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第8章平面几何

8.1 考点精要

8.1.1 直角三角形

(1) 边角关系：090=+B A ，222c b a =+。

(2) 斜边上的中线与高：

M 是外接圆圆心，也即是AB 的中点，则AB

BM AM CM 21=

D 是AB 上高，则ABC BDC ADC ???~~，

BD AD CD ?=2

，AB AD AC ?=2

，

BD BC

?=2

。

(3) 内切圆，周长，面积若记内切圆半径为r ，则周长c r 22+=，面积?

r ab 2121周长。

(4) 特殊直角三角形

角度：（1）030，060和090。此时，短直角边是斜边长的一半；（2）045，045和090。此时，两直角边等长。边长：（1）a 3，a 4和a 5；（2）a 5，a 12和a 13。

(5) 三角函数概念

a =

αsin ，c

b =

αcos ，b

a =

αtan ；

090cos 0sin 0

==，2

160cos 30sin 0

=，2

245cos 45sin 00=

=，

330cos 60sin 0

=，10cos 90sin 00==；

00tan 0

=，3

330

tan 0

，145tan 0=，360tan 0=。

8.1.2 等腰三角形

(1) 等腰三角形底边上中线、高、垂直平分线和顶角平分线四线合一。

(2) 等边三角形边长为a 时，高a

3=，面积2

。

8.1.3 任意三角形

(1) 边、角关系：两边之和大于第三边；内角之和为0180；大边对应大角，小边对应小角。

(2) 中位线平行于底边，且长度是底边长的一半。

(3) 三条中线交于一点，此点为三角形重心，且重心分每条中线为1:2。若记边

a 上的中线长为a m ，则()2

224

c b

m a -+=

。

(4) 角平分线：三条角平分线交于内切圆圆心，且角平分线分底边之比=二侧边比。

(5) 面积C

ab ah S sin 2121=

=，这里h 是边a 上的高。

(6) 正弦定理：

c B

b A

a 2sin sin sin ==

，这里R 是外接圆半径；

余弦定理：222cos 2c b a C ab -+=，222cos 2a c b A bc -+=，

cos 2b

c a B ac -+=。

8.1.4 相似

(1) 若有2角对应相等，则2个三角形相似。

(2) 相似形（体）对应线段成比例（称为相似比）。

(3) 相似平面图形的面积比等于相似比的平方。

(4) 相似体的体积比等于相似比的立方。

8.1.5平行四边形

(1) 判别：一组对边平行且相等；两组对边分别平行；两组对角分别相等。

(2)性质：对边平行且相等；对角相等；一边上的两个角互补；对角线相互平分。

8.1.6 特殊平行四边形——矩形

矩形四个角都是直角，对角线相等且相互平分。若矩形长、宽、高分别为a 、

、c ，则体积abc V =，周长()c b a ++=4，表面积()ca bc ab ++=2，体对角线

为222c b a ++。

8.1.7 梯形

设梯形上底为a ，下底为b ，高为h ，则中位线为2

b a +，面积为

b a ?+2

。

等腰梯形的腰长2

? ??-+=

a b h 。

常用解题技巧为：作对角线或者高，平移（腰、整个梯形等）。

8.1.8 圆

(1) 直径、半径、周长、面积

若圆的半径是r ，则直径r d 2=，周长r d ππ2==，面积4

d r ππ==。

(2) 圆内角

如图，直线PQ 与圆O 切于点P ，则AOP ∠是劣弧AP 所对应的圆心角，ABP ∠是劣弧AP 所对应的圆周角，APQ ∠是劣弧AP 所对应的弦切角。

AOP

ABP APQ ∠=

∠=∠21。

(3) 圆内线段

CE BE AE ?=?；

与圆切于E ，则

PC PB PA PE ?=?=2

。

(4) 扇形

一条圆弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形。若圆半径为r ，扇形所对的圆心角为θ，则

圆弧长θr l =；

连接弧两端的线段（也称弦）长2

sin 2θ

r =；

扇形面积rl

r 2

θ。

(5) 圆内接三角形、四边形

如图，对圆内接三角形ABC ，r

BC A 2sin =∠

圆内接四边形对角互补。

8.2 高分技巧

8.2.1 几何问题（计算题）代数化。 8.2.2 平移法。

8.2.3 梯形作高法。 8.2.4 旋转法。

8.2.5 圆的问题，圆心第一。

8.3 例题精解

8.3.1 问题求解

例8.1 直角三角形二直角边为12和16，求斜边上高与中线长。解斜边20161222=+=，斜边上高5

4820

1612=?=

，斜边上中线10

20==

。

例8.2 直角三角形周长为30，内切圆半径为2，求三边长。解斜边13

230=?-=

c ，???==???

?==+=-=+5

121691317

13302

22b a b a b a 。

例8.3 直角三角形斜边长为13，斜边高分斜边为4：9，求三边长。解 ??

?????

?==??=?=133********

422b a b a 。

例8.4 如图，0

60=∠B ，0

90=∠C ，

平分B ∠，2=AB ，求AD 。

解 130sin 0==AB BC ，

330cos 0==BC AC ，3

330tan 0==BC CD ，3

32=

-=CD AC AD 。

例8.5 如图，030=∠A ，045=∠BDC ，

=BD ，求AC 。

解 22545cos 0==BD BC ， 62530cot 0==BC AC 。

例8.6 已知3

2tan =

α，且0900<<α，求αsin 。

解如图，令2=BC ，3=AC ，则α=∠A ， 13

1323

22sin 2

α。

例8.7 如图，已知AC AB =，P 在BC 上，且AB PM ⊥，AC PN ⊥，证明：

+PN PM 腰上高。

解连AP ，则APC ABP ABC S S S ???+=，因此 ()AB PN PM AC PN AB PM S ABC ?+=?+?=?；另一方面，?=?AB S ABC 腰上高，得证。

