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第25-29课时导数应用的题型与方法

第25－29 课时：导数应用的题型与方法

一．复习目标：1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．

m x x

2. 熟记基本导数公式（c,x （m为有理数）,sin x, cos x, e , a , Inx, log a x的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大（小）值的问题，掌握导数的基本应用.

3. 了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。

4. 了解复合函数的概念。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。

二.考试要求：

⑴了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点

处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。

⑵熟记基本导数公式（c,x m（m为有理数），sin x, cos x, e x, a x,lnx, log a x的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

⑶了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导

数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。

三.教学过程：

（I ）基础知识详析导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于

导数的学习，主要是以下几个方面:

1. 导数的常规问题：

（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；

（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；

（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n 次多项式的导数问题

属于较难类型。

2. 关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3. 导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

4. 曲线的切线在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，

惟一

的公共点叫做切点.圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的.如图3—1中的曲线C 是我们熟知的正弦曲线y=sinx .直线l i与曲线C有惟一公共点M ,但我们不能说直线h与曲线C相切；而直线匚尽管与曲线C有不止一个公共点，我们还是说直线l2是曲线C在点N处的切线.因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切线的定义．所以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线．

(图3亠D

5. 瞬时速度

在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明?物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度.

6. 导数的定义

导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据. 对导数的定义，我们应注意以下三点： (1) △ x 是自变量x 在 X 0处的增量(或改变量).

⑵导数定义中还包含了可导或可微的概念，

如果△ x T0时，-岁有极限，那么函数y=f(x)在点x 0处可

导或可微，才能得到 f(x)在点x 0处的导数.

⑶如果函数y=f(x)在点x 0处可导，那么函数y=f(x)在点x 0处连续(由连续函数定义可知).反之不一定成立.例如函数 y=|x|在点x=0处连续，但不可导.

由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行： (1) 求函数的增量：y 二 f(x 。

：x) - f(x o )；

f (x 0

=x) - f (x 0) (2) 求平均变化率.

-；

⑶取极限，得导数f'(X o )=蚂詈。 7. 导数的几何意义

函数y=f(x)在点X 。处的导数，就是曲线 y=(x)在点P(x 。，f(x 。))处的切线的斜率.由此，可以利用导数求

曲线的切线方程.具体求法分两步：

(1)

求出函数y=f(x)在点X 。处的导数，即曲线 y=f(x)在点P(X o ,f(x 。))处的切线的斜率； ⑵在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为

y -y 。二 f'(x °)(x -X 。)

特别地，如果曲线 y=f(x)在点P(x °,f(x 。))处的切线平行于y 轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为X = X 。

&和(或差)的导数对于函数f(x^x 3 X 2的导数，如何求呢？我们不妨先利用导数的定义来求。

f x m f(x

：x) - f (x) = lim (X X) (X X) —(X X )

2m 。

也 x

也

2 2

=lim (3x 2x 3x . ：x ( ：x) ： =x) ?x 0 2

=3x 2x

3 2

我们不难发现(x x )^ 3x 2^ (x )' (x )'，即两函数和的导数等于这两函数的导数的和。由此我们猜测在一般情况下结论成立。事实上教材中证明了我们的猜想，

这就是两个函数的和(或差)

的求导法则。

9?积的导数

两个函数的积的求导法则的证明是本节的一个难点，证明过程中变形的关键是依据导数定义的结构形式。(具体过程见课本 P120)

说明：

(1) (uv)' = u'v'； (2) 若c 为常数，则(cu) 10.商的导数两个函数的商的

求导法则，课本中未加证明，只要求记住并能运用就可以。现补充证明如下：设y = f(xr 回

v(x)

u(x+Ax) u(x) L y 二

v(x +K x) v(x)

u (X ：x)「u(x) v (x)「u(x) v (X ：x)「v(x) 1

学习了函数的和、差、积、商的求导法则后，由常函数、幕函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数，均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求。

11.导数与函数的单调性的关系㈠f (x)?0与f(x)为增函数的关系。

f (x) 0能推出f (x)为增函数，但反之不一定。如函数 f (x) -0 ,? f (x) 0是f(x)为增函数的充分不必要条件。

㈡f(x)=0时，f (x)

