湖北省黄冈中学2007年春高二数学期中考试试题

1

湖北省黄冈中学2007年春高二数学（理）期中考试试题

命题人：曹燕 校对人：卞清胜

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1．若A 与B 相互独立，则下面不．

相互独立事件有（ ） A ．A A 与

B ．A B 与

C ．A B 与

D ．A B 与

2．一个口袋内装有大小相同的6个白球和2个黑球，从中取3个球，则共有（ ）种不同的取法.

A ．12

62C C

B ．21

62C C

C ．3

6C

D ．38C

3．旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团只能任选其中一条，则不同的选

择方法有（ ）种. A ．24 B ．48 C ．64 D ．81 4．二项式41(1)n x +-的展开式系数最大项为（ ）

A ．第2n +1项

B ．第2n +2项

C ．第2n 项

D ．第2n +1项和第2n +2项

5．一人有n 把钥匙，其中只有一把可把房门打开，逐个试验钥匙，房门恰好在第k 次被打开（1≤k ≤n ）的概率是（ ）

A ．

1!

n B ．

1n

C ．

k n

D ．

1

(1)!k n

-

6．以图1中的8个点为顶点的三角形的个数是（ ）

A ．56

B ．48

C ．45

D ．42

7．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b 、c ， 则方程20x bx c ++=有相等实根的概率为（ ） A ．

112

B ．

19

C ．

136

D ．

118

8．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：

11

n n a n ?-?=?

??第次摸取红球

第次摸取白球,

如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7=3的概率为（ ）

A ．5

2571

2()()33

C

B ．2

2572

1()()33

C

C ．5

2571

1()()33

C

D ．3

2571

2()()33

C

图

1

2

9．如果消息A 发生的概率为P （A ），那么消息A 所含的信息量为2

1

()log .()

I A P A = 若王教授正在一个有4排8列座位的小型报告厅里听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是（ ）

A ．王教授在第4排

B ．王教授在第4排第5列

C ．王教授在第5列

D ．王教授在某一排

10．将正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的各面涂色，任何相邻两个面不同色，现在有5个不同的颜色，并且涂好了过顶点A 的3个面的颜色，那么其余3个面的涂色方案共有（ ） A ．15种 B ．14种 C ．13种 D ．12种 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）

11．若137

n n C C =，则2n C =____________________.

12．设{3,4,6},{0,2,7,8},{1,8,9}a b R ∈∈∈，则圆222()()x a y b R -+-=可以表示________个大

小不等的圆，___________个不同的圆.（位置不同或大小不等）（用数字作答） 13．若6

2()a x x

-

的展开式中常数项为-160，则常数a =______________，展开式中各项系数之和为_____________.

14．先将一个棱长为10的正方体的六个面分别涂上六种颜色再将该正方体均匀切割成棱长

为1的小正方体，现从切好的小正方体中任取一块，所得正方体的六个面至少有一个面涂色的概率是________________.

15．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家，他的数学研究与教育工作的重

点是在计算技术方面，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关. 图2是一个7阶的杨辉三角.

给出下列五个命题：

①记第*()i i ∈N 行中从左到右的第*()j j ∈N 个数为ij a ，则数列{}ij a 的通项公式为j i C ； ②第k 行各数的和是2k ；

③n 阶杨辉三角中共有2

(1)2

n +个数；

④n 阶杨辉三角的所有数的和是121n +-.

其中正确命题的序号为___________________.

图2

第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第6行 第7行 1

1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 4 5 6 7 1

3 6 10 15 21 1

4 10 20 3

5 1

5 15 35 1

6 21 1

7 1

3

答 题 卡

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

题号 11 12 13

14 15 答案

三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（12分）已知二项式62(3).3x x

（1）求展开式第四项的二项式系数； （2）求展开式第四项的系数； （3）求第四项.

17.（12分）从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种

不同的排法？（用数字结尾） （1）甲、乙两人必须跑中间两棒；

（2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒； （3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒.

18.（12分）在一次军事演习中，某军同时出动了甲、乙、丙三架战斗机对一军事目标进行

轰炸，已知甲击中目标的概率是3

4

，甲、丙同时轰炸一次，目标未被击中的概率是

1

12

；

乙、丙同时轰炸一次，都击中目标的概率是1 . 4

（1）求乙、丙各自击中目标的概率；

（2）求目标被击中的概率.

19．（12分）如下图，设每个电子元件能正常工作的概率均为P（0

4

20.（13分）一位学生每天骑自行车上学，从他家到学校共有5个交通岗，假设他在每个交

通岗遇到红灯是相互独立的，且首末两个交通岗遇红灯的概率均为P，其余3个交通岗

遇红灯的概率均为1 2 .

（1）若

2

3

P ，求该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率；

（2）若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过

5

18

，求P的取值范围.

5

6

21.（14分）有人玩掷骰子移动棋子的游戏，棋盘分为A 、B 两方，开始时棋子放在A 方，

根据下列①、②、③的规定移动棋子：①骰子出现1点时，不能移棋子；②出现2、3、4、5点时，把棋子移向对方；③出现6点时，如果棋子在A 方就不动，如果棋子在B 方就移至A 方，将骰子掷了n 次后，棋子仍在A 方的概率记为.n P （1）求P 1、P 2；

（2）对于任意*n ∈N ，证明点1(,)n n P P +总在过定点55

(,)99

，斜率为12-的直线上；

（3）求P n .

