2020届河南省大联考高三阶段性测试(七)数学(理)试题解析

2020届河南省大联考高三阶段性测试（七）数学（理）试题

一、单选题

1．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）

A ．16

B ．48

C ．96

D ．128

答案：B

列出每一次循环，直到计数变量i 满足3i >退出循环. 解：

第一次循环：1

2(11)4,2S i =+==；第二次循环：2

42(12)16,3S i =++==； 第三次循环：3

162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B. 点评：

本题考查由程序框图求输出的结果，要注意在哪一步退出循环，是一道容易题. 2．函数()(

)

2cos ln

1f x x x x =?+-在[1,1]-的图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

答案：B

由()()f x f x -=-可排除选项C 、D ；再由(1)0f <可排除选项A. 解：

因为()(

)

2cos()ln

()1f x x x x =-=-?-+)

2cos ln

1x x x ?+

22cos cos ln(1)()1x x x x f x x x

=?=-+=-+-，故()f x 为奇函数，

排除C 、D ；又(1)cos1ln(21)0f =?<，排除A. 故选：B. 点评：

本题考查根据函数解析式选出函数图象的问题，在做这类题时，一般要利用函数的性质，如单调性、奇偶性、特殊点的函数值等，是一道基础题.

3．已知集合20x A x x -??

=>????

，{}3B x x =<，则A B =（ ） A ．{}

0x x < B ．{}

3x x <

C ．{}

23x x << D ．{}

230x x x <<<或

答案：D 解：

【命题意图】本题考查不等式的解法以及集合运算．

因为{}

02A x x x =或，{}3B x x =<，所以{}

230A B x x x ?=<<<或． 4．若复数()1n

i +为实数，则正整数n 的最小值为（ ） A ．2 B ．4

C ．6

D ．8

答案：B 解：

【命题意图】本题考查复数的运算．

因为()212i i +=，()()42

124i i +==-，所以正整数n 的最小值为4．

5．已知双曲线()22

21016

x y b b

-=>的渐近线方程为3

4

y

x ，则该双曲线的焦距为（ ） A ．4 B ．5

C ．8

D ．10

答案：D 解：

【命题意图】本题考查双曲线的方程及性质．

设双曲线222116x y b -=的半焦距为c ，由双曲线22

2116x y

b

-=的渐近线方程为3

4

y

x ，可得

3

44

b =，所以3b =，5

c =．所以双曲线的焦距为10． 6．下图是某市2014年到2020年贫困户的户数y （单位：万户）与时间t 的条形图（时间t 的取值1，2，…，7依次对应2014年至2020年）.若y 关于t 的线性回归方程为

0.5y t a =-+，则a =（ ）

A ．2.2

B ．4.2

C ．6.2

D ．6.4

答案：C 解：

本题考查线性回归方程. 依题意，得12747t +++=

=， 5.6 5.2 4.8 4.4 3.4 3.3 2.7

4.27

y ++++++==，

所以4.20.54a =-?+，所以 6.2a =.

7．若x ，y 满足约束条件25,

22,7,x y y x x -≥??

≥-??≤?

，则z x y =+的最大值为（ ）

A ．21

B ．16

C ．13

D ．11

答案：B

解：

【命题意图】本题考查线性规划．

作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，联立25,

7,x y x -=??

=?

解得

()7,9A ．观察可知，当直线y x z =-+过点()7,9A 时，z 有最大值16．

8．《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”.若齐国与长安相距3000里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行.良马第一天行155里，之后每天比前一天多行12里，驽马第一天行100里，之后每天比前一天少行2里，则良马和驽马第几日相遇（ ） A ．第10日 B ．第11日

C ．第12日

D ．第60日

答案：A 解：

本题考查等差数列的性质以及数学文化. 依题意，可知良马第(

)*

n n ∈N 日行程为()155********n

a

n n =+-=+，同理，可

得驽马第(

)

*

n n ∈N

日行程为1022n b n =-，令

()()1130002

n n a a n b b n +++=，整

理可得2506000n n +-=，所以10n =. 9．已知函数())23

sin cos 12sin f x x x x =+-，则有关函数()f x 的说法正确的是（ ）

A ．()f x 的图象关于点,06π??

???

