大连理工大学《工科数学分析基础》上学期复习.docx
高等数学
第一章函数、极限与连续
一、函数
1. 函数分类
隐函数
F(x, y) = 0; Vx + 77 = 4ci 参数方程表示的函数=
类型分类｛
[y = y (O
积分上限函数 y = [/a )力y = J ：：/(/)d/ 抽象函数
y = /(兀) 歹=/(0(劝)
研究函数的主要问题：
初等性质：单调性、有界性、奇偶性、周期性。 分析性质：极限、连续性、可微性、 2. 例题(仅限于对应)
引例 = 求 /(/(x))
I +X
解
= 77771 = —^
1 + /(力 i +丄
1 + X
解?)Ty (:鳥
/(X)= <
兀v
0 x>0
，
求 /(/(x)) o
初等函数
概念分类＜
分段函数
/(-V )
sin 血
/(兀)=1
m ?
x sin — x
兀HO
可积性
例 2 f(x) = e x ~, /(^(x)) = 1 - x ,且(p{x) > 0 ,求卩(兀)，并写出定义域。 解 f((p(x)) =
(v) = 1 -x,
(p(x) = Jln(l-兀) l-x>l=>x 例3设/(兀)满足妙(兀)+财(丄)=￡ ,其中a,b,c 均为常数，且求/(x)的 表达式。 1 c 妙(x) +妙(―)=—……(1) 解 X X ，消掉/(丄)得 /(X )= ^-y(--&X )o af(~) + bf(x) = ex .............. (2) 兀 a X x 小结：上述四例均强调或说体现“对应”，即自变量在抽象函数中的位置与具体函数中的位 置相对应。抓住“対应” 一点。函数问题基本解决。其他问题从略(本类题考率三年一次)。 3. 习题 [1 |%|<1 1.设 /(x) = n '，则 /(/?)= _Lo 0 \x>\ 3.设 = 则 /(/(/?)) =(B) 〔0 |x|>l 1 + x v 0 x< 0 l-x<0 2 + x x<-l x>0 2-x x> 1 l+x>0— —x —15兀vO x<0 x 0 l-x>0 x>0 l + (l + x) 1 + (1 — 兀) 1 — (1 + 兀) l-(l-x) 2. 设〃) = ]： X~ 4-X 则 /(-x) = (D) x > 0 -x 2 x<0 (A) f(-x) = ° [-(x~ + x) % > 0 {x 2 x<0 (C )/(-x) = ] [x -x x > 0 (B) f(x)= (D) /(x) = —(f + x) -X 2 x 2 - X X 2 x<0 x>0 x< 0 兀no [1 |x| (A) 0 (B) 1 (C) < 10 |x|>l 4./(x) =| xsinx| ^cos v (~oo < x < -H>o)是(D) （A ）有界函数（B ）单调函数 （C ）周期函数 （D ）偶函数 5. 设/（兀）连续，则下列函数中为偶函数的是（D ）。 （A ） （B ） （C ） （D ） ￡r[/（r ） + /（-r ）Wr 二、极限 1. 内容总结 °基本型.9型/约掉“零因子”,忙騷同除分母最高阶项 宀0 、落必达法则 OO \落必达法则 2）等价代换当兀TO 时 x ?sinx ?tanx ?arcsin x ?arctanx ?ln(l + x)?e x -1, a x -1 ?xlna 転-I ?丄 Ina, l-cosx ? n 2. （等价代换） ..— 3. 5、 .. YT —3 5 匕 hm ------- ln(l +—) = lim ------------- = 5 川* n + 2 n "Ta 〃 + 2 n (sinx ?xjn(l + x)?兀) 3) 重要极限 lim"11" - i ( limnsin 丄=1 ) ?YT () X "Too H lim(l + x)； =￡(lim(l +丄)”=幺) X XT () 入—>8 oo ci > 1 oo 其他lim = 1 (d >0) (lim = 1) lima" = NT8 〃一? 8 >co ci = 1 0 lim /I —>oo <7 = 0 a<0 \_（ \_ 极限不存在例：lime v lim e x XT O 入TO =g ； lim e x — 0 XT (T 用泰勒公式求极限 用夹逼定理和单调有界原理求极限（主要用于数列极限问题） 例题 基础题目 4) 5) 2s 1.(宀”型)|im V?f7-4 = 3；］讪「豎+3 =丄 0 片-9 丘_3 4片TI 牙°_4兀2+3 2 XT8 :lim| -——— 兀 叫兀 e x - \) x -\-x 1 町—1) 2 (注对泰勒公式只需熟悉e x , sin x, cos x, ln(l + x\ (1 + x)a 展开式) 5.夹逼定理与单调有界 [1表示取整函数 <-,x(--l) X X L%」 x <2 \ 「2 lim x --1 =2, lim 2 = 2 , 故 lim x XTO* (兀) XT O' XT O* X .? In cos x - ln(l + cosx-l) lim ------- - = lim ---- ----- ； ---- 二 lim XT O | — E X XT O _ _]) XT O cosx-1 lim XT O 1￡= 丄 x 2 2 lim/?(V3-V2) = lim/7 (1 1 、 (I A (1 、 3" -1一2" +1 =lim n 3" -1 -n 2?-l HT8 n —>oo nT8 k \ / 1 1 3 =lim/?- —In3- limn —In2 = In — 2 "T8 YI -Ina J e n 一1 —Ina) n 3. 幕指 lim(sinx)tanv = lime tanA,nsinx 2 2 lim ian.rln(l+sin.v-l) 2 e 2 lim tanx(sin A*-l) .YT_ e 2 ..sinx-l . lim -- s in x 』cosx ，2 4?泰勒公式 lim XT O lim XT O ,? COSX ? Inn ---------- lim sinx d-sinu e 2 sinx-x =lim XT () x 3 cosx-(? 2 X 4 e°=l X -- + (兀3 ) — % 3! 八 lim 兀TO% X 3 +—-(1-—+ 2! 4! 2 —)2 务)+") 1 、 打皿） 1 1 2 解1当兀＞0时，--K X （注意”hT 的处理。"一1?x, 1 — C0SX ?一。） 2 当兀<0时，--1< X 证：由归纳法易证，V/7 , x zl >0 又耳J(汕+丄)注? 2」汕丄=1,即｛兀｝当〃>1时有下界 2 — 2 V ￡_】 | ] ]-r z 同吋x w+1 -X M =1(x… + —)-< 0,即｛%｝单减，从而｛￡｝收敛。 2 兀2石 设lim= a ,对递推式取极限得d二丄(d +丄)，解得a- \, a--\ (舍)。"T8 2 a 注：％严/(￡)为两点递推式，写成y = /(x)连续型函数，若f\x) > 0,贝U｛￡｝为单调数列，若f\x) < 0 ,贝|」氏｝不是单调的，据此可以调整证明目标。 3、专题训练类题目 1).重要极限与幕指型极限 . . X ?，】im害 ,-L-—^ln(l+e'sin.t2) “ 丄严例1 lim(l + e x sin x2),_cos v = lim6,1_cos t= lim幺1_cosx = e 2 XT O XT O XT O 1 2 o、— a x~ +/7r y /+b* 7 1( c/W — In ---------- -- = lim(?v "W XT() MN s “)向丄(S fV->ox a1 +/?1— gZx a x^b x I)x(a x+b x) lim /--l XTCT2, 解2 % -X」x -,()表示小数部分 limx XT().(2 lmx—— J兀丿丿 2)对于数列｛￡｝,己知x°>0,尢 ”+l 1 2 X/, * X n) ,证明lim%z/ ” 例2 lim (a > O.b > 0) 2 2 A limx - = 2,故lim XT(r X XT。 2 丿 从而limx XT O lim 丄(a* +b x -a x -b x ) \im —- lim(^ r 2x\na+b x ^ 2x\nb-a l \na-b K \nb) 丄 一丄 In" gXTOx x-^a x ^h x — ￡尸0 2 = ￡ 2 2 11 - lim-ln(sin2/+cos/) 例 3 lim(sin — + cos —)x — = t = lim(sin2z + cos^)z =严哄 io x x x 例 llim smS2 J 加心)=flim —-—— z ln(cos^) f 专 i n(i_ z) 例 2 lim (Vx 3 + 3x 2 - 7%2 -2x) = lim x(寸 1+ — 兀 XT2 XT+OO lim x- -- lim x 丄(—2) = 2 f 2 x J_ _l \mn 2(a n -a n+}) = \mn 2a n+l (a n W+1 -1) 〃T8 "T8 a 1 1 lim n^a n+} ( ------------ ) In a = In a n zi + 1 3)反问题 例 2 lim(Vl-x 6 - ax 2 -b) = 0,求 a,/?。 