计算几何复习题
计算几何期末复习题
二. 简答题
1. 在编写几何计算程序时,应该坚持的原则有哪些?
答：尽量使用加减等有理运算,避免使用开方,除法等无理运算.
2. 如果一个几何计算系统采用浮点计算,那么这个系统可能不可靠。这个不可靠是由什么原因引起的?
答：浮点数的精度不够，出现允差，判断结果矛盾。
3. 如果一个几何计算系统全部采用整数计算并且没有除法运算和无理计算,那么这个系统仍然可能不可靠。这个不可靠是由什么原因引起的?
答：可能产生数据溢出问题。
4. Windows 应用程序是消息驱动程序,并且消息中的大部分是窗口消息。给出 3 个预定义的窗口消息名称并说明这些消息什么时候发生。
答：1.WM_LBUTTONDOWN（按下鼠标左键）
2.WM_LBUTTONUP(释放鼠标左键)
3.WM_RBUTTONDOWN（按下鼠标右键）
4.WM_RBUTTONUP(释放鼠标右键)
5. Windows 应用程序提供许多预定义的窗口类型(也叫控件)供程序员使用,它们具有各自独特的窗口特征。请给出 3 种预定义窗口类型,给出它们的中文名和英文名。
答： CButton 按钮
CControlBar 控制条
CComboBox 组合框
6. 单多面体的Euler-Poincare公式是什么?写出这个公式并说明公式中每个变量的含义。将一个多面体的每个面进行三角剖分后这个公式是否仍然成立? 答：公式：V-E+F=2*(S-G)+R 解释：
S: shell壳的个数 G：Genus 亏格数 R：ring内环个数
V：vextex顶点个数 E：edge边个数 F：face面的个数成立
7. 出由端点P0(x0, y0, z0)与P1(x1, y1, z1)所确定的直线段的参数方程。(用
矢量形式或分量形式均可)。
答：p=po+（P1-p0）·t; t∈[0，1]
8. 已知空间不在一条直线上的 3 点P0(x0, y0, z0)、P1(x1, y1, z1)、P2(x2, y2, z2),写出经过这 3 点的平面的参数方程。(用矢量形式或分量形式均可)。
答:p(u,v)=p0+u·(p1-p0)+v·(p2-p0)
9. 我们说平面点集的 Delaunay 三角剖分是一个“好”的三角剖分。这里的“好”指的是什么?(指出一点即可。)
答：因为它是一个最小角最大化的三角剖分方法
11.形体的表面模型和实体模型分别适合的领域是什么?一个采用半边数据结构描述的多面体属于表面模型还是实体模型?
答：表面模型：动画领域实体领域：工程 CAD
属于实体模型
12. 采用交互编辑手段进行三维形体的几何建模的方法有哪些?
答：布尔集合运算体素建模整体操作局部操作扫面操作
13. 给定空间一点P1(x1, y1, z1)和一个平面,平面的普遍方程为
Ax+By+Cz+D=0。请说明如何判断P1 在平面上、正侧或负侧。假设所有参数均为浮点数,并且计算量越小越好。
答：令△=Ax1+By1+Cz1+D 若△＞Eps 则点在平面上
若△<= Eps 则点在平面内
若△＜-Eps 则点在平面下
14. 给定空间一点P1 和一条直线,该直线由直线上一点P0 与方向矢量v 来描述。请给出计算P1 到该直线距离d 的矢量形式计算公式。
答：
d=|（p1-p0）×v|
| |v| |
15. 给定空间一点P0 和一条直线段P1P2。请给出计算P0 到该直线段距离d 的矢量形式计算公式。
答：当（p0-p1）·（p2-p1）<0时，d=|p1-p0|；
当（p0-p2）·（p1-p2）<0时，d=|p2-p0|；
其他，d=|（p0-p1）×（p2-p1）|
|（p2-p1）|
16. 给定空间一点P1 和一条直线,该直线由直线上一点P0 与方向矢量v 来描述。请给出计算P1 关于直线的对称点P’1 的矢量形式计算公式。
答：P’1=P1+ 2d 其中d=|（p1-p0）×v|
| |v| |
17. 给定空间一点P1 和一个平面,该平面由法矢量n 和一个标量参数d 来描
述。请给出计算P1 关于平面的对称点P’1 的矢量形式计算公式。
答： p’=p1+ n *（-2l）其中l=p1·n+d
|n||n|
18. 已知空间 3 点P0、P1、P2,请给出计算由这 3 个点构成的空间三角形面积S 的矢量形式计算公式。
答：S=0.5* |（p1-p0）×（p2-p0）|
19. Windows 应用程序由源程序和资源组成。那么资源包括那些类型?请给出至少 5 种。在 VC++中描述资源的文件扩展名是什么?
答：资源：Dialog，Menu，Toobar，Icon,Bitmap,Html等，扩展名：.rc
20. 在平面多边形三角剖分的切耳算法中,假设多边形是逆时针的,那么对于多边形中任意顶点P i,(其前驱顶点为P i-1,后继顶点为P i+1。),P i 是耳尖的充要条件是什么？
答：P i-1，P i，P i+1 构成左拐，并且内部不包含其他顶点。
21. 一个多面体是凸的,当且仅当它的每条边是凸的。假设多面体的某边e 的两个端点为P0 与P1,它的两个面的法矢量为n1 与n2,由物体内指向物体外。并且已知在法矢为n1 的面中,其半边是由P0 指向P1。请给出判断边e 凸凹性的准
则 (一个关于P0、P1、n1、n2 的判别式)。
答：（n1×n2）·（p1-p0）＞0
22. 给出下列词汇所对应的贴切英文表达: 直线,射线,矢量,平面,直线段,交点,多边形,多面体,顶点,边,坐标,凸的,三角形,四面体。
答：分别为： line, ray ,vctor, plane,line segment, intersection point, polygon, polyhedron, vertex,edge, coordinates,convex,triangle, tetrahedron
23. 在目前的几何建模系统中,自由曲线曲面大多采用显式、隐式还是参数式? 这种曲线曲面的优点是什么?
答：参数式，优点：容易表示曲线段或曲面片。
24. 已知坐标为整数,给出判断平面上一点P 是否在一个逆时针三角形P0P1P2
内部的计算方法。无需考虑溢出问题。
答：将点p分别与p0，p1，p2连接，假如新形成的小三角形全部左拐，则点在三角形内，否则在三角形外。
25. 已知坐标为整数,给出判断平面上两线段P0P1 与P2P3 是否相交的计算方法。无需考虑溢出问题。
答：如果三角形p0p1p2，三角形p0p1p3一个左拐，一个右拐或者三点共线，且三角形p2p3p0，三角形p2p3p1一个左拐，一个右拐或者三点共线，则此两线段有交点，否则无交点。
26. 已知坐标为整数,给出判断一空间三角形P0P1P2 与一空间线段P3P4 是否相
交的计算方法。无需考虑溢出问题,且假定线段不在三角形所在的平面上。
答：Vp0p1p2p3和Vp0p1p2p4异号且Vp0p1p3p4，Vp1p2p3p4 ，Vp2p0p3p4同号时相交，否则不相交。
27. 已知坐标为整数,平面上 4 点为P0(x0, y0, z0)、P1(x1, y1, z1)、P2(x2, y2, z2),P3(x3,y3, z3),且P0P1P2构成逆时针三角形。请给出判断P3是否在P0P1P2的外接圆内部的计算方法。
答:1、根据所给的四点坐标计算出外接圆的圆心，即外心；
2、P0，P1，P2任意一点与外心的距离求得半径；
3、P3与外心之间的距离与半径相比较，如果小于半径则在外接圆内部。
28. 已知空间三角形P0P1P2 以及三角形所在平面上的一点Q。给出判断Q 在三角形内外的判断方法。假定坐标为浮点数,只需给出算法思想不需给出具体公式。答：分别求出三角形P0QP2,P1QP2,P0QP1，P0P1P2面积，若有P0QP2,P1QP2,P0QP1面积之和等于P0P1P2面积，则Q点就在三角形内部。
29. 在几何变换中,采用齐次坐标方法的好处是什么?
