数乘向量教学案

数乘向量教学案

山东省广饶县第一中学 徐法增

知识与技能目标：通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义.了解向量的线性运算性质及其几何意义,能

准确进行向量的线性运算. 过程与方法目标：经历数乘向量运算概念、法则的建构过程，解题的思维过程，体验数形结合思想的指导作用.培养

学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．

情感、态度与价值观目标：通过运用几何直观、类比、从特殊到一般等思维方法，逐步提高理性思维能力. 初步体

会向量的工具作用.

重点：数乘向量的定义、运算律．

难点：正确地运用法则、运算律，进行向量的线性运算．

一、复习检测 探究新知

1.复习检测 填空：

2.探究新知

问题1 已知非零向量AB ，试作出()()()

AB AB AB -+-+- ，你能说明它与AB

的关系吗？

问题2 已知AB ，把线段AB 三等分，分点为,P Q ,试用AB 表示,,AP AQ BP ,并说明它们与AB

的关系．

二、抽象概括 形成定义

问题3 你能通过上述的具体实例总结出更具一般性的数乘向量的定义吗？

()()()()

1;2,==

;

3;4.AB BC ABCD AB AD AB AD MB AC BM AB AB AB +=+-++=++= 已知则，

问题4 你能说明数乘向量的几何意义吗？

问题5 数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算.类比数的加乘运算律，你能说出数乘向

量的运算律吗？

练习：（1）1(2)=2

a -?

；

（2）如果2,3

a b =-

则a 与b 的关系是 ；

（3）点C 在线段AB 上，且3

,2

AC CB =则AC = AB ,BC = AB ．

三、动手操作 尝试运用

例1 计算下列各式：

（1）3()2()a b a b +--

；

（2）()()

1122

a b a b ++-

；

（3）()()()()a b a b λμλμ+---+

．

例2 设x

是未知向量，解方程

5()2()0x a x b ++-=

．

变式训练：把满足32,43x y a x y b -=-+= 的向量,x y 用a b

，

表示出来．

例３ 如图所示，已知3,3,OA OA A B AB '''==

说明向量OB 与OB ' 的关系．

变式训练：(1)把条件改为：

,,OA kOA A B k AB '''==

重新回答这个问题; (2)求证：

O

A A '

B

B '

.

OAB O A B '''??∽

四、针对练习 及时巩固

1.已知,m n 为非零实数，,a b

为非零向量，则下列各项中正确的个数为 （ ）

①()

;m a b ma mb -=-

②();m n a ma na -=-

③,;ma mb a b == 若则 ④=,.ma nb m n =

若则

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

2.点C 在线段AB 上，且2,5

AC AB = 若,AC BC λ=

,则λ等于 （ ）

A. 23

B. 32

C. 23-

D. 32

-

3.计算：=??????--+)24()82(2131b a b a

．

4.若向量方程0)2(32 =--a x x ，则向量=x

．

同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？ 知识方面：

数学思想方法方面：

必做：课本P94 习题A 2，3；

选做：课本P94 习题B 4．

,3,3,3..

ABC OA OA OB OB OC OC ABC A B C ''''''?===??

5.已知：作向量求证：∽A B '

'

C '

O

A

B

C

向量数乘运算及其几何意义(教学设计)

2.2.3向量数乘运算及其几何意义（教学设计） 一、知识与能力： 1、理解掌握向量数乘运算及其几何意义，数乘运算的运算律，并能熟练运用定义、运算律进行有关计算。 2、理解掌握向量共线定理及其证明过程，会根据向量共线定理判断两个向量是否共线。 3、通过向量数乘运算的学习和探究，培养学生的观察、分析、归纳、抽象思维能力，以及运算能力和逻辑推理能力。 二、过程与方法： 1． 经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程； 2．体会数形结合的数学思想方法. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． 教学重点:实数与向量的积的定义、运算律，向量共线的充要条件． 教学难点:向量共线的充要条件． 一、复习回顾，新课导入 探究：已知非零向量a ，作出a+a+a 和(-a)+(-a)+(-a)，并说明 它们的几何意义. 类似数的乘法，把a+a+a 记作3a ，显然3a 的方向与a 的方向 相同，3a 的长度是a 的3倍，即|3a|=3|a|. 同样，(-a )+(-a )+(-a )=3(-a )，显然3(-a )的方向与a 的方向相反，3(-a )的长度是a 的3倍，这样3(-a )=-3a . 由学生作图，归纳几何意义，教师补充完善，引出本节课所学的内容。 二、师生互动，新课讲解 1．定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，称为向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （1）|λa |=|λ||a |； （2）当λ>0时，λa 的方向与向量a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反. 2． 特别地，当λ=0或a=0时，λa=0；当λ=-1时，(-1)?a=-a ，就是a 的相反向量. 3． 实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 （1）λ(μa )=( λμ)a ；（结合律） （2）(λ+μ)a=λa+μa ；（第一分配律） （3）λ(a+b )= λa+λb .（第二分配律） 结合律证明： 如果λ=0，μ=0，a =0至少有一个成立，则①式成立 如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a | |(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a |

