4-1《二面角》

4-1《二面角》

周红宁波东钱湖旅游学校

【课题】二面角 (高等教育出版社《数学基础版第二册》§9.9第一课时)

【课时】一课时(45分钟)

【设计理念】

学习是一个知识迁移、转化、创新的过程，因此，实现教学的有效性，必须充分把握迁移点、转化点和创新点，引导学生充分调集已有知识与经验，通过在有效问题情境中的体验活动，不断实现知识的跃迁——固化——再跃迁。在这一过程中，迁移的逻辑层次和学生自能意识的调动是关键所在。

【教材分析】，

本课是在平面几何角、异面直线所成角、直线与平面所成角基础上学习的，是又一个重要的空间图形。二面角的平面角是立几中主要概念之一，它的引入完善了空间的度量关系，也是进一步学习两平面垂直、多面体的重要基础，起着承上启下的作用。同时，本课题在建筑、水利等方面均有广泛的研究与应用，为生活实际提供了理论依据。

【教学目标】

㈠知识目标

1.理解二面角的概念，会画二面角、表示二面角；

2.会用定义法和三垂线法求二面角的平面角，解决简单实际应用问题。

㈡能力与思维品质目标

1.通过经历二面角、二面角的平面角的概念形成，发展知识迁移、转化、创新能力和逻辑推理能力。

2.能应用二面角的平面角变通地解决一些相关问题，培养空间想象能力和简单实际应用能力，发展数学的应用意识。

3.通过对学习的自我小结体验，发展处理信息、形成结构性知识的能力。

4.通过组织学习过程，增强与人合作的意识和能力。

【教学重难点及剖析】

重点：理解二面角，会用定义法和三垂线法作二面角的平面角

突破办法：通过实体模型展示，使学生从直线折叠形成角迁移至平面折叠形成二面角的概念。通过学生亲身参与，归类二面角的常见画法与表示。通过强化步骤使学生掌握二面角的平面角二种作法。

难点：二面角的平面角概念形成过程及灵活变通地作出二面角的平面角

突破办法：类比异面直线所成角、线面角，明确方向——找平面角，学生猜想模型中二面角的平面角，抽象出定义法，在正方体中由定义法迁移至三垂线法，抓住关键：巧取任点、找面的垂线，使学生学会作二面角的平面角时以不变应万变。