0与f (x)为增函数的关系。

若将f (x) =0的根作为分界点，因为规定 f (x) =0，即抠去了分界点，此时

有f (x) ? 0。.??当f (xp- 0时，f (x) ? 0是f (x)为增函数的充分必要条件。

㈢f (x) 一0与f(x)为增函数的关系。

f (x)为增函数，— 当函数在某个区间内恒有的必要不充分条件。

函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。

2 2

3 2

3x ?Ax+3x(Ax)十(Ax) +2x ，Ax + (Ax) 二

lim

.x —0

v(x ：x)v(x) v(x ix)v(x)

u(x ： =x) _u(x) /、 / \ v(x ： Lx)-v(x)

,y _

— v(

x)-u(x)-

=x v(x ^x)v(x)

因为v(x)在点x 处可导，也y u'(x)v(x) -u(x)v'(x) lim 厂

?X —0 ：x

v (x) 2

说明：(1) u '= E ;

l v 丿 v'

所以它在点x 处连续，于是△ x T0时，v(x+ △ x) T v(x),从而 u'v - uv' 2 。

(2)

勺］u'v - uv'

=c u

u(x 二x)v(x) _ u(x)v(x L X ) f(x) =x 3在(-：：，= )上单调递增，但

f (x)为增函数，就一定

定可以推出f (X) - 0 ,但反之不一定，因为f (x) - 0 ,即为「(x) ? 0或「(x)二0 c I f (x) = 0，

贝y f (x)为常数，函数不具有单调性。??? f (x) 一 0是f (x)为增函数

㈣单调区间的求解过程，已知y二f(x)

(1)分析 y = f(x)的定义域； (2)求导数、二f (x)

(3) 解不等式f (x) . 0,解集在定义域内的部分为增区间 (4) 解不等式f (x) ：：：0,解集在定义域内的部分为减区间

我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数 y 二f (x)在某个区间内可导。

㈤函数单调区间的合并

函数单调区间的合并主要依据是函数 f (x)在(a,b)单调递增，在 (b, c)单调递增，又知函数在

f(x)=b 处连续，因此f (x)在(a,c)单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处

函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。

y = f (x) x [a , b]

(1) f (x) . 0恒成立 ??? y = f (x)为(a , b)上

???对任意 x ? (a , b)不等式 f(a) ：：： f (x) ：：： f (b)恒成立 (2) f (x) ::: 0 恒成立 ??? y = f(x)在(a, b)上.

?对任意(a , b)不等式f(a) ? f(x) ? f (b)恒成立㈥注意事项 1.导数概念的理解.

2?利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值.

复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。课本中先通过实例，弓I 出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。

对于复合函数，以前我们只是见过，没有专门定义和介绍过它，课本中以描述性的方式对复合函数加以直观定义，使我们对复合函数的的概念有一个初步的认识，再结合以后的例题、习题就可以逐步了解复合函数的概念。

3. 要能正确求导，必须做到以下两点：

(1) 熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。

(2) 对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。

4. 求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行： (1) 适当选定中间变量，正确分解复合关系； (2) 分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)

；

(3)

把中间变量代回原自变量(一般是 x )的函数。

也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系

y=f(仏)卩=f(x ；然后将已知函数对

中间变量求导(yl)，中间变量对自变量求导 (丄x );最后求yli 」'x ，并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解一一求导一一回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。

(n )范例分析

例2.已知f(x)在x=a 处可导，且f '⑻=b 求下列极限：

..f (a+3h) — f (a —h) “、，- f(a + h) —f(a)

(1) lim

; (2) lim

2h ^0 h

分析：在导数定义中，增量 △x 的形式是多种多样，但不论 △x 选择哪种形式，△y 也必须选择相对应的

形式。利用函数 f(x)在x = a 处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构

"2 x X 兰1

例 1. y = f (x) = J

在x = 1处可导，则a = b =

?x +b x >1

'2 x X 兰1

思路：y = f (x)= =

在x = 1处可导，必连续lim f(x)=1

.ax +b x >1

x T — f(1)=1 ? a+b=1

lim — = 2

^0 Fx

=a ? a = 2 b = -1

I i mf (x)二 a b

x >1 ■

形式。 \1

H h

f(a 3h) 一 f(a -h) 「 f(a 3h) — f (a) f (a) - f(a -h) -------------------------- =lim 2h -------------------------- h >0 2h

f (a 3h) - f (a) 2h

lim 2 ―0

-2

f (a 3h) _ f (a)

1 f (a -h) - f (a) lim

2 h -0

(2)

