概率与统计的综合问题答题模板

概率与统计是高中数学的重要学习内容，在高考试卷中，每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含概率计算，统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，注重考查基础知识和基本方法；以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算．

“大题规范解答——得全分”系列之(十)

概率与统计的综合问题答题模板

[典例](2012辽宁高考改编·满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．

(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“体育迷”与性别有关？

非体育迷体育迷合计

男

女

合计

(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．

附K2＝n(ad－bc)2

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)

，

P (K 2≥k )

0.05 0.01 k

3.841

6.635

[教你快速规范审题]

1．审条件，挖解题信息 观察

条件

―→ 100名观众收看节目时间的频率分布直方图及日均收看时间不低于40分钟的观众称为体育迷，女体育迷10名 ??????→

借助直方可确定图非体育迷及

体育迷人数

2．审结论，明解题方向

观察所求结论―→完成2×2列联表并判断“体育迷”与性别的相关性 ???→

需要确定a ，b ，c ，d 及K 2的值

3．建联系，找解题突破口

由直方图及条件确定体育迷与非体育迷人数―→完成列联表―→

计算K 2可判断结论

1．审条件，挖解题信息

观察条件―→确定“超级体育迷”标准且有2名女性“超级体育迷” ??????→由率分布直方频图 确定“超级体育迷”的人数

2．审结论，明解题方向

观察所求结论―→从“超级体育迷”中任取2人求至少有1名女性观众的概率 ????→

分分析类1名女性观众或两名女性观众

3．建联系，找解题突破口

由频率分布直方图确定“超级体育迷”的人数?????→列法列出

举举

所有基本事件并计数为n 和至少有1名女性的基本事件，计数为m m

P n

????→代入＝

求概率

[教你准确规范解题]

(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：

非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计

75

25

100

(3分)

将2×2列联表中的数据代入公式计算，得

K 2＝

100×(30×10－45×15)275×25×45×55

＝100

33≈3.030.因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“体育迷”与性别有关．(6分)

(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，其中a i 表示男性，i ＝1,2,3，b j 表示女性，j ＝1,2.由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．

(9分)

用A 表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，(11分)

事件A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝7

10

.

(12分)

[常见失分探因]

忽视直方图纵轴表示为频率

组距导致每组人数计算失误.

K 2的计算不准确、导致结果判断出错.

1.“超级体育迷”人数计算错误导致失误.

2.由5人中任取2人列举出所有可能结果时重复或遗漏某一情况导致失误.

————————————[

教

你

一

个

万

能模

板]—————————————————

第一步

理清题意，理解问题中的条件和结论．尤其是直方图中给定的信息，找关键量 第二步

由直方图确定所需的数据，列出2×2列联表

―→

第三步

利用独立性检验的步骤进行判断

―→

第四步

确定基本事件总数及所求事件所含基本事件的个数

―→

第五步

利用概率公式求事件的概率

―→

第六步

反思回顾、检查关键点易错点及答题规范

1．(2012·佛山模拟)已知某车间加工零件的个数x 与所花费时间y (h)之间的线性回归方程为y ^

＝0.01x ＋0.5，则加工600个零件大约需要的时间为( )

A ．6.5 h

B ．5.5 h

C ．3.5 h

D ．0.3 h

解析：选A 将600代入线性回归方程y ^

＝0.01x ＋0.5中得需要的时间为6.5 h. 2．(2013·衡阳联考)已知x 与y 之间的一组数据：

已求得关于y 与x 的线性回归方程y ^

＝2.1x ＋0.85，则m 的值为( ) A ．1 B ．0.85 C ．0.7

D ．0.5

解析：选D 回归直线必过样本中心点(1.5，y )，故y ＝4，m ＋3＋5.5＋7＝16，得m ＝0.5.

