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广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：立体几何

广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编

立体几何

一、选择、填空题

1、（潮州市2015届高三）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

C ．

D ． 2

、（佛山市2015届高三）已知异面直线,a b 均与平面α相交,下列命题:

①存在直线m α?,使得m a ⊥或m b ⊥； ②存在直线m α?,使得m a ⊥且m b ⊥；

③存在直线m α?,使得m 与a 和b 所成的角相等. 其中不正确．．．

的命题个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、（广州市2015届高三）用a ,b ,c 表示空间中三条不同的直线, γ表示平面, 给出下列命题: ① 若a b ⊥, b c ⊥, 则a ∥c ; ② 若a ∥b , a ∥c , 则b ∥c ; ③ 若a ∥γ, b ∥γ, 则a ∥b ; ④ 若a ⊥γ, b ⊥γ, 则a ∥b . 其中真命题的序号是

A ．① ②

B ．② ③ C．① ④ D ．② ④

4、（惠州市2015高三）空间中，对于平面和共面．．

的两直线、，下列命题中为真命题的是( )． A.若，，则 B.若，，则 C.若、与所成的角相等，则 D.若，，则

5、（江门市2015届高三）如图1，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半

圆，则该几何体的体积为

π+2π+2ππαm n m α⊥m n ⊥//n α//m α//n α//m n m n α//m n m α?//n α//m n

A ．4

B ．8

C ．π2

D ．π4

6、（揭阳市2015届高三）一几何体的三视图如图3示, 则该几何体的体积为________

7、（清远市2015届高三）某几何体的三视图如下图所示：

其中正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，则该几何体的全面积为＿＿＿＿ 8、（汕头市2015届高三）给出下列命题，其中错误命题的个数为( ) （1）直线a 与平面不平行，则a 与平面内的所有直线都不平行；（2）直线a 与平面不垂直，则a 与平面内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直；（4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面

A ．

1 B

2 C

3 D 4

αααα

9、（汕尾市2015届高三）已知直线l ⊥平面α，直线m ?平面β恒谦网，则下列四个结论：

①若//αβ，则l m ⊥ ②若αβ⊥，则//l m

③若//l m ，则αβ⊥

④若l m ⊥，则//αβ。其中正确的结论的序号是（）

A.①④

B.②④

C.①③

D.②③

10、（韶关市2015届高三）如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积为（）

A ．2

B ．6 C

． D

．2+

11、（肇庆市2015届高三）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图

是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为

A ．π312

B ．π12

C ．π34

D ．π3

12、（珠海市2015届高三）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的体积是

正视图

侧视图

俯视图

A ．

23 B ．4

C ．2

D ．4 二、解答题

1、（潮州市2015届高三）如图，三棱柱中，，，．

证明：；若，

的余弦值．

2、（佛山市2015届高三）如图6,四棱锥P ABCD -

,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面

ABCD 是ABC ∠=60?的菱形,M 为棱PC 上的动点,且

λ=([]0,1λ∈). (Ⅰ) 求证:△PBC 为直角三角形；

(Ⅱ) 试确定λ的值,使得二面角P AD M --

111C C AB -A B C C A =B 1AB =AA 160∠BAA =()11C AB ⊥A ()2C 2AB =B =1C A =

1C B -A -A 图6

3、（广州市2015届高三）如图4，四边形ABCD 是正方形，△PAB 与△PAD 均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，

点F

是PB 的中点，点E 是边BC 上的任意一点. （1）求证：AF EF ⊥；

（2）求二面角A PC B

--的平面角的正弦值.

4、（惠州市2015届高三）三棱柱111ABC A B C -的直观图及三视图（正视图和俯视图是正方形，侧视图是等腰直角三角形）如图所示，D 为AC 的中点．

（1）求证：1

AC ⊥平面1BDC ；（2）求二面角1A BC D --的正切值．

5、（江门市2015届高三）如图3，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，图4

正视图

侧视图

俯视图

A 1

C 1

6、（揭阳市2015届高三）如图5，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，

PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．

（1）证明：//PB 平面AEC ；

（2）已知1AP =

，AD =EC 与平面ABCD 所成的角为α，

且tan α=

，求二面角D AE C --的大小． 7、（清远市2015届高三）在等腰直角△BCP 中，BC=PC=4,∠BCP=90°,A 是边BP 的中点，现沿CA 把△ACP 折起，使PB=4，如图1所示。

（1）在三棱锥P-ABC 中，求证：平面PAC ⊥平面ABC;

（2）在图1中,过A 作BC 的平行线AE,AE=2,过E 作AC 的平行线与过C 作BA 的平行线交于D,连接PE 、PD 得到图2，求直线PB 与平面PCD 所成角的大小.