7.5平面向量的数乘运算-教学设计公开课

【课题】7.1.5平面向量的数乘运算 江夏职业技术学校吴婷 【教学目标】 （1）理解向量的数乘运算的定义 （2）掌握共线向量的基本定理 【教学重点】数乘运算的定义 【教学难点】对向量线性表示的理解和运用 【课时安排】2课时 【教学过程】 一、创设情境兴趣导入 观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且 OC ＝3a ． 图7?15 二、新授知识 1.数乘运算的定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa 大小：||||||a a λ=λ（7．3） a a a a O A B C

方向：若||λ≠a 0，则 当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同， 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反． 一般地，有0a =0,λ0=0． 2.共线向量的基本定理：对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ?=a b a b ∥（7．4） 3.向量的数乘运算法则： ()()111a a a a ，　；=-=-()()()()2a a a ； λμλμμλ== ()()3a a a λμλμ+=+ ；()a b a b （4）．λλλ+=+ 4.向量的线性表示：一般地，λa ＋μb 叫做a ,b 的一个线性组合（其中λ,μ均为系数）．如 果l ＝λa ＋μb ，则称l 可以用a ，b 线性表示． 5.向量的线性运算：向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算． 三、注意：向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的． 四、巩固知识典型例题 例6在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a ,b 表示向量AO 、OD ． 分析因为12AO AC =,12 OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD .

人教版数学高一学案数乘向量

2.1.4 数乘向量 学习目标 1.了解数乘向量的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握数乘向量的运算律，会运用数乘向量运算律进行向量运算. 知识点一 数乘向量的定义 思考1 实数与向量相乘的结果是实数还是向量？ 思考2 向量3a ，－3a 与a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？ 梳理 (1)定义：实数λ和向量a 的乘积是一个向量，记作λa ，且λa 的长|λa |＝|λ||a |. λa (a ≠0)的方向????? 当λ＞0时，与a 同方向； 当λ＜0时，与a 反方向. 当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0. (2)λa 中的实数λ，叫做向量a 的________.数乘向量的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或a 的反方向放大或缩小. 知识点二 向量数乘的运算律 思考 类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？ 梳理 向量数乘运算律 (1)λ(μa )＝(λμ)a .(2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa .(3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .

知识点三 向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的____________. 类型一 数乘向量概念的理解 例1 已知a ，b 是两个非零向量，判断下列各命题的对错，并说明理由： (1)2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍； (2)－2a 的方向与5a 的方向相反，且－2a 的模是5a 的模的2 5； (3)－2a 与2a 是一对相反向量； (4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量； (5)若a ，b 不共线，则λa 与b 不共线. 反思与感悟 对数乘运算的理解，关键是对实数的作用的认识，当λ>0时，λa 与a 同向，模

《空间向量的数乘运算》教学设计

教学设计 3．1.2空间向量的数乘运算 整体设计 教材分析 本节课是在学习了空间向量的相关概念和空间向量加减法法则的基础上学习的，是空间向量加减法法则的进一步应用和补充．本节课在介绍实数与向量乘积的意义的基础上引入空间向量共线定理，类比平面向量基本定理得到空间向量共面定理，为后面将要学习的空间向量基本定理打下基础，具有承上启下的重要作用． 因为空间向量的数乘运算以及空间向量共线定理与平面向量数乘运算以及共线定理完全一样，空间向量共面定理其实就是平面向量基本定理的逆定理，所以在教学中仍应采用类比、比较的教学方法，通过问题驱动、启发式、自主探究式的教学方法引导学生自主地完成本节课的学习． 课时分配 1课时 教学目标 知识与技能 1．掌握空间向量的数乘运算及其运算律． 2．理解共线向量定理和向量共面定理． 过程与方法 1．运用类比方法，经历向量的数乘运算和向量共线定理由平面向空间推广的过程； 2．引导学生借助空间几何体理解空间向量数乘运算及其运算律的意义． 情感、态度与价值观 1．培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力； 2．培养学生的空间想象能力，能借助图形理解空间向量数乘运算及其运算律的意义； 3．培养学生空间向量的应用意识． 重点难点 教学重点： 1．空间向量的数乘运算及其运算律、几何意义；