3h 1

f'(a) — f'(a) =2b 2

lim f (a ⑻

h 「0

f(a+h 2

)-f(a) =lim 厂 ◎

说明：只有深刻理解概念的本质, 式转化为导数定义的结构形式。 = lim 严+『「(叫〕 yi h 2

lim h = f'(a) 0 = 0 h 0

才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限例3.观察(x n )> nx n

，

, (sinx)、cosx , (cosx) - -sinx ，是否可判断，可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。解：若f(x)为偶函数 f (-x) = f (x) 令 lim — A x f(-x

：x)-f(-x)

f(x — ：x) — f(x)

f ( -x)二 lim

lim

x —P

.￥-0

f (x —Ax)-f(x) …、

p 叫

f (x)

???可导的偶函数的导函数是奇函数

另证：f 二[f (-x)] f ( X )(-X )二 f (X ) ?可导的偶函数的导函数是奇函数

f(x

冈一 f(x) = f-(x)

疋奇

例4. (1)求曲线y 二二在点(1, 1)处的切线方程;

x +1

t 一1

(2)运动曲线方程为 S F 2t 2，求t=3时的速度。

t 2

分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数

点p(x °,y °)处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数

, 2(X 2+1)_2X 2X

解：(1)V (x 2 1)2 y=f(x)在x °处的导数就是曲线 y=f(x)在

S(t)对时间的导数。

2 -2x 2 2 2 ，

(x 2 1)2

2 -2 4

=0，即曲线在点(

1, 1)处的切线斜率k=0 因此曲线 y 企在(1, 1) x 2 1

处的切线方程为 y=1

S'l '(2t 2)'

(2) S ，

t 4 1 2

y 」二 12

9 27

1 "空。

丰4t

t 3

例5. 求下列函数单调区间

1 x (0, —) y ：： 0

2 1 x ( ,

：：) y 0

x (0,

) cosx 0

(1)

1 2

二 f (X )二 X x

-2x 5

x 2 -1 (3)

k 2

x (k 0)

=2x 2 — In :

解： (1) y 二 3x 2

「x 「2 ,1) y ：： 0 ?(-：： (2) ” x 2

y 2 ? ⑷ y = (3x 2)(x _1)

(3)

?- ，0) , (0, x — 2 —

x (-：： , ) (1 ,：：)时 y 0

2 (才八 x

? X (—：：,—k) (k, ：：) y 0 X (_k,0) (0, k)

y ：：： 0

?-(二,-k), (k, ：：)

(_k,0) , (0,k 八

(4) y = 4x -

x 4x 2 -1 (1) X x -

2 ::ln(1 x)：： x -

⑵

sin x x (0 ,

(3) x -sin x : tan x - x X

2(1 x)

例6.求证下列不等式

(0,匚)

2 x 2 证：(1) f(x) =1 n(1 x) -(x ) 2

y =f(x)为(0,：：)上

? ln(1 x) x

g (x)

4x 2

4x -2x 2

4(1 x)2

g(x) -1 - ??? g(x)在(0,：：)上

> - x ■:

1 x 1 x

x (0, ：：) f(x) 0 恒成立 2

f(0)=0 f (x) x 2 -1

x 1

2(1 x)

2x 2

-丨 n 1 x)

1 x 4(1 x 2)

X (0, ：： ) x

X 2(1 x) 令 f (x)二 sin x/ x -In (1 x) 0恒成立

x -tarx ： 0

高考数学导数及其应用的典型例题

第二部分导数、微分及其导数的应用知识汇总一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ

可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax

导数各类题型方法总结(含答案)

导数各种题型方法总结一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)(' =x f 得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数” ，则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0) 0302(3) 09330g m g m <-??<--=-的最大值（03x <≤）恒成立，而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立变更主元法再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)023011(2)0230F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 2b a ∴-=

导数及其应用高考题精选含答案

导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为（）（A ）21y x =+（B ）21y x =-（C ）23y x =--（D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +，所以，在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A. 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为（）（A ） 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的

高考导数压轴题型归类总结

导数压轴题型归类总结目录一、导数单调性、极值、最值的直接应用（1）二、交点与根的分布（23）三、不等式证明（31）（一）作差证明不等式（二）变形构造函数证明不等式（三）替换构造不等式证明不等式四、不等式恒成立求字母范围（51）（一）恒成立之最值的直接应用（二）恒成立之分离常数（三）恒成立之讨论字母范围五、函数与导数性质的综合运用（70）六、导数应用题（84）七、导数结合三角函数（85）书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>.

