用导数法求函数的最值的练习题解析
一、选择题
1.函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的最大值是M ,最小值是m ,若
M =m ,则f ′(x )( )
A .等于0
B .大于0
C .小于0
D .以上都有可能
[答案] A
[解析] ∵M =m ,∴y =f (x )是常数函数 ∴f ′(x )=0,故应选A.
2.设f (x )=14x 4+13x 3+1
2x 2在[-1,1]上的最小值为( )
A .0
B .-2
C .-1
D.13
12
[答案] A
[解析] y ′=x 3+x 2+x =x (x 2+x +1) 令y ′=0,解得x =0.
∴f (-1)=5
12,f (0)=0,f (1)=13
12
∴f (x )在[-1,1]上最小值为0.故应选A.
3.函数y =x 3+x 2-x +1在区间[-2,1]上的最小值为( ) A.22
27
B .2
C .-1
D .-4
[答案] C
[解析] y ′=3x 2+2x -1=(3x -1)(x +1) 令y ′=0解得x =1
3
或x =-1
当x =-2时,y =-1;当x =-1时,y =2; 当x =13时,y =22
27;当x =1时,y =2.
所以函数的最小值为-1,故应选C.
4.函数f (x )=x 2-x +1在区间[-3,0]上的最值为( ) A .最大值为13,最小值为34
B .最大值为1,最小值为4
C .最大值为13,最小值为1
D .最大值为-1,最小值为-7 [答案] A
[解析] ∵y =x 2-x +1,∴y ′=2x -1,
令y ′=0,∴x =12,f (-3)=13,f ? ????12=3
4,f (0)=1.
5.函数y =x +1-x 在(0,1)上的最大值为( )
A.
2
B .1
C .0
D .不存在
[答案] A
[解析] y ′=1
2
x -
1
2
1-x =12·1-x -x x ·1-x
由y ′=0得x =12,在? ????0,12上y ′>0,在? ????
12,1上
y ′<0.∴x =1
2时y 极大=
2, 又x ∈(0,1),∴y max =
2.
6.函数f (x )=x 4-4x (|x |<1)( ) A .有最大值,无最小值 B .有最大值,也有最小值 C .无最大值,有最小值 D .既无最大值,也无最小值 [答案] D
[解析] f ′(x )=4x 3-4=4(x -1)(x 2+x +1).
令f ′(x )=0,得x =1.又x ∈(-1,1) ∴该方程无解,
故函数f (x )在(-1,1)上既无极值也无最值.故选D.
7.函数y =2x 3-3x 2-12x +5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )
A .5,-15
B .5,4
C .-4,-15
D .5,-16
[答案] A
[解析] y ′=6x 2-6x -12=6(x -2)(x +1), 令y ′=0,得x =2或x =-1(舍). ∵f (0)=5,f (2)=-15,f (3)=-4, ∴y max =5,y min =-15,故选A.
8.已知函数y =-x 2-2x +3在[a,2]上的最大值为15
4,则a 等
于( )
A .-3
2
B.12 C .-1
2
D.12或-32
[答案] C
[解析] y ′=-2x -2,令y ′=0得x =-1. 当a ≤-1时,最大值为f (-1)=4,不合题意. 当-1 2-2 a +3=15 4 , 解得a =-12或a =-3 2 (舍去). 9.若函数f (x )=x 3-12x 在区间(k -1,k +1)上不是单调函数,则实数k 的取值范围是 ( ) A .k ≤-3或-1≤k ≤1或k ≥3 B .-3 C .-2 D .不存在这样的实数 [答案] B [解析] 因为y ′=3x 2-12,由y ′>0得函数的增区间是(-∞,-2)和(2,+∞),由y ′<0,得函数的减区间是(-2,2),由于函数在(k -1,k +1)上不是单调函数,所以有k -1<-2 10.函数f (x )=x 3+ax -2在区间[1,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是( ) A .[3,+∞) B .[-3,+∞) C .(-3,+∞) D .(-∞,-3) [答案] B [解析] ∵f (x )=x 3+ax -2在[1,+∞)上是增函数,∴f ′(x )=3x 2+a ≥0在[1,+∞)上恒成立 即a ≥-3x 2在[1,+∞)上恒成立 又∵在[1,+∞)上(-3x 2)max =-3 ∴a ≥-3,故应选B. 二、填空题 11.函数y =x 32+(1-x )3 2,0≤x ≤1的最小值为______. [答案] 22 由y ′>0得x >12,由y ′<0得x <1 2 . 此函数在??????0,12上为减函数,在???? ?? 12,1上为增函数,∴最小值 在x =12时取得,y min =22 . 12.函数f (x )=5-36x +3x 2+4x 3在区间[-2,+∞)上的最大值________,最小值为________. [答案] 不存在;-2834 [解析] f ′(x )=-36+6x +12x 2, 令f ′(x )=0得x 1=-2,x 2=32;当x >3 2时,函数为增函数,当 -2≤x ≤3 2时,函数为减函数,所以无最大值,又因为f (-2)=57, f ? ?? ?? 32=-2834,所以最小值为-2834. 13.