单位分数拆分

数学第一讲 单位分数的拆分

期数：秋 季 年级：六年级

编稿：王 正 责编：高云鹏

一、分数变形问题

例1．(1) 有一个分数，分子加3可约简为

57，分子减3，可约简为12，求这个分数。 解法1: 通分510714=,17214

=，此时分母相同，分子差3，而由题意分子应差6，故再翻倍，520728=,114228

=，所以原数为1728 解法2：设原数为y x ，则357312y x y x

+?=???-?=??，解得2817x y =??=?

(2) 有一个分数，分母加1可约简为23，分母减1，可约简为34

，求这个分数。 解法1：通分子得：2636,3948

==，此时分子相同分母差1，而由题意分母应差2，故再次翻倍，212312,318416==，所以原数为1217

解法2：设原数为y x ，则21

3314

y x y x ?=??+??=?-?，解得1712x y =??=?

(3) 有一个分数，分母减1可约简为12

，分母加12，可约简为13，求这个分数。 解法1：目前分子相同分母差1，而由题意应分子相同分母差13，故分子分母同时乘以13，

113113,226339

==，所以原数为1327 解法2：设原数为y x ，则1121

123

y x y x ?=??-??=?+?，解得2713x y =??=?

例2．(1) 有一个分数，分子减4可约简为13，分母减7，可约简为1

2，求这个分数。 解：设原数为y x ，则4

1

3

172

y x y x -?

=????=?-?，解得45

19

x y =??=?

(2) 有一个分数，分子加5可约简为3

4，分母减2，可约简为1

2，求这个分数。 解：设原数为y x ，则5

3

4

122

y x y x +

?=????=?-?，解得16

7x y =??=?

例3．(1) 将分数29

43的分子减去a ，分母加上a ，则分数可约简为3

5，求a.

解法1：约分前分子分母总和不变29+43=72，分成3:5两份，即3

5=27

45，可见a=2

解法2：由题意得：293

435a a -=+，解得a=2

(2) 将分数39

44的分子、分母均加上a ，则分数可约简为16

17，求a.

解法1：约分前分子分母差不变44-39=5，即1680

1785=，可见a=41

解法2：由题意得：3916

4417a

a +=+，解得a=41

二、比较大小方法汇总

1、通分(通分母或分子)

2、比较与1的差距(有时可能比较与1/2的差距)

3、比较倒数

4、估计、放缩

5、交叉相乘

6、 例（1）1219_____15

22

真分数分子分母同时加3，故<

(0,0)

a

a x

a b x b b x +<<<>+

（2）23_____13

20

与1的差距分别是13和720，而7

7

2120<，故>

（3）7171

8383_____717171

838383

7171

71101

71

83838310183?==?, 717171

7110101

71

838383831010183?==?, 故=

（4）11115541_____111

554

1111

1110

55415540>，故>

（5）218101

654321____152347

456789 与13比较，13=218107654321=152263

456789，故<

（6）218191

654321____152347

456789

分别减去1

3得84

654321和84

456789，故<

（7）9991000_____1000

1001

显然<

（8）117

448_____207

888

与1

4比较，117

448>1

4>207

888，故>

（9）661

998_____6661

9998 661

6610

661018

6628

6661

998998099801899989998+=<=<+

三、单位分数(埃及分数)

例1．(1)18＝1()＋1()＝1()＋1()＝1()＋1()＝1()＋1

()

解：8的约数有1，2，4，8，故有4种拆法：

121

1

8161616

1

311

8242412

1511

8404010

1

9

11

872729

==+==+==+==+

(2) 1

8＝1

()＋1

()＋1

()＋1

() （填不同的数）

11111

1

1

1

1

1

,896324816896326012=+++=+++……

例2．甲、乙合作加工一批零件，共需15天，若单独作，各需多少个整天？

解：15的约数有1，3，5，15，故有4种拆法：

12

11

15303030

141

1

15606020

161115909018

1

1611

1524024016

==+==+==+==+

例3．(1) 将下列和表示为一个最简分数：

1

1111

1223344556++++????? 答：5

6

(2) 你能从以下99个埃及分数中挑出10个，使这10个埃及分数的和为1吗？

21，31，41，51，…，991，1001

． 解：11111111

11 (2233491010)

1111111111

261220304256729010

=-+-+-++-+=+++++++++

例4．(1) 若1

1

1

1

1

()7A B A B C D =+=-≠，则A ＋B ＋C ＋D ＝____. 解：1

1

1

1

1

7568642=+=-，A ＋B ＋C ＋D ＝112

(2) A 、B 都是三位数且111

1998A B -=,求A 、B.

答：A=666，B=999

语文第一讲情节概括题

期数：秋季年级：六年级

编稿：刘薇责编：刘玉霞

或者概括整个事件的情节，或者概括这个情节中的某几个部分。

例：A.在本文中叙写了“盲童”的两件事，请分别概括。

B．选文讲述了慕生忠将军的故事，请根据故事的主要情节，用简洁的语言把下面的内容补充完整。；将军带领大家护树；；将军与树同在。

如何概括情节？——人物做了什么（最好有比较详细的过程，可以包括起因、经过、结果，但如果有字数的限制，就写主要事件）

例1

至于水，我的故乡小村却大大地有。几个苇坑占了小村面积一多半。在我这个小孩子眼中，虽然不能像洞庭湖“八月湖水平”那样有气派，但也颇有一点烟波浩渺之势。到了夏天，黄昏以后，我在坑边的场院里躺在地上，数天上的星星。有时候在古柳下面点起篝火，然后上树一摇，成群的知了飞落下来，比白天用嚼烂的麦粒去粘要容易得多。我天天晚上乐此不疲，天天盼望黄昏早早来临。

到了更晚的时候，我走到坑边，抬头看到晴空一轮明月，清光四溢，与水里的那个月亮相映成趣。我当时虽然还不懂什么叫诗兴，但也顾而乐之，心中油然有什么东西在萌动。有时候在坑边玩很久，才回家睡觉。在梦中见到两个月亮叠在一起，清光更加晶莹澄澈。第二天一早起来，到坑边苇子丛里去捡鸭子下的蛋，白白的一闪光，手伸向水中，一摸就是一个蛋。此时更是乐不可支了。

作者在第4、5段中追忆了哪些童年趣事？请按先后顺序填写。

囗囗囗→捉知了→囗囗囗→囗囗囗→囗囗囗

（数星星——捉知了——看月亮——摸鸭蛋）

例2

一次，我替表姐接一位盲人小朋友回家过夜。夜，很深了，他不肯睡觉，却安静地坐在我身边。他的发问打破了夜的沉默：“您能告诉我‘红’是什么样子吗？”这下真把我问住了。思索了一阵，我只有笨拙地解释：“你感受过‘火’吗？‘火’是红的。”“那‘红’一定很烫呀！”他说。我又讲：“老师给你讲过吗？太阳是‘红’的。”“那‘红’一定可以给你们光明了？”“我们身体里的血是‘红’的。”“那‘红’一定是流动的。”我发现自己根本无法给他解释清楚“红”是什么样子，因为在他的世界里只有“黑”一种颜色。

我颓然地想：失去了眼睛，实在是一件痛苦的事情。这时，盲童自言自语地说：“红是流动的、是烫的、是发光的，好美丽哦！”我愕然了，在我们的眼睛中一成不变的事物，到了他的世界里却具有了这么多种美好的属性，多么敏锐的感觉！