【教学平台与资源】

自制演示教具、多媒体课件、折纸

【教学过程】

教学环节

师生活动

设计意图教师活动学生活动

类

比迁移

引导1：空间图形的基本组成要素有

哪些？

生答：点、线、面

把握迁移

的逻辑起点，

设置问题情

境，启动温故

引入新知

类比迁移

引入新知教师展示一铅丝与一张纸，问它们代表什

么？

生答：直线、平面

而求新的过

程。

引导2：教师沿一点把铅丝折叠成一角，

请学生说出此图形名称？它的组

成要素？并给出它的定义。

生答：角！

个答：一个点二条射线

个答：从一点出发的二条射线所成的

图形称作角

类比引导3：

教师在纸中画线，沿线把纸折成一二

面角，问学生此图形名称？它的组成要

素？能否给它下一类似定义？

生反应：名称不知！

组成要素：二个半平面，一条直

线

定义：从一条直线出发的二个半平面

所成的图形

用一个隐

伏着学习主题

的问题作为学

习活动的开

端，激发学生

的好奇心，引

领学生探求新

知。

点题：它就是本课需研究的图形——二面角引入课题

把握起点

引发思维

发放练习纸，引导学生填表！幻灯片

显示！

角

二

面角

图示

图形

的构成

定义

图形

的表示

学生填表！

引导学生

调集角的知识

积累，引发思

维迁移至二面

角的有关问

题。填表有利

于学生固化知

识。

O

B

A

教师展示生活中的二面角！（教具、翻盖手机等！）

多媒体展示二面角图片：教堂、拦洪坝、金字塔

学生举例生活中的二面角：

如教室门与墙面形成的二面角、

书本开合形成的二面角、手中的白纸

折成的二面角……

联系生活

实际，激活课

堂气氛，使学

生在轻松的心

理氛围中进入

学习状态。

引导问题：二面角画法唯一吗？

表格中的二面角图形实际模

型？

你能给出二面角的其他画法吗？

要求：学生二人一组，折纸摆造型，画二面角，表示二面角（教师巡视！）

班级分四组，请每组同学上台画

二面角、表示二面角，比比谁画的正

确！谁画得多！

通过以小

组为单位的竞

赛方式，活跃

课堂气氛、强

化合作意识。

教师评价学生的画法；（圈重点、划问题）归类二面角的常见画法、表示！

幻灯片显示！

从学生画法中归类常见画法，有利于学生熟悉新知

引导：观察以上几个二面角，除位置不同还有什么不同？生答：大小不同！

从学生直

观猜测中抽象

问题。

引导：如何度量二面角的大小？

迁移转化

抽象新知回顾：

如何度量异面直线所成角？

直线与平面所成角？幻灯片给出异面直线、直线与平

面所成角，请学生个答作图过程，幻

灯片显示。

引导学生

调集知识积

累，引发思维

迁移。

小结：转化为二条相交直线所成的平面角！

类比：如何在二面角内找一个平面角度量二面角的大小？

迁移转化

抽象新知

教师展示模具，引导学生判断二面角

的大小：

锐角？直角？钝角？

学生展示折纸，指出二面角的平

面角！

让学生学

会直观感知、

大胆猜测。

引导：这个平面角的点、边与二面角

的棱、面有

何联系？这样的平面角唯一吗？

学生思考、讨论

培养学生

分解问题、分

步推理的逻辑

思维。

辩析题：判断下列哪些是二面角的平

面角？

哪些不是？

学生个答

为从具体

到抽象的迁移

作好过渡。

抽象：如何作二面角的平面角？

师生归纳；（1）取二面角棱上任点0

(2),

,

OA OB

OA l OB l

αβ

??