8、（汕头市2015届高三）如图，在四棱锥中，底面为矩形，

平面，,,是的中点，为上一点。

（1）求证：平面

(2)当为何值时，二面角为

ABCD P -ABCD ⊥PA ABCD 1==PA AB 3=AD F PB E BC ⊥AF PBC BE D PE C --

9、（汕尾市2015届高三）如图（4），在三棱柱111ABC A B C -中，侧面1111,ABB A ACC A 均为正方形，

1,AB AC == 90BAC ∠=，点D 是棱11B C 的中点。

(1) 求证：1AD ⊥平面11BB C C ； (2) 求证：//AB 平面1A DC ； (3) 求二面角1D AC A --的余弦值。

10、（韶关市2015届高三）

如图，ABCD 是边长为3的正方形，ABEF 是矩形，平面ABCD ⊥平面ABEF ,G 为EC 的中点． (1)求证：AC //平面BFG ；

(2)若三棱锥C DGB -的体积为9

，求二面角E BF G --

11、（深圳市2015届高三）在三棱锥P ABC -中，已知平面PBC ⊥平面ABC ，AB 是底面△ABC 最长的边．三棱锥P ABC -的三视图如图5所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．

（1）请在图6中，用斜二测画法，把三棱锥P ABC -的直观图补充完整（其中点P 在

xOz 平面内），并指出三棱锥P ABC -的哪些面是直角三角形；

（2）求二面角B PA C --的正切值；

12、（肇庆市2015届高三）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ，且41=A A . 梯形ABCD 的面积为6，且AD //BC ，AD =2BC ，CD =2. 平面DCE A 1与B B 1交于点E .

（1）证明：EC //D A 1；

（2）求三棱锥AB A C 1-的体积；（3）求二面角A DC A --1的大小.

13、（珠海市2015届高三）已知平行四边形ABCD ，4AB =，2AD =，60o

DAB ∠=，E 为AB 的中点，把三角形ADE 沿DE 折起至1A DE 位置，使得14AC =，F 是线段1AC 的中点．（1）求证：1//BF A DE 面；（2）求证：面1A DE ⊥面DEBC ；（3）求二面角1A DC E --的正切值．

A 1

B 1

C 1

D 1

（第18题图）

A 1

参考答案

一、选择题

1、D

2、B

3、D

4、D

5、C

6、

7、210 8、C 9、C 10、C 11、D 12、B

二、解答题

1、（1）证明：取的中点，连接，，。

，故，……….………..1分

又，，

为等边三角形．

，…………………………..3分

又因为平面，平面，．

平面．…………………………………….……..5分

又平面，因此．.……………………..6分

（2）方法一：解：过点作，垂足，连接.

在等边中，

在等边中．

在中．

是直角三角形，且，故．.……………….8分、平面，．

平面. 又平面，故．

、平面，，故平面．因为平面，所以．

所以是二面角的平面角．. ……………………..10分

在中，．

．

所以二面角的余弦值．.…………………………..13分

方法二：解：在等边中，在等边中．在中．

是直角三角形，且，故．……………..8分分别以，，为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，

由已知得，，

，.

设为平面的法向量，

则，，

，，

又，，

取，则，，故

．……………………..11分

又

是平面

的法向量，二面角

的大小等于

或其补角．

．

依图知二面角的余弦值为．.………………………………..13分

2、【解析】(Ⅰ)取AD 中点O ,连结,,OP OC AC ,依题意可知△PAD ,△ACD 均为正三角形, 所以OC AD ⊥,OP AD ⊥,又OC

OP O =,OC ?平面POC ,OP ?平面POC ,

所以AD ⊥平面POC ,又PC ?平面POC ,所以AD PC ⊥,

因为//BC AD ,所以BC PC ⊥,即90PCB ∠=?,从而△PBC 为直角三角形.………5分说明:利用PC ⊥平面AMD 证明正确,同样满分!

(Ⅱ)[向量法]由(Ⅰ)可知PO AD ⊥,又平面PAD ⊥平面

平面PAD

平面ABCD AD =,

PO ?平面PAD ,所以PO ⊥平面ABCD .………………6 以O 为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,则 (P ,()0,1,0A -,()0,1,0D ,)

(

3,0,PC =

………………7分

由PM PC λλ==可得点M 的坐标为)

,………………9分

所以()

3AM =,(

)

3,DM =

设平面MAD 的法向量为(),,x y z =n ,则00AM DM ??=???=??n n ,即))00

x y z x y z ++=-+= 解得10

x z y λλ-?=???=?,令z λ=,得()1,0,λλ=-n ,………………11分

显然平面PAD 的一个法向量为(

)

3,0,0OC =,………………12分

依题意cos ,5OC OC OC

λ?=

n n n ,解得1

λ=或1λ=-(舍去),

F D

所以,当13λ=

时,二面角P AD M --

………………14分 [传统法]由(Ⅰ)可知AD ⊥平面POC ,所以AD OM ⊥,AD OP ⊥, 所以POM ∠为二面角P AD M --的平面角,

即cos 5

POM ∠=

,………………8分

在△POM 中

,sin POM ∠=

,PO ,4OPM π∠=,

所以sin sin 4PMO POM π?

?∠=∠+ ???

sin cos cos sin 4410POM POM ππ=∠+∠=,………10分由正弦定理可得sin sin PM PO POM PMO =∠∠,

解得PM =,……………12分

又PC =,所以13

PM PC λ=

=, 所以,当13λ=时,二面角P AD M --

………………14分

3、（1）证明：∵F 是PB 的中点，且PA AB =，

∴ AF PB ⊥. ……………………………………………1分 ∵ △PAB 与△PAD 均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴ PA AD ⊥，PA AB ⊥. ∵ AD

