2018高考全国2卷文科数学带答案
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在
条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。 1．i(2+3i)=
A ．32i -
B ．32i +
C ．32i --
D ．32i -+ 2．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =则A B = A ．{}3
B ．{}5
C ．{}3,5
D ．{}1,2,3,4,5,7
3．函数2
e e ()x x
f x x
--=的图象大致为
4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为 A ．0.6 B ．0.5 C ．0.4 D ．0.3
6．双曲线22221(0,0)x y
a b a b -=>>
A ．y =
B ．y =
C ．y =
D ．y =
7．在ABC △中，cos 2C =1BC =，5AC =，则AB =
A ．
B
C
D ．
8．为计算11111
123499100
S =-+-++- ，设计了右侧的程
序框图，则在空白框中应填入
A ．1i i =+
B ．2i i =+
C ．3i i =+
D ．4i i =+
9．在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切
值为
A
B
C
D
10．若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是
A ．
π4 B ．π2 C ．3π4
D ．π 11．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=?，
则C 的离心率为
A
．1-
B
．2C
D
1 12．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则
(1)(2)(3)(50)f f f f ++++= A ．50- B ．0
C ．2
D ．50
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________．
14．若,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-??
-+??-?≥≥≤则z x y =+的最大值为__________．
15．已知51tan 45πα?
?-= ??
?，则tan α=__________．
16．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30?，若S A B
△的面积为8，则该圆锥的体积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
17．（12分）
记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值． 18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17 ）建立模型①：
?30.413.5y
t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7 ）建立模型②：?9917.5y
t =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 19．（12分）
如图，在三棱锥P ABC -
中，AB BC == 4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．
（1）证明：PO ⊥平面ABC ；
（2）若点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的距离．
20．（12分）
设抛物线2
4C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．
（1）求l 的方程；
（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 21．（12分）
已知函数321
()(1)3f x x a x x =-++．
（1）若3a =，求()f x 的单调区间； （2）证明：()f x 只有一个零点．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,
4sin ,x θy θ=??=?
（θ为参数），直线l 的参数方
程为1cos ,
2sin ,x t αy t α=+??=+?
（t 为参数）．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数()5|||2|f x x a x =-+--．
（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围． 绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案
一、选择题
1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．A
8．B
9．C
10．C
11．D
12．C
二、填空题
13．y =2x –2 14．9 15．
3
2
6．8π
三、解答题 17．解：
（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．
所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16．
所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16． 18．解：
（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y $=–30.4+13.5×
19=226.1（亿元）． 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y $=99+17.5×
9=256.5（亿元）． （2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：
（i ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y =–30.4+13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型
y $=99+17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ii ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．解：
（1）因为AP =CP =AC =4，O 为AC 的中点，所以
OP ⊥AC ，且OP =．
连结OB ．因为AB =BC AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB =
1
2
AC =2． 由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ． 由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．
（2）作CH ⊥OM ，垂足为H ．又由（1）可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ． 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．
由题设可知OC =12AC =2，CM =23BC
，∠ACB =45°． 所以OM
，CH =sin OC MC ACB OM ??∠
．
所以点C 到平面POM
． 20．解：
（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．
由2(1)4y k x y x
=-??=?得2222(24)0k x k x k -++=． 2
16160k ?=+=，故2122
24
k x x k ++=．
所以2122
44
(1)(1)k AB AF BF x x k
+=+=+++=． 由题设知22
44
8k k +=，解得k =–1（舍去）
，k =1． 因此l 的方程为y =x –1．
（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．
设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则
0022
0005(1)(1)16.2
y x y x x =-+???-++=
+??，
解得0032x y =??=?，或00116.x y =??=-?， 因此所求圆的方程为
22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．
21．解：
（1）当a =3时，f （x ）=32
13333
x x x ---，f ′（x ）=263x x --．
令f ′（x ）=0解得x
=3-x
=3+
当x ∈（–∞
，3-
3++∞）时，f ′（x ）>0； 当x
∈（3-
3+ f ′（x ）<0．
故f （x ）在（–∞
，3-
3++∞
）单调递增，在（3-
3+单调递减．
（2）由于2
10x x ++>，所以()0f x =等价于32301
x
a x x -=++．
设()g x =3
231
x
a x x -++，则g ′（x ）=
2222(23)(1)x x x x x ++++≥0，仅当x =0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．
又f （3a –1）=2
2111626()0366a a a -+-=---<，f （3a +1）=103
>，故f （x ）有一个零
点．
综上，f （x ）只有一个零点． 【注】因为2
11()(1)(13)33
f x x x x a -
=++--，22131()024x x x ++=++>，所以
1
(13)03
f a +=
>，2(23)(1)0f a x x -+=-++<． 综上，f （x ）只有一个零点． 22．解：
（1）曲线C 的直角坐标方程为22
1416
x y +
=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=?+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．
（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=．
又由①得122
4(2cos sin )
13cos t t ααα
++=-+，故2c o s s i n αα+=，于是直线l 的斜率
tan 2k α==-．
23．解：
（1）当1a =时，
24,1,
()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-??
=-<≤??-+>?
可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．
而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞ ．