格点与面积_小学奥数知道点详解

如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。

一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形，本讲就，学习求格点多边形的面积问题。这种格点多边形的面积计算起来很方便，一般有三种方法：

①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积；

②一些简单而又特殊的格点多边形，可以通过数格子求出面积；

③较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。其中数格子的方法比较原始，很少用。

任意格点多边形，只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数，就可用下面的皮克公式算出面积：

格点多边形面积=内格点个数 + 边格点数÷2-1

这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。

皮克定理的证明：

将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆。格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分；而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形，且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆，少了其外角对应的扇形面积，因任意多边形的外角和是360度，正好是个整圆，所以周界上圆在图内的面积为：周界格点数÷2-1

所以格点多边形面积为：

图内格点个数+周界格点数÷2-1。

皮克定理的证明过程比较抽象，孩子难以理解。本讲

只要求孩子初步认识格点面积公式，掌握格点面积公式的应

用，到初中还会进一步学习皮克定理。

例1：

求下面各图形的面积。

【解析】：

图①是个平行四边形，周界上有10个格点，图内有4

个格点，根据格点面积公式，图①的面积为：4+10÷2-1=8；

图②是个梯形，周界上有8个格点，图内有2个格点，

根据格点面积公式，图②的面积为：2+8÷2-1=5；

图③是个三角形，周界上有6个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图③的面积为：4+6÷2-1=6；

以上3个图形都是规则图形，但四年级学生还没有学过这3种图形的面积计算，不能用面积公式计算。

图④是个六边形，周界上有8个格点，图内有9个格点，根据格点面积公式，图④的面积为：9+8÷2-1=12。

这四个图形也可以用数格子的方法计算面积。

例2：

下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？

【解析】：

这三个图形都适合用格点面积公式计算面积。

喇叭周界上有8个格点，图内没有格点，面积为：0+8

÷2-1=3；

小猫周界上有20个格点，图内有2个格点，面积为：

2+20÷2-1=11；

小狗图案可以看着是两个格点多边形组成，先分别求

出每个格点多边形的面积，再求出总面积。

躯干面积：0+12÷2-1=5；

尾巴面积：0+4÷2-1=1；

总面积：5+1=6。

像小狗图案这样，由两个或两个以上独立的格点多边形拼成的多边形，要求其总面积，一般先求出每个独立多边形的面积，再求和，以免发生漏数多个独立图形公共格点的错误。

例3：

下面是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积。

【解析】：

这个礼盒平面图是由3个独立的格点多边形组成的。

左边三角形面积可以用皮克公式求出：4+4÷2-1=5；

右边三角形面积可以用皮克公式求出：2+6÷2-1=4；

下面长方形长为6、宽为3，可以直接用长方形面积公

式算出面积：6×3=18；

所以上图总面积为：5+4+18=27。

例4：

你知道下图中共有多少个图形吗？每个图形的面积各是多少？

【解析】：

这里所说的图形既包括凸多边形，也包括凹多边形。图中有8个三角形：AEC,AED,ADC, ABD,ABC,EBD,EBC,DBC；有3个四边形：ADBC,ABDC,ABCD。

可以用皮克公式算出每个图形的面积，例如四边形ADBC的面积为：

21+8÷2-1=24。

其它图形的面积：（略）。

小学奥数-格点型面积

板块一正方形格点问题 在一张纸上,先画出一些水平直线和一些竖直直线,并使任意两条相邻的平行线的距离都相等（通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中,以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有,这两者之间的关系能否用计算公 式来表达?下面就让我们一起来探讨这些问题吧! 用Ｎ表示多边形内部格点，Ｌ表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数． 我们能发现如下规律:1 2 L S N =+-.这个规律就是毕克定理. ? 【例 1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图).如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？ 【解析】面积等于1平方厘米的三角形有３2个. 面积等于2平方厘米的三角形有8个． (1）面积等于１平方厘米的分类统计如下: ①②③ 毕克定理 若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点， 则它的面积为1 2 L S N =+-． 例题精讲 格点型面积