对称

B ．()f x 的最小正周期为π

C ．()f x 的图象关于直线6

x π

=对称

D ．()f x 3答案：B 解：

【命题意图】本题考查三角恒等变换以及三角函数的性质．

由题可知()13sin 2cos2sin 2223f x x x x π?

?=

+=+ ??

?．令2,3x k k ππ+=∈Z ，可得

126x k ππ=-．当6x π=时，2233

x ππ+=，故函数()f x 的图象不关于点,06π??

???对称，

也不关于直线6

x π=对称，故A ，C 错误．函数()f x 的最小正周期22T π

π==，故B 正确．函数()f x 的最大值为1，故D 错误．

10．已知ABC 内接于半径为3的圆，2BC =，A 为圆上的动点，则BC BA ?的取值范围是（ ） A ．[]4,4- B ．[]8,9-

C ．[]4,8-

D ．[]0,12

答案：C 解：

本题考查平面向量的数量积.

以BC 的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则()1,0B -，()1,0C .设

(),A x y ，则[]3,3x ∈-，所以()2,0BC =，()1,BA x y =+，所以()[]214,8BC BA x ?=+∈-.

11．已知点P 为抛物线()2

:20C y px p =>上异于原点O 的动点，F 为C 的焦点.若

2PM MF =，则直线OM 的斜率的取值范围是（ ）

A ．330,????

? ??? ???? B ．33???? C ．220,22???-?? ?????

D ．22?+∞????

答案：C 解：

本题考查直线与抛物线的综合问题.

设200,2y P y p ?? ???

，显然0

0y ≠，由题意,02p F ??

???，则()

2

001112,3333633y p y OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p ??

=+=+=+-=+=+ ?

??

，可得0200

2

3

263

OM y k y p y p

p

y p =

=

++.当00y >

时，2OM k ≤=，当00y <

时，00

222OM k y p p y =-

≥=-

--

，故0,22OM k ???∈-?? ?????

. 12．若函数()ln 2x

f x x x ae =-在1

e e

?? ???

,上有两个极值点，则实数a 的取值范围是

（ ）

A ．20,e e ?? ???

B ．21,e e e ?? ???

C ．42,e e e ?? ???

D ．11,2e e e ?? ???

答案：D 解：

本题考查利用导数研究函数极值.

由题意()1ln 2x

f x x ae '=+-，令()0f x '=，可得1ln 2x

x

a e

+=

.函数()f x 在1e e ?? ???,上有两个极值点，则需()0f x '=在1e e ??

???

,上有两个不同的实数根，等价于

1ln 2x x a e +=在1e e ?? ?

??,上有两个不同的实数根，也等价于直线2y a =与1ln x x

y e +=的图象在1e e ?? ???

,内有两个交点.令()1ln x x g x e +=，则()1

1ln x

x

x g x e --'=.令()11ln h x x x =

--，可得()h x 在区间1e e ??

???

,上为减函数，且()10h =.所以当11x e <<时，()0h x >，故()0g x '>，()g x 在1,1e ??

???

上为增函数，当1x e <<时，()0h x <，故()0g x '<，()g x 在()1,e 上为减函数，所以()()max 11e

g x g ==.又

10g e ??

= ???

，()e 2e e g =，所以212e a e e <<，所以e 11e 2e a <<.

二、填空题

13．若圆台的母线与高的夹角为6

π

，且上、下底面半径之差为2，则该圆台的高为__________.

答案：解：

本题考查圆台的几何特征.

设上、下底面半径分别为R ，r ，圆台高为h ，根据轴截面可知

tan 6

R r h π

-=，即

2

3

h =

，所以h =14．甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为1

2

，乙每次击中目标的概率为

23

，他们每次射击是否击中目标互不影响，则甲恰好比乙多击中目标1次的概率为_________. 答案：1172

解：

本题考查概率的计算.

甲恰好比乙多击中目标1次分为甲击中1次乙击中0次，甲击中2次乙击中1次，甲击中3次乙击中2次三种情形，其概率

2

32232

12123333111112112111223223323372P C C C C ????????????=???+?????+??=

? ? ? ? ? ???

?????????

??. 15．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，422n n n S S S +++=，且12S =，则

20192020a a +=_________.

答案：4或0 解：

本题考查等比数列的通项公式以及等比数列的性质.

