1.1.2集合的基本关系及运算
【学习目标】
1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别一些给定集合的子集.在具体情境中,了解空集和全集的含义.
2.理解两个集合的交集和并集的含义,会求两个简单集合的交集与并集.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.
【要点梳理】
要点一、集合之间的关系
1.集合与集合之间的“包含”关系
集合A 是集合B 的部分元素构成的集合,我们说集合B 包含集合A ;
子集:如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A 是集合B 的子集(subset).记作:A B(B A)??或,当集合A 不包含于集合B 时,记作A B ,用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系:A B(B A)??或
要点诠释:
(1)“A 是B 的子集”的含义是:A 的任何一个元素都是B 的元素,即由任意的x A ∈,能推出x B ∈.
(2)当A 不是B 的子集时,我们记作“A ?B (或B ?A )”,读作:“A 不包含于B ”(或“B 不包含A ”).
真子集:若集合A B ?,存在元素x ∈B 且x A ?,则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作:A B(或B A)
规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
2.集合与集合之间的“相等”关系
A B B A ??且,则A 与B 中的元素是一样的,因此A=B
要点诠释:
任何一个集合是它本身的子集,记作A A ?.
要点二、集合的运算
1.并集
一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,称为集合A 与B 的并集,记作:A ∪B 读作:“A 并B”,即:A ∪B={x|x ∈A ,或x ∈B}
Venn 图表示:
要点诠释:
(1)“x ∈A ,或x ∈B”包含三种情况:“,x A x B ∈?但”;“,x B x A ∈?但”;
“,x A x B ∈∈且”.
(2)两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).
2.交集
一般地,由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合,叫做集合A 与B 的交集;记作:A∩B ,读作:“A 交B”,即A∩B={x|x ∈A ,且x ∈B};交集的Venn 图表示:
要点诠释:
(1)并不是任何两个集合都有公共元素,当集合A 与B 没有公共元素时,不能说A 与B 没有交集,而是A B =?.
(2)概念中的“所有”两字的含义是,不仅“A∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”,同时“A 与B 的公共元素都属于A∩B”.
(3)两个集合求交集,结果还是一个集合,是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集
合.
3.补集
全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.
补集:对于全集U 的一个子集A ,由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(plementary set),简称为集合A 的补集,记作:U U A A={x|x U x A}∈?;即且;补集的Venn 图表示:
要点诠释:
(1)理解补集概念时,应注意补集U A 是对给定的集合A 和()U A U ?相对而言的一个概念,一个确定的集合A ,对于不同的集合U ,补集不同.
(2)全集是相对于研究的问题而言的,如我们只在整数范围内研究问题,则Z 为全集;而当问题扩展到实数集时,则R 为全集,这时Z 就不是全集.
(3)U A 表示U 为全集时A 的补集,如果全集换成其他集合(如R )时,则记号中“U ”也必须换成相应的集合(即R A ).
4.集合基本运算的一些结论:
A B A A B B A A=A A =A B=B A ??????????,,,,
A A
B B A B A A=A A =A A B=B A ?????????,,,,
U U (A)A=U (A)A=???,
若A∩B=A ,则A B ?,反之也成立
若A ∪B=B ,则A B ?,反之也成立
若x ∈(A∩B),则x ∈A 且x ∈B
若x ∈(A ∪B),则x ∈A ,或x ∈B
求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的
关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法.
【典型例题】
类型一:集合间的关系
例1. 请判断①0{0} ;②{}R R ∈;③{}?∈?;④?
{}?;⑤{}0?=;⑥{}0∈?;⑦{}0?∈;⑧?
{}0,正确的有哪些?
【答案】②③④⑧
【解析】①错误,因为0是集合{}0中的元素,应是{}00∈;②③中都是元素与集合的关系,正确;④⑧正确,因为?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,而④中的{}?为非空集合;⑤⑥⑦错误,?是没有任何元素的集合.
