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专题训练二次函数系数a、b、c与图像的关系

二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系

知识要点

二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：

（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0．

（2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x=a

b 2-判断符号．（3）

c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0．

（4）b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac=0；没有交点，b 2-4ac ＜0．

（5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号．

（6）由对称轴公式x=a

b 2-，可确定2a+b,2a-b 的符号． 1.已知抛物线y=ax 2+bx+

c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）

A 、a ＞0

B 、b ＜0

C 、c ＜0

D 、a+b+c ＞0

2.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b 2＞4ac ；②abc ＞0；③2a+b=0；④a+b+c ＞0；⑤a-b+c ＜0，则正确的结论是（）

A 、①②③④

B 、②④⑤

C 、②③④

D 、①④⑤

3.如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x=﹣1，且过点（﹣3，0）下列说法：①abc ＜0；②2a ﹣b=0；③4a+2b+c ＜0；④若（﹣5，y 1），（2，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＞y 2．其中说法正确的序号是（）

A ． ①②

B ． ②③

C ． ②③④

D ．

①②④ 4.如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．其中正确的个数是（） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

第1题第2题第3题

5.如图，二次函数y=x 2+（2﹣m ）x+m ﹣3的图象交y 轴于负半轴，对称轴在y 轴的右侧，则m 的取值范围是______

6.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴交于点（﹣1，0），（x 1，0），且1＜x 1＜2，下列结论正确的个数为（）个。①b ＜0；②c ＜0；③a+c ＜0；④4a ﹣2b+c ＞0．

7.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图，则下列说法①c=0；②该抛物线的对称轴

是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a ；④am 2+bm+a ＞0（m ≠﹣1）其中正确的是（）个

第4题第5题第7题

8.已知，二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，对称轴为x=2

1- 下列结论中，①abc ＞0 ②a+b=0 ③2b+c ＞0 ④4a+c ＜2b 正确的是______。

第8题第9题第10题

9.如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图像的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（-1，0），下列结论：①ab ＜0 ②b 2＞4a ③0＜a+b+c ＜2 ④0＜b ＜1 ⑤当x ＞-1时，y ＞0 其中正确结论的个数是（）

A.5个

B.2个

C.3个

D.4个

10.已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图像如图所示有下列七个结论①abc ＞0②b ＜a+c ③4a+2b+c ＞0④6c ＜9b ⑤a+b ＞m （am+b ）（m 1≠)⑥3c+5a ＜2b ⑦2a+3b+1/8c ＞b-a 正确的有

A.5个

B.2个

C.3个

D.4个

11.如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标为（1，n ），与 y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点）．有下列结论：

①当x ＞3时，y ＜0；②3a+b ＞0；③﹣1≤a ≤﹣；④≤n ≤4．其中正确的是（） A ． ①② B ． ③④ C ． ①③ D ．

①③④

12.函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图，有以下结论：

①b 2﹣4c ＜0；②c ﹣b+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确结论的个数为（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

第11题第12题

二次函数综合题型分类训练

专题一二次函数之面积、周长最值问题 1 2 鼻 y =- x bx c 1、如图，抛物线 2 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ,且OA=2，0C=3 . (1)求抛物线的解析式。 ⑵若点D(2 , 2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P ,使得△ BDP 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由. 2 2、如图，已知抛物线 y= — x+bx+c 与一直线相交于 A (- 1, 0), C (2, 3)两点，与y 轴交于点N .其顶点为D . (1) 抛物线及直线 AC 的函数关系式； (2) 设点M 在对称轴上一点，求使MN+MD 的值最小时的 M 的坐标； (3) 若P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求厶APC 的面积的最大值. 3、如图，已知抛物线 y=ax +bx - 2 (0)与x 轴交于 A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点 D ,并且D (2, 3), tan / DBA= \ . (1) 求抛物线的解析式； (2) 已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C 、A ，求四边形BMCA 面积的最大值； 4、如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 的坐标是(4, 0), 并且OA=OC=4OB ，动点P 在过A , B , C 三点的抛物线上. (1) 求抛物线的解析式； (2) 是否存在点P ,使得△ ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由； (3) 过动点P 作PE 垂直于y 轴于点E ,交直线AC 于点D ，过点D 作y 轴的垂线.垂足为F ,连接EF ,当线段EF 的长度最短时，求出点 P 的坐标. 5、如图12,已知二次函数 1 2 y 二-x bx c 的图象与 J V Al 0 1 x 轴的正半轴相交于点 A 、 B ,与 y