2．空间向量的加减运算在空间几何体中的应用； 3．空间向量共线定理和共面定理． 教学难点： 1．空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用； 2．空间向量的数乘运算及其几何的应用和理解； 3．空间向量共线定理和共面定理的理解． 教学过程 引入新课 提出问题：请同学们回忆“平面向量的数乘运算”的意义是什么，有什么性质，满足什么运算律． 活动设计：首先同学之间相互交流，教师适时介入，并一一板书出来． 活动结果：(板书) 1．实数λ和向量a的乘积λa是一个向量． 2.||λa＝||λ||a. 3．λa的方向 ①当λ>0时，λa的方向和a方向相同； ②当λ<0时，λa的方向和a方向相反． 4．数乘运算的运算律： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②λ(a＋b)＝λa＋λb. 设计意图：这既复习了“平面向量的数乘运算”的意义、性质和运算律，又为类比得出“空间向量的数乘运算”的意义、性质和运算律作好了准备，而且在下面得出“空间向量的数乘运算”的意义、性质和运算律时，只需将“平面向量的数乘运算”中的“平面”换成“空间”即可．何乐而不为呢！ 探究新知 提出问题1：上节课我们已经学习了空间向量的加减法运算，请同学们类比“平面向量的数乘运算”的意义、性质和运算律，猜想(给出)“空间向量的数乘运算”的意义、性质和运算律．即实数λ和向量a的乘积(λa)的意义是什么？有什么性质？满足什么运算律？ 活动设计：教师从2a，－2a的意义中发现并类比平面中数乘的意义对学生进行引导，学生自己画出2a，－2a并总结λa的意义和运算律，然后自由发言，教师进行补充．师生发

2.3.1数乘向量学案

§3从速度的倍数到数乘向量 3.1数乘向量 1．数乘向量及运算律 (1)向量数乘的定义 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0. (2)向量数乘的运算律 设a，b为向量，λ，μ为实数，则数乘向量满足： ①结合律：λ(μa)＝(λμ)a； ②分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb. 思考1：向量3a，－3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？ [提示]3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同． －3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反． 2．共线向量定理 (1)判定定理 a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a

共线． (2)性质定理 若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b ＝λa . 思考2：若b ＝2a ，b 与a 共线吗？ [提示]根据共线向量及向量数乘的意义可知，b 与a 共线． 如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向 量；反之，如果b 与a (a ≠0)共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . 1．在四边形ABCD 中，若AB →＝－12 CD →，则此四边形是() A ．平行四边形 B ．菱形 C ．梯形 D ．矩形2．下列各式计算正确的有()①(－7)6a ＝－42a ；②7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ； ③a －2b ＋a ＋2b ＝2a ；④4(2a ＋b )＝8a ＋4b . A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．已知向量a 与b 不共线，向量c ＝3a －b ，d ＝6a －2b ，则向量c 与d 的关系是________．(填“共线”或“不共线”)4.13 12(2a ＋8b )－(4a －2b )＝________.向量数乘的定义 【例1】已知a 、b 为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由． (1)2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍； (2)－2a 的方向与3a 的方向相反，且－2a 的模是3a 模的23 倍；(3)－2a 与2a 是一对相反向量； (4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量．

高中数学——平面向量数量积的教学设计

《2.4.1平面向量数量积的 物理背景及其含义》 教学设计 2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计 一、教材分析 1.地位与作用 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版必修4第二章《平面向量》的第4节内容。本节内容教材共分为两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。向量数量积运算是继向量的线性运算后的一种新的重要的运算，它有明显的物理意义、几何意义。向量数量积是代数、几何与三角的结合点，应用广泛，很好地体现了数形结合的数学思想。

