第三章3.1-3.1.1空间向量及其加减运算

第三章 空间向量与立体几何

3.1 空间向量及其运算

3.1.1 空间向量及其加减运算

高效演练知能提升

A 级基础巩固

一、选择题

1 .下列说法中正确的是（ ）

A. 任意两个空间向量都可以比较大小

B. 方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小

C. 空间向量的大小与方向有关

D. 空间向量的模可以比较大小

解析：由向量概念可知只有

D 正确. 答案：D

2.在平行六面体 ABCCA' B C D'中，与向量ADf 等的向量共有（

）

A. 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D . 4 答案：C

T T T

A.AB= BC + CD

T T T T

B. AB- D3 BC = AD

T T T T

C. AD= AB+ BO DC

D. BC= BD- DC

解析：AB- DO BC= AB+ BO CD= AO CD= AD

答案：B

4 .已知正方形 ABC 啲边长为1,设AB= a , BC= b , AC= c ,则| a + b + c |等于（

） A. 0 B . 3 C . 2+ 2 D . 2 2

解析：利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，

|a + b + c | = 2| AC = 2 2. 答案：D

5.在正方体 ABCD ABGD 中，下列选项中化简后为零向量的是 （ ）

f f 3.已知空间向量 AB BC CD T AD 则下列结论正确的是

解析：在 C 选项中，AB+ AD + CN =（AB+ A D ） + CA= A C + CA= 0. 答案：C

二、填空题

(2)写出模为 5的所有向量

解析：⑴由于长方体的高为1,所以长方体4条高所对应的向量AA , AA , BB , A B , A C , CC, D D , DD 共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为

1，故单位向量共8个. CB, BC , A C, CB .

答案：（i ）8 （2） AD , D A , AD, D A , CB ,

A A A

8.如图，在直三棱柱 ABGABC 中，若CA= a , CB= b , CC = C ,则A i B = b , c 表示）.

A A A A A A

解析：A i B = CA CA = Cl （CA^ CC ） = — a + b — c .

答案：一a + b — c

三、解答题

9 .在长方体 ABCDAB G D 中，画出表示下列向量的有向线段.

C. AB+ A i D + CA i

D .A C > C B — A B

6 ?两个非零向量的长度相等是两个向量相等的

条件. 答案：必要不充分

7.如图，在以长、宽、高分别为 AB^4，AD= 2, AA i = 1的长方体 ABCDABCD 中的八个 顶点的两点为起点和终点的向量中. (1)单位向量共有

个

.

(2)由于长方体的左、右两侧的对角线长均为

5，故模为 5的向量有 AD , D 1A, AD, D A ,

BC ,

BC, CB

(1) A 聊 AMAA ;

T T T

(2) A 聊 CG — DD.

T T T T T T

解：如图(1) AB+ A 叶AA = AO AA = AC .

(2) A 聊 CC — DD = AB+ BB —AA = AB — AA = A 1B 1.

T T 图中AC , AB

为所求.

10.已知平行六面体 ABCDA' B' C D

T T T T

求证：AC + AB + AD = 2AC 证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形.

T T T T 所以 AC= AB+ AD AB T

T T T T T T T T T T T 所以AO AB + AD =(AB+ AD ) + (AB+ AA )+(A 叶AA )=2(AB+ A 叶 AA ).

T T T T

又因为AA'= CC , AD= BC

T T T T T T T T T

T T T T

所以A 聊AM AA = AB+ BO CC =AO CC =AC ，所以AO AB + AD = 2AC

B 级能力提升

T T

ABCDK AB= DC 则下列向量相等的是 1.如图，在四棱柱的上底面 T T T T

T T T T T

=AB+ AA , AD = AM AA ,

C.AC 与 DB

答案：D Iff

2 .已知点 M 是△ ABC 的重心，贝U MAF MBb MC= ______

f f f

解析：设 D 为AB 的中点，贝U MA F MB= 2MD

又皿为厶ABC 的重心，贝U MC=- 2MD

f f f

所以 MA_ MBb MO 0.