⊥⊥

作

且棱棱

（3）二面角的平面角即AOB

∠

隐性思维

过程转化为结

构化的显性知

识，固化认识

跃迁结果。

适应性练习：（1）画出教堂图片中屋顶的二面角，作出二面角的平面角！

（2）给出二个等腰三角形组成的二面角，作出二面角的平面角！

（关键：学会巧取任点——中点）

（3）给出一正方体，指出侧面与底面所成的二面角的平面角；对角

面与底面所成二面角的平面角，二面角

1

B A

C B

--的平面角

引导1：巩固定义法求二面角的平面

角，

指导直二面角的画法

引导2：固化认识——巧取任点为中点

引导3：得到三垂线法求二面角的平

面角：

作面的垂线——棱的垂线—

—连线！！

D

A

C

C

1

B

1

A

1

D

1

B

发挥学生

的主观能动

性，固化认知

结果。

通过在直

角三角形中用

定义法求二面

角的平面角自

然过渡引出三

垂线法。

方法训练

思维内化

例1：在60?的二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离15cm，求

它到棱的距离。

分析：作二面角——三垂线法——找面的垂线棱的垂线；解Rt?。

方法论训

练：

快速把握

“已知”与“所

求”间关系的

训练，发展学

生解决问题的

思维明晰性和

敏捷性。

例2：山坡的倾斜度（坡面与水平面形成的二面角的度数）是30?，在坡面β

内，从坡脚的A处出发，沿一条与坡脚的水平线l成60?角的直路前进，行走200m

后，升高了多少米？

分析：给出实际山坡图片，依题意画图，分析位置，作二面角的平面角！

分析已知？求？

实践体验

能力外化练习：

1．在一个二面角的一个面内有一个点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，求二面角的度数。

2．在一个山坡上，从坡脚的某处出发，沿一条与坡脚的水平线成30?角的直路前进，如果行走20m后升高了7.07m，求山坡的倾斜度。

学生板演，其他学生评价解答过程，指出问题。

进一步稳

定认识跃迁结

果的固化点。

自

主总结

结构跃迁

引导学生自主总结：

今天学了什么？它如何得到？又

有何用？

学会它的关键是什么？

学生个答：

二面角的定义！

二面角的画法！

二面角的表示！

二面角的平面角求法：

定义法关键：巧取任点！

三垂线法关键：找面的垂线！

棱的垂线！

完成本堂课的知

识迁移、转化，并将

认识跃迁结果自能地

纳入认知结构。

思考：求二面角的平面角还有其他方法吗？

培养学生的自主

探究意识

综合训练

全域拓展

作业：

1．河堤斜面与水平面所成的二面角为60°，堤面上有一条直道CD，

它与堤脚的水平线夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10m时人升

高了多少？（精确到0.1m）

2、如图卢浮宫金字塔呈方锥形（底面是正方形，顶点在底面的射影是

底面的中心），是世界顶尖华裔建筑设计师贝聿铭在艺术殿堂罗浮宫前写下

的惊世一笔,已知该金字塔侧面总面积1500平方米，底面边长30米，求侧

面与底面所成二面角的大小及余弦值。

研究性课题：阐述建筑中的完美方锥与黄金分割的关系

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3．预习P173 A2,B3说说求二面角的平面角第三种方法

作业1旨在巩固

基础知识\基本技能；

作业2则旨在通过对

实际问题的自主分

析、计算，使学生发

现数学在生活中的广

泛应用，

作业3旨在培养

学生自主探究能力。

用向量法求二面角的平面角教案

用向量法求二面角的平面 角教案 Prepared on 24 November 2020

第三讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1．使学生会求平面的法向量； 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量；

求解二面角的平面角的向量法. 教学难点 求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈） 角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ， 2 1 = AD ，求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值. 分析 分别以,,BA AD AS 所在直线为,,x y z 轴，

考点三 用空间向量求二面角

考点三用空间向量求二面角 【例3】(2019·北京海淀区模拟)如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如图2，点P为BC的中点，点E在线段AB上(不同于A，B两点)，连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB. (1)(一题多解)证明：OD⊥平面P AQ； (2)若BE＝2AE，求二面角C－BQ－A的余弦值. (1)证明法一取OO1的中点F，连接AF，PF，如图所示. ∵P为BC的中点，∴PF∥OB， ∵AQ∥OB，∴PF∥AQ， ∴P，F，A，Q四点共面. 由题图1可知OB⊥OO1， ∵平面ADO1O⊥平面BCO1O，且平面ADO1O∩平面BCO1O＝OO1，OB?平面BCO1O， ∴OB⊥平面ADO1O， ∴PF⊥平面ADO1O， 又OD?平面ADO1O，∴PF⊥OD. 由题意知，AO＝OO1，OF＝O1D，∠AOF＝∠OO1D， ∴△AOF≌△OO1D，

∴∠F AO ＝∠DOO 1， ∴∠F AO ＋∠AOD ＝∠DOO 1＋∠AOD ＝90°，∴AF ⊥OD . ∵AF ∩PF ＝F ，且AF ?平面P AQ ，PF ?平面P AQ ， ∴OD ⊥平面P AQ . 法二 由题设知OA ，OB ，OO 1两两垂直，∴以O 为坐标原点，OA ，OB ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设AQ 的长为m ，则O (0，0，0)，A (6，0，0)，B (0，6，0)，C (0，3，6)，D (3，0，6)，Q (6，m ，0). ∵点P 为BC 的中点，∴P ? ?? ??0，92，3， ∴OD →＝(3，0，6)，AQ →＝(0，m ，0)，PQ →＝? ?? ??6，m －92，－3. ∵OD →·AQ →＝0，OD →·PQ →＝0， ∴OD →⊥AQ →，OD →⊥PQ →，又AQ →与PQ →不共线， ∴OD ⊥平面P AQ . (2)解 ∵BE ＝2AE ，AQ ∥OB ，∴AQ ＝12OB ＝3， 则Q (6，3，0)，∴QB →＝(－6，3，0)，BC →＝(0，－3，6). 设平面CBQ 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 由?????n 1·QB →＝0，n 1·BC →＝0，得? ??－6x ＋3y ＝0，－3y ＋6z ＝0， 令z ＝1，则y ＝2，x ＝1，n 1＝(1，2，1). 易得平面ABQ 的一个法向量为n 2＝(0，0，1). 设二面角C －BQ －A 的大小为θ，由图可知，θ为锐角， 则cos θ＝??????n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝66，