例8.8 如图，BC AD //，BD 平分B ∠，2=AB ，

=∠B ，090=∠C ，求四边形ABCD

解 0

120=∠D ，ADC

?是等腰三角形，从而

230cos 20=??=AB BD ，330cos 0=

?=BD BC ， 2

3530sin 2

1150sin 2

???+

??=+=??BD BC AD AB S S S BCD ABD ABCD 。

例8.9 如图，BC AD //，=∠=∠CAD BAC 1=AD ，求ABCD

S 。

解 0120=∠+∠=∠CAD BAC BAD ，

060=∠ABC ，从而ABC ?是边长为22==AD AC 的等边三角形，因此 2

3360sin 212

12430

???+

ABCD S 。

例8.10 如图，BC AD //，===CD AB AD 060=∠C ，求BC 。

解过A 作CD AE //，交BC 于E ，则

ABE ?是等边三角形，因此10=+=CE BE BC

例8.11 四边形ABCD 中，内角比为4:7:3:10，2==CD AD ，求ABCD S 。解 ABCD 内角分别为0150，045，0105，060。ACD ?是等边三角形。

224

222

=?+

+=??A D

C A B C A B C

D S S S

例8.12 四边形ABCD 中，内角比为2:3:2:52

==BC AB ，求ABCD S 。

解 ABCD 内角分别为0150，060，090，060ABC

?是等边三角形。

35243322212

?=A B C D S 。

例8.13 求顶角分别为045，036和030的等腰三角形的腰与底之比。解当顶角为045时，设腰长为x 并作腰上高，则腰上高x

，

底1222222

-=???

? ??--???? ??=x x x x ；

类似可得到顶角为030时腰与底之比为32:1-；

当顶角为036时，作ABD ∠的平分线，交AC 于D ，则BDC ?

与ABC ?相似。设x BC =，y AC =

则x BC BD AD ===，x y DC -=，因此

x y y x -=，022=--x xy y ，

解得2

x y +=，

1+=

y 。

例8.14 如图，060=∠A ，045=∠B ，3=BC ，求AC 。

解

BC B

AC sin sin =

，

23=

?=AC 。

例8.15 三角形ABC 中，060=∠A ，8=AB ，6=AC ，求BC 。解 52sin 2222=∠??-+=A AC AB AC AB BC ，132=BC 。

例8.16 锐角三角形ABC 中，060=∠A ，8=AB ，52=BC ，求AC 。解设x AC =，则由余弦定理，x x 885222-+=，2=x 或6=x 。由于ABC 是锐角三角形，因此6=AC 。

例8.17 已知三角形三边长分别是3，4和5，求三条中线长。解由中线公式，中线长分别为()2

423

=-?+?、

73和13。

例8.18 如图，已知三角形ABC 中，15=PBD S ， 9=P C D S 。12=PAC S ，求PAB S 。解 BPD

ABP PDC

APC S S DP

AP S S ????=

，20=?PAB S 。

例8.19 如图，BC AD //，060=∠B ，BD 平分 B ∠，3=AB ，5=BC ，求CD 。解 ABD ?是底角为030的等腰三角形，

3==AD AB ，3

3=BD 。由余弦定理，7=CD 。

例8.20 如图，060=∠=∠BAC DAB ，090=∠CAE ，24=ABC S ，4=AFGH S ， AB AD =，AC AE =，求：AEH CGH BFG ADF S S S S +++。

解设c AB =，b AC =。

由24sin 21

=A bc 得到332=bc 。

AEH CGH BFG ADF S S S S +++ A F G H A B E A D C S S S -+=?? 4

150sin 2

1120

sin 2

bc bc

3820+=。

例8.21多氏定理：如图，直线DEF 分别交ABC ?三边于D 、E H 和F ，则

1=??FA CF EC

BE DB AD 。

证过C 作AB CH //，交DE 于H ，

则

CH AF

CF =，

BD EC

BE =

，

两式相乘得到结果。

例8.22 如图，求边长为a 的等边三角形内接正方形的边长。解设正方形为x ，则

x a a x 2

3-=，3

23+

a x 。

例8.23 如图，求直角边为a 的等腰直角三角形内接等边三角形的面积，这里AB EF //。解设内接等边三角形边长为x ，则

a a

x 2

22322

2-=

，得3

12+

a x ，

面积3

4834

x 。

例8.24 如图，ABC ?是等腰直角三角形， 2=BC ，D 是半圆弧AB 的中点，求阴影部分的面积。

解设O 为AB 中点，连接OD ，则1=OD 。设CD 与AB 交点为E ，则由EBC ?相似于EDO ?得到31=OE 。

所求面积6

11214-

??-=

。

例8.25 如图，BC AD //，AD BC 2=， 24=ABCD S ，求ABE S 。

解设x S ABE =?，y S AED =?，则y S BEC 4=。

???

===+===+??16324831ABCD ABC ABCD ABD S S y x S S y x ，316=x 。

例8.26 如图，ABC ?中，5=BC ，12=AC

13=AB ，BDE BDC ???，求ADE S 。

解 ABC ?是直角三角形。又ADE ?相似于 ABC ?，相似比3

212

513=

AE ，故

340322

=??

??=??ABC ADE

S S 。

例8.27 如图，边长为a 的正方形中，两个全等的长方形，其边长之比是1:2，求长方形的短边长。

解作HP 垂直于BC ，交BC 于P ，则 H P M C M N A E H ????~，相似比为4

1。

于是4

a CM AH ==，8

AH AE ，

故所求长度a a a 85842

=??

??+??? ??=。

例8.28如图，长方形ABCD 中， 24=ABCD S ，

3::==BE CE FD AF ，求EGFH S 。

解设x S EHFG =，y S DFG =?，则

y S B E H =?，y S S CEG AFH 9

==??，从而

???