设等比数列{}n a 的公比为q ，由422n n n S S S +++=，得422n n n n S S S S +++-=-，即

3412n n n n a a a a +++++=+，所以()21212n n n n a a q a a +++++?=+.若120n n a a +++=，则

1q =-，此时()

1

21n n a -=?-；若120n n a a +++≠，则1q =，此时2n a =.所以

20192020224a a +=+=或者20192020220a a +=-=.

16．已知大、小两个球外切，且两球与一个正四面体的三条侧棱都相切，记大球、小球的半径分别为R ，r ，则R

r

的值为________. 答案：23+ 解：

本题考查空间几何体与球的相切问题.

如图所示，设正四面体棱长为a ，大球球心、小球球心分别为1O ，2O .取底面BCD 的中心为E ，连接AE ，BE .可知1O ，2O 都在正四面体的高AE 上.因为大球与三条侧棱都相切，作1O G AB ⊥，易知1R O G =.又因为小球与三条侧棱相切，且与大球外切，作2O H AB ⊥，则2r O H =.因为233323

a a

BE =

?=

，AB a ，所以3

sin 3

BAE ∠=

.所以13AO R =，23AO r =.又1212AO AO O O =+，所以33r r R R ++=，所以

314232331

R r ++===+-.

三、解答题

17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3

cos 3b a C C ??=+ ?

???

. （1）求A ；

（2）若23a =2c =，求ABC 的面积. 答案：（1）

3

π

；（2）23

解：

（1）由3cos sin 3b a C C ??=+ ? ???

，及正弦定理得3

sin sin cos sin B A C C ??=+ ???. 又()sin sin B A C =+，

所以3

sin cos cos sin sin cos sin sin 3

A C A C A C A C +=+

， 即3

cos sin sin sin A C A C =

. 因为()0,C π∈，所以sin 0C ≠. 所以tan 3A =. 因为()0,A π∈，所以3

A π

=.

（2）由（1）知，3

A π

=

.

由余弦定理得22221412

cos 224b c a b A bc b

+-+-===

. 所以2280b b --=. 所以4b =.

所以ABC 的面积113sin 4223222

S bc A =

=???=. 18．如图，四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，36AB DC ==，2BM MP =.

（1）求证：//CM 平面PAD ；

（2）若AD DC ⊥，PD PC ⊥且PD PC =，平面PCD ⊥平面ABCD ，1AD =，求直线CM 与平面PAB 所成的角. 答案：（1）证明见解析；（2）45?. 解：

（1）如图，取线段PA 的靠近P 的三等分点为N ，连接DN ，NM .

则

1

2

PN PM NA MB ==， 所以MN

AB 且1

3

MN AB =

. 又DC AB ∥且1

3

DC AB =

, 所以四边形MNDC 为平行四边形. 所以DN CM ∥.

又DN ?平面PAD ，CM ?平面PAD ， 所以CM ∥平面PAD .

（2）如图，取CD 中点为O ，连接OP ，过O 作OE AD 交AB 于E .

因为平面PCD ⊥平面ABCD ，OP DC ⊥，由面面垂直的性质定理可知，OP ⊥平面

ABCD .

所以直线OP ，OC ，OE 两两垂直，以O 为原点，分别以射线OE ，OC ，OP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()1,1,0A -，

()1,5,0B ，()0,0,1P ，()0,1,0C .

所以2122,,3333CM CB BM CB BP ??

=+=+

= ???

，()0,6,0AB =，()1,1,1AP =-. 设平面PAB 的法向量为(),,m x y z =，则60,

0,

0.0

y m AB x y z m AP ?=??=???-++=?=??

取1x =，得()1,0,1m =. 所以2

cos ,2

CM m CM m CM m

???=

=

， 所以直线CM 与平面PAB 所成的角为45°.

