微积分曹定华修订版课后题答案第二章习题详解
微积分曹定华修订版课后
题答案第二章习题详解Newly compiled on November 23, 2020
第二章
习题2-1
1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞
x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞
x n +k =a .
证：由lim n n x a →∞
=，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有
取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞
=.
2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞
x n =a ,则lim n →∞
∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明
上述结论反之不成立.
证：
而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?>
n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<
由数列极限的定义得 lim n n x a →∞
=
考察数列 (1)n
n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞
=，
所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：
(1) lim n →∞
2
22111(1)
(2)n n n ??+++ ?+??
=0； (2) lim n →∞2!n n =0.
证：（1）因为
222
222111
112(1)(2)n n n n n n n n n n
++≤+++
≤≤=+ 而且 21lim
0n n →∞=，
2lim 0n n
→∞=， 所以由夹逼定理，得
22211
1lim 0(1)(2)n n n n →∞??
+++
= ?+?
?
. （2）因为22222240!123
1n n n n n
<
=<-，而且4
lim 0n n →∞=，
所以，由夹逼定理得
4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.
(1) x n =
1
1
n e +，n =1,2,…；
(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
（2）因为12x <，不妨设2k x <，则
故有对于任意正整数n ，有2n x <，即数列{}n x 有上界，
又 1n n x x +-=，而0n x >,2n x <， 所以 10n n x x +-> 即 1n n x x +>， 即数列是单调递增数列。
综上所述，数列{}n x 是单调递增有上界的数列，故其极限存在。
习题2-2
1※
. 证明：0
lim x x →f (x )=a 的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .
证：先证充分性：即证若0
lim ()lim ()x x x x f x f x a -+
→→==，则0
lim ()x x f x a →=. 由0
lim ()x x f x a -→=及0
lim ()x x f x a +
→=知： 10,0εδ?>?>,当010x x δ<-<时，有()f x a ε-<，
20δ?>当020x x δ<-<时，有()f x a ε-<。
取{}12min ,δδδ=，则当00x x δ<-<或00x x δ<-<时，有()f x a ε-<， 而00x x δ<-<或00x x δ<-<就是00x x δ<-<， 于是0,0εδ?>?>，当00x x δ<-<时，有()f x a ε-<， 所以 0
lim ()x x f x a →=.
再证必要性：即若0
lim ()x x f x a →=，则0
lim ()lim ()x x x x f x f x a -+
→→==, 由0
lim ()x x f x a →=知，0,0εδ?>?>，当00x x δ<-<时，有()f x a ε-<，
由00x x δ<-<就是 00x x δ<-<或00x x δ<-<，于是0,0εδ?>?>，当00x x δ<-<或
00x x δ<-<时，有()f x a ε-<.
所以 0
lim ()lim ()x x x x f x f x a -+
→→== 综上所述，0
lim x x →f (x )=a 的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a .
2. (1) 利用极限的几何意义确定0
lim x → (x 2+a ),和0
lim x -
→1
e x
； (2) 设f (x )= 1
2
e ,0,,0,x
x x a x ??
，问常数a 为何值时，0lim x →f (x )存在.
解：（1）因为x 无限接近于0时，2x a +的值无限接近于a ，故2
0lim()x x a a →+=.
当x 从小于0的方向无限接近于0时，1
e x
的值无限接近于0，故10
lim e 0x
x -
→=. （2）若0
lim ()x f x →存在，则00
lim ()lim ()x x f x f x +-
→→=， 由（1）知 2
2
lim ()lim()lim()x x x f x x a x a a +--
→→→=+=+=， 所以，当0a =时，0
lim ()x f x →存在。
3. 利用极限的几何意义说明lim x →+∞
sin x 不存在.
解：因为当x →+∞时，sin x 的值在-1与1之间来回振摆动，即sin x 不无限接近某一定直线
y A =，亦即()y f x =不以直线y A =为渐近线，所以lim sin x x →+∞
不存在。
习题2-3
1. 举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量.
