海南中学2016——2017学年高一数学必修4第一学期期末考试卷附参考答案
海南中学2016――2017学年第一学期期末考试
高一数学试题（必修4）
（考试时间：2017年1月；总分：150;总时量：120分钟）
第一卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目
要求的?请将所选答案填涂在答题卡相应位置
RTCrpUDGiT
已知向量 a,b 满足 a| =2,|b| = 3,a ?(b_a}=1,则 a_b =
.)b5E2RGbCAP
1. 如果角”边经过点匕訂那么
的值是（）
A.
B. .3
_ 3
C. .3
D ^3p1EanqFDPw
3
2. COS555的值为（ ） A.
B.
C.
3.化简
A^-C D B^-AC 的结果是
TAC
B
4. A.
sin 20 cos110 cos160 sin70 的值是( B. -丄
2
C. BD
D. DA
DXDiTa9E3d
C.
5. 已知三点A -1, -1 ,B 1,x ,C 2,5共线, 则x 的值是（
A.
B. 2
C. 3
D. 45PC Z VD7H X A
6. A.
已知一扇形的圆心角是60，弧长是「I , 3 二 则这个扇形的面积是（ B. 2
C. 6二
D.
3 ―
'jLBHrnAlLg
4
7. B . 2.2
C . J7
23
8.已知 a ,0 e ,0,
I 2丿
1 11
cos
"严弘呵"打，则角4（
小「亦 sin x +1 1 9.已知 则s ^-1的值是（ )
cosx 2 cosx
A. 1
B. 2
C. -1
D. -2
LDAYtRyKfE
2
2
10.两个粒子A , B 从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为 S A 二2,10 二4,3 ,粒子B 相对粒子A 的位移是s ，则S 在S B 的投影是（）
11.动点A x,y 在圆x 2 y 2 =1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。
已知时间t = 0时，点A 的坐标是（丄,乜），则当0乞亡12时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位:
2 2
秒）
的函数的单调递增区间是（ )
A . 0,11
B . 1,71
C .
1.7,12
D . 1.0,1 和 1.7,121
12. 若厶ABC 内接于以0为圆心， 1为半径的圆，且 T T T
3OA 4OB 5OC =0，贝U OC AB 的
值为 1 ()
1 r 1 小 6
6
A. 5
B.
5
C.
5
D.
5
海南中学2016――2017学年第一学期期末考试
高一数学试题（必修4）
第二卷（非选择题，共 90分）
、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20 分）
15. 一质点受到平面上的三个力F 「F 2,F 3 （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态.已知F 1，F 2成
A.
B. 6
C. 5
二
12
小 兀
D. xHAQX74J0X
4
13 5
B.
13 C 13辰
D.
13 Z53 53
53
13.设sin 2 ：-sin 〉， 二），则tan2‘的值是
14 .在 ABC 中,
BC = 5,CA =8, C =60 ,则
60°角，且F i , F2的大小分别为2和4,则F3的大小为.
Zzz6ZB2Ltk
16. 设〉为锐角，若cos 4，则sin(2 )的值为
I 6丿 5 12 -----------------------
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
1 3 tan n
17. (本题满分10分)已知si n ：?「二—,si n - 一--，求——'的值?
5 5 tan P
18. (本题满分12分)已知e，e2是夹角为60°的单位向量，且a = 2e+e2， 6 = -3e+2q
(I)求a b ;
(U)求a与b的夹角v
19. (本题满分12 分)在平面直角坐标系xOy 中，点A( —1, —2)、B(2,3)、C(-2,—1)。dvzfvkwMi1
(I)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(U)设实数t满足(AB-tOC) ? OC =0,求t的值。
20. (本题满分12分)
(I)请默写两角和与差的余弦公式(C ，C ：」)，并用公式C ：.二证明公式C .：
C J：cos ：：= -------------------------------------- ；
C—：cos ： - - - ________________ .____________
(U)在平面直角坐标系中，两点A X1, y1 , B X2, y2间的距离公式是：
如图，点 A(1,0 ),R(cos/,sin a )，
P 2 cosi ； j,sini ； n,P cosi 二亠)j,sini 展亠卩「i ，请从这个图出发，推导出两角和的余弦公式 (C …:)(注：不能用向量方法).