=?=+=?=+

1824438624412y x y x ，29=x 。

例8.29 如图所示，大长方形被平行于边的直线

分成9个小长方形，其中位于角上的三个小长方形的面积已经标出，则角上第四个小长方形面积是多少？解面积20

1512=?=。

例8.30 如图，梯形面积25=ABCD S ， 3:2:=BC AD ，求ABD S 。解

2==??BC

AD S S BCD

ABD ，3

50=

?ABD S 。

例8.31 如图，长方形ABCD 中，

B D E B D

C ∠=∠， 6=A

D ，8=AB ，求AD

E S 解设x DE =。在直角三角形ADE 中，

()2

2286x x -+=，4

25=

x ，

21=

?ADE S 。

例8.32 如图，长方形ABCD 中，E 、F 分别在CD 和BC 上，AEF ADE ???， 5=AD ，4=AB ，求EC 。解设x EC =。直角三角形FEC 中，

()22242x x -=+，2

x 。

例8.33 如图，梯形ABCD 中，4=AD ， 6=AB ，060=∠ABC ，045=∠BCD ，求BC 和CD 。

解过D 作AB DE //，交BC 于E 。CDE ?中， 0

045

sin 60sin =DE

CD ，63=CD 。

例8.34 已知梯形的两对角线长分别为6和8，且交成060角，求此梯形中位线长。

解过A 作BD AE //，交CB 延长线于E 。 AEC ?中，13260

cos 862

1860

22=???-

+=AC

故所求梯形中位线长13=。

例8.35 如图，边长为a 的正方形中有一个内接矩形，矩形两边长之比是1:2，求矩形边长。解设矩形边长分别为x 和x 2。

FBG CGH AEF ????~，相似比为21

。

记u AE =，v AF =，则 u BF 2=，v BG 2=， ??

?=+=+a

v u a v u 22，3

a v u =

=，3

222a v u x =

+=。

例8.36 如图，求阴影部分的面积。解白色部分面积20

4862

1=-??=

阴影部分的面积28=。

例8.37 如图，直角梯形ABCD

6=AB ，25:16:=BC AD B A

C D

∠=∠，求CD 。解 ABC ADC ??~，从而

CD AC

AD BC

AC =

，

25162

==?=

? ??BC AD AC AD BC AC AB CD ， 5

24=CD 。

例8.38 如图， 45=∠=∠C B ，=AB 6=CD ，E 、F 分别为BC 与AD 的中点，求EF 。

解连接BD 。设BD 中点为M ，连接 EM ，FM ，则AB FM //， AB

FM 21=

，CD EM //，EM 2

EFM ?中，090=∠EMF ，故52

=+=

EM EF 。

例8.39 已知等腰三角形底边长为a ，外接圆半径为R 解设AD 为圆直径，O 为圆心，x BC AB ==，则 22

2??? ??-=a R OE

，()22

2OE

R a AB ++??

? ??=，故

22442

R R

R a R R a

x -

+=???? ?

++=

aR R aR R -

=。

例8.40 已知等腰三角形外接圆半径为2

49=

R ，腰：底4:7=。求等腰三角形腰长和底边长。解

49442

AD BE

AB ，4=DE 。

故()52144949=-?=AB 。

例8.41 如图，半径分别为

（１）求外公切线长；

（２）若两外公切线交于P 求P 到两圆圆心的距离。

解设小圆圆心为1O 则

a a

PO 4511=+，3

51a PO =

。

外公切线长()()a a a a a 4

442

=--+=。

例8.42 如图，圆内二弦AB 、CD 交于E ， CD AB ⊥，F

为AD 中点，

FE 交CD 于H ，求CHE ∠。

解 EF DF AF ==，BEH AEF A ∠=∠=∠，

B D ∠=∠。

故090=∠+∠=∠+∠A D HEB B ，

90=∠EHB 。

例8.43 如图，圆直径AB 垂直于弦CD ， 10=AB ，8=CD 。EFH 垂直于BC ，交AD 于H ，求FH 。解 A C B EFB HFA ∠=∠=∠-=∠=∠0

90，

故AH FH =。同理DH FH =，从而 AD

FH 21=

。

设圆心为O ，则32

2=-=DF

OD OF ，235=-=AF ，52242

2=+=

AD ，5

=FH 。

例8.44 如图，ABC ?中，060=∠A ，=AC 6=AB 。以BC 上高AD 为半径作圆分别交AB 、AC 于E 、F 。求EF 。

解 13260

cos 682

1680

2=???-

+=BC 。

A AC A

B AD B

C S ABC sin 2??=?=?，故13

3912=

AD ，

13182

313

3912sin =

=A AD EF 。

例8.45 如图，2=AB 。以AB

交以AB 为边的等边三角形于 E 、F 两点，求阴影部分面积。解设O 为圆心，连接OE ，OF ，则 AOE

?和BOF ?都是等边三角形。扇形OEF 顶角为060，面积6

，故

阴影部分面积6

---=???BOF AOE ABC S S S

23π

。

8.3.2 条件充分性判断

具体解题要求参见第一章的1.3.2。

例8.46 三角形的三边为a ，b ，c ，则三角形是等边三角形。（1）ca bc ab c b a ++=++2

22；（2）

a c c

b a c

a b +=

+。

解（1）成立时，()()()()022222

=---++=-+-+-ca bc ab c b a a c c b b a ， c b a ==。（1）充分。（2）成立时，

b a a

b a b

b a ++=

++=

++，c b a ==。（2）充分。故选（D ）。

例8.47 三角形的三边为a ，b ，c ，则三角形是直角三角形。

（1）()b a -lg ，c lg ，()b a +lg 成等差数列；（2）02222=++-c b ax x 有等根。解（1）成立时，()()b a b a c ++-=lg lg lg 2，222b a c -=。（1）充分。（2）成立时，()()042222

=+-c b a 。（2）充分。故选（D ）。

例8.48 如图，BC AD //，2=AB ，则3=CD （1）060=∠B ；（2）045=∠C 。解显然（1）与（2）单独都不充分。

（1）与（2）同时成立时，0045sin 60sin ?===?CD DF AE AB ，3=CD 。故选（C ）。

例8.49 如图，ABC ?中，6=AB ，AD 为BAC ∠的平分线，AC DE ⊥，则三角形EDC 的面积为6。

（1）5:4:3::=CA BC AB ；（2）090=∠B ，10=AC 。解（1）或（2）成立时，都有：

8=BC ，18=AC ，090=∠B 。

ADE

ABD ???，6==AB AE ，4610=-=EC 。

又ABC EDC ??~，相似比2

184===BC

EC ，因此6212

=???