在本文中叙写了“盲童”的两件事，请分别概括。

（盲童问我“红”是什么

盲童问我“红”是什么，我无法解释，但他却用敏锐的感觉赋予了“红”更美好的属性。）

例3

⑷那时，我是一个入伍不到一年的汽车兵。你呢，是一个普普通通的卫生员，头顶上有一颗闪亮的五角星，军装外系着一条棕色的宽皮带，左肩斜背着一个红十字药箱。以前我并没见过你，那天我从兰州新兵营拉了一车进藏的战友，才看到你。你太忙了！车上三十五个新兵，每天你都要给他们量两三次血压，连我这个已经在青藏线上跑了三趟的“老兵”也不放过。同志们觉得自己牦牛似的身体用不着这样多事，你不依，板起脸很严肃地说：“…牦牛?也不行！高山症对谁都不客气。”一车人全老实了。

⑸唐古拉山巅出奇地冷。我停车小憩，加油加水。你照例跑上跑下为战士们检查身体。冷风吹不干你脸上的热汗……

⑹就在这时——我终生都不会忘记的那一刻，不知从哪里飞来一颗流弹，车上的一个新兵应声倒下。

⑺路边的崖洞里伸出一支叉子枪……

⑻罪恶的枪口瞄准了我们这辆军车，那枪口离汽车不过几十米。流弹还在继续飞来……

⑼你第一个发现了敌情，毫不犹豫地冲了上去！

⑽剩下的三十四名新兵全都冲上去了！他们手无寸铁，硬是用三十四双拳头捣毁了敌人的老窝。当大家把你从叉子枪上抱起来时，你已经奄奄一息了……

根据文章第⑷~⑽段的内容，概括无名女兵令人感动的事迹。

（（1）女兵在青藏高原恶劣的环境中，为进藏新兵一次次检查身体，对卫生员的工作尽职尽责。

（2）在危急时刻，她挺身而出，用自己的身体堵住了敌人的枪口，为战友的安全献出了年轻的生命。）

总结：需要首先确定有几个事件，再分别概括。

例4

作文·老师

①我出生在望族之家，乃宋朝理学家程颐、程灏的后代。小时候，因为家庭环境的影响，背诵了很多诗词，也读了很多的书，潜移默化中增长了许多知识，在我作文时便表现出来了。小学时,就能下笔成文、当场交卷，多次受到老师的表扬。

②我的中学时代是在古城徐州度过的。小升初那年，我幸运的考入了江苏省四大名校之一的徐州中学。据后来的老师告诉我说，你考试的成绩并不特别优秀，你之所以被录取是因为判卷的老师杜静生一眼便看中了你的作文，说一个小孩子，有如此见识，肯定有发展前途，于是建议校长一定要录取你这样的学生。此说是否带有演义成分我不敢说，但入学以后，杜老师对我的刮目相看，我是有所体察的。

③升入中学之后，我更加酷爱读书了。但可惜当时的图书馆藏书却很少。不能满足我的阅读需求。一次，我在作文中流露了这种缺少书读的怅惘和遗憾。杜老师在评阅之后，把我叫到他的房间。他详细地询问了我的读书情况：读过哪些书，喜欢哪些书，还希望看哪些书。我一一如实地告诉了他。他听后，沉思一会儿，然后打开他的小书柜，从中取出我希望看的几部，对我说：“拿去看吧，要爱护它们！”

④那几本书很快地被我看完了，在还书时，我又借了几本，如此反复，我一连借阅了十几本。后来，杜老师干脆把开书柜的钥匙交给了我，也就是说，我享有了随时、任意借阅其藏书的“特权”。从此，我和杜老师的关系又近了一层。

⑤每当节假日，杜老师总是带领我们到名胜古迹去觅奇揽胜，借以增长知识。游罢归来，他总是给我们留下作业，记述下游览后的感受，然后交给他批阅、评判。对此，我当然很感兴趣，往往在当天晚上，便完稿交卷，换来的多是他欣慰的称赞和慈祥的勉励。

⑥当然，杜老师并非对我一味地关爱和褒奖，他对我的要求也是严格的，经常在课堂上当众指出我作文中的病句和错别字，有时竟搞得我下不来台。

⑦有一次游罢归来，杜老师照例要我们写一篇游记。不知主宰我“灵感”的神经发生了什么故障，我的文章竟然套用了《放鹤亭记》和《醉翁亭记》两篇古文的路子，而且还颇为得意地交给了杜老师。

⑧第二天晚上，杜老师便把我叫到他的宿舍里去，我以为他一定是看到我的文章后，大为赞赏，让我去是要当面表扬我的。谁知，迎接我的竟是一张少见的铁青的面孔，我走进房间后，一点也没有平日那种随和亲切的气氛。

⑨在他的面前放着两样东西，一样是开明书店出版的《古文观止》，一样是我的作文簿。虽不知事情的底蕴，我却不禁自我紧张起来，在他的面前垂手而立。

⑩“你为什么要这么写？”他劈头就问了我这样一句。

11.我有点丈二和尚摸不着头脑，不知怎么回答。

12.他打开了我的作文簿，然后又打开《古文观止》严肃地望着我说：“套用别人现成的东西，能有什么出息？”他到底还是点出了主题，“自古以来，文章最忌讳的就是模仿而缺乏创见！拿回去重写，自己不满

意，别交给我！”随手把作文簿掷给了我。

13.我一句也不敢争辩，懊丧又委屈地回到了宿舍，在昏暗的灯光下，重新翻阅我的“作品”。只见天地和行距间，到处有杜老师批改的痕迹，他用各种符号和严厉的批语指出那些模仿的文句。看着这些，就好像杜老师板着面孔站在我的面前。此时，我自觉脸上烫得厉害。你是二十世纪四十年代的青年，怎么能够用一千年前古人的语言，来抒发你的情感呢？岂非东施效颦？

14.羞愧之下，我把那篇作文撕得粉碎，抛到窗外，然后又悄悄地来到空无一人的教室,展开作文簿新的篇页，奋笔疾书起来。仍以原题目，重新构思，重新着笔。

15.正当我的文章快要收尾的时候，只听教室的门被谁轻轻地推开了，我抬头一看，来人是杜老师。他走到我的面前，用手抚摸着我的头，爱抚地说：“很好，有志气，我知道你会这样的。天不早了，回去睡吧！”

16.“不！我写完再走！”我执拗地说。

17．他没有做声，隔了一会儿才轻声地说：“好吧！写完快点去睡！”然后转身走了，轻轻地给我带上了门。

18.对于这件事，以后杜老师从未提及，不管是当着我还是当着别人的面；我对他充满由衷的感激。他这才是对学生真正的爱啊……

19.半个多世纪过去了，往事历历，每当我有新作问世的时候，我总是怀念曾经辛勤培育过我的那些人，尤其是早已作古的杜老师。

阅读全文，根据文章的主要情节，用简洁的语言把下面的内容补充完整。

○1杜老师欣赏我的作文，推荐我进入徐州中学。

○2（15个字以内）

○3杜老师带我们游览名胜古迹，并要求我们写游记。

○4（25字以内）

总结：需要首先找准区间，再分别概括；注意已知的提示信息，找准叙述角度；注意句式的要求）

（杜老师把自己的藏书借给我阅读；杜老师批评我模仿古人文章写作的行为并要求改正）

例5.