答案：0

3 ?已知点 6是厶ABC 的重心，O 是空间任意一点，若 OA F OBb OC=入OG 求入的值.

解：连接CG 并延长交AB 于D,

则D 为AB 中点，且CG= 2GD

f f f

所以OAF O 聊OC

f f f f f f

f f f f f f f f f f f =OGF GA^ OGF GBb OGF GC= 3OQ GAb G 內 GC= 3OGF 2G F GC= 3OG- GO GC= 3OG 所以入=3. D. D （与

OB

空间向量加减法练习题

3.1.1空间向量加减法习题 一、选择题1．下列命题正确的有()(1)若|a|＝|b|，则a＝b； →→(2)若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件； (3)若a＝b，b＝c，则a＝c； ，b|a|＝||??相等的充要条件是，b(4)向量a?；∥ba??(5)|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；→→(6)AB＝CD的充要条件是A与C重合，B与D 重合．A．1个B．2个 个．4C．3个 D C答案[][解析](1)不正确．两个向量长度相等，但它的方向不一定相同．→→AB＝DC正确．(2)∵→→→→∴|AB|＝|DC|且AB∥CD.又∵A，B，C，D不共线，∴四边形ABCD 是平行四边形．→→反之，在?ABCD中，AB＝DC. ，a＝b(3)正确．∵∴a，b的长度相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同．故a＝c. (4)不正确．由a∥b，知a与b方向相同或相反． b./ |?a＝||||＝b?a|＝b|，a|＝ba(5)正确．→→→→→→同向．CD与AB，|CD|＝|AB|，CD＝AB.不正确(6) 故选C. 2．设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是() →→→→→→0CA＝AB＋BC＋BCA.AB＋＝AC B.→→→→→＝－BA D.ABC.AB－AC ＝CB ][答案B[解析]注意向量的和应该是零向量，而不是数0. →→→→3．已知空间向量AB，BC，CD，AD，则下列结论正确的是()→→→A.AB＝BC＋CD →→→→B.AB－DC＋BC＝AD→→→→C.AD＝AB ＋BC＋DC →→→D.BC＝BD－DC B答案][[解析]根据向量加减法运算可得B正确． →→4．在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，与向量AA′相等的向量(不含AA ′)的个数是() A．1个B．2个 4个D．．C3个 答案[]C[解析]利用向量相等的定义求解． 5．两个非零向量的模相等是这两个向量相等的()A．充分不必要条件 ．必要不充分条件B C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B [解析]两个非零向量的模相等，这两个向量不一定相等，但两向量相等模必相等，故选B. →→6．在平行六面体ABCD－ABCD中，M为AC与BD的交点，若AB＝a，AD＝b，11111111→→AA＝c，则下列向量中与B )(相等的向量是M11． 11A．－a＋b＋c2211 cb＋B.a＋2211C.a－b＋c 2211D．－a－b＋c22[答案]A →→→[解析]B M＝BB＋BM11 1→→＝AA＋BD 121→→→＝AA＋(BA＋BC )11111211＝－a ＋b＋c.∴应选A.227．在正方体ABCD－ABCD中，下列各式中1111→→→CC)＋(1)(AB＋BC1→→→(2)(AA＋AD) ＋DC11111→→→(3)(AB＋BB)＋BC 111→→→(4)(AA＋A B)＋BC.11111→运算的结果为向量AC 的共有 ()1A．1个B．2个 个4个D．．C3 D答案[] 8．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为

3.1空间向量及其运算第1课时完美版

§3.1.1空间向量及加减其运算 【学情分析】： 向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。【教学目标】： （1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法 （2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法 （3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。 【教学重点】： 空间向量的概念和加减运算 【教学难点】： 空间向量的应用