《平面与平面的位置关系》中的《二面角》

《二面角》教案 云南玉溪工业财贸学校 魏华新 一、目的要求 1、认知目标：（1）使学生正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的解题思想。 2、能力目标：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。（2）通过对图形的作图、观察、分析和比较来强化学生的动手操作和动脑的能力。 3、教育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。(2)通过揭示面面之间的内在联系，进一步使学生建立“联系”的辩证唯物主义观点。 二、重点、难点：（1）二面角的平面角概念，不同方位二面角的平面角的直观图的画法；（2）寻找二面角的平面角的方法的发现过程。 三、教学过程： （一）、二面角 1、提示问题产生的背景： 问题情境1、在修筑水库的拦水坝时，为了牢固耐用而又经济，必须考虑拦水坝坡面与地面（平面与平面相交）要组成适当的角度。（由实例引入二面角的概念），接着又问学生还能举出一些二面角的实例吗？ 问题情境2、我们应如何定量研究两个相交平面之间的相对位置呢？ 通过这二个问题，打开了学生的原有认知结构，为知识的创新做好了准备；同时也让学生领

会到，二面角这一概念的产生是因为研究两相交平面的相对位置的需要，从而明确新课题研究的必要性，触发学生积极思维活动的展开。 2、展现概念形成过程。 问题情境3、应如何定义两相交平面所构成的角呢？ 创设这个问题情境，为学生创新思维的展开提供了空间。结合电脑演示，引导学生回忆平面几何中“角”这一概念的引入过程。 问题情境4、通过类比，同学们能给出二面角的概念吗？ 引导学生将平面几何中角这一概念的引入过程，通过类比，迁移到两相交平面所成角（二面角）的引入上，从而实现知识的创新。教师先肯定学生的创新结果，给予积极的评价，强化他们的创新意识。由教师版书于上图表中右侧。 由教师出示预先准备好的二面角的模型，要求学生画出二面角不同方位不同角度的直观图，为了帮助学生能正确得画出不同方位和不同角度的二面角，教师预先用《数理平台》制作好的“《课件》《不同方位和不同角度》”（点击此处双引号的文字可打开课件《不同方位和不同角度的二面角》）的二面角的直观图。学生可亲自操作《课件》（培养学生的动手能力），通过实际运用，可以促使学生更加深刻地理解概念。

用向量法求二面角的平面角教案

第三讲：立体几何中的向量方法 利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形” 的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数 方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课 程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。 空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1使学生会求平面的法向量； 2?使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题; 4. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高 教学重点 求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法 教学难点 求解二面角的平面角的向量法 教学过程 I、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：[0,]）

2、 法向量的方向： 一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面 角等于法向量夹角的补角 . 3、 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” ： （1） 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2） 通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行 向量运算） （3） 把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形） n 、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形， ABC 90 , SA 求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值? 分析 分别以BA, AD,AS 所在直线为x,y,z 轴， 建立空间直角坐标系，求出平面 SCD 的法向量 仁, 平面SBA 法向量n 2，利用n i , n 2夹角 cos cos n 1, n 2 结论： 或 ——■ cos cos 门1,门2 cos cos n j , n 2 统一为： n 1 n 2 |n 1 n 2 1 面 ABCD , SA AB BC 1, AD -, 2

利用空间向量求二面角的平面角

利用空间向量求二面角的平面角 1.二面角的概念： 二面角的定义.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为 l αβ--. 2．二面角的平面角： 过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线 ,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角 3、二面角的大小 （1）二面角的平面角范围是[0,180]； （2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 4、用法向量求二面角 5、面面角的求法 （1）法向量法：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角 （2）方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。 D C β α B A O m 2 m 1 n 2 n 1 D C β α l 如图所示，分别在二面角α－l －β的面α，β内，并且沿α，β延伸的方向，作向量1n ⊥l ，2n ⊥l ，则我们可以用向量1n 与2n 的夹角来度量这个二面角。 如图，设 1m ⊥α，2m ⊥β，则角<12,m m >与该二面角相等或互补。 cos cos ,AB CD AB CD AB CD θ?== ?

