互为反函数的两个函数图象之间的关系

互为反函数的两个函数图象之间的关系

问题1（祥见页面1——“画图象”）

在同一平面直角坐标系中，画出函数x

y 2=及其反函数x y 2log =的图象。

操作步骤：

1． 打开新绘图，单击[图表]菜单中的[绘制新函数]，

在“新建函数”对话框内依次单击2,^,x ，这些均

在函数编辑器上，单击[确定]后立即出现函数x y 2=的图象。把上述图象设置成粗线，并选择

一种颜色。（选中曲线，单击[显示]菜单中的[线型]

中的粗线。）

2． 单击[图表]菜单中的[绘制新函数]，在“新建函数”

对话框内依次单击ln,(,x,),/,ln,(,2,),ln 在函数编辑

器的函数选择菜单上，如图1，单击[确定]后立即

出现函数x y

2log =的图象。把上述图

象设置为粗线 ，并选择一种颜色。（选

中曲线，单击[显示]菜单中的[线型]中的

粗线。）

3． 屏幕上出现图象2。让学生观察上述图

象，发现它们的对称关系。

问题2

操作步骤：

4． 单击[图表]菜单中的[绘制点]，出现绘制点对

话框，如图3。在直角坐标处分别输入-1，0.5，

单击[绘制]，就在屏幕上出现一个点。再分别

输入0，1，单击[绘制]，屏幕上又出现一个点，

再分别输入1，2，单击[绘制]，屏幕上又出现

一个点，单击[完成]。在x y 2=的图象上出现了

三个点，选择[文本工具]，将上述三个点的标签

分别改为P 1，P 2，P 3。如图4。

5． 绘制点（1，1），选择[直线工具]，过原点和（1，

1）点绘制直线，选择[文本工具]，将直线标签

为“x y =”，并双击直线x y =，即将直线

x y =[标记镜面]，用[选择箭头工具]同时选中

P 1，P 2，P 3，单击[变换]菜单中的[反射]，屏幕上出现它们的对称点，用[文本工具]分别将它们P 1/，P 2/，P 3/。 6． 用[选择箭头]同时选中P 1，P 2，P 3，单击[度量] 菜单中的[坐标]，屏幕上出现图5；用[选择箭头工具]同时选中P 1/， P 2/，P 3/单击[度量]菜单中的[坐标]，屏幕上出现图6。 P 3: (1.00， 2.00)P 2: (0.00， 1.00)P 1: (-1.00， 0.50)P'3: (2.00， 1.00)P'2: (1.00， 0.00)P'1: (0.50， -1.00)

7． 学生既可以从点的位置上形象的看到点P 1/， P 2/，P 3/均落在函数x y 2log =的图象上；

也可以利用点的坐标验证点P 1/， P 2/，P 3/均落在函数x y 2log =的图象上。

问题3

8． 用[选择箭头工具]选中x

y 2=

的图象，单击[构造]菜单中的[对

象上的点]，用[文本工具]给点标

签为P 0，再用[选择箭头工具]选

中点P 0，单击[度量]菜单中的[坐

标]，屏幕上出现P 0的坐标。

9． 画出点P 0关于直线x y =的对

称点P 0/，并度量出它的坐标。

发现点P 0/也在函数x

y 2log =的图象上。

10． 单击[编辑]菜单中的[操作

类按扭]，单击[动画]，出现图7，

单击[确定]。屏幕上出现[运动点]

按扭，单击按扭点P 0与P 0/同时在各自的曲线上运动或停止。可以清楚得看到P 0/始终落在函数x y 2log =的图象上。

11． 可以先将函数x y 2log =的图象隐藏，将P 0/点设置追踪点（单击[显示]菜单中的[追

踪点]）。当点P 0/随点P 0的运动而运动时会留下痕迹；再显示x y 2log =的图象，发现点P 0/的痕迹与x y 2log =的图象重合。

12． 或同时选中P 0与P 0/，单击[构造]菜单中的[轨迹]，立刻得到点P 0/的轨迹与

x y 2log =的图象重合。

问题4

由上述探究过程都可以得到以下结论：函数x

y 2=及其反函数x y 2log =的图象关于直线x y =对称。

（问题2、3、4祥见页面2——“对称点”）

问题5（祥见页面3——“a 变化”）

13． 单击[图表]菜单中的[建立坐标系]，屏幕上出现一个平面直角坐标系，用[直线工具]

画一条过原点和（5，0）点的线段，用[选择箭头工具]选择线段，单击[构造]菜单中的[射线上的点]，在线段上出现一个点，点的标签为A ，单击[度量]菜单中的[横坐标]，屏幕上出现x A =3.36,利用[文本工具]将标签改为a 。

14． 单击[图表]菜单中的[绘制新函数]，在“新建函数”对话框内依次单击a ,^,x ，其中

^,x 在函数编辑器上，a 在屏幕上，单击[确定]后立即出现函数x

a y =的图象。把上述图

象设置成粗线，并选择一种颜色。（选中曲线，单击[显示]菜单中的[线型]中的粗线。）

15． 单击[图表]菜单中的[绘制新函数]，在“新建函数”对话框内依次单击ln,(,x,),/,ln,(,

a ,),ln 在函数编辑器的函数选择菜单上，a 在屏幕上，其他在函数编辑器上，单击[确定]后立即出现函数x y a log =的图象。把上述图象设置成粗线 ，并选择一种颜色。（选中曲线，单击[显示]菜单中的[线型]中的粗线。）