四．练习巩 固 1．课本P86练习1-3 2．如图，在三棱柱1 11C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +; （2）1AA CB AC ++; （3）CB AC AA --1 解：（1）11CA BA CB =+ （2）11AB AA CB AC =++ （3）11BA CB AC AA =-- 巩固知识，注意区别加 减法的不同处. 五．小结 1．空间向量的概念： 2．空间向量的加减运算 反思归纳 六．作业 课本P97习题3.1，A 组 第1题（1）、（2） 练习与测试： （基础题） 1．举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。 2．说明数字0与空间向量0的区别与联系。 答：空间向量0有方向，而数字0没有方向；空间向量0的长度为0。 3．三个向量a,b,c 互相平行，标出a+b+c. ‘解：分同向与反向讨论（略）。 4．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +;

空间向量的加减数乘运算练习题集

课时作业(十四) [学业水平层次] 一、选择题 1．对于空间中任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量 C ．不共面向量 D ．既不共线也不共面向量 【解析】 由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A 2．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA → ＝－AB →＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →， ∴BD →与BA → 共线， 又它们经过同一点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． 【答案】 A 3．A 、B 、C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC → ，则P 、A 、B 、C 四点( ) A ．不共面 B ．共面

C ．不一定共面 D ．无法判断 【解析】 ∵34＋18＋1 8＝1， ∴点P 、A 、B 、C 四点共面． 【答案】 B 4. (2014·莱州高二期末)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用向量AB →，AD →，AA 1→表示向量BD 1→ 的结果为( ) 图3-1-9 ＝AB →－AD →＋AA 1→ ＝AD →＋AA 1→－AB → ＝AB →＋AD →－AA 1→ ＝AB →＋AD →＋AA 1→ 【解析】 BD 1→＝BA →＋AA 1→＋A 1D 1→＝－AB →＋AA 1→＋AD → .故选B. 【答案】 B 二、填空题 5．如图3-1-10，已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD → ＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E 、F ，则EF → ＝________(用向量a ，b ，c 表示)．

数学选修空间向量及其运算教案

第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：

①几何表示法：_________________________ ②字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ②单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③相等向量：____________________________ ④相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和 方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘结合律：λ（aμ）=a) (λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。

3.1.1空间向量及其加减运算专项练习与答案

3.1.1空间向量及其加减运算专项练习 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，与向量A ′B ′―――→ 的模相等的向量有( ) A ．7个 B ．3个 C ．5个 D ．6个 解析： |D ′C ′―――→|＝|DC ―――→|＝|C ′D ′―――→|＝|CD →|＝|BA →|＝|AB →|＝|B ′A ′―――→|＝|A ′B ′―――→ |. 答案： A 2．已知向量a ，b 是两个非零向量，a 0，b 0是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式中正确的是( ) A ．a 0＝b 0 B ．a 0＝b 0或a 0＝－b 0 C ．a 0＝1 D ．|a 0|＝|b 0| 解析： 两单位向量的模都是1，但方向不一定相同或相反． 答案： D 3．下列命题是真命题的是( ) A ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反 C ．若向量AB →，C D →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD → D ．若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD → 解析： A 错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任两向量均共面． B 错．因为|a |＝|b |仅表示a 与b 的模相等，与方向无关． C 错．空间任两向量不研究大小关系，因此也就没有AB →>C D → 这种写法． D 对．∵AB →＋CD → ＝0， ∴AB →＝－CD →，∴AB →与CD →共线，故AB →∥CD → 正确． 答案： D 4．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC → |，则( ) A.AB →＝AC →＋BC → B.AB →＝－AC →－BC → C.AC →与BC → 同向 D.AC →与CB → 同向 解析： 由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB → |，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC →与CB → 同向． 答案： D