19．某精密仪器生产车间每天生产n 个零件，质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格，若较多零件不合格，则需对其余所有零件进行检查．根据多

年的生产数据和经验，这些零件的长度服从正态分布2(10,0.1)N （单位：微米m μ），且相互独立．若零件的长度d 满足9.710.3m d m μμ<<，则认为该零件是合格的，否则该零件不合格．

（1）假设某一天小张抽查出不合格的零件数为X ，求(2)P X ≥及X 的数学期望EX ； （2）小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件，若以此频率作为当天生产零件的不合格率．已知检查一个零件的成本为10元，而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元．假设n 充分大，为了使损失尽量小，小张是否需要检查其余所有零件，试说明理由．

附：若随机变量ξ服从正态分布2

(,)N μσ，则

5049(33)0.9987,0.99870.9370,0.99870.00130.0012P μσξμσ-<<+==?=．

答案：（1）见解析（2）需要，见解析

（1）由零件的长度服从正态分布2

(10,0.1)N 且相互独立,零件的长度d 满足

9.710.3m d m μμ<<即为合格,则每一个零件的长度合格的概率为0.9987,X 满足二

项分布,利用补集的思想求得()2P X ≥,再根据公式求得EX ； （2）由题可得不合格率为

2

50

,检查的成本为10n ,求出不检查时损失的期望,与成本作差,再与0比较大小即可判断. 解： （1）

1495050(2)1(1)(0)10.99870.00130.99870.003

P X P X P X C =-=-==-??-=≥,

由于X 满足二项分布,故0.0013500.065EX =?=. （2）由题意可知不合格率为

250

, 若不检查,损失的期望为252

()2602020505E Y n n =??

-=-； 若检查,成本为10n ,由于522

()1020102055

E Y n n n n -=--=-, 当n 充分大时,2

()102005

E Y n n -=->,

所以为了使损失尽量小,小张需要检查其余所有零件. 点评：

本题考查正态分布的应用,考查二项分布的期望,考查补集思想的应用,考查分析能力与数据处理能力.

20．已知中心在原点O 的椭圆C 的左焦点为()11,0F -，C 与y 轴正半轴交点为A ，且

1

3

AFO π

∠=.

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过点A 作斜率为1k 、

()2120k k k ≠的两条直线分别交C 于异于点A 的两点M 、N .证明：当1

211

k k k =

-时，直线MN 过定点. 答案：（1）22

143

x y +=；

（2）见解析. （1）在1Rt AFO ?中，计算出1AF 的值，可得出a 的值，进而可得出b 的值，由此可

得出椭圆C 的标准方程；

（2）设点()11,M x y 、()22,N x y ，设直线MN 的方程为y kx m =+，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出1212k k k k =+，利用韦达定理和斜率公式化简得出m 与k 所满足的关系式，代入直线MN 的方程，即可得出直线MN 所过定点的坐标. 解：

（1）在1Rt AFO ?中，OA b =，11OF c ==

，1AF a =

=，

1

3

AFO π

∠=，16

OAF π

∠=

，1122a AF OF ∴===

，b ∴=

=

因此，椭圆C 的标准方程为22

143

x y +=；

（2）由题不妨设:MN y kx m =+，设点()11,M x y ，()22,N x y

联立22

143

x y y kx m ?+=???=+?，消去y 化简得()222

4384120k x kmx m +++-=， 且122843km x x k +=-+，2122

412

43m x x k -=+， 1211k k k =

-，1212k k k

k ∴=+

，1212

=，

∴代入()1,2i i y kx m i =+=，化简得

()

()(()

2

212122130k

k x x k m x x m -+-++-+=，

化简得((2

3m m -=，

3m ≠，(3m ∴=-，m ∴=+，

直线:MN y kx =+MN 过定点3?- ?. 点评：

本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点的问题，考查计算能力，属于中等题.

21．已知函数()ln()(0)x a

f x e

x a a -=-+>.

（1）证明：函数()f x '

在(0,)+∞上存在唯一的零点； （2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a 的值. 答案：（1）证明见解析；（2）

1

2

（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明()f x '

在

(0,)+∞上存在唯一的零点即可；

（2）根据导函数零点0x ，判断出()f x 的单调性，从而()min f x 可确定，利用

()min 1f x =以及1

ln y x x

=

-的单调性，可确定出0,x a 之间的关系，从而a 的值可求. 解：

（1）证明：∵()ln()(0)x a

f x e

x a a -=-+>，∴1

()x a f x e x a

-'=-

+. ∵x a e -在区间(0,)+∞上单调递增，

1

x a

+在区间(0,)+∞上单调递减， ∴函数()f x '

在(0,)+∞上单调递增.

又1(0)a a

a

a e f e a ae

--'=-=，令()(0)a g a a e a =->，()10a

g a e '=-<， 则()g a 在(0,)+∞上单调递减，()(0)1g a g <=-，故(0)0f '<. 令1m a =+，则1

()(1)021

f m f a e a ''=+=-

>+

所以函数()f x '在(0,)+∞上存在唯一的零点.