底为２,高为1底为2,高为1底为１，高为2 ３×2＝6(个)3×2=６(个）3×2=6(个) ④⑤⑥ 底为1,高为2底为2,高为1底为１,高为2 3×2＝6(个）2×２＝4(个）2×２=4(个）所以，面积等于1平方厘米的三角形的个数有:6+６+６+6＋4＋4＝32(个）. (２）面积等于2平方厘米的分类统计如下： 3×2＝6(个）1×２=2(个) 所以，面积等于2平方厘米的三角形的个数有:6＋２=８(个). 【例 2】如图,44 ?的方格纸上放了1６枚棋子,以棋子为顶点的正方形有个. 【解析】根据正方形的大小,分类数正方形.共能组成五种大小不同的正方形(如右图）. ?的正方形：1个; ?的正方形:４个;33 ?的正方形:９个;22 11 以11?正方形对角线为边长的正方形：4个；以12?长方形对角线为边长的正方形:2个． 故可以组成9414220 ++++=(个)正方形. 【例 3】判断下列图形哪些是格点多边形？ ⑴⑵⑶ 【解析】根据格点多边形的定义可知,图形的边必须是直线段，顶点要在格点上!所以只有⑴是格点多边形．【例 4】如图,计算各个格点多边形的面积． 【解析】本题所给的图形都是规则图形,它们的面积运用公式直接可求,只要判断出相应的有关数据就行了． ?=(面积单位)； 方法一:图⑴是正方形，边长是４，所以面积是4416

第18讲：巧求面积(一)

12 15 22 2 ? 巧求面积练习题 一．夯实基础： 1.如图是学校操场一角，请计算它的面积(单位：米) 40 20 2.一块长方形铁板，长15分米，宽12分米，如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少 多少平方分米？ 3.一块长方形纸片，在长边剪去5cm，宽边剪去2cm后(如图)，得到的正方形面积比原 长方形面积少31cm2．求原长方形纸片的面积． 5 2 4.一个边长为20厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可 得到第三个、第四个、第五个正方形．求第五个正方形的面积？ 30 30

甲 6 乙 8 丙5. 如图所示，把一个正方形各边中点顺次相连，可得一个新的较小的正方形；把这个小正方形的各边中点顺次相连，又可以得到一个新的更小一些的正方形……如此依次连下去，一直连到第三个新正方形为止。如果图中阴影的面积等于1，那么图中最大的正方形面积等于多少？ 二．拓展提高： 6. 甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是6、8、10厘米，乙的一个顶点在甲的中心上，丙的一个顶点在乙的中心上．这三个正方形的覆盖面积是多少平方厘米？ 10 7.如图，四边形ABCD 的周长是60厘米，点M 到各边的距离都是4.5厘米，这个四边形的面积是 平方厘米. 8. 有一个长方形，如果宽减少2米，或长减少3米，则面积均减少24平方米，求这个长 方形的面积？

绿 红绿绿 绿58 9. 有大、小两个长方形(如图)，对应边的距离均为1cm ，已知两个长方形之间部分的面积是16cm 2，且小长方形的长是宽的2倍，求大长方形的面积． 10.空白处每个方格都是边长为4厘米的正方形，黑条的宽度为2厘米，求阴影部分的面积 和周长。 11.如图，一块正方形地砖，上面印有四周对称的花纹，正中心红色小正方形面积是 8，四 块绿色等腰直角三角形均相同，面积总和是36，那么图中阴影部分的面积是多少？ A C B D E 三．超常挑战： 12.下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积. 20

五年级奥数平面几何图形的面积计算.

第17讲平面图形的计算（一） 例1．图中的甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 例2．计算右图的面积。（单位：厘米） 例3．如图，已知四条线段的长分别是：AB=2厘米，CE=6厘米，CD=5厘米，AF=4厘米，并且有两个直角。求四边形ABCD的面积。 例4．右图是两面三刀个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：分 米） 例5．下页左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10，中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么，有草部分（阴影部分）的面积有多大？（单位：米）

练习与思考 1．求图中阴影部分的面积。 2．求图中阴影部分的面积。 3．下左图的长方形中，三角形ADE与四边形DEBF和三角形CDF的面积分别相等，求三角形DEF的面积。 4．四中平等四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形BCE的直角边EC长8厘米，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求CF的长。 5．图中三角形的高为4，面积为16；长方形的宽为6，长方形的面积是三角形面积的多少倍？

6．如图，长方形的长是8，宽是6，A和B是宽的中点，求长方形内阴影部分的面积。 7．如图，BC长为5，求画斜线的两个三角形的面积之和。 8．上右图是两个一样的直角三角形重叠在一起，按照图上标出的数，计算阴影部分的面积。 9．右图是一块长方形草地，长方形长为16，宽为12，中间有一条宽为2的道路，求草地（阴影部分）的面积。

