状态，简称能量最低原理，处于最低能量的原子叫做基态原子；当基态原子的电子吸收能量后，电子会跃迁到较高能级，变成激发态原子； 电子从较高能量的激发态跃迁到较低能量的激发态乃至基态时，将释放能量。 02．光（辐射）是电子释放能量的重要形式之一，不同元素的原子发生跃迁时会吸收或释放不同的光，可以用光谱仪摄取各种元素电子的吸收光谱或发射光谱，总称原子光谱。 03．许多元素是通过原子光谱发现的。在现代化学中，常利用原子光谱上的特征谱线来鉴定元素，称为光谱分析。 锂、氦、汞的发射光谱锂、氦、汞的吸收光谱 作业： 01．同一原子的基态和激发态相比较（）A．基态时的能量比激发态时高B．基态时比较稳定 C．基态时的能量比激发态时低D．激发态时比较稳定 02．生活中的下列现象与原子核外电子发生跃迁有关的是（）A．钢铁长期使用后生锈B．节日里燃放的焰火 C．金属导线可以导电D．卫生球久置后消失 03．判断某多电子原子中电子能量大小的依据是（）A．元素原子的核电荷数B．原子核外电子的多少 C．电子离原子核的远近D．原子核外电子的大小 04．当氢原子中的电子从2p能级向其他低能量能级跃迁时（） A. 产生的光谱为吸收光谱 B. 产生的光谱为发射光谱 C. 产生的光谱线的条数可能是2 条 D. 电子的能量将升高 05．下列说法正确的是（）A．自然界中的所有原子都处于基态 B．同一原子处于激发态时的能量一定高于基态时的能量 C．无论原子种类是否相同，基态原子的能量总是低于激发态原子的能量 D．激发态原子的能量较高，极易失去电子，表现出较强的还原性
保定高中化学知识点跟踪训练2能量最低原理基态与激发态电子云与原子轨道含解析
课时跟踪训练(二) [基础巩固] 1．有人造小太阳美称的氦灯通电，灯泡发出耀眼的白光，产生这一现象的原因是( ) A．电子由基态向激发态跃迁时吸收除红外线以外的光线 B．电子由激发态向基态跃迁时以光的形式释放能量 C．在电流的作用下，氦原子与构成灯光的物质发生反应 D．氦原子获得电子后转变成发出白光的物质 [解析]解决此类问题的关键是明确基态原子与激发态原子的相互转化及其转化过程中的能量变化和现象。在电流的作用下，基态氦原子的电子吸收能量跃迁到较高能级，变为激发态原子，这一过程要吸收能量不会发出白光；而电子从较高能量的激发态跃迁到较低能量的激发态或基态时，将释放能量，从而产生白光，故B项正确。 [答案] B 2．当镁原子由1s22s22p63s2→1s22s22p63p2时，以下认识正确的是( ) A．镁原子由基态转化成激发态，这一过程中吸收能量 B．镁原子由激发态转化成基态，这一过程中释放能量 C．转化后位于p能级上的两个电子处于同一轨道，且自旋状态相同 D．转化后镁原子与硅原子电子层结构相同，化学性质相似 [解析]基态Mg的电子排布式为1s22s22p63s2，由基态转化成激发态，电子能量增大，需要吸收能量，故A正确；镁原子由1s22s22p63s2→1s22s22p63p2时，由基态转化成激发态，故B错误；同一轨道不可能有自旋状态相同的两个电子，故C错误；转化后镁原子与硅原子电子层结构不同，化学性质不同，故D错误。 [答案] A 3．在下列所示的微粒中，氧化性最强的是( ) A．1s22s22p2B．1s22s22p5 C．1s22s22p63s1D．1s22s22p6 [解析]由电子排布式判断四种微粒分别为C、F、Na、Ne，根据四者在元素周期表中的位置可判断F的非金属性最强、氧化性最强。 [答案] B 4．图1和图2分别是1s电子的概率分布图和原子轨道图。下列有关认识正确的是( )
11氦原子基态能级要点
