量子力学试卷三份合集
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| | | | | | 密 | | | | | | | | | 封 | |
| | | | | | | 线 | | | 10．全同粒子体系的波函数具有确定对称性，这种对称性不随 改
变。
11．氢原子处于弱电场εr
中，其体系的微扰哈密顿是 。 12．Stark 效应是 。
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| 密| | | | | | | | | 封| | | | | | | | | 线| | |
得分评卷人
1．线性厄密算符的本征值与本征函数有哪些性质？
2．为什么描写全同粒子系统状态的波函数必须是对称或反对称的？
1．证明厄密算符的本征值为实数。
2．已知?
?
?
?
?
?
?
?
+
=
r
r
i
p
r
?
?h，证明[]h i
p
r
r
=
?,?。
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1．一粒子由)
exp(ikr
r
=
ψ描写,试计算其几率流密度，并说明其物理意义。
六、计算题（必须有详细的计算过程，每小题
10分，共40分）
3．已知力学量算符Q?的本征方程为)
(
)
(
?x
u
Q
x
u
Q
n
n
n
=，试证明力学量平均值
公式dx
t
x
x
i
x
F
t x
F),
(
)
,
(?),
(*Ψ
Ψ
=∫??h在Q?表象中的矩阵表示是
∑
=
n
m
n
mn
m
t
a
F
t
a
F
,
*)(
)(，)
,3,2,1
,
(L
=
n
m，
其中∫=dx
x
u
F
x
u
F
n
m
mn
)
(
?)
(*，∫Ψ
=dx
t x
x
u
t
a
n
n
),
(
)
(
)(*。
4．定义)
?
?(
2
1
?
y
x
iσ
σ
σ±
=
±
，证明0
?
?2
2=
=
?
+
σ
σ。
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3．转动惯量为I，电耦极矩为D
r
的平面转子处在均匀电场
rε
中，电场在转
动平面内，若电场较小，试用微扰法求转子能量的二级近似值。2．若归一化波函数()()()?
θ
?
θ
?
θ,
,
,
10
2
11
1
Y
c
Y
c
Y+
=，求
x
L、
z
L和2L的可能
值及相应几率，并计算2L的平均值。
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β
αcos
,
cos
,
cos方向的投影γ
β
αcos
?
cos
?
cos
?
?
z
y
x
n
S
S
S
S+
+
=
的本征值和所属本征函数。
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| | | | | | | 线 | | | 12．能量和时间的测不准关系为 。
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得分 评卷人 1．为什么可观察量要用线性厄密算符描写？ 2．为什么描写全同粒子系统状态的波函数的对称性不随时间而改变。 1．证明坐标算符x
?和动量算符x p ?之积并非厄密算符。
2．在z L ?的本征态下，证明0==y
x L L 。
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1．试计算三维各向同性谐振子的能级和波函数，并讨论其能级的简并度。
六、计算题（必须有详细的计算过程，每小题
10分，共40分）
3．证明动量算符的属于本征值为'p的本征函数在动量表象中的表示是
)'
(p
p?
δ。
4．证明在
z
σ?表象中i
z
y
x
=
σ
σ
σ?
?
?。
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3．设体系的哈密顿在)0(?H表象中的表示为??
?
?
?
?
?
?
+
+
=
b
E
a
a
b
E
H
)0(
2
)0(
1，其中
)0(
2
)0(
1
,E
E为)0(
H的能级，b
a,为小实数量。试用微扰理论计算体系能量
的二级近似值。
2．厄密算符A?与B?，满足0
??
??,1
?
?2
2=
+
=
=A
B
B
A
B
A,(1)在A表象中，求
A?与B?的矩阵表示，并求B?的本征值和本征函数。(2)在B表象中，求A?与B?
的矩阵表示，并求A?的本征值和本征函数。
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
)
,
(
)
(
2
3
)
,
(
)
(
2
1
10
21
11
21
?
θ
?
θ
ψ
Y
r
R
Y
r
R
的状态，求
z
L?和
z
S?的平均值。
| Array
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密
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封
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得分评卷人
1．
x
L?和
y
L?在任意态中都不能同时具有确定值吗？试举例加以说明。
2．试述Stern-Gerlach实验。
1．证明对于非简并情况，厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交。
2．证明力学量算符的矩阵是厄密矩阵。
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1．求在一维势场
?
?
?
≤
≤
>
<
∞
=
a
x
a
x
x
x
U
,0
,0
,
)
(中运动的粒子的能级和本征函
数。
六、计算题（必须有详细的计算过程，每小题
10分，共40分）
3．已知力学量算符Q?的本征方程为)
(
)
(
?x
u
Q
x
u
Q
n
n
n
=，试证明薛定谔方程
),
(
)
,
(?
),
(t
x
x
i
x
H
t
x
t
iΨ
=
Ψ
?
?
?
?h
h在Q?表象中的矩阵表示是
∑
=
n
n
mn
m t
a
H
dt
t
da
i)(
)(
h，)
,3,2,1
,
(L
=
n
m，
其中∫=dx
x
u
H
x
u
H
n
m
mn
)
(
?)