二次函数图像与系数关系

二次函数图象与系数的关系知识点一、二次函数错误!未找到引用源。的图象与性质二次函数错误!未找到引用源。图象可由抛物线错误!未找到引用源。平移个单位，再平移个单位而得到. 平移规律如下： (1)平移时与上、下、左、右平移的先后顺，既可以先左右移再上下移，也可以先上下移再左右移； (2)抛物线的移动主要看的移动，即在平移时只要抓住的位置变化就可以了； (3)平移规律：“上加下减，左加右减”. (4)抛物线错误!未找到引用源。经过反向平移也可以得到错误!未找到引用源。； (5)抛物线错误!未找到引用源。的对称轴是直线，顶点坐标是. 二次函数错误!未找到引用源。的性质列表如下：函数错误!未找到引用源。的符号错误!未找到引用源。错误! 未找到引用源。错误!未找到引用源。错误! 未找到引用源。图象开口方向对称轴顶点坐标最值

函数的增减性二、错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的互相转化 1.通过、可以将错误!未找到引用源。化为错误!未找到引用源。. 2.利用可以将错误!未找到引用源。转化为错误!未找到引用源。.简记为“一提，二配，三计算”.即错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。. 因此，二次函数错误!未找到引用源。的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线，顶点坐标是. 三、二次函数错误!未找到引用源。的图象及性质函数错误!未找到引用源。的符号错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。图象开口方向对称轴顶点坐标增减性最值拓展：对于抛物线错误!未找到引用源。. (1)若已知在直线错误!未找到引用源。的一侧，图象上升或下降，(能/不能)确定直线错误!未找到引用源。是该抛物线的对称轴. (2)若已知在直线错误!未找到引用源。的两侧，图象一侧上升而另一侧下降，则(能/不能)确定该直线

二次函数的图像与性质知识点及练习

第二节二次函数的图像与性质 1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2，y=a(x-h)2 ，y ＝a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2．理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 ，y ＝-x 2 ，y ＝2x 2 ，y ＝-2x 2 ，y ＝2（x-1）2 的图像。一、二次函数的基本形式 1. y ＝ax 2 的性质：

2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减） 3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减） 4. y＝a (x－h)2＋k的性质： 5. y＝ax2+bx+c的性质：

二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．六、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位

二次函数的定义专项练习30题(有答案)

二次函数的定义专项练习 30 题（有答案） 1．下列函数中，是二次函数的有（） ① y=1﹣ x 2② y= ③ y=x （1﹣x ）④ y= （ 1﹣ 2x ）（ 1+2x ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5．若 y=（m 2+m ）是二次函数，则 m 的值是（） A m=1 ±2 B m=2 C m= ﹣ 1 或 D m=3 ．．． m=3 ． 6．下列函数，y=3x 2，，y=x （x ﹣2），y=（x ﹣ 1）2﹣ x 2 中，二次函数的个数为（ 7．下列结论正确的是（）二次函数中两个变量的值是非零实数二次函数中变量 x 的值是所有实数 2 形如 y=ax +bx+c 的函数叫二次函数 2 二次函数 y=ax +bx+c 中 a ，b ，c 的值均不能为零 8．下列说法中一定正确的是（） A ． y=ax 2 是二次函数 B ．二次函数自变量的取值范围是所有实数 C ．二次方程是二次函数的特例 D ．二次函数自变量的取值范围是非零实数 3．下列具有二次函数关系的是（） A ．正方形的周长 y 与边长 x B ．速度一定时，路程 s 与时间 t C ．三角形的高一定时，面积 y 与底边长 x D ．正方形的面积 y 与边长 x 4．若 y= （ 2﹣ m ) 是二次函数，则 m 等于（） 2．下列结论正确的是（） D 不能确定 A C ﹣ 2 ±2 B 2 A ． B ． C ． D ．