解：例1：当0x →时，tan ,sin x x 都是无穷小量，但由
sin cos tan x
x x
=（当0x →时，cos 1x →）不是无穷大量，也不是无穷小量。
例2：当x →∞时，2x 与x 都是无穷大量，但
22x
x
=不是无穷大量，也不是无穷小量。 例3：当0x +
→时，tan x 是无穷小量，而cot x 是无穷大量，但tan cot 1x x =不是无穷大量，也不是无穷小量。
2. 判断下列命题是否正确：
(1) 无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量； (2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量； (3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量； (4) 有限个无穷小量之和为无穷小量； (5) 有限个无穷大量之和为无穷大量；
(6) y =x sin x 在(-∞，+∞)内无界，但lim x →∞
x sin x ≠∞；
(7) 无穷大量的倒数都是无穷小量； (8) 无穷小量的倒数都是无穷大量. 解：（1）错误，如第1题例1； （2）正确，见教材§定理3；
（3）错误，例当0x →时，cot x 为无穷大量，sin x 是有界函数，cot sin cos x x x =不是无穷大量；
（4）正确，见教材§定理2；
（5）错误，例如当0x →时，1x 与1x -都是无穷大量，但它们之和11
()0x x
+-=不是无穷大量；
（6）正确，因为0M ?>，?正整数
k ，使π
2π+
2
k M >，从而ππππ
(2π+)(2π+)sin(2π+)2π+2222
f k k k k M ==>，即sin y x x =在(,)-∞+∞内无界，又
0M ?>，无论X 多么大，总存在正整数k ，使π>k X ，使(2π)πsin(π)0f k k k M ==<，即
x →+∞时，sin x x 不无限增大，即lim sin x x x →+∞
≠∞；
（7）正确，见教材§定理5；
（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。零是无穷小量，但其倒数无意义。 3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量. (1) f (x )=
2
3
4
x -,x →2; (2) f (x )=ln x ，x →0+，x →1,x →+∞； (3) f (x )= 1e x
,x →0+，x →0-； (4) f (x )=
2π
-arctan x ,x →+∞;
(5) f (x )=
1x sin x ,x →∞; (6) f (x )= 21x
x →∞. 解：（1）22
lim(4)0x x →-=因为，即2x →时，24x -是无穷小量，所以2
1
4
x -是无穷小量，因而
2
3
4
x -也是无穷大量。 （2）从()ln f x x =的图像可以看出，1
lim ln ,limln 0,lim ln x x x x x x +
→→+∞
→=-∞==+∞，所以，当0x +→时，x →+∞时，()ln f x x =是无穷大量；
当1x →时，()ln f x x =是无穷小量。
（3）从1
()e x f x =的图可以看出，110
lim e ,lim e 0x x
x x +-
→→=+∞=， 所以，当0x +
→时，1()e x
f x =是无穷大量；
当0x -
→时，1()e x
f x =是无穷小量。 （4）
π
lim (arctan )02
x x →+∞-=， ∴当x →+∞时，π
()arctan 2
f x x =
-是无穷小量。
（5）当x →∞时，
1
x
是无穷小量，sin x 是有界函数， ∴ 1
sin x x 是无穷小量。 （6）当x
→∞时，
2
1
x
∴ 习题2-4
1.若0
lim x x →f (x )存在，0
lim x x →g (x )不存在，问0
lim x x →［f (x )±g (x )］, 0
lim x x →［f (x )·g (x )］是否存在，为什么
解：若0
lim x x →f (x )存在，0
lim x x →g (x )不存在，则
（1）0
lim x x →［f (x )±g (x )］不存在。因为若0
lim x x →［f (x )±g (x )］存在，则由
()()[()()]g x f x f x g x =--或()[()()]()g x f x g x f x =+-以及极限的运算法则可得0
lim x x →g (x )，与
题设矛盾。
（2）0
lim x x →［f (x )·g (x )］可能存在，也可能不存在，如：()sin f x x =，1
()g x x
=
，则0
limsin 0x x →=，01lim x x →不存在，但0lim x x →［f (x )·
g (x )］=01
lim sin 0x x x →=存在。 又如：
()sin f x x =，1()cos g x x =
，则π2
limsin 1x x →=，π2
1
lim cos x x
→不存在，而
lim x x →［f (x )·
g (x )］π
2
lim tan x x →
=不存在。 2. 若0
lim x x →f (x )和0
lim x x →g (x )均存在，且f (x )≥g (x )，证明0
lim x x →f (x )≥0
lim x x →g (x ).