一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. （切线）设函数a x x f -=2)(. （1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值；（2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21. 解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得3 3 ±=x . 所以当33= x 时，)(x g 有最小值9 32)33(-=g . (2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ，得12 122x a x x +=，∴12 1 112 11222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1，∴ 021 21 <-x x a ，即12x x <. 又∵1122x a x ≠，∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. （2009天津理20，极值比较讨论）已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当2 3 a ≠ 时，求函数()f x 的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令

导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案

导数及其应用【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。【知识梳理】一、导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。说明：

（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。（2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）；（2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。二、导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间：一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，

导数及其应用经典题型总结

《导数及其应用》经典题型总结一、知识网络结构题型一求函数的导数及导数的几何意义考点一导数的概念，物理意义的应用例 1．(1)设函数()f x 在 2x =处可导，且(2)f '=，求 0(2)(2) lim 2h f h f h h →+--； (2)已知()(1)(2) (2008)f x x x x x =+++，求(0)f '. 考点二导数的几何意义的应用例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值例3：已知曲线y=.3 43 13+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程. 题型二函数单调性的应用考点一利用导函数的信息判断f(x)的大致形状例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( ) 考点二求函数的单调区间及逆向应用例1 求函数522 4 +-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间）例2 已知函数f (x )＝1 2x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间）练习：求函数x a x x f + =)(的单调区间。例3 若函数f(x)＝x 3 －ax 2 ＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用）练习1：已知函数0],1,0(,2)(3 >∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。 2. 设a>0,函数ax x x f -=3 )(在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数a 的取值范围。导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则

[数学]导数应用的题型与方法

导数应用的题型与方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值二、考试要求（1）了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。 x （2）熟记基本导数公式（c，x m (m为有理数)，sin x， cos x， e x， a x，ln x， log a 的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。（3）了解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数要极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值。三、复习目标 1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数。掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念。了解曲线的切线的概念。在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念。 x 2．熟记基本导数公式（c，x m (m为有理数)，sin x， cos x， e x， a x， ln x， log a 的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。 4．了解复合函数的概念。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。四、双基透视导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。在高中阶段对于导

高二数学导数及其应用练习题及答案

（数学选修1-1）第一章导数及其应用 [提高训练C 组]及答案一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；

2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα==

高考压轴题：导数题型及解题方法总结很全.

高考压轴题：导数题型及解题方法（自己总结供参考）一．切线问题题型1 求曲线)(x f y 在0x x 处的切线方程。方法： )(0x f 为在0x x 处的切线的斜率。题型2 过点),(b a 的直线与曲线 )(x f y 的相切问题。方法：设曲线 )(x f y 的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x )()()(000 求出0x ，进而解决相关问题。注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。例已知函数f （x ）=x 3 ﹣3x ．（1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169y x ）（2）若过点A )2)(,1(m m A 可作曲线)(x f y 的三条切线，求实数 m 的取值范围、（提示：设曲线 )(x f y 上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于 m x ,0的方程有三个不同实数根问题。（答案： m 的范围是2,3）题型3 求两个曲线)(x f y 、)(x g y 的公切线。方法：设曲线)(x f y 、)(x g y 的切点分别为（ )(,11x f x ）。（)(,22x f x ）；建立 21,x x 的等式关系，12112)()(y y x f x x ，12 212 )()(y y x f x x ；求出21,x x ，进而求出切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。例求曲线 2 x y 与曲线x e y ln 2的公切线方程。（答案02e y x e ）二．单调性问题题型1 求函数的单调区间。求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与 0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与 0的关系不定）；(3) 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4) 在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。例已知函数x a x x a x f )1(2 1ln ) (2 （1）求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点的大小关系分类）（2）若 e x ,2，求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点与区间的关系分类）题型2 已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。方法1：研究导函数讨论。方法2：转化为 0) (0) (' ' x f x f 或在给定区间上恒成立问题，方法3：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集。注意：“函数)(x f 在 n m,上是减函数”与“函数)(x f 的单调减区间是b a,”的区别是前者是后者的子集。例已知函数2 () ln f x x a x + x 2在 , 1上是单调函数，求实数 a 的取值范围．（答案 , 0）题型 3 已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。方法1：正难则反，研究在某区间的不单调方法2:研究导函数是零点问题，再检验。方法3:直接研究不单调，分情况讨论。例设函数 1) (2 3 x ax x x f ，R a 在区间 1,2 1内不单调，求实数 a 的取值范围。（答案： 3, 2a ））三．极值、最值问题。题型1 求函数极值、最值。基本思路：定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值→ 最值。例已知函数12 1)1() (2 kx x e k x e x f x x ，求在2,1x 的极小值。（利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）题型 2 已知函数极值，求系数值或范围。方法：1.利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验。方法2.转化为函数单调性问题。例函数1)1(2 1)1(3 14 1) (2 3 4 x p p px x p x x f 。0是函数)(x f 的极值点。求实数 p 值。（答案：1）

