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浙江省杭州市上城区2017届九年级(上)期末数学试卷(解析版)

2016-2017学年浙江省丽水市庆元县九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题有10小题，每小题3分，共30分

1．已知=，则的值为（）

A．B．C．D．

2．如图，⊙O中，弦AC与BC时两条弦，∠C=35°，则∠O的度数是（）

A．25°B．35°C．65°D．70°

3．如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+3

4．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍的Rt△A′B′C′，对应锐角A，A′的正弦值的关系为（）https://www.wendangku.net/doc/6f11360429.html,

A．sinA=3sinA′ B．sinA=sinA′C．3sinA=sinA′ D．不能确定

5．已知四个点的坐标分别是（﹣2，2），（2，2），（2，），（﹣2，﹣），

从中随机选一个点，在反比例函数y=图象上的概率是（）

A．B．C．D．1

6．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8，若CD=2，则OD=（）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．下列命题正确的是（）

A．任意两个直角三角形相似

B．有一个角相等的等腰三角形相似

C．任意两个等腰直角三角形相似

D．有两边对应成比例的两个直角三角形相似

8．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距（圆心到边的距离）为三边作三角形，则该三角形的面积是（）

A． B．C．D．

9．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例

﹣S 函数y=在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S

△OAC

为（）

△BAD

A．3 B．6 C．12 D．36

10．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（）

A．2a﹣b=0

B．a+b+c＞0

C．3a﹣c=0

D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形

二、填空题：本题有6小题，每小题4分，共24分

11．二次函数y=2x2﹣1的图象的顶点坐标是．

12．如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的中点，则△ADE的周长与△ABC的周长比为．https://www.wendangku.net/doc/6f11360429.html,

13．在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是．

14．如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M 与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是．【出处：21教育名师】

15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是．

16．如图，在⊙O中，AB为直径，Rt△OBC的直角边OC=BC=1，过点C作直线DE∥AB交圆于D，E两点，BD与OC交于点F，则∠BDE=．

三、解答题：本题有8小题，第17-19题每题6分，第20、21题每题8分，第

22、23题没提10分，第24题12分，共66分．每小题都必须写出解答过程17．（1）已知：1：x=x：9，求x．

（2）计算：2sin260°﹣tan45°+1．

18．如图是一个破残的车轮，请用尺规作图法补全车轮并标出圆心O．

19．如图，小明在广场上的C处用测角仪正面测量一座楼房墙上的广告屏幕AB 的长度，测得屏幕下端B处的仰角为30°，然后他正对大楼方向前进10米到达D处，又测得该屏幕上端A处的仰角为45°，已知该楼高18.7米，测角仪MC、ND的高度为1.7米，求广告屏幕AB的长．21·cn·jy·com

20．如图，已知EC∥AB，∠EDA=∠ABF．

（1）若AB=6，求CD的长；

（2）求证：OA2=OE?OF．

21．某运动品牌店对第一季度A、B两款运动鞋的销售情况进行统计．两款运动鞋的销售量及总销售额如图所示：

（1）一月份B款运动鞋的销售量是A款的，则一月份B款运动鞋销售了多少双？

（2）第一节度这两款运动鞋的销售单价保持不变，求三月份的总销售额（销售额=销售单价×销售量）；

（3）综合第一季度的销售情况，请你对这两款运动鞋的进货、销售等方面提出一条建议．

22．已知，如图，在⊙O中，直径AB=4，点E是OA上任意一点，过点E作弦CD⊥AB，点F是弧AB上的一点，连接AF交CE于点H，连结AC，CF，BD．（1）求证：△ACH∽△AFC；

（2）若AC=，求AH?AF的值；

（3）当S

△AEC ：S

△BOD

=1：4时，则点E离点A的距离是多少？

23．音乐喷泉可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化，市民广场的音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18米，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y=kx上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为y=ax2+bx．

（1）若已知k=1，且喷出的抛物线水线最大高度达3米，求此时a、b的值；（2）若k=1，喷出的水恰好达到岸边，求此时喷出的抛物线水线最大高度．（3）若a=﹣，要使喷出的抛物线水落地时离岸边不能少于米且不能超出2米，求k的范围．