XT8 1 ah sin 2/+cos/-l hm ----- 2) 等价代换 lim(2cos 2/-sin/) 9 0亠 = =lim xG/l + --l-Jl-- + l)= lim XQ/1 + --1)- lim x( XT+8 兀兀 X —>-H? 兀 XT+oo r 1 3… =J XT+8 3 X XT+8 例3Hmn2丽-惻G 〃T8 (a > 0) 例 1 lim x-a 解原式=lim 〈 XT8 ( 1/ 牙丿 1+b 兀丿 2) X 2 3 1---1) X h 0 ,由此，有a = -i X2 解当兀TO 时，d'—lT (),故ln(l + Z^)TO,则 sinx sinx ln(i +ZW ) 从而 lim --------- =lim 彳止K = lim [(兀)=丄, 由此=丄Ina 。 XTO a A -1 xlna In a 2 x 2 三、连续函数 1.定义：lim /（x ） = /（x 0）,称/O ）在兀（）点连续。 XT? o lim Ay = 0 o f(x Q + 0) = /(x 0-0) = /(x 0) A YT O (本质上 lim/(x) =/(limx)) 2、 问题分类 1） 讨论函数的连续性 2） 指出函数间断点，且分类 3） 介值定理应用 4） 连续性应用（lim f （x ） = /（limx ）） 3、 例题 ”+2 _ -n 例1讨论= ----- 的连续性。 "T8 兀"+ 兀 考查x = -1,0,1三点；（除以上三点外，函数连续） lim f(x) = lim x 2 =1 ； lim /(%) = lim (-1) = -1 , x = -\ 为第一类间断点 XT-厂 A->-l _ A->-I + XT-广 lim f(x) = lim /(x) = lim(-l) = -1 ；兀=0是第一类间断点(可去间断) x-?0" XT O 十 XT O 同法 lim f(x) = -\； lim f(x) = 1 , x = l 是第一类间断点。 x-?l° XT1 + 冋代原式 b = lim(Vl - x 6 +x 2) = lim x 2 XT8 XT8 7 -l+l) = lim_r (1--Lp-1 大 Too % 例 3 lim XT O ?VT8 a x -l =0 (a>O,°Hl),求 lim 。 XTO JT 解当x^O 时, /(兀)=lim HT8 -1 =< 0 0 <| x |< 1 1^1=1 |x|>l X 在x = k 兀点 伙=±1,±2,±3, .............. ) lim f(x) = lim ^sin v 不存在,x = k 兀为第二类间 Xf* 兀? XT Q T 断点(无穷间断点)。 a + bx 1 例3设/(兀)=sin 加 ■ X 解 lim f(x) = lim (G + bx 2) = a 八 f (0) = a ?YT ()- XT ()_ /(x)于兀=0点连续，则a = b 0 例4证明X 3-9X -1 = 0,恰有三个实根 证 令/(X ) = X 3-9X -1 ,则/(兀)于(-8,+8)上连续, 而/(-3) = -1<0, /(-2) = 9>0, /(0) = -1<0, /(4) = 27 >0 由零点存在定理 3%| G (—3,—2), x 2 E (—2,0), x 3 G (0,4),使 /(坷)=0,/(兀2)= 0,/(可)=0 即方程有三个实根，又三次方程至多有三个实根，故恰有三实根。 方程有根问题当与微分学结合时会很精彩。 例5设/(兀)在［a.b ］ ±连续，且对V XG ［a,b ］都北w ［a,甸使|/(兀)|=丄|/(西)|, 证明在［a.b ］ ± /(%) = 0 o 证:f(x)在［恥］上连续。则/⑴有界，即3M>0, ^\f(x)\ J l/(x 2)|= 同理 Bx n e[a,b]f 使0<| /(x)|=^|/(x w )|<^M / 例 2 设 f(x) = lim t->X L \ sinr 、 sin 兀 X sin r-sin x ，讨论/(X )的间断点及其类型。 x . sinr .? x(ln|sin/|-ln|sin xl) — ------ :—In — lim 解 f (X )= Hmgdnr-sinx sin x — ^t->x sin /-sin .v /TX X cos t lim 亠 ^z->xcos/sin/ — ^sinx (X 丰 k7T ) lim f(x) = e, XT () 兀=0为可去间断点。 x<0 在兀=0点连续，求Q 与b 的关 系。 x>0 令rm 则有/(x) = 0 o 例 6 设 f(x)在[0,11 上连续，且 /(0) = /(I)，证明肌 e [0,1]，使 /(x 0) = /(x 0 +1)。 证 设 F (兀)=f(x) 一 f(x +1),假设 F(x) >0,则 1 1 1 2 2 2 F(0) = /(0) - /(|) > 0, F(|) = /(|) - /(j) > 0, F(|) = /(|) - /(I) > 0 1 2 相加 F(0) + F(—) + F(—) = /(0) — /(l)>0,与 /(0) = /(I)矛盾，即 F(x)恒大于 0,不 可能。 同理F(x) < 0 (恒)也不可能，即尸(兀)必有大于0的点，也有小于0的点，由连续性 2 1 和介值定理，3X O G [O,-]C [O,1],使 F(x o ) = O,即 /(x 0) = /(x 0 +-)o 第二章一元函数微分学及其应用 一、导数概念的三类问题 1. “分析”形式问题 例1 /（x ）在兀0处可导，求lim J （x （）十hL2h ）。 刀一＞0 h 解原代二lim 几不）+①一 /（观）一 /（吗一 2力+?广（兀（）） 八 D h /（Xo+/z ） — /（Xo ）I 2/（兀0-2/0-/（兀0）］ =3 尸（兀0） f(^) 3 .v=<； = e J (a) = g2 例 3 设F(x)在兀二0点可导，且F(0) = 0,求lim ?(1~C °SA ) 0 go tan x 八亠一 F(1 -cosx) F(1 -cosx)- F(0) 1 -cosx 1 —〃、、 分析：lim ---------- z ——= lim = — F (0) 5 tan x XTO 1 一 cos x tanx 2 lim[ “TO -2h 例2 /（兀）可导，f （a ） = 2, 解原式=lim 幺 〃T8 川 In /(“+丄)_ln f(a)] n lim n —>?> e lim 严心)也 "T8 f 心 e 7^ 2 tanx n T n 例4设/(兀)有导数,且/(0) = /(O) = 1,求lim XT O sin 兀 例5设/（x ）是周期为5的连续函数，.且于兀=1的某邻域内满足 /(I + sin x) - 3/(1 一 sin x) = 8x + a(x) 英中Q （x ）是当兀TO 时比x 高阶无穷小量，且/（兀）于兀=1处可导，求曲线于（6,/ （6））点 的切线方程。 分析：由（*）式，令 x = 0 => /（I ） = 0（/（6） = 0） /(I + sinx)-3/(l- sin x) 一 /(I) + 3/(1) _ 8x4-a(x) /(sinx)-l 分析：原式=1曲处卫二凹 XTO sin x ln/(x)-ln/(O) =1 x ~O (*) （凑定义）: 孚唏齐2鬧巳?(￡哼 z h n . ds r 小2八 1 xz I 、4A 令)，,则一=2TT R_ —)(—) ------------------- z -2 dt 2 h 叔 h 注：体会物理解释，“以Acnd 丨s 速率注水” o? dt “而积变化率“°孚 例2 —动点P 在曲线9 y = 4X 2±运动。已知P 点横坐标的速率位30cm/so 当P 点运动 到(3,4)点时，从原点到P 点的距离的变化率是多少？(设坐标轴长度单位为lcm)o 解方程9y = 4x 2两边对(求导，得9乞 dt 记OP = S,则S 2=x 2 + y 2,对f 求导，得 ds \ dx - 80 . ds 1 …c " c 人 80 “ / ——=——(2x ——+ 2y x),—— = ----- (2-3-30 + 2-4 -------- 3) = 82cm/s 。 dt 2s dt 3 dt (34) 2-5 3 例3设雨滴为球状体，若雨滴聚集水分的速率与其表面积成正比。证明雨滴半径增加 的速率为一常数。 、~r \7 4 dV 4 Q D 2 dR j . D 2 rnii dR i 证 V =—兀R , — = —7i3R — = k.47iR ，则—=k o 3 dt 3 dt dt 二、导数计算(的四个重点) 重点掌握：隐函数求导(含二阶导数)；分段函数求导；积分上限函数求导；参数方程 所确定函数求导。 1. 复合函数求导) 4A A, “水面上升速度7 X 必一也 80-32X - - ? 30?6// X - y 8 - 9+2 号 t= 8 5 - 2 80 一 例 1 y = sin 2 "1 —In 八 dx 解设坐标系如图 =1 S()，)=亦2 二尿([— 例 3 /'(cos x) = cos 2x ,求 /"(兀)。 