第一章绪论 1.1引言 对氦原子基态能级的探讨一般选用微扰法及变分法，本文重点讨论变分法对氦原子基态能级的求解。变分法是解决氦原子和类氦离子基态问题的强有力工具，到目前为止，国内外为追求高精度所选取的变分参数个数已由数百增至数千，在忽略核质量的情况下，它们的非相对论基态波函数和能量的不确定度分别达到10」? 10」°和10 19，这对于计算高精度的相对论修正和辐射修正具有非常重要的意义。在量子力学教科书中，一般介绍的近似求解法是微扰法和变分法，而变分法中选择的尝试波函数一般是一个参数型的，例如周世勋编《量子力学》、曾谨言著《量子力学教程》等介绍的便是用一个参数型的尝试波函数变分法求氦原子体系基态能级。 1.2选题的依据和意义 1.2.1选题的依据 在量子力学中，对于具体物理问题的薛定谔方程，可以精确求解的问题是很少的。在经常遇见的许多问题中，由于体系的哈密顿算符比较复杂，往往不能求得精确的解，而只能求近似解。微扰法和变分法都是用来求问题的近似解的方法。 用微扰法求氢原子和类氢离子是比较适合的，但是遇到比氢原子稍微复杂一点的氦原子时，微扰法就不及变分法容易和求解精确。用一参变分法即选用含一个参数的尝试波函数，这种波函数形式简单，其物理意义清晰，物理模型简单，适用于教育教学，但精确度比较低。选用含二参数的尝试波函数，这样的模型相对于更多参数的波函数要简单，又比一参变分法求解精确度高很多，这样既有利于理解怎样用变分法求基态能级，可适用于教学，又能求得比一参法更为精确的数值，因而具有重要的物理意义。 1.2.2选题的意义 氦原子是比类氢离子这种单粒子体系复杂但是相对于其他粒子要简单的粒子，研究氦原子这种简单的多粒子体系，对于研究更复杂的多粒子体系具有重要 的意义。变分法是解决氦原子和类氦原子的强有力工具，只要选择合适的试探波函数，对于
中学物理中能量最低原理
中学物理中能量最低原理 南京市第一中学黄诚 210001 一、能量最低原理 提到能量最低原理，往往指高中化学中的最低能量原理：在不违背泡利原理的情况下，核外电子总是尽先排布在能量最低的轨道上。在能量最低的轨道上，电子处于稳定状态。这一点在高中物理中也有直接的说明：在玻尔的原子理论中原子存在一系列不连续的能量状态，其中基态的能量最低，也最稳定。 在物理上，容易为学生所接受的能量最低原理实质上是势能最低原理，即：若物体（或物体系）具有势能，则当势能最低时，其状态是稳定的。也可表述为当物体在保守力作用下运动时，最终一定是向势能低的位置运动。 能量最低原理的真正意义是在于其并不局限于对原子状态的分析，而是自然界中普遍适用的一个规律，它预示物体运动的方向、状态变化的趋势。同时，根据能量最低原理也可得出另一个相关结论：物体系的稳定状况与系统的势能相关，势能越小则状态越稳定，多个力作用的系统中，势能最低点常常受力平衡。 二、能量最低原理在中学的应用 1、分子间势能的讨论 高中课本中对分子力介绍时说到：物质分子间存在相互作用的引力和斥力，通常情况下的固体、液体中的分子处于某种相对稳定状态，此时，分子间引力和斥力平衡，表现为合力为零，把这种情况下分子间的距离叫平衡距离，用r0表示。而在物体内能中讲到分子势能时，则从分子力做功的角度分析得到r0位置势能最低，没有将分子力平衡位置与势能最低点直接发生联系。学生对于固体、液体中的分子的稳定状态与受分子力平衡容易发生联系，但不理解该位置势能为什么最低。如果适当介绍能量最低原理，将“稳定状态——受力平衡——势能最低”作为整体理解就比较容易把握。 也正是由于平衡位置势能最低，是稳定的，固体、液体才有一定体积。通常气体分子间距大，可视为没有分子力，也就不存在分子势能，因而气体无平衡位置可言，因此其分子可随意运动，从而最大限度地充满容纳它的空间。 2、振动中平衡位置的特点 简谐振动中，振子在平衡位置受力平衡，振动过程中经过平衡位置时，动能最大势能最低。这个结论不仅仅适用于水平方向的弹簧振子，而是对所有振动都适用，振子不振动时，能稳定的位置也一定是振动的平衡位置。 3、处理物理综合问题中的应用 例1：如图1所示，有一段质量分布均匀不可伸长的长链条，两端 挂在同一高度的两只钉上。中间部分自然悬垂。现用手拉其中点A使 之下降。问链条的重心如何变化？ 分析：直接求出链的重心及其变形后的重心不是中学生所能做到 的，若灵活运用能量最低原理就能迅速得出正确答案。自然悬挂时， 系统为稳定状态，其势能应为最低，重心最低。用力向下拉A点，外 界对系统做功，势能要增加，重心要升高。故得答案：重心升高。 例2：如图2所示，一个铁球和一个木球用一细线拴住刚好能悬浮在水中，将装有水的杯子放在台秤上，让两球悬浮在水中，经过一段时间，浸在水中的细线突然断开，则在细线刚断开的瞬间台秤读数的变化情况是：（） A．不变 B．变小 C．变大 D．不确定