16． 选中点A ，单击[编辑]菜单中的[操作类按扭]中的[动画]，出现对话框，单击[确定]，

出现[运动点]按扭，选择[文本工

具]，将按扭标签改为“运动点A ”，

单击按扭，点A 在线段上运动，

函数图象也跟着动。再画直线

x y =，让学生观察上述图象，发

现它们的对称关系。

17． 重复上述第8，第9，第10

三个步骤，得到图8，单击[运动

点A]或单击[运动点B]按扭，也可

同时单击这两个按扭，让学生观

察，点B 与点B /的坐标的变化情

况。从而进一步验证了上述结论对

于（1,0≠>a a ）的情况下仍然成立。

18． 验证两个互为反函数的图象关于x y =对称

任取x y =图象上的一个点B ，在度量出 B 的横坐标和纵坐标B B y x ,，再依次点击B B x y ,，再单击[图表]菜单中的[绘制点]，即绘制点B 关于 x y =的对称点C ，单击[显示]菜单中的[追踪点]，让点B 在x y =上运动，可以发现点C 的轨迹与x a y =的反函数x y a log =的图象重合。画出过点B 与点C 的线段，单击[构造]菜单中的[线段的中点]，单击[文本工具]，将中点的标签记为点M ，单击[度量]菜单中的[坐标]，得点M 的坐标，单击[构造]菜单中的[轨迹]，当B 运动时，发现M 在直线x y =上运动。

上述作图过程一般是随堂进行，若事先作好上课时直接应用，则可以制作一些隐藏与显示按扭（具体见课件）。

黑龙江--互为反函数的函数图象间的关系(高中数学教案)

课题：互为反函数的函数图像间的关系

教学过程设计 创设情景，引入新课 1、复习提问反函数的概念。 〇学生活动学生回答，教师总结（1）用y表示x（2）把y当自变量还是函数 提出问题，探究问题 一、画出y=3x-2) (R x∈的图像，并求出反函数。 ●引导设问1原函数中的自变量与函数值和反函数中的自变量函数值什么关系？ 〇学生活动学生很容易回答 原函数y =3x-2中反函数3 2 + = y x 中 y:函数x：自变量 x:函数y：自变量 ●引导设问2在原函数定义域内任给定一个x0都有唯一的一个y0与之对应，即 ()y x ,在原函数图像上，那么哪一点在反函数图像上？ 〇学因为y0=3x0-2成立，所以3 2 + = y x成立即(y ,x0)在反函数图像上。 ●引导设问3若连结BG，则BG与y=x什么关系？点B与点G什么关系？为什么？点B 再换一个位置行吗？ 〇学生活动学生根据图形很容易得出y=x垂直平分BG，点B与点G关于y=x对称。学生证法可能有OB=OG,BD=GD等。 ▲教师引导教师用几何花板，就上面的问题追随学生的思路演示当()y x ,在y =3 x-2图像变化时(y0,x0)也随之变化但始终有两点关于y=x对称。 ●引导设问4若不求反函数，你能画出y=3x-2) (R x∈的反函数的图像吗？怎么画？ 〇学生活动有了前面的铺垫学生很容易想到只要找出点G的两个位置便可以画出反函数的图像。 ●引导设问5上题中原函数与反函数的图像，这两条直线什么关系？

〇学生活动由前面容易得出（关于y=x 对称） ●引导设问6若把l / 当作原函数的图像，那么它的反函数图像是谁？ 〇学生活动由图中可以看出l l / ,关于y=x 相互对称所以他的反函数图像应是l ，另外由上节课原函数与反函数互为反函数也可得。 ●引导设问7以上是一个特殊的函数，图像为直线，若对一个一般的函数图像你能根据上题的原理画出反函数的图像吗？如图是x y 3 = 的图像，请你猜想出它的反函数图像。 〇学生活动由上题学生不难得出做y=x 的对称图像（教师配合动画演示） ●引导设问8通过上面的两个问题我们可以得出原函数图像与反函数图像有什么关系？ ▲ 学生总结，教师补充 结论（1）一个函数若存在反函数则原函数和反函数的图像关于 y=x 这条直线对称。（2）一个函数若存在反函数则这两个函数许违反寒暑，若把其中一 个图像当作原函数图像则另一个图象便是反函数图像。 习题精炼，深化概念 ●引导设问9根据图像判断函数x y 2 =有没有反函数？为什么？对自变量加上什么条件才 能有反函数？

