基于小波函数的地震动反应谱拟合方法
第47卷第1期2014年1月
土木工程学报
CHINA CIVIL ENGINEEＲING JOUＲNAL
Vol．47Jan．No．12014
基金项目：北京市自然科学基金（8112029）、
国家自然科学基金（51178436）和国家科技重大专项（2011ZX06002-010）作者简介：张郁山，博士，研究员收稿日期：2012-
09-21基于小波函数的地震动反应谱拟合方法
张郁山
赵凤新
（中国地震灾害防御中心，北京100029）
摘要：提出一种改进的基于小波函数的地震动反应谱拟合方法，
该方法通过调整给定地震动加速度时程，使其反应谱以一定精度拟合目标谱。首先，构造一种用于校正的增量加速度小波函数，该函数具有两个特点：①在反应谱的某个固定控制周期点处，对该函数进行时移和线性调幅处理后，将其叠加在初始地震动时程上，所得地震动时程在该控制周期点处的反应谱值与目标值精确相等；②由该函数积分得到的增量速度和增量位移曲线不出现基线漂移，从而保证将其叠加在初始地震动上不会产生附加的基线漂移。其次，基于该小波函数，提出迭代调整方法，以消除反应谱不同控制周期点之间的耦合效应，实现对整个目标谱的拟合。数值算例表明，该方法合成的地震动时程不仅能够以较高的精度拟合目标谱，而且能够保留初始天然地震动的基本特征，从而能够确保结构地震反应分析结果的合理性与可靠性。此外，该方法具有较快的收敛速度，能够通过有限几步迭代调整实现较高的拟合精度。关键词：抗震设计；结构地震反应；反应谱；时程分析；地震动合成中图分类号：P315．9
文献标识码：A
文章编号：1000-
131X （2014）01-0070-12Matching method of ground-motion response spectrum based
on the wavelet function
Zhang Yushan
Zhao Fengxin
（China Earthquake Disaster Prevention Center ，Beijing100029，China ）
Abstract ：An improved wavelet-based spectral matching method is proposed to modify given ground motion to make its response spectrum match the target spectrum more precisely．An incremental acceleration wavelet function is constructed with following two properties ：①at some controlling period of response spectrum ，after being time-shifted and linear-scaled ，the wavelet can be superimposed onto the initial ground motion to generate a new one whose spectrum is equal to the target value at this controlling period ；②the incremental velocity and displacement obtained by integrating the wavelet do not exhibit baseline drift ，thus there is no additional baseline drift when superimposing it onto the initial ground motion．Based on the wavelet ，an iterative modification method is proposed to eliminate the coupling effects among different controlling periods of response spectrum to realize the matching of whole target spectrum．Numerical results show that the ground motion synthesized by the method can not only match the target spectrum with relatively high precision ，but also retain the basic features of original natural ground motion ，so the rationality and reliability of analysis of structural dynamic responses can be ensured．In addition ，the proposed method can realize high matching precision with limited iterations．
Keywords ：aseismic design ；structural dynamic response ；response spectrum ；time-history analysis ；ground-motion synthesis
E-mail ：hyszhang@163．com
引言
各类重大工程结构的抗震设计，如核电厂中的I
类物项［1］、水电站中的重要雍水建筑［2］
、大型储液
罐［3］、
大跨度桥梁［4］、超高层建筑与隔震建筑［5］
、以及高耸构筑物［6］
等，
均需研究结构地震反应的全过程，从而全面地把握结构地震反应的特征，为更合理地进
行结构抗震设计提供依据。这就需要地震动时间过
程，即地震动时程，作为结构地震反应时程分析计算或试验模拟研究的输入。因此，合理地确定输入地震动时程，是确保结构地震反应分析结果合理性和可靠性的关键，也是地震工程重要的研究课题之一。在现阶段，设计地震动均以反应谱的形式给出，各类抗震
第47卷第1期张郁山等·基于小波函数的地震动反应谱拟合方法·71·
设计规范均规定了标准设计反应谱的形式［1-7］，而且重大工程场址的地震危险度也以反应谱的形式予以定义［8-9］。相应地，结构抗震设计规范也均以反应谱作为确定上述输入地震动时程的依据，通常要求地震动时程的反应谱按照一定精度拟合或包络目标设计地震动反应谱［1，9］。此外，在场地土层地震反应分析工作中，通常也要求输入基岩地震动按照一定精度拟合地震危险性计算所得到的基岩地震动反应谱［8］。综上所述，已知地震动反应谱，确定与其相应的地震动时程是地震工程理论研究和工程实践中的重要问题。
相对于确定已知地震动时程的反应谱问题，确定拟合目标反应谱的地震动时程是一个反演问题。在地震工程中，除了神经网络算法［10-11］和遗传算法［12］外，求解该类问题的主要方法是基于地震动频谱分析与结构动力学原理的拟合方法，即通过处理给定的初始地震动时程，使其反应谱按一定精度逼近目标反应谱。其中，给定的初始地震动时程可以按照一定的数值方法合成，该类方法通常利用基于随机振动理论得到的反应谱与功率谱［13-14］或渐进谱［15-17］之间的关系，或者利用基于结构动力学原理得到的反应谱与Fourier幅值谱之间的直接关系［18］，并且将相位［19］或相位差［20］假定为满足给定概率分布的随机变量，从而生成满足同一集系要求的一系列初始地震动时程，它们的反应谱在统计意义上与目标谱相符，通过对其进行进一步的调整，可以使其反应谱以一定精度拟合目标谱［15-16，19-20］。按照这类方法合成的地震动时程曲线通常在性态上与实际天然地震动存在一定差异［21］，从而影响结构地震反应分析结果的合理性，因此，美国核安全标准审查大纲（SＲP-3．7．1）已明确禁止将该方法合成的地震动时程用于核安全结构的抗震设计［9］，其替代的方法是将实际天然地震动记录作为初始时程，通过对其调整使其满足拟合目标设计反应谱的要求［9］。