24原子中的电子习题解答
第二十四章原子中的电子 一选择题 1. 关于电子轨道角动量量子化的下列表述，错误的是：（B 电子轨道角动量 ￡的方向在空间是量子化的： 电子轨道平面的位置在空间是量子化的： 电子轨道角动量在空间任意方向的分量是量子化的： 电子轨道角动量在Z 轴上的投影是量子化的。 2. 设氢原子处于基态，则下列表述中正确的是：（C ） A. I C. D ? E. 3. 在施特恩和盖拉赫实脸中，如果银原子的角动量不是量子化的，在照相 底 板上会出现什么样的银 迹：（B ） A. 一片银迹 C.二条细纹 4. 氮（Ar, Z=18） A. Is22s?3p? C. ls^2s^2p?3s^3p? C ） 叮提高激光束的方向性，而不能提高激光束的单色性 可提高激光朿的单色性，而不能提高激光朿的方向性 可同时提高激光束的方向性和单色性 既不能提高激光朿的方向性也不能提高其单色性 D ） B.二氧化碳激光器 C .枚玻璃激光器 E.碑化稼结型激光器 二填空题 A. B ? C. D. 电子以玻尔半径为半径做圆周运动： 电子只可能在以玻尔半径为半径的球体内出现； 电子在以玻尔半径为半径的球而附近出现的概率最大： 电子在以玻尔半径为半径的球体内各点出现的概率密度相同。 B.—条细纹 D.不能确是 原子基态的电子排布是：（C B.上22"2卩63出 D. ls^2s^2p?3s^3p^3d^ 5. 在激光器中利用光学谐振腔 （ A. B ? C. D. 6. 世界上第一台激光器是（ A.氮一氛激光器 D.红宝石激光器
1. 23时轨道角动量有 _个可能取向。 2. 在解氢原子的左态薛立谴方程时，通常在理坐标系中将方程的解表示为 径向波函数R （r ）、极角波函数（1、方位角波函数（）的乘积。 3. 1921年施特恩和盖拉赫在实验中发现：一朿处于基态的原子射线在非均 匀磁场中分裂为两束。对于这种分裂无法用电子轨道运动的角动虽空间取向量子 化来解释，只能用 电子自旋角动量的空间取向量子化 来解释。 4. 电子的轨道磁矩与轨逍角 动量的关系为//,=-—￡ : 电子的自旋磁矩 2叫 5. 氢原子核外电子的状态，可由四个量子数来确左，其中主量子数n 可取 的值为1,2, 3…（正整数）,它可决泄_原子系统的能量° 6. 原子内电子的量子态由n, /, 5及皿$四个量子数表征。当n, /, m- 左时，不同的量子态数目为2 :当小/ 一定时，不同的量子态数目为2 （2 /+!）_：当n -宦时，不同的屋子态数目为 2n2 ° 7. n=3的主壳层内有3 个子壳层；分别是S 子壳层、P 子壳层、d 子壳层。 8. 原子中/相同而 容纳 14 个电子。 9. 产生激光的必要条件是粒子数反转分布，激光的四个主要特性是 方向性好，单色性好，相丁?性好，光强大。 10. 激光器中光学谐振腔的作用是（1） 产生与维持光的振荡，使光得到 加强，（2）使激光有极好的方向性,（3）使激光的单色性好。 三计算题 1. 假设氢原子处于n=3, /=!的激发态，则原子的轨道角动量在空间有那些 可能取向计算牡可能取向的角动量与2轴之间的夹角。 解：上1时，m=o, 1.故原子的轨逍角动呈在空间有3 种可能取向。 轨逍角动量的大小L = + 1）力=血,1,的数值为方，0,: -力。设角动量打Z 轴之间的夹角为 ,则cos =UL.将2 \ 与自旋角动量的关系为“S =-— 叫 So rrih m S 不同的电子处于同一子壳层中，上3的子壳层可 z t i 0