反函数与零点习题含答案

反函数-习题 1．函数f (x )=1-x ＋2 (x ≥1)的反函数是（ ） A ．y =(x －2)2＋1 (x ∈R) B ．x =(y －2)2＋1 (x ∈R) C ．y =(x －2)2＋1 (x ≥2) D ．y =(x －2)2＋1 (x ≥1) 2.已知函数x x f a log )(=)1,0(≠>a a 且的图象过点（2，-1），函数()y g x =是函数 ()y f x =的反函数，则函数()y g x =的解析式为（ ） A.()2x g x = B.1()()2 x g x = C.12 ()log g x x = D.2()log g x x = 3. 若函数)1(-=x f y 的图像与函数1ln +=x y 的图像关于x y =对称，则)(x f =（ ） A. 1 2-x e B. x e 2 C. 1 2+x e D. 2 2+x e 4. 函数? ??≥<+=0,0,1x e x x y x 的反函数是______________. 5. 函数)2(,2-≥+-=x x y 的反函数是_______________. 6. 若函数)1,0(≠>=a a a y x 的反函数的图象过点（2，-1）,则a =_________. 7. 函数)0)(24(log 2>++=x x y 的反函数是_______________. 8. 已知函数()f x 的反函数为)0(,lg 21)(>+=x x x g ，则(1)(1)f ＋g ＝_____________. 9. 函数1ln(1) (1)2 x y x +-= >的反函数是_______________. 10．若函数()y f x =的反函数．．． 图象过点(15)，，则函数()y f x =的图象必过点__________. 11. 将x y 2=的图像先向______(填左、右、上、或下)平移_______个单位，再作关于直线 x y =对称的图象可得到函数)1(log 2+=x y 的图像. 12. 已知函数b a y x +=的图象过点（1,4）其反函数图象过点（2,0），则___.___==b a . 13. 已知函数x x x f 3 131)(+-=，则)5 4 (1 -f =____________.

反函数基础练习含答案

反函数基础练习 (一)选择题 1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是 [ ] A y (x 0) B y (x 0) C y (x 0) D y |x| ．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x -- 2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是 [ ] A ．[0，＋∞) B ．[－∞， 1] C ．(0，1] D ．(－∞，0] 3y 1(x 2)．函数＝＋≥的反函数是x -2 [ ] A ．y ＝2－(x －1)2(x ≥2) B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2) C ．y ＝2－(x －1)2(x ≥1) D ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥1) 4．下列各组函数中互为反函数的是 [ ] A y y x B y y 2．＝和＝．＝和＝ x x x 11

C y y (x 1) D y x (x 1)y (x 0) 2．＝ 和＝≠．＝≥和＝≥313131 1x x x x x +-+- 5．如果y ＝f(x)的反函数是y ＝f -1(x)，则下列命题中一定正确的是 [ ] A ．若y ＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y ＝f -1(x)在[1，2]上也是增函数 B ．若y ＝f(x)是奇函数，则y ＝f -1(x)也是奇函数 C ．若y ＝f(x)是偶函数，则y ＝f -1(x)也是偶函数 D ．若f(x)的图像与y 轴有交点，则f -1(x)的图像与y 轴也有交点 6．如果两个函数的图像关于直线y ＝x 对称，而其中一个函数是 y ＝－，那么另一个函数是x -1 [ ] A ．y ＝x 2＋1(x ≤0) B ．y ＝x 2＋1(x ≥1) C ．y ＝x 2－1(x ≤0) D ．y ＝x 2－1(x ≥1) 7．设点(a ，b)在函数y ＝f(x)的图像上，那么y ＝f -1(x)的图像上一定有点 [ ] A ．(a ，f -1(a)) B ．(f -1(b)，b) C ．(f -1(a)，a) D ．(b ， f -1(b))

反函数

一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x）。则y=f（x）的反函数为y=f （x）^-1。 存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的) 【反函数的性质】 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称； （2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f（x）=a（x=0）它的反函数是f（x）=0（x=a）这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。关于y 轴对称的函数一定没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 (5)一切隐函数具有反函数； (6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。 （8）反函数是相互的 （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） (10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定） 例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函数是y=log2 x 例题：求函数3x-2的反函数 解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2) [编辑本段]⒈反函数的定义一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= f(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f^-1(y). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 说明：⑴在函数x=f^-1(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f^-1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式. ⑵反函数也是函数，因为它符合函数的定义. 从反函数的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数，若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x)，那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数. ⑶从映射的定义可知，函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的反函数y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域（如下表）： 函数y=f(x) 反函数y=f^-1(x) 定义域A C 值域C A ⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为： 若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数. 反函数x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.

30、反函数与对数运算(含答案)

对数运算及反函数 一、知识与方法 1、对数的运算法则（将高一级运算向低级运算转化） （1）N M MN a a a log log log += （2）N M N M a a a log log log -= （3）M n M a n a log log = （4）M n M a n a log 1 log = 2、一个正数的对数是由首数加尾数组成的 3、几个常用的对数结论 01log =a 1log =a a n a n a =log b a b a =log m n a n a m = log b m n b a n a m l o g l o g = 1l o g l o g =?a b b a 4、换底公式：a b a b b c c a lg lg log log log = = 5、常用对数与自然对数 6、对数的运算：以同底为基本要求，注意质因数分解，未知数在指数位置即为求对数 7、研究反函数是否存在：从函数的单调性出发 8、反函数的定义域：与原函数的值域相同，必须研究原函数值域求得 9、求反函数的基本步骤，分段函数的反函数分段求得 10、原函数与反函数的图像关于x y =对称 11、()[ ]x x f f =-1 ()f R x ∈ ()[]x x f f =-1()D x ∈ 12、反函数具有保奇性，并且保持单调性不变 13、函数()a x f y +=与()a x f y +=-1 不是互为反函数关系 14、互为反函数的公共点不一定在x y =上 二、练习 1、若2log (2)log log a a a M N M N -=+，则N M 的值为__________ 2、计算：① =8log 2 2 _______ ② 2 log 293+=________ ③ 1 3log 22-=____________ ④ =-2lg 20lg _____ ⑤=+?+5lg 5lg 2lg 22lg 2 2 ________