调整初始时程使其拟合目标反应谱的方法主要是通过在初始时程上叠加一系列满足一定条件的增量（或校正）时程，通过迭代运算最终获得拟合目标谱的设计地震动时程［15-16，19-20，22-36］。最初的频域调整方法［19］实际上是在初始时程上叠加一系列窄带波包，而且这些窄带波包的相位在调整过程中保持不变。胡聿贤［22］等对该方法进行了改进，考虑Fourier分量对线性单自由度（SDOF）结构最大反应贡献的正负，并针对顽固点提出了相位修正的方法；在此基础上，蔡长青［23］等提出了叠加增量简谐波的时域叠加法和反应谱整体逼近方法；而李海山［24］等则提出了基于相位余弦分区的叠加增量简谐波的拟合方法；赵凤新［25］等利用频域反演方法获得了时域增量窄带波包，提高了迭代调整的收敛速度和拟合精度，而且该方法还被应用于合成拟合多目标工程参数的地震动时程［26-28］。小波变换方法［15-16，29-33］则是利用小波变换将给定初始时程分解为一些列小波分量，通过调整小波分量的幅值，使得时程的反应谱逼近目标谱。该类方法类似于最初的基于Fourier变换的调整方法［19］，在调整过程中，各小波分量的相位同样保持不变；它们的不同之处在于，小波变换方法在不同控制点处所叠加的增量时程与初始时程的相应小波分量存在一定的比例关系，而不是与基于Fourier变换的谐波分量或窄带波包成比例关系。以上各类方法叠加的增量时程均是基于Fourier变换或小波变换分解初始地震动所得不同分量的线性组合，而另一类方法则是将SDOF体系脉冲响应函数作为增量时程，通过采用奇异值分解求解线性方程组［34-35］或采用经典方法求解非线性方程组［36］，确定反应谱不同控制点处增量脉冲响应函数的幅值，以得到需要叠加在初始时程上的增量时程，进而实现对目标谱的拟合。
在上述不同调整方法中，所叠加的增量时程均是加速度时程，在大部分情况下对其积分所得的增量速度和增量位移时程曲线会出现基线漂移［35］，从而导致最终所得设计地震动速度和位移曲线出现基线漂移［35］，进而影响结构地震反应分析结果的可靠性。通常可采用基线校正的方法消除漂移［15-16，28］，但是对最终结果进行校正［15-16］会影响对目标谱的拟合精度，而对中间结果进行校正［28］则会影响迭代运算的收敛速度。基于这种考虑，Hancock［35］等通过对增量加速度时程进行基线校正处理，消除了增量速度和增量位移的漂移，并进而提出了基于小波函数的反应谱拟合方法，其合成的设计地震动时程较好地保留了原始天然地震动的基本特性［35］，在实际工作中得到了较为广泛的应用。但该方法仍需采用奇异值分解算法求解增量小波函数的幅值，涉及到较为复杂的运算和一系列主观的控制参数；而且大部分情况下其假定，即在某一时程上叠加一幅值较小的增量时程不影响结构动力反应最大值出现的时刻，无法得到满足，从而影响该方法迭代收敛的速度以及对目标谱的拟合精度。
通过对上述反应谱拟合方法的回顾与总结，本文提出一种基于小波函数的拟合方法，该方法首先构造一种增量位移小波函数，对其进行微分、时移以及线性调幅处理后，得到所需的增量加速度小波函数，将其叠加在初始加速度时程上，通过迭代调整使得最终所得设计地震动的反应谱按一定精度拟合目标加速
·72·土木工程学报2014年
度反应谱。通过处理具有不同特性的天然地震动记
录，使其拟合给定的规范谱，验证了该方法不仅具有
较快的收敛速度和较高的拟合精度，而且其所得设计
地震动较好地保留了初始天然地震动的基本特征。
1小波函数的构造
在调整过程中，需要在初始地震动时程上叠加用
于调整的时间函数，以实现对目标谱的拟合，本文将
所叠加的函数或时程称为增量函数或增量时程。与
文献［35］的构造方法不同，本文方法首先构造增量位
移小波函数，然后对其微分两次得到需要叠加在初始
加速度时程上的增量加速度小波函数。这种方式无
需对该增量加速度函数进行基线校正，即可保证对初
始加速度时程调整过程中所叠加的所有增量时程不
出现漂移，从而使得最终所得设计地震动时程的速度
与位移不会出现由于校正而附加的基线漂移；也就是
说，如果初始地震动不存在基线漂移，那么利用本文
方法对其调整后所得地震动也不会出现基线漂移。
具体地，按照式（1）构造所需的增量小波函数
Δd（t）=ψ（t－t0）sin［2πf（t－t0）］
Δv（t）=d
d t
Δd（t）
Δa（t）=d2
d t2
Δd（t）
（1）
式中：f为所构造小波函数的中心频率；t
控制该小波函数的在时间轴上的位置；Δd（t）、Δv（t）、Δa（t）分别为增量位移、增量速度和增量加速度小波函数，将Δa（t）叠加在初始加速度时程上，意味着在初始速度和初始位移时程上分别叠加了Δv（t）和Δd（t）。在式（1）中，
ψ（t）=
exp（－t2/c
1
）t≤0
exp（－t2/c
2
）t＞{
c 1=－
（t
－t
1
）2
lnε
，c
2
=－
（t
2
－t
）2
lnε
（2）
式中：ε一般可取10－6；t
1和t
2
限定了增量小波函数的
有效区间。该有效区间越大，由于共振效应，拟合某一控制点处目标谱所需叠加的增量小波函数的幅值越小，迭代收敛速度越快，但对原始地震动曲线影响
的范围也就越大。根据大量数值算例的总结，t
1和t
2
的取值可分别为t
0－n
1
T
n
和t
+n
2
T
n
，其中，T
n
为反应
谱的控制周期，根据实际情况，n
1
的取值范围可为5
10，n
2
的取值范围可为2 5。
图1给出了由式（1）确定的增量小波函数曲线，
其中f=1．0Hz，t
0=10．0s、t
1
=2．0s、t
2
=18．0s。在时
刻t
处，加速度和位移值均为零，而速度则达到最大
值；在小波函数的有效区间之外，即t＜t
1
和t＞t
2
，
增量位移小波函数的值均小于ε（=10－6）。最终叠加
到初始加速度时程上的增量时程为Δa（t），根据图1
可知，由其积分得到的速度和位移的增量均不会出现
漂移，这就保证了通过叠加增量时程Δa（t）对初始加
速度时程进行调整不会引起附加的基线漂移
。
图1用于调整初始地震动的增量小波函数
Fig．1Incremental wavelet for modifying initial ground motion
2调整方法
在本文提出的调整方法中，每一个调整子步骤都
是针对某一反应谱的控制周期点，通过叠加增量小波
函数，使得地震动时程在该控制点处的反应谱值与目
标值精确相等。设在某一调整子步骤前，地震动时程
记为a
g0
（t），该调整子步骤对应的目标反应谱的控制
周期为T
n
，目标谱值为S
T
（T
n
，ζ），ζ为阻尼比，则该调
整子步骤的具体算法为：
子步骤-1：构造一线性SDOF振子，其有阻尼自振
周期为T
n
，阻尼比为ζ，在地震作用前，振子保持静止
状态。则初始地震动时程a
g0
（t）引起的该振子的绝对
加速度反应a
a0
（t）可表示为：
a
a0
（t）=ω
d∫
t
a
g0
（τ）e－ζω（t－τ）?
第47卷第1期
张郁山等·基于小波函数的地震动反应谱拟合方法·73·
1－ζ2
1－ζ(
)
2sin ωd
（t －τ）+2ζ1－ζ
槡2cos ωd （t －τ[]
）d τ（3）
其中
ωd =
2π
T n
，ω=ωd 1－ζ槡
2（4）
|a a0（t ）|最大值出现的时刻记为t m ，g ，因此，a g0（t ）在控制周期T n 处反应谱的值为：
S a0（T n ，ζ）=
a a0（t m ，g ）
（5）与目标谱之差为：ΔS （T n ，ζ）=S T （T n ，ζ）－S a0（T n ，ζ）（6）
子步骤-2：参照式（1），构造初始增量加速度小波
函数
Δa g '（t ）=d 2
d t
2Δd g '（t ）
（7）
其中
Δd g '（t ）=ψ（t －t 0）sin ［
2πf （t －t 0）］（8）f =1
T n
，t 0=t m ，g
（9）函数ψ（t ）的定义见式（2）。
子步骤-3：计算Δa g '（t ）引起的上述SDOF 振子的绝对加速度反应Δa a '（t ）
Δa a '（t ）=ωd ∫
t
Δa g '（τ）e －ζω（t －τ）
?