24．已知，如图①，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究AC，BC，CD三者的关系．

小明与小青同学合作探究时发现：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED 处，点B，C分别落在点A，E处（如图①），易证∠CAE为平角，再证△CDE

是等腰直角三角形，所以CE=CD，从而得出关系．

（1）写出证明的过程；

（2）尝试应用：如图②，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，弧AD与弧DB相等，若AB=13，BC=12，求CD的长．

（3）拓展规律：如图③，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m ＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）

（4）深化应用：如图④，∠ACB=90°，AC=BC，点P为AB的中点，若点E满足AE=AC，CE=CA，点Q为AE的中点，直接写出线段PQ与AC的数量关系．

2016-2017学年浙江省丽水市庆元县九年级（上）期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题有10小题，每小题3分，共30分

1．已知=，则的值为（）

A．B．C．D．

【考点】比例的性质．

【分析】根据合分比性质，可得答案．

【解答】解：由合比性质，得

=，则==，

故选：C．

2．如图，⊙O中，弦AC与BC时两条弦，∠C=35°，则∠O的度数是（）

A．25°B．35°C．65°D．70°

【考点】圆周角定理．

【分析】根据圆周角定理可得∠O=2∠C，进而可直接得到答案．

【解答】解：∵∠C=35°，

∴∠O=2∠C=70°，

故选：D．

3．如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+3

【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．

【解答】解：∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，

∴抛物线的解析式为y=x2+2﹣1，即y=x2+1．

故选C．

4．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍的Rt△A′B′C′，对应锐角A，A′的正弦值的关系为（）21·世纪*教育网

A．sinA=3sinA′ B．sinA=sinA′C．3sinA=sinA′ D．不能确定

【考点】锐角三角函数的定义．

【分析】根据相似三角形的性质，可得A，A′，根据锐角三角函数的定义，可得答案．

【解答】解：由Rt△ABC各边的长度都扩大3倍的Rt△A′B′C′，得

Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，

∠A=∠A′，sinA=sinA′

故选：B．

5．已知四个点的坐标分别是（﹣2，2），（2，2），（2，），（﹣2，﹣），

从中随机选一个点，在反比例函数y=图象上的概率是（）

A．B．C．D．1

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法．

【分析】先判断四个点的坐标是否在反比例函数y=图象上，再让在反比例函数y=图象上点的个数除以点的总数即为在反比例函数y=图象上的概率，依此即可求解．

【解答】解：∵﹣2×2=﹣4≠4，

2×2=4，

2×=1≠4，

（﹣2）×（﹣）=1≠4，

∴1个点的坐标在反比例函数y=图象上，

∴在反比例函数y=图象上的概率是1÷4=．

故选B．

6．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8，若CD=2，则OD=（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】连接OB，由题意，O是圆心，半径OC⊥弦AB于点D，AB=8，根据垂径定理可知，BD=4，OB=OC=OD+DC=OD+2，在Rt△OBD中，根据勾股定理OB2=BD2+OD2，即可解出OD的长度．

【解答】解：连接OB，如图所示：

由已知，OC⊥AB，且AB=8，

根据垂径定理可知，BD=4，

在Rt△OBD中，OB=OC=OD+DC=OD+2，

BD=4，由勾股定理：

OB2=BD2+OD2，

解得：OD=3

故选：A．

7．下列命题正确的是（）

A．任意两个直角三角形相似

B．有一个角相等的等腰三角形相似

C．任意两个等腰直角三角形相似

D．有两边对应成比例的两个直角三角形相似

【考点】命题与定理．

【分析】利用相似三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：A、任意的两个直角三角形不一定相似，故错误，不符合题意；

B、顶角相等或有一个底角相等的两个等腰三角形相似，故错误，不符合题意；

C、任意两个等腰直角三角形相似，正确，符合题意；

D、有两边成比例的两个直角三角形，不一定是对应边，故不符合题意；

故选C．

8．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距（圆心到边的距离）为三边作三角形，则该三角形的面积是（）2-1-c-n-j-y