2.学情分析 学生在学习本节内容之前，已经学习了平面向量的线性运算，理解并掌握了向量数乘运算及其几何意义。学生会产生这样的疑问——平面向量之间可以进行向量与向量的乘法运算吗？而学生此时已学习了功等物理知识，能够解决简单的物理问题，并熟知了实数的运算体系，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。所以本节课我从学生所熟悉的“功”引入“数量积”，通过学生的自主探究，小组合作探究，教师点评等环节完成本节知识的学习。 二、教学目标 1.知识与技能 ⑴理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义； ⑵掌握平面向量数量积的性质与运算律； ⑶会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； ⑷以数学知识的教学为载体，为学生创造学习数学英语知识的环境，进而了解数学专业术语的英语表示，能用英语进行数学方面的交流，培养学生的跨文化意识与双思维，提高英语理解能力。 2.过程与方法 本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生明白数量积的物理背景，学习“投影”后，通过设置例1让学生练习计算数量积与投影，并引导学生观察完成的表格发现数量积与投影的关系，从而得出数量积的几何意义，随后通过学生的自主学习与小组活动，探究数量积的性质与运算律。设置分层例题与分层练习，夯实基础，提升能力。采用双语教学，不仅达到学习数学知识的目的，同时还提高了学生的英语理解能力，激发了学生学习的兴趣。 3.情感态度与价值观 通过平面向量数量积的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，体会数形结合思想、类比思想，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。课堂中不断培养学生自主学习、主动探索，勤于观察、思考，善于总结的态度，并提高参与意识和合作精神。 三、教学重难点 重点：平面向量数量积的概念，用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角,判断向量的

《3.1.2 空间向量的数乘运算(1)》导学案(新部编)3

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校

《3.1.2 空间向量的数乘运算（1）》导学案3 学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简； 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 学习过程 一、课前准备 （预习教材P 86~ P 87，找出疑惑之处） 复习1：化简： ⑴ 5（32a b -r r ）+4（23b a -r r ）； ⑵ ()() 63a b c a b c -+--+-r r r r r r . 复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？ 在平面上有两个向量,a b r r ， 若b r 是非零向量，则a r 与b r 平行的充要条件是 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：空间向量的共线 问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？ 新知：空间向量的共线： 1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量. 2. 空间向量共线：

定理：对空间任意两个向量,a b r r （0b ≠r r ）， //a b r r 的充要条件是存在唯一实数λ，使得 推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是 试试：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+u u u r r r u u u r r r () 3CD a b =-u u u r r r ，求证: A,B,C 三点共线. 反思：充分理解两个向量,a b r r 共线向量的充要条件中的0b ≠r r ，注意零向量与任何向量共线. ※ 典型例题 例1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，且x +y ＝1，试判断 A,B,P 三点是否共线？ 变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12OP OA tOB =+u u u r u u u r u u u r ，那么t ＝ 例2 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C 上，且CG:GA ' =2:1,设CD u u u r =a r ，',CB b CC c ==u u u u r u u u r r r ，试用向量,,a b c r r r 表示向量',,,CA CA CM CG u u u r u u u r u u u u r u u u r .

向量数乘运算及其几何意义 说课稿 教案 教学设计

数乘运算及其几何意义 整体设计 教学分析 向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算．教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系．实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向．特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理．共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错．尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系． 三维目标 1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律． 2．理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行．3．通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神．通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用． 重点难点 教学重点：1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条件及其运用． 教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广．在代数运算中，a＋a＋a＝3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算．思路2.一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a，那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课． 推进新课 新知探究 提出问题 ①已知非零向量a，试一试作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).

高中数学导学案

§3.1.2 空间向量的数乘运算（一） 班级：二年级 组名：数学 设计人： 审核人： 领导审批： 学习目标 1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简； 2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． P 86~ P 87，找出疑惑之处） 复习1：化简：⑴ 5（32a b - ）+4（23b a - ）； ⑵ ()()63a b c a b c -+--+- . 2：在平面上，什么叫做两个向量平行？ 在平面上有两个向量,a b ，若b 是非零向量，则a 与b 平行的充要条件 学习探究（由学生完成） 问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关 系？ 新知：空间向量的共线： 1. 如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量. 2. 空间向量共线： 定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠ ）， //a b 的充要条件是存在唯一 实数λ，使得 推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是 反思：充分理解两个向量,a b 共线向量的充要条件中的0b ≠ ，注意零向 量与任何向量共线. 知识应用：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+ ()3CD a b =- ，求证: A,B,C 三点共线. 精讲例题 例1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若O P xO A yO B =+ ，且x +y ＝1， 试判断A,B,P 三点是否共线？

