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有限离散函数的导数和性质

导数在研究函数中的应用(含标准答案)

导数在研究函数中的应用【自主归纳，自我查验】一、自主归纳 1．利用导函数判断函数单调性问题函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若____ ___，则f(x)在这个区间上是增加的． (2)若____ ___，则f(x)在这个区间上是减少的． (3)若_____ __，则f(x)在这个区间内是常数．2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f′(x)． (2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0. (3)根据结果确定f(x)的单调区间． 3．函数的极大值在包含 x的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都_____ x点的函数值，称点0x为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f( x)为函数的极大值． 4．函数的极小值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都_____ x点的函数值，称点0x x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f( x)为函数的极小值．极大值与极小值统称为_______，极大值点与极小值点统称为极值点． 5．函数的最值与导数 1．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值点 x指的是：函数在这个区间上

所有点的函数值都_________f( x)． 2．函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值点 x指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f( x)．二、自我查验 1．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为() A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R 2．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________． 3.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x) 在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a， b)内有极小值点() A．1个B．2个 C．3个D．4个 4．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于() A．2 B．3 C．4 D．5 5.函数ln x =的最大值为（） y x A．1e-B．e C．2e D．10 3 【典型例题】考点一利用导数研究函数的单调性【例1】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．

函数连续性、导数及其应用

§1 函数的连续性定义：设函数y =f (x )在点x 0的某一邻域内有定义，如果那么就称函数f (x )在点x 0连续.)()(lim 00 x f x f x x =→一、连续函数的概念函数连续要满足三个条件 (1) 在x =x 0有定义； (2) 存在；(3))(lim 0 x f x x →)()(lim 00 x f x f x x =→

例1. 2sin 21 ,0(),0ax x e x f x x a x ?+-≠?=??=? 在(-∞，+ ∞)上连续，求的值 a 解：

定义：若函数?(x)在开区间(a , b)内的每一点都连续, 则称函数?(x)在开区间(a , b)内连续; 定义：若函数?(x)在开区间(a , b)内连续, 且在左端点a右连续, 在右端点b 左连续, 则称函数?(x) 在闭区间[a , b]内连续. 一个函数在定义域上连续，从图像上看是连续不断的，“一笔”可以画出来的。

二、函数的间断点极其类型(1)在x =x 0没有定义； (2)虽在x = x 0有定义，但不存在；(3)虽在x = x 0有定义，且存在,但则函数f (x )在点x 0为不连续，而点x 0称为函数f (x )的不连续点或间断点. )(lim 0 x f x x →)(lim 0 x f x x →)()(lim 00 x f x f x x ≠→

x 1 A 2A 0 x 0 x 1 A 2A 0 x A x 1 A 2A 0 x 1 A 0 x

间断点? ? ???? ???????振荡间断点极限为无穷的间断点无穷间断点第二类间断点存在，但不相等）跳跃间断点（左右极限相等）可去间断点（左右极限第一类间断点)(例2.解：

《3.3.1函数的单调性与导数》教学案

3.3.1《函数的单调性与导数》教学案教学目标： 1．了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程：一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲授 1．问题：图3.3-1(1)，它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现： (1)运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>． (2) 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<． 2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，

几个常见函数的导数1

几个常见函数的导数制作人：徐凯精讲部分：年级：高三科目：数学类型：同步难易程度：易建议用时：20-25min 一.知识点：知识点一几个常用函数的导数知识点二基本初等函数的导数公式

二.典例分析：题型一利用导数公式求出函数的导数例1 求下列函数的导数： (1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x ；(6)y ＝1－2sin 2x 2 . 解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x )′＝5x ln 5；(3)y ′＝? ?? ??1x 3′＝(x －3)′＝－3x －4 ； (4)y ′＝(4 x 3 )′＝(x 34)′＝1 434x -＝344 x ；(5)y ′＝(log 3x )′＝1 x ln 3； (6)y ＝1－2sin 2 x 2 ＝cos x ，y ′＝(cos x )′＝－sin x . 反思与感悟若给出函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导．题型二利用导数公式解决切线有关问题例2 (1)已知P ，Q 为抛物线y ＝12x 2 上两点，点P ，Q 横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的坐标为________．答案 (1，－4) 解析 y ′＝x ，k PA ＝y ′|x ＝4＝4，k QA ＝y ′|x ＝－2＝－2. ∵P (4,8)，Q (－2,2)，∴PA 的直线方程为y －8＝4(x －4)，

即y ＝4x －8， QA 的直线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2，联立方程组??? ? ? y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得 ????? x ＝1， y ＝－4. ∴A (1，－4)． (2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直并说明理由．解设存在一个公共点(x 0，y 0)使两曲线的切线垂直，则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|0x x =＝cos x 0，k 2＝y ′|0x x =＝－sin x 0，要使两切线垂直，必须k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1，即sin 2x 0＝2，这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．反思与感悟 1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数． (2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． 2．求过点P 与曲线相切的直线方程的三个步骤题型三利用导数公式求最值问题例3 求抛物线y ＝x 2 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．解设切点坐标为(x 0，x 2 0)，依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2 的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短．