小结： 1.异面直线所成角： 2.直线与平面所成角： 3.二面角: 二.求二面角的平面角: 例1：在正方体AC1中，求二面角D1—AC —D 的大小？ 例2：如图，三棱锥P-ABC 中，面PBC ⊥面ABC ，⊿PBC 是边长为a 的正三角形，∠ACB= 90°， ∠BAC=30°，BM=MC 。（1）求证： PB ⊥AC （2）二面角C-PA-M 的大小 。 cos cos ,AB CD AB CD AB CD θ?==?

空间几何向量求二面角专项练习

1. 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面， ，点M 在侧棱上，=60° （I ）证明：M 在侧棱的中点 （II ）求二面角的大小。 2. 如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ， 60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为6 2 ，求二面角E —AF —C 的余弦值. 3.如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA =2, E 、E 、F 分别是棱AD 、AA 、AB 的中点。 （1） 证明：直线EE //平面FCC ；求二面角B-FC -C 的余弦 值。 4.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形． 已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． （Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ； （Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小． S ABCD -ABCD SD ⊥ABCD 2AD =2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --11111 11111E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D

5.如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°， E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 6.如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=， AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； 6. 已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。 （1）求证：AC 1⊥BC ； （2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。 7. 如图，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值. 8.如图，在五面体ABCDEF 中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE ，AB AD ，M 为EC 的中点，AF=AB=BC=FE= AD (I) 求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； ⊥⊥1 2 A B C E D P A B B 1 C 1 A 1 L A C B P A D B C E D B A 图5

如何用空间向量求解二面角

如何用空间向量求解二面角 万立勇 （河南省信阳市新县高中，465550） 求解二面角大小的方法很多，诸如定义法、三垂线法、垂面法、射影法、向量法等若干种。而这些方法中最简单易学的就是向量法，但在实际教学中本人发现学生利用向量法求解二面角还是存在一些问题，究其原因应是对向量法的源头不尽了解。本文就简要介绍有关这类问题的处理方法，希望对大家有所帮助。 在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题．对 于空间向量→a 、→b ，有cos ＜→a ，→ b ＞= → →→ →??| |||b a b a ．利用这一结论， 我们可以较方便地处理立体几何中二面角的问题． 例1 (2005年全国高考理科试题) 在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．求 面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小． 证明： 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边 长为1，依题意 得AB ??→ = (0，1，0)，是面VAD 的法向量， 设n →= (1，y ，z)是面VDB 的法

向量，则 0,0.n VB n VB →??→→??→??=????=? ?1,3y z =-?? ?=- ???n →= (1，－1 )。 ∴cos ＜AB ??→，n → ＞ |||| AB n AB n ??→→ ??→→ ??= － 7 ， 又由题意知，面VAD 与面VDB 所成的二面角为锐角，所以其大小 为arccos 7 例2 (2004年全国高考四川、云南、吉林、黑龙江理科数学试题)如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB =90?，AC=1， CB=2，侧棱AA 1=1，侧面AA 1B 1B 的两条对角线交点为D ，B 1C 1的中点为M ． ⑴求证CD ⊥平面BDM ； ⑵求面B 1BD 与面CBD 所成二面角的大小． 解：⑴略 ⑵如图，以C 为原点建立坐标系.设BD 中点为G ，连结B 1G ， 则依 ，14，1 4 )，BD ??→ = (－ y B B 1 C 1 A 1 C A D M