解 法(1)方程两边对兀求导/7cos%)(-sinx) = -2sin2x /"(COSJC ) = 4cosx=> /"(x) = 4x 。 法(2) fXcosx) = cos2x = 2cos 2 x -1, f\x) = 2x 2 -1, (兀)=4兀。 2. 隐含数求导 例 1. arctan — = In Jx ，+），,求 y"。 x 尢+ y 整理 yk_y = H+y/ .......................... (1) y = .. (2) (1)两边对兀求导：y 々+)/- _/= 1 + y~ + yy", / \2 r_i+y"_ l 兀一丿丿 _2(F +),) y — — — x-y x —y (兀-y) 例 2.设e x+y - xy = 1,求 y"(0)。 解 令x = 0得y = 0,方程两边对兀求导：e x ^y (1 + y) - y-xy f = 0 (1) 对(1)再求导得：e x+y (l + j z )2 + e x+y y^—y —y — xy^ = 0 .......................... (2) 当兀=0 时 y = 0, y (0) = -1,代入(2), y"(0) = -2。 dy c ? 1 -Inx —=2sin ------------ dx x 1 -lnx ?cos --------- x --x-(l-lnx) )nx _ 2 2(1-In x) -- - ----- 5 ------- = ------ z Sin ----------------- X X (3x + 2 丿 f\x) = arctan x 2, 求乞 dx x=0 12 dy (3兀 + 2)2 '忑 /'(一1) ? 3 = arctan(-l)2 ? 3 =扌龙 解 arctan —=丄ln(F + y2) x 2 两边对兀求导得 ------- f \ — 14- 2 d 丿 1 2x + 2y$ 2 x 2 + r （1）得）/ = 例 = 3—2、 3x + 2 丿 瞬 dy = /(O + tf(t) - f\t) d 2y = dy'= dx /"(/) ' dx 1 dx /"(/) d 2y _ dy" _ (/)^ _(6?v ^cosr - e y sin r)(l - e y sin r)(6r 4- 2) — — (l — Rsinf)2(6/ + 2)3 一 e y cosr[(-^v >;sinr- e y cos/)(6z + 2) + (1- e y sinr)6 J 2 q 将 / = 0,x = 3, y = 1 代入得? |/=0= e~ ——e o dx~ 2 4. 绝对值函数与分段函数求导 1.设f(x) = 3兀3 +兀21兀|,则使严)(0)存在的最高阶导数n = ? A 2 r f4%3, X>0 [2x 3, x<0 1 工 r f (x) — f (0) . 2x 3 — 0 r 由十 f (0) = lim ―= lim --------------------------------- = 0 zr 兀一 0 Er x 3.参数方程求导 x = x(t) ? _ ￡ y = y(t) dx x t dx 2 dx 八 X —I 兀丿 / 兀 X 3 例1. dx d 2y dx 2 心 cbc 3 解/ d 2y dx 2 dx 2 e 2 dy 1 —e 2 -3/ dx' dx -3/ 2厂沪 例2? 2 且 八F,求等。 例3?设j = y{x ）是由方程组 X = 3t +乃+ 3 所确定的函数, e y sin / — y + 1 = 0 求器 /=0 解/ = 0, = 3,y = l,方程两边対兀微分得 dx = (6t + 2)dt e y dy ? sin f + e y cos tdt -dy = 0 , -e y cost ,. dy e y cost dy t e 从而 ------------ ，K L =o= e , — = ------------- : --------------- , — L o = — e y sin r -1 dx (1 一 R sin/)(6/ +2) dx 2 >? r=0 e' cosf dx 1 dx x t ￡(0) = lim /⑴一八°)= lim " _ ° = 0 XTO+ 兀一 0 XTO* X 12x 2, x>0 因而 /z (o )= 0 ,从而 /(x) = J 0, x = 0 6x 2, x<0 24%, x > 0 类似地可求得 厂(0) = 0,以及f\x) = 0,兀=0 12x, x<0 而 八0)二 iim 门力—厂(°)lim 12%~° 二 12 XTO- X-0 A->0- X 於0) = lim H (°)lim 川-° = 24 XT0+ 0 XT0+ X 因而/气0)不存在。 可见，/(,,)(0)存在的最高阶数为n = 2o 例2.设/(兀)=["2 +力+ 3 x<0在只二。可导，求之值。 \ax + b x > 0 解 要在 x = 0 点连续，则 /(0 + 0) = /(0-0) = /(0) lim /(x) = lim (x 2 +2^ + 3) = 3 = /(0), lim f (x) = lim {ax + b) = b,则 b = 3 大 T (T XT (F 大 TO + XTO " r (0) = lim /⑴”°)= lim 宀2无 + 3-3 = 2 XT (F X XT (T 加2骋呼y 由于在“0可导，所以"2 5、积分上限求导 F(x) = f /⑴力， F\x) = f \x) g) = O dt ' G3 = g -如-g ?心)。 /?In x . 例 1 ? F(x)二 J| xf(t)dt ,求 F (x) o /? Inx 解F (兀)=寸】f{t)dt, F(x)=[\f(x,t)dt y Ja F\x) = f(x,x) + . r Inx ] | | 5 阳+心1咕-々(-7)] 例 2. /*(兀)连续 F(x) = j X tf(x 2-t 2)dt f 求 F\x) o 解令 x 2 - t 2 = u, F(x) = -t 2)dt 2 = -t 2)d(x 2 -Z 2) 1 r o 1 rx 2 = ~2^2^U ^dU=2^ Zdu FXx) = ^f(x 2)-2x = xf(x 2)； 例3.设y 二y(x)由方程兀一]e~H du = 0确定，求(1) y‘； (2)过x ()= 0点切线 解在x o =O,y o = l,对方程求导l-e-(x+y)2(l + y )= 0 (1) 再求导 e~(x+y)2 -2(x + y)? (1 + /)2 -e-(x+y)2/ = 0 (2) 将兀()=0,y ()= 1 代入(1) y |r=0 = e-\ ,切线 y- \ = (e-l)x ,将x () = 0,y {) = 1 代入 得 /(O) = e-l 代入(2),得 y = Ze 1, 6. 关于高阶导数 例]./(x) = cos 4x-sin 4x ,求/(w)(x)? 解 /(x) = (cos 2x +S in 2x)(cos 2x-S in^) = cos2x > 严(x) = 2"cos(2+号)。 .. sin 2% cos 2x r (”) 例 2. y = ------------ +------------ ,求)何。 1 + cotx 1 + tan x ? 3 3 i s sin x cos’ x ( 1 ? r 解 y= ---------------- + ----------- :— = 1——sin2x sin x + cos x cos x + sinx 2 1 jr y (,,)=——2" sin(2x + /??—) 2 2 例 4. y = x 2 ln(l + x),求 y")(0)。 /?In x =[fWt X +皿）+协） 方程（3） dx 2 2 3 4 解 1口（1 +兀）=兀-乞+乞-乞+0 04）, 2 3 4" 则-乂存⑹(0)誌产(0)，即产(0)-存 注：1.高阶导数直接用公式的己推广到sin ax. cos 6K￥, (? + 6a)/?, , ln(l + bx) 2.结合泰勒公式如3, 4尤其4应注意。 (I Y y = y(x)三阶导数存在，求竺, dy .tZr _ 1 _ 1 d 2x _dx _dx dx _ 1 ” 1 _ y" 解石=石=了眉二石二药?石"产厂7="7T dx d 3x_(ix _JZ dx_d ( i _ /y 3-/3/2/ i _3/2-y/ ~d^~~dy~~dx'~dy~~dx[^^)y~ 7~ — 三、微分中值定理与Taylor 公式 1. 内容小结 1)费马引理：/(X )在X 。点处取得极值，并且在兀0处可导，那么/Uo )= 0o 2) 罗尔定理：/(兀)满足(1)在闭区间［讪上连续；(2)在开区间⑺上)内可导;(3) 在区间 端点处的函数值相等，即/(6Z )= f(b),那么在(d,b)内至少有一点§(a 3)拉格朗日中值定理 /(兀)满足(1)在闭区间［d,b ］上连续；(2)在开区间(d,b)内 可导，那么在(a,b)内至少有一点 f(avgvb),使 f(b)-f(a) = 4)柯西中值定理 /(兀)满足(1)在闭区间［67,/?