变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12 O P O A tO B =+ ， 那么t ＝ 例2 已知平行六面体''''ABC D A B C D -，点M 是棱AA ' 的中点，点G 在 对角线A ' C 上，且CG:GA ' =2:1,设CD =a ，' ,CB b CC c == ，试用向量,,a b c 表示向量' ,,,C A C A C M C G . 变式1：已知长方体''''ABC D A B C D -，M 是对角线AC ' 中点，化简下列 表达式：⑴ ' AA CB - ;⑵ '''''AB B C C D ++ ⑶ ' 111222 AD AB A A +- 变式2：如图，已知,,A B C 不共线，从平面ABC 外任一点O ，作出点,,,P Q R S ,使得： ⑴22OP OA AB AC =++ ⑵32O Q O A AB AC =-- ⑶32OR OA AB AC =+- ⑷ 23OS OA AB AC =+- . 小结（由学生完成）空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向. ※ 动手试试（由学生完成） 练1. 下列说法正确的是（ ） A. 向量a 与非零向量b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线； B. 任意两个共线向量不一定是共线向量； C. 任意两个共线向量相等； D. 若向量a 与b 共线，则a b λ= . 2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++ ，0a ≠ ，若//a b ，求实数.x 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律； 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 知识拓展 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.

苏教版数学高一必修4学案 《向量的数乘》

2.2.3 向量的数乘 一、教学目标 1．理解向量数乘的含义及向量数乘的运算律； 2．培养学生在学习向量数乘的过程中能够相互合作,在不断探求新知识中,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。 二、教学重点 向量数乘的定义及几何意义 三、教学难点 向量数乘的几何意义的理解 四、教学方法 问题探究学习 五、教学过程 一、情境引入 1、知识回顾 （1）向量加法的三角形法则 （2）向量加法的平行四边形法则 （3）向量的减法(三角形法则） 2、实际情景 一条细绳横贯东西，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，若蚂蚁从O点向东方向一秒 钟的位移对应的向量为a。 a 二、学生活动 问题1在图中作出同一方向上3秒钟的位移对应的向量，你能式子表示吗？ 问题2学生讨论3a是何种运算？3a是数量还是向量？（初步理解数与向量积的定义） 的大小和方向又如何确问题3蚂蚁向西3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？那a 定？（学生继续探求向量数乘的含义，并能结合图形来继续对数乘进行探究） 三、建构数学

1．表述给出实数与向量的积的定义： 一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度与方向规定如下： （1）|λa |||λ=|a |； （2）当0λ>时，λa 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，λa 的方向与a 的方向相 反；当a ＝0时，λa ＝0；当0λ= 时，λa ＝0． 实数λ与向量a 相乘，叫做向量的数乘. 向量的加法、减法、数乘向量的综合运算叫向量的线性运算. 2．对向量数乘理解的深入. 问题4 当0λ= 时，λa ＝0；若a ＝0，0λ≠会有λa ＝0吗？ 问题5 实数有哪些运算律？能不能结合实数的运算律去探求向量数乘的运算律. （当给出几个实数的运算律之后，可以类比到向量进行以下运算律的验证）. （1）(λμa ）＝()λμa ； （2）()λμ+a= λa+μa ； （3）λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ． 四、数学运用 1. 例题． 例题1、计算： （1）(3)4a -?；（2）3()2()a b a b a +---；（3）(23)(32)a b c a b c +---+． 解：（1）原式=12a -； （2）原式=5b ； （3）原式=52a b c -+-． 例2 如图，已知3AD AB =，3DE BC =．试判断AC 与AE 是否共线。 解：∵333()3AE AD DE AB BC AB BC AC =+=+=+= ∴AC 与AE 共线． （向量共线的充要条件）向量b 与非零向量a 共线的充要 A B C D E

北师大版高中数学必修4第三章数乘向量教学设计

数乘向量 教学目标 一、知识与技能 1、掌握向量数乘运算概念及运算定律，理解向量共线定理。 2、会运用定义、运算律进行有关计算。 二、过程与方法 深入对定理的理解，会运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题。 三、情感态度与价值观 由情景引入，由抽象到具体，由难到易，激发学生的数学兴趣，培养学生独立自主，自我发现，自我概括的能力，使得学生在以后的数学学习上能够自由，自主去探索去发现。 教学重点与难点 1.重点：向量数乘运算概念及运算定律，向量共线定理的运用。 2.难点：向量共线、三点共线、直线平行，以及数乘计算的问题。教学准备 多媒体课件、电脑画板 教学过程 一、情景引入 活动一：体会实际，感受新知 在疾风骤雨，雷电交加的晚上，我们都是先看到闪电，后来听到雷声？（展示所找到的关于雷电的影像进行播放）这是因为在同一方