我的一位国文老师

梁实秋

我在十八九岁的时候，遇见一位国文先生，他给我的印象最深，使我受益也最多，我至今不能忘记他。

先生姓徐，名锦澄，我们给他取的绰号是“徐老虎”，因为他凶。

他的相貌很古怪，他的脑袋的轮廓是有棱有角的，很容易成为漫画的对象。头很尖，秃秃的，亮亮的，脸形却是方方的，扁扁的，有些像《聊斋志异》绘图中的夜叉的模样。他的鼻子眼睛嘴好像是过分的集中在脸上很小的一块区域里。他戴一副墨晶眼镜，银丝小镜框，这两块黑色便成了他脸上最显著的特征。我常给他画漫画，勾一个轮廓，中间点上两块椭圆形的黑块，便惟妙惟肖。他经常是仰着头，迈着八字步，两眼望青天，嘴撇得瓢儿似的。我很难得看见他笑，如果笑起来，是狞笑，样子更凶。

我的学校是很特殊的。国文成绩与毕业无关。所以课堂上常是稀稀拉拉的不大上座，但教员用拿毛笔的姿势举着铅笔点名的时候，学生却个个都到了，因为一个学生不只答一声到。真到了的学生，一部分是从事午睡，微发鼾声，一部分看小说如《官场现形记》《玉梨魂》之类，一部分写“父母亲大人膝下”式的家书，一部分干脆瞪着大眼发呆，神游八方。在这种糟糕的情形之下，徐老先生总是很凶，老是绷着脸，老是开口就骂人。

有一天上作文课，徐老先生拿起粉笔在黑板上写了两个字，题目尚未写完，一位性急的同学发问了：“这题目怎样讲呀？”老先生转过身来，冷笑两声，勃然大怒：“题目还没有写完，写完了当然还要讲，没写完你为什么就要问？……”滔滔不绝地吼叫起来，大家都为之愕然。这时候我可按捺不住了。我一向是个上午捣乱下午安分的学生，我觉得现在受了无理的侮辱，我便挺身分辩了几句。这一下我可惹了祸，老先生把他的怒火都泼在我的头上了。他在讲台上来回地踱着，足足骂了我一个钟头，其中警句甚多，我至今还记得这

样的一句：“×××！你是什么东西？我一眼把你望到底！”

这一句颇为同学们所传诵。谁和我有点争论遇到纠缠不清的时候，都会引用这一句“你是什么东西？我把你一眼望到底”！当时我看形势不妙，也就没有再多说，让下课铃结束了先生的怒骂。

但是从这一次起，徐先生算是认识我了。我这一个“一眼望到底”的学生，后来居然成为一个受益最多的学生了。如今想来，当初的“凶”何尝不是一种负责。徐先生自己选辑教材，有古文，有白话，油印分发给大家。这样新旧兼收的教材，在当时还是很难得的开通的榜样。我也因此逐渐领教了他的才学。还有他的朗诵也非常有意思。他打着江北的官腔，咬牙切齿的大声读一遍，不论是古文或白话，一字不苟的吟咏一番，好像是演员在背台词，他把文字里的蕴藏着的意义好像都给宣泄出来了。他念得有腔有调，有板有眼，有情感，有气势，有抑扬顿挫，我们听了之后，好像是已经理会到原文的意义的一半了。好文章掷地作金石声，那也许是过分夸张，但必须可以琅琅上口，那却是真的。我对于国文的兴趣因此而提高了不少。

徐先生最独到的地方是改作文。普通的批语““清通”“尚可”“气盛言宜”，他是不用的。他最擅长的是用大墨杠子大勾大抹，一行一行的抹，整页整页的勾；洋洋千余言的文章，经他勾抹之后，所余无几了。我初次经此打击，很灰心，很觉得气短，我掏心挖肝的好容易诌出来的句子，轻轻的被他几杠子就给抹了。但是他郑重的给我解释一会，他说：“你拿了去细细的体味，你的原文是软爬爬的，冗长，懈啦光唧的，我给你勾掉了一大半，你再读读看，原来的意思并没有失，但是笔笔都立起来了，虎虎有生气了。”我仔细一揣摩，果然。他的大墨杠子打得是地方，把虚泡囊肿的地方全削去了，剩下的全是筋骨。在这删削之间见出他的功夫。如果我以后写文章还能不多说废话，还能有一点点硬朗挺拔之气，还知道一点“割爱”的道理，就不能不归功于我这位老师的教诲。

我离开先生已将近五十年了，未曾与先生一通音讯，不知他云游何处。同学们偶尔还谈起“徐老虎”，我在回忆他的音容之余，不禁还怀着怅惘敬慕之意。

（有删改）

答案示例：①凶②自己选辑教材、有意思的朗读③修改作文

例6.

剽悍的十八岁

曹春雷

①那年夏天的七月，是他一生都抹不去的黑色。

②高考前一天，父亲突患重病，医院下了病危通知书。他毅然放弃了高考，还有什么能比父亲的命更重要呢？他穿梭在医院各科室之间，交钱、拿药、取化验单……

③父亲终究还是离开了人世。从此以后，再没人为他和母亲遮风挡雨了。

④办完丧事，他想，自己必须成为一棵大树，来为母亲遮风挡雨。

⑤父亲留给娘俩的，不是财产，而是债务。父亲生前举债办了一家石粉厂，谁知厂子办起来后，产品严重滞销。

⑥他和母亲商量后，关闭了厂子，变卖了设备，连同家里积攒的钱，都用来偿还了债务。但依然有八家没能还清。都是村里的乡亲，当初父亲借钱时，他们连老底儿都拿出来了，指望着父亲年底能给一些分红，可现在……

⑦几个不眠之夜后，他告诉母亲，决定休学一年，出门打工挣钱还债。母亲长久不语，泪流满面。

⑧临行前，他将自己高中的课本都装在包里。他要去的是一个叫紫川的地方。那里小煤窑比较多，村里

好几个人在那里打工。那一年，他十八岁。

⑨辗转奔波之后，他站在了小煤窑前。第一次下井，他惊恐不已。巷道黢黑，周围时不时有矸石坠落的声音。采煤面上很嘈杂，有用木柱支护顸板的，有打眼放炮的，还有拉拖运煤的。队长安排他拉拖运煤，不是技术活，有力气就能干。

⑩拉拖，就是将绳子拴在用汽车外胎做成的筐上，套在肩上，用近乎爬的原始方式往外运煤。运煤巷道只有半人高，根本不能直立。

⑾近一年里，他一直在巷道里拉拖。刚开始时，困扰他的是孤独、寂寞，还有累、疼。绳子紧紧地勒在后背上，磨得脊背火辣辣的疼。但他从没想过放弃。他总在盘算着，再干几天活，谁家的债就能还上了。这个念头，让他在黑暗中看到了光亮。