答：采用齐次坐标可以在变换中将所有变化统一成矩阵形式。
30. 设三维空间一点(x, y, z)绕Y 轴旋转θ角后的坐标为(x’, y’, z’),这个变换过程
可写作:[x’ y’ z’ 1] = [x y z 1]·R y(θ)。请具体给出这个矩阵R y(θ)。答：R y(θ) = cosθ 0 -sinθ 0
0 1 0 0
sinθ 0 cosθ 0
0 0 0 1
四. 编程题
1. 已知空间内一条直线和一个平面,其中直线由直线上一点P0 与方向矢量v 来描述,平面由普遍方程Ax+By+Cz+D=0 来描述。假设所有参数为浮点数,并且允差ε已定义(即程序中的 EPS)。请按照要求给出判断直线与平面相交性并计算交点的函数的实现(C++语言):
#define EPS 1e-5 //允差ε
bool LinePlaneIntersection(float P0[3], float v[3], float f [4], float intp[3]) // 返回值:true 表示相交,false 表示不相交。重合算作不相交。
// P0 是直线上一点的坐标,v 是直线方向的三个系数。
// f 存储平面方程的 4 个系数A、B、C、D。
// 当相交时,intp 返回交点坐标,否则无意义。
{ //下面是你的函数实现......
bool LinePlaneIntersection(float P0[3], float v[3], float f [4], float intp[3]){ float vp1,vp2,vp3,vpt,v1,v2,v3,m1,m2,m3,t,n1,n2,n3;
n1=n2=0;
n3=-f[3]/f[2];
vp1=f[0],vp2=f[1],vp3=f[2];
v1=v[0],v2=v[1],v3=v[2];
m1=p0[0],m2=p0[1],m3=p0[2];
vpt=v1*vp1+v2*vp2+v3*vp3;
if(vpt==0) return false;
else
{
t=((n1-m1)*vp1+(n2-m2)*vp2+(n3-m3)*vp3)/vpt;
int p[0]=m1+v1*t;
int p[1]=m2+v2*t;
int p[2]=m3+v3*t;
return true;
}
}
2. 给定平面上一点P0 和一直线段P1P2,假定所有坐标值为整数。请按照要求给
出判断它们是否相交的函数实现(C++语言):
#define EPS 1e-5
bool IsPointSegmentIntersected(int P0[2], int P1[2], int P2[2])
// 返回值,true 表示相交,false 表示不相交。
// P0 是被判断点的坐标,P1 与 P2 是被判断直线段的两个端点坐标。 { // 下面是你的函数实现.......
答：
if(p1[0]*p2[1]+p1[1]*p0[0]+p2[0]*p0[1]-p0[0]*p2[1]-p1[0]*p0[1]-p2[0]*p1[1]==0) {if(p1[0]>p2[0])
{if(p2[0]<=p0[0]&&p0[0]<=p1[0]) return true;
else return false;
if(p1[0] {if(p1[0]<=p0[0]&&p0[0]<=p2[0]) return true; else return false; } } else return false ; } 3. 给定平面上一点P0 和一直线段P1P2,假定所有坐标值为浮点数,并且允差ε 已定义(即程序中的 EPS)。请按照要求给出判断它们是否相交的函数实现(C++语言): #define EPS 1e-5 bool IsPointSegmentIntersected(float P0[2], float P1[2], float P2[2]) // 返回值,true 表示相交,false 表示不相交。 // P0 是被判断点的坐标,P1 与 P2 是被判断的两个端点坐标。 { // 下面是你的函数实现....... 答： if(p1[0]*p2[1]+p1[1]*p0[0]+p2[0]*p0[1]-p0[0]*p2[1]-p1[0]*p0[1]-p2[0]*p1[1]<=Eps ) {if(p1[0]>p2[0]) {if(p2[0]<=p0[0]&&p0[0]<=p1[0]) return true; else return false; if(p1[0] {if(p1[0]<=p0[0]&&p0[0]<=p2[0]) return true; else return false; } } else return false ; } 4. 假定点坐标为整数,并且计算三角形二倍代数面积的函数已定义。请按照要求编写计算平面点集凸包的卷包裹算法的实现函数: struct Point {int x, y}; //点结构体的定义 int Area2(Point p0, Point p1, Point p2); // 计算三角形二倍代数面积的函数声明 void WrapHull(Point P[ ], int n, Point C[ ], int& m) // 输入:P 为用数组表示的输入点集,下标为 0~n-1,n 为点集中点的个数 // 输出:用数组 C 存储凸包上的点,用 m 返回凸包上点的个数 { // 下面为你的实现代码...... void WrapHull(Point P[ ], int n, Point C[ ], int& m){int s=0,j=1; for(int i=1;i if(P[i].y s=i; C[0]=P[s]; int start=s; do{ int k=0; if(k==s) k++; for(int i=;i if(i==s) continue; if(Aera2(P[s],P[i],P[k])>0){ int temp=i; i=k; k=temp; } } s=k; C[j]=P[s]; j++; }while(s!=start); return (m=sizeof(C)); } 5. 在平面点集凸包 Graham 扫描算法的 C 语言实现中,需要调用 qsort 库函数来实现点的排序。而调用 qsort 的关键是编写一个固定形参的函数 Compare 来比较两个点的大小。假定 y 坐标最小的最右点已存储在 P[0]处,另外假设没有三点共线问题,坐标点为整数,计算三角形二倍代数面积的函数已定义。请给出 Compare 函数的实现(): struct Point {int x, y}; //点结构体的定义 Point *P; //存放点集的数组int n; //点集中点的个数 int Compare(void *t1, void *t2) // 输入:必须为两个指向 void 的指针,t1 与 t2 // 返回值:只能是-1,0 或 1。如果 t1 所指向的元素小于 t2 所指向的元素返回-1; // 如果相等返回 0;否则返回 1。 { //下面是你的实现代码...... int Compare(void *t1, void *t2) { Point *pi=(Point *)t1; Point *pj=(Point *)t2; int a=Aera2(p[0],*pi,*pj);//三角形二倍代数面积计算函数 if(a>0) return -1; else if(a<0) return 1; else//重合，共线 return 0; } 6. 已知点坐标为整数,平面多边形采用点的数组描述,方向未知。假定计算三角形二倍代数面积的函数已定义。请按照要求编写判定多边形凸凹性的实现函数: struct Point {int x, y}; //点结构体的定义 int Area2(Point p0, Point p1, Point p2); // 计算三角形二倍代数面积的函 bool IsConvex(Point P[ ], int n) // 输入:P 为用点的数组表示的多边形,下标为 0~n-1,n 为多边形顶点个数 // 返回值:如果是凸的返回 true,否则返回 false { // 下面为你的实现代码...... 答：int j=0; if(Aera2(P[n-3],P[n-2],P[n-1])>0) j++; if(Aera2(P[n-2],P[n-1],P[0])>0) j++; for(int i=0;i if(Aera2(P[i],P[i+1],P[i+2])>0) j++; if(j==n) return true; else return false; } 7. 已知点坐标为浮点数,平面多边形采用点的数组描述,方向为逆时针。假定计算三角形二倍代数面积的函数已定义。