简便计算作业（12月23日）： 1.996+19.97+199.8 2.89?4.68+4.68?6.11+4.68 75?4.7+15.9?25 平均数问题作业（12月23日）： 1.已知九个数的平均数是7 2.去掉一个数之后，余下的数的平均数是78。去掉的数是多少？ 2.甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植树18棵，甲、丙两组平均每组植树17棵，乙、丙两组平均每组植树19棵。三个小组各植树多少棵？ 3.五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。经重新计算，全班的平均成绩是91.7分，五一班有多少名同学？ 4.把五个数从小到大排列，其平均数是38。前三个数的平均数是27，后三

小学奥数格点型面积

板块一正方形格点问题 在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！ 用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数． 我们能发现如下规律：1 2 L S N =+-．这个规律就是毕克定理． 【例 1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？ 【例 2】如图，44 ?的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个． 毕克定理 若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点， 则它的面积为1 2 L S N =+-． 例题精讲 格点型面积

【例 3】判断下列图形哪些是格点多边形？ ⑴⑵⑶ 【例 4】如图，计算各个格点多边形的面积． 【例 5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积． II I 【例 6】(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积． 【例 7】分别计算图中两个格点多边形的面积．

⑴ ⑵ 【巩固】求下列各个格点多边形的面积． ⑵ ⑴ ⑷ ⑶ 【例 8】 我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？ 【例 9】 右图是一个812 面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积． H G F E D C B A 【例 10】 右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？ 【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？

最新小学奥数面积计算(综合题型)

第十八周面积计算（一） 专题简析： 计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。 图形面积） 简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积，首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面积.如果我们把这些图形画在方格纸上，不但容易识别，而且容易计算. 上面左图是边长为4的正方形，它的面积是4×4＝16（格）；右图是3×5的长方形，它的面积是3×5＝15（格）. 上面左图是一个锐角三角形，它的底是5，高是4，面积是5×4÷2＝10（格）；右图是一个钝角三角形，底是4，高也是4，它的面积是4×4÷2＝8（格）.这里特别说明，这两个三角形的高线一样长，钝角三角形的高线有可能在三角形的外面. 上面左图是一个平行四边形，底是5，高是3，它的面积是5×3＝15（格）；右图是一个梯形，上底是4，下底是7，高是4，它的面积是 （4+7）×4÷2＝22（格）. 上面面积计算的单位用“格”，一格就是一个小正方形.如果小正方形边长是1厘米，1格就是1平方厘米；如果小正方形边长是1米，1格就是1平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位，1格就是一个面积单位.在这一讲中，我们直接用数表示长度或面积，省略了相应的长度单位和面积单位. 一、三角形的面积 用直线组成的图形，都可以划分成若干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是：三角形面积= 底×高÷2. 这个公式是许多面积计算的基础.因此我们不仅要掌握这一公式，而且要会灵活运用. 例1 右图中BD长是4，DC长是2，那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢？

三年级奥数巧求面积

石门教育个性化教案 教学内容及过程

4 10 4 10 有些图形不是规则的长方形或正方形，这时，我们可以运用 分、补、 移、变形等方法，把不规则图形转化为长方形或正方形，然后利用公式进 行面积的计算。 长方形面积公式：长方形面积 长 宽，记作：S 长方形a b 正方形面积公式：正方形面积 边长边长，记作：S 正方形a a a 2 二.例题精讲及反馈演练 例1.用不同的方法计算下图的面积。 分析：本题中图形可以通过 分割或添补转化为长方形来计算面积。 解法一： 40 30 30 20 解法二： 40 30 30 20 反馈演练1：计算图形的面积 : 解法三:

例2.右图为一个长50米、宽25米的标准游泳池。它的四周铺设了宽2米的白瓷地砖（阴影部分）。求游泳池面积和地砖面积。 分析：本题是求图中阴影部分的面积，可通过相关标准图形相加减求出 反馈演练2：有一块菜地长16米，宽8米，菜地中间留了宽2米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是多少？ 例3.有一个长方形，如果宽不变，长增加4米，面积就增加24平方米，如果长不变，宽增加3米，面积就增加36平方米，求原来长方形的面积。 分析：本题中长和宽没有直接告诉，要求该长方形的面积，需要先求出它的长和宽。从图中可以看出，增加的面积分别是两个不同的长方形的面积，可以根据它们的面积和它们的宽，求出原长方形的宽或长，继而求出原长方形的面积。反馈演练3:

用20分米的铁丝围成一个长方形，使长是宽的4倍。围成的长方形的面积 是多少平方分米？ 1.计算图形的面积: 4 |1 2.如图，在一块长24米，宽16米的绿地上，有一条宽2米的小路。请你列式计算出这条小路的面积。