AB A =，AD ?平面ABCD ，AB ?平面ABCD ，

∴ PA ⊥平面ABCD . ∵ BC ?平面ABCD ，

∴ PA BC ⊥. ……………………………………2分 ∵ 四边形ABCD 是正方形，

∴ BC AB ⊥. ……………………………………3分 ∵ PA

AB A =，PA ?平面PAB ，AB ?平面PAB ，

∴ BC ⊥平面PAB . ∵ AF ?平面PAB ，

∴ BC AF ⊥. ………………………………………………………4分 ∵ PB

BC B =，PB ?平面PBC ，BC ?平面PBC ，

P A

B C

∴ AF ⊥平面PBC . ………………………………………………………5分 ∵ EF ?平面PBC ，

∴ AF EF ⊥. ………………………………………………………6分（2）解法1：作FH PC ⊥于H ，连接AH ，

∵ AF ⊥平面PBC ，PC ?平面PBC

∴ AF PC ⊥. ………………………………………………………7分 ∵ AF

FH F =，AF ?平面AFH ，FH ?平面AFH ，

∴ PC ⊥平面AFH . ………………………………………………………8分 ∵ AH ?平面AFH ，

∴ PC AH ⊥. ……………………………………………………9分 ∴∠AHF 为二面角A PC B --的平面角. …………………………………………………10分设正方形ABCD 的边长为2，则2PA AB ==

，AC = 在Rt△PAB

中，12AF PB =

== …………………11分在Rt△PAC

中，PC =

PA AC AH PC ?=

，………………12分在Rt△AFH

中，sin 2

AF AHF AH ∠=

. ………………………………………………13分 ∴ 二面角A PC B --

的平面角的正弦值为

. ……………………………………14分解法2：以A 为坐标原点，分别以,,AD AB AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，设1PA =，

则()0,0,1P ，()0,1,0B ，()1,1,0C ,()1,0,0D .∴()0,1,1PB =-，()1,0,0BC =.

设平面PBC 的法向量为,m x y z =（，），

由0,0,

m PB m BC ??=??

?=?? 得0,0.y z x -=??=?

令1y = ，得1z =，

∴ ()0,1,1m =为平面PBC 的一个法向量. …………………………………………9分 ∵ PA ⊥平面ABCD ，PA ?平面PAC ， ∴ 平面PAC ⊥平面ABCD . 连接BD ，则BD AC ⊥.

∵ 平面PAC 平面ABCD AC =，BD ?平面ABCD ，

∴ BD ⊥平面PAC . ………………………………………………10分 ∴ 平面PAC 的一个法向量为()1,1,0BD =-. ………………………………………………11分设二面角A PC B --的平面角为θ，则1

cos cos ,2

m BD m BD m BD

θ?==

. ……………………………………………12分 ∴sin

θ==

. ………………………………………………13分 ∴ 二面角A PC B --. ……………………………………14分 4、解：由三视图可知，几何体为直三棱柱ABC —111A B C ，侧面11B C CB 为边长为2的正方形，底面ABC 是等腰直角三角形，,2AB BC AB BC ⊥==……………………2分

（1）直三棱柱ABC —111A B C 中，1AA ⊥平面ABC ，BD ?平面ABC ， 1AA BD ∴⊥，2AB BC ==，D 为AC 的中点，BD AC ∴⊥，

又

1AA ?面11AAC C ，AC ?面11AAC C ，且1

AA AC A =，

BD ∴⊥平面11AAC C ，又1

AC ?面11AAC C ，1BD AC ∴⊥①………..6分又1111111,A B B C A B B B ⊥⊥，又

1BB ?面11BB C C ，11B C ?面11BB C C ，且1

BB 11B C B =，

11A B ∴⊥面11BB C C ，BC ?面11BB C C ，11A B ∴⊥1BC

在正方形11BB C C 中，11BC B C ⊥

C O

1S 1

O 1C

B C

H E

又

1BC ?面11A B C ，11B A ?面11A B C ，且1B C 111B A B =，

1BC ∴⊥面11A B C ，又

AC ?面11A B C ，1BC ∴⊥1AC ②………………..8分由①②，又

BD ?面1BDC ，1BC ?面1BDC ，且BD

1BC B =，

AC ∴⊥面1BDC . …………………………………………………………9分（2）解法一（空间向量法）以1B 为原点建系，易得1(2,2,0),(1,0,1)CB BD =-= 设平面1BC D 的法向量1(,,),n x y z =由111,n CB n BD ⊥⊥，

得220

0x y x z -+=??+=?

令1x =，得1(1,1,1),n =-…………..12分

又平面1BC A 的法向量

21(2,2,0),n BC ==设二面角1A BC D --的平面角为θ，所以126cos cos ,tan n n θθ=<>=

∴=

分解法二：所求二面角1A BC D --与二面角1C BC D --互余，

取BC 中点H ，有DH ⊥平面1BCC ，过H 作1BC 垂线，垂足为E ，

1111111

DH BC DH BCC BC EDH EH BC BC BCC DE EDH DH EH H DE BC ⊥?

⊥

????⊥????

?????=?