请按照要求编写计算多边形面积的实现函数: struct Point {float x, y}; //点结构体的定义 float Area2(Point p0, Point p1, Point p2); // 计算三角形二倍代数面积的函数声明 float PolygonArea(Point P[ ], int n) // 输入:P 为用点的数组表示的多边形,下标为 0~n-1,n 为多边形的顶点个数// 返回值:多边形的面积 { // 下面为你的实现代码...... 答：float PolygonArea(Point P[ ], int n){ int i=1; double sum1,sum2=0; do{ sum1=Aera2(P[0],P[i],P[i+1]) sum2+=sum1; i++; }while(i!=n); return -0.5*sum2;//方向为逆时针时面积为负值 } 8. 已知点坐标为浮点数,平面多边形采用顶点的循环链表来描述,方向为逆时针。假定计算三角形二倍代数面积的函数已定义。请按照要求编写计算多边形面积的实现函数: struct Point {float x, y}; //点结构体的定义 struct Vertex //顶点结构体的定义 { Point p; Vertex *prev, *next; //顶点循环链表中的前驱和后继 }; float Area2(Point p0, Point p1, Point p2); // 计算三角形二倍代数面积的 float PolygonArea(Vertex *firstv) // 输入:firstv 为顶点循环链表中的其中一个顶点的指针 // 返回值:多边形的面积 { // 下面为你的实现代码...... 答：float PolygonArea(Vertex *firstv){ Vertex *p1,*p2; p1= v1->next; p2=p1->next; double sum1,sum2=0; do{ sum1=Aera2(firstv->p,p1->p,p2->p); sum2+=sum1; p1=p1->next; p2=p1->next; }while(p2!=firstv); return -0.5*sum2;//方向为逆时针时面积为负值 } 9. 已知点坐标为浮点数,空间平面多边形采用顶点的循环链表来描述。请编写 一 C 语言函数,根据 Newell 公式稳定地计算该多边形的法矢量: struct Vertex //顶点结构体的定义 { float x, y, z; //顶点的三维坐标 Vertex *prev, *next; //顶点循环链表中的前驱和后继 }; void PolygonNormal(Vertex *firstv, float norm[3] ) // 输入:firstv 为顶点循环链表中的其中一个顶点的指针 // 输出:多边形的法矢量通过数组 norm 返回 { // 下面为你的实现代码...... 答：void PolygonNormal(Vertex *firstv, float norm[3] ) { for(int i=0;i<3;i++) norm[i]=0; Vertex *p=firstv; do{ norm[0]+=(p.y-p->next.y)*(p.z+p->next.z);//x norm[1]+=(p.x-p->next.x)*(p.z+p->next.z);//y norm[2]+=(p.x-p->next.x)*(p.y+p->next.y);//z p=p->next; }while(p!=firstv); return norm; } //10.给定平面上一点q 和一个凸多边形P,多边形采用顶点的数组描述,方向为逆时针。已知所有点坐标均为整数,不考虑溢出问题。假定计算三角形二倍代数面积的函数已定义。请按照要求编写判断q 是否在P 内部的实现函数: struct Point {int x, y}; //点结构体的定义 int Area2(Point p0, Point p1, Point p2); // 计算三角形二倍代数面积的函数声明 bool IsPointInConvexPolygon(Point q, Point P[ ], int n) // 输入:P 为用点的数组表示的多边形,下标为 0~n-1,n 为多边形顶点个数 // q 为判断点 // 返回值:如果 q 在 P 内返回 true,否则返回 false。在边界上也算作在内。{ // 下面为你的实现代码...... 答 :bool IsPointInConvexPolygon(Point q, Point P[ ], int n) { int i=0,j=1; bool flag=false; double sum1,sum2=1; do{if(i==n-1) j=0; sum1=Aera2(q,P[i],P[j]); if(sum1*sum2>0) { sum2=sum1; flag=true; } else break; i++; j++; }while(i!=n); return flag; } //12. 下面的代码先给出了平面剖分的半边数据结构的一部分,以及返回伙伴半边函数 mate()的定义。请利用 mate()编写符合这个数据结构的一个 C 语言函数,用来找出给定顶点的最近相邻顶点。要求尽可能少地访问无用顶点,尽可能不要除法和其他无理运算。 struct Half; struct Edge; struct Vertex { //顶点节点的结构体 }; //顶点的坐标 //指向以该顶点为起点的其中一个半边 int x, y; Half *h; Vertex *prev, *next; //在顶点链表中的前驱与后继,在空间上不一定邻近struct Half { Vertex *startv; //起始顶点 Edge *ownere; //所属边 Half *prev, *next; //在某面的半边循环链表中的前驱与后继, }; struct Edge { Half *h1, *h2; //在空间上一定是邻近的 Edge * prev, *next; //在边链表中的前驱与后继,在空间上不一定邻近 }; Half *mate(Half *h) { if(h==h->ownere->h1) return h->ownere->h2; else return h->ownere->h1; } Vertex *NearestNeighbor(Vertex *v) //输入:v 为指定顶点的指针 //返回值:v 的最近相邻顶点的指针 { // 下面为你的实现代码...... 答：Vertex *NearestNeighbor(Vertex *v) { Half h1,h2=NNLL; Vertex *v1=v,*V[50]; double min=0.0; int i=0,flag=0; if(v->next==v) return v; do{ h1=v1->h; if(h1->ownere!=h2->ownere) {V[i]=h1->startv; h2=mate(startv->h); v1=h2->startv; i++; } else continue; }while(h1!=v->h); min=(v.x-V[0].x)*(v.x-V[0].x)+(v.y-V[0].y)*(v.y-V[0].y); for(i=1;i<50;i++) {if((v.x-V[i].x)*(v.x-V[i].x)+(v.y-V[i].y)*(v.y-V[i].y) min=(v.x-V[i].x)*(v.x-V[i].x)+(v.y-V[i].y)*(v.y-V[i].y); flag=i; } return V[i]; } 《高等几何》考试试题A 卷(120分钟) 一、填空题(2分?12=24分) 1 平行四边形 ;2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0) 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ,则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的: 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有:1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得, 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 （0464）《高等几何》复习大纲 仿射坐标与仿射变换 一、要求 1.掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的定义和性质。熟练掌握单比的定义和坐标表示。2.