空间向量及其加减运算专题训练

A . a + b — c B . — a — b +c C . — a + b + c D . — a + b — c 解析：选 C.由于CD = CB +BA + AD = CB — AB +AD = b — a + c , 所以 C D = — a + b + c . 3.在正方体ABCD-A i B i C i D i 中，下列选项中化简后为零向量的 A. AB + A I D I + C i A i B .AB —A C+ BE B I C. AB + AD + AA i D .A C +CB 1 解析：选 A.在 A 选项中，AB +A ；D i + CA i = (AB +AD) + CA = AC + CA = 0. 4.设有四边形ABCD,O 为空间任意一点，且AO + O B = D O + OC, 全国名校高考数学复习优质专题训练汇编（附详解） 空间向量及其加减运算专题训练 [A 基础达标] 1.在空间四边形OABC 中，OA +A B — CB 等于（ ） A .OA B .A B C.OC D .A C 解析：选 C.OA + A B — CB= OB — CB = BC — BO = OC. 2.已知空间四边形 ABCD 中，AB = a , CB = b , AD = c ,则CD 等

则四边形ABCD是（）

全国名校高考数学复习优质专题训练汇编（附详解） A .平行四边形B.空间四边形 C.等腰梯形 解析：选A.由于AO+ A B, D O+O C=D C, 所以AB=DC,从而|AB|=|D C|,且AB与CD不共线, 所以AB DC, 所以四边形ABCD是平行四边形. 5 .已知平行六面体ABCD-A'B'CD 贝y下列四式中错误的是 ① AB—CB = AC:② A厅 =AB + B B ~C C + CC :③ AT C = CC ;@AB+ BB^ +BC+ C C C = A F . A.① c.③ 解析：选D.AB—CB=AB+BC=AC,①正确; A B+B"C+C C = A B+ B C+ C C=A C ,②正确; ③显然正确；AB+ B B+B C+CC=AB + BC+CC=AC,④错. 6 .式子(AB—CB)+CC I运算的结果是______ . 解析：(AB—CB)+ CC I =(AB+BC) + CC I=AC+CC I = AC I. 答案：A C I 7.给出下列几个命题: ①方向相反的两个向量是相反向量; ②若|a|= |b|，则a, b的长度相等，方向相同或相反;

2021年高中数学3.1.1空间向量及其加减运算学案含解析人教A版选修2_1

3.1.1 空间向量及其加减运算 [目标] 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律，理解向量减法的几何意义． [重点] 空间向量加减运算及其几何意义． [难点] 向量加减运算由平面向空间的推广． 知识点一空间向量的有关概念 [填一填] 1．定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度：向量的大小叫做向量的长度或模． 4．几类特殊向量 [答一答] 1．向量可以用有向线段表示，那么有向线段是向量吗？ 提示：不是．虽然有向线段既有大小又有方向，但它不是一个量． 2．如何理解零向量的方向？ 提示：由于零向量的长度为零，可以理解为表示零向量的有向线段长度为零，因此可以

理解为零向量不是没有方向，而是方向是任意的． 3．你能说出平面向量与空间向量的区别与联系吗？ 提示：(1)区别：平面向量研究的是二维平面的向量，空间向量研究的是三维空间的向量． (2)联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概念都与平面向量相同． 知识点二空间向量的加减运算 [填一填] [答一答] 4．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一样吗？ 提示：因为空间中任意两个向量均可平移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是一样的． 5．共起点的两个不共线向量的和向量所对应的线段是平行四边形的对角线，那么三个不共面的向量的和向量与这三个向量有什么关系？ 提示：如图，将三个不共面的向量平移至同一起点，以这三个向量所对应的线段为棱作平行六面体，则这三个向量的和向量所对应的线段即为从该起点出发的平行六面体的体对角线． 1．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行． 2．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量． 3．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加、减法运算．

空间向量加减法练习题

3.1.1空间向量加减法习题 一、选择题 1．下列命题正确的有( ) (1)若|a |＝|b |，则a ＝b ； (2)若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 是平行四边形的充要条件； (3)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； (4)向量a ，b 相等的充要条件是? ?? ?? |a |＝|b |，a ∥b ； (5)|a |＝|b |是向量a ＝b 的必要不充分条件； (6)AB →＝CD → 的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] C [解析] (1)不正确．两个向量长度相等，但它的方向不一定相同． (2)正确．∵AB →＝DC → ∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥CD →. 又∵A ，B ，C ，D 不共线， ∴四边形ABCD 是平行四边形． 反之，在?ABCD 中，AB →＝DC → . (3)正确．∵a ＝b ， ∴a ，b 的长度相等且方向相同． ∵b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同． 故a ＝c . (4)不正确．由a ∥b ，知a 与b 方向相同或相反． (5)正确．a ＝b ?|a |＝|b |，|a |＝|b |?/ a ＝b . (6)不正确.AB →＝CD →，|AB →|＝|CD →|，AB →与CD → 同向． 故选C. 2．设A ，B ，C 是空间任意三点，下列结论错误的是( ) ＋BC →＝AC → ＋BC →＋CA →＝0 －AC →＝CB → ＝－BA →