⑿他慢慢适应了，后背渐渐消肿，大概已磨出茧了。他在拉拖的时候思考着高中课本上的问题，消磨漫长的时光。

⒀闲暇时间，工友们打牌喝酒。而他，捧着高中课本写写画画。晚上，别人睡了，他在被窝里用手电筒照着读书。他相信：总有一天，自己会站在大学校园里。

⒁这不是梦想。

⒂终于有一天，他真的坐在了宽敞明亮的大学教室里。打工的第二年，他还清了债务，还留有一部分结余的钱。他参加了当年的高考，被顺利录取。

⒃大学毕业后，他在这个城市安了家，把母亲接到身边，一家人其乐融融。

⒄多年后，单位组织旅游，他又到了当初打工的地方。小煤窑已不复存在，被当地政府关停，建成了旅游区。

⒅站在曾经流过汗的地方，他透过时空，看到了当年在井下匍匐拉拖的自己。

⒆他感谢那段岁月，正是当初的匍匐，才让他褪去了青涩和稚嫩，学会了真正的站立，这样的十八岁，属于真正剽悍的男人。

阅读②-○15段，请将“他”这段经历的几个过程补充完整。

答案示例：放弃高考，承担责任（或照顾父亲）；

变卖设备，资不抵债（或偿债未清）；

决定休学，挣钱还债；

还清债务，高考录取

分数拆分经典解法

课 题： 分数的拆分 知识概述： 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫单位分数。单位分数又叫埃及分数。在很早以前，埃及人就研究如何把一个分数单位表示成若干个分数单位的和，把一个真分数表示成两个（或几个）分数单位的和叫分数的拆分。 教学目标： 1、让学生熟练的掌握“单位分数”加减计算的速算方法，并能准确快速的计算。 2、让学生掌握分数拆分的基本方法，并能使一些计算简化。 3、让学生感受归纳的一般方法。 教学重点：1、发现总结“单位分数”加减计算的速算方法。2、分数的拆分的方法。 教学难点：分数的拆分的灵活应用。 教具与学具： 本周通知事项： 教学过程： 一、引入： 12 7化成小数等于多少？ 分析：4 131127+==0.3 。+0.25=0.583 。 这里的31和4 1数学里称为：单位分数（分数单位）。今天我们学习的课题就是如何又快又准将一个分数拆分成若干个单位分数的和（或者差）。 定义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫单位分数（分数单位）。 二、新课教授： 例1：在等式y x 1161+= 中，求出所有整数解。 分析：要找出一组解很容易，但是要找出所有解容易漏。通过观察我们发现要使分子最终为1，必需让分子分母约分。怎样才能约分？我们想到了约数。这时列出6的所有约数：1，2，3，6。通过扩分的方法： 911812)(1×62)(1×161+=++= 10 11513)(2×63)(2×161+=++=

812413)(1×63)(1×161+=++= 8 12416)(2×66)(2×161+=++= 714216)(1×66)(1×161+=++= 9 11816)(3×66)(3×161+=++= 分析：里面结果相同的原因？ 注意：两个相加的约数，它们比值相同时结果也相同。 总结:y x n 111+=型，拆分分数的步骤: 1.找出分母n 的所有的约数；（找约数） 2.将约数进行分组，比值相同的分为一组；（分组） 3.将n 1的分子、分母分别同时乘以其中两个约数之和（或者差）；（扩分） 4.将所得分数拆成同分母的两个分数之和（或者差），使两个约数恰好是两个分数的分子；（拆分） 5.将各个分数分别约分，使分子为1，即变成单位分数。（约分） 练习：z y x 11161++= 分析：此题与之前题目的区别以及相同之处？可不可以用同样的方法解答？ 请同学们说出结果。 例2：已知两个不同的单位分数之和是 12 1，则这两个单位分数之差的（较大分数为被减数）的最小值是多少？ 1.12的所有约数：1，2，3，4，6，12。 2.分组： 第一组：（1，2）、（2，4）、（3，6）、（6，12） 第五组：（1，12） 1813612)(1×122)(1×1121+=++= 131156112)(1×1212)(1×1121+=++= 第二组：（1，3）、（2，6）、（4、12） 第六组：（2，3），（4，6） 1614813)(1×123)(1×1121+=++= 20 13012)(1×122)(1×1121+=++= 第三组：（1，4）、（3，12） 第七组：（3，4）

分数拆分1

同学们，你们知道吗？两千多年前，古埃及人总喜欢把分数转化成分子是1的分数来计算，所以后来人们常把分子是1的分数称埃及分数，我们也称之为单位分数。有些单位分数组合在一起构成了一些有趣的计算题。本专题中列举了许多例题，主要是为同学们提供“分数拆分”的方法，希望同学们认真学习，理解并记住拆分的几个公式，在解题中灵活的应用。 一、将一个分数拆分成两个分数单位相加。 把一个分数拆成两个或两个以上分数的和的形式，叫做分数的拆分。 怎样才能把一个分数拆成两个分数和的形式呢？我们以 通过上题可以看出，拆分主要有以下几个步骤： 叫做扩分。 注意：为什么要乘以5？因为5正好是分母6的两个质因数的和。 ③把分子拆成分母的两个质因数的和，再拆成两个分数的和。即： ④把拆开后的两个分数约分，化成最简分数。 二、把一个分数拆成几个分数的和 以上拆分的方法同样也适用于把一个分数拆成三个或三个以上分数的和。

解：18的约数有1、2、3、6、9、18。可以任意取其中三个约数，得到不同的解。 ……答案不只一种。 三、把一个分数拆成两个分数的差 能不能把一个分数拆成两个分数差的形式呢？观察下面的分数运算，看左右两边有什么关系。

观察下面几个分数的运算，左右两边有什么关系。 以上每个分数的分子d都是分母中两个因数的差。当n、n+d，都是自然 当d=1时，公式（2）则转化为公式（1）。利用公式（2）可以把一些分数拆成两个分数差的形式。 例5把下面各分数写成两个分数差的形式。

观察下面等式，左右两边有什么关系。 通过上面算式，可以得出这样的结论： 由此可知，一个分数可以根据需要拆成两个或若干个分数的和或两个分数的差的形式。 四、拆分方法在分数加法运算中的应用

六年级分数巧算裂项拆分

思维训练分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。 分数裂项求和方法总结 （一）用裂项法求 1一型分数求和分析：因为n(n 1) 1 n(n 1) n(n 1) （n为自然数）所以有裂项公式: n（n 1） 【例1】 求丄 10 11 11 12 1的和。 59 60 【例2】 咕右）'11 1 1 10 60 1 12 用裂项法求 1 1 k(n 计算 n(n k) 1 1 - [2 5 1 15 n(n 1) 59 60) 型分数求和: k) n n(n k)] 分析： n（n k） 型。 （n,k 均为自然 数） 因为 n(n k) 所以n(n k)k( ； n k 9 11 11 13 13 15 7) 1 1) 丄(1 2 7 1 (1 9) 1(1 却 2、11 1 1 1 1 1 , 1 1、1(丄丄 2(13 15 1 13) 1 用裂项法求 9 11 11 13 型分数求和: n（n k） n n k n(n k) n(n k) n(n k) 13 分析：型（n,k均为自然数）n（n k） k 所以一- n(n k) n n k

(1 1 3 97 99 3200 9603 自然数） n(n k)( n 2k)( n 3k) 3k (n(n k^(n 2k) 1139 20520 I (n k)(n 2k)(n 3k) 【例3】 的和 97 99 98 99 (四) 1 3) (3 5 1 1 )( 5 1 7) 1 1 1 99 用裂项法求 型分数求和: n （n k ）（n 2k ） 分析: 2k n(n k)(n 2k) 【例4】 计算： 4 4 4 4 1 3 5 3 5 7 93 95 97 95 97 99 (1I II 3 15) (315 517)…( 1 1 )( 1 1 ) 3 93 95 95 9/ V 95 97 97 99, 1 1 （n,k 均为自然数） 【例5】 1 1 计算：1 2 3 4 2 3 4 5 1 17 18 19 20 3[(1 1 1 3[1 2 3 （丘 18 19 20] 1 17 18 19 1 18 19 20 )] （六）用裂项法求 3k n(n k)(n 2k)(n 3k) 型分数求和：分析: 3k n(n k)(n 2k)( n 3k) (n,k 2k n(n k)(n 2k) 1 1 n(n k) (n k)( n 2k) (五) 用裂项法求 型分数求和分析: n(n k)(n 2k)(n 3k) (n,k 均为 n(n k)(n 2k)(n 3k)