掌握仿射变换的两种等价定义；熟练掌握仿射变换的代数表示，以及几种特殊的仿射变换的代数表示。3.掌握图形的仿射性质和仿射不变量。 二、考试内容 1.单比的定义和求法。 2.仿射变换的代数表示式，以及图形的仿射性质和仿射不变量。3.仿射变换的不变点和不变直线的求法。 射影平面 一、要求 1.掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷远元素的引入。 2.熟练掌握笛萨格（Desargues）定理及其逆定理的应用。 3.熟练掌握齐次点坐标的概念及其有关性质。 4.理解线坐标、点方程的概念和有关性质。 5.掌握对偶命题、对偶原则的理论。 二、考核内容 1.中心投影与无穷远元素：中心投影，无穷远元素，图形的射影性质。 2.笛萨格（Desargues）定理：应用笛萨格（Desargues）定理及其逆定理证明有关结论。 3.齐次点坐标：齐次点坐标的计算及其应用。 4.线坐标：线坐标的计算及其应用。 5.对偶原则：作对偶图形，写对偶命题，对偶原则和代数对偶的应用。 射影变换与射影坐标 一、要求 1.熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和应用。 2.掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用。 3.掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式。 4.掌握二维射影变换的概念、性质以及代数表示式。 5.理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的关系。 二、考试内容 1.交比与调和比：交比的定义、基本性质及其计算方法，调和比的概念及其性质。 2.完全四点形与完全四线形：完全四点形与完全四线形的概念及其调和性。 3.一维基本形的射影对应：一维射影对应的性质，与透视对应的关系，以及代数表示式。。 4.二维射影变换 5.二维射影对应（变换）与非奇线性对应的关系。 6.射影坐标：一维射影坐标、二维射影坐标。 7.一维、二维射影变换的不变元素：求一维射影变换的不变点，二维射影变换的不变点和不变直线。 变换群与几何学 一、要求 1.了解变换群的概念。 2.理解几何学的群论观点。 3.弄清欧氏几何、仿射几何、射影几何之间的关系及其各自的研究对象。 二、考试内容 1.变换群与几何学的关系。 2仿射几何、射影几何学相应的变换群、研究对象基本不变量和基本不变性。 二次曲线的射影理论 一、要求 1.掌握二队（级）曲线的射影定义、二阶曲线与直线的相关位置，二阶曲线的切线，二阶曲线与二级曲线的关系。2.掌握巴斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形。 3.掌握极点，极线的概念和计算方法，熟练掌握配极原则。 4.了解二阶曲线的射影分类。 二、考试内容 1.二阶（级）曲线的概念，性质和互化，求二阶曲线的主程和切线方程。 2.应用巴劳动保护加定理和布利安桑定理及其特殊情形证明有关问题，解决相在的作图问题。 3.二阶曲线的射影分类。 二次曲线的仿射性质和度量性质 一、要求和考试内容 1.掌握二次曲线的中心、直径、共轭直径、渐近线等概念和性质。 小学数学图形计算公式 （C ：周长 S ：面积 a ：边长、长 、底、上底、棱长 b: 宽 、下底 h: 高 d ：直径 r ：半径 V:体积 ） 1、长方形周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 长方形面积=长×宽 S=ab 2、正方形周长＝边长×4 C = 4a 正方形面积=边长×边长 S = a×a = a 2 3、平行四边形面积=底×高 s=ah 4、三角形面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积 ×2÷底 h = 2s ÷a 三角形底=面积 ×2÷高 5、梯形面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 6、圆的周长=直径×圆周率=2×圆周率×半径 C=лd=2лr d=C π r=C 2π 圆的面积=半径×半径×圆周率 S = πr 2 环形的面积=外圆的面积-内圆的面积 S 环=π（R 2-r 2） 7、长方体的棱长总和 = 长×4 + 宽×4 + 高×4 =（长 + 宽 + 高）×4 长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S = 2( ab + ah + bh ) 长方体体积=长×宽×高 = 底面积×高 V=abh = sh 8、正方体的棱长总和=棱长×12 正方体表面积=棱长×棱长×6 S 表 = a×a×6 = 6a 2 正方体体积=棱长×棱长×棱长=底面积×高 V = a×a×a = a 3 = sh 9、圆柱的侧面积=底面周长×高 s 侧=ch=πdh=2πrh 圆柱表面积=侧面积+底面积×2 s 表=s 侧+s 底×2 圆柱体积=底面积×高 V 柱 = sh =πr 2h 10、圆锥体体积=底面积×高×13 V 锥 = 13 sh = 1 3 πr 2h 小学数学图形计算公式 （C ：周长 S ：面积 a ：边长、长 、底、上底、棱长 b: 宽 、下底 h: 高 d ：直径 r ：半径 V:体积 ） 1、长方形周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 长方形面积=长×宽 S=ab 2、正方形周长＝边长×4 C = 4a 正方形面积=边长×边长 S = a×a = a 2 3、平行四边形面积=底×高 s=ah 4、三角形面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积 ×2÷底 h = 2s ÷a 三角形底=面积 ×2÷高 5、梯形面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 6、圆的周长=直径×圆周率=2×圆周率×半径 C=лd=2лr d=C π r=C 2π 圆的面积=半径×半径×圆周率 S = πr 2 环形的面积=外圆的面积-内圆的面积 S 环=π（R 2-r 2） 7、长方体的棱长总和 = 长×4 + 宽×4 + 高×4 =（长 + 宽 + 高）×4 长方体表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S = 2( ab + ah + bh ) 长方体体积=长×宽×高 = 底面积×高 V=abh = sh 8、正方体的棱长总和=棱长×12 正方体表面积=棱长×棱长×6 S 表 = a×a×6 = 6a 2 正方体体积=棱长×棱长×棱长=底面积×高 V = a×a×a = a 3 = sh 9、圆柱的侧面积=底面周长×高 s 侧=ch=πdh=2πrh 圆柱表面积=侧面积+底面积×2 s 表=s 侧+s 底×2 圆柱体积=底面积×高 V 柱 = sh =πr 2h 10、圆锥体体积=底面积×高×13 V 锥 = 13 sh = 1 3 πr 2h 中小学教师信息技术考试理论试题 一选择题（40分，每一题1分） 1.下面选项是对信息的实质的理解和说明,其中错误的选项是________. A. 信息就是计算机的处理对象 B. 信息就是关于事物运动的状态和规律的知识 C. 信息就是信息,既不是物质,也不是能量 D. 信息就是人类同外部世界进行交换的内容的名称 2. 信息技术在教学中常用作获取学习资源的工具,人们常说,"因特网是知识的海洋". D C B A 函数几何计算题 1、如图7，平面直角坐标系中，已知一个一次函数的图像经过点A （0，4）、B （2，0）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）把直线AB 向左平移，若平移后的直线与x 轴交于点C 且AC ＝BC ．求点C 2. 如图9，已知矩形ABCD ，把矩形ABCD 沿直线BD 翻折，点C 落在点E 处，联结AE ． （1）若AB=3，BC=6，试求四边形ABDE 的面积； （2 ）记AD 与BE 的交点为P ，若AB=a ，BC ＝b ， 试求PD 的长（用a 、b 表示）． 3． 上周六，小明一家共7人从南桥出发去参观世博会。小明提议： 让爸爸载着爷爷、奶奶、外公、外婆去，自己和妈妈坐世博 41路车去，最后在地铁8号线航天博物馆站附近汇合。图中 l 1，l 2分别表示世博41路车与小轿车在行驶中的路程（千米） 与时间（分钟）的关系，试观察图像并回答下列问题： （1）世博41路车在途中行驶的平均速度为_______千米/分钟； 此次行驶的路程是____ ___千米．