导数题型方法总结绝对经典

第一章导数及其应用一.导数的概念 1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1 )(0 则的值是（） A. 4 1- B. 2 C. 41 D. －2 变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim ,430--='→（） A ．－１Ｂ．－2 C ．－3 D ．1 变式2：()()()00003,lim x f x x f x x f x x x ?→+?--??设在可导则等于（） A ．()02x f ' B ．()0x f ' C ．()03x f ' D ．()04x f ' 导数各种题型方法总结请同学们高度重视：首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)(' =x f 得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）；（请同学们参看2010省统测2）例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <

导数常见题型与解题方法总结

导数题型总结 1、分离变量-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 2、变更主元-----已知谁的范围就把谁作为主元 3、根分布 4、判别式法-----结合图像分析 5、二次函数区间最值求法-----（1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)('=x f 得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）。例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=- - 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”，则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <

导数及导数应用专题练习题

高二文科数学《变化率与导数及导数应用》专练（十）一、选择题 1. 设函数f （x ）存在导数且满足，则曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线斜率为（） A ．﹣1 B ．﹣2 C ．1 D ．2 2. 函数()1x f x e =-的图像与x 轴相交于点P ，则曲线在点P 处的切线的方程为 ( ) A ．1y e x =-?+ B ．1y x =-+ C ． y x =- D ． y e x =-? 3. 曲线)0(1 )(3>-=x x x x f 上一动点))(,(00x f x P 处的切线斜率的最小值为（） A ．3 B ．3 C. 32 D ．6 4. 设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角的取值范围为0,4π?????? ，则点P 的横坐标的取值范围为（） A ．[]0,1 B ．[]1,0- C ．11,2??--??? ? D ．1,12?????? 5. 已知23 ()1(1)(1)(1)(1)n f x x x x x =+++++++ ++，则(0)f '=（）． A ．n B ．1n - C ．(1)2 n n -D ．1 (1)2n n + 6. 曲线y=2lnx 上的点到直线2x ﹣y+3=0的最短距离为（） A ． B ．2 C ．3 D ．2 7. 过点(0,8)作曲线32()69f x x x x =-+的切线，则这样的切线条数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8. 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）= +6x ﹣1的极值点，则log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

导数应用的题型与方法82888

导数应用的题型与方法一．复习目标： 1．⑴了解导数的概念，能利用导数定义求导数． ⑵掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念． ⑶了解曲线的切线的概念． ⑷在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念． 2．熟记基本导数公式（c,x m (m 为有理数)，sin x, cos x, e x , a x , lnx, log a x 的导数）。掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用． 3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。 4．了解复合函数的概念。会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。二．教学过程： 1．曲线的切线在初中学过圆的切线，直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广为一段曲线的切线，即直线和曲线有惟一公共点时，直线叫做曲线过该点的切线，显然这种推广是不妥当的．如图3—1中的曲线C 是我们熟知的正弦曲线y=sinx ．直线1l 与曲线C 有惟一公共点M ，但我们不能说直线1l 与曲线C 相切；而直线2l 尽管与曲线C 有不止一个公共点，我们还是说直线2l 是曲线C 在点N 处的切线．因此，对于一般的曲线，须重新寻求曲线的切线的定义．所以课本利用割线的极限位置来定义了曲线的切线． 2．瞬时速度在高一物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度． 3．导数的定义导数定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则与某些导数公式时，都是以此为依据．对导数的定义，我们应注意以下三点： (1)△x 是自变量x 在 0x 处的增量(或改变量)． (2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x →0时，x y ??有极限，那么函数y=f(x)在点0x 处可导或可微，才能得到f(x)在点0x 处的导数． (3)如果函数y=f(x)在点0x 处可导，那么函数y=f(x)在点0x 处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行： (1)求函数的增量)()(00x f x x f y -?+=?； (2)求平均变化率 x x f x x f x y ?-?+=??)()(00； (3)取极限，得导数x y x f x ??=→?00lim )('。 4、导数的几何意义函数y=f(x)在点0x 处的导数，就是曲线y=(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步： (1)求出函数y=f(x)在点0x 处的导数，即曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率； (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 ))(('000x x x f y y -=- 特别地，如果曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为0x x =