1－ζ2
1－ζ(
)
2sin ωd （t －τ）+2ζ1－ζ槡
2cos ωd （t －τ[]
）d τ（10）
Δa a '（t ）最大值出现的时刻记为t m ，Δ。
子步骤-4：为了使得增量小波函数引起的结构最大反应出现的时刻等于子步骤-1中的时刻t m ，g ，
并使得其产生的结构最大反应等于式（6）确定的ΔS （T n ，ζ），需要对式（7）确定的初始增量小波函数进行时移处理，并对其进行线性调幅（即将该函数乘以某一特定系数），即
Δa g （t ）=
ΔS （T n ，
ζ）Δa a '（t m ，Δ
）Δa g '（t －Δt ）（11）
Δt =t m ，g －t m ，Δ
（12）按照式（11）确定的Δa g （t ）引起的结构最大反应为ΔS （T n ，ζ），其出现时刻为t m ，g ，
与初始时程a g0（t ）的绝对加速度反应a a0（t ）最大绝对值的出现时刻相同。
子步骤-5：将Δa g （t ）叠加在初始时程a g0（t ）上得到经上述子步骤调整后的时程a g1（t ）=a g0（t ）+sgn ［a a0（t m ，g ）］Δa g （t ）（13）其中，
sgn （x ）为符号函数sgn （x ）=
1
x ＞0－1
x ＜{0
（14）
经式（13）调整后，
a g1（t ）引起的结构反应a a1（t ）在时刻t m ，g 的绝对值与目标谱值S T （T n ，ζ）精确相等。上述子步骤-1 子步骤-5对初始地震动a g0（t ）的调整可用算子P T n ，ζ简化表示，
即a g1（t ）=P T n ，ζ［
a g0（t ）］（15）
式（15）表示在拟合控制周期为T n 的目标谱（阻尼比为ζ）时对初始地震动所做的调整。
下面以一实例说明上述调整步骤。初始地震动
加速度时程a g0（t ）为El-Centro 波的南北分量，其相关的参数见表1，其波形如图2（a ）所示。设反应谱的控
制点周期T n =1．0s ，阻尼比ζ=0．05，目标谱值S T （1．0，0．05）=0．4g （1．0g =980cm /s 2）。利用式（3），采用数值计算方法可计算出初始时程a g0（t ）引起的自
振周期为1．0s 、
阻尼比为0．05的线性SDOF 体系的绝对加速度反应a a0（t ），如图2（b ）所示。可以看出，
a a0（t ）的最大值，即a g0（t ）的反应谱，S a0=0．27g ，与目标谱之差ΔS
=S T －S a0=0．13g ，其出现时刻t m ，g =12．67s 。
图2初始加速度及其引起的线性SDOF 结构绝对加速度反应Fig．2
Initial acceleration and its induced absolute acceleration
response of linear SDOF system
将T n 、t m ，g 代入式（7） 式（9）可得初始增量小波
函数Δa g '（t ），其波形如图3（a ）中点线所示，其引起的结构反应Δa a '（t ）由式（10）计算，
波形如图3（b ）中点线所示。可以看出，Δa a '（t ）最大值出现时刻t m ，Δ=14．65s ，由式（12）可得Δt =t m ，g －t m ，Δ=－1．98s ，因此，需要将时程Δa g '（t ）向后平移1．98s ，使得时刻t m ，Δ与t m ，g 重合，平移后所得函数Δa g '（t －Δt ）的波形如图3（a ）中实线所示，其结构反应曲线如图3（b ）中
·74·土木工程学报2014年
表1本文所用强震观测记录的基本信息
Table1Fundamental information on the strong-motion observation recordings used in this paper
地震台站震级震中距（km）分量1940年5月19日美国Imperial Valley地震El-Centro7．013．0南北1999年9月21日中国台湾集集地震TCU0527．639．6南北
2008年5月12日中国汶川地震安县塔水8．0102．2
东西
实线所示。可以看出，此时结构反应最大绝对值出现的时刻与t
m，g
重合。
将Δa
g '（t－Δt）利用式（11）线性调幅之后，再按
照式（13）叠加在初始时程上，得到时程a
g1
（t），如图
4（a）中实线所示，其中点线为初始时程a
g0
（t）。为了
更为清楚，图中仅给出了上述调整影响范围内二者之
间比较。它们的结构反应曲线分别如图4（b）中的实
线和点线所示。可以看出，尽管上述调整对原始波形
影响很小，如图4（a）所示，但经调整后所得地震动时
程引起的结构最大反应与目标值精确相等，如图4（b）
所示。
以上讨论了本文方法对目标谱单独控制周期点
的拟合。根据动力学原理，拟合某一控制周期点处目
标谱所叠加的小波函数将会对地震动时程在相邻周
期点处的反应谱值产生影响，从而影响相邻控制点的
拟合精度，这即是反应谱拟合过程中不同控制点之间
的耦合效应。这种耦合效应可以通过迭代的方法予
以减轻。设给定的目标反应谱为S
T
（T，ζ），其离散控
制周期点为T
n
（n=1，2，…，N，N为控制周期点总数）；
初始地震动时程为a
g，0
（t），它可以采用数值方法合
成［16，20］，也可以从强震观测数据库中选取［9，21］。本文
提出的基于小波函数的反应谱拟合方法可归纳如下：
（1）第i次迭代调整后，所得地震动时程记为
a
g，i
（t），其中i=0即对应初始时程a
g，0
（t）。
（2）针对第i次迭代（i=1，2，…），首先，令
a
g，i
（t）=a
g，i－1
（t）（16）
其次，针对每个控制周期点T
n
（n=1，2，…，N），
依次利用子步骤-1 子步骤-5对a
g，i
（t）进行调整，即
a
g，i
（t）=P
T n，ζ
［a
g，i
（t）］，n=1，2，…，N（17）
计算所得时程a
g，i
（t）的反应谱
S
a，i
（T
n
，ζ）=ω
d∫
t
a
g，i
（τ）e－ζω（t－τ）?
1－ζ
2
1－ζ
()2sinωd（t－τ）+2ζ
1－ζ
槡2
cosω
d
（t－τ
[]）dτ
max
（18）
及其与目标谱的相对误差
e
r
（T
n
，ζ）=
S
T
（T
n
，ζ）－S
a，i
（T
n
，ζ）
S
T
（T
n
，ζ）
（19）
（3）如果上述相对误差满足预先设定的精度要
求，比如其最大绝对值e
r max
小于精度控制参数ε
p
（通常可取5%［8］），则所得a
g，i
（t）即为最终地震动时
第47卷第1期张郁山等·基于小波函数的地震动反应谱拟合方法·75·
程；否则令i =i +1，重复上述调整步骤（2），
直到满足精度要求为止。
需要指出的是，对目标谱拟合精度要求越高，所需迭代调整次数越多，对初始地震动时程基本特性的影响或改变就越大；如果实际工作中，要求不能对初始天然地震动时程的特性改变太大，那么就需要放松对目标谱拟合精度的要求。在实际工作中，应在这种矛盾中寻求一个合理的平衡点。
3算例
本文将通过处理实际天然地震动时程使其拟合目标规范谱，论证上述方法的收敛速度、拟合精度以及对初始天然地震动基本特性的改变程度。共选择3条具有不同特性的天然地震动记录，它们的基本信息如表1所示。目标反应谱依据我国《建筑抗震设计规
范》（GB 50011—2010）［5］第5．1．5条的规定，其中，峰值加速度取为0．2g ，特征周期为0．4s ，阻尼比为0．05，控制周期点总数为78个，大致均匀分布在0．03s 6．0s 之间的对数坐标轴上，目标谱如图5中实线所示
。
图5目标谱与调整前后地震动的反应谱
Fig．5
Target spectrum and the response spectra of
the pre-and post-modification ground motions
El-Centro 波表现出了典型的强地面运动加速度时程的特征，经基线校正后，原始El-Centro 波的加速度、速度和位移时程曲线如图6中实线所示，其反应谱如图5中虚线所示。利用本文方法对其调整后所得地震动加速度、速度和位移时程曲线如图6中点线所示，可以看出调整前后地震动整体特征变化不大，仅在10s 20s 区间增加了一较为显著的低频脉冲（在位移曲线中最为明显），这与原始地震动的反应谱在长周期部分（大于3．0s ）低于目标值有关，如图5所示。调整后时程的反应谱如图5中点线所示，其与目标谱之间的相对误差如图7所示，
可以看出相对误差的最大
值低于5%。本文所有算例收敛的准则均为由式（19）
定义的相对误差的最大绝对值低于5%。从图5、图7中可以看出，本文方法合成的设计地震动对目标谱具
有较高的拟合精度，能够满足实际工程的要求［8］
。图8给出了每一次迭代调整后所得时程的反应谱与目标谱相对误差最大值与迭代次数的关系，可以看出，针对该算例仅需9次迭代调整即可满足预先设定的精度要求，因此，本文算法具有较快的收敛速度，这也保证
·76·土木工程学报2014年
了迭代调整对原始天然地震动整体特性的影响较小，即所得最终设计地震动时程较好地保留了初始天然地震动的总体特征，如图6所示。为更进一步比较调整前后地震动基本特征的差异，下面给出调整前后地震动累积Arias 强度曲线的比较，如图9所示，其中累积Arias 强度定义为：
I A （t ）=π2g ∫
t 0
a 2
（τ）d τ
（20）
式中：g 为重力加速度。从图9中可以看出，
调整前后地震动时程能量累积过程非常相似
。