?⊥平面平面平面平面所以二面角1C BC D --的平面角是DEH ∠……………11分

1tan 2DH DH EH DEH EH

∴∠==，因为二面角1A BC D --与二面角1C BC D --互余，所以二面角1A BC D --的正切值为

；……………..14分解法三（补形）如图补成正方体，易得1

OOS ∠为二面角的平面角， 1112,tan 2

O O O S O OS ==∴∠=

……………..14分 ⊥

5、证明与求解：（方法一）

⑴连接AC ，交BD 于O ，连接OE ，则O 是AC 的中点……1分

OE 是△PAC 的中位线，OE//PA ……2分 OE ?平面EDB ，PA ?平面EDB ，，∴PA//平面EDB ……4分 ⑵∵PD ⊥底面ABCD ，BC ?平面ABCD ，∴PD ⊥BC ……5分

∵ABCD 是正方形，∴BC ⊥CD ，∵PD CD=D ，∴BC ⊥平面PCD ……6分 BC ⊥PC ，EF ⊥PB ，∠BPC 是公共角，∴△PEF ～△PBC ……7分

设PD=DC a =，则PC a 2=，PB a 3=，a PC PB PE PF 33

=?==3

1PB ……8分 ⑶由⑵知BC ⊥平面PCD ，∴BC ⊥DE ……9分

∵PD=DC ，E 是PC 的中点，∴PC ⊥DE ，∵PC BC=C ，∴DE ⊥平面PBC ……10分 DE ⊥PB ，EF ⊥PB ，DE EF=E ，∴PB ⊥平面DEF ……11分 ∴PB ⊥DF ，∠DFE 是二面角C -PB -D 的平面角……12分

在△DFE 中，∵DE ⊥平面PBC ，∴DE ⊥EF ，DE a 2

=……13分 a BC PB PE EF 66=?=，tan ∠DFE 3==EF DE ，∠DFE 3

π=……14分

（方法二）⑴以D 为原点，DA 、、DP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系……1分，设PD=DC=1，则)0 , 0 , 0(D ，)0 , 0 , 1(A ，)0 , 1 , 1(B ，)0 , 1 , 0(C ，)1 , 0 , 0(P ……2分，

连接AC ，交BD 于O ，连接OE ，则O 是AC 的中点，)0 , 2

, 21(O ……3分

E 是PC 的中点，∴)21 , 21 , 0(E ，)2

, 0 , 21(-=OE ……4分

)1 , 0 , 1(-=PA ，2-=，PA//OE ……5分 OE ?平面EDB ，PA ?平面EDB ，，∴PA//平面EDB ……6分 ⑵设)1 , 1 , 1(-==λλ……7分，

则)2

, 21 , (+--=+=λλλPF EP EF ……8分

∵EF ⊥PB ，∴0)1 , 1 , 1()21

, 21 , (=-?+--=?λλλPB EF ……9分

即013=-λ，解得31

=λ，PF=3

1PB ……10分

⑶由⑵知)6

, 61 , 31(-=EF ，)32 , 31 , 31()1 , , (=-=+=λλλPF DP DF ……11分

0)1 , 1 , 1()3

, 31 , 31(=-?=?，∴DF ⊥PB ，∠DFE 是二面角C -PB -D 的平面角……12分，

||||cos =∠EF DF DFE ……13分，∠DFE 3π=……14分

⑶（方法三）平面PBD 的一个法向量是)0 , 1 , 1(-=……11分

平面PBC 的一个法向量是)2

, 21 , 0(=DE ……12分

||||,cos =?>=

所以，3

,π

……14分 6、解：(1)证明：连结BD 交AC 于点O ，连接EO .

∵ABCD 为矩形，∴O 为BD 的中点-------------------1分又E 为PD 的中点，∴EO ∥PB . ----------------------2分 ∵EO ?平面AEC ，PB ?平面AEC ，

∴PB ∥平面AEC ．----------------------------------3分（2）过点E 作EF//PA 交AD 于F ，连结FC ， ∵PA ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD ,且1122

EF PA =

= ∴ECF α∠=-------------------------------------4分

由tan EF FC α==

FC =---------------------5分

则3

CD ==

，------------------------6分解法一：

过D 作DQ AE ⊥交AE 于点Q ，连结CQ ，

∵PA ?面PAD ，∴面PAD ⊥面ABCD ，----------7分又面PAD ?面ABCD AD =，

CD AD ⊥ ∴CD ⊥面PAD --------------------------------8分

AQ ?面APD CD AQ ∴⊥，且DQ AQ Q ?=

AQ ∴⊥面CDQ ，故AQ CQ ⊥---------------------------------------------------9分

∴DQC ∠是二面角D AE C --的平面角. -----------------------------------------10分 ∵1AP =

,AD =∴6

PDA π

∠=

又∵E 为PD 的中点，∴6

EAD EDA π

∠=∠=

--------------------------------------11分

在t AQD R ?

中，122

DQ AD =

∴3tan CD

CQD DQ ∠===-----------------------------------------------13分

∵0CQD π<∠<

3CQD π∴∠=，即二面角D AE C --的大小为3

.---------------------------------14分

【解法二：

以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，-7分

则(000)A ，，，3(00)2B ，，

，(0D

，3(2

C ，(00,1)P ，，----------------------8分故1(0)2

E ，，

313

(0),(322

AE AC ==，，，,3(00)2AB =，，，-----------9分由条件可知，3

(00)2

AB =，

，为平面ADE 的一个法向量，------10分设平面AEC 的一个法向量为(),,n x y z =，则由

n AE n AC ?

?=??

?=?