(*， ∫Ψ
=dx
t
x
x
u
t
a
n
n
),
(
)
(
)(*。
4．证明在自旋态)
(
1
2/1z
S
χ中，
x
S和
y
S的测不准关系是
16
)
(
)
(
4
2
2h
=
Δ
Δ
y
x
S
S。
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3．设体系的哈密顿在)0(?H表象中的表示为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
+
=
3
2
1
3
2
1
)0(
a
c
c
a
b
b
a
H
H
H
ε
ε
ε
，试用微扰理论计算体
系能量的二级近似值。
2．氢原子处于基态exp(
1
)
,
,(
3
a
r
a
r?
=
π
?
θ
ψ，求径向坐标和势能的平均值。
|
| | | | | | | | 密| | | | | | | | | 封| | | | | | | | | 线| | | 4．在
z
S?表象中求
y
S?在自旋态??
?
?
??
?
?
=
3
1
2
1
χ中的可能值及相应几率和平均值。
《量子力学》试题答案及评分标准
一．单项选择题 每小题1分，共10分
1、A
2、B
3、D
4、C
5、A
6、D
7、C
8、A
9、D 10、D 二．填空题 每小题1分，共12分
1、光具有粒子性；
2、c dV t r c ,),(2
r Φ为比例常数；
3、单位时间内区域V 内几率的变化等于通过闭合曲面S 流进或流出的几率；
4、本征值；
5、2
4
8h s e μ?
； 6、它们的共同本征态；
7、????
??
????????=ΨM 321a a a ； 8、以L ),(),(21x u x u 为基矢所张成的无穷维的函数空间；
9、2/h ±； 10、时间； 11、θεεcos 'r e r e H =?=r
r ； 12、氢原子在外电场作用下谱线发生分裂的现象； 三．判断题 每小题2分，共10分
1、错，应为20世纪。
2、对，为二重简并。
3、错，用线性厄密算符表示。
4、错，必须是不同本征值。
5、错，应是乌伦贝克和哥德斯密脱。
四．简答题 每小题4分，共8分
1、答：线性厄密算符的本征值是实数，且在任意态)x (?上的平均值也是实数。线性厄密算符相应不同本征值的本征函数彼此正交，属于同一本征值的本征函数可以正交化。
2、答：由N 个全同粒子组成的系统的状态波函数为
)t ,q ,,q ,,q ,,q ,q (N j i 21L L L Ψ
将交换算符ij P ?作用在系统状态的波函数Ψ上，根据全同性原理可得： )t ,q ,,q ,,q ,,q ,q ()t ,q ,,q ,,q ,,q ,q (P ?N j i 21N j i 21ij L L L L L L Ψλ=Ψ 于是：
)t ,q ,,q ,,q ,,q ,q ()t ,q ,,q ,,q ,,q ,q (P ?N j i 212N j i 212ij L L L L L L Ψλ=Ψ 而I ?P ?2ij
=，则12=λ，即： )t ,q ,,q ,,q ,,q ,q ()t ,q ,,q ,,q ,,q ,q (P ?N
j i 21N j i 21ij L L L L L L Ψ±=Ψ 所以描写全同粒子系统状态的波函数必须是对称或反对称的。
五．证明题 每小题5分，共20分
1、证明：若λψψ=F
?，F ?为厄米算符，则证明λ为实数。由厄米算符定义，令ψφ=，
τψψψψd F
F ?
?∫∫=)?(?， （1） 左=τψλτλψψd d ∫∫=?2
，
右＝τψλτψψλd d 2
∫∫???=， （2）
0)(2
=?∴∫?τψλλd ， （3） 02
≠∫τψd Q ， （4）
?=λλ , λ为实数。 （5）
评分说明：（1）、（2）、（3）、（4）、（5）式各1分。 2、证明：设有一任意波函数ψ，
[]ψψψ
r p p r
p r r r r ?????,??= ψψr r r i r r r i ??????
?
?????+?????????+=h h （1） r
r i i r i r r i r i ???????+=
ψψψψψ????22h h h h h ψh i = （2）
由于ψ是任意波函数，所以应有[]h i p r
r =?,?。 （3） 评分说明：（1）、（2）各2分，（3）式1分。
3、证明：由 ()()()x u t a t x n n
n ∑=Ψ,， ()()()x u t a t x m m
m ?
?
?∑=Ψ,， （1）
得：()()()()dx x u t a F x u t a F n
n m mn
m ?**∫∑= ()()()[]
()t a dx x u F x u t a n
n m mn
m ?**∫∑= （2） ()()t a F t a n mn mn
m
∑=*
评分说明：（1）式2分，（2）式3分。
4、证明： ????????=0110?x σ ，???????
??=00?i i y σ （1） 2
200011041???
?
????????????+????????=+i i i σ
4
1=
????????????20110????????+0110i ?????????00i i ?????????+00i i i ????????0110???
?
?????????+200i i 0= 。 （2）