六年级数学-分数的拆分

什么叫分数的拆分？ 把一个分数拆成两个或两个以上分数的和或差的形式，叫做分数的拆分。 例如： 27 1541181+=； 30 1451181+=； 22 1991181+=； 3 12161-=； 4 131121-=；等等。 下面具体讲一下怎样把一个分数拆成两个分数的差。 当一个分数为 )1(1n ＋n ?的形式时，可以拆分为111n ＋－n 的形式（n 为自然数，且n 不为0） 即：1 11)1(1n ＋－n ＝n ＋n ? 例如： 5141541201-=?=；7161761421-=?= 分数拆分的具体应用 例·计算：42 13012011216121+++++ 7671171616151514141313121214213012011216121=-=-+-+-+-+-+=+++++ 当分数的分子正好等于分母中两个因数的差时，这个分数也可以拆成两个分数之差。 例如： 9 171972632-=?=； 8 131835245-=?=； 7 141743283-=?= 用公式表示就是：当n 、n+d （n 不为0）都是自然数时，d n n d n n d +-=+?11)(

具体应用： 计算：20 182181621614214122?+?+?+? 12 120 120118118116116114114112120 182181621614214122=+-+-+-+-=?+?+?+ ? d n n d n n d +-=+?11)( 这个公式同学们已经熟悉了。对这个公式可以进行变形： 例如： )8 131(5124551241-?=?= 因为8-3=5 所以提取一个5 1，当然，24也可以看成4×6，而6-4=2，所以也可以提取一个21，)6 141(2124221241-?=?=，这得看计算时的需要了。 练习：计算21 171171311391951511?+?+?+?+? 21 521 2041)21 11(41)211171171131131919151511(41)21 174171341394954514(4121 171171311391951511=?=-?=-+-+-+-+-?=?+?+?+?+??=?+?+?+?+?

分数拆分

六年级奥数解析（六）分数的分拆 《奥赛天天练》第6讲《分数的分拆》。 分数的分拆就是把一个分数拆成几个分数的和或差的形式，一般都是分拆成几个分数单位和或差。 把一个单位分数分拆成几个单位分数的和或差，有一定的规律和方法，相关常识请查阅： 【原创】五年级奥数解析（六十四）单位分数 最常用的分拆规律有(可以通过计算加以验证)： (1)1n n 1?（＋）＝1n －1n 1 ＋ (2) n n ?a （＋a ）＝1n －1n ＋a 通过对算式中的部分分数进行分拆，使分拆后的某些项互相抵消，可以使一些复杂的分数计算变得简便。 《奥赛天天练》第6讲，模仿训练，练习1 【题目】： 计算：16＋112＋120＋…＋172＋190＋1110 。 【解析】： 仔细观察算式中分母，可以发现每个分数分母都可以分拆成相邻两个自然数的积。根据前面的规律（1）进行分拆，使其中的一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便：

1 6＋ 1 12 ＋ 1 20 ＋…＋ 1 72 ＋ 1 90 ＋ 1 110 ＝ 1 23 ? ＋ 1 34 ? ＋ 1 45 ? ＋…＋ 1 89 ? ＋ 1 910 ? ＋ 1 1011 ? ＝1 2 － 1 3 ＋ 1 3 － 1 4 ＋ 1 4 － 1 5 ＋…＋ 1 8 － 1 9 ＋ 1 9 － 1 10 ＋ 1 10 － 1 11 ＝1 2 － 1 11 ＝9 22 《奥赛天天练》第6讲，模仿训练，练习2 【题目】： 计算： 2 1113 ? ＋ 2 1315 ? ＋ 2 1517 ? ＋ 2 1719 ? ＋ 1 19 。 【解析】： 仔细观察，可以发现算式中前4个分数，分母中两个因数的差正好等于分子2，都可以分拆成两个单位分数之差，根据前面的规律（2）进行分拆，使其中的一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便： 2 1113?＋ 2 1315 ? ＋ 2 1517 ? ＋ 2 1719 ? ＋ 1 19 ＝1 11 ― 1 13 ＋ 1 13 ― 1 15 ＋ 1 15 ― 1 17 ＋ 1 17 ― 1 19 ＋ 1 19 ＝1 11 《奥赛天天练》第6讲，巩固训练，习题1【题目】： 计算：

分数拆分(裂项法)

2008年10月4日 六年级 基本公式：()111n n+1n n 1-+＝； 推广形式：()111n n+d d n n d ??-??+?? 1＝ 例1、计算：11111122334989999100+++++?????=（1－21）＋（21－31）＋（31－4 1）＋……＋（991－100 1）=1－1001=10099。 例2、计算：1111112612203042+++++=7 6； 例3、计算：1111111357911104088154238340+++++=20 336； 例4、计算：=?+++?++?++?+200120002001200043433232212122222222 200120004000 注意：拆分未必拆成两个分数之差，有的时候，需要拆成两个分数之和；可以利用公式： 11m+n m n mn +＝ 例5、计算：1111(1)(1)(1(1)2233441010 -?-?-??-???? (1120) 提示：1n n 1(n 1)(n 1)1n n n n n n ?--+- ==???。 解：原式＝1324359112233441010????????????……＝111210?＝1120 例6、计算：60 59605859586035343602423260131211+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ = 解答：因为()2 1211121-=-??=-+++n n n n n n n n ，所以 ()886 59212 112 592221160 59605859586035343602423260131211=+++?+=++++=+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ 【课堂练习】 1. 计算：111116425672-+++=9 8；

分数拆项与裂项

分数的速算与巧算 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1 a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有 1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1 (1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111 [](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111 [](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11 a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2） 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1 (1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1 123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4 n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 三、循环小数化分数

分数拆分经典解法讲课教案

课 题： 分数的拆分 知识概述： 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫单位分数。单位分数又叫埃及分数。在很早以前，埃及人就研究如何把一个分数单位表示成若干个分数单位的和，把一个真分数表示成两个（或几个）分数单位的和叫分数的拆分。 教学目标： 1、让学生熟练的掌握“单位分数”加减计算的速算方法，并能准确快速的计算。 2、让学生掌握分数拆分的基本方法，并能使一些计算简化。 3、让学生感受归纳的一般方法。 教学重点：1、发现总结“单位分数”加减计算的速算方法。2、分数的拆分的方法。 教学难点：分数的拆分的灵活应用。 教具与学具： 本周通知事项： 教学过程： 一、引入： 12 7化成小数等于多少？ 分析：4 131127+==0.3 。+0.25=0.583 。 这里的31和4 1数学里称为：单位分数（分数单位）。今天我们学习的课题就是如何又快又准将一个分数拆分成若干个单位分数的和（或者差）。 定义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫单位分数（分数单位）。 二、新课教授： 例1：在等式y x 1161+= 中，求出所有整数解。 分析：要找出一组解很容易，但是要找出所有解容易漏。通过观察我们发现要使分子最终为1，必需让分子分母约分。怎样才能约分？我们想到了约数。这时列出6的所有约数：1，2，3，6。通过扩分的方法： 911812)(1×62)(1×161+=++= 10 11513)(2×63)(2×161+=++=