（2分） （2）写出小轿车在行驶过程中s 与t 的函数关系式： ________________，定义域为___________．（3分） （3）小明和妈妈乘坐的世博41路车出发 分钟后被爸爸的小轿车追上了．（3分） 4、（本题7分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD . （1）如果∠A =?50，∠B =?80，求证：AB CD BC =+. （2）如果AB CD BC =+，设∠A =?x ，∠B =?y ，那么y 关于x 的函数关系式是_______. 5． 如图，一次函数b x y +=3 1 的图像与x 轴相交于点A （6，0）、与y 轴相交于点B ， （图1） （图2） C D (第3题图) (分钟) 高等几何试题 一、填空题（每题3分，共27分） 1、 两个三角形面积之比是（ ）。 2、 相交于影消线的二直线必射影成（ ）。 3、 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（ ）。 4、一点123(,,)x x x x =在一直线[]123,,u u u u =上的充要条件是 （ ）。 5、 已知1234(,)3p p p p =,则4321(,)p p p p =（ ），1324(,)p p p p =（ ）。 6、 如果四直线1234,,,p p p p 满足1234(,)1p p p p =-，则称线偶34,p p 和12,p p （ ）。 7、两个点列间的一一对应是射线对应的充要条件是 （ ）。 8、 不在二阶曲线上的两个点P 123()p p p ，Q 123()q q q 关于二阶曲线 0ij i j S a x x ≡=∑成共轭点的充要条件是（ ）。 9、 仿射变换成为相似变换的充要条件是（ ）。 二、计算题（每题8分，共56分） 1、 计算椭圆的面积（椭圆方程：22 221x y a b += ,0a b >） 2、 求共点四线11:l y k x =，22:l y k x =，33:l y k x =，44:l y k x =的交比。 3、 求射影变换11 2233x x x x x x ρρρ?'=-?? '=?? '=?? 的不变元素。 4、 求二阶曲线22212323624110x x x x x --+=经过点(1,2,1)P 的切线方程。 5、 求双曲线2223240x xy y x y +-+-=的渐近线方程。 6、 求抛物线22242410x xy y x ++-+=的主轴和顶点。 7、 求使三点(0,)O ∞，(1,1)E ，(1,1)P -顺次变到点(2,3)O '，(2,5)E '， (3,7)P '- 的仿射变换。 三、已知(1,2,3)A ，(5,1,2)B -，(11,0,7)C ，(6,1,5)D ，验证它们共线并求 (,)AB CD 的值。 （8分） 四、 求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条 二阶曲线。（9分） 分析中考的几何计算题 几何计算题历年来是中考的热点问题。几何计算是以推理为基础的几何量的计算，主要有线段与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。解几何计算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法等。 一、三种常用解题方法举例 例1. 如图，在矩形ABCD 中，以边AB 为直径的半圆O 恰与对边CD 相切于T ，与对角线AC 交于P ， PE ⊥AB 于E ，AB=10，求PE 的长。 解法一：（几何法）连结OT,则OT ⊥CD ，且OT=2 1 AB ＝5,BC=OT=5,AC=25100+=55 ∵BC 是⊙O 切线，∴BC 2 =CP ·CA ∴PC=5，∴AP=CA-CP=54 ∵PE ∥BC ∴ AC AP BC PE = ，PE=5 554×5=4 说明：几何法即根据几何推理，由几何关系式进行求解的方法，推理时特别 要注意图形中的隐含条件。 解法二：（代数法）∵PE ∥BC ，∴AB AE CB PE = ∴2 1 ==AB CB AE PE 设：PE=x ，则AE=2x ，EB=10–2x 连结PB 。 ∵AB 是直径，∴∠APB=900 在Rt △APB 中，PE ⊥AB ，∴△PBE ∽△APE ∴2 1==AE PE EP EB ∴EP=2EB ，即x=2（10–2x ） 解得x=4 ∴PE=4 说明：代数法即为设未知数列方程求解，关键在于找出可供列方程的相等关系，例如：相似三角形中的线段比例式；勾股定理中的等式；相交弦定理、切割线定理中的线段等积式，以及其他的相等关系。 解法三：（三角法）连结PB ，则BP ⊥AC 。设∠PAB=α 在Rt △APB 中，AP=10COS α 在Rt △APE 中，PE=APsin α, ∴PE=10sin αCOS α 在Rt △ABC 中, BC=5,AC=55 ∴sin α= 555 55= ,COS α=55 25 510= ∴PE=10×55255?=4 说明：在几何计算中，必须注意以下几点： （1） 注意“数形结合”，多角度，全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系。 五年级数学几何图形练习题 一、计算题 1、一块平行四边形的水稻田，底180厘米、高70米。它的面积是多少平方米？（画图及计算） 2、一个近似于梯形的林地，上底1.5千米、下底3.9千米、高0.9千米。这个林地的面积是多少平方千米？（画图及计算） 3、一个长方形的苗圃，长41米、宽19米，按每平方米育树苗5棵计算。这个苗 圃一概可以育多少棵树苗？ 4、爷爷家有一块三角形的小麦地，底32米、高15米，今年一共收小麦134.4千 克。平均每平方米收小麦多少千克？ 5、张大伯家有一块梯形的玉米地，上地120米、下底160米、高40米。预计每 公顷可以收玉米6000千克。这块玉米地一共可以收玉米多少千克？按每千克玉米0.8元计算，玉米收入有多少元？ 6、爷爷家的一块长120米、宽30米的地，按照每平方米收稻谷0.92千克计算。 今年这块地收稻谷多少千克？收的稻谷的质量是小麦的2.4倍，今年收小麦多少千克？ 7、一块三角形的果园，面积是0.84公顷，已知底是250米。它的高是多少米？ 选择题 1、把一个平行四边形活动框架拉成一个长方形，那么现在的长方形与原来的平行四边形相比，周长（），面积（） A 、变大B、变小C、没变D、无法比较 2、一个三角形底不变，高扩大6倍，面积（） A、不变B扩大6倍C、扩大3倍D、缩小3倍 3、一个平行四边形的底是40厘米，高是20厘米，与它等底等高的三角形的面积是（） A 、4平方分米 B 400平方分米C、8平方分米 4、下列说法中错误的是（） A 、在6与7之间的小数有无数个B、0既不是正数也不是负数。 C 、生活中，一般把盈利用正数表示D、两个不同形状的三角形面积也一定不相等 5、图中阴影部分与空白部分相比（ A、面积相等，周长相等 B、面积不等，周长相等。 C、面积相等，周长不等。 D、无法比较。 三、求下面图形的周长和面积。 浙江省2002年4月高等教育自学考试 高等几何试题 课程代码：10027 一、填空题(每空2分，共20分) 1._______，称为仿射不变性和仿射不变量. 2.共线三点的简比是_______不变量. 3.平面内三对对应点(原象不共线，映射也不共线)决定唯一_______. 4.点坐标为(1，0，0)的方程是_______. 5.u u 1222- =0代表点_______的方程. 6.已知共线四点A 、B 、C 、D 的交比(AB ，CD)=2，则(CA ，BD)=_______. 7.对合由_______唯一决定. 8.二阶曲线就是_______的全体. 9.证明公理体系的和谐性常用_______法. 10.罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做_______直线. 二、计算题(每小题6分，共30分) 1.求直线x -2y+3=0上无穷远点的坐标。 2.求仿射变换 '=-+'=++??? x x y y x y 71424 的不变点. 3.求四点(2，1，-1)，(1，-1，1)，(1，0，0)，(1，5，-5)顺这次序的交比. 4.试求二阶曲线的方程，它是由两个射影线束 x 1-λx 3=0与x 2-'λx 3=0 ('λ=λλ-+12 )所决定的. 5.求二次曲线2x 2+xy -3y 2+x -y=0的渐近线. 三、作图题(每小题6分，共18分) 1.给定点A 、B ，作出点C ，使(ABC)=4. 作法： 2.过定点P ，作一条直线，使通过两条已知直线的不可到达的点. 作法： 3.