??=??ABC EDC

S S 。

故选（D ）。

例8.50 两圆1O 与2O 外切，小圆的平行与

1O O 的切线交大圆于A 、B ，则10=AB 。（1）两圆面积差为π

25；（2）两圆面积和为π40。

解记大圆半径为R ，小圆半径为r 。 2222r R BC AB -==。

（1）成立时，πππ2522=-r R ，522=-r R 。（1）充分。

（2）成立时，4022=+r R ，取5=R ，15=r 得（2）不充分。故选（A ）。

例8.51四边形ABCD 中，内角比为4:2:5a

BC AB ==，则33=ABCD S 。

（1）2=a ；（2）3=a 。

解 ABCD 内角分别为0150，060，0120，ACD

?是等边三角形，面积为

；ABC ?是直角三角形，030=∠B ，面积为

。因此3

332

a S ABCD ，2=a 。故选（A ）。

高中数学必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (58)(含答案解析)

必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (58) 一、单项选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1.已知AB，CD是圆锥SO底面圆的两条相互垂直的直径，SA=AC，四棱锥S?ADBC的侧面积为4√3，则圆锥的体积为() A. 2√2 3π B. 2√3 3 π C. 4 3 π D. 4√2 3 π 2.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P?ABCD中，E，F分别是棱 AD，BP上的动点，且满足AE=2BF，则线段EF中点的轨迹是() A. 一条线段 B. 一段圆弧 C. 抛物线的一部分 D. 一个平行四边形 3.在三棱锥A?BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角A?BD?C的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为 A. 7π B. 8π C. 16π 3D. 28π 3 4.已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为() A. 7π B. 9π C. 11π D. 13π 二、填空题（本大题共15小题，共75.0分） 5.如图三棱锥P?ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=BC=2， PA=PC=3，则三棱锥P?ABC的外接球的表面积为________． 6.如图，圆锥的顶点为S，母线SA、SB互相垂直，SA与圆锥底面所成的角为30°，若△SAB的面积为2，则该圆锥的体积为________．

7.在直角边长为2的等腰直角△ABC中，点E、F分别在直角边AB、AC上(不含端点)，把△AEF绕直线EF旋转，记旋转后A的位置为A′，则四棱锥A′?BEFC的体积的最大值为________．8.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是_______． ①平面PB1D⊥平面ACD1； ②A1P//平面ACD1； ]； ③异面直线A1P与AD1所成角的范围是(0,π 3 ④三棱锥D1?APC的体积不变． 9.在四棱锥P?ABCD中，PAB是边长为2√3的正三角形，ABCD为矩形，AD=2，PC=PD=√22. 若四棱锥P?ABCD的顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为_____． 10.在如图所示的六面体PABQC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，AB= AC=CQ=BQ=2√2，BC=AQ=3，则该六面体的外接球的表面积为________． 11.如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即樟卯结构)啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四校柱的底面正方形边长为1，欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计)，若球形容器表面积的最小值为30π，则正四棱柱的高为______． 12.已知正四面体P?ABC的棱长均为a，O为正四面体P?ABC的外接球的球心，过点O作平行于底面ABC的平面截正四面体P?ABC，得到三棱锥P?A1B1C1和三棱台ABC?A1B1C1，那么三棱锥P?A1B1C1的外接球的表面积为________．

第8章立体几何专题9 几何体的表面积与体积常考题型专题练习——【含答案】

1 几何体的表面积与体积【知识总结】 1、表面积 ①设直棱柱高为h ，底面多边形周长为c ，则直棱柱侧面积公式为S 直棱柱侧＝ch ，即直棱柱侧面积等于它的底面周长和高的乘积． ②若正棱锥的底面边长为a ，底面周长为c ，斜高为h ′，则正n 棱锥的侧面积公式为S 正棱锥侧＝12nah ′＝12ch ′，即正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积的一半． ③若圆柱、圆锥、圆台沿其母线剪开后展开，其侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环，其侧面积公式分别为S 圆柱侧＝2πRh ，S 圆锥侧＝πRl ，S 圆台侧＝π(R ＋r )l ． 2、体积 ①棱柱的体积公式为V 柱体＝Sh ，(S 为柱体底面积，h 为柱体的高)，． ②若一个棱锥的底面积为S ，高为h ，则它的体积是V 锥体＝1 3 Sh ， ③若一个台体上、下底面的面积分别为S ′、S ，高为h ，则它的体积公式为V 台体＝1 3 h (S ＋ SS ′ ＋S ′)， ④圆柱的体积公式为V 圆柱＝πr 2h (r 为底面半径，h 为圆柱的高)．

⑤圆锥的底面半径为r，高为h，则它的体积为V圆锥＝ 1 3 πr2h． ⑥若圆台上、下底面半径分别为r′、r，高为h，则它的体积为V圆台＝1 3 πh(r2＋rr′＋r′2)．【巩固练习】 1、若圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为( ) A．π B．2π C．3π D．4π 【规律总结】圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键． 2、已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30?，若SAB △的面积为8，则该圆锥的体积为_____． 8π【解析】由题意画出图形，如图， 1

【2019秋人教必修2】第八章立体几何初步章末复习课

章末复习课 [网络构建] 1

[核心归纳] 1.空间几何体的结构特征及其表面积和体积 2

名称形成图形表面积体积多面体棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体围成它的各个面的面积的和 V棱柱＝Sh S为柱体的底面积，h为柱体的高棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体围成它的各个面的面积的和 V棱锥＝ 1 3 Sh，S 为底面积，h为高棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分围成它的各个面的面积的和 V棱台＝ 1 3 (S＋S′ ＋SS′)·h，S′， S分别为上、下底面面积，h为高 3

旋转体圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 S圆柱＝2πr(r ＋l)(r是底面半径，l是母线长) V圆柱＝πr2h(r 是底面半径，h 是高) 圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 S圆锥＝πr(r ＋l)(r是底面半径，l是母线长) V圆锥＝ 1 3 πr2h(r 是底面半径，h 是高) 圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 S圆台＝π(r′2 ＋r2＋r′l＋ rl)(r′，r分别是上、下底面半径，l是母线长) V圆台＝ 1 3 πh(r′2 ＋r′r＋r2)(r′，r 分别是上、下底面半径，h是高) 球半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围 S球＝4πR2， R为球的半径 V＝ 4 3 πR3，R为球的半径 4

2021年广东省新高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》8.1空间几何体的结构、表面积与体积