21. (本题满分 12分)已知函数 f(x)=2..3sinxcosx 2COS 2X -1(X R)
22?已知向量 a = (cos 2 x - sin 2，x,sin x),
设函数f(x)=ab(x ?R)的图象关于直线x=-对称，其中??为常数，且■
(0,1).
(I)求函数f(x)的表达式;
(U)若将y 二f (x)图象上各点的横坐标变为原来的
-，再将所得图象向右平移
个单位，纵坐标不变，
6
3
得到y =h(x)的图象， 若关于x 的方程h(x) k =0在 区间［0,才上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范 围.rqyn14ZNXI
…、6 「31 H '
f(x °) ,x °
,— 5
_4 2
(U)若
求cos2x °的值。 AB
(I)求函数f(x)的最小正周期及在区间
=(、'3,2cos ，x),
（I ）求 a b ; （U ）求a 与b 的夹角。
1
18.解：（i ） * e § =|q ||q|cos60 =-
.2
a b = （2e 1 e 2）（-3ei 2e 2）= — 6e ’ + ◎ + 2 e
（n ） |a|= *（2e 1 ? e 2）2 f['4e 1 - 4e^LJe?-
」
9；2 -12e 』4e 22 二.9-6 4 二.7 , |b|=寸（—3e 十2色） -6 2 二—
2 2
（5 分）
（9 分）
海南中学2016――2017学年第一学期期末考试
高一数学试题（必修4） 答案
、选择题（本大题共12小题，每小题5分，总分60分.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
B
C
A
D
C
B
A
A
D
B
D
A
、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20 分）
13. J3 14. -20 15. 2肩
16.卫72
50
三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.
（本题满分10分）已知sin 「= - ,sin - - 3，求回.的值.
5
5
tan H
1 17. 解：sin ： : =sin ： cosl ：,
cos ： sin :
5
sin :- - : =sin ： cos ： —cos ： sin ： =3
% ' 5 曲
「izcosP _2.
tan ： cos-isin :
18. （本题满分12分）已知e , e ?是夹角为60°的单位向量，且a = 2q+e 2 , b = -3e+2q 。
（4分）
sin : cos 一 2 解得 5
cos t si n ： = -1
5
（8 分） EmxvxOtOco
两式相除，得
（10 分）
从而 5t = -11,所以 t = 。
5
，AB=（3,5）, t
」
|OC |
5
或者：ABOC -tOC
（12 分）
SixE2yXPq5 20.解：（本题满分 12 分）（I ） C 一.. ： ： cos ：- cos t cos--si n ：? si n ： _； （1 分） C 一._-： :cos ： - -
cos ： cos ： sin ： sin
（2 分）
C 一 .-： : cos ： : 二 cos ：-cos ： cos[, 厂 s in 二 si n - ： 二 cos t cos ： -si n t si n ：
（4 分）
（U ）连接 PA, PP 2,易知△ OPA 三 AOPP 2,故 PA = | RP 2 ,从而
（6 分）
cosZ 亠i- 1 i 亠〔si n ①亠『；i- 0 二 cos ： -cos 〔?卩 ii 亠〔si n ： -si n 〔 ?，ii .... （8 分） 即 2-2cos ： : =2-2cos ： cos ： 2sin ： sin ： （10 分）
所以 cos ：
:二 COSJCOS ：-sin ： sin
6ewMyirQFL
E （0，1）为B 、C 的中点，又E （0，1）为A 、D 的中点，所以D （ 1, 4） 故所求的两条对角线的长分别为 BC=4.2、AD= 2、. 10 ;
（U ）由题设知： OC =（-2- 1），AB-tOC =（3 2t,5 t ）。
由（AB -tOC ） ? OC =0,得：（3 2t,5 t ） （-2, -1）=0，
' ? ——
所以cos V =^ax= _2十丄， 又 e [0,180 ，所以 e = 120°。 |a||b| 打苛 2
（12 分）
19. （本题满分12分）解：（I ）（方法一）
T T
T T
AB AC =（2,6）, AB - AC =（4,4）. 由题设知 AB = （3,5）,AC =（-1,1），则
所以 |AB AC | = 2、、10」AB-AC |=4辽. 故所求的两条对角线的长分别为 2 10、 4.2
（6 分）
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为 D ，两条对角线的交点为E ,则: （12 分）
由X 。- 「兀兀1 e
兀 駅，得2x
0 一
-空 7JI 1
IL 3，
6 ( n
从而 cos 2X 0 ■
一
1 -sin 2
JT
21.(本题满分 12 分)已知函数 f (x)二 2、、3sinxcosx 2COS 2X -1(X R)
(I)求函数f(x)的最小正周期及在区间 0,二 上的最大值和最小值;
IL 2
6 二二
(U)若 f (X o )= 5，X o ?