如图，求作点P关于二次曲线Γ的极线 作法： 四、证明题(第1、2题各10分，第3小题12分，共32分) 1.设P、Q、R、S是完全四点形的顶点，A=PS×QR,B=PR×QS,C=PQ×RS,证明A1=BC×QR,B1=CA×RP, C1=AB×PQ三点共线. 证明： 2.过二次曲线的焦点F，引两条共轭直线l,l′，证明l⊥l′. 证明： 3.将△ABC的每边分成三等份，每个分点跟三角形的对顶相连，这六条线构成一个六边形(图甲)，求证它的三双对顶连线共点。 证明(按以下程序作业)： 第一步：将△ABC仿射变换为等边△A′B′C′(图乙)，为什么这样变换存在? 第二步：在图乙中，画出图甲的对应点和线段，并叙述原来命题对应地变成怎样的命题。第三步：证明：变换后的相应命题成立。这样原来命题也就成立，为什么? 平面几何习题大全 下面的平面几何习题均是我两年来收集的，属竞赛围。共分为五种类型，1，几何计算；2，几何证明；3，共点线与共线点；4，几何不等式；5，经典几何。 几何计算-1 命题设点D是Rt△ABC斜边AB上的一点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F。若AF=15，BE=10，则四边形DECF的面积是多少？ 解：设DF=CE=x,DE=CF=y. ∵Rt△BED∽Rt△DFA, ∴BE/DE=DF/AF <==> 10/y=x/15 <==> xy=150. 所以，矩形DECF的面积150. 几何证明-1 命题在圆接四边形ABCD中，O为圆心，己知∠AOB+∠COD=180.求证:由O向四边形ABCD所作的垂线段之和等于四边形ABCD的周长的一半。 证明(一) 连OA,OB,OC,OD，过圆心O点分别作AB,BC,CD,DA的垂线，垂足依次为P,Q,R,S。 易证ΔAPO≌ΔORD，所以DR=OP,AP=OR， 故OP+OR=DR+AP=(CD+AB)/2。 同理可得:OQ+OS=(DA+BC)/2。 因此有OP+OQ+OR+OS=(AB+BC+CD+DA)/2。 证明(二) 连OA,OB,OC,OD，因为∠AOB+∠COD=180°,OA=OD，所以易证 RtΔAPO≌RtΔORD，故得DR=OP,AP=OR， 即OP+OR=DR+AP=(CD+AB)/2。 同理可得:OQ+OS=(DA+BC)/2。 因此有OP+OQ+OR+OS=(AB+BC+CD+DA)/2。 几何不等式-1 命题设P是正△ABC任意一点，△DEF是P点关于正△ABC的接三角形[AP,BP,CP延长分别交BC,CA,AB于D,E,F]，记面积为S1;△KNM是P点关于正△ABC的垂足三角形[过P 点分别作BC,CA,AB垂线交于K,N,M]，记面积为S2。求证:S2≥S1 。 证明设P点关于正△ABC的重心坐标为P(x,y,z)，a为正△ABC的边长，则正△ABC的面积为S=(a^2√3)/4。 由三角形重心坐标定义易求得: AD=za/(y+z),CD=ya/(y+z),CE=xa/(z+x),AE=za/(z+x),AF=ya/(x+y),BF=xa/(x+y). 故得: △AEF的面积X=AE*AF*sin60°/2=Syz/(z+x)(x+y); △BFD的面积Y=BF*BD*sin60°/2=Szx/(x+y)(y+z); △CDE的面积Z=CD*CE*sin60°/2=Sxy/(y+z)(z+x). 从而有S1=S-X-Y-Z=2xyzS/(y+z)(z+x)(x+y)。 因为P点是△KNM的费马点，从而易求得: 几何体计算公式大全 长方形的面积=长×宽 长方形的周长=(长+宽)×2 正方形的周长=边长×4 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高 梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径 长方体的表面积= (长×宽+长×高＋宽×高)×2 长方体的体积=长×宽×高 正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 圆柱的体积=底面积×高 圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体(正方体、圆柱体) 的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C与面积S 正方形a—边长C＝4a S＝a2 长方形a与b－边长C＝2(a+b) S＝ab 三角形a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角 其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D－对角线长 α－对角线夹角S＝dD/2·sinα 平行四边形a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角S＝ah ＝absinα 菱形a－边长 α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形a与b－上、下底长 h－高 m－中位线长S＝(a+b)h/2 ＝mh 圆r－半径 d－直径C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4 扇形r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形l－弧长 b－弦长 h－矢高 r－半径α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 ＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 ＝r(l-b)/2 + bh/2 ≈2bh/3 圆环R－外圆半径 r－内圆半径 D－外圆直径 d－内圆直径 S＝π(R2-r2) ＝π(D2-d2)/4 椭圆D－长轴 d－短轴S＝πDd/4 立方图形 名称符号面积S与体积V 正方体a－边长S＝6a2 V＝a3 长方体a－长 b－宽 c－高S＝2(ab+ac+bc) V＝abc 棱柱S－底面积 h－高V＝Sh 棱锥S－底面积 h－高V＝Sh/3 棱台S1与S2－上、下底面积 h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3 拟柱体S1－上底面积 S2－下底面积 S0－中截面积 1 浙江省2018年7月自学考试高等几何试题 课程代码：10027 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.在三角形的以下性质中是仿射性质的是( ) A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 2.以下四条直线中所含的无穷远点与其他三条不同的是( ) A.x y x y 121)1(2+=++ B.11)(2=++x x y C.x +2y =0 D.过点(1,3),(3,2)的直线 3.已知A ,B ,C ,D 四点是调和点列，任意调整它们次序后所得交比不会出现的是( ) A.1 B.2 C.-1 D. 2 1 4.椭圆型射影对应的自对应元素是( ) A.两个互异的实元素 B.两个互异的虚元素 C.两个重合的实元素 D.两个重合的虚元素 5.唯一决定一条二阶曲线需无三点共线的( ) A.3点 B.4点 C.5点 D.6点 二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.两点-3u 1+u 2+2u 3=0,2u 1-u 2+3u 3=0连线的坐标是_________. 7.若对合a μμ′+b (μ+μ′)+c =0是椭圆型的,则系数满足_________. 8.完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列,即这直线上的两个顶点和_________. 9.椭圆上四定点与其上任意第五点所联四直线的交比为_________. 2 10.平面上任一圆通过的两个固定点称为_________. 三、计算题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 11.求使三点A (0,0),B (1,1),C (1,-1)变到三点A ′(1,1),B ′(3,1),C (1,-1)的仿射变换. 12.已知平面上有点A (2,1),B (4,2),C (6,-3),D (-3,2),E (-5,1),求A (BC ,DE ). 13.求射影变换式,使它的不变元素的参数是λ1=-1,λ2=3,并且使λ3=1变为3 λ'=0. 14.求射影变换??? ??