[解析] 注意向量的和应该是零向量，而不是数0. 3．已知空间向量AB →，BC →，CD →，AD → ，则下列结论正确的是( ) ＝BC →＋CD → －DC →＋BC →＝AD → ＝AB →＋BC →＋DC → ＝BD →－DC → [答案] B [解析] 根据向量加减法运算可得B 正确． 4．在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，与向量AA ′→相等的向量(不含AA ′→ )的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] C [解析] 利用向量相等的定义求解． 5．两个非零向量的模相等是这两个向量相等的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] B [解析] 两个非零向量的模相等，这两个向量不一定相等，但两向量相等模必相等，故选B. 6．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A → ＝c ，则下列向量中与B 1M → 相等的向量是( ) A ．－12a ＋1 2 b ＋c a ＋12 b ＋ c a －12 b ＋c D ．－12a －1 2b ＋c

空间向量及其加减运算教学设计

空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 邹城市第二中学孙爱青邮编273500 教学目标： （1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。 （2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。 能力目标： （1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。 （2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。 （3）培养学生空间向量的应用意识 教学重点： （1）空间向量的有关概念 （2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。 （3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点： （1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。 （2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。 考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。 易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用

教学用具：多媒体 教学方法：研讨、探究、启发引导。 教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。 教学设计： 1、（老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？（矢量，由大小和方向确定）。 （学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？ （老师）：通过这个实验，我们发现研究的问题是三个力的问题，但三角形钢板受到的三个力的特点是：（1）三个力不共面，（2）三力既有大小又有方向，但不在同一平面上。所以解决这类问题，需要空间知识，而这种不在同一平面上的既有大小，又有方向的量，我们称之为“空间向量”。这就是我们今天所研究的内容：“空间向量及其运算”（板书黑板）。 实际上空间向量我们随处可见（同学们可先举）。然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量）2、（自主学习）：现在我们来研究空间向量有哪些知识、概念和特点呢？与平面向量有什么区别和联系？平面向量的运算法则、运算律空

空间向量的加减及数乘运算

第三章 空间向量 3、1、1空间向量及其加减运算 基础性练习： 1、直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====B A c CC b CB a CA 11,,,则 （ ） A ．-+ B ．+- C ．c b a ++- D ．c b a -+- 2、给出以下命题： （1） 两个空间向量相等，则它们得起点相同，终点也相同； （2） 若空间向量、 =,则= （3） 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，必有11C A AC =； （4） 若空间向量满足===则,； （5） 空间中任意两个向量必相等。 其中不正确得命题得个数就是（ ） A 、1 B 、 2 C 、3 D 、4 3、如图，在正方形ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算得结果为向量1AC 得共有（ ） ①1)(CC BC AB ++； ②11111)(C D D A AA ++ ③111)(C B BB ++ ④11111)(C B B A AA ++ A 、1 B 、 2 C 、3 D 、4 4、化简：（-）－（-）= 。 巩固性练习： 5、下列说法正确得就是（ ） A 、若||||=，则、得长度相同，方向相反； B 、||||，=则是向量若向量； C 、空间向量得减法满足结合律； D 、在四边形ABCD 中，一定有=+ 6、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，与向量相等得向量共有（ ） A 、1 个 B 、 2 个 C 、3 个 D 、4个 7、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，向量DD +-1化简后得结果就是（ ） A 、1BD B 、D 1 C 、B 1 D 、1DB 8、空间四边形ABCD 中，若E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边上得中点，则+++= ； 9、已知空间四边形ABCD ，连结AC 、BD ，设M 、G 分别就是BC 、CD 得中点，则)(2 1BC BD AB ++=

