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甘肃省民勤县第一中学高二数学上学期第二次月考试题理

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）在下列各小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选项前的字母填入下表相应的空格内． 1．给出命题：p ：31>，q ：4{2,3}∈，则在下列三个命题：“p 且q ” “p 或q ” “非p ”中，真命题的个数为（） A ．0 B ．3 C ．2 D ．1

2．“m =-2”是“直线（m +2）x +3my +1=0与直线（m －2）x +（m +2）y －3=0相互垂直”的（） A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件

3．给出下列三个命题：①若1->≥b a ,则b

b a

a +≥+11；②若正整数m 和n 满足n m ≤,则

2)(n m n m ≤

-；③设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点，圆O 2以),(b a Q 为圆心且半径为1．当1)()(212

1=-+-y b x a 时,圆O 1与圆O 2相切；其中假命题的个数为（） A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

4．已知命题[]2

:"1,2,0"p x x a ?∈-≥,命题2

:",220"q x R x ax a ?∈++-=,若命题

“p q ∧” 是真命题,则实数a 的取值范围是 ( )

A.(,2]{1}-∞-

B.(,2][1,2]-∞-

C.[1,)+∞

D.[2,1]-

5．命题“对[1,2]x ?∈，20ax x a -+>”为真命题的一个充分不必要条件可以是（） A ．12

a ≥

B ．12

a >

C ．1a ≥

D ．25

a ≥

6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作圆222

x y a +=的切线，

交双曲线右支于点M ，若1245F MF ∠=?，则双曲线的渐近线方程为（）

A ．y =

B ．y =

C ．

y x =±

D ．2y x =±

7．己知抛物线方程为2

=2y px （>0p ），焦点为F ，O 是坐标原点，A 是抛物线上的一点，FA

与x 轴正方向的夹角为60°，若OAF ?，则p 的值为（）

A ．2

B ．．2或．2

8．定义：离心率e =

的双曲线为“黄金双曲线”，对于双曲线E ：22

21(0,x y a a b

-=>0)b >，c 为双曲线的半焦距，如果,,a b c 成等比数列，则双曲线E A ．可能是“黄金双曲线” B ．可能不是“黄金双曲线” C ．一定是“黄金双曲线” D ．一定不是“黄金双曲线

9．在四面体ABCD 中，AB AD ⊥，1AB AD BC CD ====，且平面ABD ⊥平面BCD ，M 为AB 中点，则线段CM 的长为（）.

C ．

D ．2

10．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所

成角的余弦值为( )

A B ．

C D ．

11．已知双曲线22

21(0)12

x y a a -=>0y -=，左焦点为F ，当点M 在

双曲线右支上，点N 在圆22

(3)4x y +-=上运动时，则||||MN MF +的最小值为（）

A ．9

B ．7

C ．6

D ．5

12．设1F ，2F 分别是椭圆22

221(0)x y C a b a b

+=>>：的左、右焦点，直线l 过1F 交椭圆C 于A ，

B 两点，交y 轴于

C 点，若满足1

132

FC AF =且1230CF F ∠=，则椭圆的离心率为( )

A B C ．13 D ．16

第II 卷（非选择题共90分）

二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）请将答案直接添在题中的横线上．

13.直线l 过抛物线2

ay x = （a>0）的焦点,并且与x 轴垂直,若l 被抛物线截得的线段长为4,则a= ．

14．设12F F 、分别是双曲线22

221x y a b

-=的左、右焦点.若双曲线上存在A ，使1290F AF ∠=?,且

123AF AF =，则双曲线的离心率为__.

15. 已知矩形ABCD ,1AB =,BC x =,将ABD △沿矩形对角线BD 所在的直线进行翻折,在翻折过程中,则__________.

①(0,2)x ?∈,都存在某个位置,使得AB CD ⊥ ②(0,2)x ?∈,都不存在某个位置,使得AB CD ⊥ ③1x ?>,都存在某个位置,使得AB CD ⊥ ④1x ?>,都不存在某个位置,使得AB CD ⊥

16．设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2, P 是椭圆上一

点,|PF 1|=λ|PF 2|1λ22??≤≤ ???1(2)2λ≤≤,12

F PF π∠=,则椭圆离心率的取值范围为．

三、解答题：（共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本题满分10分）如果正△ABC 中,D ∈AB,E ∈AC,向量1

DE BC =,求以B,C 为焦点且过点D,E 的双曲线的离心率．

18．（本小题満分12分）设p ：指数函数x

c y =在R 上是减函数；q ：021<-c 。若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，求c 的取值范围。 19．（本小题満分12分）如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、CD 的中点．