【总结升华】集合的符号语言十分简洁,因而被广泛用于现代数学之中,但往往容易混淆,其障碍在于这些符号与具体意义之间没有直接的联系,突破方法是熟练地掌握这些符号的具体含义.
举一反三:
【变式1】用适当的符号填空:
(1) {x||x|≤1} {x|x 2≤1};
(2){y|y=2x 2} {y|y=3x 2-1};
(3){x||x|>1} {x|x>1};
(4){(x ,y)|-2≤x≤2} {(x ,y)|-1 【答案】 (1)= (2) (3) (4) 【总结升华】区分元素与集合间的关系 ,集合与集合间的关系. 例2. 写出集合{a ,b ,c}的所有不同的子集. 【解析】不含任何元素子集为?,只含1个元素的子集为{a},{b},{c},含有2个元素的子集有{a ,b},{a ,c},{b ,c},含有3个元素的子集为{a ,b ,c},即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d ,则以上8个子集仍是新集合的子集,再将第4个元素d 放入这8个子集中,会得到新的8个子集,即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集,由此可推测,含有n 个元素的集合共有2n 个不同的子集. 【总结升华】要写出一个集合的所有子集,我们可以按子集的元素个数的多少来分别写 出.当元素个数相同时,应依次将每个元素考虑完后,再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时,先从a 起,a 与每个元素搭配有{a ,b},{a ,c},然后不看a ,再看b 可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集:?和它本身. 举一反三: 【变式1】已知{},a b A ?{},,,,a b c d e ,则这样的集合A 有 个. 【答案】7个 【变式2】同时满足:①{}1,2,3,4,5M ?;②a M ∈,则6a M -∈的非空集合M 有( ) A. 16个 B. 15个 C. 7个 D. 6个 【答案】C 【解析】3a =时,63a -=;1a =时,65a -=;2a =时,64a -=;4a =时,62a -=;5a =时,61a -=;∴非空集合M 可能是:{}{}{}{}{}{}3,1,5,2,4,1,3,5,2,3,4,1,2,4,5,{}1,2,3,4,5共7个.故选C. 【变式3】已知集合A={1,3,a}, B={a 2},并且B 是A 的真子集,求实数a 的取值. 【答案】 a=-1, a=3±或a=0 【解析】∵ , ∴a 2∈A , 则有: (1)a 2=1?a=±1,当a=1时与元素的互异性不符,∴a=-1; (2)a 2=3?a=3± (3)a 2=a ?a=0, a=1,舍去a=1,则a=0 综上:a=-1, a=3±或a=0. 注意:根据集合元素的互异性,需分类讨论. 例3. 设M={x|x=a 2+1,a ∈N +},N={x|x=b 2-4b+5,b ∈N +},则M 与N 满足( ) A. M=N B. M N C. N M D. M∩N=? 【答案】B 【解析】当a ∈N +时,元素x=a 2+1,表示正整数的平方加1对应的整数,而当b ∈N +时,元素x=b 2-4b+5=(b-2)2+1,其中b-2可以是0,所以集合N 中元素是自然数的平方加1对应 的整数,即M 中元素都在N 中,但N 中至少有一个元素x=1不在M 中,即M N ,故选 B. 例4.已知},,,0{},,,{y x N y x xy x M =-=若M =N ,则 +++2()(x y x )()1001002y x y +++ = . A .-200 B .200 C .-100 D .0 【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手,本题应侧重考虑集合中元素的互异性. 【答案】D 【解析】由M=N ,知M ,N 所含元素相同.