］ ±连续；(2)在开区间⑺上)内可导; (3)对任—XG (a,b), F\x) 0,那么在(a,b)内至少有一点使 /@)二 /⑷二厂? F(b) - F(a)~ F'? 5)泰勒中值定理 /(兀)含有兀。的某个开区问⑺力)内具有直到5 + 1)阶的导数，则 对任一兀w(d,b),有 d 2x d y x y = x 2 ln （l + 兀）二 兀' /(x) = /(兀0)+广(兀0)(兀-兀0)+ ' ［:"(X-兀0)2 + …+ 丄/""(兀0)(兀-兀0)" + RQ) 2! n\ Z(n+D/C\ 英屮R,?)=——(X 一x0)M+, o " 5 + 1)! 0 或者 f(x) = /(x0) + /z(x0)(x-x0)+ ??? + —―(x-x0)/,+。［(X-X o)?，］ /?! 前者展开到项常用于求极限，后者余项确切常用于估计误差。 要点：中值定理：证等式(含方程有根)，放缩一下也可以证不等式。 泰勒公式：“建立两点连续”，“一点在另一点展开”，“寻求函数和其导数之间的联系。 2.例题 1)关于罗尔定理 直接法 例1设抛物线y = -x2 + Bx + C与兀轴有两个交点x = a和兀=b ,又y = f(x)二阶可导，且/(a) = /(/?) = 0 ,同时上述两曲线在⑺,历上有一交点。证明Nw(a,b)使厂? = -2 o 证令F(x) = f(x)-［-x2 + Bx + C］f则F(a) = F(x0) = F(b),(在兀° 点两曲线相交)，由罗尔定理m$w(d,x()),使F?) = 0, B^e(x0,h),使F^2) = 0 ,从而m共e，§2)u@e),使尸? = 0,即厂? = -2。 倒推法 例2 /(劝在［彳切上连续，在⑺力)可导，证明北丘⑺的，使厂(§) = 丁忆)_ f⑺。b_g 分析：F@) = f@)(b - ◎-/? + f(a) = 0 , F\x) = f\x)(b-x)-/(x)4- f(a)。F(x) = f(x)(b一兀)+ xf(a),验证F(a) = hf(a) = F(b) 例3设/(x)在［0,1］上连续，在(0,1)上可导，且/(1) = 0,证明0正整数TI>2,3x0 ￡ (0,1)使〃(兀°) + 兀0广(兀0)= 0。 分析<-7(x0) + 兀门兀°) = 0。F\x) = ［x n f(x)tF(x) = x n f(x),F(0) = F(l)。 (乘一因子，使之易求原函数，考题难度合适！) 其他 1） 欲证竽r （x ）=xf （x ） 2） /g + ^， = 0=> F = fg ； 3) fg-fg=^^F = ~ g 4) / + /z = O^F = eV(x)； 5) A/+r = O=>F = e z V(x) g?[ f ⑴dt = /?『g(/)d/ =>F = ^fdt^gdt 2) 关于拉格朗日屮值定理 例 1 求极限 limn 2 (arctan — - ate tan " MT8 /2 =lim/?2—鼻一-——=a , §介于——之间 “Ta 1 + 了 /?(/7 +1) n 刃 + 1 例2设/(兀)在(0,+oo)内有界。可导且lim .厂(x)存在，证明lim f(x) = 0 JVT+co JVT+co 证 f(2x) 一 /(x) = f'(f )x,0 ?YT+oo lim[/(2x)-/(x)] = oo, x —>4-00 但 | /(2x) - f(x) |<| f(2x) | + |/(x) |< 2M 矛盾，说明 lim f(x) = 0 XT2 小注：（1）凡遇到/（b ） — f （a ）先用一下中值定理往往有效。 （2）有时要刻意构造同一类函数在两点做差。 3）关于泰勒公式问题 已知一点信息 例 1 设 /(兀)二阶可导,/(0) = 0,/(0) = 1,/#(0) = 2,求 lim 购二 /(0) +广(0)兀+匸?2无2 (兀2)_兀 Q E I 、V V x + x -x+e (x ). 6) nf + = 0^> F = x n f(x)； 7) f^-fg=^^F = fg-fg 8) o=>F=[￡y (w 9) 〃+l)° \n n+1) 第一单元测试卷 一、填一填。 1.测量铅笔的长度用()作单位比较合适;测量床的长度用 ()作单位比较合适。 2. 油画棒长()厘米。 3.2米=()厘米300厘米=()米 30厘米-6厘米=()厘米45厘米+20厘米=()厘米 4.甜甜的身高是90厘米,再长()厘米,她的身高就是1米。 二、辨一辨。 1.下面哪些图形是线段?在下面画“√”。 2.下面图形中各有几条线段? 三、在括号里填上合适的长度单位。 四、在里填上“>”“<”或“=”。 1米90厘米2米200厘米100厘米1米 20厘米1米-80厘米50厘米5米1米80厘米2米 五、做一做。 1.量出下面线段的长度。 2.画一条5厘米长的线段。 六、解决问题。 1.你知道蚯蚓的身体有多长吗? 2.有一根绳子,剪去30厘米后,还剩70厘米。这根绳子原来长多少 米? 3.小兔子要去外婆家。 (1)分别量出下面每条路的长度。 ①号路长()厘米;②号路长()厘米。 (2)小兔子走()号路近些。 4.小动物赛跑。 (1)蜗牛离终点还有多少厘米? (2)蚂蚁比小虫子多爬多少厘米? 第一单元测试卷参考答案 一、1.厘米米 2.6 3 3.200 3 24 65 4.10 二、1.(√)()()()(√) 2.5 1 10 8 三、厘米米厘米厘米厘米米米米 四、> = = = < < 五、略 六、1.15厘米+4厘米=19厘米 2.30厘米+70厘米=100厘米100厘米=1米 3.(1)①4②5(2)① 4.(1)1米-80厘米=20厘米 (2)90厘米-70厘米=20厘米 第二单元测试卷 一、填一填。 1.列竖式计算加法和减法时,都要把()对齐,从()位 算起。 2.做加法时,个位相加满(),要向十位进();做减法时,个位 不够减,要从()位借1当()来减。 3.48比30多(),25比42少()。 4.比57多13的数是(),比53少26的数是()。 5.()+26=50 70-()=18 ()-37=48 二、连一连。 得数小于50的算式得数大于80的算式 三、选一选。(在括号里填上正确答案的序号) 1.丽丽的身高是94厘米,云云比丽丽矮6厘米。云云的身高是() 厘米。 ①100②88③82④34 2.阳光小学二年级有两个兴趣小组,书法组有21人,绘画组的人数 与书法组的差不多,两个小组大约有()人。 ①21②50③40④60 二年级上册数学复习讲义 第一单元认识长度单位 一．填一填。 1．要知道物体的长度，可以用（）来量。 2．量比较短的物体，通常用（）作单位，量比较长的物体或距离，通常用（）作单位。 3．回形针的长大约是3（）。 4．1米=( )厘米，操场跑道的长是250（）。 5．量一个物体时，米尺的（）刻度要对准这物体的左端。 6．一张床的长度大约是2（），手指的宽大约是（）厘米。 7．你的尺子上，从0到1是（）厘米，从0到8是（）厘米，从6到13是（）厘米。 10．三角形是由（）条线段围成的，正方形是由（）条线段围成的。 11．一条线段长是100个1厘米，这条线段长（）米。 12．小红今年上二年级，她的身高大约是125（）。 13.下图中有多少条线段? ( )条 二．正确的在( )里画√，错误的在( )里画×。 1、小明今年读二年级了，他的身高是128厘米。 ( ) 2、1米的绳子比100厘米的绳子长。( ) 3、画一条6厘米长的线段，从尺子的刻度1画到6。( ) 4、爸爸的身高有178米。( ) 三．计算。 5米+8米=（）米32厘米+40厘米=( )厘米 35厘米一25厘米=（）厘米45厘米+54厘米=( ) 厘米 39厘米+17厘米=（）厘米85厘米一26厘米=（）厘米 1米一15厘米=（）厘米36厘米+64厘米=（）厘米=（）米 四、比较大小。 99厘米（）1米4米（）400厘米3米10厘米（）400厘米 5厘米（）5米 五．小小画家。 1．画一条3厘米长的线段。 2．画一条比4厘米长2厘米的线段。 3．先画一条5厘米长的线段，再画一条比它短2厘米的线段。 4．画一个边长为3厘米的正方形。 六．在（）里填上适当的单位。 1．一支粉笔的长是7（）。 2. 铅笔盒长是23( ) 3. 教室宽6( ) 4. 一棵树高3( ) 5.小明的身高130( ) 6. 操场长80( ) 7.手掌宽7( ) 8. 毛巾宽29( ) 9. 教学楼高10( ) 10. 妈妈的身高165( ) 11. 铅笔长11( ) 12. 教室门高2( ) 13.一张床长2( ) 14. 茶杯高10( ) 15.黑板长3( ) 16. 小刀长5( ) 17. 电视屏幕宽39( ) 18. 电视塔高120( ) 19.课桌的长大约是80（）20.窗户的高大约是2（）21. 图钉的长是1（）22. 语文书长21（）23．红领巾最长的边长50（）24. 筷子长15（） 七、哪种量法是正确的？在下面的（）里打“√”。 经典教综多选题 100 道 1.学校的精神或观念文化是校园文化的核心，可以分解为（）。A.理想成分B. 认知成分C.情感成分D.价值成分 2.