2021年广东省新高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》§8.1空间几何体的结构、表面积与体积最新考纲 1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)． 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形 (2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线平行、相等且垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l 3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝S 底·h 锥体(棱锥和圆锥) S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝1 3 S 底·h 台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V ＝1 3 (S 上＋S 下＋S 上S 下)h 球 S ＝4πR 2 V ＝43 πR 3 概念方法微思考 1．底面是正多边形的棱柱是正棱柱吗？为什么？提示不一定．因为底面是正多边形的直棱柱才是正棱柱． 2．如何求不规则几何体的体积？提示求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解．题组一思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( × ) (3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．( √ ) (4)锥体的体积等于底面积与高之积．( × ) (5)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的边长为a ，则R ＝ 3 2 a .( √ ) (6)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( × ) 题组二教材改编 2．已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )

基于分形几何的分形图绘制与分析

基于分形几何的分形图绘制与分析摘要：基于分形几何的分形图绘制方法源于l系统、迭代函数系统ifs、复动力系统等。在运用分形原理及算法编程绘制多种分形图的基础上，重点对ifs参数进行实验分析，ifs吸引集实现了对原图形的几何变换。分形图的演变具有渐变性。关键词：分形几何迭代函数系统分形图绘制渐变 1 分形几何学现代数学的一个新的分支——，它是由美籍法国数学家曼德勃罗（b.b.mandelbrot）1973年在法兰西学院讲课时，首次提出了分形几何的设想。分形（fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何的诞生无论是在理论上还是在实践上都具有重要价值。 2 分形的定义目前分形还没有最终的科学定义，曼德勃罗曾经为分形下过两个定义：（1）分形是hausdorff-besicovitch维数严格大于拓扑维数的集合。因为它把许多hausdorff维数是整数的分形集合排除在外，例如，经典分形集合peano曲线分形维数（2）局部与整体以某种方式自相似的形，称为分形。然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形

如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特征来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。 (ⅰ) 分形集合在任意小尺度下，它总有复杂的细节，或者说它具有精细的结构。 (ⅱ) 分形集合是非常不规则的，用传统的几何语言无法来描述它的局部和整体，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。 (ⅲ) 分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 (ⅳ) 以某种方式定义的分形集合的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 (ⅴ) 在大多数令人感兴趣的情形下，分形集合是以非常简单的递归的方法产生的。 3 分形研究的对象几何学的研究对象是物体的形状，在自然界中，许多物体的形状是极不规则的，例如：弯弯曲曲的海岸线，起伏不平的山脉，变化无偿的浮云，以及令人眼花缭乱的满天繁星，等等。这些物体的形状有着共同的特点，就是极不规则，极不光滑。但是，所有的经典几何学都是以规则而光滑的形状为其研究对象的，例如：初等平面几何的主要研究对象是直线与圆；平面解析几何的主要研究对象是一

人教A版新教材高中数学必修第二册：第八章立体几何初步综合测验

立体几何初步综合测验一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列结论正确的是( ) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥． B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥． C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．答案：D 2．关于直观图画法的说法中，不正确的是( ) A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x′轴，其长度不变 B．原图形中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y′轴，其长度不变 C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可画成135° D．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同解析：根据斜二测画法的规则可知B不正确．答案：B 3．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是( ) A．4S B．4πS C．πS D．2πS 解析：由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R，则2R·2R＝4S，得R2＝S.所以底面面积为πR2＝πS.

答案：C 4．如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm 3 ，则其表面积为( ) A ．18 3 cm 2 B ．18 cm 2 C ．12 3 cm 2 D ．12 cm 2 解析：设正四面体的棱长为a cm ，则底面积为 34a 2 cm 2，易求得高为6 3 a cm ，则体积为13×34a 2×63a ＝212a 3＝9，解得a ＝32，所以其表面积为4×34 a 2＝183(cm 2 )．答案：A 5．一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，6，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的表面积为( ) A ．16π B．32π C ．36π D．64π 解析：将四面体可补形为长方体，此长方体的对角线即为球的直径，而长方体的对角线长为12 ＋ 6 2 ＋32＝4，即球的半径为2，故这个球的表面积为4πr 2 ＝16π. 答案：A 6．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B 在平面β内，则在平面β内且过点B 的所有直线中( ) A ．不一定存在与a 平行的直线 B ．只有两条与a 平行的直线 C ．存在无数条与a 平行的直线 D ．存在唯一与a 平行的直线解析：当直线a ?平面β，且点B 在直线a 上时，在平面β内且过点B 的所有直线中不存在与a 平行的直线．故选A. 答案：A 7．若α∥β，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β，且AB ＋CD ＝28，AB 、CD 在β内的射影长分别为9和5，则AB 、CD 的长分别为( ) A ．16和12 B ．15和13 C ．17和11 D ．18和10 解析：如图，作AM ⊥β，CN ⊥β，垂足分别为M 、N ，设AB ＝x ，则CD ＝28－x ，BM

高中数学紫皮真题第八章立体几何考点测试题

立体几何考点测试题 1(山东, 4,5分) 一个四棱锥的侧棱长都相等, 底面是正方形, 其正(主) 视图如图所示, 则该四棱锥侧面积和体积分别是( ) A. 4, 8 B. 4 , C. 4( +1), D. 8,8 2某三棱锥的三视图如图所示, 则体积是( ) A. B. C. D. 1 3已知正方体的棱长为1, 其俯视图是一个面积为1的正方形, 侧视图是一个面积为的矩形, 则该正方体的正视图的面积等于( ) A. B. 1 C. D. 4一几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( ) A. 200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π 5已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上. 若AB=3, AC=4, AB⊥AC, AA 1=12, 则球O 的半径为( ) A. B. 2 C. D. 3 6(山东, 11,5分) 如图是长和宽分别相等的两个矩形. 给定下列三个命题: ①存在三棱柱, 其正(主) 视图、俯视图如右图; ②存在四棱柱, 其正(主) 视图、俯视图如右图; ③存在圆柱, 其正(主) 视图、俯视图如右图. 其中真命题的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 7如图, △ABC 为正三角形, AA' ∥BB' ∥CC', CC' ⊥平面ABC 且3AA' =BB' =CC' =AB, 则多面体ABC-A' B'C' 的正视图(也称主视图) 是( ) 8一个棱锥的三视图如图, 则该棱锥的全面积(单位: cm 2) 为( ) A. 48+12 B. 48+24 C. 36+12 D. 36+24 9某四棱锥的三视图如图所示, 该四棱锥的体积为 . 10若一个圆锥的主视图(如图所示) 是边长为3,3, 2的三角形, 则该圆锥的侧面积为 . 11一个四棱锥的底面为正方形, 其三视图如图所示, 则