若函数f (x )= x x 2+ a (a >0)在[1,+∞)上的最大值为 33 ,则 a 的值为________. [答案] 3-1 [解析] f ′(x )= x 2+a -2x 2 (x 2+a )2 = a -x 2 (x 2+a )2 令f ′(x )=0,解得x =a 或x =-a (舍去) 当x > a 时,f ′(x )<0;当0 当x =a 时,f (x )= a 2a = 33,a = 32 <1,不合题意. ∴f (x )max =f (1)=1 1+a =3 3 ,解得a =3-1. 14.f (x )=x 3-12x +8在[-3,3]上的最大值为M ,最小值为m ,则M -m =________. [答案] 32 [解析] f ′(x )=3x 2-12 由f ′(x )>0得x >2或x <-2, 由f ′(x )<0得-2 ∴f (x )在[-3,-2]上单调递增,在[-2,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增. 又f (-3)=17,f (-2)=24,f (2)=-8, f (3)=-1, ∴最大值M =24,最小值m =-8, ∴M -m =32. 三、解答题 15.求下列函数的最值: (1)f (x )=sin2x -x ? ?? ?? ?-π2≤x ≤π2; (2)f (x )=x +1-x 2. [解析] (1)f ′(x )=2cos2x -1. 令f ′(x )=0,得cos2x =1 2 . 又x ∈????? ?? ?-π2,π2,∴2x ∈[-π,π], ∴2x =±π3,∴x =±π6 . ∴函数f (x )在??????? ? -π2,π2上的两个极值分别为 f ? ?????π6=32-π6,f ? ?? ?? ?-π6=-32+π6. 又f (x )在区间端点的取值为 f ? ?????π2=-π2,f ? ?????-π2=π 2 . 比较以上函数值可得f (x )max =π2,f (x )min =-π 2. (2)∵函数f (x )有意义, ∴必须满足1-x 2≥0,即-1≤x ≤1, ∴函数f (x )的定义域为[-1,1]. f ′(x )=1+1 2 (1-x 2)-12·(1-x 2)′=1- x 1-x 2 . 令f ′(x )=0,得x = 22 . ∴f (x )在[-1,1]上的极值为 f ? ?? ??22 =22 + 1-? ?? ??22 2= 2. 又f (x )在区间端点的函数值为f (1)=1,f (-1)=-1,比较以上函数值可得f (x )max =2,f (x )min =-1. 16.设函数f (x )=ln(2x +3)+x 2.求 f (x )在区间???? ?? -34,14上的最 大值和最小值. [解析] f (x )的定义域为? ?? ?? -32,+∞. f ′(x )=2x +2 2x +3=4x 2+6x +2 2x +3 =2(2x +1)(x +1) 2x +3 . 当-3 2 当-1 2时,f ′(x )<0; 当x >-1 2 时,f ′(x )>0, 专题03 函数与导数大题部分 【训练目标】 1、 理解函数的概念,会求函数的定义域,值域和解析式,特别是定义域的求法; 2、 掌握函数单调性,奇偶性,周期性的判断方法及相互之间的关系,会解决它们之间的综合问题; 3、 掌握指数和对数的运算性质,对数的换底公式; 4、 掌握指数函数和对数函数的图像与性质; 5、 掌握函数的零点存在定理,函数与方程的关系; 6、 熟练数形结合的数学思想在解决函数问题的运用; 7、 熟练掌握导数的计算,导数的几何意义求切线问题; 8、 理解并掌握导数与函数单调性之间的关系,会利用导数分析函数的单调性,会根据单调性确定参数的取 值范围; 9、 会利用导数求函数的极值和最值,掌握构造函数的方法解决问题。 【温馨小提示】 本章内容既是高考的重点,又是难点,再备考过程中应该大量解出各种题型,总结其解题方法,积累一些常用的小结论,会给解题带来极大的方便。 【名校试题荟萃】 1、(2019届新余四中、上高二中高三第一次联考)已知函数 .,R n m ∈ (1)若函数()x f 在()()2,2f 处的切线与直线0=-y x 平行,求实数n 的值; (2)试讨论函数()x f 在区间[)+∞,1上最大值; (3)若1=n 时,函数()x f 恰有两个零点,求证:221>+x x 【答案】(1)6n =(2)1ln m n --(3)见解析 【解析】(1)由, ,由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行, 故 2 14 n -=,解得6n =。 (2) ,由()0f x '<时,x n >;()0f x '>时,x n <,所以 ①当1n ≤时,()f x 在[)1,+∞上单调递减,故()f x 在[)1,+∞上的最大值为 ; 利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是() A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 答案D 解析函数f(x)=(x-3)e x的导数为f'(x)=[(x-3)e x]'=e x+(x-3)e x=(x-2)e x. 由函数导数与函数单调性的关系,得当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f'(x)=(x-2)e x>0,解得x>2. 2.(2018广东东莞考前冲刺)若x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,则() A.f(x)有极大值-1 B.f(x)有极小值-1 C.f(x)有极大值0 D.f(x)有极小值0 答案A 解析∵x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,∴f'(1)=0, ∴a+=0,∴a=-1. ∴f'(x)=-1+=0?x=1. 