--='-='-='3213 212 211 36 4 x x x x x x x x x x ρρρ的二重直线. 15.求两个成射影对应的线束x 1-λx 2=0，x 2-λ′x 3=0,(λ′= λ λ +1)所构成的二阶曲线的方程. 16.求二次曲线x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3=0的中心. 四、作图题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）（第18题写出作法） 17.作出下列图形的对偶图形: 题17图 18.已知二阶曲线上五点A ,B ,C ,D ,E ,求作该曲线上点A 处的切线. 题18图 五、证明题(本大题共3小题，第19小题和第20小题各10分，第21小题8分，共28分) ； 系 专业 班 学号 姓名 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 试卷类型： A 高等几何 使用专业年级 考试方式：开卷（ ）闭卷（√） 共 6 页 题号 一 二 三 四 五 六 合计 得分 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1、设1P (1)，2P (-1)，3P (∞)为共线三点，则=)(321P P P 。 2、写出德萨格定理的对偶命题： 。 3、若共点四直线a,b,c,d 的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=______。 4、平面上4个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为： 。 5、二次曲线的点坐标方程为042 2 31=-x x x ，则其线坐标方程为是 。 二、 选择题（每小题2分，共10分） 1.下列哪个图形是仿射不变图形？( ) A.圆 B.直角三角形 C.矩形 D.平行四边形 2. 22 1122280u u u u +-=表示( ) A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点 B. 以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点 C. 以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点 D. 以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点 3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？( ) A.一次 B.两次 C.三次 D.四次 4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有( )： A. 三角形的垂心 B. 梯形 C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点 D.椭圆 5.二次曲线按射影分类总共可分为( ) A.4类 B.5类 C.6类 D.8类 三、判断题（每小题2分，共10分） 1.仿射对应不一定保持二直线的平行性。（） 2.两直线能把射影平面分成两个区域。（） 3.当正负号任意选取时，齐次坐标)1 ± ±表示两个相异的点。（） ,1 ,1 (± 4. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素(非自对应元素)符合对合条件，则此 射影变换一定是对合。（） 5.配极变换是一种非奇线性对应。（） 小学几何图形基本概念及计算公式 轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折,直线左右的两部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.长方形（2条对称轴）,正方形（4条对称轴）,等腰三角形（1条）,等边三角形（3条）,等腰直角三角形（1条）,等腰梯形（1条）,圆（无数条）. 点：线和线相交于点. 直线：某点在空间中或平面上沿着一定方向和相反方向运动,所画成的图形,叫做直线.直线是向相反方向无限延伸的,所以它没有端点,不可以度量. （可以用表示直线上任意两点的大写字母来记：直线AB,也可以用一个小写字母来表示：直线a) 射线：由一个定点出发,向沿着一定的方向运动的点的轨迹,叫做射线.这个定点叫做射线的端点,这个端点也叫原点.射线只有一个端点,可以向一端无限延长，不可以度量.（射线可以用表示他端点,和射线上任意一点的两个大写字母表示：射线OA） 线段：直线上任意两点间的部分,叫做线段.这两点叫做线段的端点,线段有长度,可以度量.（线段可以用两个端点的大写字母表示：线段AB,也可以用一个小写字母表示；线段a）线段的性质：在连接两点的所有线中,线段最短. 角：从一点引出两条射线所组成的图形,叫做角.这两条射线的公共端点,叫做角的顶点.组成角的两条射线,叫做角的边. 角的大小与夹角两边的长短无关. 角的分类： 直角：90度的角叫做直角 平角：一条射线由原来的位置,绕它的端点按逆时针方向旋转,到所成的角的终边和始边成一直为止,这时所成的角叫做平角.或者角的两边的方向相反,且同在一条直线上时的角叫做平角,平角是180度. 锐角：小于90度的角叫做锐角 钝角：大于90度的角叫做钝角 垂直与平行：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线,也可以说这两条直线互相平行. 如果两条直线相交成 几何计算题选讲 Corporation standardization office #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8 江苏地区中考数学复习几何计算题选讲 几何计算题历年来是中考的热点问题。几何计算是以推理为基础的几何量的计算，主要有线段 与弧的长度计算、角和弧的度数计算、三角函数值的计算、线段比值的计算以及面积、体积的计算，从图形上分类有：三角形、四边形、多边形以及圆的有关计算。解几何计算题的常用方法有：几何法、代数法、三角法等。 一、三种常用解题方法举例 例1． 如图，在矩形ABCD 中，以边AB 为直径的半圆O 恰与对边CD 相切于T ， 与对角线AC 交于P ，PE ⊥AB 于E ，AB=10，求PE 的长. 解法一：（几何法）连结OT ，则OT ⊥CD ，且OT=21 AB ＝5 BC=OT=5,AC=25100+=55 ∵BC 是⊙O 切线，∴BC 2 =CP ·CA. ∴PC=5，∴AP=CA-CP=54. ∵PE ∥BC ∴ AC AP BC PE = ，PE=5 55 4×5=4. 说明：几何法即根据几何推理，由几何关系式进行求解的方法，推理时特别要 注意图形中的隐含条件. 解法二：（代数法） ∵PE ∥BC ，∴AB AE CB PE =. ∴2 1 ==AB CB AE PE . 设：PE=x ，则AE=2 x ，EB=10–2 x . 连结PB. ∵AB 是直径，∴∠APB=900. 在Rt △APB 中，PE ⊥AB ，∴△PBE ∽△APE . ∴21==AE PE EP EB .∴EP=2EB ，即x=2（10–2x ）. 解得x =4. ∴PE=4. 说明：代数法即为设未知数列方程求解，关键在于找出可供列方程的相等关系，例如：相似三角形中的线段比例式；勾股定理中的等式；相交弦定理、切割线定理中的线段等积式，以及其他的相等关系. 解法三：（三角法） 连结PB ，则BP ⊥AC.设∠PAB=α 在Rt △APB 中，AP=10COS α， 在Rt △APE 中，PE=APsin α, ∴PE=10sin αCOS α. 在Rt △ABC 中, BC=5,AC=55.∴sin α= 5 55 55= , COS α= 5 5 25 510= .∴PE=10×55255?=4. 《高等几何》试题（１） 1. 试确定仿射变换，使y 轴，x 轴的象分别为直线01=++y x ，01=--y x ，且点（1，1） 的象为原点.(51') 2. 利用仿射变换求椭圆的面积.(01') 3. 写出直线12x +23x -3x =0,x 轴,y 轴,无穷远直线的齐次线坐标.(01') 4. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51') 5. 已知A (1,2,3),B (5,-1,2),C (11,0,7),D (6,1,5),验证它们共线,并求(CD AB ,)的值.(8') 6. 设1P (1,1,1),2P (1,-1,1),4P (1,0,1)为共线三点,且(4321,P P P P )=2,求3P 的坐标.