中石油北京19春《画法几何在线作业主观题画法几何

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1.（100.0分）《画法几何》在线作业(主观题）2.zip 答题要求：（1）承诺本次考试由学生本人提交；（2）严禁抄袭、雷同，一经发现，成绩为0；（3）如果提交空白试卷或格式文档乱码或错误，经学院确认后，一律无法给定成绩，只能在下次平台开通时提交；（4）如果题目要求“结合自己的理解”、“结合自己的观点”等字样，一定要有自己观点的阐述，否则不及格。（5）请点击文本框操作栏里的按钮上传附件，上传文件后，点击按钮，否则不能提交成功。

高中数学必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (64)(含答案解析)

必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (64) 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为() A. 7π B. 9π C. 11π D. 13π 2.如图，棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为CC1的中点，点 P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则△PEQ周长的最小值为 A. 2√2 B. √10 C. √11 D. √12 3.在三棱锥P?ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=1 2 PB=1，Q是棱BC上一个动点，若直线 AQ与平面PBC所成角的正切的最大值为√5 2 ，则该三棱锥外接球的表面积为() A. 6π B. 7π C. 8π D. 9π 4.已知正三棱锥S?ABC的侧棱长为4√3，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的体积是() A. 16π B. 64 3π C. 64π D. 256 3 π 5.在三棱锥A?BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角A?BD?C的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为() A. 7π B. 8π C. 16π 3D. 28π 3 6.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为()度． A. 60 B. 45 C. 30 D. 15

7.如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，AA1= AC=CB，则直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值是() A. 1 2 B. √2 2 C. √3 2 D. √3 3 8.在平面四边形ABCD中，AB⊥BD，∠BCD=60°，3AB2+4BD2=24，若将△ABD沿BD折起成直二面角A?BD?C，则三棱锥A?BDC外接球的表面积是() A. 4π B. 5π C. 6π D. 8π 9.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结钩)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁表面涂色，则需要涂色的面积为() A. 72 B. 96 C. 102 D. 108 10.已知A，B，C，D四点均在球O的球面上，△ABC是边长为6的等边三角形，点D在平面ABC 上的射影为△ABC的中心，E为线段AD的中点，若BD⊥CE，则球O的表面积为 A. 36π B. 42π C. 54π D. 24√6π 11.《九章算术》中的堤(两底面为等腰梯形的直四棱柱)上、下两底平行，而对于上、下两底不平行的堤防，唐代数学家王孝通把它分解成一个堤与一个羡除(注：羡除是指三个侧面为等腰梯形，其他两面为三角形的五面体)，且其体积等于堤与羡除的体积之和金元治河著作《河防通议》给出了上、下两底不平行的堤防的体积公式V=l 6[(2?1+?2)(a+b1) 2 +(2?2+?1)(a+b2) 2 ]，其中a为两头上广(等腰梯形的上底长)，l为长(下底面等腰梯形的腰长)，?1，?2分别为两头之高(等腰梯形的高

高中数学必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (36)(含答案解析)

必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (36) 一、选择题（本大题共3小题，共15.0分） 1.正三棱柱ABC?A1B1C1中，底面边长AB=，侧棱长AA1=2，则该棱柱的外接球表面积等于 () A. 20π B. 24π C. 8π D. 12π 2.某正四面体的外接球与内切球的表面积之差为12π，则该正四面体的棱长为() A. 2√3 B. 4 C. 2 D. 3 3.已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的7 8 时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于() A. 2π 3B. 4π 3 C. 7π 6 D. π 2 二、填空题（本大题共12小题，共60.0分） 4.在四棱锥P?ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD=3.若四棱锥P?ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为______；当四棱锥P?ABCD的体积取得最大值时，二面角A?PC?D的正切值为______． 5.如图是第七届国际数学教育大会的会徽，它的主题图案由一连串如图所示的直角三角形演化而成，设其中的第一个直角△OA1A2是等腰三角形，且A1A2=A2A3=?=A n A n+1=1，则OA2=√2，OA3=√3，…OA n=√n，现将△OA1A2沿OA2翻折成△OPA2，则当四面体OPA2A3体积最大时，它的表面有__________个直角三角形；当PA3=1时，四面体OPA2A3外接球的体积为__________．

大连理工大学画法几何答案.doc

大连理工大学画法几何答案【篇一：2014 春大连理工大学《画法几何与机械制图》在线作业1】 > 业1 大工14 春《画法几何与机械制图》在线作业 1 、单选题（共10 道试题，共50 分。） 1.一直线或平面相对另一直线或平面的倾斜程度，称为（b）。 a.锥度 b.斜度 c. 平行度 d.以上选项均不对满分：5 分 2.将机件的某一部分向基本投影面投射所得的视图，称为（c）。 a.基本视图 b.向视图 c. 局部视图 d.斜视图满分：5 分 3.将机件向不平行于基本投影面（投影面垂面）的平面投射所得的视图，称为（d）。 a.基本视图 b.向视图 c. 局部视图 d.斜视图满分：5 分 4.以对称中心线为界，一半画成剖视图，另一半画成视图，这样的图形称为（b）。 a.全剖视图 b.半剖视图 c. 局部剖视图 d.以上选项都不对满分：5 分 5.投射线方向垂直于轴测投影面的轴测图，称为（a）。 a.正轴测图 b.斜轴测图

c. 以上选项都对 d.以上选项都不对满分：5 分 6.（a）用来确定平面图形的尺寸位置。 a.尺寸基准 b.定位尺寸 c. 定形尺寸 d.以上选项均不对满分：5 分 7.在中心投影法中，移动投影中心时，投影（b）。权威打造【篇二：大工16 秋《画法几何与机械制图》在线作业 1 满分答案】 class=txt> 一、单选题（共10 道试题，共50 分。） 1. 形体的 2 个投影，（）反映唯一的空间形状。 a. 能 b. 不能 c. 以上选项都对 d. 以上选项都不对正确答案：b 2. 平面立体的截交线的每条边都是（）与棱面的交线。 a. 截平面 b. 截断面 c. 相贯面 d. 相交面正确答案：a 3. 确定平面图形上各线段形状大小的尺寸为（）。 a. 定形尺寸 b. 定位尺寸 c. 定向尺寸 d. 定面尺寸正确答案：a 4. 积聚性（）平行投影法的投影特性。 a. 属于