图8拟合精度与迭代次数之间的关系（El-Centro ）Fig．8
Ｒelationship between matching precision and iteration numbers （El-Centro
）
图9调整前后累积Arias 强度曲线比较（El-Centro ）Fig．9
Comparison of Arias intensity curves before and
after modification （El-Centro ）
由于震源破裂的方向性效应，在破裂传播方向上的近断层观测点记录到的地震动通常会出现显著的
速度脉冲。1999年中国台湾集集7．6级地震中，TCU052台站记录的地震动即表现出这种特征，对原始加速度记录进行基线校正后所得速度波形出现显著低频脉冲，与其相应，位移波形则出现显著的地面
永久位移，如图10（a ）所示。对其调整后所得地震动波形曲线如图10（b ）所示；调整前后地震动反应谱与目标谱的比较如图11所示，累积Arias
强度曲线比较
图10调整前后地震动时程曲线比较（TCU052）
Fig．10
Comparison of the ground-motion time history curves before and after modification （TCU052）
第47卷第1期张郁山等·基于小波函数的地震动反应谱拟合方法·77·
如图12所示，调整后地震动反应谱与目标谱之间的相
对误差如图13所示，
拟合误差与迭代次数之间的关系如图14所示。可以看出，仅需5次迭代，所得设计地
震动不仅能以较高精度拟合目标谱，而且也保留了原始天然地震动的主要特征，如低频速度脉冲特征和地面永久位移特征等，如图10、图12所示。由于原始地震动的反应谱在中、高频段（低于3．0s ）与目标谱相差较大，而在长周期段则比较接近，如图11所示，所以经调整后所得加速度和速度时程变化相对较大，而位移时程则变化很小，如图10所示。在2008年汶川8．0级地震中，由于断层破裂规模很大，不同破裂点辐射出的地震波到达观测点的时间不同，造成某些台站观测到的强地面运动加速度时程表现出特殊的强度非平稳特征：在高幅值强震平稳段后存在幅值相对较低、但持时很长的平稳段，如安县塔水（AXTS ）台得到的记录，如图15（a ）所示。
由于高
幅值平稳段会导致结构损伤而进入非线性工作状态，
进而在低幅值、长持时强震平稳段的作用下，由于低周疲劳效应，结构的损伤会进一步加剧甚至会引起结构最终倒塌，因此，这类特殊的非平稳特性是地震活动强烈地区实现工程结构“大震不倒”设防目标必须考虑的因素。以AXTS 加速度记录为初始时程，拟合目标规范谱所得结果如图15 图19所示。可以看出，针对该记录，仅需4次迭代即可达到设定的精度要求，即所得设计地震动时程的反应谱与目标谱相对误差的最大值低于5%；调整后所得加速度时程较好地保留了天然地震动的强度非平稳特性，而且速度、位移以及累积Arias 强度曲线相比原始天然地震动的变化也不是很大，如图15和图17所示
。
通过以上3个不同算例可以看出，
本文方法合成的设计地震动不仅能够以较高的精度拟合目标谱，而且能够最大限度地保留初始天然地震动的主要特征。此外该方法的收敛速度较快，通常仅需有限几步迭代
·78·土木工程学报2014年
图15调整前后地震动时程曲线比较（AXTS）
Fig．15Comparison of the ground-motion time history curves before and after modification（AXTS）
图16目标谱与调整前后地震动的反应谱比较（AXTS）
Fig．16Comparison of target spectrum and the response
spectra of the pre-and post-modification
ground motions（AXTS）
调整即可达到较高的精度要求，这不仅提高了计算效
率，而且能够保证对初始时程的调整不会对其主要特
征产生较大的影响，本文的算例均说明了这一点。
4结论
本文提出了一种改进的基于小波函数的地震动
反应谱拟合方法，该方法通过调整给定的初始地震动
时程，使其反应谱以一定精度拟合目标反应谱。首先，
第47卷第1期张郁山等·基于小波函数的地震动反应谱拟合方法·79
·
图19拟合精度与迭代次数之间的关系（AXTS）
Fig．19Ｒelationship between matching precision and
iteration numbers（AXTS）
构造一种位移小波函数，对其进行微分、时移和线性调幅处理，得到增量加速度小波函数，该函数积分所得增量速度和增量位移小波函数不存在基线漂移，因此，如果初始地震动速度和位移不存在基线漂移，那么将上述增量加速度小波函数叠加在初始加速度时程上，所得地震动的速度和位移也不会出现漂移。其次，在每个控制周期点处，通过叠加满足一定条件的上述增量加速度小波函数，可以使得所得地震动在该控制点处的反应谱值与目标值精确相等，而相邻控制点的相互影响则可以通过迭代的方式予以减轻。由于在各个控制点处所叠加的增量小波函数的中心频率与该控制点的频率相等，因此相比增量窄带波包方法［25-28］，本文方法在某一控制点叠加的增量小波函数对原始地震动在相邻控制点的反应谱值影响较小。也就是说，在本文方法中，相邻控制点之间的耦合效应较弱，因此该方法具有较快的收敛速度。此外，数值算例还表明，该方法合成的设计地震动时程不仅对目标反应谱具有较高的拟合精度，而且能够非常好地保留初始天然地震动的基本特征。
由于篇幅所限，本文仅讨论了拟合单阻尼目标谱的情况。而在实际工程中，主要是在核电厂结构的抗震设计工作中［1，9，26，28］，还需要合成同时拟合多阻尼目标谱的地震动时程。相比于单阻尼情况，多阻尼反应谱的拟合更为复杂，为加快计算的收敛速度，还需对迭代算法进行优化，而且还需要考虑其他一些计算细节，这已超出本文的范围，将会另文讨论。
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张郁山（1974-），男，博士，研究员。主要从事地震工程研究。赵凤新（1962-），男，博士，研究员。主要从事地震工程研究。
小波的几个术语及常见的小波基介绍
小波的几个术语及常见的小波基介绍 本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。 一、小波基选择标准 小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点： 1、支撑长度 小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。 这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。 2、对称性 具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。 3、消失矩 在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。
第4章_隶属函数的确定方法
第4章隶属函数的确定方法 在模糊理论的应用中，我们面临的首要问题就是建立模糊集的隶属函数。对于一个特定的模糊集来说，隶属函数不仅基本体现了它所反映的模糊概念的特性，而且通过量化还可以实现相应的数学运算和处理。因此，“正确地”确定隶属函数是应用模糊理论恰如其分地定量刻划模糊概念的基础，也是利用模糊方法解决各种实际问题的关键。 然而，建立一个能够恰如其分地描述模糊概念的隶属函数，并不是一件容易的事情。其原因就在于一个模糊概念所表现出来的模糊性通常是人对客观模糊现象的主观反映，隶属函数的形成过程基本上是人的心理过程，人的主观因素和心理因素的影响使得隶属函数的确定呈现出复杂性、多样性，也导致到目前为止如何确定隶属函数尚无定法，没有通用的定理或公式可以遵循。 但即便如此，鉴于隶属函数在模糊理论中的重要地位，确定隶属函数的方法还是受到了特别的重视，至今已经提出了十几种确定隶属函数的方法，而且其中一些方法基本上摆脱了人的主观因素的影响。本章将选择4种经常使用的、具有代表性的方法予以介绍，它们是：直觉方法，二元对比排序法，模糊统计试验法，最小模糊度法。 4.1 直觉方法 直觉的方法就是人们用自己对模糊概念的认识和理解，或者人们对模糊概念的普遍认同来建立隶属函 例1、“正好”、“热”和“很热” 图1 空气温度的隶属函数 例2根据人们对汽车行驶速度中“慢速”、“中速”和“快速”这三个概念的普遍认同，可以给出描
图2 汽车行驶速度的隶属函数 虽然直觉的方法非常简单，也很直观，但它却包含着对象的背景、环境以及语义上的有关知识，也包含了对这些知识的语言学描述。因此，对于同一个模糊概念，不同的背景、不同的人可能会建立出不完全相同的隶属函数。例如，模糊集A = “高个子”的隶属函数。如果论域是“成年男性”，其隶属函数的曲线如图3(a )所示；而如果论域是“初中一年级男生”，其隶属函数的曲线则为图3(b )所示的情形。 (a) (b) 图3 不同论域下“高个子”的隶属函数 4.2 二元对比排序法 建立一个模糊集的隶属函数，实际上可以看成是对论域中每个元素隶属于某个模糊概念的程度进行比较、排序。但一般来讲，人们对多个事物的同时比较存在着度量上的困难，为此Saaty 教授在设计层次分析法时提出了两两比较的策略。借鉴两两比较排序的思想，人们提出了确定隶属函数的二元对比排序法。 二元对比排序方法就是通过对多个事物进行两两对比来确定某种特征下的顺序，由此来决定这些事物对该特征的隶属函数的大致形状。这种方法更适用于根据事物的抽象性质由专家来确定隶属函数的情形，可以通过一名专家或者一个委员会，甚至一次民意测验来实施，是一种比较实用的确定隶属函数的方法。 二元对比排序方法的基本步骤如下：设X = {x , y , z , …} 为给定的论域。对于某一模糊概念A ，任取一