基态波函数的获取
基态波函数的获取 前面提到的一些例子中，系统的基态波函数都可以通过解析方式得到并简单地表示出来。但是这些只是一些特殊的例子。一般来说，一个强关联模型的基态波函数是不能很容易地通过解析方式得到的，比如而之前介绍的处理张量的方法都是在已知具体张量数值时才能使用的。这就要求我们找到一些数值方法来得到这些具体数值。 这一部分将介绍两种常见的用于得到基态波函数的方法，分别是变分法和虚时间演化方法[1]40-46。 1.1变分法得到基态波函数 用变分法得到基态波函数的基础是基态波函数是系统所能处于的能量最低的状态。也就是说，设0E 是系统的基态能量，那么对系统任意的波函数必定满足 0H E ψψψψ ≥ （29） 当取基态波函数的时候取等号。因此，用MPS 或PEPS 描述系统时（关联指标取某一确定的维数），我们可以用改变指标具体数值的方法改变波函数，使能量达到最低，此时就得到了基态波函数。 为此，我们可以先取一个初始状态。也就是说，先对所有的矩阵元设定一个初值。令波函数取能量最小值等价于使 ()min family H ψψψλψψ∈- （30） 其中family 指MPS 或PEPS 的波函数。同时对所有的张量进行变分是十分困难的，因此可以用“扫描”的方法，逐个对每一个张量进行变分，在对某一个张量变分时，保持其它张量不变。比如，对某一张量A 变分时，上式可以写成 ()??min eff A A H A A NA λ- （31） 其中eff H 是对A 的有效哈密顿矩阵，N 是一个正规矩阵，它们都是由A 以外的“环境张量”决定的，可以通过收缩环境张量得到。收缩环境张量的方法可以采用之前介绍的密度矩阵重正化群或张量重正化群方法完成。当取变分极值时，有 ()???0eff A H A A NA A λ?-=?,也就是
对能量最低原理的认识
对《能量最低原理》的再认识 (2011-07-17 21:21:33) 转载▼ 标签： 杂谈 高中化学选修教材《物质结构与性质》中阐述了能量最低原理，但由于仅在核外电子排布知识中涉及，表述又不够恰当，以至于不少师生对该原理及其应用的认识存在着一些误区，现澄清如下： 一.能量最低原理其实是自然界普遍存在的规律 “能量越低越稳定”是自然界普遍适用的规律之一，因而能量最低原理的真正意义并不局限于对核外电子排布状态的分析，它预示了物体运动的方向、状态变化的趋势。高中物理中的势能最低原理，本质上就是能量最低原理，其内涵是物体（或物体系）具有势能，势能越小，状态越稳定；多个力作用的系统中，势能最低点常常受力平衡；或表述为“当物体在保守力作用下运动时，最终总是自发地、必然地向势能减少的方向变化，趋于势能最低，并在此运动过程中释放能量”，如：水往低处流等。甚至人类也会自发地趋向能量降低的过程，往往通过各种方式发泄和排解自己的能量，如：喜怒哀乐等。 二.能量最低原理与构造原理、泡利原理、洪特规则之间的关系 高中化学教材乃至大学教材阐述核外电子排布规律时，编排次序一般为构造原理（能级交错）、能量最低原理、泡利原理、洪特规则及其特例，即把能量最低原理与构造原理、泡利原理、洪特规则等并列介绍，易使人误认为核外电子排布要同时遵循四个原理（或规则），甚至少数学生会把构造原理和能量最低原理等同。 由于屏蔽效应和钻穿效应的存在，多电子原子产生了能级交错，原子轨道的能量高低不能简单地以能层数n和能级数l来确定，但可根据n＋0.7 l来比较，其能量高低顺序最终通过构造原理呈现。量子力学证明：两个电子占据同一轨道时，自旋方向相反，有利于原子体系的能量降低，这就是泡利原理所反映的。在不违反泡利原理的前提下，核外电子一般按照构造原理呈现的次序填充，优先占据能量较低的原子轨道。而洪特规则及其特例是对构造原理和泡利原理的补充，其内容是在等价轨道(相同能级的不同轨道)上电子将尽可能分占不同的轨道，且自旋方向相同，这可使原子的能量最低；原子轨道处于全空、半充满或全充满时，格外稳定。总之，符合构造原理、泡利原理和洪特规则及其特例的电子排布一般能使整个原子体系的能量处于最低(即处于基态)。由此可以看出，构造原理、泡利原理和洪特规则及其特例，均是从能量最低的角度来阐述核外电子是怎样排布的。因此，构造原理、泡利原理和洪特规则及其特例实际上就是能量最低原理的具体体现，核外电子排布只需遵循能量最低原理即可。按照这种理解，有些基态原子的电子排布不符合构造原理（如镧系、锕系中的部分原子），也就不难解释