(21') 7. 叙述并证明帕普斯(Pappus)定理.(01') 8.一维射影对应使直线l 上三点P (-1),Q (0),R (1)顺次对应直线l '上三点 P '(0),Q '(1),R '(3),求这个对应的代数表达式.(01') 9.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.(01') 《高等几何》试题（２） 1.求仿射变换424,17++='+-='y x y y x x 的不变点和不变直线. (51') 2. 叙述笛沙格定理,并用代数法证之.(51') 3.求证a (1,2,-1) ,b (-1,1,2),c (3,0,-5)共线,并求l 的值,使 ).3,2,1(=+=i mb la c i i i (01') 4.已知直线421,,l l l 的方程分别为02321=-+x x x ，0321=+-x x x ， 01=x ，且=),(4321l l l l 3 2 - ，求2l 的方程.(51') 5.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. (01') 6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底 的交点自对应. (01') 7.求两对对应元素,其参数为12 1 → ,0→2,所确定对合的参数方 中考系列复习——几何计算专题 一、中考要求 证明与计算，是几何命题的两大核心内容。几何计算题，通常需要借助几何中的概念、定义、定理、公理等知识，求解相关几何元素的数值。在解题时，要求能准确灵活地选用有关知识，采用各种数学方法（既可以是几何方法，也可以是代数方法），加以求解。为了能在有限的时间内，迅速准确地解题，就需要在平时练习中，强化基础题，多采用一题多解、优化方案等训练方法，积累经验，达到熟能生巧的效果。 二、知识网络图 如图1所示： 图 1 三、基础知识整理 几何计算题的重点比较分散，从知识点本身来说，解直角三角形的知识具有计算题得天独厚的优势，所以涉及解直角三角形的试题大部分是计算题。但是，在实际命题时，更多的是圆的有关计算题和四边形的计算题，它们与其它几何知识都有密切的联系，能在主要考查一个知识点的同时，考查其他知识点。就题型而言，各种题型中都能见到几何计算题的身影，比如线与角计算题、三角形计算题、相似形计算题等等，综合性计算题则更多出现在中档解答题和压轴题中。 需要说明的是，根据中考命题改革的大趋势，几何计算题的难度比以前有所下降，更突出在题目的内容、形式、解法上有所创新，所以，我们不必把重点放到一些繁难的计算题上，而应扎实学好基础知识，多分析解题使用到的数学思想方法，比如方程与函数、分类讨论、转化构造等数学思想方法，重视数学知识的实际应用。 四、考点分析（所选例题均为2004年中考试题） 1、线与角计算题 所用知识主要有线段的中点、角平分线、线段或角的和差倍分、余角、补角的基本概念的定义，以及角的计量、对顶角性质、平行线性质等。难度不大，可直接利用上述定义、 一。几何图形及计算公式 平面几何图形和立体几何图形。包括面积体积表面积等等公式三角形 面积 1）S=1/2底*高 2）S=1/2*意两边的乘积*这两边夹角的正弦值（已知两边及其夹角的大小） 3）S=根号下p(p-a)(p-b)(p-c)---------------------(海伦公式：已知三边的长，p=周长/2） 分类：钝角直角锐角 特例:等边三角形：S=四分之一倍根号三*边长的平方 等腰直角三角形：S=1/2倍直角边的平方 注：顶角为36°的等腰三角形也很重要 性质：正弦定理： sinA/a=sinB/b=sinc/C 余弦定理： a^2=b^2+c^2-2bc cosA b^2=a^2+c^2-2ac cosB c^2=a^2+b^2-2ab cosA 三角形2条边向加大于第三边. 三角形内角和=180度 四边形 梯形：S=（上底+下底）*高/2 平行四边形：S=底*高 长方形：S=长*宽 正方形：S=边长*边长 内角和为360° 多边形：内角和为（n-2)*180° 面积：具体问题具体分析（可用切割法划为简单图形计算） 圆：s=πr^2 周长=2πr 性质：园内以直径为一边的圆周三角形为直角三角形，且直径所对的角为直角相同弧长所对的圆心角为其圆周角的两倍 弦切角=圆周角=1/2圆心角 过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直 立体 棱柱：V=底面积*高（四棱柱可切为6个三棱锥） 椎体：V=C底面积*高（C为一常数，三棱柱时为1/3;正三棱锥很重要） 球：S=4πr^2 V=4/3倍πr^3 提问人的追问 2010-01-03 16:18 很清晰。但好像还不是很完整，比如说扇形的，还有椎体，台体。还有像问一下，椎体哪里的c为一常数是怎么看的 回答人的补充 2010-01-03 16:36 嗯~2扇形：S=顶角/360°*（πr^2） 弓形：S=相应扇形的面积-相应三角形的面积 椎体体积的计算时始终记住底面积乘以高然后根据其特点确定C （因为底面积乘以高为四棱柱的体积所以只要确定几个这样的椎体构成一个四棱柱则 C=1/n)上面那个地方写错了应该是1/6 更为复杂的立体一定要用切割法或是互补法 几年没碰过了忘了好多还有什么遗漏的告诉我我再看一下能不能记起 提问人的追问 2010-01-03 16:43 弧长公式。用不同的公式表示 回答人的补充 2010-01-03 16:54 因弧度数=弧长/半径 所以1）弧长=弧度*半径 又 2）弧长=（圆心角/360°）*周长 3）在物理方面弧长=角速度*半径*时间 提问人的追问 2010-01-03 17:18 弦切角=圆周角=1/2圆心角可以帮我画个图吗 回答人的补充 2010-01-03 17:34 几何计算题 1.如图6，矩形纸片ABCD 的边长AB=4，AD=2．翻折矩形纸片，使点A 与点C 重合，折痕分别交AB 、CD 于点E 、F ， （1）在图6中，用尺规作折痕EF 所在的直线（保留作图痕迹，不写作法），并求线段EF 的长； （2）求∠EFC 的正弦值． 解：(1) 作图正确 ∵矩形ABCD ， ∴90B ∠=，BC AD =. ∵在Rt △ABC 中，AB =4，AD =2 ∴由勾股定理得：AC =设EF 与AC 相交与点O ， 由翻折可得 AO CO ==90AOE ∠=． ∵在Rt △ABC 中, tan 1BC AB ∠=， 在Rt △AOE 中，tan 1EO AO ∠=. ∴ EO BC AO AB = ， ∴2EO =. 同理：2FO = . EF =. (2)过点E 作EH CD ⊥垂足为点H , 2EH BC == ∴sin 5EH EFC EF ∠= == 2、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE ． （1）求证：ABE △DFA ≌△； （2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值． D C B A D A B C E F 3、如图7，△ABC 中，AB=AC ， 4 cos ∠(1) 求AB 的长； (2) 求ADC ∠的正切值. 解：（1）过点 A 作AH ⊥BC ，垂足为 ∵AC A B = ∴B C HC BH 2 1==设x CD AC AB === ∵6=BD ∴6+=x BC ， 2 6+=x BH 在Rt △AHB 中，AB BH ABC =∠cos ，又5 4 cos =∠ABC ∴ 5 426 =+x x 解得：10=x ，所以10=AB （2）82 1===BC HC BH 2810=-=-=CH CD DH 在Rt △AHB 中，222AB BH AH =+，又10=AB ，∴6=AH 在Rt △AHD 中，32 6tan ===∠DH AH ADC ∴ADC ∠的正切值是3 4、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D ，已知∠D ＝30°. （1）求∠A 的度数； （2）若点F 在⊙O 上，CF ⊥AB ，垂足为E ，CF ＝34，求图中阴影部分的面积. 解：（1） 连结OC ，∵CD 切⊙O 于点C ，∴∠OCD ＝90°∵∠D ＝30°，∴∠COD ＝60°. ∵OA＝OC ，∴∠A＝∠ACO＝30°. （2）∵CF ⊥直径AB ， CF ＝34，∴CE ＝ ∴在Rt △OCE 中，OE ＝2，OC ＝4. ∴2 BOC 6048 3603 S ππ?扇形＝ ＝，EOC 1 22 S ??＝∴EOC BOC S S S π阴影扇形8＝－＝－3高等几何试卷及答案
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