小波工具箱常用函数
1.Cwt :一维连续小波变换 格式：coefs=cwt(s,scales,'wavename') coefs=cwt(s,scales,'wavename','plot') scales:尺度向量，可以为离散值，表示为[a1,a2,a3……]，也可为连续值，表示为[amin:step:amax] 2.dwt:单尺度一维离散小波变换 格式：[ca,cd]=dwt(x,'wavename') [ca,cd]=dwt(x,lo-d,hi-d) 先利用小波滤波器指令wfilters求取分解用低通滤波器lo-d和高通滤波器hi-d。[lo-d,hi-d]=wfilters('haar','d');[ca,cd]=dwt(s,lo-d,hi-d) 3.idwt:单尺度一维离散小波逆变换 4.wfilters 格式：[lo-d,hi-d,lo-r,hi-r]=wfilters('wname') [f1,f2]=wfilters('wname','type') type=d(分解滤波器)、R(重构滤波器)、l(低通滤波器)、h(高通滤波器) 5.dwtmode 离散小波变换模式 格式：dwtmode dwtmode('mode') mode:zdp补零模式，sym对称延拓模式，spd平滑模式 6.wavedec多尺度一维小波分解 格式：[c,l]=wavedec(x,n,'wname') [c,l]=wavedec(x,n,lo-d,hi-d)
7.appcoef 提取一维小波变换低频系数 格式：A=appcoef(c,l,'wavename',N) A=appcoef(c,l,lo-d,hi-d,N) N是尺度，可省略例： loadleleccum; s=leleccum(1:2000) subplot(421) plot(s); title('原始信号') [c,l]=wavedec(s,3,'db1'); ca1=appcoef(c,l,'db1',1); subplot(445) plot(ca1); ylabel('ca1'); ca2=appcoef(c,l,'db1',2); subplot(4,8,17) plot(ca2); ylabel('ca2'); 8.detcoef 提取一维小波变换高频系数 格式：d=detcoef(c,l,N),N尺度的高频系数 d=detcoef(c,l,) 最后一尺度的高频系数 例：
小波变换的几个典型应用
第六章小波变换的几个典型应用 6.1 小波变换与信号处理 小波变换作为信号处理的一种手段，逐渐被越来越多领域的理论工作者和工程技术人员所重视和应用，并在许多应用中取得了显著的效果。同传统的处理方法相比，小波变换取得了质的飞跃，在信号处理方面具有更大的优势。比如小波变换可以用于电力负载信号的分析与处理，用于语音信号的分析、变换和综合，还可以检测噪声中的未知瞬态信号。本部分将举例说明。 6.1.1 小波变换在信号分析中的应用 [例6-1] 以含躁的三角波与正弦波的组合信号为例具体说如何利用小波分析来分析信号。已知信号的表达式为 应用db5小波对该信号进行7层分解。xiaobo0601.m 图6-1含躁的三角波与正弦波混合信号波形 分析： （1）在图6－2中，逼近信号a7是一个三角波。 （2）在图6－3中细节信号d1和d2是与噪声相关的，而d3（特别是d4）与正弦信号相关。 图6-2 小波分解后各层逼近信号 图6-3 小波分解后各层细节信号 6.1.2 小波变换在信号降躁和压缩中的应用 一、信号降躁 1．工程中，有用信号一般是一些比较平稳的信号，噪声通常表现为高频信号。2．消躁处理的方法：首先对信号进行小波分解，由于噪声信号多包含在具有较高频率的细节中，我们可以利用门限、阈值等形式对分解所得的小波系数进行处理，然后对信号进行小波重构即可达到对信号的消躁目的。 小波分析进行消躁处理的3种方法： （1）默认阈值消躁处理。该方法利用ddencmp生成信号的默认阈值，然后利用wdencmp函数进行消躁处理。 （2）给定阈值消躁处理。在实际的消躁处理过程中，阈值往往可通过经验公式获得，且这种阈值比默认阈值的可信度高。在进行阈值量化处理时可利用函数wthresh。 （3）强制消躁处理。该方法时将小波分解结构中的高频系数全部置为0，即滤掉所有高频部分，然后对信号进行小波重构。方法简单，消躁后信号比较平滑，但易丢失信号中的有用成分。 小波阈值去噪方法是目前应用最为广泛的小波去噪方法之一。 3．信号降噪的准则： 1．光滑性：在大部分情况下，降噪后的信号应该至少和原信号具有同等的光滑性。
研究生《小波理论及应用》复习题
2005年研究生《小波理论及应用》复习题 1． 利用正交小波基建立的采样定理适合于：紧支集且有奇性（函数本身或其导数不连续）的函数（频谱无限的函数）。Shannon 采样定理适合于频谱有限的信号。 2． 信号的突变点在小波变换域常对于小波变换系数模极值点或过零点。并且信号奇异性大小同小波变换的极值随尺度的变化规律相对立。只有在适当尺度下各突变点引起的小波变化才能避免交迭干扰，可以用于信号的去噪、奇异性检测、图象也缘提取、数据压缩等。 3． 信号在一点的李氏指数表征了该点的奇异性大小，α越大，该点的光滑性越小，α越小，该点的奇异性越大。光滑点（可导）时，它的1≥α；如果是脉冲函数，1-=α；白噪声时0≤α。 4． 做出三级尺度下正交小波包变换的二进数图，小波包分解过程？说明小波基与小波包基的区别？ 5． 最优小波包基的概念：给定一个序列的代价函数，然后在小波包基中寻找使代价函数最小的基――最优基。 6． 双通道多采样率滤波器组的传递函数为： ()()()()()()()()()()()()()z X z G z G z H z H z X z G z G z H z H z Y z Y z Y -??????-++??????+=+=∧∧∧∧212121请根据此式给出理想重建条件： 为了消除映象()z X -引起的混迭：()()()()0=-+-∧ ∧z G z G z H z H
为了使()z Y 成为()z X 的延迟，要求：()()()()k CZ z G z G z H z H -∧∧=+ （C,K 为任一常数） 7． 正交镜像对称滤波器()()n h n g ,的()jw e G 与()jw e H 以2π=w 为轴左右对称。如果知道QMF 的()n h ，能否确定()()()n h n g n g ∧ ∧,,？ ()()()n h n g n 1-= ，()()()n g n h n 1--=∧ ， ()()()n h n g n 1-=∧ 8． 试列出几种常用的连续的小波基函数 Morlet 小波，Marr 小波，Difference of Gaussian （DOG ），紧支集样条小波 9． 试简述海森堡测不准原理，说明应用意义？ 10． 从连续小波变换到离散小波变换到离散小波框架－双正交小波变换－正交变换、紧支集正交小波变换，其最大的特点是追求变换系数的信息冗余小，含有的信息量越集中。 11． 解释紧支集、双正交、正交小波、紧支集正交小波、光滑性、奇异性。 12． 已知共轭正交滤波器组（CQF ）()n h 请列出()()()n g n h n g ∧ ∧,,。 ()()() ()()()()()()???????-=--=-=---=∧∧n h n N g n g n N h n h n N h n g n n 11 13． 共轭正交滤波器()()n g n h ,的()jw e G 与()jw e H 的关系与QMF 情况
小波变换函数(自己总结)