高考数学 反函数

高考数学 反函数 时间：45分钟 分值：100分 一、选择题(每小题5分，共30分) 1．设函数f (x )＝log 2x ＋3，x ∈＝__________. 解析：依题意得g (－1)＝－1＋2＝1，g ＝g (1)＝f －1(1)．设f －1(1)＝t ，则有f (t )＝1，即e 2(t －1)＝1，t ＝1，所以g ＝1. 答案：1 9．已知函数f (x )＝a －x x －a －1 的反函数f －1(x )的图象的对称中心是(－1,3)，则实数a 的值为__________． 解析：因为f －1(x )的图象的对称中心是(－1,3)，所以f (x )的图象的对称中心为(3，－1)．又由f (x )＝a －x ＋1－1x －a －1＝－1－1x －a －1 ，则f (x )的图象可由g (x )＝－1x 的图象中心(0,0)平移到(3，－1)得到，所以a ＋1＝3，即a ＝2. 答案：2 10．(2009·重庆二次调研)若函数f (x )＝log 2(4x －2)，则方程f － 1(x )＝x 的解是__________． 解析：由f －1(x )＝x ，得x ＝f (x )，∴x ＝log 2(4x －2)，即2x ＝4x －2，∴2x ＝2.∴x ＝1. 答案：x ＝1 三、解答题(共50分) 11．(15分)求y ＝lg(x －x 2－4)的反函数． 解：由x －x 2－4>0，得x >x 2－4， ∴????? x >0，x 2－4≥0， x 2>x 2－4. ∴x ≥2. ∴lg(x －x 2－4)＝lg 4 x ＋x 2－4 ≤lg 42＝lg2. 由y ＝lg(x － x 2－4)．得 x －x 2－4＝10y ， x 2－4＝x －10y . ∴x 2－4＝x 2－2·10y x ＋102y . ∴x ＝12 (4·10－y ＋10y )． 故f －1(x )＝12 (10x ＋4·10－x )，x ∈(－∞，lg2]． 12．(15分)设函数f (x )＝2x －1有反函数f －1(x )，g (x )＝log 4(3x ＋1)， (1)若f －1(x )≤g (x )，求x 的取值范围D ； (2)设H (x )＝g (x )－12 f －1(x )，当x ∈D 时，求函数H (x )的值域及它的反函数H －1(x )． 解：(1)∵f (x )＝2x －1的定义域是R ，值域是(－1，＋∞)．由y ＝2x －1解得x ＝lo g 2(y ＋ 1)(y >－1)，

反函数专题练试卷及解析

反函数专题练习试卷及解析 1.2015年上海市黄浦区高三上学期期终调研测试理科数学数学试题第21题 已知函数101 (),R 101 x x g x x -=∈+，函数()y f x =是函数()y g x =的反函数． 求函数()y f x =的解析式，并写出定义域D 2.2013年河北省石家庄市第一中学高一上学期期中考试数学试题第22题 已知函数()1,(0x a f x a a -=+>且1)a ≠恒过定点(2,2)． (1)求实数a ； (2)在(1)的条件下，将函数()f x 的图象向下平移1个单位，再向左平移a 个单位后得到函 数()g x ，设函数()g x 的反函数为()h x ，求的()h x 解析式； (3)对于定义在(1,4]上的函数()y h x =，若在其定义域内，不等式22[()2]()()6h x h x h x m +≤++恒成立，求m 的取值范围． 3.2013年河南省实验中学高三上学期期中考试文科试卷第18题 已知函数()()lg 1f x x =+. (1)若()()0121f x f x <--<,求x 的取值范围; (2)若()g x 是以2为周期的偶函数,且当01x ≤≤时,有()()g x f x =,求函数 ()[]()1,2y g x x =∈的反函数. 4.2014年华约自主招生数学试题第3题 （1）求证：(())y f g x =的反函数是1 1 (())y g f x --=． （2）()()F x f x =-，1 ()()G x f x -=-，若1()()F x G x -=，求证()f x 为奇函数． 5.2010年全国高考文科数学试题-四川卷第22题 设1()1x x a f x a +=- （0a > 且 1a ≠），g (x )是f (x )的反函数.