能量最低原理、泡利原理、洪特规则
1.1 原子结构第2课时能量最低原理、泡利原理、洪特规 则 练基础落实 知识点1 关于基态原子和激发态原子 1．以下电子排布式是基态原子的电子排布的是( ) ①1s12s1②1s22s12p1 ③1s22s22p63s2④1s22s22p63s23p1 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 2．当镁原子由1s22s22p63s2→1s22s22p63p2时，以下认识正确的是( ) A．镁原子由基态转化成激发态，这一过程中吸收能量 B．镁原子由激发态转化成基态，这一过程中释放能量 C．转化后位于p能级上的两个电子处于同一轨道，且自旋状态相同 D．转化后镁原子与硅原子电子层结构相同，化学性质相似 知识点2 电子云、原子轨道 3．下列说法正确的是( ) A．因为p轨道是“8”字形的，所以p电子是“8”字形 B．能层数为3时，有3s、3p、3d、3f四个轨道 C．氢原子中只有一个电子，故氢原子只有一个轨道 D．原子轨道与电子云都是用来形象描述电子运动状态的 4．以下对核外电子运动状态的描述正确的是( ) A．电子的运动与行星相似，围绕原子核在固定的轨道上高速旋转 B．能量低的电子只能在s轨道上运动，能量高的电子总是在f轨道上运动 C．能层序数越大，s电子云的半径越大 D．在同一能级上运动的电子，其运动状态肯定相同 5．下列说法中正确的是( ) A．s电子云是在空间各个方向上伸展程度相同的对称形状 B．p电子云的形状是对顶双球 C．L电子层有d轨道 D．2p轨道有一个未成对电子的基态原子和价电子排布为2s22p5的原子是同种元素的原子
知识点3 核外电子的排布规律 6．下列电子排布图所表示的元素原子中，其能量处于最低状态的是( ) 7．基态原子的第5电子层只有2个电子，则该原子的第四电子层中的电子数肯定为( ) A．8个 B．18个 C．8～18个 D．8～32个 8．下列原子中未成对电子最多的是( ) A．C B．O C．N D．Cl 练方法技巧 核外电子排布的应用技巧 9．一定呈＋1价的金属元素是( ) A．M层比L层电子数少6个电子的元素 B．质量数为24，中子数为12的元素 C．4s轨道上有1个电子的元素 D．电子排布式为1s22s22p63s23p64s1的原子 10．在原子的第n层电子层中，当它为最外电子层时，最多容纳的电子数与(n－1)层相同，当它为次外层时，最多容纳的电子数比(n＋1)层多容纳10个电子，则此电子层为( ) A．K层 B．L层 C．M层 D．N层 电子排布式与电子排布图的应用技巧 11．下列电子的排布正确的是( ) A. B. C. D. 12．某原子核外电子排布式为n s2n p7，它违背了( ) A．泡利原理 B．能量最低原理 C．洪特规则 D．洪特规则特例 练综合拓展
【教学设计】原子中的电子