?，得1

02302

y z x +=

??=??，取2x =，得3y z ==， ∴(2,3,3)n =

----------------------------------------------------------------12分设二面角D AE C --的大小为θ，则cos cos ,AB n θ=1

||||AB n AB n ?=

=?，

θ∴=

，即二面角D AE C --的大小为

．-------------------------------------14分】 7、解：（1）在三棱锥P-ABC 中，依题意可知：AC PA ⊥…………1分

∵PA=AB=22,PB=4 2

22PB PB PA =+∴,…………2分则AB PA ⊥ …………3分

又ＡＢ，则PA ⊥平面ABC

…………5分

∵?PA 平面PAC ∴平面PAC ⊥平面ABC. …………6分

（2）方法一：由（1）知AB PA ⊥,又A AC PA AC AB =?⊥,，

∴⊥AB 平面PAC …………7分 ∵AB ∥CD ∴⊥CD 平面PAC …………8分过Ａ作PC AH ⊥于Ｈ，则AH CD ⊥ …………9分又∵C CD PC =? ∴

…………10分

又AB ∥CD ，AB 平面， ∴AB//平面，

∴点A 到平面的距离等于点B 到平面的距离. …………11分 ∵在Rt △PAC 中，

，

，PC = 4

AC A ?=AH CD ⊥平面P ?CD P CD P CD P CD P

∴PC 边上的高，此即为点A 到平面PCD 的距离 …………12分

设直线PB 与平面PCD 所成角为，则，…………13分又，所以即直线PB 与平面PCD 所成角的大小为； …………14分方法二：由(1)知AB ，AC ，AP 两两相互垂直，分别以AB ，AC ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)，

，0,0)，C (0

，，0)，

P (0,0，)……9分

（解法一）∵AB ∥CD ，AC

AB ⊥ ∴，又AC ∥ED ∴四边形ACDE 是直角梯形

∵AE = 2 ，AE

∥BC ，∴∠BAE = 135°，因此∠CAE = 45°

.…………10分

所以

，，0).

∴，

…………11分

设是平面PCD

的一个法向量，则

∴?????=-=+-0

202222x z y 解得取得 …………12分

又设

表示向量与平面PCD 的法向量所成的角，

则

…………13分 ∴即直线PB 与平面PCD 所成角的大小为

. …………14分

（解法二）∵AB ∥CD ，∴)0,0,22(,==λ …………10分

∴，…………

11分

设是平面PCD 的一个法向量，则即0=?AB m

∴?????==+-0

2202222x z y 解得取得 …………12分

A H=2θ21

sin 42

h PB θ=

==0,

2πθ??

∈????

,6πθ=6πAC CD ⊥sin 4522

CD AE =??=?

=(0,CP =-(CD =(,,)m x y z =0,0m CP m CD ?=?=0,,x y z ==1,y =(0,1,1)m =(BP =-θBP m 1

cos 2

m BP m BP

θ?=

θ=

π(0,CP =-(,,)m x y z =0,0m CP m CD ?=?=0,,x y z ==1,y =(0,1,1)m =

则

…………13分 ∴即直线PB 与平面PCD 所成角的大小为

. …………14分

8、证明：(1)…….1分

…….2分 …………..3分

…………..4分 …………..5分

. …………..6分

(2)如图以A 为原点，分别以AD,AB,AP 为轴建系 . …………..7分设BE=，则，，， . …………..8分，则

. …………..10分 . …………..11分

. …………..12分

. ………..13分 . …………..14分 9、

1cos 2

m BP m BP

θ?=

θ=

πBC PA ABCD BC ABCD PA ⊥∴?⊥，平面，平面 .ABCD AB BC ⊥∴是矩形，，

平面AB A,

AB PA P BC ⊥=? BC AB ⊥∴?AF P AF ，平面又 .F PA AB PB AF PB ⊥∴=中点，是， BC B BC PB P AF 平面，又⊥∴=? z y x ,,a )1,0,0(P )0,0,3(D )0,1,(E a )2

,21,

0(F ),,(PDE z y x n =

的法向量为设平面?????=-=?=?=+-=-?=?0

3)1,0,3(),,(0

)3()0,1,3(),,(z x z y x PD n y x a a z y x n

)3,3,1(,3,3,1a n z a y x -=∴=-==

得令），，（的法向量为平面

又2

210PCE =

5,2

27322

213cos 2=

∴=

+-?-=

=∴a a a a

045A -DE -P 6

5BE 为时，二面角当=

∴

高中数学立体几何测试题及答案一)

高中数学必修2立体几何测试题及答案（一）一，选择（共80分，每小题4分） 1，三个平面可将空间分成n个部分，n的取值为（） A，4；B，4，6；C，4，6，7 ；D，4，6，7，8。 2，两条不相交的空间直线a、b，必存在平面α，使得（） A，a?α、b?α；B，a?α、b∥α；C，a⊥α、b⊥α；D，a?α、b⊥α。 3，若p是两条异面直线a、b外的任意一点，则（） A，过点p有且只有一条直线与a、b都平行；B，过点p有且只有一条直线与a、b都垂直；C，过点p有且只有一条直线与a、b都相交；D，过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4，与空间不共面四点距离相等的平面有（）个 A，3 ；B，5 ；C，7；D，4。 5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（） A，必有三点共线；B，至少有三点共线；C，必有三点不共线；D，不可能有三点共线。 6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（）个 A，0；B，1；C，无数；D，涵盖上三种情况。 7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形，则（） A，3≤n≤6 ；B，2≤n≤5 ；C，n=4；D，上三种情况都不对。 8，a、b为异面直线，那么（） A，必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b；B，过直线b 存在唯一的一个平面与a平行；C，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b；D，过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9，a、b为异面直线，p为空间不在a、b上的一点，下列命题正确的个数是（） ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直；②过点p总可以作一条直线与a、b都相交；③