五年级奥数专题-不规则图形面积计算含解析

不规则图形面积计算 我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：

实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些 基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算般我们称这样的图形为不规则图形 那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。 一、例题与方法指导 例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分 别是10 厘米和12 厘米.求阴影部分的面积。 思路导航： 阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白三角形（△ ABG、△ BDE、△ EFG）的面积之和。 例2 如右图，正方形ABCD的边长为6 厘米，△ABE、△ADF 与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积. 思路导航：

∵△ ABE、△ ADF与四边形AECF的面积彼此相等， ∴四边形AECF的面积与△ ABE、△ ADF的面积都等于正方形 1 ABCD的1。 3 在△ ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此 CE=CF=，2 ∴△ ECF的面积为2×2÷ 2=2。 所以S△AEF=S四边形AECF-S△ ECF=12-2=1（0 平方厘 米）。 例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10 厘米和6 厘米。如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的 面积 思路导航： 在等腰直角三角形ABC中 ∵AB=10 ∵EF=BF=AB-AF=10-6=，4 ∴阴影部分面积=S△ ABG-S△BEF=25-8=1（7 平方厘米） 例4 如右图，A 为△ CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ ABC 阴影部分）面积为5平方厘米.

小学奥数：格点型面积(毕克定理)

小学奥数：格点型面积（毕克定理） 板块一正方形格点问题 在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形． 那么，格点多边形的面积如何计算它与格点数目有没有关系如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达下面就让我们一起来探讨这些问题吧！ 用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数． 我们能发现如下规律：1 2 L S N =+-．这个规律就是毕克定理． 【例 1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少面积等于2平方厘米的三角形有多少个 【例 2】如图，44?的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个． 毕克定理 若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，

【例 3】判断下列图形哪些是格点多边形 ⑴⑵⑶ 【例 4】如图，计算各个格点多边形的面积． 【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么(教师总结：面积数值均扩大4倍．) 【例 5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积． 【例 6】(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．

【例 7】 分别计算图中两个格点多边形的面积． ⑴ ⑵ 【巩固】求下列各个格点多边形的面积． ⑵ ⑴ ⑷ ⑶ 【例 8】 我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少 【例 9】 右图是一个812 面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积． H G F E D C A 【例 10】 右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是 多少

六年级奥数组合图形面积计算

面积计算（一） 一， 求阴影部分的面积 1．如下图，已知6=AB 厘米，10=AD 厘米，三角形ABE 和三角形ADF 的面积各占长方形ABCD 的3 1 ，三角形AEF 的面积是多少平方厘米 2.如下图，两个正方形的边长分别是6厘米和2厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米 3.在四边形ABCD 中，BD AC 和互相垂直并相交于O 点，四个小三角形的面积如下图所示，求阴影部分三角形BCO 的面积。

4.三角形E D ABC ,.中（如下图），是中点，S 甲比S 乙多5平方厘米，三 角形ABC 的面积是多少平方厘米 5.图中扇形的半径6==OB OA 厘米，AOB ∠等于?45，AC 垂直于点C ，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米（） 取（14.3π 6.下图的正方形是由大家熟悉的七巧板拼成的，边长是10厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米

7.如下图，斜边长为30厘米的等腰直角三角形内有一个内接的正方形，那么阴影部分的面积是多少平方厘米 二，解答题。 1.由三角形面积分别为2,3,5,7的四个三角形拼成一个大三角形， 如下图所示。即已知:S AED ?=2, S AEC ? =5, S BDF ? =7, S BCF ? =3,那么S BEF ? 是多少 2.如下图，BD=4厘米，DE=8厘米，EC=4厘米，F是AE的中点，ABC ?在BC边上的高为8厘米,DFE ?的面积是多少平方厘米

3运动会入场式要求运动员排成一个9行9列的正方形方阵，如果去掉3行3列，要减少多少名运动员 3.如图所示是由正方形和半圆组成的图形，其中P点为半圆的中点， Q点为正方形一边的中点，那么阴影部分的面积是多少