导数研究函数性质

1．导数与导函数的概念 (1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数(derivative)，记作f ′(x 0)． (2)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )． 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)． 3．基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；

(3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ) (g (x )≠0)． 5．复合函数的导数若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a . 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) 1．(教材改编)f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为 ________． 2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是________． 3．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________. 4．已知点P 在曲线y ＝ 4e x ＋1 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是__________． 5．(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．

常用基本初等函数求导公式积分公式

基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则

设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．可以推出下表列出的公式：

函数的极值与导数优秀教学设计

函数的极值与导数教学设计【内容分析】本节内容选自人民教育出版社A版的理科选修2-2或者文科选修1-1的导数及其应用的内容，这些是在学生学习了函数的单调与导数的下一节课的内容，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，而导数是研究函数的最有效的工具，运用导数研究函数的性质，从中可以体会到导数在研究函数中的巨大作用. 【学情分析】在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值.在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫. 【教学目标】（1）理解极大值、极小值的概念. （2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. （3）掌握求可导函数的极值的步骤【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 【教学难点】极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤【学法指导】阅读自学、探究交流、合作展示. 【数学思想】数形结合、合情推理. 【知识百科】 1.函数的最值函数最值一般分为函数最小值与函数最大值.简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值.函数最大（小)值的几何意义---函数图像的最高（低）点的纵坐标即为该函数的最大（小）值. 2.函数的极值函数在其定义域的某些局部区域所达到的相对最大值或相对最小值.当函数在其定义域的某一点的值大于该点周围任何点的值时，称函数在该点有极大值;当函数在其定义域的某一点的值小于该点周围任何点的值时，称函数在该点有极小值.这里的极大值和极小值只具有局部意义.函数极值点的几何意义---函数图像的某段子区间内上极

高等数学习题及解答(极限-连续与导数)

高等数学习题库淮南联合大学基础部 2008年10月

第一章映射，极限，连续习题一集合与实数集基本能力层次： 1: 已知：A ＝{x|1≤x ≤2}∪{x|5≤x ≤6}∪{3},B={y|2≤y ≤3} 求：在直角坐标系内画出 A ×B 解：如图所示A ×B ＝{（x,y ）| ,x A y B ∈∈ }. 2：证明：∵ P 为正整数，∴p ＝2n 或p ＝2n+1，当p ＝2n+1时，p 2＝4n 2+4n+1，不能被2整除，故p ＝2n 。即结论成立。基本理论层次：习题二函数、数列与函数极限基本能力层次 1：解： 2：证明：由得cxy ay ax b -=+即 ay b x cy a += -，所以 ()x f y = 所以命题成立

3：（1）2 2x y -= （2）lg(sin )y x = （3 []y x = （4）0,01,0x y x ≥?? =??取N ＝[1 ω ]，则当n>N 时,就有 11|1|n n n ω--=<有定义变知1lim 1n n n →∞-=成立 5：求下列数列的极限（1）lim 3n n n →∞ （2）222 3 12lim n n n →∞+++ （3）（4）lim n 解：（1） 233n n n n <,又 2lim 03n n x →∞=,所以 0lim 03n n n →∞≤≤ , 故：lim 3n n n →∞＝0 （2）由于 222 3 312(1)(21)111 (1)(2)6n n n n n n n n n ++ +++= =++ 又因为：1111 lim (1)(2)63 n n n n →∞++=,所以：2223121 lim 3 n n n →∞+++ （3）因为：所以：（4）因为：111n n ≤+，并且1 lim(1)1n n →∞+=, 故由夹逼原理得 1n =

基本初等函数的导数公式表

导数基本知识汇总试题基本知识点：知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点） 1、=c '0 2、 =n n x nx -1'（）（n 为正整数） 3、 ln =x x a a a '（） =x x e e '（） 4、ln =a long x x a 1'（） 5、ln =x x 1 '（） 6、sin cos =x x '（） 7、 cos sin =-x x '（） 8、=-x x 211'（）知识点二：导数的四则运算法则 1、v =u v u '''±±（） 2、 =u v uv v u '''+（） 3、(=Cu Cu '' ） 4、u -v =u v u v v 2'''（）知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b ，()f x '>0，则()f x 在此区间是增区间，(,)a b 为()f x 的单调增区间。 2、如果在(,)a b ，()f x '<0，则()f x 在此区间是减区间，(,)a b 为()f x 的单调减区间。一、计算题 1、计算下列函数的导数；（1）y x 15= （2） )-y x x 3=≠0（（3）)y x x 54=0 （（4）)y x x 23=0 （（5）)-y x x 23 =0 （（6）y x 5=