高中数学第八章《立体几何初步》提高训练题 (28)(含答案解析)

第八章《立体几何初步》提高训练题 (28) 一、单项选择题（本大题共7小题，共35.0分） 1.在三棱锥P?ABC中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且AB=2，PA=PC=√5， PB与底面ABC所成的角的余弦值为2√2 3 ，则三棱锥P?ABC的外接球的体积为() A. 9π 2B. 89√89π 6 C. 9π D. 27π 2 2.如图，四棱锥S?ABCD中，底面是正方形，各侧棱都相等，记直线SA与直线AD所成角为α，直线SA与平面ABCD所成角为β，二面角S?AB?C的平面角为γ，则 A. α>β>γ B. γ>α>β C. α>γ>β D. γ>β>α 3.已知三棱锥P?ABC的三条侧棱两两垂直，且PA、PB、PC的长分别为以a、b、c，又(a+b)2c= 16√2，侧面PAB与底面ABC成45°角，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为() A. 10π B. 40π C. 20π D. 18π 4.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱 (侧棱垂直于底面的三棱柱)称之为“堑堵”.如图，三棱柱ABC? A1B1C1为一个“堑堵”，底面?ABC是以AB为斜边的直角三角形且 AB=5，AC=3，点P在棱BB1上，且PC⊥PC1，当?APC1的面积取最小值时，三棱锥P?ABC的外接球表面积为() A. B. C. D. 5.平面α过正方体ABCD?A1B1C1D1的顶点A，BC1⊥α，点E、F分别为AA1、CC1的中点，C1G ??????? = 2GD1 ???????? ，若α∩平面ABCD=m，α∩平面EFG=n，则直线m与直线n所成角的正切值为() A. 2√2 7B. 3√2 7 C. 4√2 7 D. 6√2 7

精选浙江专用2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何8.2空间几何体的表面积与体积教师用书

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何 8.2 空间几何体的表面积与体积教师用书 1．多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和． 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 3.柱、锥、台和球的表面积和体积【知识拓展】 1．与体积有关的几个结论

(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 2．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a . (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2 ＋b 2 ＋c 2 . (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( × ) (3)球的体积之比等于半径比的平方．( × ) (4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( √ ) (5)长方体既有外接球又有内切球．( × ) (6)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( × ) 1．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2 ，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( ) A ．1 cm B ．2 cm C ．3 cm D.3 2 cm 答案 B 解析 S 表＝πr 2 ＋πrl ＝πr 2 ＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π， ∴r 2 ＝4，∴r ＝2 cm. 2．(2016·全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( ) A ．12π B.323 π

画法几何与阴影透视_在线作业_1教学内容

画法几何与阴影透视_在线作业_1

画法几何与阴影透视_在线作业_1 一、单选题 1.一般应以（）的方向作为主视图的方向。 A. 从物体上面向下投影 B. 最能反映出形体特征的 C. 任意 D. 物体最简单答案B 2.在直立圆柱的水平投影圆内的一个点所标的符号为（b）时点B在圆柱体的（）。 A. 下底面 B. 上底面 C. 后半个柱面 D. 前半个柱面答案A 3.要求出物体的阴影，主要是求出物体上（）的影。 A. 所有面 B. 阴线 C. 所有棱线 D. 各顶点的答案B 4.在绘制工程图时通常采用的是（）投影法。 A. 中心 B. 正 C. 斜 D. 水平答案B 5.在使用丁字尺绘制图线时，丁字尺的尺头应紧靠在图版的（）边。 A. 下 B. 右 C. 左 D. 上答案C 6.在圆球的水平投影上有一段斜线，此线段的正面和侧面投影是（）。 A. 一个点 B. 一段直线 C. 椭圆的一部分 D. 圆的一部分答案C 7.图形的对称线和中心线是用（）线绘制的。 A. 粗实线 B. 点划线 C. 细实线 D. 虚线答案B 8.如果圆平面的影在正面反映圆的实形，此圆平面为（）面。 A. 水平 B. 正平 C. 铅垂面 D. 正垂答案B 9.当圆柱体的轴线与侧面垂直，它的（）投影是圆。 A. 三个投影 B. Ｗ C. Ｖ D. Ｈ答案B 10.在（）的情况下两个圆柱的相贯线为椭圆。 A. 轴线正交且直径相等 B. 轴线非正交且直径相等 C. 轴线正交且直径不相等 D. 轴线非正交且直径不相等答案A

11.在图样上标注圆弧尺寸时起止符号用（）。 A. 圆点 B. ４５°斜线 C. 箭头 D. ×答案C 12.平面图形为水平面时，它的（）面投影反映平面图形的实形。 A. 以上全不对 B. Ｖ C. Ｗ D. Ｈ答案D 13.在图样中比例是指图形与实物相应要素的（）之比。 A. 体积之比 B. 大小之比 C. 线性之比 D. 面积之比答案C 14.侧垂线落在起伏不平的铅垂面上的影，它的影线的（）投影的形状和承影面的水平截交线成为倒影。 A. H B. 所有 C. W D. V 答案D 15.透视投影是（）投影。 A. 正 B. 平行 C. 斜 D. 中心答案D 16.水平线的（）投影反映线段的实长。 A. 以上全不对 B. 水平 C. 正面 D. 侧面答案B 17.用正垂面截切圆锥，截交线为椭圆时，椭圆短轴的正面投影在（）。 A. 截交线的端点 B. 任意位置 C. 截交线的中点 D. 轴线与截交线的交点答案C 18.圆柱体的截交线有（）种。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案C 19.图中所示的长方体与半球相贯，相贯线是由四段（）组成的空间曲线。 A. 双曲线 B. 抛物线 C. 折线 D. 圆弧线答案D 20.用正垂面截切圆柱时，截平面与圆柱的轴线成（）度角时，它的侧面投影是圆。 A. ４５ B. ３０ C. ６０ D. ９０答案A