空间向量法求二面角

徐沟中学高二年级数学学案 命制人： 董晓燕 郭凯丽 复查人：段红蕊 空间向量法求二面角 学习目标： 1．让学生初步理解用与二面角的平面角两边平行的向量的夹角计算二面角大小的方法；让学生初步了解二面角的平面角与两个面的法向量的夹角的关系；并能解决与之有关的简单问题． 新知自学： 让学生观察两平面的法向量的夹角与二面角的平面角之间的关系，引导学生用法向量的 夹角解 图1 图2 课堂互学： 例1；在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小． 例2．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角 B A C D --的正弦值 例3：如图5，在底面是直角梯形的四棱锥S —A BCD 中，AD//BC ，∠A BC=900，S A ⊥面A BCD ，S A =21，A B=BC=1，A D=2 1 。 求侧面SCD 与面SB A 所成的二面角的大小。 总结提炼： 随堂检测： 1.如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为 2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角11C B A A --的大小； 能力提升： 1.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1，且AA 1=AB=2． （1）求证：AB ⊥BC ；（2）若直线AC 与平面A 1BC 所成的角为6π ，求锐二面角A-A 1C-B 的大小． A B C D E F ?ω θ β l α 2 n 1 n θ β l α ? 1 n 2 n O （A ） B A 1 C 1 B 1 D 1 D C Q z y x 图4 A z y D C B S 图5 A B C D 1 A 1 C 1 B

空间向量及二面角的向量求法专题备课讲稿

第四讲 空间向量 一、定义： （1）已知，则),,(121212z z y y x x ---= （2）已知),,(),,,(222111z y x b z y x a ==ρ ρ ，则),,(212121z z y y x x b a +++=+ρ ρ； ),,(212121z z y y x x b a ---=-ρρ；212121z z y y x x b a ++=?ρ ρ （3）数量积：cos a b a b θ?=??r r r r 注：22a a =r r ；a b +=r r ；222||z y x a ++=ρ （4）应用：已知),,(),,,(222111z y x b z y x a ==ρ ρ 1122//x y a b b a x y λ?=?=r r r r =2 1z z 00212121=++?=??⊥z z y y x x b a b a ρ ρρρ 二、空间向量解决空间立体几何问题： 1、位置关系判定： （1）线线平行：111 222 //x y z a b a b x y z λ→ → → → ?=? == 线线垂直：121212(cos 0)02 a b x x y y z z π θθ→→ ⊥?= =??+?+?= （2）线面平行：//a m l α→→ ⊥?（其中m → 为平面的法向量） 线面垂直：//a m l α→ → ?⊥ （3）面面平行：////,m n m n αβαβ→→→→ ?其中为的法向量，为 的法向量 面面垂直：,m n m n αβαβ→ → → → ⊥?⊥其中为的法向量，为的法向量

2、求夹角： （1）线线角：|| |||||cos |b a b a ρρρρ??=θ，其中[0,]2π θ∈ （2）线面角：|||||||cos |sin m a m a ρ ρρ ρ??==θθ，其中[0,]2 π θ∈ （3）二面角：cos |||| m n m n θ→→ → → ?= ?，其中[0,)θπ∈

利用空间向量求空间角教案设计

利用空间向量求空间角 备课人：龙朝芬 授课人：龙朝芬 授课时间：2016年11月28日 一、高考考纲要求： 能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用． 二、命题趋势： 在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多. 三、教学目标 知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用； 过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力； 情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力. 四、教学重难点 重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角； 难点：将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程 （一）空间角公式 1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l ，m 的方向向量分别为a r ,b r ,异面直线l ，m

2、线面角公式：设直线l 为平面α的斜线，a r 为l 的方向向量，n r 为平面α的法向量，θ为 l 与α所成的角，则sin cos ,a n θ==r r a n a n ?r r r r . 3、面面角公式：设1n r ，2n r 分别为平面α、β的法向量，二面角为θ，则12,n n θ=r r 或 12,n n θπ=-r r （需要根据具体情况判断相等或互补） ，其中121212 cos ,n n n n n n ?=r r r r r r . （二）典例分析 如图，已知：在直角梯形OABC 中，//OA BC ，90AOC ∠=o ，SO ⊥面OABC ，且 1,2OS OC BC OA ====.求： （1）异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值； （2）OS 与面SAB 所成角α的正弦值； （3）二面角B AS O --的余弦值. α θ O O A B C S n r a