（7）sin y x = （8）cos y x = （9）x y =2 （10）ln y x = （11）x y e = 2、求下列函数在给定点的导数；（1）y x 1 4= ，x =16 （2）sin y x = ，x π =2 （3）cos y x = ，x π=2 （4）sin y x x = ，x π =4 （5）3y x = ，11 28（，）（6）+x y x 2=1 ，x =1 （7）y x 2 = ，,24（）

导数与函数的单调性教学设计

《导数与函数的单调性》教学设计【课题】导数与函数的单调性【课时】1课时【教材分析】导数与函数的单调性是人教版选修2-2第三章第一节的内容。函数单调性是高中阶段刻划函数变化的一个最基本的性质。在高中数学课程中，对于函数单调性的研究分成两个阶段：第一个阶段是用定义研究单调性，知道它的变化趋势,是高一需要了解的知识点；第二阶段用导数的性质研究单调性，知道它的变化快慢，是高二需要掌握的知识内容。在学习本节课之前学生已经学习了导数、函数及函数单调性等概念，对单调性有了一定的感性和理性的认识，同时在第二章中已经学习了导数的概念，对导数有了一定的知识储备。函数的单调性是高中数学中极为重要的一个知识点。以前学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性，学习了导数以后，利用导数来研究函数的单调性，是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用。同时，在本章第二节要学习利用导数研究函数的极值，学习了导数研究函数的单调性，对于研究利用导数求函数的极值有重要的帮助。因此，学习本节内容具有承上启下的作用。【学情分析】课堂学生为高二年级的的学生，学生基础一般，高一阶段对于单调性概念的理解不够准确且现在早已忘记；同时导数是高中学生新接触的概念，如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点。在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算，初步接触了导数在几何中的简单应用，但对导数的应用还仅停留在表面上。本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性。【教学目标】知识与能力：一是能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制函数大致图象。过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的研究过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。情感态度与价值观：（1）通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，认识到数学是一个有机整体。 2）通过导数研究单调性的基本步骤（即算法）的形成和使用，使得学生认识到导数使得一些复杂的问题就变得有矩可循，因而认识到导数的实用价值。【教学重点】

常见函数的导数

常见函数的导数学习目标：能根据定义求几个简单函数的导数，加深对导数概念的理解，同时体会算法的思想并熟悉具体的操作步骤。学习重难点：利用导数公式求一些函数的导数一、知识点梳理 1. 基本初等函数，有下列的求导公式 '1.()(,)kx b k k b +=为常数 '2.()1x = 2'3.()2x x = 4.()0C '= 3'2 5.()3x x = ' 2 116.()x x =- '= 1 8.()x x ααα-'=（α为常数） 9.()ln (01)x x a a a a a '=>≠， a a 1110.(log x)log e (01)x xlna a a '= =>≠， x x 11.(e )e '= 112.(lnx)x '= 13.(sinx)cosx '= 14.(cosx)sinx '=－从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。二、典例讲解例1、求下列函数导数。练习：（1）5 -=x y （2）、x y 4= （3）、x x x y = （4）、x y 3 l o g = （5）、)100() 1(l o g 1 ≠>>-= x a a x a y x ，，，（6）、y=sin( 2π+x) (7)y=sin 3 π （8）、y=cos(2π－x) （9）、y=(1)f ' 例2、1.求过曲线y=cosx 上点P( 2π ，0 ) 的切线的直线方程. 2. 若直线y x b =-+为函数1 y x = 图象的切线,求b 的值和切点坐标. (1)(23)(2)(2)(3)3x x '-+='-='=4 (4)y x =3(6)y x -==0(5)sin 45y

导数研究函数的基本问题

函数、导数与不等式．(·泰安模拟)已知函数()＝·－()·＋.(是自然对数的底数) ()求函数()的解析式和单调区间；()若函数()＝＋与函数()的图象在区间[－]上恰有两个不同的交点，求实数的取值范围．解：()由已知得′()＝－()＋， ∴′()＝′()－()＋，∴()＝. 又()＝，∴′()＝. 从而()＝－＋. 显然′()＝－＋在上单调递增且′()＝，故当∈(－∞，)时，′()<；当∈(，＋∞)时，′()>. ∴()的单调递减区间是(－∞，)，单调递增区间是(，＋∞)． ()由()＝()得＝－. 令()＝－，则′()＝－. 由′()＝得＝. 当∈(－)时，′()<；当∈()时，′()>. ∴()在(－)上单调递减，在()上单调递增．又()＝，(－)＝＋，()＝－且(－)<()，故两个图象恰有两个不同的交点时，实数的取值范围是. ．(·北京高考)设函数()＝－＋，曲线＝()在点(，())处的切线方程为＝(－)＋. ()求，的值； ()求()的单调区间．解：()因为()＝－＋，所以′()＝(－)－＋. 依题设有(\\(((＝＋，′((＝－，))即(\\(－＋＝＋，,－－＋＝－.)) 解得(\\(＝，＝.)) ()由()知()＝－＋. 由′()＝－(－＋－)及－>知，′()与－＋－同号．令()＝－＋－，则′()＝－＋－. 所以，当∈(－∞，)时，′()<，()在区间(－∞，)上单调递减；当∈(，＋∞)时，′()>， ()在区间(，＋∞)上单调递增．故()＝是()在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而()>，∈(－∞，＋∞)．