由0∈{0,|x|,y}可知0∈{x,xy,x-y} 若x=0,则xy=0,即x 与xy 是相同元素,破坏了M 中元素互异性,所以x≠0. 若x·y=0,则x=0或y=0,其中x=0以上讨论不成立,所以y=0,即N 中元素0,y 是相同元素,破坏了N 中元素的互异性,故xy ≠0 0x-y=,则x=y ,M ,N 可写为 M={x ,x 2,0},N={0,|x|,x} 由M=N 可知必有x 2=|x|,即|x|2=|x| ∴|x|=0或|x|=1 若|x|=0即x=0,以上讨论知不成立 若|x|=1即x=±1 当x=1时,M 中元素|x|与x 相同,破坏了M 中元素互异性,故 x≠1 当x=-1时,M={-1,1,0},N={0,1,-1}符合题意,综上可知,x=y=-1 ∴+++2()(x y x )()1001002y x y +++ =-2+2-2+2+…+2=0 【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征,而找不到题目的突破口.因此,集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点. 举一反三: 【变式1】设a ,b ∈R ,集合b {1,a+b,a}={0, ,b}a ,则b-a=( ) 【答案】2 【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征: b 1{0,,b},0{1,a+b,a}a 0a b=0a ∈∈≠∴+,又, ∴当b=1时,a=-1,b {0,b}={0,-1,1}a ∴, 当b =1a 时,∴b=a 且a+b=0,∴a=b=0(舍) ∴综上:a=-1,b=1,∴b-a=2. 类型二:集合的运算 例5. (1)已知集合M={y|y=x 2-4x+3,x ∈R },N={y|y=-x 2+2x+8,x ∈R },则M∩N 等于( ). A. ? B. R C. {-1,9} D. {y|-1≤y≤9} (2)设集合M={3,a},N={x|x 2-2x<0,x ∈Z},M∩N={1},则M ∪N 为( ). A. {1,2,a} B. {1,2,3,a} C. {1,2,3} D. {1,3} 【思路点拨】(1)先把集合M 、N 进行化简,在利用数轴进行相应的集合运算.(2)先把集合N 化简,然后再利用集合中元素的互异性解题. 【答案】(1)D (2)D 【解析】(1)集合M 、N 均表示构成相关函数的因变量取值范围,故可知:M={y|y≥-1},N={y|y≤9},所以M∩N={y|-1≤y≤9},选D. (2)由N={x|x 2-2x<0,x ∈Z}可得:N={x|0 举一反三: 【变式1】设A 、B 分别是一元二次方程2x 2+px+q=0与6x 2+(2-p)x+5+q=0的解集,且A∩B={2 1},求A ∪B. 【答案】{21, 3 1,-4} 【解析】∵A∩B={2 1}, ∴2 1是方程2x 2+px+q=0的解,则有: 0q p 21)21(22=++(1),同理有:6(21)2+(2-p)·2 1+5+q=0(2) 联立方程(1)(2)得到:???-==.4q , 7p ∴方程(1)为2x 2+7x-4=0, ∴方程的解为:x 1= 21, x 2=-4, ∴ }4,2 1{A -=, 由方程(2) 6x 2-5x+1=0,解得:x 3=21, x 4=3 1, ∴B={21, 31},则A ∪B={21, 31,-4}. 【变式2】设集合A={2,a 2-2a ,6},B={2,2a 2,3a-6},若A∩B={2,3},求A ∪B. 【答案】 {2,3,6,18} 【解析】由A∩B={2,3},知元素2,3是A ,B 两个集合中所有的公共元素,所以3∈{2,a 2-2a ,6},则必有a 2-2a=3,解方程a 2-2a-3=0得a=3或a=-1 当a=3时,A={2,3,6},B={2,18,3} ∴A ∪B={2,3,6}∪{2,18,3}={2,3,6,18} 当a=-1时,A={2,3,6},B={2,2,-9} 这既不满足条件A∩B={2,3},也不满足B 中元素具有互异性,故a=-1不合题意,应舍去. 