向上光速远远大于声速。经测量,光速大小约为声速的5107.8?倍。 活动二：自我实验，学会新知 教师让学生准备小皮筋，自己进行拽拉，固定一边，朝同一方向，两边同时，朝不同方向，看看会发生什么有趣的现象（可以选号码为1-5的同学拍小视频进行讨论）。 组织学生在电脑面板上展示自己所做实验的答案，进行互相讨论以上两个活动有什么异同点。（学生自由在电脑面板进行发言，老师进行总结。） 由以上两个案例分析说明实际中存在这样的向量，他们是共线，而且大小之间存在倍数关系。因此，有必要定义实数与向量积的运算。 二、讲述新知，感悟理解 例如，对于向量3a ，我们都知道3个a 相加（可进行画图讲解）， 即3a =a +a +a .由向量的加法的意义可知，3a 仍是一个向量，它的长度为a 的三倍，方向与a 相同； 向量-3a 是3a 的相反向量，他的长度与3a 相同，也是a 的3 倍，它的方向与a 的方向相反。 三、新知概括，深入探究 1、a 请大家画出非零向量a ，并且做出3a 与0a ,-2a ,. a 。 (按照学生的编号，让5-10号码的同学进行回答。） 一般的，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ。它的长度为a a λλ=。 它的方向：当0>λ时，a λ与a 的方向相同； 21

向量数乘运算及几何意义学案1

必修4 2．2．3 向量数乘运算及其几何意义 【学习目标】 1.能举例说明实数与向量积的定义及几何意义，能准确确定数乘后的向量的模及方向； 2.掌握向量数乘的运算律，并会用它进行计算； 3.理解两个向量共线的等价条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行. 【学习重点】实数与向量的积的定义、运算律. 【难点提示】向量的数乘的定义、运算律的理解与运用. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材8792P -结合进行自主学习（对教材中的文字、 图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备； 2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达. 【学习过程】 一、学习准备 前面我们学习了向量有关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白或横线处，同时思考下列问题： 1.向量与实数（标量）的区别 ，向量与实数能进行加减运算吗？ 2.向量加法的运算法则 、 ，运算律 、 ； 3.请同学们作出a a +；若2a =，则____a a +=；那么向量a a +能写成2a 吗？ 4.向量的减法 ，它是借用 来定义的？ 5.向量a 的相反向量是 ，其相反向量与原向量的本质关系是 ，向量b 的相反向量-b 实质就是向量b 乘以-1吗？3b 有怎样的意义吗？这就是本节课我们要探究的！ 二、学习探究 1.向量的数乘的定义： 由上面“学习准备”中，我们知道向量b 的相反向量-b 实质就是向量b 乘以-1，3b 就是三个b 向量的和，0a a -=实质就是0a a a -=，a a +就是2a ，即2a a a +=，还有

北师版数学高一-必修4学案 数乘向量

§3 从速度的倍数到数乘向量 3．1 数乘向量 [学习目标] 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题． [知识链接] 1．已知非零向量a ，作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a )，你能说明它们与向量a 之间的关系吗？ 答 OC →＝OA →＋AB →＋BC → ＝a ＋a ＋a ＝3a ；a ＋a ＋a 的长度是a 的长度的3倍，其方向与a 的方向相同； O ′C ′→＝O ′A ′→＋A ′B ′→＋B ′C ′→ ＝(－a )＋(－a )＋(－a )＝－3a ，(－a )＋(－a )＋(－a )的长度是a 长度的3倍，其方向与a 的方向相反． 2．已知非零向量a ，你能说明实数λ与向量a 的乘积λa 的几何意义吗？ 答 λa 仍然是一个向量． 当λ>0时，λa 与a 的方向相同； 当λ<0时，λa 与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0，方向任意． |λa |＝|λ|·|a |. [预习导引] 1．数乘向量：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |. (2)λa (a ≠0)的方向? ???? 当λ>0时，与a 方向相同，当λ<0时，与a 方向相反. 特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0 ＝0. 2．数乘向量的运算律