分形几何学

2 分形几何学的基本概念本章讨论分形几何学的一些基本内容，其中：第1节讨论自相似性与分形几何学的创立；第2节讨论分形几何学的数学量度，即三种不同的维数计算方法；第3节讨论应用分形几何方法所实现的对自然有机体的模拟。 2.1自相似性与分形几何学无论人们通过怎样的方式把欧几里得几何学的形体与自然界关联起来，欧氏几何在表达自然的本性时总是会遇到一个难题：即它无法表现自然在不同尺度层次上的无穷无尽的细节。欧氏几何形体在局部放大后呈现为直线或光滑的曲线，而自然界的形体（如山脉、河流、云朵等）则在局部放大后仍呈现出与整体特征相关的丰富的细节（图版2-1图1），这种细节特征与整体特征的相关性就是我们现在所说的自相似性。

自相似性是隐含在自然界的不同尺度层次之间的一种广义的对称性，它使自然造化的微小局部能够体现较大局部的特征，进而也能体现其整体的特征。它也是自然界能够实现多样性和秩序性的有机统一的基础。一根树枝的形状看起来和一棵大树的形状差不多；一朵白云在放大若干倍以后，也可以代表它所处的云团的形象；而一段苏格兰的海岸线在经过数次局部放大后，竟与放大前的形状惊人地相似（图版2-1图2）。这些形象原本都是自然界不可琢磨的形状，但在自相似性这一规律被发现后，它们都成为可以通过理性来认识和控制的了。显然，欧氏几何学在表达自相似性方面是无能为力了，为此，我们需要一种新的几何学来更明确地揭示自然的这一规律。这就是分形几何学产生的基础。

1977年，曼德布罗特（Benoit Mandelbrot）出版了《自然的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature）一书，自此分形几何学得以建立，并动摇了欧氏几何学在人们形态思维方面的统治地位。分形几何学的研究对象是具有如下特性的几何形体：它们能够在不断的放大过程中，不停地展现出自相似的、不规则变化着的细节（图2-1图3）。这些几何形状不同于欧氏几何形体的一维、二维或三维形状，它们的维数不是简单的1、2或3，而是处于它们之间或之外的分数。科赫曲线（Koch Curve）是分形几何学基本形体中的一个典型实例，它是由这样一种规律逐次形成的：用一根线段做为操作对象，对其三等分，把中间一段向侧面旋转60度，并增加另一段与之长度相同的线段把原来的三条线段连接为一体，这四条线段组成的形状就是第一代的科赫曲线；分别对它的每一条线段重复上述的操作，将形成第二代科赫曲线；再对其每一条线段进行上述操作，可得第三代，等等；如此迭代下去（图版2-1图4）。显然，对每一代的构成元素的同样操作决定了自相似性的代代传递，使形成的科赫曲线已经明确地具有了自然的特征。如果再进一步在操作中增加一点随机成分的话，那么所得的随机科赫曲线的自然性就更强列了。[回本章页首] 2.2维数计算：分形几何学的数学量度既然分形几何学是一种严格的数学，那么它一定有自身的数学量度。分形几何学的数学量度是分形几何形体的维数。如前所述，分形几何形体的维数不是整数而是分数，它的计算是分形几何的创立者们在总结归纳的基础上产生的。分形几何体的维数计算的数学推导是复杂的，也不是我们所关心的内容。但维数计算所代表的形象意义却值得我们关注。如前所述，分形几何形体的本质属性是自相似性，而这一自相似性一定是在同一形体的不同层次之间（不论是对自然形体的不同程度的放大，还是对人工形体迭代操作所得到的不同代）得以体现的。因而，分形几何形的维数正是在形状的不同层次的比较之间所反映出来的规律。这一规律所代表的是分形几何形状在空间中的扩张趋势。维数越大，就表明它在空间的扩张趋势越强，形状本身的变化可能性也越丰富。

高中数学第八章《立体几何初步》提高训练题 (45)(含答案解析)

第八章《立体几何初步》提高训练题 (45) 一、单项选择题（本大题共9小题，共45.0分） 1.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥中最长棱的长度为() A. 2 B. √5 C. 2√2 D. 3 2.已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题： ①l//α，l//β，α∩β=m，则l//m； ②α//β，β//γ，m⊥α，则m⊥γ； ③α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β； ④l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题有() A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.已知直线m、n，平面α、β，给出下列命题： ①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β； ②若，，且m//n，则； ③若m⊥α，，且m//n，则α⊥β； ④若m⊥α，，且m//n，则，其中正确的命题是() A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ①② 4.若a，b，c表示三条不重合的直线，β，γ表示两个不同的平面，则下列命题中，正确的个数是 ①若a//β，b//β，则a//b②若a?β，b?γ，β//γ，则a//b

③若a⊥c，b⊥c，则a//b④若a⊥β，b⊥β，则a//b A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5.若l，m，n是三条不相同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中为真命题的是 A. 若l//m，m//α，则l//α B. 若α⊥β，n⊥α，m//n，则m//β C. 若α⊥β，l⊥α，m//β，则l//m D. 若l⊥α，l//n，n⊥β，则α//β 6.在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AB，C1D1，CC1的中点，用过点 E，F，G的平面截正方体，则截面图形的面积为() A. √3 B. 2√3 C. 3√3 D. 6√3 7.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=BC=2，∠ABC=90°，AC与平面C1AB所成角为30°，则三棱锥B?A1AC1的体积为() A. 4 3B. 2√2 3 C. 2 3 D. 1 3 8.已知平面α⊥平面β，α∩β=l，m//α，m⊥l，n⊥α，则下列四种位置关系中，不一定成立的是() A. m⊥n B. m⊥β C. n⊥l D. n//β 9.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，有下列四个结论： ①AP与CM是异面直线；②AP，CM，DD1相交于一点；③MN//BD1；④MN//平面BB1D1D. 其中所有正确结论的编号是() A. ①④ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、多项选择题（本大题共3小题，共12.0分）

第8章 平面几何