初中数学中考复习题反函数

初中数学中考复习题-----反函数

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反比例函数 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关 系可以表示成 (k 为常数，k ≠0）的形式（或 y=kx -1 ， k ≠0），那么称y 是x 的反比例函数． 【名师提醒： 1、在反比例函数关系式中：k ≠0、x ≠0、y ≠0 2、反比例函数的另一种表达式为y= （k 是常数，k ≠0） 3、反比例函数解析式可写成xy= k （k ≠0）它表明反比例函数中自变量x 与其对应函数值y 之积，总等于 】 2．反比例函数的概念需注意以下几点： (1) k 为常数，k ≠0； （2）k x 中分母x 的指数为1；例如y= x k 就不是反比例 函数； (3)自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数； （4）因变量y 的取值范围是y ≠0的一切实数． 3．反比例函数的图象和性质． (1)、反比例函数 y=k x （k ≠0）的图象是 ____它 有两个分支，关于 对称 (2)、反比例函数y=k x （k ≠0） 当k>0时它的图象位于 ,___象限，在每一个象限内曲线从左到右下降，y 随x 的增大而 当k<0时，它的图象位于____,___象限，在每一个象限内，曲线从左到右上升，y 随x 的增大而 。 【名师提醒： 1、在反比例函数y=k x 中，因为x ≠0，y ≠0所以双曲线 与坐标轴无限接近，但永不与x 轴y 轴 2、在反比例函数y 随x 的变化情况中一定注明在每一个象限内】 4、反比例函数中比例系数k 的几何意义： 反曲线y=k x （k ≠0）上任意一点P 向两坐标轴作垂线交 于A,B 两线PA,PB 与坐标轴围成的图形面 积 ，即如图： AOBP= S △AOP= 【名师提醒：k 的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k 联系起来理解和应用】 5．画反比例函数的图象时要注意的问题： （1）画反比例函数图象的方法是描点法；画反比例函数的图象要注意自变量的取值范围是x ≠0，因此，不能把两个分支连接起来； （2）由于在反比例函数中，x 和y 的值都不能为0，所以，画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x 轴和y 轴的变化趋势． 6. 反比例函数y=k x (k≠0)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y= k x (k≠0)上任意一点引x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为│k│。 7. 用待定系数法求反比例函数解析式时，可设解析式为 因为反比例函数y=k x （k ≠0）中只有一个被定系 数 所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的x 、y 值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法 一、 反比例函数的应用 二、 解反比例函数的实际问题时，先确定函数 解析式，再利用同象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变量的 （二）：【课前练习】 1.下列函数中，是反比例函数的为（ ） A . 2 2y x =；B . 12y x =- ；C . 2x y =；D . 13 y x =+

函数图像+反函数+基本初等函数(讲义+例题)

精心整理 函数图像+反函数+基本初等函数 一、函数图像：注意数形结合 （1）平移：??????→?=个单位向右平移a x f y )()(a x f y -=；)(x f y =??????→?个单位向上平移b .)(b x f y += （2）对称：)(x f y =?????→?轴对称关于 x )(x f y -=；)(x f y =?????→?轴对称关于y )(x f y -=； )(x f y =?????→?关于原点对称 )(x f y --=. *若有等式)()(x a f x a f -=+成立，那么函数关于a x =对称； a 2 （3|).(|x f 习题习题2.函数1 1--=x y 的图象是（B ） 习题3.已知)(x f 是偶函数，则)2(+x f 的图像关于)2是偶函数，则函数)(x f 的图像关于____2x =_____二、反函数 （1）互为反函数的两个函数y =f （x ）与y 直线（2（3（b ）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －1（x ）. （c ）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕. 习题4.函数y =－1 1+x （x ≠－1）的反函数是（A ） A.y =－x 1－1（x ≠0）B.y =－x 1+1（x ≠0）C.y =－x +1（x ∈R ） D.y =－x －1（x ∈R ）

习题5..函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为（A ） A.y =2x －1－1（x ＞1） B.y =2x －1+1（x ＞1） C.y =2x +1－1（x ＞0） D.y =2x +1+1（x ＞0） 习题6.函数f （x ）=－12+x （x ≥－2 1）的反函数（D ） A.在［－21，+∞）上为增函数 B.在［－2 1，+∞）上为减函数 C.在（－∞，0］上为增函数 D.在（－∞，0］上为减函数 习题（4习题习题（1a.c.时函数为增函数， e.0∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ （2）对数函数：)1,0(log ≠>=a a x y a 且

互为反函数的两个函数图象之间的关系

互为反函数的两个函数图象之间的关系 问题1（祥见页面1——“画图象”） 在同一平面直角坐标系中，画出函数x y 2=及其反函数x y 2log =的图象。 操作步骤： 1． 打开新绘图，单击[图表]菜单中的[绘制新函数]， 在“新建函数”对话框内依次单击2,^,x ，这些均 在函数编辑器上，单击[确定]后立即出现函数x y 2=的图象。把上述图象设置成粗线，并选择 一种颜色。（选中曲线，单击[显示]菜单中的[线型] 中的粗线。） 2． 单击[图表]菜单中的[绘制新函数]，在“新建函数” 对话框内依次单击ln,(,x,),/,ln,(,2,),ln 在函数编辑 器的函数选择菜单上，如图1，单击[确定]后立即 出现函数x y 2log =的图象。把上述图 象设置为粗线 ，并选择一种颜色。（选 中曲线，单击[显示]菜单中的[线型]中的 粗线。） 3． 屏幕上出现图象2。让学生观察上述图 象，发现它们的对称关系。 问题2 操作步骤： 4． 单击[图表]菜单中的[绘制点]，出现绘制点对 话框，如图3。在直角坐标处分别输入-1，0.5， 单击[绘制]，就在屏幕上出现一个点。再分别 输入0，1，单击[绘制]，屏幕上又出现一个点， 再分别输入1，2，单击[绘制]，屏幕上又出现 一个点，单击[完成]。在x y 2=的图象上出现了 三个点，选择[文本工具]，将上述三个点的标签 分别改为P 1，P 2，P 3。如图4。 5． 绘制点（1，1），选择[直线工具]，过原点和（1， 1）点绘制直线，选择[文本工具]，将直线标签 为“x y =”，并双击直线x y =，即将直线 x y =[标记镜面]，用[选择箭头工具]同时选中 P 1，P 2，P 3，单击[变换]菜单中的[反射]，屏幕上出现它们的对称点，用[文本工具]分别将它们P 1/，P 2/，P 3/。 6． 用[选择箭头]同时选中P 1，P 2，P 3，单击[度量] 菜单中的[坐标]，屏幕上出现图5；用[选择箭头工具]同时选中P 1/， P 2/，P 3/单击[度量]菜单中的[坐标]，屏幕上出现图6。 P 3: (1.00， 2.00)P 2: (0.00， 1.00)P 1: (-1.00， 0.50)P'3: (2.00， 1.00)P'2: (1.00， 0.00)P'1: (0.50， -1.00)