2.1小波分析中的通用函数 1 biorfilt双正交小波滤波器组 2 centfrg计算小波中心频率 3 dyaddown二元取样 4 dyadup二元插值 5 wavefun小波函数和尺度函数 6 wavefun2二维小波函数和尺度函数 7 intwave积分小波函数fai 8 orthfilt正交小波滤波器组 9 qmf镜像二次滤波器（QMF） 10 scal2frg频率尺度函数 11 wfilters小波滤波器 12 wavemngr小波管理 13 waveinfo显示小波函数的信息 14 wmaxlev计算小波分解的最大尺度 15 deblankl把字符串变成无空格的小写字符串 16 errargn检查函数参数目录 17 errargt检查函数的参数类型 18 num2mstr最大精度地把数字转化成为字符串 19 wcodemat对矩阵进行量化编码 20 wcommon寻找公共元素 21 wkeep提取向量或矩阵中的一部分 22 wrev向量逆序 23 wextend向量或矩阵的延拓 24 wtbxmngr小波工具箱管理器 25 nstdfft非标准一维快速傅里叶变换（FFT） 26 instdfft非标准一维快速逆傅里叶变换 27 std计算标准差 2.2小波函数 1 biorwavf双正交样条小波滤波器 2 cgauwavf复Gaussian小波 3 cmorwavf复Morlet小波 4 coifwavf Coiflet小波滤波器 5 dbaux Daubechies小波滤波器 6 dbwavf Daubechies小波滤波器 7 fbspwavf频率分布B-Spline小波 8 gauswavf Gaussian小波 9 mexihat墨西哥小帽函数 10 meyer meyer小波11 meyeraux meyer小波辅助函数 12 morlet Morlet小波 13 rbiowavf反双正交样条小波滤波器 14 shanwavf 复shannon小波 15 symaux计算Symlet小波滤波器 16 symwavf Symlets小波滤波器 2.3一维连续小波变换 1 cwt一维连续小波变换 2 pat2cwav从一个原始图样中构建一个小波函数 2.4一维离散小波变换 1 dwt但尺度一维离散小波变换 2 dwtmode离散小波变换拓展模式 3 idwt单尺度一位离散小波逆变换 4 wavedec多尺度一维小波分解（一维多分辨率分析函数） 5 appcoef提取一维小波变换低频系数 6 detcoef提取一维小波变换高频系数 7 waverec多尺度一维小波重构 8 upwlex单尺度一维小波分解的重构 9 wrcoef对一维小波系数进行单支重构 10 upcoef一维系数的直接小波重构 11 wenergy显示小波或小波包分解的能量 2.5二维离散小波变换 1 dwt2单尺度二维离散小波变换 2 idwt2单尺度逆二维离散小波变换 3 wavedec2多尺度二维小波分解（二维分辨率分析函数） 4 waverec2多尺度二维小波重构 5 appcoef2提取二维小波分解低频系数 6 detcoef2提取二维小波分解高频系数 7 upwlev2二维小波分解的单尺度重构 8 wrcoef2对二维小波系数进行单支重构 9 upcoef二维小波分解的直接重构 2.6离散平稳小波变换 1 swt一维离散平稳小波变换 2 iswt一维离散平稳小波逆变换 3 swt2二维离散平稳小波变换 4 iswt2二维离散平稳小波逆变换
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科技文献检索作业 卷 试 料 小波分析及其应用 测控技术1103 雷创新
小波分析及其应用 1.小波分析的概念和特点 1.1小波理论的发展概况 20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪 数学领域中研究的重要杰出成果之一。小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。 小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。在今后数年中，小波理论将成为科技工作者经常使用的又一锐利数学工具，极大地促进科技进步及各个领域工程应用的新发展。 小波分析的概念最早是在1974年由法国地质物理学家 J.Morlet提出的，并通过物理直观和信号处理的实际经验建立了反
五种常见小波基函数及其matlab实现
与标准的傅里叶变换相比，小波分析中使用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数 具有多样性。小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题就是最优小波基的选择问题，因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前我们主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，由此决定小波基。常用小波基有Haar 小波、Daubechies(dbN)小波、Mexican Hat(mexh)小波、Morlet 小波、Meyer 小波等。 Haar 小波 Haar 函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简单的一个小波函数，它是支撑域在[0,1]∈t 范围内的单个矩形波。Haar 函数 的定义如下： 1 021121(t)-1 t t ≤≤≤≤ψ=?????其他 Haar 小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。但它也有自己的优点: 1. 计算简单。 2. (t)ψ不但与j (t)[j z]2ψ∈正交，而且与自己的整数位移正交，因此， 在2j a =的多分辨率系统中，Haar 小波构成一组最简单的正交归一的 小波族。 ()t ψ的傅里叶变换是： 2/24=sin ()j e a ψ-ΩΩ ΩΩ（）j Haar 小波的时域和频域波形
Daubechies(dbN)小波 Daubechies 小波是世界著名的小波分析学者Inrid ·Daubechies 构造的小波函数，简写为dbN ，N 是小波的阶数。小波(t)ψ和尺度函数(t)φ中的支撑 区为12-N ，(t)ψ的消失矩为N 。除1=N （Harr 小波）外，dbN 不具有
隶属函数确定方法探讨
隶属函数确定方法探讨 袁 力,姜 琴 (郧阳师范高等专科学校,湖北丹江口442700) [摘 要]隶属函数描述了研究对象对于某模糊子集的隶属程度,是模糊数学最显著的特征,也是模糊数学应用中最关键的参量.隶属函数有很多不同的确定方法,确定过程中又有很多人为的技巧.文中就隶属函数的一般确定方法以及其它确定方法进行了探讨. [关键词]模糊;隶属函数;隶属度 [中图分类号]TP391.4 [文献标识码]A [文章编号]1008—6072(2009)06—0044—03 1 引言 模糊集理论由Zadeh首次提出后,得到了迅速的发展,并广泛应用于控制系统、人工智能、数据挖掘、模式识别等领域.在应用模糊集理论时,一个不容忽视的问题就是隶属函数的构建,它是正确运用该模糊集理论的关键所在. 隶属函数是模糊数学最显著的特征,它描述了事物的不确定性,加上其值域与概率密度函数的值域相同,使人容易将两者混淆.虽然两者都研究不确定性,但却有着本质的区别.概率论研究的是事物出现与否所表现的不确定性,而事物本身的含义十分明确.比如某市车祸的概率,车祸本身没有什么不明确,只是它发生的频数是个不确定的数,但徘徊在某一数值的左右.然而模糊数学所研究的不确定性则是事物本身.这种事物被说成是甲还是乙,有时到了模棱两可的地步,最后只能说它是甲的程度是多少,是乙的可能性是多少,即这一事物是否符合某一概念没有明确的界限,仅用隶属度对符合的程度进行度量. 隶属函数的确定有很多方法,可以通过模糊统计,可以通过推理,可以采用二元对比排序的方法,可以通过“学习”逐步修改、调整和完善,也可以采用典型的隶属函数作为近似[1].确定的过程是客观的,但期间又可以加上人为的技巧. 2 常见的方法 2.1 模糊统计法 概率统计是通过大量随机试验确定某事物发生的概 率,如食物A在n次试验中出现了k次,则A事物出现的概率表示为: P A=Lim N→∞ k n (1) 一般在n足够大时,P A值稳定于[0,1]中某一个数 值,从而得到A发生的概率. 模糊统计在形式上类似于概率统计,并且都是用确定性手段研究不确定性.但两者属于不同的数学模型,它们有如下的重要区别. 随机试验最基本的要求是:在每次试验中,事件A发生(或不发生)必须是确定的.在各次试验中,A是确定的,基本空间Ω中的元素ω是随机变动的.做n次试验,计算A发生的频率= “ω∈A”的次数 n (2) 随着n增大,通常会表现出频率稳定性.频率稳定所在的那个数,叫做在某种条件下的概率. 模糊统计试验的基本要求[2]是:要对论域上固定的元 μ 0是否属于论域上一个可变动的普通集合A3(A3作为模糊集A的弹性疆域),作一个确切的判断.这要求在每次试验中,A3必须是一个取定的普通集合.在各次试验中,μ0是固定的,而A3在随机变动,做n次试验,计算μ0对A的隶属频率=“ μ 0∈A3”的次数 n (3) 随着n的增大,隶属频率也会呈现稳定性.频率稳定值就叫做μ0对A的隶属度. 在进行模糊统计试验时,必须遵循一个原则:被调查的对象一定要对模糊词汇的概念熟悉并有用数量近似表达这一概念的能力;对原始数据要进行初步分析,删去明 2009年12月郧阳师范高等专科学校学报Dec.2009第29卷第6期Journal of Yunyang Teachers College Vol.29No.6 3 33[收稿日期]2009-08-10 [作者简介]袁 力(1977-),男,湖北丹江口人,郧阳师范高等专科学校数学系讲师,硕士,主要从事统计与金融数 学方面的研究. YYSZXB44
第五章 小波变换基本原理
第五章 小波变换基本原理 问题 ①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ —尺度 ②小波发展史 ③小波变换与短时傅里叶变换比较 a ．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT （要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法 多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies 正交小波构造 MRA 的滤波器实现 ⑤小波的历史地位仍不如FT ，并不是万能的 5.1 连续小波变换 一．CWT 与时频分析 1.概念：? +∞ ∞ --ψ= dt a b t t S a b a CWT )( *)(1),( 2.小波变换与STFT 用于时频分析的区别 小波 构造？ 1910 Harr 小波 80年代初兴起 Meyer —小波解析形式 80年代末 Mallat 多分辨率分析—WT 无须尺度和小波函数—滤波器组实现 90年代初 Daubechies 正交小波变换 90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换
