含绝对值不等式的解法(含答案)

含绝对值的不等式的解法

一、 基本解法与思想

解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。

（一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识：

1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。

2、a x >与a x <型的不等式的解法。

当0>a 时，不等式>x 的解集是{}

a x a x x -<>或,

不等式a x <的解集是}

a x a x <<-;

当0的解集是{}R x x ∈

不等式a x <的解集是?;

3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。

把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。

当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{

}

c b ax c b ax x -<+>+或,

不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;

当0+的解集是{}R x x ∈

不等式c bx a <+的解集是?;

例1 解不等式32<-x

分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“2-x ” 看着一个整体。答案为{}

51<<-x x 。(解略)

（二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >??

==??-

去掉绝对值再解。

例2。解不等式

22

x x

x x >

++。 分析:由绝对值的意义知，a a =?a ≥0，a a =-?a ≤0。 解:原不等式等价于2

x

x +＜0?x(x+2)＜0?-2＜x ＜0。

（三）、平方法:解()()f x g x >型不等式。 例3、解不等式123x x ->-。

解:原不等式?22(1)(23)x x ->-?22(23)(1)0x x ---<

?(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0?(3x-4)(x-2)<0 ?

4

23

x <<。 说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。 二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。 例4 解不等式125x x -++<。

分析:由01=-x ，02=+x ，得1=x 和2=x 。2-和1把实数集合分成三个区间，即2-x ，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。

解:当x ＜-2时，得2

(1)(2)5x x x <-??---+

解得：23-<<-x 当-2≤x ≤1时，得21,

(1)(2)5x x x -≤≤??--++

，

解得：12≤≤-x

当1>x 时，得1,

(1)(2) 5.x x x >??-++

综上，原不等式的解集为{}

23<<-x x 。 说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集;

(2)这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值。

三、几何法：即转化为几何知识求解。

例5 对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为 ( )

(A)k<3

(B)k<-3

(C)k ≤3

(D)

k ≤-3

分析:设12y x x =+--，则原式对任意实数x 恒成立的充要条件是min k y <，于是题转化为求y 的最小值。

解:1x +、2x -的几何意义分别为数轴上点x 到-1和2的距离1x +-2x -的几何意义为数轴上点x 到-1与2的距离之差，如图可得其最小值为-3，故选（B ）。

四、典型题型

1、解关于x 的不等式10832

<-+x x

解：原不等式等价于1083102<-+<-x x ，

即???<-+->-+10

8310

832

2x x x x ??

??<<--<->3

62

1x x x 或 ∴ 原不等式的解集为)3,1()2,6(---

2、解关于x 的不等式

23

21

>-x 解：原不等式等价于???

??<-≠-2

132032x x ?

?????

<<≠4

7

452

3x x 3、解关于x 的不等式212+<-x x

解：原不等式可化为22)2()12(+<-x x ∴ 0)2()12(22<+--x x 即 0)13)(3(<+-x x

解得：331

<<-x

∴ 原不等式的解集为)3,3

1

(-

4、解关于x 的不等式1212-<-m x )(R m ∈ 解：⑴ 当012≤-m 时，即2

1

≤

m ，因012≥-x ，故原不等式的解集是空集。

⑵ 当012>-m 时，即2

1

>

m ，原不等式等价于1212)12(-<-<--m x m

解得：m x m <<-1

综上，当21≤m 时，原不等式解集为空集;当2

1

>m 时，不等式解集为

{}m x m x <<-1

5、解关于x 的不等式1312++<--x x x

解：当3-

??++-<----<1)3()12(3

x x x x ，无解

当213≤≤-x ，得??

???++<---≤

≤-13)12(2

13x x x x ，解得：2143≤<-x 当21>x 时，得?????++<-->

1

3122

1x x x x ，解得：21>x 综上所述，原不等式的解集为43(-，)2

1

6、解关于x 的不等式521≥++-x x （答案：),2[]3,(+∞--∞ ） 解：

五、巩固练习

1、设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围

是 .

2、已知a ∈R ，若关于x 的方程21

04

x x a a ++-

+=有实根，则a 的取值范围 是 ． 3、不等式

12

1

≥++x x 的实数解为 ． 4、解下列不等式 ⑴

4321x x ->+； ⑵ |2||1|x x -<+； ⑶ |21||2|4x x ++->；

⑷ 4|23|7x <-≤ ； ⑸ 241<--x ； ⑹ a a x <-2

（a R ∈） 5、若不等式62<+ax 的解集为()1,2-，则实数a 等于 （ ）

.A 8 .B 2 .C 4- .D 8- 6、若x R ∈，则()()110x x -+>的解集是（ ）

.A {}01x x ≤<.B {0x x <且1}x ≠-.C {}11x x -<< .D {1x x <且1}x ≠-

7、()1对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是 ；

()2对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是 ；

()3若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a 的取值范围是 ；

8、不等式x x 3102

≤-的解集为（ ）

.A {|2x x ≤≤ .B

{}|25x x -≤≤ .C {}|25x x ≤≤ .D {}

|

5x x ≤≤

9、解不等式：221>-+-x x

10、方程

x x x x x x 32322

2++=++的解集为 ，不等式x

x

x x ->-22的解集是 ； 12、不等式x 0)21(>-x 的解集是（ ）

.A )21,(-∞ .B )21,0()0,( -∞ .C ),21(+∞ .D )2

1,0(

11、不等式3529x ≤-<的解集是

.A ()(),27,-∞-+∞ .B []1,4 .C [][]2,14,7- .D (][)2,14,7-

12、 已知不等式a x ≤-2)0(>a 的解集为{}c x R x <<-∈1|，求c a 2+的值

13、解关于x 的不等式：①解关于x 的不等式31<-mx ；②a x <-+132)(R a ∈ 14、不等式1|1|3x <+<的解集为（ ）.

.A (0,2) .B (2,0)

(- .C (4,0)- .D (4,2)(0,2)--

15、 设集合{}

22,A x x x R =-≤∈，{

}

21,2

≤≤--==x x y y B ，则()R C A B 等于 ( )

.A R .B {},0x x R x ∈≠ .C {}0 .D ?

16、不等式211x x --<的解集是 ．

17、设全集U R =，解关于x 的不等式： 110x a -+->()x R ∈

（参考答案）

1、 6 ； ? ；

2、 ]4,0[

3、)2

3,2()2,(----∞

4、⑴ ????

??><23

1x x x 或 ⑵ ????

??>

21x x ⑶ ?

??

???>-<121x x x 或

⑷ ?

??

?

??

≤<-<≤-5272

12x x x 或 ⑸ {}7315<<-<<-x x x 或 ⑹ 当0>a 时，{

}

a x a x 22<<-

；当0≤a 时，不等式的解集为?

5、C

6、D

7、⑴ 3a ； ⑶ 7>a ；

8、C

9、?

??

?

??

><

2521x a x x 或 10、{}023>≤<-x x x 或；{}02<>x x x 或

11、D 12、 15

13、① 当0=m 时，R x ∈；当0>m 时，m x m 42<<-；当0

x m 2

4-<< ② 当01>+a ，即1->a 时，不等式的解集为????

??

-<<-122a x a x ；

当01≤+a ，即1-≤a 时，不等式的解集为?； 14、D 15、B 16、0(，)2

17、当01>-a ，即1<2或；

当01=-a ，即1=a 时，不等式的解集为{}1≠x x ； 当01<-a ，即1>a 时，不等式的解集为R ；