jiaoan0609
课 题：不等式的证明（4） 教学目的：
1． 掌握换元法法证明不等式；
2．理解换元法实质；
3．提高证明不等式证法灵活性 教学重点：三角换元和代数换元 教学难点： 三角换元 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入： 1．重要不等式：
如果)""(2R,,2
2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
2．定理：如果a,b 是正数，那么
).""(2
号时取当且仅当
==≥+b a ab b a
3：ab ≤
2
2
2
b a
+，ab ≤（
2
b a +）2
4．
b
a a
b +
≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号；
5．定理：如果+
∈R c b a ,,，那么abc c b a 33
33≥++（当且仅当c b a ==时
取“=”）
6．推论：如果+
∈R c b a ,,，那么3
3
abc c
b a ≥
++ （当且仅当c b a ==时
取“=”）
7．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论 8．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法
用综合法证明不等式的逻辑关系是：12n A B B B B ????? 综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式
成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法
用分析法证明不等式的逻辑关系是：12n B B B B A ????? 分析法的思维特点是：执果索因 分析法的书写格式：
要证明命题B 为真，
只需要证明命题1B 为真，从而有…… 这只需要证明命题2B 为真，从而又有…… ……
这只需要证明命题A 为真
而已知A 为真，故命题B 必为真 二、讲解新课： 1
若0≤x ≤1，则可令x = sin θ (2
0π≤θ≤)或x = sin 2θ (2
2
π≤
θ≤π-
)
若12
2
=+y x ，则可令x = cos θ , y = sin θ (π≤θ≤20) 若12
2=-y
x ，则可令x = sec θ, y = t a n θ (π≤θ≤20)
若x ≥1，则可令x = sec θ (2
0π<θ≤)
若x ∈R ，则可令x = t a n θ (2
2
π<
θ<π-
)
2
“整体换元”,“均值换元”,“设差换元”的方法
三、讲解范例： 例1 求证：2
112
12
≤
-≤-
x
x
证一：（综合法）
∵2
12)1()1(1|||1|2
2
2
2
222=
?
?
?
???-+≤-=-=-x x
x x x x x x
即 2
1|1|2
≤
-x
x ∴2
112
12
≤
-≤-
x
x
证二：（换元法） ∵11≤≤-x ∴令 x = cos θ , θ∈[0, π]
则θ=
θθ=-2sin 21sin cos 12
x
x ∵1sin 1≤θ≤- ∴2112
12
≤-≤-
x
x
例2 已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证：
22
311+≥+
y
x
证一：22323)2(11+≥++=+????
??+
x
y y x y x y x
即：
22
311+≥+
y
x
证二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可设α=α=
2
2
cos
,sin
21y x
则
)tan
1()cot
1(2cos
1sin
2112
2
2
2
α++α+=α
+
α
=
+y
x
22
3)tan
cot
2(32
2
+≥α+α+=
例3 若12
2≤+y
x ，求证：2|2|2
2
≤
-+y xy x
证：设)10(,
cos ,
sin ≤≤α=α=r r y r x ，
则|sin
sin cos 2cos
||2|2
2
2
2
2
2
2
α-αα+α=-+r r r y xy x
2242cos 2|2sin 2cos |2
2
2
≤
≤
??? ?
?
π-α≤α+α=r
r
r
例4 若x > 1，y > 1，求证：)1)(1(1--+≥y x xy
证：设)2,0(,sec
,sec
2
2
π<
βα<β=α=y x
则xy y x =
β
α≤β
αβ-α=
βα+=--+
cos cos 1cos cos )cos(tan tan 1)1)(1(1
例5已知：a > 1, b > 0 , a - b = 1，求证：11110
?+
???? ?
?-
<
b b a a a 证：∵a > 1, b > 0 , a - b = 1 ∴不妨设)20(,
tan ,sec
2
2
π<
θ<θ=θ=b a
则
??? ??θ+θ??? ??θ-θθ=???? ?
?+
???? ?
?-
tan 1tan sec 1sec sec 11112
b b a a a θ=θ
θ
?
θ
θ
θ=
sin tan sec
sec tan
sec
12
2
2
∵2
0π<
θ<, ∴0 < sin θ < 1 ∴11110
? ?
?+
???? ?
?-
<
b b a a a 例6证明：若a > 0，则21212
2
-+
≥-+
a
a a
a
证：设)2,2,0(,1,12
2
≥
≥>+
=+
=y x a a
a
y a
a x
则2112
22
2
2
2=???
? ??
+-?
?? ??
+=-a a
a a y
x
22112
2
+
≥+++=+a
a
a
a y x （ 当a = 1时取“=” ）
∴222
222
2
-
=+
≤+-=
-y
x y
x y x
即22-≥-x y ∴原式成立
四、课堂练习：
五、小结 ： 六、课后作业：
七、板书设计（略） 八、课后记：