3.WT 与STFT 对比举例（Fig 5–6, Fig 5–7） 二．WT 几个注意的问题 1.WT 与)(t ψ选择有关 — 应用信号分析还是信号复原 2.母小波)(t ψ必须满足容许性条件 ∞<ψ=? ∞ +∞ -ψdw w w C 2 )( ①隐含要求 )(,0)0(t ψ=ψ即具有带通特性 ②利用ψC 可推出反变换表达式 ??+∞∞-+∞ ∞-ψ -ψ= dadb a b t b a CWT a C t S )(),(11 )(2 3.CWT 高度冗余（与CSTFT 相似） 4.二进小波变换（对平移量b 和尺度进行离散化） )2(2)()(1 )(2 ,22,,n t t a b t a t n b a m m n m b a m m -ψ=ψ?-ψ= ??==--ψ dt t t S n CWT d n m m m n m )(*)()2,2(,,?+∞ ∞ ---ψ=?= 5.小波变换具有时移不变性 ) ,()() ,()(00b b a C W T b t S b a C W T t S -?-? 6.用小波重构信号 ∑ ∑∑∑+∞ -∞=+∞-∞ =+∞ -∞=+∞ -∞ =ψψ= m n m n n m n m n m n m t d t d t S )(?)(?)(,,,,正交小波 中心问题：如何构建对偶框架{} n m ,?ψ
《小波分析及其应用》word版
现代数字信号处理作业 小波分析及其应用 电研111 梁帅
小波分析及其应用 1.小波分析的概念和特点 1.1小波理论的发展概况 20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪数学领域中研究的重要杰出成果之一。小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。 小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。在今后数年中，小波理论将成为科技工作者经常使用的又一锐利数学工具，极大地促进科技进步及各个领域工程应用的新发展。 小波分析的概念最早是在1974年由法国地质物理学家J.Morlet提出的，并通过物理直观和信号处理的实际经验建立了反演公示，但当时该理论未能得到数学家的认可。1986年法国数学家YMcyer偶尔构造出一个真正的小波基，并与
小波变换及其应用_李世雄
现代数学讲座 小波变换及其应用 李世雄 (安徽大学数学系 合肥 230039) 科学技术的迅速发展使人类进入了信息时代。在信息社会中人们在各种领域中都会涉及各种信号(语音,音乐,图像,金融数据,……)的分析、加工、识别、传输和存储等问题。长期以来,傅里叶变换一直是处理这方面问题最重要的工具,并且已经发展了一套内容非常丰富并在许多实际问题中行之有效的方法。但是,用傅里叶变换分析处理信号的方法也存在着一定的局限性与弱点,傅里叶变换提供了信号在频率域上的详细特征,但却把时间域上的特征完全丢失了。小波变换是80年代后期发展起来的新数学分支,它是傅里叶变换的发展与扩充,在一定程度上克服了傅里叶变换的弱点与局限性。本文从信号分析与处理的角度来介绍小波变换的基本理论与应用,使具有微积分基础的读者通过本文能对这一新的数学分支有一初步了解。小波变换在函数论、微分方程、数值计算等方面也有着重要的应用,有兴趣的读者可参看[1][4]。 (一)从傅里叶变换谈起 数学中经常用变换这一技巧将问题由繁难化为简易,初等数学中用对数将较繁难的乘除法化为简易的加减法就是很典型的一个例子。而傅里叶变换(简称FT )则是利用积分将一个函数f (t )(-∞ 小波变换及应用 一． 为什么研究小波变换 傅立叶变换（Fourier Transform ，缩写为FT ）由下列公式定义： 正变换公式 ?()()i t f f t e dt ωω∞ --∞ =?? （1） 逆变换公式 ? ∞ ∞ -?= dt e f t f t i ωωπ )(?21 )( （2） 分析： 1．对于确定信号和平稳随机过程，傅立叶变换把时间域与频率域联系起来，许多在时域内难以看清的问题，在频域中往往表现得非常清楚。 2．变换积分核t i e ω±的幅值在任何情况下均为1，即1=±t i e ω，因此，频 谱)(?ωf 的任一频率点值是由时间过程)(t f 在整个时间域),(∞-∞上的贡献决定的；反之，过程)(t f 在某一时刻的状态也是由)(?ωf 在整个频率域),(∞-∞上的贡献决定的。)(t f 与)(?ωf 彼此之间是整体刻画，不能够反映各自在局部区域上的特征，因此不能用于局部分析。特别是傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳过程的突变成分。要知道所分析的信号在突变时刻的频率成分，傅立叶变换是无能为力的。 3．实际中存在许多信号具有局部时间范围（特别是突变时刻）内的信号特征（一般是频率成分），例如，在音乐和语音信号中，人们所关心的是什么时刻奏什么音符，发出什么样的音节；图像信号中的细节信息，如边缘特征。 4．为了对非平稳信号作较好的分析，可以对信号在时域上加一个窗函数 )(τ-t g ，使其对信号)(t f 进行乘积运算以实现在τ附近的开窗，再对加窗的信 号进行傅立叶分析，这就是短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform, 缩写为STFT ），或者称为加窗傅立叶变换（Windowed Fourier Transform ）。STFT 定义如下： (,)()()i t f S f t g t e dt ωωττ∞ --∞ =-? （3） 隶属函数确定问题 一、隶属函数的确定原则 1、表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合； 即：在一定范围内或者一定条件下，模糊概念的隶属度具有一定的稳定性；从最大的隶属度函点出发向两边延伸时，其隶属度是单调递减的，而不许有波浪性，呈单峰；一般用三角形和梯形作为隶属度函数曲线。 2、变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的 模糊变量的标值选择一般取3-9个为宜，通常取奇数（平衡），在“零”“适中”等集合的两边语言值通常取对称。 3、隶属度函数要避免不恰当的重复 在相同的论域上使用的具有语意顺序的若干标称的模糊集合，应该合力排序。 4、论语中的每个点应该至少属于一个隶属度函数的区域，同时它一般应该属于之多不超过两个隶属度函数的区域。 5、对于同一输入，没有两个隶属度函数会同时有最大隶属度 6、对两个隶属度函数重叠时，重叠部分对于两个隶属度函数的最大隶属度不应该有交叉。 二、隶属度函数确定的方法 1、模糊统计法 模糊统计法的基本思想是对论域U上的一个确定元素v是否属于论 域上的一个可变的清晰集的判断。（清晰集、模糊集） 模糊统计法计算步骤： Step1 确定论域 Step2形成调查表 Step3统计成频数分布表 Step4建立隶属函数 Step5隶属度（由频数分布表或者隶属函数可得） 所谓模糊统计实验包含以下四个要素： 假设做n次模糊统计试验，则可计算出： 实际上，当n不断增大时，隶属频率趋于稳定，其频率的稳定值称为0x对A的隶属度，即 2、例证法例证法由已知的有限个隶属度函数的值，来估计论域U 上的模糊子集A的隶属函数。 3、专家经验法是根据专家的实际经验给出模糊信息的处理算式或 时间序列-小波分析 时间序列（Time Series ）是地学研究中经常遇到的问题。在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种基本形式。其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析（如Fourier 变换）虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。然而，地学中许多现象（如河川径流、地震波、暴雨、洪水等）随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及“多时间尺度”结构，具有多层次演变规律。对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要某一频段对应的时间信息，或某一时段的频域信息。显然，时域分析和频域分析对此均无能为力。 20世纪80年代初，由Morlet 提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析（Wavelet Analysis ）为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的揭示出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来发展趋势进行定性估计。 