综上A ∪B={2,3,6,18}. 例6. 设全集U={x ∈N +|x≤8},若A∩(C u B)={1,8},(C u A)∩B={2,6},(C u A)∩(C u B)={4,7},求集合A ,B. 【答案】A={1,3,5,8},B={2,3,5,6} 【解析】全集U={1,2,3,4,5,6,7,8} 由A∩(C u B)={1,8}知,在A 中且不在B 中的元素有1,8;由(C u A)∩B={2,6},知不在A 中且在B 中的元素有2,6;由(C u A)∩(C u B)={4,7},知不在A 中且不在B 中的元素有4,7,则元素3,5必在A∩B 中. 由集合的图示可得 A={1,3,5,8},B={2,3,5,6}. 类型三:集合运算综合应用 例7.已知全集A={x|-2≤x≤4}, B={x|x>a}. (1)若A∩B≠?,求实数 a 的取值范围; (2)若A∩B≠A ,求实数a 的取值范围; (3)若A∩B≠?且A∩B≠A ,求实数a 的取值范围. 【思路点拨】(1)画数轴;(2)注意是否包含端点. 【答案】(1)a<4 (2)a≥-2 (3)-2≤a<4 【解析】 (1)∵A={x|-2≤x≤4}, B={x|x>a},又A∩B≠?,如图,a<4; (2)画数轴同理可得:a≥-2; (3)画数轴同理可得:如图,-2≤a<4. 【总结升华】此问题从表面上看是集合的运算,但其本质是一个定区间,和一个动区间的问题.思路是,使动区间沿定区间滑动,数形结合解决问题. 举一反三: 【变式1】已知集合P={x ︱x 2≤1},M={a }.若P ∪M=P,则a 的取值范围是( ) A .(-∞, -1] B .[1, +∞) C .[-1,1] D .(-∞,-1] ∪[1,+∞) 【答案】C 【解析】P ={x ︱11x -≤≤}又 P M P =, ∴M P ?,∴ 11a -≤≤ 故选C . 例8. 设集合{}{}222|40,|2(1)10,A x x x B x x a x a a R =+==+++-=∈. (1)若A B B =,求a 的值; (2)若A B B =,求a 的值. 【思路点拨】明确A B 、A B 的含义,根据的需要,将其转化为等价的关系式B A ?和A B ?,是解决本题的关键.同时,在包含关系式B A ?中,不要漏掉B =?的情况. 【答案】(1)1a =或1a ≤-;(2)1a =. 【解析】 首先化简集合A ,得{}4,0A =-. (1)由A B B =,则有B A ?,可知集合B 为?,或为{}0、{}4-,或为{}0,4-. ①若B =?时,224(1)4(1)0a a ?=+--<,解得1a <-. ②若0B ∈,代入得21011a a a -=?==-或. 当1a =时,{} {}2|400,4,B x x x A =+==-=符合题意; 当1a =-时,{} {}2|00,B x x A ===?也符合题意. ③若4B -∈,代入得2 870a a -+=,解得7a =或1a =. 当1a =时,已讨论,符合题意; 当7a =时,{}{}2|1648012,4B x x x =++==--,不符合题意. 由①②③,得1a =或1a ≤-. (2),A B B A B =∴?.又{}4,0A =-,而B 至多只有两个根,因此应有A B =,由(1)知1a =. 【总结升华】两个等价转化:,A B B A B A B B B A =??=??非常重要,注意应用.另外,在解决有条件A B ?的集合问题时,不要忽视A ≠?的情况. 举一反三: 【变式1】已知集合{}{}222,|120A B x x ax a =-=++-=,若A B B =,求实数a 的取值范围. 【答案】4,a ≥或4a <- 【解析】A B B =,B A ∴?. ①当B =?时,此时方程22120x ax a ++-=无解,由0?<,解得4,a >或4a <-. ②当B ≠?时,此时方程22 120x ax a ++-=有且仅有一个实数解-2, 0∴?=,且22(2)2120a a --+-=,解得4a =. 综上,实数a 的取值范围是4,a ≥或4a <-.