证：设0
lim x x →f (x )=A ，0
lim x x →g (x )=B ，则0ε?>，分别存在10δ>，20δ>，使得当
010x x δ<-<时，有()A f x ε-<，当020x x δ<-<时，有()g x B ε<+
令{}12min ,δδδ=，则当00x x δ<-<时，有 从而2A B ε<+，由ε的任意性推出A B ≤即
lim ()lim ()x x x x f x g x →→≤.
3. 利用夹逼定理证明：若a 1,a 2，…，a m 为m 个正常数，则
lim
n
→∞
=A , 其中A =max{a 1,a 2
,…，a m }.
n n m A ≤≤，即
而lim n A A
→∞
=，1
lim n
n m
A A →∞
=，由夹逼定理得
n A =.
4※
. 利用单调有界数列必
存在极限这一收敛准则证明：若x 1
＝,x 2
=,…，
x n +1
n =1,2,…），则lim
n →∞
x n 存在，并求该极限.
证：因为12x x ==
有21x
x >
今设1k k x x ->，则1k k x x -=>=，由数学归纳法知，对于任意正整数
n
有1n n x x +>，即数列{}n x 单调递增。
又因为1
2x =<，今设2k x <，则12k x -=<
=，由数学归纳法知，对
于任意的正整数 n 有2n x <，即数列{}n x 有上界，由极限收敛准则知lim n
n x →∞
存在。
设lim n n x b →∞
=，对等
式1n x +=两边取极限得b =
，即22b b =+，解得
2b =，1b =-（由极限的保号性，舍去），所以lim 2n n x →∞
=.
5. 求下列极限：
(1) lim n →∞332324
51
n n n n n +++-+； (2) lim n →∞
1cos n ???
??
???
；
(3) lim n →∞lim n →∞11
(2)3(2)3n n
n n ++-+-+；
(5) lim n →∞1
11221
113
3
n n +++
+++. 解：（1）原式=23232433lim 111
55n n n n n n
→∞+
+=+-+；
（2
）因为lim(10n →∞
-
=，即当n →∞
时，1是无穷小量，而cos n 是有界变量，由无
穷小量与有界变量的乘积是无穷小量得：lim (10n n →∞
??
=????
； （3
）
22
lim(n n
n
→∞
=
而2lim
0n
n
n →∞→∞==
， 2n n →∞
∴==∞；
（4）11
11121(1)()(2)31333lim
lim
2
(2)33
(1)()13
n
n n n n n n n n n ++→∞→∞++-+-+==-+-+； （5）1
11111()21111114[1()]
42222lim lim lim 1
111
3
11()3[1()]3
3
33113
n n n n n n n n n ++→∞→∞→∞++-+++
--===+++---.
6. 求下列极限： (1) 3
lim
x →239
x x --； (2) 1lim
x →223
54
x x x --+
； (3) lim x →∞3426423x x x ++; (4) 2
lim
x π→
sin cos cos 2x x
x -; (5) 0lim h →33
()x h x h
+-; (6) 3lim x
→;
(7) 1lim x →21
n x x x n x +++--; (8) lim x →∞sin sin x x
x x +-；
(9) lim
x →+∞ (10) 1lim x →313
()11x x
---； (11) 0lim x →2
1(sin )x x
.
解：23
333311
(1)lim
lim lim 9(3)(3)36
x x x x x x x x x →→→--===--++ （2）
21
1
lim(54)0,lim(23)1x x x x x →→-+=-=-
（3）3
4
422
6464lim lim 03
232x x x x x x x x
→∞→∞++==++； （4）π2
ππ
sin
cos sin cos 22lim
1cos 2cos π
x x x
x →
--=
=-； （5）[]22
3300()()()()lim lim
h h x h x x h x h x x x h x h h
→→??+-+++++-??= 222
lim ()()3h x h x h x x x →??=++++=??； （6
）
3(23)92)x x x →→+-
+=
334
3
x x →→===；
（7）2211(1)(1)(1)
lim
lim 11
n n x x x x x n x x x x x →→+++--+-+
+-=--
1
123(1)2
n n n =+++
+=
+； （8）
sin lim
0x x x →∞=（无穷小量1
x
与有界函数sin x 之积为无穷小量）
sin
1sin lim lim 1sin sin 1x x x
x x x x
x x x →∞→∞+
+∴==--
； （9）22
lim lim
x x
→+∞
=lim
lim
1x x ===；
（10）1lim x →313
()11x x
---231(1)3lim 1x x x x →++-=-
（11）
当0x →时，2
x 是无穷小量，1
sin
x
是有界函数， ∴它们之积2
1sin
x x 是无穷小量，即2
01lim sin 0x x x →??= ??