过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ，1； B ，2； C ，3； D ，4。 10，异面直线a 、b 所成的角为80°，p 为空间中的一定点，过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有（）条 A ，2； B ，3； C ，4； D ，6。 11，P 是△ABC 外的一点，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA=1、PB=2、PC=3，则△ABC 的面积为（）平方单位 A ，25； B ，611； C ，27； D ，2 9。 12，空间四个排名两两相交，以其交线的个数为元素构成的集合是（） A ，{2，3，4}； B ，{1，2，3，}； C ，{1，3，5}； D ，{1，4，6}。 13，空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1，点P 在AB 上移动，点Q 在CD 上移动，点P 到点Q 的最短距离是（） A ，21； B ，22； C ，23； D ，4 3。 14，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是（） A ，45； B ，43； C ，25； D ，23。 15，已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（） ①若m 垂直于α内的无数条直线，则m ⊥α；②若m 垂直于梯形的两腰，则m 垂直于梯形所在的平面；③若n ∥α，m ?α，则n ∥m ；④若α∥β，m ?α，n ⊥β，则n ⊥m 。 A ，①②③； B ，②③④； C ，②④； D ，①③。 16，有一棱长为1的立方体，按任意方向正投影，其投影最大面积为（）

2019高考试题分类汇编-立体几何

2019高考试题分类汇编-立体几何立体几何 1（2019北京文）（本小题14分）如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积． 2（2019新课标Ⅱ理）（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB =BC = 1 AD , ∠BAD =∠ABC =90o , E 是PD 的中点． 2 （1）证明：直线CE ∥平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45o ，求二面角M -AB -D 的余弦值． 3（2019天津理）（本小题满分13分）如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC =90?. 点D ，E ，N 分别为棱PA ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =4，AB =2. （Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值；（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为，求线段AH 的长. 21 4（2019新课标Ⅲ理数）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所称角的最小值为45°；④直线AB 与a 所称角的最小值为60°；

近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总

高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥；（2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。（4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分）（Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；（Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.

6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ，上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值

2020高考数学立体几何练习题23题

2020高考数学之立体几何解答題23題一．解答题（共23小题） 1．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由． 2．如图，三棱柱中ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D为棱AC的中点，侧面A1ACC1为边长为2 的菱形，AC⊥CB，BC=1．（Ⅰ）证明：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角B﹣A1C﹣B1的大小．

3．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°．（I）求点P到平面ABCD的距离，（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小． 4．在正三棱锥P﹣ABC中，底面正△ABC的中心为O，D是PA的中点，PO=AB=2，求PB与平面BDC所成角的正弦值．

5．如图，正三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知．（1）求证：B1C1⊥平面OAH；（2）求二面角O﹣A1B1﹣C1的大小． 6．如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形．（1）求证：AD⊥BC．（2）求二面角B﹣AC﹣D的大小．（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由．

(完整版)2019数学高考试题分类汇编立体几何

2019年数学高考试题汇编—立体几何 1、全国I 理12．已知三棱锥P ?ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（） A ．68π B ．64π C ．62π D ．6π 2、全国III 理8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（） A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 3、浙江4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是 A ．158 B ．162 C ．182 D ．32 4、浙江8．设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β 5、北京理（11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________． 6、北京理（12）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 7、江苏9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 . 8、全国I 文16．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为______ _____． 9、全国II 文理16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．） 10、全国III 理16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.

高考数学专题复习立体几何(理科)练习题

A B C D P 《立体几何》专题练习题 1．如图正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点， P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点，（1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线 2．已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β． 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系． ①求EF 和点G 的坐标； ②求异面直线EF 与AD 所成的角； ③求点C 到截面AEFG 的距离． 4. 如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD 平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小；（III ）求二面角C-PA-B 的余弦值． 5. 如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ； (2)求二面角B —AC —E 的余弦值． 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A

（Ⅰ）若P 为AC 的中点，M 为BB 1的中点，求证BP//平面AMC 1；（Ⅱ）若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο，试求BM 的长. 7. 如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，BC ＝2．（1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（2）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值； 8. 已知：在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB = a ，AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证：（Ⅰ）求证：平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1；（Ⅱ）求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值． 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且60DAB ∠=，1AD AA =F 为棱1BB 的中点，M 为线段1AC 的中点．（Ⅰ）求证：直线MF //平面ABCD ；（Ⅱ）求证：直线MF ⊥平面11ACC A ；（Ⅲ）求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体，P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点，满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》经典测试题及答案解析

【高中数学】单元《空间向量与立体几何》知识点归纳一、选择题 1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（） A ． 643 π B ．8316π π+ C ．28π D ．8216π π+ 【答案】B 【解析】【分析】结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可．【详解】结合三视图，还原直观图，得到故体积22221183242231633V r h r l πππππ=?+?=?+??=+，故选B ．【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等． 2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（）

A ．7 B ．3 C ．1+3 D ．2 【答案】A 【解析】【分析】把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就是最小值．【详解】把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD ．1MD 就是1||||AP D P +的最小值， Q ||||3AB AD ==，1||1AA =，∴0113tan 3,60AA B AA B ∠==∴∠=．所以11=90+60=150MA D ∠o o o 221111111113 2cos 13223()72 MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠=+-??- ??= 故选A ．【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题． 3．已知圆锥SC 的高是底面半径的3倍，且圆锥SC 的底面直径、体积分别与圆柱OM 的底面半径、体积相等，则圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为（）. A 10 B ．3:1 C ．2:1 D 102 【答案】A