A． B．C．D．

【考点】正多边形和圆．

【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．

【解答】解：如图1，

∵OC=1，

∴OD=1×sin30°=；

如图2，

∵OB=1，

∴OE=1×sin45°=；

如图3，

∵OA=1，

∴OD=1×cos30°=，

则该三角形的三边分别为：，，，

∵（）2+（）2=（）2，

∴该三角形是直角三角形，

∴该三角形的面积是××=，

故选：D．

9．如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差S △OAC ﹣S

△BAD

为（）

A ．3

B ．6

C ．12

D ．36

【考点】反比例函数系数k 的几何意义；等腰直角三角形．

【解答】解：设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为a 、b ，则点B 的坐标为（a +b ，a ﹣b ）．

∵点B 在反比例函数y=的第一象限图象上， ∴（a +b ）×（a ﹣b ）=a 2﹣b 2=6．

∴S △OAC ﹣S △BAD =a 2﹣b 2=（a 2﹣b 2）=×6=3．故选：A ．

10．如图，二次函数y=ax 2+bx +c （a ＞0）图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（）

A ．2a ﹣b=0

B．a+b+c＞0

C．3a﹣c=0

D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【分析】由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，得到对称轴为直线x=1，则﹣=1，即2a+b=0，得出，选项A错误；www-2-1-cnjy-com

当x=1时，y＜0，得出a+b+c＜0，得出选项B错误；

当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，而b=﹣2a，可得到a与c的关系，得出选项C 错误；

由a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，先求出顶点D的坐标，由三角形边的关系得出△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，得出选项D 正确；即可得出结论．

【解答】解：∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，

∴抛物线的对称轴为直线x=1，则﹣=1，

∴2a+b=0，

∴选项A错误；

∴当自变量取1时，对应的函数图象在x轴下方，

∴x=1时，y＜0，则a+b+c＜0，

∴选项B错误；

∵A点坐标为（﹣1，0），

∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a，

∴a+2a+c=0，

∴3a+c=0，

∴选项C错误；

当a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，如图，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣，

把x=1代入得y=﹣1﹣=﹣2，

∴D点坐标为（1，﹣2），

∴AE=2，BE=2，DE=2，

∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，

∴△ADB为等腰直角三角形，

∴选项D正确．

故选D．

二、填空题：本题有6小题，每小题4分，共24分

11．二次函数y=2x2﹣1的图象的顶点坐标是（0，﹣1）．

【考点】二次函数的性质．

【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．

【解答】解：二次函数y=2x2﹣1的图象的顶点坐标是（0，﹣1）．

故答案为：（0，﹣1）．

12．如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的中点，则△ADE的周长与△ABC的周长比为1：2．2·1·c·n·j·y

【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．

【分析】D、E分别是AB、AC边的中点，则DE是△ABC的中位线；三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，因而中位线分三角形得到的小三角

形与原三角形一定相似，且相似是1：2，因而周长的比是1：2．

【解答】解：∵点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的中点，

∴AD=BD，AE=EC，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC，且DE=BC，

∴△ADE∽△ABC

∵DE：BC=1：2

∴△ADE与△ABC的周长比为1：2，

故答案为：1：2．

13．在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋

中取出1只球，则取出黑球的概率是．

【考点】概率公式．

【分析】先求出总球的个数，再根据概率公式即可得出答案．

【解答】解：∵白球2只，红球6只，黑球4只，

∴共有2+6+4=12只，

∴取出黑球的概率是=；

故答案为：．

14．如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M

与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是﹣．【来源：21·世纪·教育·网】

【考点】扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）．

【分析】连接OM交AB于点C，连接OA、OB，根据题意OM⊥AB且OC=MC=，

=S扇形OAB﹣S△AOB、S阴影继而求出∠AOC=60°、AB=2AC=，然后根据S

弓形ABM

=S半圆﹣2S弓形ABM计算可得答案．

【解答】解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，

由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=，

在RT△AOC中，∵OA=1，OC=，

∴cos∠AOC==，AC==

∴∠AOC=60°，AB=2AC=，

∴∠AOB=2∠AOC=120°，

=S扇形OAB﹣S△AOB

则S

弓形ABM

=﹣××

=﹣，

S阴影=S半圆﹣2S弓形ABM

=π×12﹣2（﹣）

=﹣．

故答案为：﹣．

15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是6．

【考点】三角形的外接圆与外心．