综上可知，′()>，∈(－∞，＋∞)，故()的单调递增区间为(－∞，＋∞)．．(·河北五校联考)已知函数()＝－(∈)． ()当＝时，判断函数()的单调区间并给予证明； ()若()有两个极值点，(<)，证明：－<()<－. 解：()()为上的单调递减函数，证明如下：＝时，()＝－，′()＝－，(′())′＝－，易知′()＝′( )＝－<，从而()为上的单调递减函数． ()证明：()有两个极值点，(<)，即′()＝－＝有两个实根，(<)，由(′())′＝－＝，得＝. 由′( )＝－>，得>>. 又′()＝－<，′()＝－>，所以<<< . 由′()＝－＝，得＝， ()＝－＝－＝(<<)，令＝(<<)，则′＝·<. ′()＝·<， ∴－＝()<()<()＝－. ．(·辽宁葫芦岛模拟)已知＝是()＝＋＋的一个极值点． ()求函数()的单调递减区间； ()设函数()＝()－，若函数()在区间[]内单调递增，求实数的取值范围．解：()因为()＝＋＋，所以′()＝－＋，因为＝是()＝＋＋的一个极值点，所以′()＝－＋＝，解得＝，经检验，符合题意，所以＝. 则函数()＝＋＋，其定义域为(，＋∞)．令′()＝－＋<，解得<<，所以函数()＝＋＋的单调递减区间为(]． ()因为()＝()－＝＋－，所以′()＝＋＋. 因为函数()在[]上单调递增，所以′()≥在[]上恒成立，即＋＋≥在∈[]上恒成立，所以

导数与函数的单调性省优质课教学设计

《导数与函数的单调性》教学设计教材分析：《导数与函数的单调性》是北师大版选修2-2第三章1.1节的内容，也是高考的重点内容之一。本节内容的学习与掌握有助于学生深入的研究函数的性质，尤其借助导数知识求解函数的单调区间起到推波助澜的作用。学生已经掌握了基本的求导公式和导数的四则运算规则，对于导数也有了初步认识，通过本节课的学习，是学生认识到导数可以作为一种工具来进一步研究函数，对于求解较复杂函数的单调区间是一个捷径。教学目标： 1．知识与技能：理解导数与函数单调性的关系，会用导数法确定函数的单调区间，能确定函数的大致图像。 2．过程与方法：（1）通过导数与函数单调性关系的探究过程，体会从特殊到一般、数形结合的思想方法。（2）通过导数法求单调区间基本步骤的形成，体会算法思想。 3．情感、态度与价值观：通过导数法求单调区间，体会不同数学知识间的内在联系，体会导数的实用价值。教学重点：函数单调性的判定和单调区间的求法教学难点：理解为何将导数与函数单调性联系起来教法学法： 1、教法：整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出①动--师生互动、共同探索；②导--教师指导、循序渐进（1）新课引入--较简单的数学问题引入，帮助学生联想。（2）理解导数的内涵，组织学生自主探索，获得用函数的导数判断函数单调性的法则。（3）例题处理--始终从问题出发，层层设疑，让他们在探索中自得知识。（4）练习--深化对用函数的导数判断函数单调性的法则内涵的理解，巩固新知识。 2、学法：（1）合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问题。（2）自主学习：引导学生动口、动脑、参与数学活动。（3）探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知。

第16课时利用导数研究函数的性质

第16 课时利用导数研究函数的性质编者：仇小华审核：刘智娟第一部分预习案一、知识回顾 1． f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的条件． 2． f (x )在(a ，b )上是增函数的充要条件是． 3．对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0并不是f (x )在x ＝x 0处有极值的充分条件对于可导函数f (x )，x ＝x 0是f (x )的极值点，必须具备①f ′(x 0)＝0，②在x 0两侧，f ′(x )的符号为异号．所以f ′(x 0)＝0只是f (x )在x 0处有极值的条件，但并不． 4．如果不间断的函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极值点，那么这个极值点就是最值点．在解决实际问题中经常用到这一结论．二、基础训练 1．已知函数f (x )＝ln a ＋ln x x 在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围为__________． 2．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________． 3．若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝－x (x ＋1)，则函数g (x )＝f (log a x )(0