奥数巧求面积

巧求面积问题 一．知识点回顾 在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能奏效，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧。因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中十分重要。 长方形面积公式：a b =?=?长方形长方形面积长宽，记作：S 正方形面积公式：2a a a =?=?=正方形正方形面积边长边长，记作：S 二．习题训练 1.用不同的方法计算下图的面积 2.计算图形的面积： 40 2030 30 3. 把一张长为4米，宽为3米的长方形木板，剪成一个面积最大的正方形。这个正方形木板的面积是多少平方米？ 4.将一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸片剪成一个面积最大的正方形，那么剪下的另一个小长方形的面积是多少？ 5.学校里有一个正方形花坛，四周种了一圈绿篱，绿篱总长20米。花坛的面积是多少平方米？ 6. 有两个相同的长方形，长是8 厘米，宽是3厘米。如果把它们按下图叠放， 这个图形的面积是多少？ 7．两张边长8厘米的正方形纸，一部分叠在一起放在桌上（如下图），桌面被盖住的面积是多少？ 8 884 48 8．求下图中阴影部分的面积。（单位：分米） 5 52 27 7

9．一个长方形与一个正方形部分重合，求没有重合的阴影部分面积相差多少？（单位：厘米） 556 9 10.右图为一个长50米、宽25米的标准游泳池。它的四周铺设了宽2米的白瓷地砖(阴影部分)。求游泳池面积和地砖面积。 11.有一块菜地长16米，宽8米，菜地中间留了宽2米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是多少？ 12.有一个长方形，如果宽不变，长增加4米，面积就增加24平方米，如果长不变，宽增加3米，面积就增加36平方米，求原来长方形的面积。 13.一个长方形若长增加2厘米，面积就增加10平方厘米，若宽减少3厘米，面积就减少18平方厘米。求原来长方形的面积。 14.如图，在一块长24米，宽16米的绿地上，有一条宽2米的小路。请你列式计算出这条小路的面积。 15.如图所示，两个长方形拼成了一个正方形，如果正方形的周长比两个长方形的周长的和少6厘米，则正方形的面积是多少平方厘米？

四年级奥数题：格点与面积习题及答案(B)

九、格点与面积(B) 年级______班_____ 姓名 _____得分_____ 一、填空题: 1.右图是用皮筋在钉板上围成的一个 三角形,计算它的面积是多少.(每相邻两个 小钉之间的距离都等于1个长度单位). 2.右图是一根用皮筋在钉板上围成的一个四边形,计算它的 面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单 位). 3.在一个9?6的长方形内,有一个凸四边形 ABCD(如右图).用毕克定理先求出它的面积来,再用拼 割方法计算它的面积,看两者是否一 致. 4.右图中每个小正方形的面积都 是4平方厘米,求图中阴影部分的面 积. 5.右图是一个10?10的正方形,求正方形内的四边形ABCD 的面积. 6.右图是一个8?12面积单 位的图形.求矩形内的箭形 ABCDEFGH的面积. 7.右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只 “狗”所占的面积是多少? 8.右图是一个5?5的方格纸,小方格的 面积是1平方厘米,小方格的顶点为格点. 请你在图上选7个格点,要求其中任意3个 格点都不在一条直线上,并且使这7个点用 线段连结所围成的面积尽可能大,那么,所用图形的面积1 是多少平方厘米？ 9.右图中每个小正方形的面积为1平方分米,那么阴影 部分的面积是多少平方分米? 10.右图中每个小平行四边形 的面积是1个面积单位,求阴影部 分的面积.

二、解答题: 1.右图中有21个点,其中每相邻的 三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面 积为1的等边三角形,试计算ABC ?的 面积. 2.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所 形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形 DEFG的面积. 3.把等边三角形ABC每边六等分, 组成如右图的三角形网.若图中每个小 三角形的面积均为12 cm,试求图中三角 形DEF的面积. 4.把大正三角形每边八等份,组成如右图所示的三角形网.如果每个小三角形的面积都是1,求图中粗线所围成的三角形的面积. ———————————————答案—————————————————————— 一、填空题: 1. 5.5面积单位. 分析:解答这类问题可直接套用毕克定理: 格点面积=内部格点数+周界上格点数÷2-1. 注意:一是毕克定理只对格点凸多边形适用,二是在数格点时要细心. 解: 5+3÷2-1=5.5(面积单位). 2. 5+5÷2-1=6.5(面积单位). 3. 27.5面积单位. 解: ①由毕克定理得: 25+7÷2-1=27.5(面积单位). ②用拼割方法得: ABCD的面积=长方形EFGH的面积-四角上的四个三角形的面积 =9?6-(6?2÷2+3?3÷2+4?3÷2+4?5÷2) =54-(6+4.5+6+10)=27.5(面积单位). 4. 48平方厘米. 解: ①内部格点数为: 9个; ②周界上格点数为: 8个; ③阴影部分的面积是: 4?(9+8÷2-1)=48(平方厘米).