（Ⅰ）证明AD ⊥D 1F; （Ⅱ）求AE 与D 1F 所成的角; （Ⅲ）证明面AED ⊥面A 1FD 1;

20. （本小题満分12分）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2,0），右顶点为)0,3(。（1）求双曲线C 的方程；

（2）若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>?OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围。 21．（本小题満分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3，BC=1，PA=2，E 为PD 的中点．（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出N 点到AB 和AP 的距离．

22.已知椭圆系方程n C ：2222x y n a b

+=(0a b >>，n *∈N )，12,F F 是椭圆6C 的焦点，(63)A ，是椭圆6C 上一点，且2120AF F F ?=.

（1）求n C 的离心率并求出1C 的方程；

（2）P 为椭圆3C 上任意一点，过P 且与椭圆3C 相切的直线l 与椭圆6C 交于M ，N 两点，点P 关于原点的对称点为Q ，求证：QMN ?的面积为定值，并求出这个定值．

高二数学理参考答案

一、选择题 DBBAC AACDC BA 二、填空题

13．10 15．③. 16．2523??

三、解答题 17．解31

18．解：∵p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题， ∴p 真q 假或 q 假p 真

?p ：指数函数x c y =在R 上不是减函数，即增函数；?q ：120c -≥

∴12c ???≤??0

c ???>??c>1,

所以c 的取值范围是102c c ??

<≤????或c>1

19．（Ⅰ）0),1,2

,0(),0,0,1(11=?-=-=D D ， ∴AD ⊥D 1F （Ⅱ）0),2

1,1,0(1=?=D

∴AE ⊥D 1F ， AE 与D 1F 所成的角为90

（Ⅲ）由以上可知D 1F ⊥平面AED ， ∴面AED ⊥面A 1FD 1;

20.解：（Ⅰ）设双曲线方程为22

221x y a b

-= ).0,0(>>b a

由已知得.1,2,2,32

==+==b b a c a 得再由故双曲线C 的方程为.13

=-y x （Ⅱ）将得代入13

222

=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得2

222

130,

(62)36(13)36(1)0.

k k k k ?-≠???=+-=->??

即.13

22<≠

k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 22

629

,,22,1313A B A B A B A B k x x x x OA OB x x y y k k

-+=

=?>+>--由得而2(2)(2)(1)2()2A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x k x x +=+++=++++

296237

(1)22.131331

k k k k k k k -+=+++=--- 于是2222

37392,0,3131k k k k +-+>>--即解此不等式得.33

12<

.13

21．（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标为A （0，0，0）、

B （3，0，0）、

C （3，1，0）、

D （0，1，0）、 P （0，0，2）、

E （0，

，1），从而).2,0,3(),0,1,3(-==PB AC 设PB AC 与的夹角为θ，则,14

3723

||||cos ==?=PB AC PB AC θ

∴AC 与PB 所成角的余弦值为

3．

（Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为（x ，O ，z ），则)1,2

,(z x NE --=，由NE

⊥面PAC 可得， ?????=+-=-???

????=?--=?--?????=?=?.021

3,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.

0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即 ∴?????==163z x

即N 点的坐标为)1,0,6

(

，从而N 点到AB 、AP 的距离分别为1，63．

22. （1）椭圆6C 的方程为：6C ：22

226x y a b

+= 即：2222166x y a b +=

∵

．∴

，又(

)

6,3A

6c ∴=

222666a b c ∴-==即：221a b -=又

()()

63166a

2a ∴=,2

1b =∴椭圆n C 的方程为：2

x y n +=

∴222

2122n n e n -==，∴2

e = ∴椭圆1C 的方程为：；

（2）解：设()00,P x y ，则()00,Q x y -- 当直线l 斜率存在时，设l 为：y kx m =+,

则00y kx m =+，由2

232x y y kx m ?+=???=+?

联立得：()222

214260k x kmx m +++-=

由0?=得(

)

321m k =+

Q 到直线l 的距离002

kx y m

m d k k -++=

同理，由2

262x y y kx m ?+=???=+?

联立得：()222

2142120k x kmx m +++-=

122421km x x k ∴+=-+，2122

212

m x x k -=+ MN ∴=

12QMN

S MN d ?∴=

(

)22321

k k +=

=当直线l 斜率不存在时，易知QMN S

?∴=QMN ?的面积为定值

综上：QMN ?的面积为定值．