812413)(1×63)(1×161+=++= 8 12416)(2×66)(2×161+=++= 714216)(1×66)(1×161+=++= 9 11816)(3×66)(3×161+=++= 分析：里面结果相同的原因？ 注意：两个相加的约数，它们比值相同时结果也相同。 总结:y x n 111+=型，拆分分数的步骤: 1.找出分母n 的所有的约数；（找约数） 2.将约数进行分组，比值相同的分为一组；（分组） 3.将n 1的分子、分母分别同时乘以其中两个约数之和（或者差）；（扩分） 4.将所得分数拆成同分母的两个分数之和（或者差），使两个约数恰好是两个分数的分子；（拆分） 5.将各个分数分别约分，使分子为1，即变成单位分数。（约分） 练习：z y x 11161++= 分析：此题与之前题目的区别以及相同之处？可不可以用同样的方法解答？ 请同学们说出结果。 例2：已知两个不同的单位分数之和是 12 1，则这两个单位分数之差的（较大分数为被减数）的最小值是多少？ 1.12的所有约数：1，2，3，4，6，12。 2.分组： 第一组：（1，2）、（2，4）、（3，6）、（6，12） 第五组：（1，12） 1813612)(1×122)(1×1121+=++= 131156112)(1×1212)(1×1121+=++= 第二组：（1，3）、（2，6）、（4、12） 第六组：（2，3），（4，6） 1614813)(1×123)(1×1121+=++= 20 13012)(1×122)(1×1121+=++= 第三组：（1，4）、（3，12） 第七组：（3，4）

【小学五年级奥数讲义】分数的拆分

【小学五年级奥数讲义】分数的拆分 1.概念 单位分数: 分子为1、分母为自然数的分数叫单位分数。 分数的分拆：把一个分数分拆成几个分数相加的和，叫做分数的分拆 2．解题方法与技巧。 （1）把单位分数拆分成单位分数相加的和 方法一：先扩分：同剩以分母的约数的和 再拆分：拆分成约数作分子的分数。 后约分：约分成最简分数 方法二：分子、分母同剩以大于分母，小于分母两倍的自然树（2）把真分数分拆成单位分数相加的和。 把一个真分数拆成两个单位分数相加的和，先给要分拆的分数分子和分母同剩以分母除以分子的整数商加1的和，再给分子加上分母，要使分数大小不变，同时应减去这个数，然后再分拆并约分。 （3）把假分数分拆成单位分数相加的和 方法：先把这个假分数分拆成真分数，再按真分数的分拆方法去分。 例题一 在错误!未找到引用源。的括号里填入适当的自然数，使等式成立。 分析一：从式子的左边往右边看，是分数的分拆；才有便往左边看，则是分数的加法，可见分数的分析与分数的加法过程刚好相反。分数加法主要步骤是通分、合并、约分，因此分数的分拆可按先扩分，再拆分，最后约分的步骤来做。 分析二：根据把单位分数分拆成单位分数相加的和的方法二：分子、分母同剩

以大于分母8，小于分母8的2倍（16）的自然数分别求解。 解析一：8的约数有1、2、4、8。 ①错误!未找到引用源。 ②错误!未找到引用源。 ③错误!未找到引用源。 ④错误!未找到引用源。 ⑤错误!未找到引用源。 ⑥错误!未找到引用源。 以上六种分析方法，其中①、④、⑥相同，②和⑤相同。 如果两个约数相同时，可以得到错误!未找到引用源。，共有四组解。 解法二：错误!未找到引用源。(像解法二这样的拆分方法不止一种．同学们，你们愿意研究吗？) 练习一 将下列各分数写成两个单位分数： 1.错误!未找到引用源。 2. 错误!未找到引用源。 3. 错误!未找到引用源。 4.错误!未找到引用源。 5. 错误!未找到引用源。 6. 错误!未找到引用源。

小学数学《分数的分拆》练习题

分数的分拆 单位分数的“三步法”，假设有一个单位分数为 A 1，a 1和a 2 是任意两个因数，则： 第一步扩分：把单位分数的分子和分母同时乘以（a 1＋a 2）； 第二步拆分：把所得的分数拆成两个分数的形式，其中a 1、a 2分别是两个分数的分子； 第三步约分：把所得的两个分数分别约简，便可得到求得结果。用公式表式为 A 1=()()() a a a a a a a a a a A A A 2122112121+?++?=+?+ = ()()a a a a a a A A 212 21111+?++? 【例题选讲】 例1．B A 11101+=，其中A 、 B 是两个不相等的自然数，A 和B 的和可能有几组解？各是多少？ 例2．如果B A 1119971+=，求A ÷ B 的商是多少？ 例3．如果将101表示成三个不同的分数单位的和，那么10 1= + + 【课内练习】 1．求下列各分数所有形如（A 1＋B 1）的表达式，其中A 、B 为自然数。（A 、B 不相同） （1）51 （2）111 （3）61（4）151 （5）41 （6）161 2．求下列各分数形如（A 1－B 1）的表达式，其中A 、B 为自然数。 （1）31 （2）71 （3）61 （4）101 （5）421 （6）301

3．已知A 、B 、C 是三个自然数，且 C B A 11138571++=，试求A 、B 、C 三个数之和。 4．()()1 1201+=，试写出不同的所有填法 5．18 1可写成哪两个分数单位的和。 6．B A 11971+=，A ÷ B 等于多少？ 7．把6 1表示成三个不同分数单位的和的形式。

分数拆分-小升初

分数拆分 一、考点扫描 1、任意两个数的积做分母，其差做分子的分数可拆成较大的单位分数减较小的单位分数，即 b a b a a b 11-=?-（a

7、 50481861641421?+?+?+? 8、111111234542567290110 9、 987187617651??+??+?? 10、111111212312341234100 四、巩固提高 1、（）—（）11211= 2、（）（）11211+= 3、（）（）112110+= 4、41121 5、1111112612203042 6、 1009711071741411?++?+?+? 7、 6301162091276?+?+? 8、20120182181621614214122+?+?+?+? 9、151413114131211312111??+??+?? 10、11111363693691236912300 五、拔高题 1、)10010011()4411()3311()2211(?-???-??-??- 2、 )1111()911()711()511()311()1011()811()611()411()211(-?-?-?-?-?+?+?+?+?+ 3、)8631()7531()6431()5331()4231(?-??-??-??-??-

分数拆分经典解法

课题：分数的拆分 知识概述： 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫单位分数。单位分数又叫埃及分数。 在很早以前，埃及人就研究如何把一个分数单位表示成若干个分数单位的和，把一个真分 数表示成两个(或几个)分数单位的和叫分数的拆分。 教学目标： 1、让学生熟练的掌握“单位分数”加减计算的速算方法，并能准确快速的计算。 2、让学生掌握分数拆分的基本方法，并能使一些计算简化。 3、让学生感受归纳的一般方法。 教学重点：1、发现总结“单位分数”加减计算的速算方法。2、分数的拆分的方法。 教学难点：分数的拆分的灵活应用。 教具与学具： 本周通知事项： 教学过程： 一、引入： -化成小数等于多少？ 12 分析：7=丄丄=0.3+0.25=0.583 12 3 4 1 1 这里的丄和丄数学里称为：单位分数(分数单位)。今天我们学习的课题就是如何又快又准 3 4 将一个分数拆分成若干个单位分数的和(或者差)。 定义：把单位“ 1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫单位分数(分数单位) 。 二、新课教授： 例1:在等式1 =1 1中，求出所有整数解。 6 Xy 分析：要找出一组解很容易，但是要找出所有解容易漏。通过观察我们发现要使分子最终为1,必需让分子分母约分。怎样才能约分？我们想到了约数。这时列出6的所有约数：1, 2, 3, 6。通过扩分的方法： 1 = 1 ×(1 2) = 1 1 I= 1 ×( 2 3) = 1 1 6 6 ×(1 2) 18 9 6 6 ×(2 3) 15 10