五年级奥数专题-不规则图形面积计算

五年级奥数专题-不规则图形面积计算 不规则图形面积计算（1） 我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形,一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表： 实际问题中,有些图形不是以基本图形的形状出现,而是由一些基本图形组合、拼凑成的,它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。 那么,不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系,问题就能解决了。 一、例题与方法指导

例1 如右图,甲、乙两图形都是正方形,它们的边长分别是10厘 米和12厘米.求阴影部分的面积。 思路导航： 阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG 、△BDE 、△EFG ）的面积之和。 例2 如右图,正方形ABCD 的边长为6厘米,△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等,求三角形AEF 的面积. 思路导航： ∵△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等, ∴四边形 AECF 的面积与△ABE 、△ADF 的面积都等于正方形ABCD 的13 。 在△ABE 中,因为AB=6.所以BE=4,同理DF=4,因此CE=CF=2, ∴△ECF 的面积为2×2÷2=2。 所以S △AEF=S 四边形AECF-S △ECF=12-2=10（平方厘米）。 例3 两块等腰直角三角形的三角板,直角边分别是10厘米和6厘米。如右图那样重 合.求重合部分（阴影部分）的面积。 思路导航： 在等腰直角三角形ABC 中 ∵AB=10 ∵EF=BF=AB-AF=10-6=4, ∴阴影部分面积=S △ABG-S △BEF=25-8=17（平方厘米）。 例4 如右图,A 为△CDE 的DE 边上中点,BC=CD,若△ABC （阴影部分）面积为5平方厘米. 求△ABD 及△ACE 的面积. 思路导航： 取BD 中点F,连结AF.因为△ADF 、△ABF 和△ABC 等底、等高, B C

六年级奥数组合图形面积计算(20200614123204)

面积计算（一） 一，求阴影部分的面积 1．如下图，已知6 AD厘米，三角形ABE和三角形ADF AB厘米，10 1，三角形AEF的面积是多少平方厘米？的面积各占长方形ABCD的 3 2.如下图，两个正方形的边长分别是6厘米和2厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 3.在四边形ABCD中，BD AC和互相垂直并相交于O点，四个小三角形的面积如下图所示，求阴影部分三角形BCO的面积。

4.三角形E ABC,. 中（如下图），是中点，S甲比S乙多5平方厘米，三角 D 形ABC的面积是多少平方厘米？ 5.图中扇形的半径6 OA厘米，AOB等于45，AC垂直于点C， OB 那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（） .3 （14 取 6.下图的正方形是由大家熟悉的七巧板拼成的，边长是10厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？

7.如下图，斜边长为30厘米的等腰直角三角形内有一个内接的正方形，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ 二，解答题。 1.由三角形面积分别为2,3,5,7的四个三角形拼成一个大三角形，如 下图所示。即已知:S AED =2, S AEC=5, S BDF =7, S BCF=3,那么S BEF 是 多少？ 2.如下图，BD=4厘米，DE=8厘米，EC=4厘米，F是AE的中点， ABC在BC边上的高为8厘米,DFE的面积是多少平方厘米？

3运动会入场式要求运动员排成一个9行9列的正方形方阵，如果去掉3行3列，要减少多少名运动员？ 3.如图所示是由正方形和半圆组成的图形，其中P点为半圆的中点， Q点为正方形一边的中点，那么阴影部分的面积是多少？

新六年级下奥数巧求面积

教育讲义：巧求面积 一、课题名称:巧求面积（二） 二、学习目标 1、掌握常见图形面积的公式，能够解决一些简单的实际问题。 2、利用等量代换、割补法、重新组合法、添辅助线等方法来求面积。 三、教学过程 知识回顾 【典型例题】 例1.如图，在边长为6厘米的等边三角形中挖去三个同样的扇形,求阴影部分的面积。 例2.正方形边长为2厘米，求阴影部分的面积。 例3.图中四个圆的半径都是1厘米，求阴影部分的面积。 例4.如图，四个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。(单位:厘米) 例5.如图，正方形ABCD的对角线AC=2厘米，扇形ACB是以AC为直径的半圆，扇形DAC是以D为圆心，AD为半径的圆的一部分，求阴影部分的面积。 例6.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 例7.如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分甲比阴影部分乙面积大28平方厘米，AB=40厘米。求BC的长度。 例8.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。(单位:厘米)