高一数学反函数的概念

4.5反函数的概念 一、教学内容分析 “反函数”是《高中代数》第一册的重要内容.这一节课与函数的基本概念有着紧密的联 系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用. 二、教学目标设计 （1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数； （2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系； （3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探索，初步学会自主地学习、 独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法；体验探索 中挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情. 三、教学重点与难点： 反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定. 四、教学流程设计 五、教学过程设计 1、设置情境，引出概念 引例：在两种温度度量制摄氏度(C )和华氏度（F ）相互转化时会发现，有时两人选用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？

教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义.介绍反函数的记号 )(1x f y ；了解)(1x f 表示反函数的符号，1 f 表示对应法则. 2、 探索研究，深化概念 ①探求反函数成立的条件. 例1（1）2x y （R x ）的反函数是 （2）2x y （0 x ）的反函数是 （3）2 x y （0 x ）的反函数是 学生活动：讨论函数反函数成立的条件（理论根据为函数的定 义）：对值域A 中任意一个y 值，在定义域D 中总有唯一确定 的x 值与它对应，即x 与y 必须一一对应. ②探求求反函数的方法.（课本例题） 例2．求下列函数的反函数： （1）24 x y （2）13 x y （3）)0(12 x x y （4）)2 1,(2413 x R x x x y [说明]：学生分四组完成，教师巡视，把典型错误及正确解法投影. 学生活动：探求求反函数的方法. （1） 变形:解方程，)(x f y 得)(1y f x ； （2） 互换:互换y x ,的位置，得)(1 x f y ； （3）写出定义域:注明反函数的定义域. ③观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数的关系.

反函数基础练习 +答案

4 反函数·基础练习 (一)选择题 1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是 [ ] A y (x 0) B y (x 0) C y (x 0) D y |x| ．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x -- 2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是 [ ] A ．[0，＋∞) B ．[－∞， 1] C ．(0，1] D ．(－∞，0] 3y 1(x 2)．函数＝＋≥的反函数是x -2 [ ] A ．y ＝2－(x －1)2(x ≥2) B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2) C ．y ＝2－(x －1)2(x ≥1) D ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥1) 4．下列各组函数中互为反函数的是 [ ] A y y x B y y 2 ．＝和＝．＝和＝ x x x 11 C y y (x 1) D y x (x 1)y (x 0) 2．＝ 和＝≠．＝≥和＝≥313131 1x x x x x +-+- 5．如果y ＝f(x)的反函数是y ＝f -1(x)，则下列命题中一定正确的是 [ ] A ．若y ＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y ＝f -1(x)在[1，2]上也是增函数 B ．若y ＝f(x)是奇函数，则y ＝f -1(x)也是奇函数

C．若y＝f(x)是偶函数，则y＝f-1(x)也是偶函数 D．若f(x)的图像与y轴有交点，则f-1(x)的图像与y轴也有交点 6．如果两个函数的图像关于直线y＝x对称，而其中一个函数是 x 1 y＝－，那么另一个函数是 [ ] A．y＝x2＋1(x≤0) B．y＝x2＋1(x≥1) C．y＝x2－1(x≤0) D．y＝x2－1(x≥1) 7．设点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，那么y＝f-1(x)的图像上一定有点 [ ] A．(a，f-1(a)) B．(f-1(b)，b) C．(f-1(a)，a) D．(b，f-1(b)) 8．设函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，则函数y＝f(－x)的反函数是 [ ] A．y＝g(－x) B．y＝－g(x) C．y＝－g(－x) D．y＝－g-1(x) 9．若f(x－1)＝x2－2x＋3(x≤1)，则函数f-1(x)的草图是 [ ]

2020-2021年高一数学反函数一 新课标 人教版

2019-2020年高一数学反函数一新课标人教版教学目标 1.使学生了解反函数的概念； 2.使学生会求一些简单函数的反函数； 3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。 教学重点 1.反函数的概念； 2.反函数的求法。 教学难点 反函数的概念。 教学方法 师生共同讨论 教具装备 幻灯片2张 第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。（记作A）； 第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。 教学过程 （I）讲授新课 （检查预习情况）