2020年高考数学分类汇编：立体几何

2020年高考数学分类汇编：立体几何 4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为 A．20°B．40° C．50°D．90° 8.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 442 C. 623 D. 423 9.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 4+42 C. 6+23 D. 4+23 7．右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为

A ． E B ． F C ．G D ． H 16.已知圆锥的底面半径为 1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的切球表面积为 11．已知△ABC 是面积为 934 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上．若球 O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A ． 3 B ．32 C ．1 D ． 32 16．设有下列四个命题： p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ．则下述命题中所有真命题的序号是__________． ① 14p p ②12p p ③ 23 p p ④ 34 p p 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ② ③A ． 514 B ． 512 C ． 514 D ． 512

全国高考理科数学：立体几何

2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何一、选择题 1 ．（2013年新课标1（理））如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的厚度则球的体积为） A 2 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是（）[] A ．若αβ⊥m α?n β?则m n ⊥ B ．若//αβm α?n β?则//m n C ．若m n ⊥m α?n β?则αβ⊥ D ．若m α⊥//m n //n β则αβ⊥ 3 ．（2013年上海市春季数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积之比为（） A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:16 4 ．（2013年普通等学校招生统一试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱柱 1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（） A 5 ．（2013年新课标1（理））某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为

（） A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+ 6 ．（2013年湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有（） A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<< C ．2134V V V V <<< D ．2314V V V V <<< 7 ．（2013年湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于（） A ．1 B 8 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如图所示则该四棱台的体积是

2018年高考数学立体几何试题汇编

2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积．全国1卷理科理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．

（1）证明：PO⊥平面ABC； --为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值．（2）若点M在棱BC上，且二面角M PA C 全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧?CD所在平面垂直，M是?CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科： 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲ ．

2016年高考文科数学真题分类汇编：立体几何

2016年高考数学文试题分类汇编立体几何一、选择题 1、（2016年山东高考）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A ）12+π33 （B ）1+π33 （C ）1+π36 （D ）1+π6 2、（2016年上海高考）如图，在正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（） (A)直线AA 1 (B)直线A 1B 1 (C)直线A 1D 1 (D)直线B 1C 1 【答案】D 3、（2016年天津高考）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）

【答案】B 4、（2016年全国I 卷高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3 ，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【答案】A 5、（2016年全国I 卷高考）如平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α= 平面，11ABB A n α= 平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A B C （D ）13 【答案】A

6、（2016年全国II卷高考）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π 【答案】C 7、（2016年全国III卷高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）18+（B）54+（C）90 （D）81 【答案】B 8、（2016年浙江高考）已知互相垂直的平面αβ ，交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（） A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 【答案】C

历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)

1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=，由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，() 1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0, 0,{ n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0, m 0, { PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 -

1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ⊥⊥（Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一） 1.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ， 2PD AB ==，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证：EF PA ⊥； (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AF AD ⊥，2AE AD ==. (1)证明：平面⊥PAD 平面ABFE ； (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是 22 .

3.四棱锥P ABCD -中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是面积为ADC ∠为锐角，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：PD∥面ACM．（Ⅱ）求证：PA⊥CD．（Ⅲ）求三棱锥P ABCD -的体积． 4.如图，四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD，90 DAB ABC ∠=∠=?．SA AB BC a ===，2 AD a =．（Ⅰ）求证：面SAB⊥面SAD．（Ⅱ）求证：CD⊥面SAC． S B A D M C B A P D

5.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是 BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ．（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ．（Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ． 6.在直棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，设1AB 中点为D ，1A C 中点为E ．（Ⅰ）求证：DE ∥平面11BCC B ．（Ⅱ）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ． E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P

2018年高考题分类汇编之立体几何

2018年数学高考题分类汇编之立体几何 1．【2018年浙江卷】已知四棱锥S?ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S?AB?C的平面角为θ3，则 A. θ1≤θ2≤θ3 B. θ3≤θ2≤θ1 C. θ1≤θ3≤θ2 D. θ2≤θ3≤θ1 2．【2018年浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3．【2018年文北京卷】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D.4 4．【2018年新课标I卷文】在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为 A. B. C. D. 5．【2018年新课标I卷文】已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A. B. C. D. 6．【2018年全国卷Ⅲ文】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 A. B. C. D. 7．【2018年全国卷Ⅲ文】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 A. A B. B C. C D. D 8．【2018年全国卷II文】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A. B. C. D. 9．【2018年天津卷文】如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱柱A1–BB1D1D的体积为 __________． 10．【2018年江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．

高考立体几何大题20题汇总情况

高考立体几何大题20 题汇总情况 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

(2012江西省）（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5， BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG. （1）求证：平面DEG ⊥平面CFG ；（2)求多面体C DEFG 的体积。 2012，山东(19) (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中，,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。（Ⅰ）证明：（i） 11;EF A D //ii （）111;BA B C EF ⊥平面（Ⅱ）求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C

（2010四川）18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M 是棱'AA 的中点，点O 是对角线'BD 的中点，（Ⅰ）求证：OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线；（Ⅱ）求二面角''M BC B --的大小； 2010辽宁文（19）（本小题满分12分）如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ （Ⅰ）证明：平面11A B C ⊥平面11A BC ；（Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//AB 平面1B CD ，求11:A D DC 的值。