4,2
，
21 .解：由 f (x) =2、一 3sin xcosx 2cos 2 x -1，得
f (x) = v/J(2sin xcosx)+(2cos 2 x-1) =
n 2x+cos2x = 2sin(2 x +二)
(4分)
6
f (0) =1,f
2, f
1，所以函数f(x)在区间0-上的最大值为2,最小值为-1.
16丿
12丿 [2」
(7 分) 7/ 1 ■' ■'
或者：由 0_x
2x
si n(2x )_1= -1_f(x)=2si n(2 x ) - 2
2 6 6 6 2 6
6
所以函数f (x)在区间0「
上的最大值为2,最小值为-1.
IL 2
6
j
又因为f (X 。)= 一，所以sin 2x 0
5 I
求cos2x 0
的值。
(I)所以函数f (x)的最小正周期为-
............ (5 分)kavU42VRUs
因为 f (x) = 2sin 12x
在区间0,
IL 6
6 2上为减函数，又
JI + —
(「解：由(“可知愀)=2^细飞
-. 3-4_3
所以cos2x0二cos =cos 2x0
cos sin 2x o sin
6 6 6 6 10
....... (12 分)
22. 已知向量a 二(cos2 x -sin2 x,sin x), 6 二(,3,2cos，x),
设函数f(x)=ab(x?R)的图象关于直线对称，其中??为常数，且■ (0,1).
(I)求函数f (x)的表达式；
(U)若将y二f(x)图象上各点的横坐标变为原来的I，再将所得图象向右平移二个单位，纵
6 3
坐标不变，得到y =h(x)的图象，若关于x的方程h(x) ^0在区间［0,1］上有且只有一个实
2
数解，求实数k的取值范围.y6v3ALoS89
22 .
I 1
即=k (k z).又’(0,1)，k z，所以k = 0，故.
6 6
解工(I ) /(^)-a b二(co/d&wm 毋疋)力
=Ox)+ 2sin g
= A/3cos2d>x+sin2^x= 2^in(2&x-F—) ................................................... 宀?3 分
由直线x 是y=f(x)图象的一条对称轴，可得k (k，z)，
2 3 2
所以 / (x) = 2 sin(^ x + y) ................................................................................... …吒分
(II) = 图壕上各点的检坐标变为康来的1,再将所猬图象向右平移彳个单位,
纵坐标不变，4S?'J z=2S m(2x-y)的图彖.
JT
BrLcA A(x) = 2sin(2x-—) ..............................................................................七分
令2x-- = !. V0 3 2 3 3 于罡方程h(^c)+k=O在区间(0,扌］上有且只有一个实数解，即方程—0在化卜务爭上育且只有一个实数解，亦叭图象与厂弋有且只有一个去点?于是画出图象，分析可血-力—的，或-—2 即一击 <上冬的，或* =-2 ...........................................................12分