师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1 反函数的概念。 同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？ 生：（略） （学生回答之后，打出幻灯片A）。 师：反函数的定义着重强调两点： （1）根据y= f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x= φ（y）； （2）对于y在c中的任一个值，通过x= φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。 师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。 师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？ 生：一一映射确定的函数才有反函数。 （学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。 师：在y= f(x)中与y= f -1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y 是自变量，x是函数值。） 在y= f(x)中与y= f –1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。）由此，请同学们谈一下，函数y= f(x)与它的反函数y= f –1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？

反函数例题讲解

反函数例题讲解 例1．下列函数中，没有反函数的是 ( ) (A) y = x 2－1（x <2 1-） (B) y = x 3+1（x ∈R ） (C) 1 -= x x y （x ∈R ，x ≠1） (D) ? ? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定． 判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试解以y 表示x 的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特例指出不存在反函数． 本题应选（D ）． 因为若y = 4，则由 ? ? ?≥=-2422x x ， 得 x = 3． 由 ? ? ?<=-144x x ， 得 x = －1． ∴ （D ）中函数没有反函数． 如果作出 ? ? ?<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 的图像（如图），依图 更易判断它没有反函数． 例2．求函数 211x y --=（－1≤x ≤0）的反函数． 解：由 211x y --=，得：y x -=-112 ． ∴ 1－x 2 = (1－y )2， x 2 = 1－(1－y )2 = 2y －y 2 ． ∵ －1≤x ≤0，故 22y y x --=． 又 当 －1≤x ≤0 时， 0≤1－x 2≤1， ∴ 0≤21x -≤1，0≤1－21x -≤1， 即 0≤y ≤1 ． ∴ 所求的反函数为 22x x y --=（0≤x ≤1）．

由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是： ① 把给出解析式中的自变量x 当作未知数，因变量y 当作系数，求出x = φ ( y )． ② 求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域； ③ 依习惯，把自变量以x 表示，因变量为y 表示，改换x = φ ( y )为y = φ ( x )． 例3．已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x + 2（x <－1），那么 f －1 (2 )的值为__________________． 分析：依据f －1 (2 )这一符号的意义，本题可由f ( x )先求得f －1 ( x )，再求f －1 (2 )的值（略）． 依据函数与反函数的联系，设f －1 (2 ) = m ，则有f ( m ) = 2．据此求f － 1 (2 )的值会简捷些． 令 x 2 + 2x + 2 = 2，则得：x 2 + 2x = 0 ． ∴ x = 0 或 x =－2 ． 又x <－1，于是舍去x = 0，得x =－2，即 f －1 (2 ) = －2 ． 例4．已知函数 241)(x x f +=（x ≤0），那么 f ( x )的反函数f －1 ( x ) 的图像是 ( ) y （A ） y x 0 1 （D ） y x 1 y （B ） x －1 （C ） x －1

高中一年级数学反函数教学设计

高中一年级数学反函数教学设计 一、教材分析： 1、教材的地位与作用 “反函数”一节课是《高中代数》第一册的重要内容。这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为日后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用。 2、重点与难点：反函数的定义和求法 二、教学目标分析： (1)知识与技能：使学生接受、理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；使学生能够求出指定函数的反函数，并能理解原函数和反函数之间的内在联系； (2)能力与方法：培养学生发现问题、观察问题、解决问题的能力； (3)情感与态度：使学生树立对立统一的辩证思维观点。 三、学情分析： 学生已经学习了函数的基本概念和表示法，掌握了函数的基本知识，理解反函数的概念及互为反函数的两个函数的性质和特征，更有助于学生将函数的思想理解得更透彻。 四、教学过程设计 1、创设问题情境： 导入阶段的教学中，抓住反函数也是函数这一实质，以对函数概念的复习来引出反函数。指明函数是一种映射的实质，分析原函数中映射的具体情况，进而引导学生考虑，若将定义域、值域互换，此时映射还是不是一个函数呢？ 首先提问学生函数基本概念，使学生明白函数是一种单值对应，即映射。再出示电脑动画，以函数y=2x来具体分析，结合图象引导学生注意：在定义域内所有自变量，都能在值域内找到唯一确定的一个函数值，即存在x→y的单值对应，例如：１→２，２→４，３→６，……若将定义域与值域互换，则对应变为２→１，４→２，６→３，…这种对应是否构成单值对应，即映射呢？这种对应是否构成函数呢？至此，引出反函数的概念，为概念的新授做好准备。 设计意图：这样的引入方式，抓住了反函数概念的实质，确保学生不会产生概念上的偏差。此外，可以使学生明白新知识来源于旧知识，促使学生主动运用函数的研究方法去学习反函数，为顺利完成教学任务做好思维上的准备。 2、知识建构： 给出概念后，必须防止学生对于反函数f-1(y)形式的误解（以为是1/f(x)）。此外，还