7

参考答案

1.A

2.D

3.C

4.A

5.B

6.D

7.D

8.B

9.B 10.C 11．190 12．3; 36 13．1；1 14．

61

125

15．（2）（4）

提示：

5．11

1k n k

n

A P n A --== 6．211211333

4343438544242.C C C C C C C C C ++=--=或

7．∵240b c ?=-=，∴1424

c c b b ==???

?==??或，即21

.3618P ==

8．711111113S =--+++++=，即7次摸球中摸到白球5次，摸到红球2次，摸到白球概率为13P =白

，摸到红球概率为23

P =红，由独立重复试验的概率公式225721

()().33P C =

9．2

21

()log log ()()

I A P A P A ==-，当P (A )最小时，I (A )最大. 答案B 中事件的概率最小. 10．分三类：①有3组对面同色33C ；②有2组对面同色21

32C C ；③有1组对面同色1113

21C C C ，即共有321111

3

3232113.C C C C C C ++= 14．各面均未涂色的小正方体有3(102)512-=个，即至少有一面涂色的概率为

51261

11000125

P =-

=

15．（1）1j ij i a C -= （3）

(1)(2)

2

n n ++ 16．解：62(3)3x x -

的展开式的通项是6162(3)()(0,1,6)3r r r r T C x r x

-+=-=

（Ⅰ）展开式的第4项的二项式系数为3

6

20.C =（r =3） （Ⅱ）展开式的第4项的系数为33

3623()160.3C -=-

（Ⅲ）展开式的第4项为331

160()()160x x

-=-

17．解：（1）222660A A =

（2）113

2

26480C C A =

（3）223263180A C A =

18．解：（1）设甲、乙、丙各自独立击中目标的事件分别为A 、B 、C ，则由已知，得3

()4

P A =

，11()()()[1()]412P A C P A P C P C ==-=，∴2

()3

P C =，由1()()()4P B C P B P C ==，

8

∴3

().8

P B =

（2）目标被击中的概率为

33291

1()1[1()][1()][1()]1(1)(1)(1).48396

P A B C P A P B P C -=----=----=

答：（1）乙、丙各自击中的目标的概率分别为32,83

；（2）目标被击中的概率为91

.98

19．解：记元件(1,2,3,4)i A i ==正常工作为事件(1,2,3,4)i A i =，

甲电路中：A 1、A 2串联，A 1A 2路中能工作的概率为12()P A A P =2, 不能工作的概率

为21.P - 同理，A 3A 4路中不能工作的概率为21P -，而A 1A 2路与A 3A 4路为并联电路，不能工作的概率为A 1A 2路、A 3A 4路同时不能工作，故甲线路中不能工作的概

率为22(1)(1)P P --，所以甲线路正常工作的概率为2224

1(1)(1)2P P P P P =---=-甲.

对于乙电路：A 1、A 2为并联电路，A 1A 2路不能工作的概率为212()(1)P A A P =-，能正常工作的概率为21(1)P --，同理，A 3A 4路能正常工作的概率为21(1).P --又A 1A 2路与A 3A 4路为串联电路，能正常工作的概率为

22234[1(1)][1(1)]44P P P P P P =----=-+乙

∵222(1)0P P P P -=->乙甲，∴图乙正常工作的概率大.

20．解：（1）记该学生在第i 个交通岗遇到红灯事件为(1,2,

5)i A i =，它们相互独立，则“这

名学生在第三个交通岗第一次遇到红灯为123A A A ， 1212332111

()()()()(1)(1)32212

P A A A P A P A P A ==-?-?=

这名学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率为

1

.12

（2）过首末两个路口，过中间三个路分别看作独立重复试验，该学生至多遇到一次

红灯指没有遇红灯（记为A ）或恰好遇一次红灯（记为B ），则A 与B 互斥，

223322311()(1)(1)(1)28

P A C P C P =--=-

221213

32232311131()(1)(1)(1)(1)(1)(1)22284

P B C P C C P P C P P P =--+--=-+-

这名学生至多遇到一次红灯为A+B ，

2221311

()()()(1)(1)(1)(32)8844P A B P A P B P P P P P P +=+=-+-+-=-+

故21518(32)41833P P P -+即≤≤≤，又1

01,[,1].3

P P ∴∈≤≤ 21．解：（1）P 1为将骰子掷1次后，棋子仍在A 方的概率. P 2为将骰子掷2次后，棋子仍在A 方的概率.

9

开始时，棋子放在A 方，第1次骰子出现1点或6点，棋子不动，121

63

P =

=，把骰子掷2次，棋子仍在A 处有两种情况：

①掷第1次后棋子在A 方，第2次出现1点或6点，棋子不动，仍在A 处，此时概率为12

36

?；

②掷第1次后棋子在B 方，第2次出现2、3、4、5或6点，则棋子移至A 处，此时概率为15

136

??-? ???，即212152(1).36363P =?+-=

（2）设把骰子掷了n +1次后，棋子仍在A 方的概率为1n P +，把骰子掷 n +1次后，

棋子仍在A 方，有两种情况：①第n 次棋子在A 方，且第n +1次骰子出现1点或6点，棋子不动， 其概率为

2163

=，因此，第①种情况产生的概率为1

.3n P ②第n 次棋子在B 方，

且第n +1次骰子出现2、3、4、5或6点，其概率为5

6，因此，第②种情况产生

的概率为5(1).6n P - 所以115(1)36n n n P P P +=+-，即1515

()929n n P P +-=--，

∴1(,)n n P P +总在过定点55

(,)99

斜率为12-的直线上.

（3）由（1）知113P =，由（2）知15

19529

n n P P +-

=-- ∴5{}9n

P -是首项为15299P -=-， 公比为12-的等比数列，∴125215(1)().992992

n

n n n n P P ----=--=+即