当x>1时,f'(x)<0,当0 ∵f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2, ∴不等式f(x)>2e x等价于g(x)>g(0). ∵函数g(x)在定义域内单调递增. ∴x>0,∴不等式的解集为(0,+∞),故选C. 4.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是() 答案D 解析设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3, 且x1<0 函数与导数大题训练 1已知函数.2 3)32ln()(2x x x f -+= (I )求f (x )在[0,1]上的极值; (II )若对任意0]3)(ln[|ln |],3 1,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立,求实数a 的 取值范围; (III )若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b 的 取值范围. 2. 设.2)(ln )()(2)(--==-- =e p qe e g x x f x f x q px x g ,且,其中(e 为自然对数的底数) (Ⅰ)求p 与q 的关系; (Ⅱ)若)(x g 在其定义域内为单调函数,求p 的取值范围; (Ⅲ)证明:①)1(,1)(->-≤x x x f ②).2,()1(412ln 33ln 22ln 2222≥∈+--<+++n N n n n n n n Λ 3.设函数a x x a x f +++-=1)(2,]1,0(∈x ,+ ∈R a . (1)若)(x f 在]1,0(上是增函数,求a 的取值范围; (2)求)(x f 在]1,0(上的最大值. 答案 1解:(I )2 3)13)(1(33323)(+-+-=-+= 'x x x x x x f , 令13 10)(-==='x x x f 或得(舍去) )(,0)(,3 10x f x f x >'<≤∴时当单调递增; 当)(,0)(,13 1x f x f x <'≤<时单调递减. ……………………………………3分 ]1,0[)(613ln )31(在为函数x f f -=∴上的极大值 ……………………………4分 (II )由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得 x x a x x a 323ln ln 323ln ln ++<+->或, …………① ……………………5分 设3 32ln 323ln ln )(2 x x x x x h +=+-=, x x x x x g 323ln 323ln ln )(+=++=, 依题意知]31,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立, 0)32(2) 32(33)32(3332)(2>+=+?-+?+='x x x x x x x x g Θ, 03262)62(31323)(22>++=+?+= 'x x x x x x x h ,………………………………6分 ]3 1,61[)()(都在与x h x g ∴上单增,要使不等式①成立, 当且仅当.5 1ln 31ln ),61()31(<><>a a g a h a 或即或 ………………………8分 (III )由.0223)32ln(2)(2=-+-+?+-=b x x x b x x f 令x x x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(2 2+-=+-+='-+-+=??则, 当]3 7,0[)(,0)(,]37,0[在于是时x x x ??>'∈上递增; 3.2利用导数研究函数的性质 第2课时导数与函数的极值、最值 一、基础知识 1.函数的单调性(复习) 在某个区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减. 2.函数的极值 (1)一般地,求函数y=f(x)的极值的方法 解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时: ①如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值; ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x); ②求方程f′(x)=0的根; ③考查f′(x)在方程f′(x)=0的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值. 3.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. 知识拓展 (1)对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件. (2)函数的极大值不一定比极小值大. (3)对可导函数f (x ),f ′(x 0)=0是x 0点为极值点的必要不充分要条件. 二、基本题型 1.根据函数图象判断极值 【例1-1】 设函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),且函数y =(1-x )f ′(x )的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( ) A .