下列体现了个体身心发展不平衡性特点的有（）。 A.人的身体发育总是遵循从上到下、从中间到四肢、从骨骼到肌肉的顺序 B.人的身高 和体重的增长有两个高峰期，即婴儿期和青春期 C.人的神经系统成熟在先，生殖系统成熟在后 D.失明者的听力往往比视力正常者发达 3.班级目标管理是指班主任与学生共同确定班级总体目标，然后将总体目标转化为（） A.集体目标 B.小组目标 C.个人目标 D.年级目标 4.下列属于学生注意听讲的描述有（） A.注目凝视 B.交头接耳 C.屏息静气 D.若有所思 5.下列符合现代教育制度的发展趋势的有（）。 A.加强学前教育并重视其与小学教育的衔接 B.强化普及义务教育，延长义务教育年限 C.普通教育与职业教育朝着相互渗透的方向发展 D.学历教育与非学历教育的界限日益明晰 6.“你的鞭子下有瓦特，你的冷眼里有牛顿，你的讥笑中有爱迪生。你别忙着把他们赶跑，你可不要等到坐火车、点电灯、学微积分，才认识他们是你当年的小学生”。这段话对我们进行教育工作的启示是（）。 A.要因材施教 B.要对学生循循善诱 C.要加强对后进生的教育 D.要使所有学生包括差生都得到发展 7.以下关于独立形态的教学阶段的表述，正确的有（）。A.教育作为一门独立的学科提出来，始于德国哲学家康德 B.夸美纽斯的《大教学论》标志着近代独立形态教育学的开端 C.最早的教育学研究机构，始于德国普鲁士王朝的哥廷根大学 D.把教育作为一门课程，在大学里讲授，最早始于英国哲学家培根 8.下列属于正迁移的有（）。 A.数学审题技能的掌握对物理、化学审题的影响 B.在学校爱护公物的言行影响在校外规范自己的行为 C.外语学习中，词汇的掌握对阅读的影响 D.学习汉语字母发音对英语字母发音的影响 9.古罗马医生盖伦提出人的气质类型分为（）。 A.多血质 B.胆汁型 C.抑郁质 D.粘液质 10.激情是一种强烈短暂的情绪状态，其特点（）。 A.激动性 B.弥散性 C.冲动性 D.渲染性 数学测试题（一） 班级：姓名：学号： 一、填空。 （） 1、（）● （） 2、一个角有（）个顶点，有（）条边。 3、从一个（）起，用（）向（）画两条（）线，就画成一个（）。 4、要知道一个角是不是直角，可以用三角尺上的（）比一比。 5、（）角比直角小，（）角比直角大。 6、用直角和锐角拼出的肯定是（）角。 7、笔算加法时，（）要对齐。从（）算起。个位相加满（），向（）进（）。 8、笔算减法时，（）要对齐，从（）算起。（）不够减从（）退（）当（）。 二、在合适答案后的（）里画“√”。 比1米长（）比1米高（）比1米长（） 比1米短（）比1米矮（）比1米短（） 1、（）厘米（）厘米 （）厘米（）厘米（）厘米2、看看哪条线段长，再量一量。 ②（1） 3、谁说的对？在括号里画“√”。 （）（）（）4、量一量，乌龟要爬（）厘米就能吃到小鱼。 请你提出一个数学问题并解答。 1、数学书长26米。（） 2、顶管长50厘米。（） 3、房间高3厘米。（） 4、字典厚8米。（） 5、大树高8米。（） 6、教室长10厘米。（） 五、做一做。 1、数一数下面的图形中各有几个直角。 （）个（）个（）个2、连一连。 3、下面的图形哪些是角，哪些不是角？ 4 6、下面哪些角是直角？ 7、在方格纸上画直角（从给出的点画起）。 8、照图在钉子板上围一个正方形和一个长方形。 ???????????? ???????????? ???????????? ???????????? ????????????9、拿一个正方体的盒子，先看看每个面上有几个直角， 再数一数这个正方形盒子上一共有多少个直角？ 再拿一个长方体的盒子，数一数，你发现了什么？ 10、看图说一说。 多项选择题猛练 一、电学 1．关于家庭电路，下列说法中正确的是 （ ） A ．我国家庭电路的电压是220V B ．家庭电路中的用电器都是串联的 C ．家庭电路中用电器消耗的总功率越大，电路的总电流就越大 D ．家庭电路中保险丝熔断可能是由于电路的总功率过大造成的 2．如图9所示的“热得快”铭牌上标有“220V 1000W”字样，由此可知这种 “热得快”（ ） A ．正常工作的电压为220V B ．正常工作时电流为0.22A C ．正常工作10min 消耗的电能为6×105J D ．正常工作10min 产生的热量大于6×105J 3．在如图10所示的电路中，电源两端的电压保持不变，闭合开关S 后， 滑动变阻器的滑片P 向右移动，下列说法中正确的是（ ） A ．电压表的示数变大 B ．电灯L 的亮度变暗 C ．电流表A 1的示数变小 D ．电流表A 2的示数变小 4．在如图11所示电路中，电源两端的电压保持不变，当闭合开关S1、 S3，断开开关S2时，电流表的示数为1.2A ；当闭合开 关S1、S2，断开开关S3时，电流表的示数为0.3A ； 当闭合开关S2，断开开关S1、S3时，电流表的示数为 0.15A 。关于此电路工作情况的分析，下列说法中正确 的是（ ） A ．只闭合开关S 1时，电流表的示数为0.3A B ．只闭合开关S 2时，电阻R 2消耗的电功率是电阻 R 3消耗的电功率的2倍 C ．开关S 1、S 2、S 3都闭合时，电流表的示数为3A D ．只断开开关S2与只闭合开关S2两种情况下电压 表的示数之比为2:1 5．用锰铜合金制成甲、乙两段电阻丝，它们长度相同，但是甲比乙细。若将它们连接在同一 电路中，通过甲、乙两段电阻丝的电流分别为I 甲、I 乙；甲、乙两段电阻丝两端的电压分别为U 甲、U 乙。下列关系可能成立的是 A ．I 甲＝I 乙 B ．I 甲＞I 乙 C ．U 甲＞U 乙 D ．U 甲＝U 乙 6．在如图6所示的实验中，用酒精灯给试管加热，试管内水的温度 逐渐升高直至沸腾。水沸腾后，橡胶塞从试管口飞出，试管口附 图10 S A 1 A 2 V L R P 图 11 甲 R 1 R 3 S 3 A S 1 甲 S 2 R 2 V 图9 新人教版二年级上册数 学测试卷 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】 新人教版二年级上册数学第三单元测试卷 一、我会填。 1、一个角是由（ ）个顶点和（ ）条边组成的。 2、一把三角板有（ ）个角，其中有（ ）个直角，（ ）个锐角。 3、红领巾上有一个（ ）角，两个（ ）角。 4、拿一张纸，先上下对折，再( )对折可以得到直角。 5、在我们学过的角中，( )角比直角小，( )角比直角大。 6、写出下面角的各部分名称。 7、下面的图形中,是角的在( )里打“√”，不是的打“×”。 ( ) ( ) ( ) ( ) 8、下面哪几个图形是直角在下面的（ ）里画“√ ” （ ） （ ） （ ） （ ） 9、找出比直角小的角，在它下面的（ ）里画“√” （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 10、找出比直角大的角，在它下面的（ ）里画“√ ” （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 11、下列各角中，( )是直角，( )是锐角，( )是钝角。 姓 名 考 号 学 校 班 级 （ （ （ 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 ①②③④⑤⑥ 12、数一数下面图形按要求填空。 （）钝个角（）直个角（）钝个角（）个角 二、我会判断。（对的打“√”，错的打“×”。） 1、直角是角中最大的角。（） 2、三角板上的三个角中，最大的一个角是直角。（） 3、直角比锐角大，但比钝角小。（） 4、一个角的两条边越长，这个角就越大。（） 5、角的大小与边的长短没有关系。（） 6、角的两条边张开得大，角就大。（） 7、用一副三角尺拼出来的角一定是钝角。（） 8、扇子有3个角。（） 9、直角没有顶点。（） 三、我会比。（用三角板上的角比比看：下面各题左右两个角，哪 个角大哪个角小在 四、我会画。 1、画一条5厘米长的线段。 5、画一个直角。 2、画一条比5厘米短2厘米的线段。 6、画一个比直角大的 角。 3、画一条比5厘米长2厘米的线段。 7、画一个比直角小的 角。 4、以O点为顶点，画一个直角。 8、以O点为顶点，画一个锐 角。 O. O. 二年级数学上册期末试卷 得分___________ 一、我会口算（共10分） 60－8= 5×9= 36－9= 57+9= 30+70= 76－40= 8×4= 7×5= 70－7= 35+8= 9+44= 5×4= 9×6= 24－7= 3×8= 5×8－20＝ 4×9＋4＝ 32－20+50＝ 7＋20－3＝ 二、我会填。（每空一分，共28分） 1.）在括号里填上适当的单位名称。 ①一块橡皮长约6（）②长颈鹿高约3（） ③一本语文课本厚约2（）④一座楼房高12（） ⑤小学生每天在校时间是6 （）。⑥看一场电影的时间是120（）。 2.）小丽的身高是83厘米，小兵身高1米，小丽比小兵矮（）厘米。 3.）6+6+6+6=（）写成乘法算式是（）读作( ）； 4.）两个乘数都是8，积是（）。 5.）你能用 ）个不同的两位数，其中最 大的数是（），最小的数是（），它们相差（）。 6.）2和7的和是（）2个7的和是（），2个7的积是（） 7.） 8.）在○里填上“﹥”、“﹤”或“=”。 26○17+18 31﹣8○3×7 100厘米○98米9.）括号里最大能填几？ 