3．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：

已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为2

7，则下列说法正确的是( )

A ．列联表中c 的值为30，b 的值为35

B ．列联表中c 的值为15，b 的值为50

C ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”

D ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 解析：选C 由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c ＝20，b ＝45，选项A 、B 错误．根据列联表中的数据，得到K 2＝105×(10×30－20×45)2

55×50×30×75

≈6.109

＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．

4．已知x 、y 的取值如下表：

从所得的散点图分析，y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ^

＝( ) A ．2.5 B ．2.6 C ．2.7

D ．2.8

解析：选B 因为回归方程必过样本点的中心(x ，y )，又x ＝2，y ＝4.5，则将(2,4.5)代入y ^＝0.95x ＋a ^可得a ^

＝2.6.

5．(2012·湖南高考)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关

关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^

＝0.85x －85.71，则下列结论中不．

正确的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )

C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg

D ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg

解析：选D 由于回归直线的斜率为正值，故y 与x 具有正的线性相关关系，选项A 中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B 中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C 中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D 中的结论不正确．

6．(2013·合肥检测)由数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)求得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^

，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的

( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选B x 0，y 0为这10组数据的平均值，又因为回归直线y ^＝b ^x ＋a ^

必过样本中心点(x ，y )，因此(x 0，y 0)一定满足线性回归方程，但坐标满足线性回归方程的点不一定是(x ，y )．

7．(2012·唐山模拟)考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x (cm)与肱骨长度y (cm)的线性回归方程为y ^

＝1.197x －3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm 时，肱骨长度的估计值为________ cm.

解析：根据回归方程y ^

＝1.197x －3.660，将x ＝50代入，得y ＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.19 cm.

答案：56.19

8．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K 2的观测值k ＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(有关，无关)

解析：由观测值k ＝27.63与临界值比较，我们有99%的把握说打鼾与患心脏病有关． 答案：有关

9．(2012·宁夏模拟)某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4

天的用电量与当天气温，并制作了对照表：

由表中数据得线性回归方程y ^

＝bx ＋a 中b ＝－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为________．

解析：x ＝10，y ＝40，回归方程过点(x ，y )， ∴40＝－2×10＋a . ∴a ＝60.∴y ^

＝－2x ＋60.

令x ＝－4，∴y ^

＝(－2)×(－4)＋60＝68. 答案：68

10．已知x ，y 的一组数据如下表：

(1)从x ，y (2)对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y ＝13x ＋1与y ＝12x ＋1

2，试利用

“最小平方法(也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好．

解：(1)从x ，y 中各取一个数组成数对(x ，y )，共有25对，其中满足x ＋y ≥10的有(6,4)，(6,5)，(7,3)，(7,4)，(7,5)，(8,2)，(8,3)，(8,4)，(8,5)，共9对．故所求概率P ＝9

25

.

(2)用y ＝1

3x ＋1作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为S 1＝????43－12＋(2－2)2＋(3－3)2＋????103－42＋????113－52＝73.

用y ＝12x ＋1

2作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为S 2＝(1－1)2＋(2

－2)2＋????72－32＋(4－4)2＋????92－52＝12

. ∵S 2

2

的拟合程度更好．

11．(2012·东北三省联考)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数

高于70的人，饮食以肉类为主．)

(1)根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯； (2)根据以上数据完成下列2×2的列联表：

主食蔬菜

主食肉类

合计 50岁以下 50岁以上 合计

(3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关，并写出简要分析． 解：(1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主． (2)

主食蔬菜

主食肉类

合计 50岁以下 4 8 12 50岁以上 16 2 18 合计

20

10

30

(2)K 2＝

30(8－128)212×18×20×10＝30×120×120

12×18×20×10

＝10＞6.635，有99%的把握认为亲属的饮食

习惯与年龄有关．

12．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：

推销员编号 1 2 3 4 5 工作年限x /年 3 5 6 7 9 推销金额y /万元

2

3

3

4

5

(1)(2)求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；

(3)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额． 解：(1)依题意，画出散点图如图所示，

(2)从散点图可以看出，这些点大致在一条直线附近，设所

求的线性回归方程为y^＝b^x＋a^.

则b^＝

∑

x＝1

5

(x i－x)(y i－y

－

)

∑

x＝1

5

(x i－x)2

＝10

20

＝0.5，a^＝y－b^x－＝0.4，

∴年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为

y

^＝0.5x＋0.4.