2 A ．函数 y=ax 2+bx+c （其中 a ，b ， c 为常数）一定是二次函数 B ．圆的面积是关于圆的半径的二次函数 C ．路程一定时，速度是关于时间的二次函数 D ．圆的周长是关于圆的半径的二次函数 2 9．函数 y=（ m ﹣ n ）x 2+mx+n 是二次函数的条件是（） A ． m 、n 是常数，且 m ≠0 B ． m 、 n 是常数，且 m ≠n C ． m 、n 是常数，且 n ≠0 D ． m 、 n 可以为任何常数 10．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（） A ．速度一定时，汽车行使的路程与时间的关系 B ．质量一定时，物体具有的动能和速度的关系 C ．质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 D ．从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系 11．下列函数中， y 是 x 二次函数的是（） A y=x ﹣1 B y=x 2+ ﹣ 10 C 2 y=x +2x D 2 y =x ﹣ 1 ．．．． 12．下面给出了 6 个函数：其中是二次函数的有（） A 1 个 B 2个 C 3 个 2 13．自由落体公式 h= gt 2（g 为常量），h 与 t 之间的关系是（） A 正比例函数 B 一次函数 C 二次函数 D 以上答案都不对 14．如果函数 y= （ k ﹣ 3） +kx+1 是二次函数，那么 k 的值一定是 ___________ ． 15．二次函数 y= （ x ﹣2） 2﹣ 3 中，二次项系数为 __________ ，一次项系数为 ___________ 为 _________ ． 16．已知函数 y=（k+2）是关于 x 的二次函数，则 k= __________ ． 17．已知二次函数的图象是开口向下的抛物线， m= ___________ ． 22 18．当 m __________ 时，关于 x 的函数 y= （m 2﹣1）x 2+（m ﹣1） x+3 是二次函数． 2 2 2 19． y=（m 2﹣ 2m ﹣3）x 2+（m ﹣1）x+m 2是关于 x 的二次函数要满足的条件是 ___________ ． ① y=3x 2﹣1；② y=﹣ x 2 ﹣3x ； ③ y= ； 2 ④ y=x （x +x+1 ）；⑤ y= ⑥ y= ，常数项

二次函数综合应用专题归纳训练一

二次函数综合应用专题归纳训练一一、相似三角形的存在性问题 1.在平面直角坐标系中，一个二次函数的图像经过A（1,0）B（3,0）两点. （1）写出这个二次函数图像的对称轴；（2）设这个二次函数图像的顶点为D,与y轴交与点C，它的对称轴与x轴交与点E，连接AC、DE和DB.当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式. 二、等腰三角形的存在性问题 2.如图，直线3 y交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x =x 3+ 轴于另一点C（3,0）. ⑴求抛物线的解析式 ⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ 存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

3.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l 是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线L上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； (3)在直线L上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

三、平行四边形的存在性问题 4.（2014年山东泰安）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．分析：（1）首先求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N 的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解；（3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标．

二次函数中各项系数abc与图像的关系

二次函数中各项系数a ，b ，c 与图像的关系一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下： 1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小． 2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关． b 与a 同号，说明02<- a b ，则对称轴在y 轴的左边； b 与a 异号，说明?b 2a >0，则对称轴在y 轴的右边；特别的，b = 0，对称轴为y 轴． 3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ） c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴； c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；特别的，c = 0，抛物线过原点． 4 a,b,c 共同决定判别式?=b 2?4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点 b 2?4a c >0 与x 轴两个交点 b 2?4a c =0 与x 轴一个交点 b 2?4a c <0 与x 轴没有交点 5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ； x= -1时，y=a - b + c ．当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0 当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。一．选择题（共8小题） 1．已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（） A ．a ＞0 B ．b ＜0 C ．c ＜0 D ．b +2a ＞0 2．如果二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（） A ．a ＞0 B ．b ＜0 C ．ac ＜0 D ．bc ＜0． 3．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：① abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0； ②b ＜0；③c ＞0；④2a +b=0；⑤a ﹣b +c ＜0，其中正确的个数是（） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个第3题图第4题图第5题图第6题图 5．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：：①a ＜0； ②b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a +b +c ＜0；其中结论正确的个数有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．如图所示，抛物线y=ax 2+bx +c 的顶点为（﹣1，3），以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②4a ﹣2b +c ＜0；