8×（）＜60 42＞（）×6 27＞4×（） （）×5＜36 70＞9×（）（）×3＜22 三、我会选（将正确答案的序号填在括号里）（每题1分，共5分） 1.）4个3列成加法算式是（）。 ①3+3+3+3 ②4+4+4 ③4×3 2.）明明有3件不同的衬衣，2条颜色不一样的裙子，一共有（）种穿法。 ①5 ②6 ③3 3.）下列图形中，有二个直角的是（）。 ① ② ③ 4.）下列线中，线段是（）。 ①②③④ 5.）可以用测量物体长度单位的是（）。 ①时②角③分④米 四、我会用竖式计算。（每题2分，共12分） 90-54= 38+44= 38＋59＝ 60-27-9= 100-（42+19）＝ 86-（52-28）= 学 校 ： 班 级 ： 姓 名 ： 装 订 线 练习一 一、计算 37＋25＋15= 17－9－2= 72－24＋16= 34＋16＋27= 3×8＋24= 26＋38－35= 9×7－25= 5×（26－20）= 二、在括号里填上合适的数 27－( ) =10 ( )－14=25 ( )＋16=40 34－( )=16 12＋( )=85 （）八四十八七（）五十六六（）三十六 （）六二十四八九（）（）九二十七 三、列式计算 ⑴羊圈里有15只白羊和7只黑羊，一共有多少只羊？ ⑵羊圈里有22只羊，跑了6只，还剩多少只羊？ ⑶羊圈里有15只白羊和7只黑羊，跑了6只，还剩多少只羊？ ⑷学校买来90本新书，借给同学53本，还剩多少本？ ⑸小明家有32只鸡，卖了17只，还剩下多少只？ ⑹小明家有32只鸡，第一次卖了9只，第二次卖了8只，还剩下多少只？ 练习二 一、计算题 56＋（28－15）= 7×6－14= 40＋50－20= 4×7＋72= 4×9－36= 3×5＋46= 28＋（26－17）= 24－(56－50)= 二、填空题 （）二十一（）六二十四八九（） （）九二十七四九（）（）二十四 8的7倍是（） 3的9倍是（） 8个5相加是（） 三、问答题 ⑴二年级同学一共做了45个布娃娃，送给幼儿园35个，还剩下多少个？ ⑵二年级同学做布娃娃，第一天做了22个，第二天做了23个，送给幼儿园35个，还剩下多少个？ ⑶食堂第一周吃大米25袋，第二周吃大米37袋，两周共吃大米多少袋？ ⑷商店里有苹果50筐，梨40筐，卖出25筐，还剩多少筐？ ⑸一辆客车里有48名乘客，在第一站下去了18名，又上来了20名，这时车上有多少名乘客？ 练习三 ⑴自行车厂计划三天生产自行车80台，第一天生产20台，第二天生产35台，第三天生产多少台？ ⑵停车场上有65辆车，开走28辆后又开来39辆，停车场还有车多少辆？ ⑶有18个苹果，小朋友吃了8个，还剩多少个？ 最新人教版二年级数学上册单元测试题全套及答案 第一单元达标测试卷 一、我会填。(每空1分，共20分) 1．测量笔盒的宽用() 作单位，测量教室的长用()作单位。2．小学生的两臂长大约1()，手掌宽大约7()。 3．线段有()个端点，直尺上从刻度3到刻度8是()厘米。 4． 钢笔大约()个长树叶大约()个长 5. 铅笔长()厘米木条长()厘米 木棍长()厘米钉子长()厘米 6．2米＝()厘米1米35厘米＝()厘米400厘米＝()米160厘米＝()米()厘米 7．在()里填上“厘米”或“米”。 楼房高约30()蜜蜂身长约2()马高约2() 二、先估一估，再量一量。(每空1分，共10分) 1. 2. 三、我会比。(6分) 8厘米8米1米96厘米200厘米2米 10米100厘米6米60厘米83米38米 四、我会画。(4题4分，其余每题2分，共10分) 1．画一条比4厘米短的线段。 2．画一条比3厘米长2厘米的线段。 3．画一条和下面线段同样长的线段。 4．在小兔子左边2厘米处画一根萝卜，右边4厘米处画一朵小花。 五、我会选。(每题2分，共10分) 1．下面三个图形中是线段的是()。 2．黑板的长大约是()。 ①40厘米②4米③15厘米 3．笑笑参加短跑比赛用了18秒，她跑完了100()。 ①厘米②元③米 4．下面的测量方法正确的是()。 5．1米长的绳子和100厘米长的铁丝比，()。 ①绳子长②铁丝长③同样长 六、我会辨，对的画“√”，错的画“×”。(每题2分，共10分) 1．10厘米和1米同样长。() 2．小明一拃长20米。() 3．教室门高比1米高。() 4．方桌边，书本的边，黑板的边，圆桌的边都可以看作是线段。() 5．直尺上从刻度1到刻度10的长度是10厘米。() 七、我会排。(5分) ()>()>()>()>() 多选题 31．专业的公关人员务必具备的公共关系观念应当包括（BCD ）P84 A．社会意识B．公众观念C．形象观念D．互惠观念E．整体意识 32．“传播沟通”是公共关系的本质属性。理解这一命题的角度应当包括（CDE ）P7-8 A．公共关系的形象性质B．公共关系的舆论性质 C．公共关系的关系性质D．公共关系的职能性质 E．公共关系的学科性质 33．树立组织形象的好处在于（BCE ） A．增强组织的应变潜力 B．组织形象是组织的无形资产 C．良好的组织形象能够激励士气 D．良好的组织形象是组织的有形资产 E．良好的组织形象有利于营造和谐的组织社区环境 34．根据公众发展的不一样阶段，能够将公众分为（BCDE ）P114 A．正式公众B．非公众C．潜在公众D．知晓公众E．行动公众 35．作为舆论主体的公众具有的特点有（ABCDE ） A．有共同话题B．参与议论过程 C．自发性D．松散性E．层序性 36．组织公关效果评估中，新闻舆论分析报告主要包括的资料有（BCE ）P201-202 A．新闻报导趋势分析B．新闻报导量分析 C．新闻报导质分析D．新闻报导舆论分析 E．新闻报导时机分析 37．下列属于印刷类大众传播媒介的有（ADE ） A．书籍B．电子邮件C．电子报纸D．报纸E．杂志 38．下列属于社会公益活动的有（ABC ） A．设置奖学金B．捐赠慈善机构 C．修建期望小学D．资助贫困大学生E．资助学术研讨会 39．公共关系在企业中的作用突出表此刻（AB ） A．内求团结B．外求发展 C．提高企业经济效益D．提高产品市场占有率 E．提高企业发展潜力 40．口头语言交流的一般特点有（ABCD ）P285-286 A．直接性与随时性B．双向性与反馈性 C．情感性D．主观性E．真实性 1．现代组织经营管理的“四大支柱”是（BCDE） A．舆论B．人才C．公关D．资金E．技术 2．公共关系活动过程中的基本要素包括（ADE） A．公众B．个体C．群体D．传播沟通E．组织 3．公共关系产生与发展的社会条件有（ACDE） A．人性文化的兴起B．军事技术的突飞猛进C．民主政治深入发展D．市场经济高度发达E．大众传播技术的日趋普及与提高 4．专业公关公司服务的特点有（ABCDE） A．较为客观公正B．技术全面，专业性强C．较灵活，适应性强 D．关系较疏远 E．运作成本较高 5．公众的基本特征包括（ABCDE） A．整体性B．共同性C．相关性D．多样性E．变化性 6．霍夫兰认为人的态度改变主要取决于（ABC） A．说服者的条件B．信息本身的说服力 C．问题的排列技巧D．被说服者的条件 E．问题的性质和资料 7．拉斯韦尔把传播学的研究资料分为（ABCDE） A．控制分析B．资料分析 C．媒介分析D．对象分析E．效果分析 二年级数学上册测试卷 一、直接写出得数 6×3= 25+6= 30-9= 36÷6= 12÷2=5×6= 6÷1=3÷3= 16÷4= 20÷5=3×4+1= 18÷6= 30-6= 4×1-4= 24÷4=5×3-5= 二、想想填填 1.看图填空。 ①12朵花，每( )朵一份，分成了( )份。 ②12朵花，平均分成了( )份，每份( )朵。 2.根据四九三十六写出两道乘法算式和两道除法算式。 3.4个5相加，可以写作( )×( )，也可以写作( )×( )。 4.把口诀补充完整。 二四( ) 三五( ) 四六( ) 二( )一十 ( )三得六 ( )十二 5.1只青蛙有( )只脚，4只青蛙共有( )只脚。 6.在括号内填上合适的单位名称。 (1)一只钢笔长12( )。 (2)教室的宽大约是6( )。 (3)一座楼房高约20( )。 (4)一本科技书厚1( )。 7.按要求列式： (1)写出4道积是12的乘法算式： (2)写出4道除数是5的除法算式： 三、请在正确答案后的方框里画”√”。 (1)我家大门的高度约是( )厘米。 20□ 200□ 500□ (2)可以用4×2表示的算式是( )。 4+2□ 4+4+4+4□ 2+2+2+2□ (3)15○3=5，○里填( )。 +□ - □×□ ÷□ 四、动手画画：根据要求分别在图形里画一条线段。 (1)把六边形分成两个四边形。 (2)把四边形分成一个三角形和一个五边形。 (3)画一条长7厘米的线段。 (4)在下面的钉子板上画一个四边形和一个六边形。 五、列式计算。 (1)两个加数都是6，和是多少? (2)被除数是24，除数是6，商是多少? (3)除数是4，被除数是20，商是多少? (4)两个乘数都是6，积是多少? 六、解决问题。 1.学校食堂买来4筐大白菜，每筐6棵，一共买来多少棵? 2.每块小方砖高5厘米，要想堆30厘米高需要几块? □○□=□( ) 3.小明和他的5个同学一共栽了30棵树，平均每人栽多少棵树? □○□=□( ) 1．小红有28张画片，小明比她多16张，小明有多少张？ 2．二（6）班买来故事书62本，买来科技书38本，买来的故事书比科技书多多少本？ 