利用空间向量求空间角教案设计

利用空间向量求空间角 备课人：龙朝芬授课人：龙朝芬 授课时间：2016年11月28日一、高考考纲要求： 能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用． 二、命题趋势： 在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多. 三、教学目标 知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用； 过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力； 情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力. 四、教学重难点 重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角； 难点：将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程 （一）空间角公式 1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l，m的方向向量分别为a,b,异面直线l，m b a b a b ? . bθ a

2、线面角公式：设直线l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为 l 与α所成的角，则sin cos ,a n θ== a n a n ?. 3、面面角公式：设1n ，2n 分别为平面α、β的法向量，二面角为θ，则12,n n θ=或12,n n θπ=-（需要根据具体情况判断相等或互补） ，其中12 1212 cos ,n n n n n n ?=. （二）典例分析 如图，已知：在直角梯形OABC 中，//OA BC ，90AOC ∠=，SO ⊥面OABC ，且 1,2OS OC BC OA ====.求： （1）异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值； （2）OS 与面SAB 所成角α的正弦值； （3）二面角B AS O --的余弦值. O A B C S

空间几何向量求二面角专项练习

1. 如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 2. 如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC 的 中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为6 2 ，求二面角E —AF —C 的余弦值. 3.如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB 111111图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形． 已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． （Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ； （Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小． 5.如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面 ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 6.如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=， AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； 6. 已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。 （1）求证：AC 1⊥BC ； （2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。 E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D A B C E D P A B 1 C 1 A 1 A C B P

利用空间向量解立体几何(完全版)

向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。 一、基本工具 1.数量积：cos ?= a b a bθ ? 2.射影公式：向量a在b上的射影为a b b 3.直线0 - ++=的法向量为(),A B，方向向量为(),B A Ax By C 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系

线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为(PQ x =2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量 (),n A B =上的射影PQ n n ?= 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角

空间几何向量求二面角专项练习

1 1. 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面， ，点M 在侧棱上，=60° （I ）证明：M 在侧棱的中点 （II ）求二面角的大小。 2. 如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC 的 中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 角E —AF —C 的余弦值. 3.如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA =2, E 、E 、F 分别是棱AD 、AA 、AB 的中点。 （1） 证明：直线EE //平面FCC ；求二面角B-FC -C 的余弦值。 4.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形． 已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． （Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ； （Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小． 5.如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面 ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 6.如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠= ， AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； S ABCD -ABCD SD ⊥ ABCD AD 2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --111111111 1E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D A B C E D P A C B P

空间向量法求面角

1 / 1 空间向量法求二面角 学习目标： 1．让学生初步理解用与二面角的平面角两边平行的向量的夹角计算二面角大小的方法；让学生初步了解二面角的平面角与两个面的法向量的夹角的关系；并能解决与之有关的简单问题． 新知自学： 让学生观察两平面的法向量的夹角与二面角的平面角之间的关系，引导学生用法向量的 夹角解 图1 图2 课堂互学： 例1；在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小． 例2．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角 B A C D --的正弦值 例3：如图5，在底面是直角梯形的四棱锥S —A BCD 中，AD//BC ，∠A BC=900，S A ⊥面A BCD ，S A =21，A B=BC=1，A D=2 1 。 求侧面SCD 与面SB A 所成的二面角的大小。 总结提炼： 随堂检测： 1.如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为 2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角11C B A A --的大小； 能力提升： 1.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，平面A 1BC ⊥侧面A 1ABB 1，且AA 1=AB=2． （1）求证：AB ⊥BC ；（2）若直线AC 与平面A 1BC 所成的角为6π ，求锐二面角A-A 1C-B 的大小． A B C D E F ?ω θ β l α 2 n 1 n θ β l α ? 1 n 2 n O （A ） B A 1 C 1 B 1 D 1 D C Q z y x 图4 A z y D C B S 图5 A B C D 1 A 1 C 1 B