2005年高考理科数学(江西卷)试题及答案
2005江西卷试题及答案
源头学子小屋
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分
第I 卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效
3．考试结束，临考员将试题卷、答题卡一并收回 参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π=
如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径
P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式
P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 33
4R V π=
次的概率k n k k
n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合?--==∈<=A B A Z x x x I 则},2,1,2{},2,1{},,3|||{ (I C B ）= （ ）
A ．{1}
B ．{1，2}
C ．{2}
D ．{0，1，2}
2．设复数：2121),(2,1z z R x i x z i z 若∈+=+=为实数，则x = （ ）
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
3． “a =b ”是“直线相切与圆2)()(22
2
=++-+=b y a x x y ”的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
4．12
3)(x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有
（ ）
A ．4项
B ．3项
C ．2项
D ．1项 5．设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为
（ ）
A ．周期函数，最小正周期为
3
π B ．周期函数，最小正周期为3
2π
C ．周期函数，数小正周期为π2
D ．非周期函数
6．已知向量与则若,2
5
)(,5||),4,2(),2,1(=
?+=--= （ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
7．已知函数)(()(x f x f x y ''=其中的图象如右图所示))(的导函数是函数x f ，
下面四个图象中)(x f y =的图象大致是 （ ）
A B C D
8．=--=--→→)
22(1
lim ,11)1(lim
11
x f x x x f x x 则若
（ ）
A ．－1
B ．1
C ．－
2
1
D ．
2
1 9．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则
四面体ABCD 的外接球的体积为 （ ）
A ．
π12
125
B ．
π9125 C ．π6125
D ．π3
125
10．已知实数a , b 满足等式,)3
1()21(b
a =下列五个关系式
①0
④b ⑤a =b 其中不可能．．．成立的关系式有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 11．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2 , 0(),1,(sin ),cos ,1(π θθθ∈B A ，则△OAB 的面积达 到最大值时，=θ （ ） A ． 6 π B ． 4 π C ． 3 π D ． 2 π 12．将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ） A ． 56 1 B ． 70 1 C ． 336 1 D ． 420 1 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共15分，请将答案填在答题卡上. 13．若函数)2(log )(22a x x x f n ++ =是奇函数，则a = . 14．设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,0 320420 2?? ? ??≤->-+≤-- . 15．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BC=2，BB 1=2， 90=∠ABC ，E 、F 分别为AA 1、C 1B 1的中点，沿棱柱的表面从 E 到 F 两点的最短路径的长度为 . 16．以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线； ②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若),(2 1 OB OA OP +=则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程02522 =+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线 135 192522 22=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 已知函数b ax x x f +=2 )(（a ，b 为常数）且方程f (x )－x +12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4. （1）求函数f (x )的解析式； （2）设k>1，解关于x 的不等式；x k x k x f --+<2)1()( 1 A 已知向量(2cos ,tan()),(2sin(),tan()),()2242424 x x x x a b f x a b πππ =+=+-=?令. 是否存在实数?))()((0)()(],,0[的导函数是其中使x f x f x f x f x '='+∈π若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之. 19．（本小题满分12分） A 、 B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数. （1）求ξ的取值范围； （2）求ξ的数学期望E ξ. 20．（本小题满分12分） 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ； （2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4 π. 1 A C 已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(,2 1 ,110N n a a a a n n n ∈-= =+ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+ （2）求数列}{n a 的通项公式a n . 