3．商店第一天卖出服装81套，第二天比第一天少卖18套，第二天卖出多少套？ 4.食堂每天吃9棵白菜。一个星期共吃了多少棵白菜？ 5.教室里有3个同学，又进来9个男生和9个女生，现在一共有几个同学？ 6.做一件衬衣，正面要钉5粒扣子，每只袖口分别钉2粒。做一件这样的衬衣共要钉多少粒扣子？ 7．一根短绳长6米，一根长绳的长度是短绳的3倍，这根长绳长多少米？ 8.商店里圆珠笔的盒数是铅笔盒数的8倍，有7盒铅笔，圆珠笔有多少盒？ 9．大雁有22只，鹅比大雁少9只，鸭比大雁多19只，鸭和鹅各有多少只？ 10.明明、兰兰和乐乐给校园里的小树苗浇水，平均每人浇6棵，一共浇了多少棵？ 11.有24盒花，送给幼儿园一些后还剩8盒，送给幼儿园多少盒？ 12．小刚做了9个蜻蜓标本，小英做的蝴蝶标本的个数是小刚的4倍。 （1）小英做了多少个蝴蝶标本？ （2）小英做的蝴蝶标本比小刚做的蜻蜓标本多多少个？ 13．马路两边种树，一边种了8棵，一边种了9棵，两边一共种了多少棵？ 14.小明拼装一辆玩具赛车用了27分，小亮用了34分，小明比小亮快多少分？ 15.果园里有7行苹果树，每行有8棵，一共有苹果树多少棵？ 16.停车场停着3排小汽车，每排3辆，一共停着多少辆小汽车？ 17．小明有8块糖，小红的糖的块数是小明的3倍，小红有多少块糖？ 18．小海用8厘米长的尺子量数学书面的边长，正好量了三次，数学书面的边长是多少厘米？ 19.学校在教室走廊的两边摆花，一边摆6盆，另一边5盆，一共摆几盆？ 20.学校在教室走廊的两边摆花，每边都摆6盆，一共摆几盆？ 二年级第一学期 第一次月考数学试卷 一、填空题（10分） 1、在括号里填上“厘米”或“米” ①小林的食指宽大约1（）②课桌高72（）③语文书长22（）④一支粉笔长8（）⑤教室黑板长3（）⑥游泳池长60（） 2、计算下面各题。 15厘米－7厘米=（）厘米60米+ 9米=（）米5厘米+ 60厘米=（）厘米39米－6米=（）米 二、判断题（对的画“√”，错的画“×”）（8分） 1、大人一步长60米。（） 2、自动铅笔长约9厘米。（） 3、1米和100厘米同样长。（） 4、一个加数是20，另一个加数也是20，和是0。（） 三、选择题（9分） 1、小明有50元，买故事书花了28元，他还剩（）元。 A、22 B、30 C、20 2、被减数是74，减数是18，差是（）。 A、92 B、64 C、56 3、小红的身高是98厘米，小丽比小红矮4厘米，小丽的身高是（） A、102厘米 B、92厘米 C、94厘米 四、计算题（9分） 1、口算题 30+5= 42－12= 47－17= 26+24= 80－25= 78－26= 23－7= 26 + 34= 50－32= 2、竖式计算（18分） 70－24= 26 + 64= 60－36= 37+28= 57－42= 47－29= 五、下面的计算对吗？把不对的改正过来。（16分） 5 8 7 0 3 9 2 5 + 1 6 —2 8 + 5 1 +3 ——————————————— 6 4 5 8 8 0 5 5 第3页,共6页第4页,共6页 六、（1）画出一条5厘米的线段。（5分） （2）画出一条比3厘米多3厘米的线段（5分）七、看图解决问题（20分） 小学二年级上册数学测 试题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】 二年级数学上册第一单元专项训练 姓名（）分数（） 一、填一填，你能行！ 1、要知道物体的长度，可以用（ ）来量。 2、量一个物体长度，一般把尺的（ ）刻度对准物体左端。 3、1米=（ ）厘米 4、量比较长的物体，可以用（ ）做单位，量比较短的物体，可以用（ ）做单位。 5、在下面的（ ）里填上合适的单位。 小明身高120（ ）。黑板长4（）。 操场跑道400（ ）。 手指宽1（）。 6、在（ ）里填上“＞”、“＜”或“=”。 3米（ ）3厘米30厘米（）29厘米 1米（ ）100厘米3米（ ）2米75厘米 7、在（ ）里填上合适的数。 25米－8米=（ ）米40厘米＋26厘米=（ ）厘米 30米＋15米=（ ）米60厘米－16厘米=（ ）厘米 1米－12厘米=（ ）7厘米＋8厘米=（）厘米 30米＋6米=（ ）米21米－4米=( )米 90厘米＋10厘米=()厘米=( )米 二、正确的在（ ）里画√，错误的在（）里画×。 1、小明今年读二年级了，他的身高是128厘米。 （ ） 2、1米的绳子比100厘米的绳子长。（ ） 3、画一条6厘米长的线段，从尺子的刻度1画到6。（） 4、爸爸的身高有178米。（ ） 5、图钉的长大约是1厘米。 （ ） 6、5厘米比2米长。 （ ） 7、一根电线杆高8厘米。 （） 8、一本书厚3米。（） 9、比38厘米短8米是30厘米。（） 10、教室宽6米。（） 三、做一做。 1、我估计我的铅笔盒长（ ）厘米，用尺量铅笔盒的长是（）厘米。 2、请你画一条3厘米长的线段。 画一条比2厘米长比9厘米短的线段。 四、动脑筋。 1、一根绳子对折再对折后长2厘米，这根绳子全长（ ）厘米。 2、用一把25厘米长的直尺量1米长的纸条，需要量（ ）次。 3、游泳池长50米，小明游了一个来回，一共游了（ ）米。 五、每两点之间画一条线段。 ⑴3个点可以画( )条线段。 ⑵4个点可以画( )条线段。 六、解决问题。 七、1、爸爸今年４２岁，小红今年比爸爸小２４岁，２０年以后爸爸比小红大多少岁？ 八、2、红红拿１２元钱买乒乓球和小皮球，如果两种球都要买到最多买几个球最少买几个球 二年级数学上册第一单元检测题 （内容：长度单位） 填一填。 1．美育的内容主要包括（） A．艺术美 B．心灵美 C．社会美 D．科学美 E．自然美答案：ACDE ★2．小学课外活动的基本组织形式有（） A．群众性活动 B．小组活动 C．班级活动 D．文化艺术活动 E．个人活动答案：ABE 3．同其他形式的教育相比，家庭教育具有（） A．先导性 B．感染性 C．终身性 D．个别性 E．针对性答案：ABCDE 4．家庭教育、学校教育、社区教育三教结合的基本形式有（） A．互相访问 B．通讯联系 C．家长会 D．教育讲座 E．家庭学校答案：ABCDE 5．教师劳动具有下列特点（） A．复杂性 B．创造性 C．示范性 D．长期性 E．权威性答案：ABCD 6．关于学生在教育过程中的地位，教育史上曾出现过下列观点（） A．教师中心论 B．个人本位论 C．社会本位论 D．儿童中心论 E．教育万能论答案：AD 7．下述对小学生个性发展方面的描述，正确的说法有（） A．个性已基本形成 B．性格已基本定型 C．兴趣广泛，但不稳定 D．学习动机较为单纯 E．性格外向、活泼好动答案：CDE 1．教育的具体而实在的规定性主要体现在（） A．教育是人类所特有的一种有意识的社会活动 B．教育具有经济功能 C．教育具有政治功能 D．教育是人类有意识地传递社会经验的活动 E．教育是以培养人为直接目标的社会实践活动答案：ADE 2．教育实验作为一种研究方法，具有哪些基本特征？（） A．有理论假说 B．变量控制 C．有变革 D．可重复操作 E．能促进学生发展答案：ABCD 3．杜威实用主义所提倡的主要教育观点有（） A．教育即生活 B．学校即社会 C．教学为中心 D．儿童为中心 E．从做中学答案：ABDE 4．下列哪些教育理论著作属于教育学萌芽时期的作品？（） A．《学记》 B．《论语》 C．柏拉图的《理想国》 D．赫尔巴特的《普通教育学》 E．赞可夫的《教学与发展》答案：ABC 5．我国古代社会教育具有下列特点（） A．产生了专门的教育机构和执教人员 B．鲜明的阶级性和严格的等级性 C．教育与生产劳动的分离和对立 D．教育方法崇尚书本，呆读死记 E．官学、私学并行的教育体制答案：ABCDE 6．自然环境对教育的直接影响主要表现在（） A．适应自然的教育的价值取向 B．自然环境制约着一定的教育内容选择 C．影响教育的组织机构和组织形式 D．影响教育发展战略的选择 E．制约教育发展的规模和速度答案：ABC 7．现代教育所独有的教育功能有（） A．政治功能 B．人口功能 C．文化功能 D．生态功能 小学二年级上册期末考试题库 二年级数学上册期末试卷(一) 姓名:____________ 成绩:____________ 一、我会填（10分） 1、4个5相加是（）。 2、32÷8=4表示把（）平均分成（）份，还可以表示（）里有（）个（）。 3、1时=（）分78分=（）时（）分 4、同一方向观察物体最多可以看见（）面。 5、地图是按上（）下（）左（）右（）绘制的。 6、计算42÷7=6 时的口诀是（）。 7、被除数和除数相等时（零除外）商是（）。 二、我能行（28分） 1、算一算（12 分） 27 ÷3 = 18÷6 = 54÷9 = 5 ×7 = 8 ×7 = 5×6 = 7 ×8 = 24 ÷3 = 6 ÷6 = 40 ÷8 = 72 ÷8 = 4 ×6 = 2、在○里填上“＜”“＞”或“＝”，（6分）。 42÷7 ○8 2+2 ○2×2 3×9 ○3×6 4×4 ○2×8 1秒○；时100分○1小时 3、在○里填上“+”“–”“×”或“÷”（6分）。 8 ○8 = 0 45 ○8 = 53 4 ○7 = 28 9 ○3 = 3 48 ○6 = 8 9 ○9 = 81 4、根据口诀写出4个算式（4分）。 