（2）解：由（1）可知存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()0001

0x a

f x e

x a

-'=-=+，即001

x a e x a

-=

+（）. 函数1

()x a

f x e x a

-'=-

+在(0,)+∞上单调递增. ∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.

∴()()0min 00()ln x a

f x f x e

x a -==-+.

由（）式得()()min 0001

()ln f x f x x a x a

==

-++. ∴

()001

ln 1x a x a

-+=+，显然01x a +=是方程的解. 又∵1ln y x x =

-是单调递减函数，方程()00

1ln 1x a x a -+=+有且仅有唯一的解01x a +=，

把01x a =-代入（）式，得121a e -=，∴12a =，即所求实数a 的值为1

2

. 点评：

本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到判断函数在给定区间上的零点个数以及根据函数的最值求解参数，难度较难.（1）判断函数的零点个数时，可结合函数的单调性以及零点的存在性定理进行判断；（2）函数的“隐零点”问题，可通过“设而不求”的思想进行分析.

22．在极坐标系Ox 中，曲线C

2

sin ρθ=，直线l 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ-=，设l 与C 交于A 、B 两点，AB 中点为M ，AB 的垂直平分线交C 于E 、F .以O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系

xOy .

（1）求C 的直角坐标方程与点M 的直角坐标； （2）求证：MA MB ME MF ?=?.

答案：（1）22

:12x C y +=，21,33M ??- ???

；（2）见解析.

（1）将曲线C 的极坐标方程变形为()

2

2

sin 2ρρθ+=，再由222

sin x y y

ρρθ?=+?

=?可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的方程与曲线C 的方程联立，求出点A 、

B 的坐标，即可得出线段AB 的中点M 的坐标；

（2）

求得MA MB ==

，写出直线EF 的参数方程，将直线EF 的参数方程与曲线C 的普通方程联立，利用韦达定理求得ME MF ?的值，进而可得出结论. 解：

（1）曲线C 的极坐标方程可化为()2

22sin ρρθ=-，即()2

2sin 2ρρθ+=，

将222

sin x y y

ρρθ?=+?=?代入曲线C 的方程得22

22x y +=， 所以，曲线C 的直角坐标方程为2

2:12

x C y +=.

将直线l 的极坐标方程化为普通方程得1x y -=，

联立22

11

2x y x y -=???+=??，得01x y =??=-?或43

13x y ?

=????=??

，则点()0,1A -、41,33B ?? ???， 因此，线段AB 的中点为21,33M ??

-

??

?； （2）由（1

）得MA MB ==

，89MA MB ∴?=，

易知AB 的垂直平分线EF

的参数方程为232

132x t y ?=-????=-+??

（t 为参数），

代入C

的普通方程得2340

23

t -=，4

83392

ME MF -

∴?==， 因此，MA MB ME MF ?=?. 点评：

本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数几何意义的应用，涉及韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 23．已知函数()|1||2|f x x x =+--. （1）求不等式()1f x ≥的解集；

（2）记()f x 的最大值为m ，且正实数a ，b 满足11

22m a b a b

+=++，求a b +的最小值.

答案：（1）[1,)+∞；（2）

49

． （1）分类去绝对值符号后解不等式，最后合并解集；

（2）由（1）可得m ，用凑配法得出可用基本不等式的形式，求得最值 ． 解：

（1）当2x ≥时，()1(2)31f x x x =+--=≥恒成立，∴2x ≥， 当12x -≤<时，()12211f x x x x =++-=-≥，解得12x ≤<， 当1x <-时，()(1)231f x x x =-++-=-≥不成立，无解， 综上，原不等式的解集为[1,)+∞． （2）由（1）3m =，∴

11

322a b a b

+=++，

∴111[(2)(2)()922a b a b a b a b a b +=

++++++122(2)922a b a b a b a b

++=++++

1(29≥+49=，当且仅当

2222a b a b a b a b ++=++，即29a b ==时等号成立，

∴+a b 的最小值是4

9

． 点评：

本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最值．解绝对值不等式常用方法就是根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解之．用基本不等式求最值常常用“1”的代换凑配出基本不等式中需要的定值，从而求得最值．