22．（本小题满分14分） 如图，设抛物线2 :x y C =的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. （1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB. 2005江西卷试题及答案 参考答案 一、选择题 1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B 11．D 12．A 二、填空题 13．22 14．2 3 15． 22 3 解：如图所示，沿侧棱AA 1剪开将棱锥的侧面展开成一个矩形，并将上底面111A B C 分别按两种情况掀 开，就可以得到从E 到F 的四个较短路径EOF 、EPF 、EQF 、 ERF ，计算出四个值EOF=EPF= 、 EQF>ERF=223，其中最小值ERF=223 就是所求的 说明：关于多面体或旋转体的表面最短路经的问题，一般都 是研究其展开图 16．③④ 三、解答题 17．解：（1）将0124,32 21=+-+==x b ax x x x 分别代入方程 得 ).2(2)(,218416939 2≠-=???=-=?????? ?-=+-=+x x x x f b a b a b a 所以解得 （2）不等式即为 02)1(,2)1(222<-++---+<-x k x k x x k x k x x 可化为 即.0))(1)(2(>---k x x x ①当).,2(),1(,21+∞?∈< ②当);,2()2,1(0)1()2(,22 +∞?∈>--=x x x k 解集为不等式为时 ③),()2,1(,2+∞?∈>k x k 解集为时当. 1 18．解：不存在 . ()22 cos sin()tan()tan()2 242424 x x x x f x a b πππ =?=+++- 2(cos )tan()tan()2sin cos 2cos 1 222222442222 x x x x x x x x ππ=+-+-=+-.cos sin x x += ()cos sin .f x x x '=- x x x x x f x f x f x f sin cos cos sin )()(: ,0)()(-++='+='+即令 .0cos 2==x [0,]. 2x x π π∈=由得， 可是，当2x π=时，(2cos ,tan())224x x a π=+中的纵坐标tan()24x π +就没有意义， ,[0,],()()0. x x f x f x π π'≠∈+=可得所以不存在实数使 留言内容: 信箱 222.81.168.84 回复 删除 19．解：（1）设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则?? ? ??≤≤=+=-915 ||ξξn m n m ，可得： . 9,7,5:;9,7,22,7;7,6,11,6;5,5,00,5的所有可能取值为所以时或当时或当时或当ξξξξ===============n m n m n m n m n m n m （2）;64 5)21(2)7(;161322)21(2)5(7 155===== ?==C P P ξξ . 32275 6455964571615;64 55 6451611)9(=?+?+?==-- ==ξξE P 20．解法（一） （1）证明：∵AE ⊥平面AA 1DD 1，A 1D ⊥AD 1，∴A 1D ⊥D 1E （2）设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AC=CD 1=5，AD 1=2， 故.2 121,232152211=??==-??= ??BC AE S S ACE C AD 而 .31,23121,3 1 31111=∴?=?∴?=?= ∴??-h h h S DD S V C AD AEC AEC D （3）过D 作DH ⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H ⊥CE ， ∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 的平面角. 设AE=x ，则BE=2－x , ,,1,. 1,4 ,211x EH DHE Rt x DE ADE Rt DH DHD DH D Rt =?∴+=?=∴= ∠?中在中在中在 π . 4 ,32. 32543.54,3122π 的大小为二面角时中在中在D EC D AE x x x x x x CE CBE Rt CH DHC Rt ---=∴-=?+-=+∴+-=?=? 解法（二）：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，设AE=x ，则A 1（1，0，1），D 1（0，0，1），E （1，x ，0），A （1，0，0）C （0，2，0） （1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111E D DA x E D DA ⊥=-=所以因为 （2）因为E 为AB 的中点，则E （1，1，0）， 从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ， )1,0,1(1-=AD ， 设平面ACD 1的法向量为),,(c b a =， 1 A 则?????=?=?, 0,01AD n 也即?? ?=+-=+-002c a b a ，得???==c a b a 2，从而)2,1,2(=n ，所以点E 到平面AD 1C 的距离为 .3 1 3212| |1=-+= = n h （3）设平面D 1EC 的法向量),,(c b a n =，∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD C D x CE 由?? ?=-+=-??????=?=?.0)2(0 2, 0,01x b a c b C D n 令b=1, ∴c=2,a =2－x ， ∴).2,1,2(x n -= 依题意.2 25 )2(22 2 | |||4 cos 211= +-?= ?= x DD n π ∴321+=x （不合，舍去），322-=x . ∴AE=32-时，二面角D 1—EC —D 的大小为4 π . 21．解：（1）方法一 用数学归纳法证明： 1°当n=1时，,2 3)4(21,10010=-=
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