七八五十六四七二十八 ______________ ________________ ______________ ________________ ______________ ________________ ______________ ________________ 三、选择正确答案的序号填在括号里。（10分） 1、看一集动画片大约需要30（）。 A 时 B 分 C 秒 2、4的8倍是多少？正确列式是（）。 A 4×8 B 4＋8 C 8÷4 3、观察物体 从侧面看到的是（）。 A B C 4、从8：00～11：00经过了（）时。 A 3时 B 2时 C 3分 5 、■的东面是（）。☆■★———— A ☆ B ※ C ★ D ———— 五、我是公正小法官。（10分） 1、一年分为四季，春季是3 月，4月，5月。（） 2、乘数×乘数= 积（） 3、把8分成2份，每份是4。（） 4、8个红球，2个白球，摸到红球的可能性大。（） 5、计算4×5和20÷4时用的口诀一样。（） 六、书店里的学问。（10分） 小明家 小学二年级上册数学测试题： 一、直接写出得数（24分） 7×2＝8×8＝42÷7＝24÷6＝ 10÷5＝56÷8=9×8＝40－8＝ 20÷4＝28÷7=25÷5＝4×7＝ 4×4＝45÷9=63÷9＝15÷3＝ 1×5＝64÷8＝6×3＋4＝9×6＋6＝ 6×4÷8＝3×3×9＝18÷2÷9＝32÷4×5＝ 二、用竖式计算（12分） 3×7＝35÷5＝56＋7＝ 45－38= 三、填空（24分） 1. 5个8相加，用加法算式表示：； 用乘法算式表示：或。 2. 18个正方体，每个一堆，摆了堆。 18÷ = （堆） 18个正方体摆成堆，平均每堆个。 18÷ = （个） 3．在□里填数，（）里填单位名称。 这条线段的长是（）。 4． 把上面的绳子对折，再对折，每段刚好1米， 这根绳全长（）米； 教室里黑板的长比这根绳稍短一些，黑板的长是（）米多。 5. 在□里填上合适的数，组成和等号左边不同的算式。 6×6 =×3×8 =× 6. 在○里填上“＞”“＜”或“＝”。 1＋1 1×1 1－1 1÷1 7. 写出每个钟面上表示的时间。 ：：：8. 市民广场在学校的面，图书馆在学校的面。 体育场在图书馆的面，图书馆在体育场的面。 四、选择合适的答案，在□里画“√”（10分） 1. 小强早晨步行上学，大约需要多少时间？ 15小时□15分□ 15秒□ 2. 青山小学操场上的一条跑道有多长？ 60米□6米□ 60厘米□ 3. 小红面朝南站立，两手侧平举，左手指的是什么方向？ 东□南□西□ 4. 袋子里放了1个黑球和4个白球，从中任意摸出一个，结果怎样？ 一定是白球□不可能是黑球□ 可能是白球，也可能是黑球□ 5. 小方看到的茶壶的样子是哪一幅图？ □□□ 五、填填、画画（9分） 1．○在第2排第4个。 （1）★在第排第个。 （2）△在第5排第3个，在图中画出来。 2. 按要求在四边形中画一条线段。 3. 按要求给盒子里的球涂上颜色。 六、解决实际问题（3+6+6+6=21分） 1. 每个茶杯3元，买这些茶杯一共要多少元？ 2. （1）如果一个削笔刀9元，一把剪刀几元？ （2）一把剪刀比一个削笔刀便宜多少元？ 3. 把12棵树苗栽在公园里，可以怎样栽？先填表，再填空。 每行棵数 6 3 行数 3 6 每行栽的棵数多，栽的行数就； 栽的行数多，每行栽的棵数就。 4． （1）王阿姨买3架要多少元？如果付出30元，应找回多少元？ （2）李阿姨买6个要多少元？如果用买的钱买，可以买多 2013.9 第一单元 认识厘米用厘米量 课前准备： 1、我家到学校的距离有多远？ 2、学校到最近的汽车站的距离有多远？ 3、两位同学的身高不同？ 4、两只铅笔的长短？ 课中练习： 1、请同学们找一找，哪些物体的长度大约是1厘米？ 2、（1）量一量下面纸条的长度。 3、估计下图中的实物各有几厘米长，再量一量。 4、谁说的对？在括号里画“√”。 5、在（）里填上合适的长度单位（“米”或“厘米”）。 钢笔长15（）长颈鹿高4（） 小华身高120（）数学书长26（） 拓展练习 一、我会填。 (1)测量比较短的物体，可以用( )作单位。 (2)我的食指的宽度大约是( )。 (3)没用过的铅笔的长度大约是12( )。 （4）13厘米-9厘米=( )厘米 （5）8厘米+7厘米=( )厘米 二、铅笔长（）厘米； 钥匙长（）厘米。 认识米用米量 课前准备 1、你能比划出1厘米的长度吗？请在直尺上找出3厘米、5厘米、8厘米的长度。 2．哪位同学愿意用你的小尺子量一量黑板的长度？ 3．让测量的学生谈谈：“用小尺子测量黑板的长度有什么感受吗？” 课中练习 3、2米=（）厘米 300厘米=（）米 拓展练习 1．在（）里填上“＞”、“＜”或“=”。 3米（）3厘米1米-76厘米（）29厘米 1米（）100厘米3米（）2米+75厘米 认识线段 课前准备 师：这根线是什么形状的？如果用手捏住线的两头，向两边一拉，这条线会变得怎样？ 提问：这样拉出来的线与原来的那根线有什么不同？ 课中练习 1、指出下面哪些是线段，并说出判断的理由。 2、 二年级数学测试卷 一、数学智慧城。 1、1米=（）厘米 1米40厘米=（）厘米 2、3+3+3+6+3可以改写成乘法算式3×（），也可以改写成6×（）。 3、□×□=□×□=24 □×□=□×□=36 4、右图是由（）条线段组成的。 有（）个角，其中有（）个直角。 5、在括号里填上“米”或“厘米”。 （1）、床长约2（）（2）、铅笔长约16（） （3）、跑道一圈长400（）（4）、小明高1（）40（） 6、在○里填上“＞”、“＜”或“＝”，在○里填上“+”、“－”、或“×”。 46+7○8×7 2×6○3×4 36—9○5×5 90厘米○8米 5○8=40 7○8=15 6○8=48 8○5=3 7、小朋友，你一天看（）小时电视，那么一周看（）小时电视。 8、3个9的和是（）；3和9的和是（）； 3的9倍是（）。 二、数学高速路。 1、口算。 3×3= 2×5= 2×8= 7×7－19 = 5×9= 6×7= 9×6= 8×5+6 = 6×8= 5×7= 8×8= 64+20－6＝ 2、列竖式计算。 47+29= 6+57= 40—18= 65—56= 3、（）里最大能填几？ （）×4＜29 34＞5×（） 7×（）＜30 81＞9×（）（）×8＜55 60＞（）×9 （）×6＜38 3×（）＜27 三、生活万花筒。 1、画一条比5厘米短2 3、把38颗糖装进盒里，每盒装9颗，4盒能装下吗？ 4、 9元/个 8元/个 2元/个 5元/把 （1）买4个西瓜要用多少元？ （2）买5个菠萝和一把香蕉要用多少元？ （3）买6个苹果需要带多少元钱？ 4、下面是二年级同学最喜欢的饮料统计图。 （1）我们班喜欢喝（）的人数最多。 （2）喜欢喝牛奶的比喜欢喝汽水的人 数。 （3）喜欢喝（）的比喜欢喝（） 的人数。 (4)你能提出哪些数学问题？并解答。 1.压缩气体和液化气体包括（） A．易燃气体 B.不然气体 C.有毒气体 D.助燃气体 2.易燃固体的危险性与易燃固体自身的（）等因素有关 A．燃点B．熔点C．自燃点 3.腐蚀品主要包括（） A．一级无机酸性腐蚀物质和一级有机酸性物质 B．二级无机酸性腐蚀物质和二级有机酸性腐蚀物质 C．无机碱性腐蚀物质和有机碱性腐蚀物质 D．其他无机腐蚀物质和其他有机腐蚀物质 4.燃烧三要素是（） A．点火源B．冲击波C．助燃物D．可燃物 5.乙炔气体在（）情况下可发生爆炸 A．与空气形成爆炸性混合物，遇点火源时B．高压下 C．在爆炸极限上限以上的空气混合物，遇点火源时D．在其容器遇高温时 6.爆炸的主要破坏形式有（） A．直接的破坏作用B．冲击波的破坏作用C．造成火灾D．造成中毒和环境污染7.易燃固体的危险特性主要有（） A．易燃性 B.可分散性 C.热分解性 D.自然性 8浓硫酸不得与下列物质中的（）混合存放 A．氢氧化钠B．盐酸C．丙酮D．乙醇 9.电石不得与下列物质中（）混合存放 A．硫酸B．硫磺C．过氧化钠D．氰化钙 10.氧气钢瓶不得与下列物质中的（）混合存放 A．乙炔钢瓶B．氩气钢瓶C．氮气钢瓶D．液化钢瓶 11.易燃易爆作业场所，作业人员应穿戴（） A．防静电服B．防静电鞋C．棉布防护服D．绝缘鞋 12．若所有逃生线路被大火封锁时该怎么办？（） A、要立即退回室内 B、用打手电筒、挥舞衣物，呼叫等方式向窗外发送求救信号，等待救援 C、千万不要盲目跳楼，可利用疏散楼梯、阳台、落水管等逃生自救 D、也可用绳子或把床单、被套撕成条状连成绳索，紧拴在窗框、暖气管、铁栏杆等固定物上，用毛巾、布条等保护手心，顺绳滑下，或下到未着火的楼层脱离险境 E、若有电梯赶快乘电梯逃生。 13. 以下哪些措施可用作正确的避难措施？（） A、关闭迎火的门窗，打开背火的门窗进行呼吸，等待救援； B、用湿毛巾、床单等物堵住门窗缝隙或其它孔洞，或挂上湿棉被或不燃物品，并不断洒水，防止烟火渗入； C、赶快打开门窗跳楼逃生； D、用湿毛巾捂住口鼻，防止被浓烟呛伤和热气体灼伤； E、大火进入房间，利用阳台或爬出窗台，避开烟火和熏烤； F、积极与外界联系呼救； 14. 火灾中致人死亡的原因有哪些？( ) A.有毒气体 B. 缺氧 C. 烧伤 D. 吸入热气 15. 油锅着火后怎么办？（）人教版二年级数学上册1-6单元测试卷
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