归纳总结 组合图形阴影部分面积计算的解题思路 组合图形阴影部分面积计算是小学平面几何知识的综合运用，在小学数学中是一个重点，由于小学生只学习过三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆、扇形面积的计算，但没有具体地学习线、面、图形相互关系方面的知识联系，因此，这些几何知识对于小学生来是零碎的；再说，小学生的空间思维发展滞后，于是组合图形阴影部分面积的计算在小学教育教学中成为了难点。 我总结了一点经验，概括了几种求组合图形阴影部分面积的解题思路，从思维上帮助学生清晰了解题思路，引导小学生走上正确地解决组合图形阴影部分面积的解题思路。 方法一：移拼、割补的思路 移拼、割补的思路是把不规则的阴影面积通过学习割补，使之变为一个面积大小不变且能实施计算成面积相同的规则图形。 方法二：重叠、分层的思路 重叠、分层思路是图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各项个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积。 方法三：加法、分割的思路 加法分割思路是把所求阴影部分面积分割成几块能用公式计算的规则图形（三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆、扇形），分别计算出面积，并相加得出阴影部分的面积。 方法四：减法、拓展的思路 减法拓展思路是把不规则图形阴影部分面积拓展到包含阴影部分的规则图形中进行分析，通过计算这个规则图形的面积和规则图形中除阴影部分面积之外多余的面积，运用“总的”减去“部分的”方法解得答案。 课后作业 1、求阴影部分的周长和面积。(单位:厘米) 2、 3、 二、已知阴影部分的面积是8平方厘米，求圆的面积。 三、能力拓展题。 1．求下图正方形内阴影部分的面积。（正方形边长是4厘米） 家长签名： 年月日

格点与面积-小学奥数知道点详解(新)

如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。 一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形，本讲就，学习求格点多边形的面积问题。这种格点多边形的面积计算起来很方便，一般有三种方法： ①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积； ②一些简单而又特殊的格点多边形，可以通过数格子求出面积； ③较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。其中数格子的方法比较原始，很少用。 任意格点多边形，只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数，就可用下面的皮克公式算出面积： 格点多边形面积=内格点个数 + 边格点数÷2-1 这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。 皮克定理的证明： 将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆。格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分；而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形，且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆，少了其外角对应的扇形面积，因任意多边形的外角和是360度，正好是个整圆，所以周界上圆在图内的面积为：周界格点数÷2-1 所以格点多边形面积为： 图内格点个数+周界格点数÷2-1。 皮克定理的证明过程比较抽象，孩子难以理解。本讲 只要求孩子初步认识格点面积公式，掌握格点面积公式的应 用，到初中还会进一步学习皮克定理。 例1： 求下面各图形的面积。 【解析】：

小学奥数格点型面积

板块一 正方形格点问题 在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形． 那么，格点多边形的面积如何计算它与格点数目有没有关系如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达下面就让我们一起来探讨这些问题吧！ 用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数． 我们能发现如下规律：12 L S N =+-．这个规律就是毕克定理． 【例 1】 用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来 就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少 面积等于2平方厘米的三角形有多少个 【解析】 面积等于1平方厘米的三角形有32个． 面积等于2平方厘米的三角形有8个． (1)面积等于1平方厘米的分类统计如下： ① ② ③ 底为2，高为1 底为2，高为1 底为1，高为2 3×2=6(个) 3×2=6(个) 3×2=6(个) ④ ⑤ ⑥ 底为1，高为2 底为2，高为1 底为1，高为2 3×2=6(个) 2×2=4(个) 2×2=4(个) 所以，面积等于1平方厘米的三角形的个数有：6+6+6+6+4+4=32(个)． (2)面积等于2平方厘米的分类统计如下： 3×2=6(个) 1×2=2(个) 所以，面积等于2平方厘米的三角形的个数有：6+2=8(个)． 【例 2】 如图，44?的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有 个． 【解析】 根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)． 11?的正方形：9个；22?的正方形：4个；33?的正方形：1个； 以11?正方形对角线为边长的正方形：4个；以12?长方形对角线为边长的正方形：2个． 毕克定理 若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点， 则它的面积为12 L S N =+-． 例题精讲 格点型面积

五年级奥数第9讲巧求表面积

龙文教育学科教师辅导讲义 课题第 9 讲巧求表面积 教学目标1、学习经典奥数题——巧求表面积。 2、灵活运用各种图形表面积计算公式，完成相关题目。 3、培养学生空间思维能力 重点灵活运用各种图形表面积计算公式，完成相关题目。 难点灵活运用各种图形表面积计算公式，完成相关题目。 【内容概述】 表面积指的是物体几个面的总面积。 做这类题要熟练掌握基本图形的计算公式，并能寻求最简洁的方法解答问题。 典型问题－ 1】 例 1、在一个棱长为 5 分米的正方体上放一个棱长为 4 分米的小正方体（右图），求这个立体图形的表面积。 分析：小正方体上面和大正方体的上面的和刚好是大正方体的上面。解：上 下方向：5×5×2=50（平方分米）； 侧面：5×5×4＝100（平方分米）， 4×4×4=64（平方分米）。 练习 1、下图是一个棱长为8 厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为4 厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为2 厘米的小正方体小洞，求得到的立体图形的表面积。 这个立体图形的表面积为：50+100+64=214（平方分米）。