?。
习题2-5
求下列极限(其中a ＞0,a ≠1为常数）： 1. 0
lim
x →sin 53x x
; 2. 0lim x →tan 2sin 5x
x ; 3. 0lim x →x cot x ;
4. 0lim x
→; 5. 0lim x →2cos5cos 2x x x -; 6. lim x →∞1x
x x ??
?+??
; 7. 0
lim x →()
cot 13sin x
x +; 8. 0lim x →1
x a x
-; 9. 0lim x →x x a a x --;
10. lim x →+∞ln(1)ln x x x +-; 11. lim x →∞3222x
x x -?? ?-??; 12.lim x →∞211x
x ?
?+ ???
; 13. 0lim
x →arcsin x x ; 14. 0lim x →arctan x
x
; .
解：1. 000sin 55sin 55sin 55
lim lim lim 335353x x x x x x x x x →→→===；
2. 000tan 2sin 221sin 25lim lim lim sin 5cos 2sin 55cos 22sin 5x x x x x x x x x x x x x
→→→== 0205021sin 252lim lim lim 5cos 22sin 55
x x x x x x x x →→→==； 3. 0000
lim
cot lim cos lim limcos 1cos01sin sin x x
x x x x
x x x x x x →
→→→=?
==?=； 4. 0
000sin
2
lim
lim
22
x x x x x x x
→→→→=== 0sin
2212x x
x →===； 5. 2200073732sin sin sin sin cos5cos 2732222lim lim lim (2)732222x x x x x x x x x x x x x →→→??-??-==-????????
??
0073sin sin 212122lim
lim 7322
22
x x x x x x →→=-?=-； 6. 111lim lim lim 111e
(1)x
x
x x x x x x x x x →∞→∞→∞?? ???=== ? ?++?? ?+??
； 7. 3cos cos 1
cot sin 3sin 0
lim(13sin )lim(13sin )
lim (13sin )x
x x x
x x x x x x x →→→??+=+=+????
8.令1x u a =-，则log (1)a x u =+，当0x →时，0u →，
1
11
ln log e
limlog (1)
a u
a u a u →=
=
=+. 9. 000(1)(1)
11lim lim lim x x x x x x x x x a a a a a a x x x
x ---→→→??------==+ ?-?? （利用了第8题结论01
lim
ln x x a a x
→-=）； 10. ln(1)ln 11lim
lim ln
x x x x x
x x x
→+∞→+∞+-+=? 1111
lim ln(1)lim lim ln(1)0x x x x x x x
→+∞→+∞→+∞=+=+=； 11. 22223211lim lim 1lim 1222222x x
x
x
x
x x x x x x x --→∞→∞→∞??-???
???=+=+?? ? ? ?---???????
???
1
232lim e 22x
x x x -→∞-??∴= ?-??
； 12. 1
22
1222
1
11ln (1)lim ln(1)2211lim(1)lim (1)lim e
e x x x
x
x x
x x x x
x x x x x →∞?
?++
??
??
→∞→∞→∞?
?+=+==????
2
12
1lim lim ln(1)0lne 0e
e e 1x
x x x x
→∞→∞
+
?====；
13.令arcsin x u =，则sin x u =，当0x →，0u →，
000arcsin 1
lim
lim 1sin sin lim
x u u x u u x u u
→→→===；
14.令arctan x u =，则tan x u =，当0x →，0u →，
00000arctan 1
lim
lim lim cos lim limcos 1sin tan sin x u u u u x u u u u u x
u u u
→→→→→====.
习题2-6
1. 证明： 若当x →x 0时，α(x )→0,β(x )→0,且α(x )≠0，则当x →x ０时，α(x )～β(x )的充要条件是
lim
x x →()()
()
x x x αβα-＝０.
证：先证充分性. 若0
lim
x x →()()()x x x αβα-＝０，则0lim x x →()
(1)()
x x βα-
＝0, 即0
()1lim
0()x x x x βα→-=，即0
()
lim 1()
x x x x βα→=.
也即0
()
lim
1()
x x x x αβ→=，所以当0x x →时，()()x x αβ. 再证必要性： 若当0x x →时，()
()x x αβ，则0
()
lim
1()
x x x x αβ→=， 所以0
lim
x x →()()()x x x αβα-＝0lim x x →()(1)()x x βα-
＝0
()1lim ()x x x x βα→-=0
1
1110()lim
()
x x x x αβ→-=-=. 综上所述，当x →x 0时，α(x )～β(x )的充要条件是
lim
x x →()()
()
x x x αβα-＝０.
2. 若β(x )≠0，0
lim x x →β(x )=0且0
lim
x x →()
()
x x αβ存在，证明0lim x x →α(x )=0.
证：0
()()lim ()lim
()lim lim ()()()x x x x x x x x x x x x x x x αααββββ→→→→==0
()
lim 00()
x x x x αβ→==
即 0
lim ()0x x x α→=.
3. 证明： 若当x →0时，f (x )=o (x a )，g (x )=o (x b )，则f (x )·g (x )＝o (a b
x +)，其中a ,b 都大于0，并由
此判断当x →0时，tan x －sin x 是x 的几阶无穷小量.
证: ∵当x →0时, f (x )=o (x a )，g (x )=o (x b )
∴00()()
lim
(0),lim (0)a b
x x f x g x A A B B x x →→=≠=≠
于是: 0000()()()()()()
lim lim lim lim 0a b a b
a b x x x x f x g x f x g x f x g x AB x x x x x +→→→→?=?=?=≠
∴当x →0时, ()()()a b
f x
g x O x
+?=,
∵tan sin tan (1cos )x x x x -=-
而当x →0时, 2
tan (),1cos ()x O x x O x =-=, 由前面所证的结论知, 3tan (1cos )()x x O x -=, 所以,当x →0时,tan sin x x -是x 的3阶无穷小量. 4. 利用等价无穷小量求下列极限： (1) 0
lim
x →sin tan ax bx (b ≠0)； (2) 0lim x →21cos kx
x
-； (3) 0
lim
x
→； (4) 0lim
x
→
(5) 0lim x →arctan arcsin x
x ； (6) 0lim x →sin sin e e ax bx ax bx
-- (a ≠b )；
(7) 0lim
x →ln cos 2ln cos3x x ； (8) 设0lim x →2
()3
f x x -＝100,求0lim x →f (x ).
解 00sin (1)lim lim .tan x x ax ax a
bx bx b
→→==
(8)由20()3lim 100x f x x
→-=,及2
0lim 0x x →=知必有0lim[()3]0x f x →-=, 即 0
lim[()3]lim ()30x x f x f x →→-=-=,
所以 0
lim ()3x f x →=.
习题2-7
１.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：
(1) f (x )= 31,01,3,12;x x x x ?+≤
(2) f (x )＝,11
1,1 1.x x x x -≤
解: (1)
30
lim ()lim(1)1(0)x x f x x f ++
→→=+== ∴ f (x )在x =0处右连续, 又
11
lim ()lim(3)2x x f x x +
+
→→=-= ∴ f (x )在x =1处连续.
又 2
2
lim ()lim(3)1(2)x x f x x f --
→→=-== ∴ f (x )在x =2处连续.
又f (x )在(0,1),(1,2)显然连续,综上所述, f (x )在[0,2]上连续.图形如下:
图2-1 (2)
11
lim ()lim 1x x f x x -
-
→→== ∴ f (x )在x =1处连续. 又1
1
lim ()lim 11x x f x -+→-→-==
故1
1
lim ()lim ()x x f x f x -+→-→-≠
∴ f (x )在x =-1处间断, x =-1是跳跃间断点. 又f (x )在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞显然连续.
综上所述函数f (x )在x =-1处间断,在(,1),(1,)-∞--+∞上连续.图形如下:
图2-2
2. 说明函数f (x )在点x 0处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同又有什么联系 略.
3.函数在其第二类间断点处的左、右极限是否一定均不存在试举例说明. 解:函数在其第二类间断点处的左、右极限不一定均不存在.
例如0(),01
x x f x x x x
≤??
