逆向解题例说

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逆向解题例说

作者：王京芳

来源：《成才之路》2008年第03期

有些问题若正向思考非常繁琐，甚至无从下手。我们若改变思维的方向，从问题的反面考虑，常常能出奇制胜，绝处逢生。

例1：一个多边形的内角中最多有几个锐角？

分析：本题若正向求解，运用多边形内角和公式（n－2）·180，很难说得清。不妨这样思考，因为多边形外角和等于360°，所以它的外角中最多可以有3个钝角或4个直角。又因为多边形的每一个内角都与一个外角互补，所以多边形内角中最多有3个锐角。

例3：已知二次函数y=mx2+2mx+m+1，y=x2+2x+2m，y=x2-m+1 至少有一个二次函数的图像与x轴有交点，求m的取值范围。

分析：三个二次函数的图像至少有一个与x轴有交点的情况可能有七种，逐一讨论很复杂。若从问题的反面考虑，注意到三个二次函数的图像与x轴均无交点的情况只有一种，这样先写出m的取值范围，再从整个实数中去掉这个范围即可。

此例题运用逆向思维从反面下手，收到事半功倍的效果。

例4：右图中的算式表示四位数abcd与数9的积是四位数dcba ，那么a、b、c、d这四个数字分别是_______。（2003年江苏省第18届初中数学竞赛初一试卷第1试题）

分析：若按通常解法，当“字谜”去猜，漫无边际地去猜，当然难以奏效，而直接演算,无疑行不通。怎么办？我们不妨运用逆向思维进行“反序推算”。被乘数是四位数，与9的乘积也是四位数，显然a只能等于1，则d=9。由此可见被乘数的百位数b必小于1或等于1，这样b只能是1或0，若b=0，c=8；当b=1，c=7时，那么与d=9相矛盾（积为四位数），故不符合题意。因此a、b、c、d的值只能是1，0，8，9。

过去所说的“逆推顺算”法仅是“分析法”与“综合法”的结合，而在这里我们讨论的是运用“逆向思维，反序推算”出最后结果。显然这两者有异曲同工之处，但后者又有事半功倍之妙。

下面我们大家一起来做几道题，方法自选，不拘一格，孰优孰劣，不言自明：

1. 池塘中的浮草，每天生长为原来面积的2倍，已知经过15天长满整个池塘，问长满池塘一半时需要多少天？（答案：14天）

2. 已知a、b、c是实数，a+b+c=0，且a>b>c