例 2 、右图是由 18 个边长为 1 厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。

分析：如果一面一面去数，那么虽然可以得到答案，但太麻烦，而且容易出错。仔细观察会发现，这个立体的上面与下面、左面与右面、前面与后面的面积分别相等。所以，这题可以转化为三视图来解答。 解：如下图所示，可求得表面积为 2 9＋7＋8）× 2=48（厘米2）。 练习 2、用12 个长5 厘米、宽4 厘米、高3 厘米的长方体码放成一个表面积最 .码放小的长方体后得到的这个长方体的表面积是多少？

小学三年级奥数 巧求图形面积

精心整理 三年级奥数巧求图形面积 思维聚焦 同学们都知道求正方形和长方形面积的公式： 正方形的面积=a×a(a为边长)， 长方形的面积=a×b(a为长，b为宽)。 图，长方形 例 面积等于多少平方米？ 分析：我们不能直接求出它的面积，但是可以将此图形分割成若干个长方形。 下面两种较简单的方法，图形都被分割成三个长方形。根据这两种不同的分割方法，都可以计算出图形的的面积。 解： 或5×(2＋3＋2)＋3×(2＋3)＋4×2＝58(米2)。 上面的方法是通过将图形分割成若干个长方形，然后求图形面积的。实际上，我们也可以将图形“添补”成一个大长方形(见下图)，然后利用大长方形与两个小长方形的面积之差，求出图形的面积。 (5＋3＋4)×(2＋3＋2)-2×3-(2＋3)×4＝58(米2)；

或(5＋3＋4)×(2＋3＋2)-2×(3＋4)-3×4＝58(米2)。 由例1看出，计算直角多边形面积，主要是利用“分割”和“添补”的方法，将图形演变为多个长方形的和或差，然后计算出图形的面积。其中“分割”是最基本、最常用的方法。 二、触类旁通 例2 砖( 分析：求地砖面积时，我们可以将阴影部分分成四个长方形 瓷地砖的面积为 解：(2＋25＋2)×2×2＋50×2×2＝316(米2)； 或(2＋50＋2)×2×2＋25×2×2＝316(米2)。 三、熟能生巧 1 2 3、把边长为40米的正方形运动场扩为长60米、宽50米的长方形运动场。此运动场面积扩大了多少？周长增加了多少？ 4、有一块长方形的玻璃,从长边截去20厘米宽的一块后,剩下的玻璃正好是块正方形,它的周长是160厘米.原来长方形玻璃的周长和面积各是多少?

五年级奥数题及答案：面积计算问题

五年级奥数题及答案：面积计算问题 编者小语：数学竞赛活动对于开发学生智力、开拓视野、促进教学改革、提高教学水平、发现和培养数学人才都有着积极的作用。这项活动也激励着广大青少年学习数学的兴趣，吸引他们去进行积极的探索，不断培养和提高他们的创造性思维能力。查字典数学网为大家准备了小学五年级奥数题，希望小编整理的五年级奥数题及参考答案：面积计算问题，可以帮助到你们，助您快速通往高分之路!! 1、(05年三帆中学考题)右图中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四边形ABDE的面积是( )平方厘米. 2、如图，已知每个小正方形格的面积是1平方厘米，则不规则图形的面积是______. 1、(05年三帆中学考题)右图中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四边形ABDE的面积是( )平方厘米. 解：阴影面积 =1/2×ED×AF+1/2×AB×CD=1/2&tim es;8×7+1/2×3×12=28+18=46。 “教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》

中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。 2、如图，已知每个小正方形格的面积是1平方厘米，则不规则图形的面积是______. 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯

小学奥数之图形面积问题

六年级奥数图形问题精讲 不规则图形的面积及周长计算问题： 图形面积问题方法总结： 1.相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积， 然后相加求出整个图形的面积. 2.相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差。 3.直接求法: 这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右 上图，欲求阴影部分的面积，直接求三角形的面积。

4.重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了。 5. 辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便. 六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半. 七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如上页最后一图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正 方形。 八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求上图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C 重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.