1 1 ×(1 3) 1 1 6 一6 ×(1 3) ^24 81 1 ×( 2 6) 1 1 6 一6 ×(2 6) 一24 8 1 1×(1 6) 1 1 - --------------- 6 一6 ×(1 6) ^ 42 71 1 ×(3 6) 1 1 6 一6 ×(3 +6) 一18 9 分析：里面结果相同的原因？ 注意：两个相加的约数，它们比值相同时结果也相同。 1 1 1 总结：-=—?—型，拆分分数的步骤： n Xy 1.找出分母n的所有的约数；（找约数） 2.将约数进行分组，比值相同的分为一组；（分组） 1 3.将丄的分子、分母分别同时乘以其中两个约数之和（或者差）；（扩分） n 4.将所得分数拆成同分母的两个分数之和（或者差），使两个约数恰好是两个分数的分子; （拆分） 5.将各个分数分别约分，使分子为1,即变成单位分数。（约分） IIII _ = —+— +— 6 XyZ 分析：此题与之前题目的区别以及相同之处？可不可以用同样的方法解答? 请同学们说出结果 例2:已知两个不同的单位分数之和是1,则这两个单位分数之差的（较大分数为被减数） 12 的最小值是多少？ 1.12 的所有约数：1, 2，3，4，6，12。 2.分组： 第一组：（1, 2）、（2, 4）、（3, 6）、（6，12）第五组：（1，12） 练习: —=1 ×(1 ? 2)=XJ 12 12 ×(1 2) 36 18 丄=1 X(1 12) _ 1 .1 12 12 ×(1 12) 156 13 第二组：(1, 3)、(2, 6)、(4、12) 1 1 ×(1 3) 1 1 ------ =: ------------------------------------------ ------- ---------- -T-------------- 12 12 ×(1 3) 48 16 第三组：(1, 4)、(3, 12) 第六组：(2, 3),(4, 6) 1 1 ×(1 2) 1 1 ------- ------------------------------------ ----------------- -T- ------------- 12 12 ×(1 2) 30 20 第七组：(3, 4)

分数巧算一(拆分)

分数巧算一（裂项求和） 一、归纳公式： 二、例题： 1．=+++++++++11019017215614213012011216121 2． =?++?+?+?35311151111171731 3．=+++++++++++++++ 10032114321132112111 4． =??++??+??+??10099981543143213211 5． =+-+-+-+-110219019721756154213301120912765 6．=++++++++110199018721756164215301420131212611 7． =+++++++++11010990897271565542413029201912116521 8． =+++++++++++++120110519117816615514513612812111511016131 9． =-+-+-+-90 717255564142293019201112561 10．+?3122+?4232 +?5 342=?+10098992

三、练习 1．=++++++++110111909172735657424330312021121367 2． =?++?+?+?353211181851521 3．=++++++1101139011172195617421530132011 4． =+-+-+-+-55214519361728152113151110916735 5． =+++++++++3301270121611681126190160136118161 6． =??++??+??+??103101991975175315311 7．=++++++++ 4589367128552141152910196113511 8． =+++++++++++++++999631129631963163131 9． ()()()()() ()()100219921100432132143212132112+++?++++++++?+++++?+++? 10．+?6222+?8432 +?10642=?+200196992

分数拆分(奥数)

点击目标 把单位“1”平均分成若干份，表示期中一份的数叫分数单位。分数单位又叫埃及分数。在很早以前，埃及人就研究如何把一个分数单位表示成若干个分数单位的和，把一个真分数表示成两个（或几个）分数单位的和叫分数的拆分。 例： 1133121122366663 ?===+=+? 11441311334121212124 ?===+=+? 11551411445202020205?===+=+? 方法一： 111(1)1n n n n =+?++ 或 111(1)1n n n n =-?++ 课堂练习：15 = 17 = 例：在 ()() 11114=+ 的括号里填上适当的自然数，使等式成立 方法二：把一个分数单位拆分成两个分数单位之和的方法是 ⑴ 找分母的约数； ⑵ 扩分 把分数单位1A 的分子、分母分别乘A 的任意两个约数之和； ⑶ 拆分 把所得分数拆分成两个分数之和，使两个约数恰好是两个分数的分子； ⑷ 约分 把所得两个分数约成最简分数。 练习： 112 = 121 = 11997=

例： ()() 1116=+的括号里填入适当的自然数，使等数成立。（填出全部结果） 方法三：把一个单位分数 1a 拆成两个单位分数的和的方法是，先求出2a 的值，然后找出2a 的成对因子m 、n （2m n a ?=）。则111a a m a n =+++，成对因子寻找法。 课堂练习 将 17拆成3个单位分数之和。 将 18拆成4个单位分数之和。 把1拆分成5个单位分数之和。 将 110化为111a b c ++的形式，其中,,a b c 为自然数，且它们的最大公约数为1. 将 14拆成11A B -的形式。

分数的拆分

分数的拆分 1.概念 单位分数: 分子为1、分母为自然数的分数叫单位分数。 分数的分拆：把一个分数分拆成几个分数相加的和，叫做分数的分拆 2．解题方法与技巧。 （1）把单位分数拆分成单位分数相加的和 方法一：先扩分：同剩以分母的约数的和 再拆分：拆分成约数作分子的分数。 后约分：约分成最简分数 方法二：分子、分母同剩以大于分母，小于分母两倍的自然树（2）把真分数分拆成单位分数相加的和。 把一个真分数拆成两个单位分数相加的和，先给要分拆的分数分子和分母同剩以分母除以分子的整数商加1的和，再给分子加上分母，要使分数大小不变，同时应减去这个数，然后再分拆并约分。 （3）把假分数分拆成单位分数相加的和 方法：先把这个假分数分拆成真分数，再按真分数的分拆方法去分。 例题一 在的括号里填入适当的自然数，使等式成立。 分析一：从式子的左边往右边看，是分数的分拆；才有便往左边看，则是分数的加法，可见分数的分析与分数的加法过程刚好相反。分数加法主要步骤是通分、合并、约分，因此分数的分拆可按先扩分，再拆分，最后约分的步骤来做。

分析二：根据把单位分数分拆成单位分数相加的和的方法二：分子、分母同剩以大于分母8，小于分母8的2倍（16）的自然数分别求解。 解析一：8的约数有1、2、4、8。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 以上六种分析方法，其中①、④、⑥相同，②和⑤相同。 如果两个约数相同时，可以得到，共有四组解。 解法二：(像解法二这样的拆分方法不止一种．同学们，你们愿意研究吗？)

练习一 将下列各分数写成两个单位分数： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 例题二: 将分拆成三个单位分数之和(任求一解)。 思路导航 分析一：可以先把拆成两个单位分数之和，再拆成三个单位分数之和。 分析二：任取分母10的三个约数之和进行扩分。 解法一：10的约数有1、2、5、10，任取两个约数之和进行扩分，就能得到一种拆分 又 所以 方法二：任取10的三个约数1、2、5。

分数加减法简算——分数的拆分教案(适合五六年级)

小学五年级尖子生数学教案 第一讲 分数的拆分（适合五六年级） 辽宁省海城市西柳小学 [内容及目标] 知识基础：北师大版五年数学第一单元分数的加减法。 教学目标：1、熟练掌握分数加减法口算题，形成数感。 2、培养观察比较找规律习惯，养成逆向思维运算，灵活运算，发散思维，发现规律创新解法。 3、积极探究，培养热爱数学的情感。 一、情境导入 1、口算： 1－21=2 1 21－31=6 1 31－41=12 1 41－51=20 1 …… （教师给左边学生很快说出右边，学生背对黑板，教师给上表中右边得数能够给出左边的形式么？这一环节训练逆向思维，为教学例题铺垫 ） 二、探究新知 例1观察上面口算表发现有什么规律？ 自学方法：观察—比较法，小组合作探究。 答案：分数单位相减，分子不变，分母乘积做分母。可根据学生水平决定是否归纳字母表示的公式。 提升练习：口算比赛， 正运算： 71－8 1=?…… 逆运算： 561=？……