课题原子中的电子课型新授 教学目标 1、了解原子核外电子应能量的高低是按层运动的 2、知道各类原子核外电子的排布特点 3、知道离子的概念 3、培养学生用微粒的观点看物质构成 教学重、难点稳定结构离子的形成 授课方法自主互助、小组合作媒体使用多媒体 【课堂引入】我是钠原子的原子核，我的周围有11个电子在高速运动，这些电子是如何排布的？ 【搜集信息】排布特点1： 电子在核外是分层排布的。电子总是先排在能量最低的电子层里 （即第一层排满了才排第二层，依次下去）排布特点2：第一层最多排2个电子第二层最多排8个电子 最外层电子数最多排8个。 排布特点3：稳定结构：最外层电子数为8个电子的结构 （He最外层为第一层，为2个） 【学习任务一】原子结构示意图 以钠原子为例讲解原子结构示意图的结构 例如： (1) “○”表示原子核（2）表示原子核内有11个质子。（3）弧线表示电子层，（4）“2”表示第一层上排有两个电子。（5）“1”表示最外层为1个电子 【小练习1】画出质子数为8、17的原子结构示意图 【学习任务二】电子对原子性质的影响 每种原子在化学反应中力争达到稳定结构 例如： 【学生分组讨论】完成下列表格 原子种类金属元素的原子非金属元素的原子稀有气体元素的原子最外层电子数 得失电子情况 化学性质 【结论】：1、决定元素的化学性质： 2、最外层电子数相同，化学性质（不同、相似） 思考：我要达到稳 定结构怎么办？
【课堂反馈练习一】 1.下列原子结构示意图中,正确的是: 2.某元素原子的原子核外有三个电子层,最外层有4个电子,该原子核内的质子数为: A.14 B.15 C.16 D.17 3、硒元素具有抗衰老、抑制癌细胞生长的功能， 其元素符号为Se ，硒原子结构示意图如右图所示，则： （1）P 的值为___________。 （2）硒元素的化学性质与下列哪种元素的化学性质相似________（填字母编号） 【学习任务三】 离子 1、离子的定义 离子： 阴离子：如： S 2－、F －、Cl － 阳离子：如： H +、Na +、Al 3+ 【思考】原子、离子的核电荷数、质子数与核外电子数的关系是什么？ 原子中： 核电荷数质子数核外电子数 阳离子： 核电荷数质子数核外电子数 阴离子： 核电荷数质子数核外电子数 2、 离子符号的写法 在元素符号右上角标注所带电荷数 如:氧离子 O 2- 镁离子 Mg 2+ 3、离子符号的意义： 例如：3Mg 2+ 【小练习2】 写出符号的含义：①3个镁离子②Ca 2+ 【课堂反馈练习二】 1、构成物质的基本粒子有（ ） A 、只有分子 B 、分子和原子 C 、原子和离子 D 、分子原子和离子 2、下列各微粒的示意图中，表示阳离子的是（ ） A B C D 3、下列物质由离子构成的是 （ ） A.空气 B.食盐 C.A B C D 2 8 8 +17
变分法求锂原子的基态能量
变分法求锂原子的基态能量 摘要：对于锂原子基态能量的计算引起了很多人们的兴趣，在多电子原子中锂原子是个典型实例之一，微扰法和变分法都可以用来求原子基态能量的近似值，但哪种方法精确度更高呢？本文就比较了微扰法和变分法的优劣，通过计算，求出了锂原子的基态能量，结果与实验值相符。 关键词：锂原子；变分法；基态能量 引言：对于变分法的研究和应用，人们早就给予了重视。而且随着计算机计算水平的不断进步，人们对基态能量计算的精确度又有了更加严格的要求，本文比较了微扰法和变分法解基态能量的精确度，介绍了利用变分法来计算锂原子基态能量的步骤与方法，提高了计算的精确度。 1. 物理学中的变分法 1.1 变分法的思想 设体系为哈密顿算符 Λ H ,它的本征值如下从小到大排列： n 210,,E E E E 对应的波函数为： n φφφφ2,10, 本征函数n φ 构成正交归一完整的函数系 n n n E H φφ=? （1） 设 φ 是一个任意的归一化波函数，因为n φ 组成完全系，所以可以将φ 用n φ 展开 ??? ????==∑∑=**=m m m m n n n n C C 00φψφψ （2） 体系在ψ 所描述的状态能量平均值为 τψψd H E ? *= （3） 将（2）代入（3）可以得出 m n m m n n n m m m E C d C H C E ∑∑?∑=**==02?τφφ （当m=n 时，1,=n m δ） （4） 以0E 来代表体系基态的能量有
)3,2,1(0 =