函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) B .函数f (x )有极大值f (-2)和极小值f (1) C .函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (-2) D .函数f (x )有极大值f (-2)和极小值f (2) 答案 D 解析 由题图可知,当x <-2时,f ′(x )>0;当-2 利用导数研究函数的单调性 一、选择题 1.函数f (x )=x ln x ,则( ) A.在(0,+∞)上递增 B.在(0,+∞)上递减 C.在? ? ???0,1e 上递增 D.在? ? ???0,1e 上递减 解析 f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=ln x +1,令f ′(x )>0得x >1 e , 令f ′(x )<0得0 解析由y=f′(x)的图象知,y=f(x)在[-1,1]上为增函数,且在区间(-1,0)上增长速度越来越快,而在区间(0,1)上增长速度越来越慢. 答案 B 5.设函数f(x)=1 2 x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值 范围是( ) A.(1,2] B.(4,+∞] C.[-∞,2) D.(0,3] 解析∵f(x)=1 2 x2-9ln x,∴f′(x)=x- 9 x (x>0), 当x-9 x ≤0时,有0 利用导数求函数最值 高二苏庭 导数是对函数的图像与性质的总结与拓展,导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具,在掌握求函数的极值和最值的基础上学习用导数解决生产生活中的有关最大最小最有效等类似的应用问题广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。 导数是初等数学与高等数学的重要衔接点,是高考的热点,高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现,高考对这部分内容的考查将仍会以导数的应用题为主,如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等,考题不难,侧重知识之意。 导数应用主要有以下三个方面: ①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题, ②利用导数的几何意义,研究曲线的切线斜率。函数y=f(x)在x=x0处的导数,表示曲线在点P(x0 , y0)处的切线斜率。 由导数来求最值问题的方法可知,解这类实际问题需先建立函数关系,再求极值点,确定最值点及最值.在设变量时可采用直接法也可采用间接法. 求函数极值时,导数值为0的点是该点为极值点的必要条件,但不是充分条件。 运用导数确定函数单调区间的一般步骤为: (1)求出函数y=f(x)的导函数; (2)在函数定义域内解不等式得函数y=f(x)的单调增区间;解不等式得函数y=f(x)的单调减区间。 例题剖析 例1、求函数的值域. 分析: 求函数的值域以前学过一些方法,也可利用求导的方法,根据函数的单调性求解. 解答: 函数的定义域由求得,即x≥-2. 当x>-2时,y′>0,即函数,在(-2,+∞)上是增函数,又f(-2)=-1,∴所求函数的值域为[-1,+∞). 点评: (1)从本题的解答过程可以看到,当单调区间与函数的值域相同时,才可使用此法,否则会产生错误. (2)求值域时,当x=-2,函数不可导,但函数 在[-2,+∞)上是连续的,函数图象是连续变化的,因此在x=-2时,取得最小值. 例2、把长度为16cm的线段分成两段,各围成一个正方形,它们的面积之和的最小值为多少? 分析:建立面积和与一正方形的周长的函数关系,再求最小值. 解答:设一段长为xcm,则另一段长(16-x)cm. ∴面积和 ∴S′=-2,令S′=0有x=8. 列表: 利用导数研究函数的极值、最值 【例1-1】设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( ) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2) 角度2已知函数求极值 【例1-2】已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R). (1)当a=1 2 时,求f(x)的极值; (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 【训练1】 (1)(角度1)已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f′(x)在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(角度2) 设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c∈R,f′(x)为f(x)的导函数. ①若a=b=c,f(4)=8,求a的值; ②若a≠b,b=c,且f(x)和f′(x)的零点均在集合{-3,1,3}中,求f(x)的极小值. 考点二已知函数的极值求参数函数与导数大题部分-高考数学解题方法归纳总结专题训练
利用导数研究函数的单调性、极值、最值
函数与导数大题训练试题+答案
高中数学利用导数研究函数的性质( 极值与最值)
利用导数研究函数的单调性
利用导数求函数值域
利用导数研究函数的极值、最值