参与面广泛，熟悉口算。 整数四则运算中所用到的定律、性质，在分数中同样适用，而应用这样的定律、性质须结合题目的特点，适当地把一些分数拆分，使得有一些分数可以互相抵消，从而使计算简便。 把一个分数拆分成两个或两个以上分数相减或相加的形式，然后再进行计算的方法叫做拆分法。如: 6521+31，121=3 1－41。 例1： 计算21 +61+121+201+30 1。 审题分析：1、读一读。 2、抓特征： 启发式提问：看到这些分数是否有一种似曾相识的感觉？（口算表的得数） 在什么数学思想的指导下尝试呢？ 生：运用转化的思想将每个加数转化为两个分数的差。 自学： 汇报1: 21+61+121+201+30 1 =1－21+21－31+31－41+41－51+51－61 =5/6 教师评价：化繁为简，便于口算，解法创新。 汇报2：通分计算。（常规方法）教师要表扬学生计算技能强， 做一做：21+61+121+201+301+421+56 1 21+61+121+201+301+421+56 1 =1－21+21－31+31－41+41－51+51－61+61－71+71－8 1 =8 7 引导学生质疑或教师提问：有什么发现？ 知识类化：

分数的拆分问题【讲义]

分数的基本性质 例1、分数3 8 的分子加上9，要使分数值不变，分母要扩大多少倍？ 分析： 38 =3+9 8+（ ） ，分子增加3倍，说明分子扩大了4倍，分母也要增加3倍或扩大4倍。 拓展：分数 15 4 的分子加上8，要使分数值不变，分母要扩大多少倍？ 例2、分数47 的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是3 4 ，求分子和分母都加上的这个数是几？ 分析：方法一 试一试：将3 4 的分子、分母同时扩大相同的倍数 34 =68= 912= 1216 =1520 用这些分数的分子、分母与4 7 的分子、分母相减，结果相同的就是。 方法二 先观察下面的几组等式：23 =46 35= 915 43= 16 12 交叉相乘可以发现3×4=2×6 5×9=3×15 4×12=3×16，因此我们得出这样一个结论，当a b = d c 时，a ×c=b ×d 。 解：设分子和分母都加上的这个数为x ，根据题意可得： 4+x 7+x = 3 4 (4+x)×4=(7+x)×3 16+4x=21+3x X=21-16 X=5 方法三 ：【利用分母与分子差不变】 拓展：分数 41 11的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是83 ，求分子和分母都加上的这个数是几？ 原来相差30 加同样的数还是相差30 但新数相差为5， 必须5×6 =30 例3：一个分数，分子比分母大20，如果分子减去6，得到新分数约分后等于3 2 1 ，求原分数。 方法：【利用分母与分子差不变】

例4、一个分数，如果分子加上1，就变成34 ，如果分子减去1，就变成1 2 ，那么原来的分数是多少？ 方法一、将分子，分母数字较大的采用“等值放大” 看分子减2倍 可以不可以变成1/2 方法二、通分 拓展：一个分数，如果分子加上1，分母减去1，就变成45 ，如果分子减去1，分母加上1，就变成1 2 ，那么原来的 分数是多少？ 将分子，分母数字较大的采用“等值放大” 将分子，分母数字较小的数， 变成分子比第一个数小2，分母比第一个数大2 方程法： 一个分数，如果分母减去2，就变成23 ，如果分母加上5，就变成3 8 ，那么原来的分数是多少？ 方法一、等值放大 两数分母相差7 方法二、通子 一个分数，如果分母减去4，就变成1，如果分子减去2，就变成3 5 ，那么原来的分数是多少？ 将分子，分母数字较大的采用“等值放大” 将分子，分母数字较小的数， 变成分子比第一个数大2，分母比第一个数小4 例5、一个分数，分子分母的和是122，如果分子分母都减去19 ，得到是新分数化简后是1 5 ， 求原来的分数是多少？ 利用和变 拓展： 分数 6455的分子减去某数，而分母同时加上这个数后，所得的新分数化简后为 13 4 ，求某数是多少？ 利用和不变 例6 一个分数，如果分子加上16，分母减去166，那么约分后是 4 3 ，如果分子加上124，分母加上340，那么约

分数拆分经典解法

课 题： 分数的拆分 知识概述： 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫单位分数。单位分数又叫埃及分数。在很早以前，埃及人就研究如何把一个分数单位表示成若干个分数单位的和，把一个真分数表示成两个（或几个）分数单位的和叫分数的拆分。 教学目标： 1、让学生熟练的掌握“单位分数”加减计算的速算方法，并能准确快速的计算。 2、让学生掌握分数拆分的基本方法，并能使一些计算简化。 3、让学生感受归纳的一般方法。 教学重点：1、发现总结“单位分数”加减计算的速算方法。2、分数的拆分的方法。 教学难点：分数的拆分的灵活应用。 教具与学具： 本周通知事项： 教学过程： 一、 引入： 12 7化成小数等于多少？ 分析：4 131127+==0.3 。+0.25=0.583 。 这里的31和4 1数学里称为：单位分数（分数单位）。今天我们学习的课题就是如何又快又准将一个分数拆分成若干个单位分数的和（或者差）。 定义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫单位分数（分数单位）。 二、新课教授： 例1：在等式y x 1161+= 中，求出所有整数解。 分析：要找出一组解很容易，但是要找出所有解容易漏。通过观察我们发现要使分子最终为1，必需让分子分母约分。怎样才能约分？我们想到了约数。这时列出6的所有约数：1，2，3，6。通过扩分的方法： 911812)(1×62)(1×161+=++= 10 11513)(2×63)(2×161+=++=

812413)(1×63)(1×161+=++= 8 12416)(2×66)(2×161+=++= 714216)(1×66)(1×161+=++= 9 11816)(3×66)(3×161+=++= 分析：里面结果相同的原因？ 注意：两个相加的约数，它们比值相同时结果也相同。 总结:y x n 111+=型，拆分分数的步骤: 1.找出分母n 的所有的约数；（找约数） 2.将约数进行分组，比值相同的分为一组；（分组） 3.将n 1的分子、分母分别同时乘以其中两个约数之和（或者差）；（扩分） 4.将所得分数拆成同分母的两个分数之和（或者差），使两个约数恰好是两个分数的分子；（拆分） 5.将各个分数分别约分，使分子为1，即变成单位分数。（约分） 练习：z y x 11161++= 分析：此题与之前题目的区别以及相同之处？可不可以用同样的方法解答？ 请同学们说出结果。 例2：已知两个不同的单位分数之和是 12 1，则这两个单位分数之差的（较大分数为被减数）的最小值是多少？ 1.12的所有约数：1，2，3，4，6，12。 2.分组： 第一组：（1，2）、（2，4）、（3，6）、（6，12） 第五组：（1，12） 1813612)(1×122)(1×1121+=++= 131156112)(1×1212)(1×1121+=++= 第二组：（1，3）、（2，6）、（4、12） 第六组：（2，3），（4，6） 1614813)(1×123)(1×1121+=++= 20 13012)(1×122)(1×1121+=++= 第三组：（1，4）、（3，12） 第七组：（3，4）