线性代数期末考试及答案
西南大学 数学与统计学院
《 线性代数 》课程试题 〖B 〗卷参考答案和评分标准
阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，得分用阿拉伯数字写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在题号前写0；大题得分登录在对应的分数框内；统一命题的课程应集体阅卷，流水作业；阅卷后要进行复核，发现漏评、漏记或总分统计错误应及时更正；对评定分数或统分记录进行修改时，修改人必须签名。
一、填空题（共5题，4分/题，共20分） 1、已知三阶方阵A 的行列式3
1
=
A ，则1*(3)4A A --= -3 。 2、设向量组)1,1,1(1=T
α，)5,1,2(2=T
α，)2,0,3(3=T
α，)2,5,4(4=T
α，
则向量组4321,,,αααα线性 相 关。
3、矩阵123450217400321A ??
?= ?
???
，则矩阵A 的秩为 3 。 4、已知A =????
?
??300012025，则1A -= 12025
01003?
? ?-
?
- ? ? ???
。 特别提醒：学生必须遵守课程考核纪律，违规者将受到严肃处理。
5、1
2312301A a a ?? ?=--- ?
???
，已知方程组0AX =有非零解，则a = 0 。 二、单项选择题（共5题，4分/题，共20分）
1、设C B A 、、均为n 阶方阵，下列式子中正确的是（ Ｃ ）。 （Ａ）：2222)(B AB A B A ++=+ （Ｂ）：若CB AB =，则C A = （Ｃ）：BA AB = （Ｄ）：T T T B A AB =)(
2、若向量组????? ??=0011α，????? ??=0102α，???
?
?
??=c b a 3α线性无关，则（ Ｄ ）。
（Ａ）：c b a == （Ｂ）：0==c b （Ｃ）：0=c （Ｄ）：0≠c 3、设1α，2α是非齐次线性方程组AX b =的解，12,k k 为常数，若1122k k αα+也是AX b =
的一个解，则12k k +=（ Ａ ）。 （Ａ）：1
（Ｂ）：0
（Ｃ）：1-
（Ｄ）：2
4、两个n 阶初等矩阵的乘积为（ Ｂ ）。
（Ａ）：初等矩阵. （Ｂ）：可逆矩阵. （Ｃ）：单位矩阵. （Ｄ）：不可逆矩阵.
5、已知向量组4321,,,αααα中432,,ααα线性相关，那么下列结论一定成立的是（ Ｃ ）。 （Ａ）：4321,,,αααα线性无关 （Ｂ）：1α可由432,,ααα线性表示
（Ｃ）：4321,,,αααα线性相关
（Ｄ）：43,αα线性无关
三、判断题（共5题，3分/题，共15分） 1、若E A =2，则A 可逆。（ √ ）
2、设A 为四阶矩阵，且2A =，则*8A =。（ √ ）
3、若方阵A 的行列式为0，则0是A 的特征值。（ √ ）
4、若矩阵A 的所有1+r 阶子式全为0, 则r A R =)(。（ × ）
5、若线性方程组0Ax =有非零解, 则(0)Ax b b =≠有无穷多个解。（ × ）
四、计算n 阶行列式： =n
b
a a a a
b a a
D a
a b a a
a
a
b （5分） 解：1(1)(1) =(1)2,
(1)i n b a a a b n a a a a a
b a a b n a
b a a
c c D a
a b a b n a a b a i n
a
a
a
b
b n a a a b
+-+-+
+-=+- 111
[(1)][(1)]11
1
a a a
b a a
c b n
a
b n
a a
b a a a
b
÷+-+-? 110001
00[(1)]11
002,
1
i b a c ac b n a b a i n
b a
--+-?-=-
1[(1)]()n b n a b a -=+--
五、已知矩阵2AB A B =-，求矩阵B ，其中110120224A --??
?=- ?
?-??
（10分） 解：2AB A B =-
(2)A E B A ∴+=
1102100222A E -??
?+= ?
?-??
12110110100120(2,)100120110110222224222224A E A r r ----????
? ?+=-?--- ? ?
? ?----????
21311001200102102022064r r r r -??- ?-- ?- ?--??321001202010210002484r r -??
?+-- ? ?
---??
23100120(1)0102101()0012422r r -???- ?- ??-
?-??
120210242B -??
?∴=- ?
?-??
六、问λ取何值时，线性方程组 1
231
2
3
2
1
2
3
1
x x x x x x x x x λλλλλ++=??
++
=
??+
+=? (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多组解,并写出其通解。（15分） 解：线性方程组的系数行列式为
3211
1132(1)(2)11D λλλλλλλ
==-+=-+
（1）当0D ≠时，即1λ≠且2λ≠-时，方程组有唯一解； （2）当2λ=-时，方程组的增广矩阵为
13
211111241124121212120336112421110003r r r B ?---??????
? ? ?=------ ? ? ? ? ? ?--??????
2()()3R A R B =≠=
∴当2λ=-时方程组无解； （3）当1λ=时，方程组的增广矩阵为
111111111111000011110000r B ????
? ?= ? ?
? ?????
因为()()23R A R B ==<
所以当1λ=时方程组有无穷多解，与原方程组同解方程组为：
123
2
2
3
31
x x x x x x x =--
+??=??=
?
通解为1212111100(,)010X k k k k R --??????
? ? ?=++∈ ? ? ? ? ? ???????
七、求矩阵????
??=2112A 的特征值及最小特征值对应的特征向量。
（15分） 解：特征方程为 210(1)(3)1
2A E λλλλλ
-=-=
=---
所以矩阵A 的特征值为11λ=，23λ=；
矩阵A 的最小特征值为11λ=，解方程组()0A E X -=，由
11111100r A E ????
-= ? ?
???? 得基础解系11ξ-??
= ???
所以对应于矩阵A 的最小特征值11λ=的特征向量为k ξ（k R ∈且0k ≠）。