空间向量及其加减运算,空间向量的数乘运算

空间向量及其加减运算，空间向量的数乘运算 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．如图，在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 是AC 与BD 的交点，若AB a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是 （ ） A ．1122a b c - ++ B ．11 22 a b c ++ C ． 1122a b c -+ D ．11 22 a b c --+ 2．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，若11BD xAD yAB zAA =++，则x y z ++的值为（ ） A ．3 B ．1 C ．1- D ．3- 3．在直三棱柱11ABC A B C -中，若CA a =，CB b =，1CC c =，则1A B =（ ） A ．a b c +- B ．a b c -+ C ．a b c -++ D ．a b c -+- 4．已知P 是正六边形ABCDEF 外一点，O 为正六边形ABCDEF 的中心，则 PA PB PC PD PE PF +++++等于（ ）

A.PO B ．3PO C ．6PO D ．0 5．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 的中点，若PA a =， PB b =，PC c =，则BE =（ ） A. 111222a b c -+ B.111222a b c -- C. 131222a b c -+ D.113222 a b c -+ 6．已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，,M N 分别是,OA CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量,,OA OB OC 表示向量OG 是（ ） A ．111633OG OA O B O C = ++ B ．112 633 OG OA OB OC =++ C ．2233OG OA OB OC =+ + D ．122 233 OG OA OB OC =++ 7．若A ，B ，C 不共线，对于空间任意一点O 都有311 488 OP OA OB OC = ++， 则P ，A ，B ，C 四点（ ） A ．不共面 B ．共面 C ．共线 D ．不共线 8．设12342,32,23,325a m j k a m j k a m j k a m j k =-+=+-=-+-=++（其中 ,,m j k 是两两垂直的单位向量），若4123a a a a λμν=++，则实数,,λμν的值分别是 （ ） A ．1,2,3-- B ．2,1,3-- C ．2,1,3- D ．1,2,3-

空间向量及其运算教学设计

课题：空间向量及其线性运算（人教A版 3.1.1+3.1.2部分内容） 教学内容解析： 本节课的教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-1）》（人教A 版）第3章“空间向量与立体几何”第1节“空间向量及其加减运算”和第2节“空间向量的数乘运算”的部分内容。 向量是既有大小又有方向的量，既能像数一样进行运算本身又是一个“图形”所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁在很多数学问题的解决中有着重要的应用。本章要学习的空间向量将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。本小节的主要内容可分为两部分一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，本课作为章节的起始课，是学生学习了平面向量的基础之后展开的，经历了向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫，起到承前启后的作用。教学过程中应充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质，引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，提高数学素养。 学情分析： 1.学生已经学习过平面向量的概念及其相关运算，为本节空间向量及其线性运算的学习打下了坚实的知识基础。 2.学生在探究问题以及合作交流的意识等方面，发展不够均衡，尚有待加强，必须在教师一定的指导下才能进行。 教学目标： 1.知识与技能目标： （1）了解空间向量的概念； （2）掌握空间向量的加减数乘运算； （3）掌握空间向量的运算律。 2.过程与方法目标：

（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法； （2）会用图形说明空间向量加法，减法，数乘向量及它们的运算律； （3）用空间向量的运算及运算律解决简单的立体几何问题。 3.情感态度价值观目标： （1）形成事物与事物之间普遍联系及其相互转化的辨证观点； （2）通过变式训练，提高学生对事物个性与共性之间联系的认识水平。 教学重点： 空间向量的线性运算； 教学难点： 体会类比的数学方法；（平面向量向空间向量的推广过程中学生对于其相同点与不同点的理解有一定的困难） 教学策略： 多媒体教学、问题式教学、讲授法、类比法、讨论法、自主学习、合作探究 教学设计： 1.教学结构设计