目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。 一、小波分析基本原理 1. 小波函数 小波分析的基本思想是用一簇小波函数系来表示或逼近某一信号或函数。因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数)R (L )t (2 ∈ψ且满足： ? +∞ ∞ -=0dt )t (ψ （1） 式中，)t (ψ为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系： )a b t ( a )t (2 /1b ,a -=-ψψ 其中，0a R,b a,≠∈ （2） 式中，)t (b ,a ψ为子小波；a 为尺度因子，反映小波的周期长度；b 为平移因子，反应时间上的平移。 第八章 小波分析及应用 8.1 引言 把函数分解成一系列简单基函数的表示，无论是在理论上，还是实际应用中都有重要意义。 1822年法国数学家傅里叶(J. Fourier 1768-1830)发表的研究热传导理论的“热的力学分析”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数理论的基础[1]。傅里叶级数理论研究的是把函数在三角函数系下的展开，使得对信号和系统的研究归结为对简单的三角函数的研究。傅里叶级数与傅里叶变换共同组成了平常所说的傅里叶分析[2]。傅里叶级数用于分析周期性的函数或分布，理论分析时经常假定周期是π2，定义如式(8.1-1)、(8.1-2) ()()π2,02 L x f ∈?，()∑∞ -∞ == k ikx k e c x f (8.1-1) 其中 ()dx e x f c ikx k -?=π π20 21 (8.1-2) 然而，被分析函数的性质并不能完整地由傅里叶系数来刻划，这里有一个例子来说明[3]：从任一个平方可和的函数)(x f 出发，为了得到一个连续函数)(x g ，只需或者增大f(x)的傅里叶系数的模，或者保持它不变并适当地改变系数的位相。因此，不可能仅根据傅里叶系数大小的阶就预知函数的性质（如大小、正则性）。 傅里叶变换的定义如式(8.1-3)、(8.1-4) ()()dx e x f F x j ωω? ∞∞ -= (8.1-3) ()()ωωπ ωd e F x f x j -∞∞-?= 21 (8.1-4) 通过引入广义函数或分布的概念，可获得奇异函数（如冲击函数）的傅里叶变换的存在。对于时域的常量函数，在频域将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局部化性质。由式(8.1-3)可知，为了得到()ωF ，必须有关于f(x)的过去和未来的所有知识，而且f(x)在时域局部值的变化会扩散到整个频域，也就是()ωF 的任意有限区域的信息都不足以确定任意小区域的f(x)。在时域，哈尔(Haar)基是一组具有最好的时域分辨能力的正交基，它在时域上是完全局部化的，但在频域的局部化却很不好，这是由于哈尔系的两个缺点：缺乏正则性与缺乏振动性。研究者们希望寻找关于空间变量（或时间变量）与频域变量都同时好的希尔伯特(Hilbert)基，R. Balian 认为：“在通讯理论中，人们对于在完全给定的时间内，把一个振动信号表示成由其中每一个都拥有足够确定的位置与有一个频率的小波的叠加这件事感兴趣。事实上，有用的信息常常同时被发射信号的频率与信号的时间结构（如音乐）所传递。当把一个信号表达成时间的函数时，其中的频谱表现并不好；相反地，信号的傅里分析却显示不了信号每一分量发射信号的瞬时与持续时 美国加利福尼亚大学控制论教授扎得（L、A、Zadeh）经过多年的琢磨，终于在1965年首先发表了题为《模糊集》的论文。指出：若对论域（研究的范围）U中的任一元素x，都有一个数A（x）∈[0，1]与之对应，则称A为U上的模糊集，A（x ）称为x对A的隶属度。当x在U中变动时，A（x）就是一个函数，称为A的隶属函数。隶属度A（x）越接近于1，表示x属于A的程度越高，A（x）越接近于0表示x属于A的程度越低。用取值于区间[0，1]的隶属函数A（x）表征x 属于A的程度高低，这样描述模糊性问题比起经典集合论更为合理。 隶属度属于模糊评价函数里的概念：模糊综合评价是对受多种因素影响的事物做出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法，其特点是评价结果不是绝对地肯定或否定，而是以一个模糊集合来表示。 隶属度函数及其确定方法分类 隶属度函数是模糊控制的应用基础,正确构造隶属度函数是能否用好模糊控制的关键之一。隶属度函数的确定过程,本质上说应该是客观的,但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异,因此,隶属度函数的确定又带有主观性。 隶属度函数的确立目前还没有一套成熟有效的方法,大多数系统的确立方法还停留在经验和实验的基础上。对于同一个模糊概念,不同的人会建立不完全相同的隶属度函数,尽管形式不完全相同,只要能反映同一模糊概念,在解决和处理实际模糊信息 的问题中仍然殊途同归。下面介绍几种常用的方法。 (1)模糊统计法： 模糊统计法的基本思想是对论域U上的一个确定元素vo是否属于论域上的一个可变动的清晰集合A3作出清晰的判断。对于不同的试验者,清晰集合A3可以有不同的边界,但它们都对应于同一个模糊集A。模糊统计法的计算步骤是:在每次统计中, v o是固定的,A3的值是可变的,作n次试验,其模糊统计可按下式进行计算v0对 A 的隶属频率= v0∈A 的次数/ 试验总次数n 随着n的增大,隶属频率也会趋向稳定,这个稳定值就是vo对A 的隶属度值。这种方法较直观地反映了模糊概念中的隶属程度,但其计算量相当大。 (2)例证法： 例证法的主要思想是从已知有限个μA的值,来估计论域U 上的模糊子集 A 的隶属函数。如论域U代表全体人类,A 是“高个子的人”。显然 A 是一个模糊子集。为了确定μA,先确定一个高度值h,然后选定几个语言真值(即一句话的真实程度)中的一个来回答某人是否算“高个子”。如语言真值可分为“真的”、“大致真的”、“似真似假”、“大致假的”和“假的”五种情况,并且分别用数字1、0.75、0.5、0.25、0来表示这些语言真值。对n个不同高度h1、h2、…、hn都作同样的询问,即可以得到 A 的隶属度函数的离散表示。 (3)专家经验法： 专家经验法是根据专家的实际经验给出模糊信息的处理算式或相应权系数值来 确定隶属函数的一种方法。在许多情况下,经常是初步确定粗略的隶属函数,然后再通过“学习”和实践检验逐步修改和完善,而实际效果正是检验和调整隶属函数的依据。 matlab小波分析工具箱常用函数 1.Cwt :一维连续小波变换 格式：coefs=cwt(s,scales,'wavename') coefs=cwt(s,scales,'wavename','plot') scales:尺度向量，可以为离散值，表示为[a1,a2,a3……]，也可为连续值，表示为[amin:step:amax] 2.dwt:单尺度一维离散小波变换 格式：[ca,cd]=dwt(x,'wavename') [ca,cd]=dwt(x,lo-d,hi-d) 先利用小波滤波器指令wfilters求取分解用低通滤波器lo-d和高通滤波器hi-d。 [lo-d,hi-d]=wfilters('haar','d');[ca,cd]=dwt(s,lo-d,hi-d) 3.idwt:单尺度一维离散小波逆变换 4.wfilters 格式：[lo-d,hi-d,lo-r,hi-r]=wfilters('wname') [f1,f2]=wfilters('wname','type') type=d(分解滤波器)、R(重构滤波器)、l(低通滤波器)、h(高通滤波器) 5.dwtmode 离散小波变换模式 格式：dwtmode dwtmode('mode') mode:zdp补零模式，sym对称延拓模式，spd平滑模式 6.wavedec多尺度一维小波分解 格式：[c,l]=wavedec(x,n,'wname') [c,l]=wavedec(x,n,lo-d,hi-d) 7.appcoef 提取一维小波变换低频系数 格式：A=appcoef(c,l,'wavename',N) A=appcoef(c,l,lo-d,hi-d,N) N是尺度，可省略 例： load leleccum; s=leleccum(1:2000) subplot(421) plot(s); title('原始信号') [c,l]=wavedec(s,3,'db1'); ca1=appcoef(c,l,'db1',1); subplot(445) plot(ca1); ylabel('ca1'); ca2=appcoef(c,l,'db1',2); subplot(4,8,17) plot(ca2); ylabel('ca2'); 8.detcoef 提取一维小波变换高频系数 格式：d=detcoef(c,l,N),N尺度的高频系数小波变换及应用
隶属函数确定问题
小波分析经典
小波分析及应用(附常用小波变换滤波器系数)
隶属函数及其确定方法
MATLAB小波分析工具箱常用函数