(3)由(2)可知，当x＝11时，

y

^＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．

∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．

1．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如下表：

x 681012

y 235 6

则y对x的线性回归直线方程为()

A.y

^

＝2.3x－0.7 B.y

^

＝2.3x＋0.7

C.y

^

＝0.7x－2.3 D.y

^

＝0.7x＋2.3

解析：选C∵∑

i＝1

4

x i y i＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，

x＝

6＋8＋10＋12

4

＝9，y＝

2＋3＋5＋6

4

＝4.

∴b^＝

158－4×9×4

36＋64＋100＋144－4×81

＝0.7，

a

^＝4－0.7×9＝－2.3.

故线性回归直线方程为y^＝0.7x－2.3.

2．(2012·东北三校联考)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持

两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2＝7.069，则有________的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．

附：

P (K 2≥k 0)

0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 0

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

解析：因为7.069与附表中的6.635最接近(且大于6.635)，所以得到的统计学结论是：有99%的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．

答案：99%

3．某网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的资金投入”进行投票．按照北京暴雨前后两个时间收集有效投票，暴雨后的投票收集了50份，暴雨前的投票也收集了50份，所得统计结果如下表：

支持 不支持 总计 北京暴雨后 x y 50 北京暴雨前 20 30 50 总计

A

B

100

已知工作人员从所有投票中任取一个，取到“不支持投入”的投票的概率为2

5.

(1)求列联表中的数据x ，y ，A ，B 的值；

(2)绘制条形统计图，通过图形判断本次暴雨是否影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度？

(3)能够有多大把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关？

附：K 2＝

n (ad －bc )2

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

P (K 2≤k )

0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

解：(1)设“从所有投票中抽取一个，取到不支持投入的投票”为事件A ， 由已知得P (A )＝y ＋30100＝2

5，所以y ＝10，B ＝40，x ＝40，A ＝60.

(2)由(1)知北京暴雨后支持为4050＝4

5，

不支持率为1－45＝1

5，

北京暴雨前支持率为2050＝2

5，

不支持率为1－25＝3

5

.

条形统计图如图所示，由图可以看出暴雨影响到民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度．

(3)K 2＝100(30×40－20×10)250×50×40×60＝1000 00050×20×60＝503

≈16.78＞10.828.

故至少有99.9%的把握认为北京暴雨对民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入有关．

1．以下是某地最新搜集到的二手楼房的销售价格y (单位：万元)和房屋面积x (单位：m 2)的一组数据：

房屋面积x (m 2) 80 105 110 115 135 销售价格y (万元)

18.4

22

21.6

24.8

29.2

若销售价格y 和房屋面积x 具有线性相关关系． (1)求销售价格y 和房屋面积x 的回归直线方程；

(2)根据(1)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格． 解：(1)由题意知，x ＝80＋105＋110＋115＋135

5

＝109，

y ＝18.4＋22＋21.6＋24.8＋29.25

＝23.2.设所求回归直线方程为y ^＝bx ＋a ，则b ＝

∑i ＝1

n

(x i －109)(y i －23.2)

∑i ＝1

n

(x i －109)2

＝

308

1 570

≈0.196 2， a ＝y －b x ≈23.2－0.196 2×109＝1.814 2，故回归直线方程为y ^

＝0.196 2x ＋1.814 2. (2)由(1)知，当x ＝150时，估计房屋的销售价格为y ^

＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．

2．(2012·徐州二模)在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性480人，其中有38人患色盲，调查的520名女性中，有6人患色盲．

(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；

(2)若认为“性别与患色盲有关系”，求出错的概率． 解：(1)2×2列联表如下：

(2)假设H 0：“性别与患色盲没有关系”，根据(1)中2×2列联表中数据，可求得K 2＝1 000×(38×514－6×442)2

480×520×44×956≈27.14，又P (K 2≥10.828)＝0.001，即H 0成立的概率不超过0.001，

故若认为“性别与患色盲有关系”，则出错的概率为0.1%.