互为反函数的两个恒等式

1[()]f f x x -=与1[()]f f x x -=的证明及在解题中的妙用 函数()(,)y f x x A y B =∈∈存在反函数的充要条件是()y f x =为从A 到B 的一一对应。若()(,)y f x x A y B =∈∈存在反函数，且其反函数为1()(,)y f x x B y A -=∈∈，则有恒等式：1[()]f f x x -=，1[()]f f x x -=。 简证：设函数()(,)y f x x A y B =∈∈ 对任意x A ∈，有点(),()x f x 在()y f x =的图像上，且点(),()x f x 关于直线y x =的对称点为()(),f x x 由互为反函数的两函数的性质可知：点()(),f x x 必在其反函数1()(,)y f x x B y A -=∈∈上 故有1[()]f f x x -=()x A ∈ 同理可证，对x B ?∈，有1[()]f f x x -=()x B ∈ 这两个关系式，如实反应了互为反函数的两个函数之间自变量与函数值的特殊关系，如能准确把握，可对解题起到事半功倍之效。 一. 解图像问题 例 1.若函数()y f x =其反函数为1()y f x -=，则函数()y f x =与函数1()y f x -=-的图像（ ） A .关于x 轴对称 B .关于原点对称 C .关于直线y x =对称 D .关于直线y x =-对称 解析：将1()y f x -=-等价变形，化为1()y f x --=- 两边同取对应法则f ，得：1()[()]f y f f x x --=-=-，即()x f y -=- 原题即是判断()x f y -=-与函数()y f x =的图像关系。而函数()x f y -=-可看成函数()y f x =通过以下变换得到：分别以,y x --代换()y f x =中的

高中数学《反函数》教案

课 题：2.4.1 反函数（一） 教学目的：掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数 教学重点：反函数的定义和求法 教学难点：反函数的定义和求法 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教材分析： 反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分 反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识 本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开 由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握 教学过程： 一、复习引入： 我们知道，物体作匀速直线运动的位移s 是时间t 的函数，即s=vt,其中速度v 是常量,定义域t ≥0,值域s ≥0；反过来，也可以由位移s 和速度v （常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即v s t = ，这时，位移s 是自变量，时间t 是位移s 的函数,定义域s ≥0,值域t ≥0. 又如，在函数62+=x y 中，x 是自变量，y 是x 的函数，定义域x ∈R ，值域y ∈R. 我们从函数62+=x y 中解出x ，就可以得到式子32 -=y x . 这样，对于y 在R 中任何一个值，通过式子32 -= y x ，x 在R 中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈R ，值域是x ∈R. 综合上述，我们由函数s=vt 得出了函数v s t = ；由函数62+=x y 得出

反函数常用知识点总结

反函数 定义 一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f -1 (x) 。反函数y=f -1 (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。（不求过深理解） 引申 一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为y=f -1(x)。存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。 注意：上标"?1"指的并不是幂。 在微积分里，f (n)(x)是用来指f的n次微分的。 若一函数有反函数，此函数便称为可逆的（invertible）。 性质 （1）函数f（x）与它的反函数f-1（x）图象关于直线y=x对称； 图1 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称 （2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)，定义域是{0} 且f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}, 值域为{0} ）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 （5）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数； （6）反函数是相互的且具有唯一性； （7）定义域、值域相反，对应法则互逆（三反）； （8）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））； （9）反函数的导数关系：如果x=f(y）在区间I上单调，可导，且f'（y)≠0，那么它的反函数y=f'（x)在区间S={x|x=f(y),y属于I }内也可导，且[f'（x)]'=1\[f'（x）]'。 （10）y=x的反函数是它本身。 说明

高中数学专题反函数

所谓反函数就是将原函数中自变量与变量调换位置，用原函数的变量表示自变量而形成的函数。通俗点即原函数：y=3x-1 反函数： 。由此可以得出解决反函数的第一种方法：反表示法。就是将原函数反表示后，再写成函数形式。例如：y=3x-1求此反函数。可以这样做： 原函数y=3x-1 但是这种反表示法限于一定范围之类，就是只能反表示一示简单的函数，对于比较复杂的如二次函数，就不行了，因此还有另外方法：配方法。 但是为什么此题有两解。这是引发了定义域的问题。从定义上我们发现反函数中自变量x即为原函数变量y。所以，原函数定义域为反函数值域。所以上题中“ ”这一答案需要舍去因为它不符合原函数定义域，值域。因此在今后解题中需要注意，原函数的定义域。 还有一种解决反函数问题的方法：求解法。就是把函数方程x当未知数来解。例如“ ”求反函数 原方程: 原方程解：

所以解决反函数问题时需要三者兼用，方可收到显著效果。 在往常练习中同学们还会遇到某些问题，如“已知 ”遇此类问题时，不妨这样解。 填空或大题中还有此类题“已知 ，求实数a。”有些同学初拿此题不知从何处下手。其实只需写出 ，一切都可解开。 解：

反函数与原函数最大连联还不在于解析式，而在于图象关于y=x对称。所以有些题可利用图象即数形结合求解。如“奇函数y=f(x)(x∈R)有反函数y=f-1(x)，则必有在y=f-1(x)的图象上点是： A. (-f(a),a) B. (-f(a),-a) C. (-a,-f-1(a)) D. (-a,-f-1(a)) 此题被老师打上星号，因为它将众知识联合起来。 解：f(x)为奇函数∴f(-a)=-f(a) f(x)必有（a,f(a)),也必有（-a,-f(a)) f(x)与-f(x)关于y=x 对称，∴f-1(x)上必有（-f(a),-a). “设函数 的反函数为φ（x),又函数φ（x)与φ（x+1)图象关于直线y=x对称，求g （2）。”此题关键在于反函数φ（x)。多次反函数，可求解。 解： 此题另有解法 解：