(1)λ(μa )＝(λμ)a . (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa . (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 特别地，有(－λ)a ＝－(λa )＝λ(－a )； λ(a －b )＝λa －λb . 3．共线向量定理 (1)判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线． (2)性质定理：若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b ＝λa . 4．向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b . 要点一 数乘向量的运算 例1 化简下列各式： (1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )； (2)1 6 [2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]． 解 (1)原式＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b ； (2)原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝1 6 (－12a ＋24b )＝－2a ＋4b . 规律方法 向量的初等运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形方法． 跟踪演练1 若向量a ＝3i －4j ，b ＝5i ＋4j ，则????13a －b －3????a ＋2 3b ＋(2b －a )＝________. 答案 －16i ＋32 3 j 解析 ????13a －b －3????a ＋2 3b ＋(2b －a ) ＝13a －b －3a －2b ＋2b －a ＝－11 3a －b ＝－113(3i －4j )－(5i ＋4j )＝－11i ＋44 3j －5i －4j ＝－16i ＋323 j . 要点二 用已知向量表示未知向量

数乘向量优秀教案

2.1.4数乘向量 教学目标： 1.掌握实数与向量积地定义，理解实数与向量积地几何意义； 2.掌握实数与向量地积地运算律 教学重点：掌握实数与向量积地定义，理解实数与向量积地几何意义 教学过程 一、复习引入： 1.向量地概念 2.向量地表示方法 3.向量地加法，减法及运算律 二、讲解新课： 1．实例引入：已知非零向量a ，作出a +a +a 和( a )+( a )+( a ) OC =BC AB OA =a +a +a =3a PN =MN QM PQ =( a )+( a )+( a )= 3a （1）3a 与a 方向相同且|3a |=3|a |；（2） 3a 与a 方向相反且| 3a |=3|a | 2．实数与向量地积地定义：实数λ与向量a 地积是一个向量，记作：λa ，λa 地长定义为|λa |=|λ||a |，λa 地方向定义为：λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反.λ=0或a =0时规定：λa =0 3．数乘地几何意义就是把向量a 沿向量a 地方向或反方向放大或缩小. 4．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ① 第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa ② 第二分配律：λ(a +b )=λa +λb ③ 例1 （1）;2 1)4(a （2）);(3)(2b a b a （3）);)(())((b a b a

变式训练：计算 8（2-+）-6（-2+）-2（2+）= 例2设是未知向量，解方程)(3)(5 例3凸四边形ABCD 地边AD 、BC 地中点分别为E 、F ，求证EF ＝ 2 1(AB +). 变式训练：已知任意两非零向量、，试作 , 2 ，3 .作图判断A 、B 、C 三点之间地位置关系？ 小结：实数与向量积地定义，理解实数与向量积地几何意义；实数与向量地积地运算律 课堂练习：第89页练习A 、B

【创新设计】数学苏教版必修4学案：2.2.3 向量的数乘

2．2.3 向量的数乘 [学习目标] 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题． [知识链接] 1．已知非零向量a ，作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a )，你能说明它们与向量a 之间的关系吗？ 答 OC →＝OA →＋AB →＋BC → ＝a ＋a ＋a ＝3a ；a ＋a ＋a 的长度是a 的长度的3倍，其方向与a 的方向相同； O ′C ′→＝O ′A ′→＋A ′B ′→＋B ′C ′→ ＝(－a )＋(－a )＋(－a )＝－3a ，(－a )＋(－a )＋(－a )的长度是a 长度的3倍，其方向与a 的方向相反． 2．已知非零向量a ，你能说明实数λ与向量a 的乘积λa 的几何意义吗？ 答 λa 仍然是一个向量． 当λ>0时，λa 与a 的方向相同； 当λ<0时，λa 与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0，方向任意． |λa |＝|λ|·|a |. [预习导引] 1．向量的数乘 一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |. (2)当λ>0时，λa 与a 方向相同；当λ<0时，λa 与a 方向相反；当a ＝0时，λa ＝0；当λ＝0时，λa ＝0.实数λ与向量a 相乘，叫做向量的数乘． 2．向量数乘的运算律 (1)λ(μa )＝(λμ)a .