2021-2022年高考数学专题复习导练测第八章立体几何阶段测试(十)理新人教A版

2021年高考数学专题复习导练测第八章立体几何阶段测试（十）理新人教A 版一、选择题 1．空间中四点可确定的平面有( ) A ．1个 B ．3个 C ．4个 D ．1个或4个或无数个答案 D 解析当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面． 2．一个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图，如图所示，则这个几何体的体积为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．1 答案 C 解析根据该几何体的三视图知，该几何体是一个平放的三棱柱；它的底面三角形的面积为S 底面＝1 2×2×1＝1，棱柱高为h ＝2，∴棱柱的体积为S 棱柱＝S 底面·h ＝1×2＝2. 3．下列命题中，错误的是( ) A ．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面 B ．平面α∥平面β，a ?α，过β内的一点B 有唯一的一条直线b ，使b ∥a C ．α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ所成的交线为a 、b 、c 、d ，则a ∥b ∥c ∥d D ．一条直线与两个平面成等角，则这两个平面平行

答案D 解析A正确，三角形可以确定一个平面，若三角形两边平行于一个平面，而它所在的平面与这个平面平行，故第三边平行于这个平面；B正确，两平面平行，一面中的线必平行于另一个平面，平面内的一点与这条线可以确定一个平面，这个平面与已知平面交于一条直线，过该点在这个平面内只有这条直线与a平行；C正确，利用同一平面内不相交的两直线一定平行判断即可确定C是正确的；D错误，一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面，故应选D. 4．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．不能确定答案B 解析作AE⊥BD，交BD于E， ∵平面ABD⊥平面BCD， ∴AE⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴AE⊥BC，而DA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DA⊥BC，又∵AE∩AD＝A，∴BC⊥平面ABD，而AB?平面ABD，∴BC⊥AB，即△ABC为直角三角形．故选B. 5．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( )

2016年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(13 立体几何 )

2016 年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（13立体几何）一、选择题 1.（2016北京理）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D.1 【答案】A 【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱锥P ABC -，其体积 111 111 326 V=????=，故选A. 考点：1.三视图；2.空间几何体体积计算. 【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱. 2.（2016全国Ⅰ文、理）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 28 3 π ,则它的表面积是( ) （A）17π（B）18π（C）20π（D）28π 【答案】A 【解析】试题分析：该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的 1 8 ,设球的半径为R,则3 7428 V R 833 π π =?=,解得R2 =,所以它的表面积是 7 8 的球面面积和三个扇形面积之和

2271 =42+32=1784 S πππ????故选A ．考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键. 3.（2016全国Ⅰ文、理）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1, ABCD m α=平面,11ABB A n α=平面，则m 、n 所成角的正弦值为 ( ) (A) 3 (B )2 (C)3 (D)13 【答案】A 【解析】试题分析：如图,设平面11CB D 平面ABCD ='m , 平面11 CB D 平面11ABB A ='n ,因为//α平面11CB D , 所以//',//'m m n n ,则,m n 所成的角等于','m n 所成的角. 延长AD ,过1D 作11//D E B C ,连接11,CE B D ,则CE 为'm , 同理11B F 为'n ,而111//,//BD CE B F A B ,则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角,即为60?,故,m n 所成角的正弦值为 3 2 ,选A. 考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角. 【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补. 4.（2016全国Ⅱ文）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）（A ）12π （B ） 32 3π （C ）8π （D ）4π 【答案】A 【解析】试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为23，所以正方体的外接球的半径为3，所以球面的表面积为24(3)12ππ?=，故选A. 考点：正方体的性质，球的表面积. 【名师点睛】棱长为a 的正方体中有三个球：外接球、内切球和与各条棱都相切的球.其半径分别为 3a 、2 a 和22a .

2019届高考理科数学专题高考中的立体几何问题

2019届高考理科数学专题高考中的立体几何问题一、选择题(每小题5分,共30分) 1.一个多面体的三视图如图4-1所示,则此多面体的表面积是() 图4-1 A.22 B.24- C.22+ D.20+ 2.如图4-2,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某组合体的三视图,则该组合体的体积是() 图4-2 A.+π B.+π C.4+π D.+π 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的所有顶点均在球O的表面上,E,F,G分别为AB,AD,AA1的中点,若平面EFG截球O所得圆的半径为,则该正方体的棱长为() A. B. C.3 D.2 4. [数学文化题]如图4-3为中国传统智力玩具鲁班锁,它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分啮合,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根完全相同的正四棱柱分成三组,经90°榫卯起来.现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形的边长为2,欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计),若球形容器的表面积的最小值为56π,则正四棱柱的高为()

A. B.2 C.6 D.2 5. [数学文化题]中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年~前222年),其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道流到下部容器.如图4-4所示,某沙漏由上、下两个圆锥形容器组成,圆锥形容器的底面圆的直径和高均为8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥形容器高度的(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高为() 图4-4 A.2 cm B.cm C.cm D.cm 6.如图4-5,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,E,F分别为BC,BB1的中点,M,N分别为 AA1,A1C1的中点,则直线MN与EF所成角的余弦值为() 图4-5 A. B. C. D. 二、填空题(每小题5分,共10分) 7.若侧面积为8π的圆柱有一外接球O,则当球O的体积取得最小值时,圆柱的表面积为. 8.如图4-6,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,作以A为顶点,分别以AB,AD,AA1为轴,底面圆半径为r(0