==?>??是其的一个第二类间断点,但0
lim ()lim 0x x f x x --
→→==即在0x =处左极限存在,而0
1
lim ()lim x x f x x
++
→→==+∞,即在0x =处右极限不存在. 4.求下列函数的间断点，并说明间断点的类型：
(1) f (x )= 22132x x x -++； (2) f (x )＝sin sin x x
x
+；
(3) f (x )= ()
1
1x
x +； (4) f (x )=
2
2
4
x x +-； (5) f (x )= 1sin
x x
. 解: (1)由2
320x x ++=得x =-1, x =-2 ∴ x =-1是可去间断点,x =-2是无穷间断点. (2)由sin x =0得πx k =,k 为整数. ∴ x =0是跳跃间断点. (4)由x 2-4=0得x =2,x =-2.
∴ x =2是无穷间断点,x =-2是可去间断点.
(5)
1
lim ()lim sin
0,()x x f x x f x x
→→==在x =0无定义 故x =0是f (x )的可去间断点.
5.适当选择a 值，使函数f (x )= ,0,
,0
x e x a x x ?
解: ∵f (0)=a ,
要f (x )在x =0处连续,必须0
lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-
→→==. 即a =1.
6※
.设f (x )= lim x →+∞x x
x x
a a a a ---+，讨论f (x )的连续性.
解: 2210
1()lim
lim sgn()10100
x x
x
x x
x a a x a a a f x x x a a a x --→+∞→+∞-?++?
=? 所以, f (x )在(,0)(0,)-∞+∞上连续,x =0为跳跃间断点.
7. 求下列极限： (1) 2
lim
x →222
x x x +-； (2) 0lim x
→； (3) 2
lim x →ln(x -1); (4) 1
2
lim x →
(5) lim x e
→(ln x )x .
解: 22
2
222
(1)lim
1;2222
x x x x →?==+-+- 习题2-8
1. 证明方程x 5-x 4-x 2-3x =1至少有一个介于1和2之间的根. 证: 令542
()31f x x x x x =----,则()f x 在[1,2]上连续, 且 (1)50f =-<, (2)50f =>
由零点存在定理知至少存在一点0(1,2),x ∈使得0()0f x =.
即 542
000031x x x x ---=,
即方程542
31x x x x ---=至少有一个介于1和2之间的根. 2. 证明方程ln （１＋e x ）-2x =0至少有一个小于1的正根.
证: 令()ln(1)2e x
f x x =+-,则()f x 在(,)-∞+∞上连续,因而在[0,1]上连续,
且 0
(0)ln(1)20ln 20e f =+-?=>
由零点存在定理知至少存在一点0(0,1)x ∈使得0()0f x =. 即方程ln(1)20e x
x +-=至少有一个小于1的正根.
3※
. 设f (x )∈C （-∞，+∞），且lim x →-∞
f (x )=A , lim x →+∞
f (x )=B , A ·B ＜0，试由极限及零点存在定理的几
何意义说明至少存在一点x 0∈（－∞,＋∞），使得f (x 0)＝０. 证: 由A ·B <0知A 与B 异号,不防设A >0,B <0
由lim ()0,lim ()0x x f x A f x B →-∞
→+∞
=>=<,及函数极限的保号性知,10X ?>,使当1x X <-,有
()0,f x >
20X ?<,使当2x X >时,有()0f x <.
现取1x a X =<-,则()0f a >,
2x b X =>,则()0f b <,且a b <,
由题设知()f x 在[,]a b 上连续,由零点存在定理,至少存在一点0(,)x a b ∈使0()0f x =, 即至少存在一点0(,)x ∈-∞+∞使0()0f x =.
4.设多项式P n (x )＝x n +a 11
n x -+…+a n .，利用第3题证明： 当n 为奇数时，方程P n (x )=0至少有一
实根.
证:
122
()1n n
n n a a a
P x x x x x ??=++++
??
?
()
lim
10n n
x P x x →∞∴=>,由极限的保号性知.
0X ?>,使当X x >时有()
0n n P x x
>,此时()n P x 与n x 同号,因为n 为奇数,所以(2X )n 与(-2X )n 异号,
于是(2)n P X -与(2)n P X 异号,以()n P x 在[2,2]X X -上连续,由零点存在定理,至少存在一点
0(2,2)X X X ∈-,使0()0n P x =,即()0n P x =至少有一实根.