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1 电磁场与电磁波第一章习题答案

第一章 习题解答

1.2给定三个矢量A ,B ,C :

A =x a +2y a -3z a

B = -4y a +z a

C =5x a -2z a

求:⑴矢量A 的单位矢量A a ;

⑵矢量A 和B 的夹角AB θ;

⑶A ·B 和A ?B ⑷A ·(B ?C )和(A ?B )·C ;

⑸A ?(B ?C )和(A ?B )?C

解:⑴A a =A A

(x a +2y a -3z a )

1 电磁场与电磁波第一章习题答案

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⑵cos AB θ =A ·B /A B

AB θ=135.5o

⑶A ·B =-11, A ?B =-10x a -y a -4z a

⑷A ·(B ?C )=-42

(A ?B )·C =-42

⑸A ?(B ?C )=55x a -44y a -11z a (A ?B )?C =2x a -40y a +5z a

1.3有一个二维矢量场F(r) =x a (-y )+y a (x),求其矢量线方程,并定性画出该矢量场图

形。

解:由dx/(-y)=dy/x,得2x +2y =c

1.6求数量场ψ=ln (2x +2y +2

z )通过点P (1,2,3)的等值面方程。

解:等值面方程为ln (2x +2y +2

z )=c

则c=ln(1+4+9)=ln14

那么2x +2y +2z =14

1.9求标量场ψ(x,y,z )=62x 3y +z e 在点P (2,-1,0)的梯度。 解:由ψ?=x a x ψ??+y a y

ψ??+z a z ψ??=12x 3y x a +182x 2y y a +z e z a 得 ψ?=-24x a +72y a +z a

1.10 在圆柱体2x +2y =9和平面x=0,y=0,z=0及z=2所包围的区域,设此区域的表面为S:

⑴求矢量场A 沿闭合曲面S 的通量,其中矢量场的表达式为

A =x a 32x +y a (3y+z )+z a (3z -x) ⑵验证散度定理。 解:⑴??s d A =

A d S ?? 曲+A dS ?? xoz +A d S ?? yoz +A d S ?? 上+A d S ?? 下

A d S ?? 曲=232(3cos 3sin sin )z d d ρθρθθρθ++?曲

=156.4

A dS ?? xoz =(3)y z dxdz +?xoz =-6 A d S ?? yoz =-23x dydz ?yoz =0

A d S ?? 上+A d S ?? 下=(6cos )d d ρθρθρ-?上+cos d d ρθρθ?下=272π ??s d A =193

⑵dV A V ???=(66)V x dV +?=6(cos 1)V d d dz ρθρθ+?=193 即:??s s d A =dV A V

??? 1.13 求矢量A =x a x+y a x 2y 沿圆周2x +2y =2a 的线积分,再求A ?? 对此圆周所包围的表

面积分,验证斯托克斯定理。 解:??l l d A =2L

xdx xy dy +? =44a π A ?? =z a 2y

????S s d A =2S

y dS ? =22sin S d d θρρρθ? =44a π 即:??l l d A =????S s d A ,得证。

1.15求下列标量场的梯度:

⑴u=xyz+2x u ?=x a u x ??+y a u y ??+z a u z

??=x a (yz+zx)+y a xz+z a xy ⑵u=42x y+2y z -4xz

u ?=x a u x ??+y a u y

??+z a u z ??=x a (8xy-4z)+y a (42x +2yz)+z a (2y -4x) ⑶u ?=x a u x ??+y a u y ??+z a u z

??=x a 3x+y a 5z+z a 5y 1.16 求下列矢量场在给定点的散度

⑴A ??=x A x ??+y A y ??+z A z

??=32x +32y +3(1,0,1)|-=6 ⑵A ??=2xy+z+6z (1,1,0)|=2

1.17求下列矢量场的旋度。

⑴A ?? =0

⑵A ?? =x a (x -x )+y a (y -y )+z a (z -z )=0

1.19 已知直角坐标系中的点P(x,y,z)和点Q(x ’,y ’,z ’),求:

⑴P 的位置矢量r 和Q 点的位置矢量'r ;

⑵从Q 点到P 点的距离矢量R ;

⑶r ?? 和r ??; ⑷1()R ?。

解:⑴r =x a x+y a y+z a z;

'r =x a x ’+y a y ’+z a z ’

⑵R =r -'r =x a (x -x ’)+y a (y -y ’)+z a (z -z ’)

⑶r ?? =0 , r ??=3

1 电磁场与电磁波第一章习题答案

⑷1R = 1()R ?=(x a x ??+y a y

??+z a z ??)1R =-x

a 212(')2x x R R --y a 212(')2y y R R --z a 212(')2z z R R - =-x

a 3'x x R --y a 3'y y R --z a 3'z z R -

=-31R [x a (x -x ’)+y a (y -y ’)+z a (z -z ’)]

=-3R R 即:1()R ?=-3R R