(2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa . (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 3．向量共线定理 如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa . 要点一 向量的数乘运算 例1 化简下列各式： (1)2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )； (2)1 6 [2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]． 解 (1)原式＝6a －4b ＋3a ＋15b －20b ＋5a ＝14a －9b . (2)原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝1 6(－12a ＋24b ) ＝－2a ＋4b . 规律方法 向量的初等运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行加、减、数乘等运算，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形方法． 跟踪演练1 若向量a ＝3i －4j ，b ＝5i ＋4j ，则????13a －b －3????a ＋2 3b ＋(2b －a )＝________. ★答案★ －16i ＋32 3 j 解析 ????13a －b －3????a ＋2 3b ＋(2b －a ) ＝13a －b －3a －2b ＋2b －a ＝－11 3a －b ＝－11 3(3i －4j )－(5i ＋4j ) ＝－11i ＋44 3j －5i －4j ＝－16i ＋32 3 j . 要点二 用已知向量表示未知向量 例2 如图所示，已知?ABCD 的边BC ，CD 上的中点分别为K ，L ，且AK →＝e 1，AL → ＝e 2，试用e 1，e 2表示BC →，CD → .

平面向量线性运算教案

适用
高中数学
适用年级
高一
学科
适用区域 苏教版区域
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 向量的加法；向量的减法；向量的数乘.
教学目标
通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。
教学重点 向量的加减法的运算。
教学难点 向量的加减法的几何意义。
【知识导图】
教学过程
一、导入
高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题，一般难度不 大，属于简单题。
二、知识讲解
（考1）点向1量向加量法加的法三法角则形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一 个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0 位移的合成可以看作 向量加法三角形法则的物理模型。
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（2）平行四边形法则 以同一点 O 为起点的两个已知向量 A.B 为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的 对角线 OC 就是 a 与 b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平 行四边形法则。
由考于点方2向反向转量两的次减仍法回法到则原来的方向，因此 a 和 a 互为相反向量。 于是 (a) a 。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a (a) (a) a 0 。 所以，如果 a, b 是互为相反的向量，那么 a= b,b= a, a b 0 。
考点 3 实数与向量的积的运算律 设 ， 为实数，那么 (1) ( a) ()a ； (2) ( )a a a ； (3) (a b) a b . 特别地，我们有 ()a (a) (a) ， (a b) a b 。 向量共线的等价条件是：如果 a(a 0) 与 b 共线，那么有且只有一个实数 ，使 b a。
三 、例题精析 类型一 平面向量的坐标表示
例题 1
已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30°角．求点 B 和点 D 的坐标和 AB 与 AD 的坐标．
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6.2.3 向量的数乘运算-高一数学新教材配套学案(人教A版2019必修第二册)

6.2.3 向量的数乘运算 【学习目标】 一．向量的数乘运算 1．向量的数乘运算的概念 一般地，规定实数λ与向量a 的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度与方向规定如下： (1)|λa |＝ ． (2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向 ；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向 ； 当λ＝0时，λa ＝ ． 注意：λ是实数，a 是向量，它们的积λa 仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a ，λ－a 均没有意义． 2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么： (1)λ(μa )＝ ． (2)(λ＋μ)a ＝ ． (3)λ(a ＋b )＝ ． 3．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的 ．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝ ． 二．共线向量定理 1.向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 ． 注意：(1)定理中，向量a 为非零向量 (2)要证明向量a ，b 共线，只需证明存在实数λ，使得b ＝λa 即可． (3)由定理知，若向量AB →＝λAC →，则AB →，AC →共线．又AB →，AC →有公共点A ，从而A ，B ，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法． 2.三点共线的性质定理 若平面内三点A ，B ，C 共线，O 为不同于A ，B ，C 的任意一点，设OC →＝λOA →＋μOB →，则存在 实数λ，μ使得λ＋μ＝1.

【小试牛刀】 思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)实数λ与向量a 的积还是向量．( ) (2) 若m a ＝m b ，则a ＝b .( ) (3) (m －n )a ＝m a －n a.( ) (4)若向量a 和b 不共线，且λa ＝μb ，则必有λ＝μ＝0.( ) (5)若向量AB →，CD →共线，则A ，B ，C ，D 四点共线．( ) 【经典例题】 题型一 向量的的线性运算 点拨：向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． 例1 计算 (1) (－3)×4a ； (2) 3(a ＋b )－2(a －b )－a ； (3) (2a ＋3b －c )－(3a －2b ＋c ). 【跟踪训练】1 （1）化简25(a －b )－13(2a ＋4b )＋2 15(2a ＋13b )＝________． （2）若2? ? ???x －13a －12(b ＋c －3x )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，求未知向量x . 题型二 用已知向量表示其他向量 (1)直接法 (2)方程法 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．